九年级上册数学第24章《圆》知识点梳理完整版

【学习目标】

九年级数学上册

第24 章《圆》知识点梳理

1.理解圆及其有关概念，理解弧、弦、圆心角的关系，探索并了解点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系，探索并掌握圆周角与圆心角的关系、直径所对的圆周角的特征；

2.了解切线的概念，探索并掌握切线与过切点的半径之间的位置关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线；

3.了解三角形的内心和外心，探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆；

4.了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积及全面积；

5.结合相关图形性质的探索和证明，进一步培养合情推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力；通过这一章的学习，进一步培养综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.

【知识网络】

【要点梳理】

要点一、圆的定义、性质及与圆有关的角

1.圆的定义

(1)线段 OA 绕着它的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的封闭曲线，叫做圆.

(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合.

要点诠释：

①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；

②圆是一条封闭曲线.

2.圆的性质

(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心

1 2

n

是圆心.

在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等.

(2) 轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴.

(3)垂径定理及推论：

①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. ②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. ③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.

④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦. ⑤平行弦夹的弧相等. 要点诠释：

在垂经定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径） 3. 两圆的性质

(1) 两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线.

(2) 相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点.

4. 与圆有关的角

(1) 圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角.

圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数. (2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角. 圆周角的性质：

①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.

②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等. ③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角. ④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. ⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角. 要点诠释：

(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交. (2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.

要点二、与圆有关的位置关系 1. 判定一个点 P 是否在⊙O 上

设⊙O 的半径为 ，OP= ，则有

点 P 在⊙O 外；

点 P 在⊙O 上； 点 P 在⊙O 内.

要点诠释：

点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系.

2. 判定几个点A 、A 、 A 在同一个圆上的方法 当

时， 在⊙O 上.

3. 直线和圆的位置关系

设⊙O 半径为 R ，点 O 到直线 的距离为 .

(1)直线和⊙O没有公共点直线和圆相离.

(2)直线和⊙O有唯一公共点直线和⊙O相切.

(3)直线和⊙O有两个公共点直线和⊙O相交.

4.切线的判定、性质

(1)切线的判定：

①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

②到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线.

(2)切线的性质：

①圆的切线垂直于过切点的半径.

②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点.

③经过切点作切线的垂线经过圆心.

(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长.

(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.

5.圆和圆的位置关系

设的半径为，圆心距.

(1) 和没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的外部外离

.

(2) 和没有公共点，且的每一个点都在内部内含

(3) 和有唯一公共点，除这个点外，每个圆上的点都在另一个圆外部外切

.

(4) 和有唯一公共点，除这个点外，的每个点都在内部内切.

(5)和有两个公共点相交.

要点三、三角形的外接圆与内切圆、圆内接四边形与外切四边形

1.三角形的内心、外心、重心、垂心

(1)三角形的内心：是三角形三条角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三

边的距离相等，通常用“I”表示.

(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，

直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常

用O 表示.

(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的 2倍，通常用

G 表示.

(4)垂心：是三角形三边高线的交点.

要点诠释：

(1)任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；

(2)解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，

即(S 为三角形的面积，P 为三角形的周长，r 为内切圆的半径). (3)

三角形的外心与内心的区别：

名称确定方法图形性质

外心(三角形外

三角形三边中垂线的

(1)OA=OB=OC ；(2)外心不一

接圆的圆心) 交点定在三角形内部

内心(三角形内三角形三条角平分线(1)到三角形三边距离相等；

切圆的圆心) 的交点(2)OA、OB、OC 分别平分∠

BAC、∠ABC、∠ACB； (3)内

心在三角形内部.

2.圆内接四边形和外切四边形

(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角.

(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等.

要点四、圆中有关计算

1.圆中有关计算

圆的面积公式：，周长.

圆心角为、半径为 R 的弧长.

圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积.

弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.

圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为 R，母线长为的圆柱的体积为，侧面积为，全面积为.

圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R ，母线长为，高为的圆锥的侧面积为，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有.

要点诠释：

(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，

即；

(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积 S、扇形半径 R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.

(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可

类比记忆；

(4)扇形两个面积公式之间的联系：.

