高等代数(北大版)第5章习题参考答案.doc
第五章
二次型
1．用非退化线性替换化下列二次型为标准形，并利用矩阵验算所得结果。
1）
4 x 1 x 2
2 x 1 x
3 2x 2 x 3 ；
2） x 12 2 x 1 x 2 2x 22 4x 2 x 3 4x 32 ；
3） x 12 3x 22 2x 1 x 2
2x 1 x 3 6x 2 x 3 ；
4） 8x 1 x 4 2x 3 x 4 2x 2 x 3 8x 2 x 4 ；
5） x 1 x 2
x 1 x 3 x 1 x 4 x 2 x 3 x 2 x 4
x 3 x 4 ；
6） x 12 2 x 22 x 42 4x 1 x 2 4x 1 x 3 2x 1 x 4 2x 2 x 3 2x 2 x 4 2 x 3 x 4 ；
7） x 2
x 2
x 2 x 2
2x 1
x
2 2x 2 x
3 2x x
4 。
1
2
3
4
3
解1）已知
f x 1 , x 2 , x 3 4x 1 x 2 2x 1x 3 2x 2 x 3 ，
先作非退化线性替换
x 1 y 1 y 2
x 2 y 1 y 2
（ 1）
x 3
y 3
则
f x 1 , x 2 , x 3
4 y 12 4y 22 4 y 1 y 3
4y 2 4y y
y 2 y 2 4y
2
1
1 3
3
3
2
2 y 1 3
y 32 4 y 22 ，
y 3
再作非退化线性替换
y 1
1
z 1 1
z 3
2 2
y 2
z 2
（ 2）
y 3 z 3
则原二次型的标准形为
f x 1 , x 2 , x 3
z 12 4z 22 z 32 ，
最后将（ 2）代入（ 1），可得非退化线性替换为
x 1
1
z 1 z 2 1
z 3
2 2
x 2
1 z
2 1 （ 3）
z 1 z 3
2 2 x 3
z 3
于是相应的替换矩阵为
1 0
1 1 0 1
1 1 0
2 2
2
2
T
1 1 0 1 1 1 1
0 0 2 ，
1 0 0 1
2
1
且有
1 0 0 T AT
0 4 0 。
0 1
2 ）已知 f x 1 , x 2 , x
3 x 12 2x 1 x 2 2x 22
4 x 2 x 3 4x 32 ，
由配方法可得
f x , x , x
x 2 2x x
2
x 2
x 2
4x x
3
4x 2
1
2
3
1
1
2
2
2
3
x 1 x 2
2
x 2 2x 3
2 ，
于是可令
y 1 x 1 x 2 y 2 x 2 2x 3 ，
y 3
x 3
则原二次型的标准形为
f x , x 2 , x
3 y 2 y 2 ，
1
1
2
且非退化线性替换为
x1 y1 y2 2 y3
x2 y2 2y3 ，
x3 y3
相应的替换矩阵为
1 1 2
T 0 1 2 ，
0 0 1
且有
1 0 0 1 1 0 1 1
2 1 0 0
T AT 1 1 0 1 2 2 0 1 2 0 1 0 。
2 2 1 0 2 4 0 0 1 0 0 0
（ 3）已知f x , x , x
3 x 2 3x 2 2x
1
x
2
2x x
3
6x x ，
1 2 1 2 1 2 3
由配方法可得
f x1 , x2 , x3 x12 2x1 x2 2x1 x3 2x2 x3 x22 x32 4x22 4x2 x3 x32
x1 x2 x3 2 2x2 x3 2 ，
于是可令
y1 x1 x2 x3
y2 2x2 x3 ，
y3 x3
则原二次型的标准形为
f x1 , x2 , x3 y12 y22，
且非退化线性替换为
x1 y1 1
y2
3
y3 2 2
x2 1 y2 1 y3 ，
2 2
x3 y3
相应的替换矩阵为
1 3 1
2 2
1
1
T 0
，
2 2
0 0 1
且有
1 1
3
1 0 0 1 1 1 2
2 1 0 0
1
1
1 3
3 0
1
1 0 1 0 。 T AT
2 2
2 2
1
3
0 0
0 0
3 1 1 0
1
2
2
（ 4）已知 f x 1 , x 2 , x 3 , x 4
8x 1 x 2 2x 3 x 4 2x 2 x 3 8x 2 x 4 ，
先作非退化线性替换
x 1 y 1 y 4
x 2 y 2 x 3
y 3
x 4 y 4
则
，
f x , x 2
, x , x
4
8y y
4
8 y
2
2 y 3
y
4 2y 2
y
3 8 y 2
y
4
1
3 1 4
2
8 y 4
2
2 y 4
1
y 1
1
y 2 1
y 3 1
y 1 1 y 2 1
y 3
2
2
8
2 2 8
8 1 y 1
1
y 2
1
y 3
2
2 y 2 y 3
2
2 8
8 1 y 1
1
y 2
1
y 3
2
1
y 3
2
y 4
2 y 1 y 2
2 y 2 y
3 ，
2
2
8 4
再作非退化线性替换
y 1 z 1
y 2
z 2 z
3 ，
y 3 z 2 z 3
y 4
z 4
则
8 1 z 1
5
z 2
2
5
z 2
2
f x 1 , x 2 , x 3 , x 4 3
z 3 z 4
2 z 1
3
z 3
2 8
8 4
4
2z 22
2z 32 ，
再令
w 1
z 1 5
x 2 3
x 3
4 4
w 2 z 2
，
w 3 z 3
w 4
1 5 3 z 1
z 2
z 3 z 4
2
8
8
则原二次型的标准形为
f x 1 , x 2 , x 3 , x 4
2w 12 2w 22 2w 32 8w 42 ，
且非退化线性替换为
1
5
3
x 1 2
w
1
4
w
2
4
w 3
w
4
x 2 w 2 w 3
，
x 3 w 2 w 3 x 4
1 w 1 w 4
2
相应的替换矩阵为
1 5 3 1
2 4 4 0 0 1 1 T
1 1 ，
0 0 1 0
1
2
且有
2 0 0 0 0 2 0 0
T AT
0 2 。
0 0 0
0 8
（ 5）已知 f x 1 , x 2 , x 3 , x 4
x 1 x 2 x 1 x 3 x 1 x 4 x 2 x 3 x 2 x 4 x 3 x 4 ，
先作非退化线性替换
x 1 2 y 1 y 2 x 2 y 2
，
x 3 y 3 x 4
y 4
则
f x 1 , x 2 , x 3 , x 42 y 1 y 2 y 22
2 y 1 y
3 2 y 2 y 3
2 y 1 y 4 2y 2 y 4 y
3 y 4
2
3
y 42
y 1
y 2
y 3
y 4
2 y 3
1
y 4
y 12 ，
2
4
再作非退化线性替换
z 1 y 1 z 2 y 1 y 2 y 3 y 4
z 3
y 3 1 y ，
4
2
z 4
y 4
即
y 1 z 1
y 2
z 1 z 2 z 3 1 z 4
2
，
1
z 4
y 3
z 3
2
y 4
z 4
则原二次型的标准形为
f x 1 , x 2 , x 3 , x 4
z 12
z 2
2
z 32
3
z 42 ，
4
且非退化线性替换为
x 1 z 1 z 2
z 3
1
z 4
2
x 2
z 1 z 2 z 3
1
z 4
，
1
2
x 3 z 3 z 4 2 x 4
z 4
相应的替换矩阵为
1 1 1 1 2
T
1 1 1
1
2 ，0 0 1
1
2
0 0 0 1
且有
1 0 0 0
T AT 0 1 0 0
0 0 1 0 。
0 0 0
3
4
（ 6）已知f x1 , x2 , x3 , x4 x12 2x22 x42 4x1x2 4x1x3 2x1 x4
2x2 x3 2x2 x4 2x3 x4，
由配方法可得
f x1 , x2 , x3 , x4 x 2 2x 2x
2 2x
3
x 2x
2
2x x 2
1 1 4 3 4
