高中数学新湘教版精品学案《双曲线的简单几何性质》
双曲线的简单几何性质
【学习目标】
1．使学生掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线等几何性质。 2．掌握标准方程中c b a ,,的几何意义
【学习重点】
双曲线的渐近线及其得出过程。
【学习难点】
渐近线几何意义的证明。
【学习过程】
一、新知学习
椭圆
双曲线
与两个定点的距离和等于常数
与两个定点的距离差的绝对值等于常数
轴，短轴长2b 轴，虚轴长2b （±
，0）
（±
，0）
离心率
a ，
b ，
c ，e ，
22
x 149
y -=22
x y 12-=22y 124x -=22x 142y -=22y 142x -=22x 124y -=22x 1a y b -=2222x 1a y b -=2222x 14y a a
-=2222x 15y a a -=22
2
2x 14b y b
-=2222x 1b y b -=2222x 1a y b -=点，若MF 2垂直于轴，则双曲线的离心率为（ ）
双曲线的几何性质教案
教学过程 一、课堂导入 前面我们学习了椭圆及其标准方程，并由标准方程推导出椭圆的几何性质，椭圆的几何性质有哪些？今天我们以双曲线的标准方程为工具，研究双曲线的几何性质。
二、复习预习 双曲线的定义：平面内到两定点21,F F 的距离的差的绝对值为常数（小于21F F ）的动点的轨迹叫双曲线。 当2a <2c 时，轨迹是双曲线 当2a =2c 时，轨迹是两条射线 当2a >2c 时，轨迹不存在 如果双曲线的焦点在x 轴上，即()()0,,0,21c F c F -，则双曲线的标准方程为22 221x y a b -=； 如果双曲线的焦点在y 轴上，即()()c F c F -,0,,021，则双曲线的标准方程为122 22=-b x a y 。
三、知识讲解 考点1 双曲线的简单几何性质
椭圆的离心率 （1）根据方程求离心率时，应先根据方程确定a 和b ，再由222c a b =+求出c ，最后由a c e = 得到离心率； （2）根据条件求离心率时，关键是找出c b a ,,满足的等量关系式，将b c a ,的等量关系式，两边 同时除以a 的最高次数，将a c 看作一个变量求解出，要注意1e >。
1．渐近线 过双曲线122 22=-b y a x 的两顶点21,A A ，作Y 轴的平行线a x ±=，经过21,B B 作X 轴的平行线b y ±=，四条直线围成一 矩形的两条对角线所在直线方程是x a b y ± =（0=±b y a x ） 2．等轴双曲线 a=b 即实轴和虚轴等长，这样的双曲线叫做等轴双曲线.渐近线方程为x y ±=.它们互相垂直且平分双曲线的实轴和虚 3．共渐近线的双曲线系 如果已知一双曲线的渐近线方程为x a b y ±=)0(>±=k x ka kb ，那么此双曲线方程就一定是：)0(1) ()(2 222>±=-k kb y ka x 或写成λ=-22 22b y a x
双曲线的简单几何性质教案
课题：双曲线的简单几何性质（1） 一．教学目标： 1.知识与能力 了解双曲线的简单几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线、离心率. 2.过程和方法 通过观察、类比、探究来认识双曲线的几何性质. 3.情感态度与价值观 通过类比旧知识，探索新知识，培养学生学习数学的兴趣，探索新知识的能力, 激发学习热情，感受事物之间处处存在联系． 二．教材分析： 本节课是学生在已掌握双曲线的定义及标准方程之后，在此基础上，反过来利用双曲线的标准方程研究其几何性质。它是教学大纲要求学生必须掌握的内容，也是高考的一个考点，是深入研究双曲线，灵活运用双曲线的定义、方程、性质解题的基础，更能使学生理解、体会解析几何这门学科的研究方法，培养学生的解析几何观念，提高学生的数学素质。三．学情分析： 学生已经学习了椭圆的标准方程和它的几何性质，并且类比、推导、归纳出了双曲线的标准方程，这节课将进一步研究、归纳出类似于椭圆的几何性质的双曲线的几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）和双曲线独有的几何性质（实轴、虚轴、渐近线）。通过对双曲线性质的探究学习，可使学生在已有的知识结构的基础上，拓展延伸，构建新的知识体系；同时对由方程讨论曲线性质的思想方法有更深刻的认识。 四．重点难点：
重点：双曲线的简单几何性质 难点：由双曲线的简单几何性质求双曲线的标准方程 五．教学过程： 1.导入新课： 大家首先回顾一下双曲线的定义及其标准方程：（PPT ） 在椭圆部分，我们曾经从图形和标准方程两个角度来研究椭圆的几何性质。 那么，你认为应该研究双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的哪些性质呢？ （范围、对称性、顶点、离心率等） 这就是我们今天要共同学习的内容：双曲线的简单几何性质 2.学案反馈： 通过批改学案来了解学生对本节新课的理解和掌握情况，并对学案反馈出的问题做课堂讨论和解决。同时通过速记、提问方式加强记忆。 3.探究活动： 通过阅读教材5856P P -,完成下表 合作探究 一：已知双曲线方程求性质
双曲线的简单几何性质精品教案