【典型例题】

13 (1 + 1)2 + (0 - 3)2 OE 2 - EF 2 3 3 类型一、圆的基础知识

1．如图所示，△ABC 的三个顶点的坐标分别为 A (－1，3)、B (－2，－2)、C (4，－2)，则△ABC 外接圆半径的长度为 ．

【答案】 ；

【解析】由已知得 BC∥x 轴，则 BC 中垂线为 x =

-2 + 4 = 1

2

那么，△ABC 外接圆圆心在直线 x=1 上，

设外接圆圆心 P(1,a)，则由 PA=PB=r 得到：PA 2

=PB 2

即(1+1)2

+(a-3)2

=(1+2)2

+(a+2)2

化简得 4+a 2

-6a+9=9+a 2

+4a+4 解得 a=0

即△ABC 外接圆圆心为 P(1,0) 则 r = PA = = 【总结升华】 三角形的外心是三边中垂线的交点，由 B 、C 的坐标知：圆心 P （设△ABC 的外心为 P ）必在直线

x=1 上；由图知：BC 的垂直平分线正好经过（1，0），由此可得到 P （1，0）；连接 PA 、PB ，由勾股定理即可求得⊙P 的半径长．

类型二、弧、弦、圆心角、圆周角的关系及垂径定理

2．如图所示，⊙O 的直径 AB 和弦 CD 相交于点 E ，已知 AE ＝1cm ，EB ＝5cm ，∠DEB＝60°， 求 CD 的长．

【答案与解析】

作 OF⊥CD 于 F ，连接 OD ．∵ AE ＝1，EB ＝5，∴ AB ＝6． ∵ OA =

AB = 3 ，∴ OE ＝OA-AE ＝3-1＝2．

2

在 Rt△OEF 中，∵ ∠DEB＝60°，∴ ∠EOF＝30°， ∴ EF = 1

OE = 1 ，∴ OF = = ．

2

在 Rt△DFO 中，OF ＝ ，OD ＝OA ＝3，

13

OD 2 - OF 2

∵ OF⊥CD，∴ DF ＝CF ，∴ CD ＝2DF ＝ 2 cm ．

【总结升华】因为垂径定理涉及垂直关系，所以常常可以利用弦心距（圆心到弦的距离）、半径和半弦组成一个直

角三角形，用勾股定理来解决问题，因而，在圆中常作弦心距或连接半径作为辅助线，然后用垂弦定理来解题．作 OF⊥CD 于 F ，构造 Rt△OEF，求半径和 OF 的长；连接 OD ，构造 Rt△OFD，求 CD 的长．

举一反三：

【变式】如图，AB 、AC 都是圆 O 的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为 M 、N ，如果 MN ＝3，那么 BC ＝ ．

C

【答案】由 OM⊥AB，ON⊥AC，得 M 、N 分别为 AB 、AC 的中点（垂径定理），则 MN 是△ABC 的中位线，BC=2MN=6.

3．如图，以原点 O 为圆心的圆交 x 轴于点 A 、B 两点，交 y 轴的正半轴于点 C ，D 为第一象限内⊙O 上的一点，

若∠DAB = 20°，则∠OCD = ．

y

C

D

A

O

B

x

（第 3 题）

【答案】65°.

【解析】连结 OD ，则∠DOB = 40°，设圆交 y 轴负半轴于 E ，得∠DOE= 130°，∠OCD =65°. 【总结升华】根据同弧所对圆周角与圆心角的关系可求. 举一反三：

【变式】（2015•黑龙江）如图，⊙O 的半径是 2，AB 是⊙O 的弦，点 P 是弦 AB 上的动点，且 1≤OP ≤2，则弦 AB 所对的圆周角的度数是（

）

A ．60°

B ．120°

C ．60°或 120°

D ．30°或 150°

【答案】C.

【解析】作 OD ⊥AB ，如图，

N O A

M

B

∴ DF = = 32 - ( 3)2 = 6 (cm)．

6

∵点P 是弦AB 上的动点，且1≤OP≤2，

∴OD=1，

∴∠OAB=30°，

∴∠AOB=120°，

∴∠AEB= ∠AOB=60°，

∵∠E+∠F=180°，

∴∠F=120°，

即弦AB 所对的圆周角的度数为60°或120°．故选C．

类型三、与圆有关的位置关系

4．如图，在矩形 ABCD 中，点O 在对角线 AC 上，以OA 的长为半径的圆 O 与AD、AC 分别交于点 E、F，且∠ACB= ∠DCE．请判断直线 CE 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论.