2x2 2x3 x4 2 2x22 x42 2 x2 x3 2x2 x4 2x3 x4
3 1 2
1
x1 2x2 2x3 x4 2
2 x2
2
，
2
x
3 2
x
4 2
x
3 x4
于是可令
y1 x1 2x2 2x3 x4
y2 x2 3
x3
1
x4
，2 2
y3 x3 x4
y4 x4
则原二次型的标准形为
f y12 2 y221
y32，2
且非退化线性替换为
x 1 y 1 2y 2 y 3 y 4
x 2
y 2 3
y 3 y 4 ，
2 x 3
y 3 y 4
x 4
y 4
故替换矩阵为
1 2
1 1
0 1
3 1
T
2
，
0 0
1
1
0 0
1
且有
1
0 0 0 T AT
2 0 0
0 0
1 0 。
2
（ 7）已知 f x 1 , x 2 , x 3 , x 4 x 12 x 22 x 32 x 42 2x 1 x 2
2x 2 x 3 2x 3 x 4 ，
由配方法可得
f x 1 , x 2 , x 3 , x 4
x 22 2x 2 x 1
x 3
x 1
2
2x 1x 3 2x 3 x 4 x 42
x 3
x 1 x 2 x 3 2
2 x 1 x 3
x 32 2x 3 x 4 x 42
x 32
x 1 x 2 x 3 2
x 3 x 4 2 2x 1 x 3
x 32 x 12 x 12
x 2
x x
2 x
2
x
3
x
2
x x
2 ，
1
1
3
4
1
3
于是可令
y 1 x 1
y 2
x 1 x 2 x
3 ，
y 3 x 3 x 4
y 4
x 1 x 3
则原二次型的标准形为
f
y 12 y 22 y 22 y 42 ，
且非退化线性替换为
x 1 y 1
x 2 y 2 y 4
，
x 3 y 1 y 4
x 4
y 1 y 3 y 4
相应的替换矩阵为
1 0 0 0 0 1 0 1 T
0 0 ，
1 1 1
0 1
1
且有
1 0 0 0 0 1 0 0
T AT
0 1 。
0 0 0 0 0
1
（Ⅱ）把上述二次型进一步化为规范形，分实系数、复系数两种情形；并写出所作的非
退化线性替换。
解 1 ）已求得二次型
f x 1 , x 2 , x 3
4x 1x 2 2x 1 x 3 2x 2 x 3
的标准形为
f
y 12 4 y 22 3y 32 ，
且非退化线性替换为
x 1
1
y 1 y 2 1
y 3
2
2
x 2
1
y 1 y 2 1
y 3 ，
2 2
x 3
y 3
（ 1） 在实数域上，若作非退化线性替换
y 1 z 3 y 2
1
z 2 ，
2 y 3
z 1
可得二次型的规范形为
f z12 z22 z32。
（ 2）在复数域上，若作非退化线性替换
y1 iz1
y2 1
z2，2
y3 z1
可得二次型的规范形为
f z12 z22 z32。
2）已求得二次型
f x1 , x2 , x3 x12 2x1 x2 2 x22 4x2 x3 4x32 的标准形为
f y12y22，
且非退化线性替换为
x1 y1 y2 2 y3
x2 y2 2 y3 ，
x3 y3
故该非退化线性替换已将原二次型化为实数域上的规范形和复数域上的规范形
f y12y22。
3）已求得二次型
f x1 , x2 , x3x123x222x1 x22x1 x36x2 x3
的标准形为
f y12y22，
且非退化线性替换为
x 1 y 1
1 y
2 3
y 3
2
2 1 y 2 1 x 2 y
3 ， 2 2 x 3 y 3
（ 1） 在实数域上，上面所作非退化线性替换已将二次型化为规范形，即
f
y 12
y 22 。
（ 2） 在复数域上，若作非退化线性替换
y 1 z 1
y 2 iz 2 。 y 3
z 3
可得二次型的规范形为
f
z 12
z 22 。
（ 3） 已求得二次型
f x 1, x 2 , x 3 , x 4 8x 1x 2
2x 3 x 4 2x 2 x 3 8x 2 x 4
的标准形为
f
2 y 2 2 y 2 2y 2 8 y 2 ，
1
2
3
4
且非退化线性替换为
1
5
3
x 1
2
y
1
4
y
2
4
y 3
y
4
x 2 y 2 y 3 ，
x 3 y 2 y 3
x 4
1 y 1 y 4
2
（ 1） 在实数域上，若作非退化线性替换
1
y1z4
1
y2z2
2
，
1
y3z3
1
y4z1
2 2
可得二次型的规范形为
f z2 z 2 z2 z 2 。
1 2 3 2
（ 2）在复数域上，若作非退化线性替换
y1 i z1
2
y2 1 z2
2 ，
i
y3 z3
2
y4 1 z4
2 2
可得二次型的规范形为
f z12 z22 z32 z22。
（ 5）已求得二次型
f x1 , x2 , x3 , x4x1 x2x1x3 x1 x4x2 x3x2 x4x3 x4
的标准形为
f y12 y22 y323
y42，4
且非退化线性替换为
1 x1 y1 y
2 y
3 2y
4
x2 y1 y2 y3 1
y4
，
1 y4 2
x3 y3
2 x4 y4
（ 1）在实数域上，若作非退化线性替换
y1 z2
y2 z1
y3 z3 ，
y4 2 z4
3
可得二次型的规范形为
f z2 z 2 z 2 z 2 。
1 2 3 4
（ 2）在复数域上，若作非退化线性替换
y1 iz1
y2 z2
y3 iz3 ，
y4 2
iz4 3
可得二次型的规范形为
f z 2z 2z 2 z 2 。
1 2 3 4
6 ）已求得二次型
f x1 , x2 , x3 , x4 x12 2x22 x42 4 x1 x2 4x1 x3 2x1x4
2x2 x3 2x2 x4 2x3 x4
的标准形为
f y12 2y22 1
y32，2
且非退化线性替换为
x1 y1 2 y2 y3 y4
x2 y2 3
y3 y4
。2
x3 y3 y4
x4 y4
（ 1）在实数域上，若作非退化线性替换
y1 z2
y2 1 z3
2 ，
y3 2z1
y4 z4
可得二次型的规范形为
f z12 z22 z32。
（ 2）在复数域上，若作非退化线性替换
y1 iz1
y2 i
z2
2 ，
y3 2z3
y4 z4
可得二次型的规范形为
f z12 z22 z32。
7）已求得二次型
f x1 , x2 , x3 , x4 x12 2x22 x42 4x1 x2 4x1 x3 2x1 x4
2x2 x3 2x2 x4 2x3 x4
的标准形为
f y12 y22 y22 y42，
且非退化线性替换为
x1 y1
x2 y2 y4
。
x3 y1 y4
x4 y1 y3 y4
（ 1）在实数域上，上面所作非退化线性替换已将二次型化为规范形，即
f y12 y22 y22 y42。
（ 2）在复数域上，若作非退化线性替换
y1z1
y
2z
2，
y3z3
y4iz4
可得二次型的规范形为
f z12 z22 z32 z42。
2 ．证明：秩等于r 的对称矩阵可以表成 r 个秩等于 1 的对称矩阵之和。
证由题设知 A A 且rank ( A) r ，于是存在可逆矩阵C使
C AC
D ，
且 D 为对角阵，又因为C,C1,C1 C 1 均为可逆矩阵，所以有
C AC D1
D 2 D r ，
其中
d1
d 2 0 0
D1 0 , , D r d r
, D 2
0 于是
A C 1D1 D2 D r C 1
C1 D1C1 C1 D2C1 C 1 D r C 1。
因
rank C 1 D i C 1 1i 1,2, , r ，
且
C 1
D i C1C 1D i C1C1D i C1。
即 C 1 D i C 1都是对称矩阵，故A可表成 r 个秩为1的对称矩阵之和。
3．证明：
1 i1
2 与i 2
n i n