双曲线的简单几何性质 章节名称双曲线的简单几何性质（第二课时） 本节（课）教课内容剖析 数学发展观以为：数学好像其余事物同样，是不停在运动、变化中发展的，又在不停发展中显现 新的活力与生命。学生在学习一个数学新知识时，若能鉴于数学发展观，从问题的本质下手，对问题 的条件、结论及结题方法等方面进行商讨，在相对完好的运动发展的过程中领会到新知识的应用价 值，那么这样的学习不不过深刻有效的，并且是风趣的。鉴于以上考虑，在教课上做了以下设 计：在网络环境下，以网页为载体，借助《几何画板》强盛的动向演示功能，经过大批自主实验（包含察看实验、考证明验、研究实验等）让学生认识圆锥曲线定义的本质，熟习圆锥曲线的性质，掌 握直线与圆锥曲线地点关系的要点。本节课是在学生借助图象用类比法学习了双曲线的简单几何性 质的基础上的一节以复习和研究为主的课。 依照的课程标准 1．认识圆锥曲线的本质背景，感觉圆锥曲线在刻画现实世界和解决本质问题中的作用。 2．经历从详细情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握他们的定义、标准方程、几何图形及简 单性质。 3．认识双曲线的定义、几何图形和标准方策还可以够，指导双曲线的有关性质。 4．能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题（直线与圆锥曲线的地点关系）和本质问题。5．经过圆锥曲线的学习，进一步领会数形联合的思想。 本节（课）教课目的 1．知识与技术 （ 1）类比椭圆的几何性质，复习稳固双曲线的简单几何性质，如范围、对称性、极点、渐近 线和离心率等； （ 2）能娴熟运用双曲线的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、渐近线方程、极点、离心率等性 质解题； （3）经过数学实验，研究直线与双曲线的交点个数问题，掌握用方程与不等式思想解决分析 几何问题。 2．过程与方法 （1）运用类比复习法，复习稳固椭圆和双曲线的几何性质，并学会划分它们的异同，培育学 生独立研究、贯通融会的能力； （2）联合双曲线的图形特色，娴熟运用双曲线的几何性质解题，感悟数与形的交融，掌握数 形联合思想； （3）先利用数学软件研究直线与双曲线的地点关系，从而用方程与不等式的方法求解，考证察看 结果，培育学生的发现问题、解决问题的能力，掌握方程与不等式相联合解决分析几何问题的方 法。 3．感情、态度与价值观 （1）运用类比研究方法，自主建立知识系统，加强学习分析几何的信心； （2）联合双曲线的图象娴熟运用性质，表现数与形的联合美。 （3）研究直线与双曲线的地点关系问题，培育学生独立思虑、周密考证、科学论证的科学研究 习惯。
双曲线的简单几何性质(基础知识+基本题型)(含解析)2021-2022学年高二数学上学期
3.2.2双曲线的简单几何性质 （基础知识+基本题型） 知识点一 双曲线的性质 根据双曲线的标准方程22 221(0,0)x y a b a b -=>>研究它的几何性质． 1．范围 ,x a y R ≥∈，即,x a x a y R ≥≤-∈或． 双曲线位于两条直线x a =±的外侧．讨论双曲线的范围就是确定方程中变量,x y 的范围，由不等式222211x y a b =+≥，得||x a ≥，由22 2211y x b a --≥-，得y R ∈. 提示 双曲线在直线x a =与x a =-之间没有图象，当x 无限增大时，y 也无限增大，所以双曲线是无限伸展的，不像椭圆那样是封闭的. 2．对称性 双曲线的图象关于x 轴、y 轴成轴对称，关于原点成中心对称，我们把x 轴、y 轴叫做双曲线的对称轴，原点(0,0)O 叫做双曲线的对称中心，简称中心. 提示 （1）把双曲线标准方程中的x 换成x -，方程并没有发生变化，说明当点(,)P x y 在双曲线上时，它关 于y 轴的对称点1(,)P x y -也在双曲线上，所以双曲线的图象关于y 轴成轴对称. （2）同理，把双曲线标准方程中的y 换成y -，可以说明双曲线的图象关于关于x 轴成轴对称；把双 曲线标准方程中的x 换成x -，y 换成y -，可以说明双曲线的图象关于原点成中心对称. （3）如果曲线具有三种对称性的其中两种，那么它就具有另一种对称性. （4）对于任意一个双曲线而言，对称轴是两个焦点的连线所在直线及其垂直平分线，且双曲线的中 心是双曲线的对称中心. 3．顶点与实轴、虚轴 如图所示．
（1）双曲线和其对称轴的交点叫做双曲线的顶点，双曲线的顶点为1(,0)A a -，2(,0)A a . （2）线段12A A 叫做双曲线的实轴，线段12B B 叫做双曲线的虚轴. （3）实轴长122A A a =，虚轴长122B B b =，,a b 分别为双曲线的半实轴长和半虚轴长. 拓展 双曲线中,,a b c 的几何意义及特征三角形： （1）当双曲线焦点在x 轴上时，a 是半实轴长，b 是半虚轴长，且222c a b =+，所以以,,a b c 为三边 长可构成直角三角形，如图2.3-10所示，其中22Rt OA B ∆称为双曲线的特征三角形，双曲线的焦点永远在实轴上. （2）当双曲线的焦点在y 轴上时，可得类似的结论. 4．渐近线 （1）渐近线画法：经过点1(,0)A a -，2(,0)A a 作y 轴的平行线x a =±，经过点1(0,)B b -，2(0,)B b 作x 轴的平行线y b =±，四条直线围成一个矩形，矩形 两条对角线，这两条对角线所在的直线即为 双曲线的渐近线.双曲线22 221x y a b -=的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近. （2）渐近线方程：b y x a =±. 拓展 （1）双曲线22221x y a b -=的渐近线方程为b y x a =±，双曲线22221y x a b -=的渐近线方程为a y x b =±，两 者容易混淆，可先将双曲线方程中的“1”换成“0”，再因式分解即可得渐近线方程，这样就不容易记错了. （2）双曲线与它的渐近线无限接近，但永远不相交. （3）与双曲线22221x y a b -=共渐近线的双曲线方程可设为2222(0)x y a b λλ-=≠；与双曲线22 221x y a b -=共 焦点的双曲线方程可设为22 22221()x y b a a b λλλ -=-<<-+.