【答案与解析】

直线 CE 与⊙O相切

理由：连接 OE

∵OE=OA

∴∠OEA=∠OAE

∵四边形 ABCD 是矩形

∴∠B=∠D=∠BAD=90°，BC∥AD,CD=AB

∴∠DCE+∠DEC=90°, ∠ACB=∠DAC

又∠DCE=∠ACB

∴∠DEC+∠DAC=90°

∵OE=OA

∴∠OEA=∠DAC

∴∠DEC+∠OEA=90°

∴∠OEC=90°

∴OE⊥EC

∴直线 CE 与⊙O相切.

【总结升华】本题考查了切线的判定：经过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线．

举一反三：

【变式】如图，P 为正比例函数图象上的一个动点，的半径为3，设点P 的坐标为(x、y).

(1)求与直线相切时点P 的坐标.

(2)请直接写出与直线相交、相离时 x 的取值范围.

【答案】(1)过作直线的垂线，垂足为.

当点在直线右侧时，，得，

(5，7.5).

当点在直线左侧时，，得，

( ，).

当与直线相切时，

点的坐标为(5，7.5)或( ，).

(2)当时，与直线相交.

当或时，与直线相离.

类型四、圆中有关的计算

5．（2015•丽水）如图，在△ABC 中，AB=AC，以AB 为直径的⊙O 分别与BC，AC 交于点D，E，过点D 作⊙O 的切线DF，交AC 于点F．

（1）求证：DF⊥AC；

（2）若⊙O 的半径为4，∠CDF=22.5°，求阴影部分的面积．

【答案与解析】

（1）证明：连接OD，

∵OB=OD，

∴∠ABC=∠ODB，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB，

∴∠ODB=∠ACB，

∴OD∥AC，

∵DF 是⊙O 的切线，

∴DF⊥OD，

∴DF⊥AC．

（2）解：连接OE，

∵DF⊥AC，∠CDF=22.5°，

∴∠ABC=∠ACB=67.5°，

∴∠BAC=45°，

∵OA=OE，

∴∠AOE=90°，

∵⊙O 的半径为4，

∴S 扇形AOE=4π，S△AOE=8 ，

∴S 阴影=4π﹣8．

【总结升华】本题主要考查了切线的性质，扇形的面积与三角形的面积公式，圆周角定理等，作出适当的辅助线，利用切线性质和圆周角定理，数形结合是解答此题的关键．

类型五、圆与其他知识的综合运用

6．如图(1)是某学校存放学生自行车的车棚示意图(尺寸如图(1))，车棚顶部是圆柱侧面的一部分，其展开图是矩形．图(2)是车棚顶部截面的示意图， AB 所在圆的圆心为 O ．车棚顶部用一种帆布覆盖，求覆盖棚顶的帆布的面积(不考虑接缝等因素，计算结果保留 π)．

【答案与解析】

连接 OB ，过点 O 作 OE⊥AB，垂足为 E ，交 AB 于点 F ，如图(2)． 由垂径定理，可知 E 是 AB 中点，F 是 AB 的中点，

∴ AE

= 1

AB = 2 2

，EF ＝2．

设半径为 R 米，则 OE ＝(R-2)m ．

在 Rt△AOE 中，由勾股定理，得 R 2 = (R - 2)2 + (2 3)2 ． 解得 R ＝4．

∴ OE ＝2，

OE = 1

AO ，∴ ∠AOE＝60°，∴ ∠AOB＝120°．

2

∴ AB 的长为

120 ⨯ 4π = 8

π(m)． 180 3 ∴ 帆布的面积为 8π⨯ 60 = 160π(m 2

)．

3

【总结升华】本题以学生校园生活中的常见车棚为命题背景，使考生在考场上能有一种亲切的感觉，这也体现了中

考命题贴近学生生活实际的原则．求覆盖棚顶的帆布的面积，就是求以 AB 为底面的圆柱的侧面积．根据题意，应先求出 AB 所对的圆心角度数以及所在圆的半径，才能求 AB 的长．

举一反三：

【变式】某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道圆形截面的半径，如图所 示是水平放置的破裂管道有水部分的截面.

①请你补全这个输水管道的圆形截面图；

②若这个输水管道有水部分的水面宽 AB=16cm ，水最深的地方的高度为 4cm ，求这个圆形截面 的半径.

【答案】①作法略.如图所示.

3

②如图所示，过 O 作OC⊥AB于D，交于 C，

∵ OC⊥AB，

∴.

由题意可知，CD=4cm.

设半径为x cm，则.

在Rt△BOD中，由勾股定理得：

∴.

∴.

即这个圆形截面的半径为 10cm.