合同，其中 i1i 2 i n是 1,2, , n 的一个排列。
证题中两个矩阵分别设为A, B ，与它们相应的二次型分别为
f A 1x12 2 x22 n x n2，
f B
y2
i
y 2
i
y 2 ，
i 1
2
2
n
n
1
作非退化的线性替换
y t x
i t t 1,2, , n ，
则 f B可化成 f A。故A与B合同。
4．设 A 是一个n阶矩阵，证明：
1 ） A 是反对称矩阵当且仅当对任一个n 维向量X，有X AX 0 。
2 ）如果 A 是对称矩阵，且对任一个n 维向量X有X AX 0，那么 A 0。
证 1 ）必要性。因为 A A ，即a ii 0, a ij a ji i j ，所以
X AX
a
ij
x
i
x
j
a
ij
a
ji x i x j i , j i j
由于 a ij a ji 0 ，故
X AX
i j
a ij a ji x i x j 0 。
充分性。因为X R n，有 X AX 0 ，即
a x 2 a
12 a x x
2
x a
n1
x x
n
a x2
11 1 21 1 1n 1 22 2
a
2n a
n2
x
2
x
n a nn x n2 0 ，
这说明原式是一个多元零多项式，故有
a 11a
22
a
nn 0,
a
ij
a
ji i j ，
即 A A 。
2 ）由于 A 是对称的，且X AX 0 ，即
a11 x12 2a12 x1 x2 2a1n x1 x n a22 x22
2a2n x2 x n a nn x n2 0 ，
这说明 X AX 为一个多元零多项式，故有
a
11 a
22
a
nn 0 ，
2a ij 0 a
ij
a
ji 0 ，
即A 0。
5．如果把实n 阶对称矩阵按合同分类，即两个实n 阶对称矩阵属于同一类当且仅当它们合同，问共有几类
解实对称矩阵 A 与 B 合同的充要条件为存在可逆矩阵T 与 C 使
d1
d 2
T BT C AC d r D 。
下面考虑对角矩阵 D 的相应二次型的合同分类情况，在d i i 1,2, , r 中可分为
r 个正，0 个负
r 1 个正， 1 个负
2 个正， r 2 个负
1 个正， r 1 个负
0 个正，r 个负
共计 r 1个合同类。但秩r 又可分别取 n, n 1, ,2,1,0 ，故共有
n 1 n 2
1 2 3n n 1
2
个合同类。
6．证明：一个实二次型可以分解成两个实系数的一次齐次多项式的乘积的充分必要条件是：它的秩等于 2 且符号差等于0，或者秩等于1。
证必要性。设
f x1 , x2 , , x n a1 x1a2 x2a n x n b1x1b2 x2b n x n，其中 a i ,b i i 1,2, , n 均为实数。
1）若上式右边的两个一次式系数成比例，即
b i ka i i 1,2, , n
不失一般性，可设a1 0 ，则可作非退化线性替换
y1 a1 x1 a2 x2 a n x n
y i x i i 2, , n
使二次型化为
f x , x
2 , , x
n
ky 2 ，
1 1 故二次型 f x1 , x
2 , , x n的秩为1。
2）若两个一次式系数不成比例，不妨设a1 a
2，则可作非退化线性替换
b1 b2
y1 a1x1 a2 x2 a n x n
y2 b1 x1 b2 x2 b n x n，
y i x i i 3, , n
使
f x1 , x2 , , x n y1 y2。
再令
y1 z1 z2
y2 z1 z2 ，
y i z i i 3, , n
则二次型可化为
f x1 , x2 , , x n y1 y2z12z22，
故二次型 f x1 , x2 , , x n的秩为2，且符号差为0。
充分性。 1）若f x1, x2 , , x n的秩为1，则可经非退化线性替换Z CY 使二次型化为
f x1 , x2 , , x n ky12，
其中 y1为 x1 , x2 , , x n的一次齐次式，即
y1 a1 x1 a2 x2 a n x n，
且
f x1 , x2 , , x n k a x a x
2 a x 2
1 1
2 n n
ka1 x1 ka2 x2 ka n x n a1 x1 a2 x2 a n x n
。2）若f x1, x2, , x n 的秩为2，且符号差为0，则可经非退化线性替换Z CY 使二次型化为
f x1 , x2 , , x n y12 y22 y1 y2 y1 y2
a1 x1 a2 x2 a n x n b1 x1 b2 x2 b n x n，
故 f x1 , x2 , , x n 可表成两个一次齐次式的乘积。
7．判断下列二次型是否正定：
1）99 x12 12x1 x2 48x1x3 130x22 60 x2 x3 71x32；
2）10 x12
n
2 3）x i
n
2 4）x i 8x x
2
24 x x 2x 2 28 x
2
x
3
x 2 ；
1 1 3
2 3
x i x j；
1 i j n
n 1
x i x i 1。
i 1
解 1 ）二次型的矩阵为
99 6 24
A6 130 30 ，
24 30 71
因为
99 0, 99 6
0, 3A0，
1 2
6 130
故原二次型为正定二次型。
2）二次型的矩阵为
10 4 12
A 4 2 14 ，
12 14 1
因为 A 0 ，所以原二次型非正定。
3）记二次型的矩阵为 A a
ij n n ，其中
1, i j
a
ij 1 i ，
, j
2
即
1 1 1 1
2 2 2
1
1 1 1
2 2 2
A 1
1
1 1 ，
2 2 2
1 1 1
1
2 2 2
由于 A 的任意 k 阶顺序主子式所对应的矩阵A k与A为同类型的对称矩阵，且
1 k
A k k 1 0 k 1,2, , n ，
2
故原二次型为正定二次型。
4）记二次型的矩阵为A a ij n n，则 A 的 k 级顺序主子式为
高等代数(北大版)第6章习题参考答案
第六章线性空间 . 设 M N , 证 明： M N M , M N N 。 1 证任 取M , 由 M N , 得 N , 所 以M N , 即证 M N M 。又因 M N M , 故 M N M 。再证第二式，任 取 M 或N , 但 M N , 因此无论 哪一种情形，都有N , 此即。但 N M N , 所以 M N N 。 2.证明 M ( N L ) (M N ) (M L) ， M (N L) ( M N ) (M L ) 。 证x M (N L), 则 x M 且 x N L. 在后一情形，于是 x M N或 x M L. 所以 x (M N )(M L) ，由此得 M ( N L) (M N ) (M L ) 。反之，若 x (M N ) ( M L) ，则 x M N或 x M L. 在前一情形， x M , x N , 因此 x N L. 故得 x M ( N L ), 在后一情形，因而 x M , x L, x N L ，得 x M ( N L ), 故 ( M N ) ( M L) M ( N L), 于是 M ( N L) (M N ) (M L ) 。 若 x M （ N L），则 x M ， x N L 。 在前一情形 X x M N ，且 X M L，因而 x （ M N） （ M L）。 在后一情形， x N ,x 因而 x M N , 且 X M ，即 X （ M N）（M L）所以L, L （M N）（M L） M （N L） 故 M （ N L） =（）（M L） M N 即证。 3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间： 1）次数等于n（ n 1）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法；2）设 A 是一个 n× n 实数矩阵， A 的实系数多项式 f （A ）的全体，对于矩阵的加法和数量 乘法； 3）全体实对称（反对称，上三角）矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法； 4）平面上不平行于某一向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法； 5）全体实数的二元数列，对于下面定义的运算： （ a1，b1）（ a b （ a1a2，b1b2a1 a2） （kk 1） 2