双曲线的简单几何性质 精品教案
双曲线的简单几何性质 【教学目标】 1．使学生掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等几何性质。 2．掌握等轴双曲线，共轭双曲线等概念。 3．并使学生能利用上述知识进行相关的论证、计算、作双曲线的草图以及解决简单的实际问题。 4．通过教学使同学们运用坐标法解决问题的能力得到进一步巩固和提高，“应用数学”的意识等到进一步锻炼的培养。 【教学重难点】 教学重点：双曲线的渐近线、离心率。 教学难点：渐近线几何意义的证明，离心率与双曲线形状的关系。 【课时安排】 1课时 【教学过程】 一、复习引入 1．范围、对称性 由标准方程22 22 1 x y a b -=，从横的方向来看，直线x=-a ，x=a 之间没有图像，从纵的方向 来看，随着x 的增大，y 的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线，双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心。 2．顶点 顶点：()0,),0,(21a A a A - 特殊点：()b B b B -,0),,0(21 实轴：21A A 长为2a ，a 叫做半实轴长 虚轴：21B B 长为2b ，b 叫做虚半轴长 3．渐近线 过双曲线22 22 1 x y a b -=的两顶点21,A A ，作Y 轴的平行线a x ±=，经过21,B B 作X 轴的平行线 b y ±=，四条直线围成一个矩形。矩形的两条对角线所在直线方程是 b y x a =±（0 x y a b ±=），
这两条直线就是双曲线的渐近线。 4．等轴双曲线 等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：x y ±=；（2）渐近线互相垂直；（3）离心率2=e 等轴双曲线可以设为：22(0) x y λλ-=≠，当0>λ时交点在x 轴，当0<λ时焦点在y 轴上。 5．共渐近线的双曲线系 如果已知一双曲线的渐近线方程为 b y x a =± (0) kb x k ka =±>，那么此双曲线方程就一定是：2222 1(0) ()() x y k ka kb -=±>或写成22 22 x y a b λ-= 6．双曲线的草图 具体做法是：画出双曲线的渐近线，先确定双曲线的顶点及第一象限内任意一点的位置，然后过这两点并根据双曲线在第一象限从渐近线下方逐渐接近渐近线的特点画出双曲线的一部分，最后利用双曲线的对称性画出完整的双曲线。 二、讲解新课 1．离心率 概念：双曲线的焦距与实轴长的比2 2c c e a a ==，叫做双曲线的离心率。 范围：1>e 双曲线形状与e 的关系： 1122 222-=-=-==e a c a a c a b k ， 因此e 越大，即渐近线的斜率的绝对值就大，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔。由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔。 （1）双曲线的形状张口随着渐近线的位置变化而变化； （2）渐近线的位置(倾斜)情况又受到其斜率制约。 利用计算机动画先演示出“e 的大小”与“开口的阔窄”的关系，能让学生对此变化规律先形成直观理解；然后再用代数方法边板书边推导，这样就可化难为易，使学生对此规律有更深刻清晰的理解，这样做将有助于实在本节的这个难点。 2．离心率相同的双曲线 （1）计算双曲线22 1 49 x y -=的离心率0e ；
高中数学教程 双曲线的几何性质
高中数学教程 双曲线的几何性质（1） 目标：1．能用对比的方法分析双曲线的范围、对称性、顶点等几何性质，并熟记之； 2．掌握双曲线的渐近线的概念和证明； 3．明确双曲线方程中,,a b c 的几何意义； 4．能根据双曲线的几何性质，确定双曲线的方程并解决简单问题。 重、难点：双曲线的范围、对称性、顶点和渐近线。 （一）复习：1．双曲线的定义和标准方程； 2．椭圆的性质； （二）新课讲解：以双曲线标准方程122 22=-b y a x 为例进行说明。 1．范围：观察双曲线的草图，可以直观看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线a x ±= 的外侧。 注意：从双曲线的方程如何验证？ 从标准方程12222=-b y a x 可知22221b y a x ≥-，由此双曲线上点的坐标都适合不等式122 ≥a x 即2 2a x ≥，a x ≥即双曲线在两条直线a x ±=的外侧。 2．对称性：双曲线122 22=-b y a x 关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点 是双曲线122 22=-b y a x 的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。 3．顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。 在双曲线122 22=-b y a x 的方程里，对称轴是,x y 轴，所以令0=y 得a x ±=，因此双曲线和x 轴有两个交点 )0,()0,(2a A a A -，他们是双曲线122 22=-b y a x 的顶点。 令0=x ，没有实根，因此双曲线和y 轴没有交点。 1）注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点）， 双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。 2）实轴：线段2A A 叫做双曲线的实轴，它的长等于2,a a 叫做双曲线的实半轴长。 