圆的基本概念和性质

【学习目标】

1.知识目标：在探索过程中认识圆，理解圆的本质属性；

2.能力目标：了解圆及其有关概念，理解弦、弧、半圆、优弧、劣弧、同心圆、等圆、等弧等与圆有关的概念，

理解概念之间的区别和联系；

3.情感目标：通过圆的学习养成学生之间合作的习惯.

【要点梳理】

要点一、圆的定义及性质

1.圆的定义

(1)动态：如图，在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点 O 叫做圆心，线段 OA 叫做半径. 以点 O 为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．

要点诠释：

①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；

②圆是一条封闭曲线.

(2)静态：圆心为 O，半径为 r 的圆是平面内到定点 O 的距离等于定长 r 的点的集合.

要点诠释：

①定点为圆心，定长为半径；

②圆指的是圆周，而不是圆面；

③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面.

2.圆的性质

①旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是

圆心；

②圆是轴对称图形：任何一条直径所在直线都是它的对称轴.或者说，经过圆心的任何一条直线都是圆的对称轴.

要点诠释：

①圆有无数条对称轴；

②因为直径是弦，弦又是线段，而对称轴是直线，所以不能说“圆的对称轴是直径”，而应该说“圆的对称轴是直径所在的直线”.

3.两圆的性质

两个圆组成的图形是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线（经过两圆圆心的直线叫做两圆连心线）.

要点二、与圆有关的概念

1.弦

弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.

直径：经过圆心的弦叫做直径.

弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.

要点诠释：

直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.

为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 中任意一条弦，求证：AB≥CD.

证明：连结OC、OD

2.弧∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD 过圆心O 时，取“=”号) ∴直径AB 是⊙O 中最长的弦.

弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.

半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；

优弧：大于半圆的弧叫做优弧；

劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.

要点诠释：

①半圆是弧，而弧不一定是半圆；

②无特殊说明时，弧指的是劣弧.

3.同心圆与等圆

圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.

圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等.

4.等弧

在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.

要点诠释：

①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；

②圆中两平行弦所夹的弧相等.

【典型例题】

类型一、圆的定义

1．（2014 秋•邳州市校级月考）如图所示，BD，CE 是△ABC 的高，求证：E，B，C，D 四点在同一个圆上．

【思路点拨】要证几个点在同一个圆上，就是证明这几个点到同一点的距离都相等即可.

【答案与解析】

证明：如图所示，取BC 的中点F，连接DF，EF．

∵BD，CE 是△ABC 的高，

∴△BCD 和△BCE 都是直角三角形．

∴DF，EF 分别为Rt△BCD 和Rt△BCE 斜边上的中线，

∴DF=EF=BF=CF．

∴E，B，C，D 四点在以F 点为圆心，BC 为半径的圆上．

【总结升华】要证几个点在同一个圆上，只能依据圆的定义，去说明这些点到平面内某一点的距离相等.

举一反三：

【变式】下列命题中，正确的个数是（）

⑴直径是弦，但弦不一定是直径；⑵半圆是弧，但弧不一定是半圆；

⑶半径相等且圆心不同的两个圆是等圆；⑷一条弦把圆分成的两段弧中，至少有一段是优弧.

A.1 个

B.2 个

C.3 个

D.4 个

【答案】⑴、⑵、⑶是正确的，⑷是不正确的.故选 C.

类型二、圆及有关概念

2．判断题(对的打√，错的打×，并说明理由)

①半圆是弧，但弧不一定是半圆；（）

②弦是直径；（）

③长度相等的两段弧是等弧；（）

④直径是圆中最长的弦. （）

【答案】①√ ②× ③× ④√.

【解析】①因为半圆是弧的一种，弧可分为劣弧、半圆、优弧三种，故正确；②直径是弦，但弦不一定都是直径，

只有过圆心的弦才是直径，故错；③只有在同圆或等圆中，长度相等的两段弧才是等弧，故错；④直径是圆中最长的弦，正确.

【总结升华】理解弦与直径的关系，等弧的定义.

举一反三：

【变式】（2014•长宁区一模）下列说法中，结论错误的是（

）

A ．直径相等的两个圆是等圆

B ．长度相等的两条弧是等弧

C ．圆中最长的弦是直径

D ．一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能是等弧

【答案】B.

提示：A 、直径相等的两个圆是等圆，正确，不符合题意；

B 、长度相等的两条弧圆周角不一定相等，它们不一定是等弧，原题的说法是错误的，符合题意；

C 、圆中最长的弦是直径，正确，不符合题意；

D 、一条直径把圆分成两条弧，这两条弧是等弧，正确，不符合题意，

故选：B ．

3．直角三角形的三个顶点在⊙O 上，则圆心 O 在 .......................