高等代数-北京大学第三版--北京大学精品课程
第一学期第一次课 第一章 代数学的经典课题 §1 若干准备知识 1.1.1 代数系统的概念 一个集合，如果在它里面存在一种或若干种代数运算，这些运算满足一定的运算法则，则称这样的一个体系为一个代数系统。 1.1.2 数域的定义 定义（数域） 设K 是某些复数所组成的集合。如果K 中至少包含两个不同的复数，且K 对复数的加、减、乘、除四则运算是封闭的，即对K 内任意两个数a 、b （a 可以等于b ），必有 K b a b K ab K b a ∈≠∈∈±/0时，，且当，，则称K 为一个数域。 例1.1 典型的数域举例： 复数域C ；实数域R ；有理数域Q ；Gauss 数域：Q (i) = {b a +i |b a ,∈Q }，其中i =1-。 命题 任意数域K 都包括有理数域Q 。 证明 设K 为任意一个数域。由定义可知，存在一个元素0≠∈a K a ，且。于是 K a a K a a ∈= ∈-=10， 。 进而∈?m Z 0>, K m ∈+??++=111。 最后，∈?n m ,Z 0>， K n m ∈，K n m n m ∈-=-0。这就证明了Q ?K 。证毕。 1.1.3 集合的运算，集合的映射（像与原像、单射、满射、双射）的概念 定义(集合的交、并、差) 设S 是集合，A 与B 的公共元素所组成的集合成为A 与B 的交集，记作B A ?；把A 和B 中的元素合并在一起组成的集合成为A 与B 的并集，记做B A ?；从集合A 中去掉属于B 的那些元素之后剩下的元素组成的集合成为A 与B 的差集，记做B A \。 定义（集合的映射） 设A 、B 为集合。如果存在法则f ，使得A 中任意元素a 在法则f 下对应B 中唯一确定的元素（记做)(a f ），则称f 是A 到B 的一个映射，记为 ). (, :a f a B A f α→ 如果B b a f ∈=)(，则b 称为a 在f 下的像，a 称为b 在f 下的原像。A 的所有元素在f 下的像构成的B 的子集称为A 在f 下的像，记做)(A f ，即{}A a a f A f ∈=|)()(。 若,'A a a ∈≠?都有),'()(a f a f ≠ 则称f 为单射。若 ,B b ∈?都存在A a ∈，使得b a f =)(，则称f 为满射。如果f 既是单射又是满射，则称f 为双射，或称一一对应。 1.1.4 求和号与求积号 1．求和号与乘积号的定义. 为了把加法和乘法表达得更简练，我们引进求和号和乘积号。 设给定某个数域K 上n 个数n a a a ,,,21Λ，我们使用如下记号：
高等代数北大版习题参考答案
第九章 欧氏空间 1.设()ij a =A 是一个n 阶正定矩阵,而 ),,,(21n x x x Λ=α, ),,,(21n y y y Λ=β, 在n R 中定义内积βαβα'A =),(, 1) 证明在这个定义之下, n R 成一欧氏空间； 2) 求单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε， 的度量矩阵； 3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。 解 1)易见 βαβα'A =),(是n R 上的一个二元实函数，且 (1) ),()(),(αβαβαββαβαβα='A ='A '=''A ='A =， (2) ),()()(),(αβαββαβαk k k k ='A ='A =，
(3) ),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+='A '+'A ='A +=+， (4) ∑='A =j i j i ij y x a ,),(αααα， 由于A 是正定矩阵，因此∑j i j i ij y x a ,是正定而次型，从而0),(≥αα，且仅当0=α时有 0),(=αα。 2)设单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε， 的度量矩阵为 )(ij b B =，则 )0,1,,0(),()(ΛΛi j i ij b ==εε??????? ??nn n n n n a a a a a a a a a Λ M O M M ΛΛ2 122222 11211)(010j ? ??? ??? ? ??M M =ij a ，),,2,1,(n j i Λ=， 因此有B A =。 4) 由定义，知 ∑=j i j i ij y x a ,),(βα ， α== β==
高等代数(北大版第三版)习题答案III
高等代数（北大*第三版）答案 目录 第一章多项式 第二章行列式 第三章线性方程组 第四章矩阵 第五章二次型 第六章线性空间 第七章线性变换 第八章 —矩阵 第九章欧氏空间 第十章双线性函数与辛空间 注： 答案分三部分，该为第三部分，其他请搜索，谢谢！
第九章 欧氏空间 1.设() ij a =A 是一个n 阶正定矩阵,而 ),,,(21n x x x Λ=α, ),,,(21n y y y Λ=β, 在n R 中定义积βαβα'A =),(, 1) 证明在这个定义之下, n R 成一欧氏空间； 2) 求单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε， 的度量矩阵； 3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。 解 1)易见 βαβα'A =),(是n R 上的一个二元实函数，且 (1) ),()(),(αβαβαββαβαβα='A ='A '=''A ='A =， (2) ),()()(),(αβαββαβαk k k k ='A ='A =， (3) ),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+='A '+'A ='A +=+， (4) ∑= 'A =j i j i ij y x a ,),(αααα， 由于A 是正定矩阵，因此 ∑j i j i ij y x a ,是正定而次型，从而0),(≥αα，且仅当0=α时有 0),(=αα。 2)设单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε， 的度量矩阵为 )(ij b B =，则 )0,1,,0(),()(ΛΛi j i ij b ==εε??????? ??nn n n n n a a a a a a a a a Λ M O M M ΛΛ2 1222 22112 11)(010j ? ??? ??? ? ??M M =ij a ，),,2,1,(n j i Λ=， 因此有B A =。
高等代数北大版习题参考答案