虚轴：线段2B B 叫做双曲线的虚轴，它的长等于2,b b 叫做双曲线的虚半轴长。 在作图时，我们常常把虚轴的两个端点画上（为要确定渐进线），但要注意他们并非是双曲线的顶点。 4．渐近线：注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线，这两条直线即称为双曲线的渐近线。从 图上看，双曲线122 22=-b y a x 的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近。 在初中学习反比例函数x k y =时提到x 轴y 轴都是它的渐近线。 高中三角函数tan y x =，渐近线是)(2 Z k k x ∈+=π π。 所谓渐近，既是无限接近但永不相交。那么如何证明这个无限接近但永不相交？ 思考：从哪个量上反映“无限接近但永不相交”？——距离。只要证明什么？——距离趋向于0. 下面证明，取第一象限内的部分进行证明。（见课本109P ） 求法：求已知双曲线的渐近线方程：令右端的1为0，解出的直线方程即为双曲线的渐近线方程。 5．等轴双曲线： 1）定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。 定义式：a b = 2）等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：x y ±= ；（2）渐近线互相垂直。 注意以上几个性质与定义式彼此等价。亦即若题目中出现上述其一，即可推知双曲线为等轴双曲线，同时其他几个亦成立。 3）注意到等轴双曲线的特征a b =，则等轴双曲线可以设为：)0(2 2≠=-λλy x
《双曲线的简单几何性质》教学设计
《双曲线的简单几何性质》教学设计 【教材分析】 1.教材中的地位及作用 本节课是学生在已掌握双曲线的定义及标准方程之后，在此基础上，反过来利用双曲线的标准方程研究其几何性质。它是教学大纲要求学生必须掌握的内容，也是高考的一个考点，是深入研究双曲线，灵活运用双曲线的定义、方程、性质解题的基础，更能使学生理解、体会解析几何这门学科的研究方法，培养学生的解析几何观念，提高学生的数学素质。 2.教学目标的确定及依据 平面解析几何研究的主要问题之一就是：通过方程，研究平面曲线的性质。教学参考书中明确要求：学生要掌握圆锥曲线的性质，初步掌握根据曲线的方程，研究曲线的几何性质的方法和步骤。根据这些教学原则和要求，以及学生的学习现状，我制定了本节课的教学目标。 （1）知识目标：①使学生能运用双曲线的标准方程讨论双曲线的范围、对称性、 顶点、离心率、渐近线等几何性质； ②掌握双曲线标准方程中c b a ,,的几何意义，理解双曲线的渐近 线的概念及证明； ③能运用双曲线的几何性质解决双曲线的一些基本问题。 （2）能力目标：①在与椭圆的性质的类比中获得双曲线的性质，培养学生的观察 能力，想象能力，数形结合能力，分析、归纳能力和逻辑推理能力，以及类比的学习方法； ②使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对 直角坐标系中曲线与方程的概念的理解。 （3）数学核心素养目标：培养学生对待知识的科学态度和探索精神，而且能够运用运动的，变化的观点分析理解事物。
3.重点、难点的确定及依据 对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线特有的性质，而学生对渐近线的发现与证明方法接受、理解和掌握有一定的困难。因此，在教学过程中我利用一首情歌《悲伤的双曲线》引入今天的课题，这样一来渐近线的出现学生也易接受。因此结合学生现有的实际水平和认知能力，我把渐近线和离心率这两个性质作为本节课的重点。 4.教学方法 这节课内容是通过双曲线方程推导、研究双曲线的性质，本节内容类似于“椭圆的简单的几何性质”，教学中可以与其类比讲解，让学生自己进行探究，得到类似的结论。 渐近线是双曲线特有的性质，我们常利用它作出双曲线的草图，而学生对渐近线的发现与证明方法接受、理解和掌握有一定的困难。因此，在教学过程中着重培养学生的创造性思维，通过诱导、分析，从已有知识出发，层层设（释）疑，激活已知，启迪思维，调动学生自身探索的内驱力，进一步清晰概念（或图形）特征，培养思维的深刻性。 【教学程序】 （一）.设计思路：
双曲线的简单几何性质优秀教案
2.3.2 双曲线的几何性质（第一课时教案) 一、 教学目标 1. 知识与技能 （1）理解并掌握双曲线的简单几何性质； （2）利用双曲线的几何性质解决双曲线的问题。 2. 过程与方法 （1）通过类比椭圆的几何性质，得到双曲线的几何性质； （2）通过例题和练习掌握根据条件求双曲线几何性质的相关问题。 3. 情感、态度与价值观 （1）培养学生的知识类比的数学思想和逻辑思维能力； （2）培养学生的方法归纳能力和应用意识。 二、 教学重难点 1、教学重点：双曲线的几何性质 2、教学难点：应用双曲线的几何性质解决双曲线的相关问题 三、 教学过程 结合双曲线图像以及几何画板动画，学习双曲线 的相关几何性质。 1. 取值范围 (1) 焦点在x 轴上：x a ≥或x a ≤-，y R ∈ (2) 焦点在y 轴上：y a ≥或y a ≤-，x R ∈ 2. 对称性——既是轴对称图形，又是中心对称图形 3. 顶点——双曲线与坐标轴的交点，即12,A A （以图为例） (1) 实轴——线段12A A 。122,A A a a =为半实轴长； (2) 虚轴——记12(0,),(0,)B b B b -，则线段12B B 为虚轴。122,B B b b =为半虚轴长。 (3) 等轴双曲线——实轴与虚轴长度相等的双曲线。 一般可设为：22,(0)x y m m -=≠ 4. 离心率：c e a = (1) 范围：1e >； (2) 变化规律：e 越大，双曲线开口越大；e 越小，双曲线开口越小.