【答案】斜边的中点.

【解析】根据圆的定义知圆心 O 到三角形的三个顶点距离相等，由三角形斜边的中线等于斜边的一半可知，斜边上的中点到各顶点的距离相等.

【总结升华】圆心到圆上各点的距离相等. 4．判断正误：有 AB 、C D ， AB 的长度为 3cm, C D 的长度为 3cm ，则 AB 与C D 是等弧.

【答案】错误.

【解析】“能够完全重合的弧叫等弧”.在半径不同的圆中也可以出现弧的长度相等，但它们不会完全重合，因此， 只有在同圆或等圆中，长度相等的弧才是等弧.

【总结升华】在同圆或等圆中，长度相等的弧才是等弧.

举一反三：

【变式】有的同学说：“从优弧和劣弧的定义看，大于半圆的弧叫优弧，小于半圆的弧叫劣弧，所以优弧一定比劣 弧长.”试分析这个观点是否正确.

甲同学：此观点正确，因为优弧大于半圆，劣弧小于半圆，所以优弧比劣弧长.

乙同学：此观点不正确，如果两弧存在于半径不相等的两个圆中，如图，⊙O 中的优弧 AmB ，

中的劣弧

C D ，它们的长度大小关系是不确定的，因此不能说优弧一定比劣弧长.

请你判断谁的说法正确？

【答案】弧的大小的比较只能是在同圆或等圆中进行. 乙的观点正确.

类型三、圆的对称性

5．已知：如图，两个以 O 为圆心的同心圆中，大圆的弦 AB 交小圆于 C，D．求证：AC=BD．

【答案与解析】证明：过 O 点作OM⊥AB于M，交大圆与 E、F 两点.如图，

则EF 所在的直线是两圆的对称轴，

所以 AM=BM，CM=DM，

故AC=BD.

【总结升华】作出与AB垂直的圆的对称轴，由圆的对称性可证得结论.

垂径定理

【学习目标】

1.理解圆的对称性；

2.掌握垂径定理及其推论；

3.利用垂径定理及其推论进行简单的计算和证明.

【要点梳理】

知识点一、垂径定理

1.垂径定理

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.

2.推论

平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

要点诠释：

(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即

(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.

知识点二、垂径定理的拓展

根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：

（2）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（3）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

OD 2 + AD 2 42 + 32 （4） 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.

要点诠释：

在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）

【典型例题】

类型一、应用垂径定理进行计算与证明

1．如图，AB 是⊙O 的弦，半径 OC⊥AB 于点 D ，且 AB ＝6 cm ，OD ＝4 cm ，则 DC 的长为（ ）

A ．5 cm

B ．2.5 cm

C ．2 cm

D ．1 cm

【思路点拨】

欲求 CD 的长，只要求出⊙O 的半径 r 即可，可以连结 OA ，在 Rt△AOD 中，由勾股定理求出 OA.

【答案】D ；

【解析】连 OA ，由垂径定理知 AD = 1

AB = 3cm ， 2

所以在 Rt△AOD 中， AO = = = 5 （cm ）．

所以 DC ＝OC －OD ＝OA －OD ＝5－4＝1（cm ）.

【点评】主要是解由半径、弦的一半和弦心距（圆心到弦的垂线段的长度）构成的直角三角形。

举一反三：

【变式】如图，⊙O 中，弦 AB⊥弦 CD 于 E ，且 AE=3cm ，BE=5cm ，求圆心 O 到弦 CD 距离。

【答案】1cm ．

2．（2015•巴中模拟）如图，AB 为半圆直径，O 为圆心，C 为半圆上一点，E 是弧 AC 的中点，OE 交弦 AC 于点 D ，若 AC=8cm ，DE=2cm ，求 OD 的长．

【答案与解析】

解：∵E 为弧 AC 的中点，

∴OE ⊥AC ，

3 ∴AD= AC=4cm ，

∵OD=OE ﹣DE=（OE ﹣2）cm ，OA=OE ，

∴在 Rt △OAD 中，OA 2=OD 2+AD 2 即 OA 2=（OE ﹣2）2+42，

又知 0A=OE ，解得：OE=5，

∴OD=OE ﹣DE=3cm ．

【点评】主要是解由半径、弦的一半和弦心距（圆心到弦的垂线段的长度）构成的直角三角形.