第七章线性变换 1．?判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是： 1）?在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量； 2）?在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量； 3）?在P 3 中，A ),,(),,(2 33221321x x x x x x x +=； 4）?在P 3中，A ),,2(),,(132213 21x x x x x x x x +-=； 5）?在P[x ]中，A )1()(+=x f x f ； 6）?在P[x ]中，A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数； 7）?把复数域上看作复数域上的线性空间，A ξξ=。 8）?在P n n ?中，A X=BXC 其中B,C ∈P n n ?是两个固定的矩阵. 解1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。 2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。 3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α,A )0,0,4()(=αk , A ≠ )(αk k A()α。 4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+=A ),,(332211y x y x y x +++ =),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- =A α+A β， A =)(αk A ),,(321kx kx kx =k A )(α， 故A 是P 3 上的线性变换。 5)是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令 )()()(x g x f x u +=则 A ))()((x g x f +=A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f +A ))((x g ， 再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f ， 故A 为][x P 上的线性变换。 6)是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈则. A ))()((x g x f +=0(x f 0()x g +=)A +))((x f A )((x g )， A 0())((x kf x kf =k =)A ))((x f 。 7)不是，例如取a=1,k=I ，则A (ka)=-i,k(A a)=i,A (ka )≠k A (a)。 8)是，因任取二矩阵Y X ,n n P ?∈，则A (=+=+=+BYC BXC C Y X B Y X )()A X +A Y ，
高等代数(北大版)第5章习题参考答案
第五章 二次型 1．用非退化线性替换化下列二次型为标准形，并利用矩阵验算所得结果。 1）323121224x x x x x x ++-； 2）2 3322221214422x x x x x x x ++++； 3）3231212 2216223x x x x x x x x -+--； 4）423243418228x x x x x x x x +++； 5）434232413121x x x x x x x x x x x x +++++； 6）4342324131212 422212222442x x x x x x x x x x x x x x x ++++++++； 7）4332212 4232221222x x x x x x x x x x ++++++。 解 1）已知 ()323121321224,,x x x x x x x x x f ++-=， 先作非退化线性替换 ??? ??=-=+=33 212211y x y y x y y x （1） 则 ()312 221321444,,y y y y x x x f ++-= 2 223233121444y y y y y y ++-+-= ()2 2 233 3142y y y y ++--=， 再作非退化线性替换 ??? ? ??? ==+=3 3223112121z y z y z z y （2） 则原二次型的标准形为
()2 322213214,,z z z x x x f ++-=， 最后将（2）代入（1），可得非退化线性替换为 ??? ? ? ? ??? =+-=++=333212321 121212 121z x z z z x z z z x （3） 于是相应的替换矩阵为 ?? ?????? ? ?-=? ?????? ??????? ??-=1002112 1 210 2110001021021100011011T ， 且有 ??? ? ? ??-='100040001AT T 。 2）已知()=321,,x x x f 2 3322221214422x x x x x x x ++++， 由配方法可得 ()()() 2 33222222121321442,,x x x x x x x x x x x f +++++= ()()2 322 212x x x x +++=， 于是可令 ??? ??=+=+=33 3222112x y x x y x x y ， 则原二次型的标准形为 ()2 221321,,y y x x x f +=， 且非退化线性替换为
高等代数北大版第章习题参考答案
高等代数北大版第章习 题参考答案 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】
第六章 线 性空 间 1.设,N M ?证明：,M N M M N N ==。 证任取,M ∈α由,N M ?得,N ∈α所以,N M ∈α即证M N M ∈。又因 ,M N M ? 故M N M =。再证第二式，任取M ∈α或,N ∈α但,N M ?因此无论 哪一种情形，都有,N ∈α此即。但,N M N ?所以M N N =。 2.证明)()()(L M N M L N M =，)()()(L M N M L N M =。 证),(L N M x ∈?则.L N x M x ∈∈且在后一情形，于是.L M x N M x ∈∈或所以)()(L M N M x ∈，由此得)()()(L M N M L N M =。反之，若 )()(L M N M x ∈，则.L M x N M x ∈∈或在前一情形，,,N x M x ∈∈因此 .L N x ∈故得),(L N M x ∈在后一情形，因而,,L x M x ∈∈x N L ∈，得 ),(L N M x ∈故),()()(L N M L M N M ? 于是)()()(L M N M L N M =。 若x M N L M N L ∈∈∈（），则x ，x 。 在前一情形X x M N ∈，X M L ∈且，x M N ∈因而（）（M L ）。 ,,N L x M N X M L M N M M N M N ∈∈∈∈∈?在后一情形，x ,x 因而且，即X （M N ）（M L ）所以 （）（M L ）（N L ）故 （L ）=（）（M L ） 即证。 3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间： 1）次数等于n （n ≥1）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法； 2）设A 是一个n ×n 实数矩阵，A 的实系数多项式f （A ）的全体，对于矩阵的加法和数量乘法；
高等代数(北大版)第7章习题参考答案