5. 渐近线 (1) 若22 221(0,0)x y a b a b -=>>，则渐近线为：b y x a =±， (2) 若)0,0(122 22>>=-b a b x a y ，则渐近线为：a y x b =±， (3) 一般求法：令双曲线方程等于0，即22220x y a b -=（或22 220y x a b -=） (4) 渐近线相同的双曲线可设为：22 22(0)x y a b λλ-=≠ 题型一：求双曲线的标准方程 例 求满足下列条件的双曲线标准方程 （1） 顶点在x 轴上，两定点间的距离为8，54e = ； （2） 焦点在y 轴上，焦距为16，43 e =； （3） 以椭圆22 185 x y +=的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线； （4） 过点(3,1)A -的等轴双曲线. 题型二：有关渐近线的计算 例1 已知双曲线的渐近线方程为34 y x =±，求双曲线的离心率为. 例2 若双曲线的渐近线方程为3y x =±，它的一个焦点为) ，求双曲线的方程. 例3 求与双曲线22 1916x y -=有共同的渐近线，且过点(3,-的双曲线方程. 作业：P61 A 组 《导报》第8课时
《双曲线的几何性质》教案(公开课)
(一)知识教学点 使学生理解并掌握双曲线的几何性质，并能从双曲线的标准方程出发，推导出这些性质，并能具体估计双曲线的形状特征． (二)能力训练点 在与椭圆的性质的类比中获得双曲线的性质，从而培养学生分析、归纳、推理等能力． (三)学科渗透点 使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线与方程的关系概念的理解，这样才干解决双曲线中的弦、最值等问题． 1．重点：双曲线的几何性质及初步运用． (解决办法：引导学生类比椭圆的几何性质得出，至于渐近线引导学生证明． ) 2．难点：双曲线的渐近线方程的导出和论证． (解决办法：先引导学生观察以原点为中心， 2a、2b 长为邻边的矩形的两条对角线，再论证这两条对角线即为双曲线的渐近线． ) 3．疑点：双曲线的渐近线的证明． (解决办法：通过详细讲解． ) 提问、类比、重点讲解、演板、讲解并归纳、小结． (一)复习提问引入新课 1．椭圆有哪些几何性质，是如何探讨的？ 请一同学回答．应为：范围、对称性、顶点、离心率，是从标准方程探讨的．
2．双曲线的两种标准方程是什么？ 再请一同学回答．应为：中心在原点、焦点在 x 轴上的双曲线的标 下面我们类比椭圆的几何性质来研究它的几何性质． (二)类比联想得出性质(性质 1~3) 引导学生完成下列关于椭圆与双曲线性质的表格(让学生回答，教师引导、启示、订正并板书)．<见下页> (三)问题之中导出渐近线(性质 4) 在学习椭圆时，以原点为中心， 2a、2b 为邻边的矩形，对于估计 仍以原点为中心， 2a、2b 为邻边作一矩形(板书图形)，那末双曲线和这个矩形有什么关系？这个矩形对于估计和画出双曲线简图(图 2-26)有什么指导意义？这些问题不要求学生回答，只引起学生类比联想． 接着再提出问题：当 a、b 为已知时，这个矩形的两条对角线的方程是什么？ 下面，我们来证明它：
双曲线的简单几何性质学案教案
双曲线的简单几何性质 课前预习学案 预习目标：⒈理解双曲线的简单几何性质； ⒉会用双曲线的性质解题. 提出疑惑： 同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中 课内探究学案 学习目标： ㈠知识目标：⒈会求双曲线的标准方程； 2.会用双曲线的几何性质解决有关问题. ㈡能力目标：⒈会利用双曲线的定义、性质解决有关问题； ⒉进一步加强数形结合思想； 学习重点：会利用双曲线的定义、性质解决有关问题 学习难点：直线与双曲线的位置关系的问题． 学习过程： 例1一椭圆其中心在原点，焦点在同一坐标轴上，焦距为13 2，一双曲线和这椭圆有公共焦点,且双曲线的半实轴比椭圆的长半轴长小4，且双曲线的离心率与 椭圆的离心率之比为7:3，求椭圆和双曲线的方程．（ 2222 1,1 493694 x y x y +=-=）
例2、过点(0,3)作直线l ，如果它与双曲线13 42 2=-y x 有且只有一个公共点，则直线l 的条数是____________________．.（4） 当堂检测： 1.设双曲线以椭圆 19 252 2=+y x 长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的斜率为 （ ） A ．2± B ．3 4 ± C ．21± D ．4 3± 2共轭双曲线的离心率分别为e 1与e 2，则e 1与e 2的关系为： （ ） A 、e 1=e 2 B 、e 1e 2=1 C 、 11121=+e e D 、11122 21=+e e 3若方程 152||22 =-+-k y k x 表示双曲线，则实数k 的取值范围是： （ ） A 、)5,2()2,( --∞ B 、)5,2(- C 、),5()2,(+∞--∞ D 、),5()2,2(+∞- （1. C ．2. D 、3. D 、） 五、课后练习与提高： 1.以下四个关于圆锥曲线的命题中： ①设A 、B 为两个定点，k 为非零常数，||||PA PB k -=，则动点P 的轨迹为双曲线； ②过定圆C 上一定点A 作圆的动点弦AB ，O 为坐标原点，若 1 (),2OP OA OB =+则动点P 的轨迹为椭圆； ③方程02522=+-x x 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率； ④双曲线 135 192522 22=+=-y x y x 与椭圆有相同的焦点. 其中真命题的序号为 （写出所有真命题的序号）
《双曲线的简单几何性质》说课稿(张勇)