举一反三：

【变式】已知：如图，割线 AC 与圆 O 交于点 B 、C ，割线 AD 过圆心 O. 若圆 O 的半径是 5，且∠DAC = 30︒

，

AD=13. 求弦 BC 的长.

【答案】6.

类型二、垂径定理的综合应用

3．如图 1，某公园的一座石拱桥是圆弧形(劣弧)，其跨度为 24m ，拱的半径为 13m ，则拱高为（ ）

A ．5m

B ．8m

C ．7m

D ． 5 m

【思路点拨】

解决此题的关键是将这样的实际问题转化为数学问题，即能够把题目中的已知条件和要求的问题转化为数

学问题中的已知条件和问题．

【答案】B ；

【解析】如图 2，

AB 表示桥拱，弦 AB 的长表示桥的跨度，C 为 AB 的中点， CD⊥AB 于 D ，CD 表示拱高，O 为

AB 的圆心，根据垂径定理的推论可知，

C 、

D 、O 三点共线，且 OC 平分 AB ．

在 Rt△AOD 中，OA ＝13，AD ＝12，则 OD 2＝OA 2－AD 2＝132－122＝25．

∴ OD ＝5，

∴ CD ＝OC －OD ＝13－5＝8，即拱高为 8m ．

【点评】在解答有关弓形问题时，首先应找弓形的弧所在圆的圆心，然后构造直角三角形，运用垂径定理（推论）

及勾股定理求解.

4．（2015•蓬溪县校级模拟）如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB 是河底线，弦CD 是水位线，CD∥AB，且AB=26m，OE⊥CD 于点E．水位正常时测得OE：CD=5：24

（1）求CD 的长；

（2）现汛期来临，水面要以每小时4m 的速度上升，则经过多长时间桥洞会刚刚被灌满？

【答案与解析】

解：（1）∵直径AB=26m，

∴OD= ，

∵OE⊥CD，

∴，

∵OE：CD=5：24，

∴OE：ED=5：12，

∴设OE=5x，ED=12x，

∴在Rt△ODE 中（5x）2+（12x）2=132，

解得x=1，

∴CD=2DE=2×12×1=24m；

（2）由（1）得OE=1×5=5m，

延长OE 交圆O 于点F，

∴EF=OF﹣OE=13﹣5=8m，

∴，即经过2小时桥洞会刚刚被灌满．

【点评】此题主要考查了垂径定理的应用以及勾股定理等知识，求阴影部分面积经常运用求出空白面积来解决．举一反三：

【变式】有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图所示，正常水位下水面宽 AB=60m，水面到拱顶距离 CD=18m，当洪水泛滥时，水面距拱顶不超过 3m 时拱桥就有危险，现在水面宽 MN=32m 时是否需要采取紧急措施？请说明理由．

【答案】不需要采取紧急措施

设OA=R，在Rt△AOC中，AC=30，OC=OD-CD=R-18，

R2=302+(R-18)2，R2=900+R2-36R+324，

解得 R=34(m).

连接 OM，设 DE=x，在Rt△MOE中，ME=16，

342=162+(34-x)2，

x2-68x+256=0，

解得 x1=4，x2=64(不合题意，舍)，

∴DE=4m＞3m，

∴不需采取紧急措施．

弧、弦、圆心角、圆周角

【学习目标】

1.了解圆心角、圆周角的概念；

2.理解圆周角定理及其推论，能灵活运用圆周角的定理及其推理解决有关问题；

3.掌握在同圆或等圆中，三组量：两个圆心角、两条弦、两条弧，只要有一组量相等，就可以推出其它两组量对应

相等，及其它们在解题中的应用．

【要点梳理】

要点一、弧、弦、圆心角的关系

1.圆心角定义

如图所示，∠AOB 的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．

2.定理：

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．

3.推论：

在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相

等．在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相

等．

要点诠释：

(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；

(2)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.

要点二、圆周角

1.圆周角定义：

像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB 这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．

2.圆周角定理：

在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．

3.圆周角定理的推论：

半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．

要点诠释：

(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.

(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.

4.圆内接四边形：

（1）定义: 圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形．

（2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）．

5.弦、弧、圆心角、弦心距的关系：

在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等)。

*如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等。

【典型例题】

类型一、圆心角、弧、弦之间的关系及应用

1.如图，在⊙O中，，求∠A的度数.

【答案与解析】

.

【总结升华】在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的圆周角相等，所对的弦也相等．

举一反三：

【变式】如图所示，中弦AB=CD，求证：AD=BC.