第七章线性变换 1．判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：1）在线性空间V中，A,其中V是一固定的向量； 2）在线性空间V中，A其中V是一固定的向量； 3）在P 322 中，A(,,)(,,) x1xxxxxx； 231233 4）在P 3中，A(,,)(2,,) x1xxxxxxx 2312231 ； 5）在P[x]中，A f(x)f(x1)； 6）在P[x]中，A()(), fxfx其中 0 x P是一固定的数；0 7）把复数域上看作复数域上的线性空间，A 。 nn 中，A X=BXC其中B,CP 8）在P 解1)当0时,是;当0时,不是。nn 是两个固定的矩阵. 2)当0时,是;当0时,不是。 3)不是.例如当(1,0,0),k2时,k A()(2,0,0),A(k)(4,0,0), A(k)k A()。 4)是.因取(x1,x2,x3),(y1,y2,y3),有 A()=A(x1y1,x2y2,x3y3) =(2x12y1x2y2,x2y2x3y3,x1y1) =(2x1x2,x2x3,x1)(2y1y2,y2y3,y1) =A+A， A(k)A(kx1,kx2,kx3) (2kx 1 k x 2 ,k x 2 k x, 3 k x) 1 (2kx 1 k x 2 ,k x 2 k x, 3 k x) 1 =k A()， 3 故A是P 上的线性变换。 5)是.因任取f(x)P[x],g(x)P[x],并令 u(x)f(x)g(x)则 A(f(x)g(x))=A u(x)=u(x1)=f(x1)g(x1)=A f(x)+A(g(x))， 再令v(x)kf(x)则A(kf(x))A(v(x))v(x1)kf(x1)k A(f(x))，故A为P[x]上的线性变换。 6)是.因任取f(x)P[x],g(x)P[x]则. A(f(x)g(x))=f(x0)g(x0)A(f(x))A(g(x))， A(kf(x))kf(x0)k A(f(x))。 7)不是，例如取a=1,k=I，则A(ka)=-i,k(A a)=i,A(ka)k A(a)。 8)是，因任取二矩阵X,Y nn
高等代数北大编 第1章习题参考答案
第一章 多项式 一 、习题及参考解答 1． 用)(x g 除)(x f ，求商)(x q 与余式)(x r ： 1）123)(,13)(2 2 3 +-=---=x x x g x x x x f ； 2） 2)(,52)(24+-=+-=x x x g x x x f 。 解 1）由带余除法，可得9 2926)(,9731)(--=-= x x r x x q ； 2）同理可得75)(,1)(2 +-=-+=x x r x x x q 。 2．q p m ,,适合什么条件时，有 1）q px x mx x ++-+3 2 |1， 2）q px x mx x ++++2 4 2 |1。 解 1）由假设，所得余式为0，即0)()1(2 =-+++m q x m p ， 所以当???=-=++0 012m q m p 时有q px x mx x ++-+3 2|1。 2）类似可得???=--+=--0 10 )2(2 2m p q m p m ，于是当0=m 时，代入（2）可得1+=q p ；而当022=--m p 时，代入（2）可得1=q 。 综上所诉，当?? ?+==10q p m 或???=+=2 12 m p q 时，皆有q px x mx x ++++2 42|1。 3．求()g x 除()f x 的商()q x 与余式： 1）5 3 ()258,()3f x x x x g x x =--=+； 2）3 2(),()12f x x x x g x x i =--=-+。 解 1） 432()261339109()327 q x x x x x r x =-+-+=-； 2） 2()2(52)()98q x x ix i r x i =--+=-+。
高等代数(北大版)第10章习题参考答案
第十章 双线性函数与辛空间 个线性函数，已知 解此方程组可得 f ( 1) ＝4，f ( 2)＝－7，f ( 3)＝－ 3 ＝4 X 1－7 X 2 － 3 X 3 设 f 为所求 V 上的线性函数，则由题设有 解此方程组可得 f (a)=f (X 1 1+X 2 2 +X 3 3 ) 1、 设 V 是数域 P 上的一个三维线性空间， 12 3 是它的一组基， f 是 V 上的 f ( 1+ 3 )=1,f ( 2 -2 3 )=-1,f ( 1+ 2 )=-3 求 f (X 1 1+X 2 2 +X 3 3 ). 解 因为 f 是 V 上线性函数， 所以有 1) ＋ f ( 3)=1 2 )-2 f ( 3)=-1 1)+f ( 2 )=-3 f (X 1 1+X 2 2+X 3 3).＝X 1 f ( 1)＋X 2 f ( 2)＋X 3 f ( 3) 2、 设V 及 1 ， 2 ， 3 同上题，试找出一个线性函数 f ,使 f ( 1+ 3) ＝ f ( 2 -2 3)=0, f ( 1+ 2 )=1 1) ＋ f ( 3)=0 2 )-2 f ( 3)=0 1)+f ( 2 )=1 1) ＝－1，f ( 2)＝2，f ( a V,当 a 在 V 的给定基 3 下的坐标表示为 a= X 1 1+X 2 2 +X 3 3 时， 就有
= X 1 f ( 1)＋X2 f ( 2)＋X3 f ( 3) =-X 1 +2 X 2+ X3 3、设 1，2，3是线性空间V 的一组基，f1,f2,f3 是它的对偶基，令 1＝ 1 －3， 2 ＝1＋2－3，3＝ 2 ＋3 试证： 1 ，2， 3 是V 的一组基，并求它的对偶基。 证：设 ( 1，2，3)＝( 1 ，2，3)A 由已 知， 得 1 1 0 A＝0 1 1 1 1 1 因为A ≠0，所以1，2，3是V 的一组基。 设g1,g2,g3 是 1 ， 2 ， 3 得对偶基，则 g1,g2,g3)＝( f1,f2,f3 )(Aˊ) 0 1 1 ＝( f1,f2,f3 ) 1 1 2 1 1 1 因此 g1=f2-f3 g2=f1-f2+f3 g3=-f1+2f2-f3 4.设V 是一个线性空间，f1,f2 , ?fs 是V*中非零向量，试证：∈V，使 fi( )≠0 (i=1,2 ?,s) 证：对s 采用数学归纳法。 当s＝1 时，f1≠0,所以∈V，使fi( ) ≠0，即当s＝1 时命题成立。 假设当s=k 时命题成立，即∈V，使fi( )= i ≠0 (i=1,2 ?,k) 下面证明s=k+1 时命题成立。 若f k1( )≠ 0,则命题成立，若 f k1( ) ＝0，则由 f k 1≠0知，一定∈V 使f k1( )＝b,设fi( )=di(i=1,2 ?,k), 于是总可取数c≠0，使 c ，则∈V，且 ai+cdi ≠0(i=1,2 ?,k)
高等代数(北大版)第10章习题参考答案
第十章双线性函数与辛空间 1、设V是数域P上的一个三维线性空间，ε1，ε2，ε3是它的一组基，f是V上的 一个线性函数，已知 f (ε1+ε3)=1,f (ε2-2ε3)=-1,f (ε1+ε2)=-3 求f (X 1ε 1 +X 2 ε 2 +X 3 ε 3 ). 解因为f是V上线性函数，所以有 f (ε1)＋ f (ε3)=1 f (ε2)-2 f (ε3)=-1 f (ε1)+f (ε2)=-3 解此方程组可得 f (ε1)＝4，f (ε2)＝－7，f (ε3)＝－3 于是 f (X 1ε 1 +X 2 ε 2 +X 3 ε 3 ).＝X 1 f (ε1)＋X2 f (ε2)＋X3 f (ε3) ＝4 X 1 －7 X 2 －3 X 3 2、设V及ε1，ε2，ε3同上题，试找出一个线性函数f ,使 f (ε1+ε3)＝f (ε2-2ε3)=0, f (ε1+ε2)=1 解设f为所求V上的线性函数，则由题设有 f (ε1)＋ f (ε3)=0 f (ε2)-2 f (ε3)=0 f (ε1)+f (ε2)=1 解此方程组可得 f (ε1)＝－1，f (ε2)＝2，f (ε3)＝1 于是?a∈V,当a在V的给定基ε1，ε2，ε3下的坐标表示为 a= X 1ε 1 +X 2 ε 2 +X 3 ε 3 时，就有 f (a)=f (X 1ε 1 +X 2 ε 2 +X 3 ε 3 )