《双曲线的简单几何性质》说课稿 西北师大附中数学组张勇 各位老师，大家好! 今天我说课的课题是《双曲线的简单几何性质》，我将从以下几个方面进行阐述: 一、教材分析 本节内容是人教社出版的全日制普通高级中学教科书（必修）《数学》第二册（上)第八章第四节第一课时,属于解析几何领域的知识。由曲线方程研究曲线的几何性质,是高中阶段解析几何所研究的主要问题之一。二次曲线：圆、椭圆、双曲线和抛物线是解析几何的主要研究对象,这四种曲线可以通过用不同的方式截圆锥得到,统称为圆锥曲线。在学习时,要注意挖掘它们之间的内在联系和区别,注意圆锥曲线之间的共同点与特殊性。本节课在学习了椭圆的简单几何性质基础上，通过类比椭圆的简单几何性质，探究、归纳出双曲线类似于椭圆的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率）；并且进一步探究出双曲线独有的几何性质（实轴、虚轴、渐近线）；也为后续研究抛物线的几何性质打下了基础。因此这节课在教材中起承上启下的作用,是培养学生利用曲线方程讨论曲线性质（即由数到形）的思想方法以及概括、归纳能力和逻辑思维能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力都有重要的意义。 二、学情分析与学生水平分析 1。学情分析：在此之前，学生已经学习了椭圆的标准方程和它的几何性质，并且类比、推导、归纳出了双曲线的标准方程，这节课将进一步研究、归纳出类似于椭圆几何性质的双曲线的几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）和双曲线独有的几何性质（实轴、虚轴、渐近线）。通过对双曲线性质的探究学习,可使学生在已有的知识结构的基础上,拓展延伸,构建新的知识体系；同时对由方程讨论曲线性质（即由数到形）的思想方法有更深刻的认识. 2。学生水平分析：我校学生是从全省各地招来的最优秀的学生,数学基础扎实，自主学习能力较高。在本节课的学习中，可以发挥学生的主观能动性，教师加以引导，完成本节课的教学. 三、教学目标 根据上面对教材的分析，并结合学生的认知水平和思维特点，确定本节课的教学目标：1。知识目标：使学生理解并初步掌握双曲线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线）。 2.能力目标:利用曲线方程研究曲线性质的基本方法构建新知识体系;通过与椭圆几何性质的对比来提高学生联想、类比、归纳的能力。 3。德育目标：培养学生运用数形结合的数学思想和方法解决问题的能力。使学生在成功的体验中获得成就感,进而激发学生学习数学的兴趣。 四、教学重点和难点 基于对教材的认识和对教学目标的确定，本节课的重点和难点如下： 1.重点：本课主要内容是双曲线的几何性质，因此本课重点是引导学生探求双曲线的几何性质，并运用类比及数形结合的思想来解决数学问题。 2。难点:双曲线的实轴和虚轴是区别于椭圆的长轴和短轴的概念，而渐进线的概念是双曲线所特有的，且渐进线定义是解析几何中第一次用极限的思想来进行证明的,因此这些都是本节课的难点。 五、教学方法 为突出重点、突破难点，使学生能达到本节设定的教学目标，我再从教法和学法上谈谈设计思路: 1。教法：本节课主要采用引导发现法, 通过师（生）不断地设（释）疑,揭示思维过程，将学生置于主体位置，发挥学生的主观能动性，将知识的形成过程转化为学生亲自探索、归纳的过程。
双曲线的简单几何性质总结归纳
双曲线的简单几何性质 1双曲线定义: ①到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（V I FF 2| ）的点的轨迹 2a F i F 2 （ a 为常数））这两个定点叫双曲线的焦点. ②动点到一定点F 的距离与它到一条定直线 I 的距离之比是常数 这定点叫做双曲线的焦点，定直线 I 叫做双曲线的准线 2、双曲线图像中线段的几何特征: ⑻焦点到渐近线的距离：虚半轴长 3双曲线标准方程的两种形式: c=Ja 2 b 2 ，焦点是 F 1 (- c , 0), F 2 (c , 0) c=M a 2 b 2 ，焦点是 F i (0,- c )、F 2 (0, c ) 4、双曲线的性质: 2 2 話-話=1(a >0, b >0) (PF j PF 2 e （ e > 1）时，这个动点的轨迹是双曲线 ⑴实轴长A 1A 2 2a , 虚轴长 2b,焦距 F i F 2 2c ⑵顶点到焦点的距离: ⑶顶点到准线的距离: ⑷焦点到准线的距离: ⑸两准线间的距离： AF i AK i K 1K 2 ⑹PF 1F 2中结合定义PF i 有关线段Ph 、PF 2、 A 2K 2 F 2K 2 2a 2 PF2I a , AF 2 2 —；I AK 2 c 2 —或 F 1K c A 2F 1 2a 与余弦定理cos F 1F 2和角结合起来, PF 1F 2 A 2K 1 F 2K 1 F 1PF 2, b 2 cot 2 a c — c F 1PF 2 PF ⑺离心率： e 丄■丄 Pg PM PF 1 A 1F 1 A 2F 2 A 1K 1 A 2K 2 2b 2 b 2 ⑼通径的长是乩，焦准距—，焦参数 a c —（通径长的一半）其中 c 2 a a 2 b 2 | PF 1I IPF 2 2a
2020高中数学 2.2.2 双曲线的简单几何性质(1)(含解析)
课时作业16 双曲线的简单几何性质（1) 知识点一由双曲线的标准方程研究几何性质 1。若直线x＝a与双曲线错误!－y2＝1有两个交点,则a的值可以是( ) A。4 B.2 C。1 D.－2 答案A 解析∵双曲线错误!－y2＝1中，x≥2或x≤－2, ∴若x＝a与双曲线有两个交点，则a>2或a<－2，故只有A选项符合题意． 2．双曲线错误!－错误!＝1的焦点到渐近线的距离为( ) A.2错误! B.2 C.错误!D。1 答案A 解析不妨取焦点（4,0)和渐近线y＝3x，则所求距离d＝错误!＝2错误!。故选A. 3．求双曲线4x2－y2＝4的顶点坐标、焦点坐标、实半轴长、虚半轴长、离心率和渐近线方程． 解把方程化为标准形式为错误!－错误!＝1， 由此可知,实半轴长a＝1,虚半轴长b＝2。
顶点坐标是（－1,0),（1，0）． c＝错误!＝错误!＝错误!, ∴焦点坐标是（－5，0)，（错误!,0)． 离心率e＝错误!＝错误!， 渐近线方程为错误!±错误!＝0，即y＝±2x。 知识点二求双曲线的离心率 4。下列方程表示的曲线中离心率为错误!的是（）A.错误!－错误!＝1 B.错误!－错误!＝1 C.错误!－错误!＝1 D。错误!－错误!＝1 答案B 解析∵e＝c a，c2＝a2＋b2， ∴e2＝错误!＝错误!＝1＋错误!＝错误!2＝错误!。 故错误!＝错误!，观察各曲线方程得B项系数符合,应选B。 5．已知F1，F2是双曲线错误!－错误!＝1(a>0，b>0)的两个焦点，PQ 是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，如果∠PF2Q＝90°，求双曲线的离心率． 解设F1（c,0），将x＝c代入双曲线的方程得错误!－错误!＝1，∴y ＝±错误!。 由｜PF2|＝｜QF2|，∠PF2Q＝90°， 知|PF1|＝｜F1F2|，
《双曲线的简单几何性质》第二课时参考教学方案
《双曲线的简单几何性质》第2课时 学生已经经历了根据椭圆的标准方程研究椭圆的简单几何性质的方法，并已学过了双曲线的定义及标准方程．类比椭圆的简单几何性质的推导过程，利用双曲线的标准方程，通过学生自我思考，得出结论，同学交流展示，得出与椭圆相近的几何性质．在整个过程中教师的作用仅是启发诱导，点拨释疑，补充完善．让学生不断地通过思考，动手，发现新知的同时，体会到学习中的成功感． 课时分配 本节内容分两课时完成． 第1课时讲解双曲线的简单几何性质，要求学生类比椭圆简单几何性质的研究方法来研究双曲线的简单几何性质；第2课时讲解运用双曲线的简单几何性质解题以及应用于实际生活中． 1．能应用双曲线的几何性质求双曲线方程； 2．应用双曲线知识解决生产中的实际问题． 教学重点：利用双曲线的性质求双曲线的标准方程． 教学难点：由渐近线求双曲线方程． 引入新课 复习回顾 (1)9y 2－16x 2 ＝144；(2) y 225－x 2 144＝－1. 方程(1)的焦距为______；虚轴长为______；渐近线方程是________________；方程(2)的焦点坐标为__________；实半轴长为______；渐近线方程是________________． 活动设计：学生独立完成． 活动成果：10 6 y ＝±43x (±13,0) 12 y ＝±512 x 设计意图：由题带出相应的知识点，既可以复习相关知识，又可以增加学生的成就感．达到了检测的目的，节省了时间，提高了课堂效率．
例题研讨，变式精析 1双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12 m ，上口半径为13 m ，下口半径为25 m ，高55 m ．选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程(精确到1 m )． 解：如图，建立直角坐标系xOy ，使小圆的直径AA ′在x 轴上，圆心与原点重合．这时，上下口的直径CC ′，BB ′都平行于x 轴，且|CC ′|＝13×2, |BB ′|＝25×2. 设双曲线方程为x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)，令点C 的坐标为(13，y )，则点B 的坐标为(25，y －55)． 因为点B ，C 在双曲线上，所以 由方程②得y ＝5b 12(负值舍去)，代入方程①，得 252 122－5b 12－552b 2＝1， 化简得19b 2＋275b －18 150＝0.③ 用计算器解方程③，得b ≈25. 所以，所求双曲线方程为x 2144－y 2 625 ＝1. 点评：此题既说明了双曲线的应用，同时又学习了如何根据条件确定双曲线标准方程中的a ，b ，从而得到双曲线的标准方程． 2点M (x ，y )与定点F (5,0)的距离和它到定直线l ：x ＝ 165的距离的比是常数54 ，求点M 的轨迹． 解：设d 是点M 到直线l ：x ＝165的距离，根据题意， 点M 的轨迹就是集合P ＝{M ||MF|d ＝54 }，
高中数学第2章平面解析几何2.6双曲线及其方程2.6.2双曲线的几何性质学案含解析第一册
2。6。2 双曲线的几何性质 学习目标核心素养 1．了解双曲线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等）．2．理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程．(重点） 3．能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题．（难点)1．通过对双曲线几何性质的学习，培养直观想象素养． 2．借助于几何性质的应用，提升逻辑推理,数学运算素养． 我们知道，椭圆是一条封闭的曲线，而双曲线是两支“开放式”的曲线，椭圆既是中心对称图形，又是轴对称图形，它具有四个顶点，离心率的范围是（0,1），它的大小决定着椭圆的扁圆程度；双曲线和椭圆有着相似之处，那双曲线又有怎样的性质呢？让我们一起对双曲线的性质进行探究吧！ 1．双曲线的几何性质 标准方程 错误!－错误!＝1 （a＞0，b＞0) 错误!－错误!＝1 (a＞0，b＞0）