= X 1 f (ε1)＋X2 f (ε2)＋X3 f (ε3) =-X 1+2 X 2 + X 3 3、设ε1，ε2，ε3是线性空间V的一组基，f1,f2,f3是它的对偶基，令α1＝ε1－ε3，α2＝ε1＋ε2－ε3，α3＝ε2＋ε3 试证：α1，α2，α3是V的一组基，并求它的对偶基。 证：设 （α1，α2，α3）＝（ε1，ε2，ε3）A 由已知，得 A＝ 110 011 111????????-?? 因为A≠0，所以α1，α2，α3是V的一组基。设g1,g2,g3是α1，α2，α3得对偶基，则 （g1,g2,g3）＝（f1,f2,f3）（Aˊ）1- ＝（f1,f2,f3） 011 112 111 -???? - ????--?? 因此 g1=f2-f3 g2=f1-f2+f3 g3=-f1+2f2-f3 4.设V是一个线性空间，f1,f2,…fs是V*中非零向量，试证：?α∈V，使 fi(α)≠0 (i=1,2…,s) 证：对s采用数学归纳法。 当s＝1时，f1≠0,所以?α∈V，使fi(α)≠0，即当s＝1时命题成立。 假设当s=k时命题成立，即?α∈V，使fi(α)=αi≠0 (i=1,2…,k) 下面证明s=k+1时命题成立。 若f 1 k+(α)≠0,则命题成立，若f 1 k+ (α)＝0，则由f 1 k+ ≠0知，一定?β∈V 使f 1 k+ (β)＝b,设fi(β)=di(i=1,2…,k),于是总可取数c≠0，使 ai+cdi≠0(i=1,2…,k) 令c γαβ =+，则γ∈V，且
高等代数-北京大学第三版--北京大学精品课程
一个集合，如果在它里面存在一种或若干种代数运算, 这些运算满足一定的运算法则, 则称这样的一个体系为 定义(数域) 设K 是某些复数所组成的集合。如果 K 中至少包含两个不同的复数，且 K 对复数的加、减、乘、 四则运算 是封闭的，即对K 内任 两个数a 、 b ( a 可 以等于b )， 必有 b K ， ab K ，且当b 0时，a/b K ，则称 K 为一个数域。 1.1典型的数域举例： 复数域C ；实数域R ;有理数域 Q ; Gauss 数域：Q (i) = { a b i | a, b € Q}，其中 i = ?. 1 命题 任意数域K 都包括有理数域Q 。 证明 设K 为任意一个数域。由定义可知，存在一个元素 K ，且 a 0。于是 进而 最后， m, n Z 巴K 。这就证明了 n K 。证毕。 1.1.3 集合的运算, 集合的映射(像与原像、单射、满射、双射)的概念 和B 中的元素合并在一起组成的集合成为 A 与 B 的并集， 记做A B ;从集合A 中去掉属于B 的那些元素之后剩 定义(集合的映射) 设A 、B 为集合。如果存在法则 f ，使得A 中任意元素a 在法则f 下对应B 中唯一确定 若a a'代都有f (a) 第一章代数学的经典课题 § 1若干准备知识 1.1.1代数系统的概念 个代数系统。 1.1.2数域的定义 定义(集合的交、并、差)设S 是集合，A 与B 的公共元素所组成的集合成为 A 与 B 的交集，记作A B ;把A 下的元素组成的集合成为 A 与 B 的差集，记做A B 。 的元素(记做f(a))，则称f 是A 到B 的一个映射，记为 B, f (a). 如果f(a) b B ，则b 称为a 在f 下的像，a 称为b 在f 下的原像。A 的所有元素在f 下的像构成的 B 的 子集称为A 在f 下的像，记做 f (A)，即 f (A) f(a)| a A 。 f(a'),则称f 为单射。若 b B,都存在a A ，使得f(a) b ，则称f 为满射。 1.1.4 求和号与求积号 1 ?求和号与乘积号的定义.为了把加法和乘法表达得更简练，我们引进求和号和乘积号。 设给定某个数域K 上n 个数a 1,a 2, ,a n ，我们使用如下记号： 第一学期第一次课 如果f 既是单射又是满射，则称 f 为双射，或称一一对应。
(完整版)高等代数(北大版)第7章习题参考答案
第七章 线性变换 1． 判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是： 1） 在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量； 2） 在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量； 3） 在P 3 中，A ),,(),,(2 33221321x x x x x x x +=； 4） 在P 3 中，A ),,2(),,(13221321x x x x x x x x +-=； 5） 在P[x ]中，A )1()(+=x f x f ； 6） 在P[x ]中，A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数； 7） 把复数域上看作复数域上的线性空间， A ξξ=。 8） 在P n n ?中，A X=BXC 其中B,C ∈P n n ?是两个固定的矩阵. 解 1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。 2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。 3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α, A )0,0,4()(=αk , A ≠)(αk k A()α。 4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+= A ),,(332211y x y x y x +++ =),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- = A α+ A β， A =)(αk A ),,(321kx kx kx ),,2() ,,2(1322113221kx kx kx kx kx kx kx kx kx kx +-=+-= = k A )(α， 故A 是P 3 上的线性变换。 5) 是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令 )()()(x g x f x u +=则 A ))()((x g x f += A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f + A ))((x g ， 再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f ， 故A 为][x P 上的线性变换。 6)是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈则. A ))()((x g x f +=0(x f 0()x g +=)A +))((x f A )((x g )， A 0())((x kf x kf =k =)A ))((x f 。 7)不是，例如取a=1,k=I ，则A (ka)=-i , k(A a)=i, A (ka )≠k A (a)。 8)是，因任取二矩阵Y X ,n n P ?∈，则A (=+=+=+BYC BXC C Y X B Y X )()A X +A Y ，