性质 图形 焦点(－c,0），（c,0）(0，－c），(0，c）焦距2c 范围x≤－a或x≥a,y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 对称性对称轴：坐标轴;对称中心：原点 顶点A1(－a，0），A2（a,0)A1（0,－a),A2（0，a）轴 实轴:线段A1A2，长:2a;虚轴：线段B1B2， 长:2b；半实轴长：a，半虚轴长：b 离心率e＝错误!∈（1,＋∞) 渐近线y＝±错误!x y＝±错误!x 思考1：能否用a，b表示双曲线的离心率? ［提示］能。e＝c a＝错误!＝错误!． 思考2：离心率对双曲线开口大小有影响吗？满足什么对应关系? ［提示]有影响，因为e＝错误!＝错误!＝错误!，故当错误!的值越大，渐近线y＝错误!x的斜率越大，双曲线的开口越大,e也越大，所以e反映了双曲线开口的大小,即双曲线的离心率越大，它的
高中数学选修1-1：2.3.2双曲线的几何性质
双曲线的几何性质 [学习目标 ] 1.认识双曲线的简单几何性质，如范围、对称性、极点、渐近线和离心率等. 2.能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题. 3.能差别椭圆与双曲线的性质. 活动一知识梳理引入新课 知识点一双曲线的几何性质 x2y2y2x2 2－ 2＝12－ 2＝1标准方程a b a b (a>0， b>0)(a>0，b>0) 图形 范围 对称轴： ________. 对称性 对称中心： ________. 极点坐标 性质 实轴和虚轴线段 A1A2叫做双曲线的实轴；线段B1B2叫做双曲线的虚轴 渐近线 b a y＝± x y＝± x a b 离心率e＝c ， e∈ (1，＋∞ ) a 知识点二等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线叫做________.，它的渐近线是________. [思虑 ] (1) 椭圆与双曲线的离心率都是e，其范围同样吗？ (2)若双曲线确立，则渐近线确立吗？反过来呢？ 活动二数学应用 例 1 求双曲线 9y2－ 4x2＝－ 36 的极点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程 . 例 2求合适以下条件的双曲线的标准方程： 13 (1)一个焦点为 (0,13)，且离心率为5； 1 (2) 渐近线方程为y＝± x，且经过点A(2，－ 3). 2 例 3直线 l 在双曲线x2 －y2＝ 1 上截得的弦长为4，其斜率为2，求直线 l 的方程 . 32 例 4已知双曲线方程为2x2－y2＝2.
(1) 过定点 P(2,1)作直线l 交双曲线于P1， P2两点，当点P(2,1) 是弦 P1 P2的中点时，求此直 线方程； (2)过定点 Q(1,1)可否作直线 l，使 l 与此双曲线交于 Q1，Q2两点，且 Q 是弦 Q1Q2的中点？ 若存在，求出l 的方程；若不存在，请说明原因. 活动三讲堂反应单 22 x － y＝ 1 的焦点到渐近线的距离为________. 1.双曲线412 2.双曲线 mx2＋ y2＝ 1 的虚轴长是实轴长的 2 倍，则 m 的值为 ________. x2y2 3.双曲线16－9＝ 1 的渐近线方程为 ____________. 22 x y 4.已知双曲线C：a2－b2＝1的焦距为 10，点 P(2,1)在 C 的渐近线上，则双曲线 C 的方程为____________. 5.已知以双曲线 C 的两个焦点及虚轴的两个端点为极点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线 C 的离心率为 ________. 活动四讲堂小结 x2y2 1.渐近线是双曲线独有的性质.双方程联系亲密，把双曲线的标准方程a2－b2＝ 1(a>0 ， b>0)右侧的常数 1 换为 0，就是渐近线方程 .反之由渐近线方程ax±by＝0 变成 a2x2－b2y2＝λ(λ≠ 0)，再联合其余条件求得λ，可得双曲线方程 . 2.正确画出几何图形是解决分析几何问题的第一打破口.利用双曲线的渐近线来画双曲线特 别方便，并且较为精准，只需作出双曲线的两个极点和两条渐近线，就能画出它的近似图 形 .
双曲线的简单几何性质
双曲线的简单几何性质 【基础知识精讲】 1.双曲线22a x -22 b y ＝1的简单几何性质 (1)范围：｜x ｜≥a,y ∈R. (2)对称性：双曲线的对称性与椭圆完全相同，关于x 轴、y 轴及原点中心对称. (3)顶点：两个顶点A 1(-a,0),A 2(a,0)，两顶点间的线段为实轴，长为2a ，虚轴长为2b ，且c 2＝a 2+b 2 .与椭圆不同. (4)渐近线：双曲线特有的性质，方程y ＝±a b x ，或令双曲线标准方程22a x -22b y ＝1中 的1为零即得渐近线方程. (5)离心率e ＝ a c ＞1，随着e 的增大，双曲线张口逐渐变得开阔. (6)等轴双曲线(等边双曲线)：x 2 -y 2 ＝a 2 (a ≠0),它的渐近线方程为y ＝±x,离心率e ＝ 2. (7)共轭双曲线：方程22a x -22b y ＝1与22a x -22 b y ＝-1表示的双曲线共轭，有共同的渐近 线和相等的焦距，但需注意方程的表达形式. 注意： 1.与双曲线22a x -22b y ＝1共渐近线的双曲线系方程可表示为22a x -22 b y ＝λ(λ≠0且λ 为待定常数) 2.与椭圆22a x +22b y ＝1(a ＞b ＞0)共焦点的曲线系方程可表示为λ-22a x -λ -22 b y ＝1(λ ＜a 2 ,其中b 2 -λ＞0时为椭圆， b 2 ＜λ＜a 2 时为双曲线) 2.双曲线的第二定义 平面内到定点F(c,0)的距离和到定直线l :x ＝c a 2的距离之比等于常数e ＝a c (c ＞a ＞0) 的点的轨迹是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，焦准距(焦参数)p ＝ c b 2 ，与椭圆相同. 3.焦半径(22a x -22b y ＝1,F 1(-c,0)、F 2(c,0))，点p(x 0,y 0)在双曲线22a x -22 b y ＝1的右支 上时，｜pF 1｜＝ex 0+a,｜pF 2｜＝ex 0-a;