高等代数北大版习题参考答案
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第 七章 线性变换 1． 判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是： 1） 在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量； 2） 在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量； 3） 在P 3 中，A ),,(),,(2 33221321x x x x x x x +=； 4） 在P 3 中，A ),,2(),,(13221321x x x x x x x x +-=； 5） 在P[x ]中，A )1()(+=x f x f ； 6） 在P[x ]中，A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数； 7） 把复数域上看作复数域上的线性空间， A ξξ=。 8） 在P n n ?中，A X=BXC 其中B,C ∈P n n ?是两个固定的矩阵. 解 1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。 2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。 3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α, A )0,0,4()(=αk , A ≠)(αk k A()α。 4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+= A ),,(332211y x y x y x +++ =),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- = A α+ A β， A =)(αk A ),,(321kx kx kx ),,2(),,2(1322113221kx kx kx kx kx kx kx kx kx kx +-=+-= = k A )(α， 故A 是P 3 上的线性变换。 5) 是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令 )()()(x g x f x u +=则 A ))()((x g x f += A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f + A ))((x g ， 再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f ， 故A 为][x P 上的线性变换。 6)是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈则. A ))()((x g x f +=0(x f 0()x g +=)A +))((x f A )((x g )， A 0())((x kf x kf =k =)A ))((x f 。
高等代数北大版第6章习题参考答案
第六章 线性空间 1.设,N M ?证明：,M N M M N N ==。 证 任取,M ∈α由,N M ?得,N ∈α所以,N M ∈α即证M N M ∈。又因,M N M ? 故M N M =。再证第二式，任取M ∈α或,N ∈α但,N M ?因此无论 哪 一种情形，都有,N ∈α此即。但,N M N ?所以M N N =。 2.证明)()()(L M N M L N M =，)()()(L M N M L N M =。 证 ),(L N M x ∈?则.L N x M x ∈∈且在后一情形，于是.L M x N M x ∈∈或所以)()(L M N M x ∈，由此得)()()(L M N M L N M =。反之，若)()(L M N M x ∈，则.L M x N M x ∈∈或 在前一情形，,,N x M x ∈∈因此.L N x ∈故得),(L N M x ∈在后一情形，因而,,L x M x ∈∈x N L ∈，得),(L N M x ∈故),()()(L N M L M N M ? 于是)()()(L M N M L N M =。 若x M N L M N L ∈∈∈（），则x ，x 。 在前一情形X x M N ∈， X M L ∈且，x M N ∈因而（）（M L ）。 ,,N L x M N X M L M N M M N M N ∈∈∈∈∈?在后一情形，x ,x 因而且，即X （M N ）（M L ）所以 （）（M L ）（N L ） 故 （L ）=（）（M L ）即证。 3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间： 1） 次数等于n （n ≥1）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法； 2） 设A 是一个n ×n 实数矩阵，A 的实系数多项式f （A ）的全体，对于矩阵的加法和数量乘法； 3） 全体实对称（反对称，上三角）矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法； 4） 平面上不平行于某一向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法； 5） 全体实数的二元数列，对于下面定义的运算： 212121121112b a b a a b b a a k k b a ⊕+=+++-1111（a ，）（（，） （）k 。（a ，）=（ka ，kb +
高等代数北大版习题参考答案
第九章 欧氏空间 1.设() ij a =A 是一个n 阶正定矩阵,而 ),,,(21n x x x Λ=α, ),,,(21n y y y Λ=β, 在n R 中定义内积βαβα'A =),(, 1) 证明在这个定义之下, n R 成一欧氏空间； 2) 求单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε， 的度量矩阵； 3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。 解 1)易见 βαβα'A =),(是n R 上的一个二元实函数，且 (1) ),()(),(αβαβαββαβαβα='A ='A '=''A ='A =， (2) ),()()(),(αβαββαβαk k k k ='A ='A =， (3) ),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+='A '+'A ='A +=+， (4) ∑='A =j i j i ij y x a ,),(αααα， 由于 A 是正定矩阵，因此∑j i j i ij y x a ,是正定而次型，从而0),(≥αα，且仅当0=α时有0),(=αα。 2)设单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε， 的度量矩阵为 )(ij b B =，则 )0,1,,0(),()(ΛΛi j i ij b ==εε??????? ??nn n n n n a a a a a a a a a Λ M O M M ΛΛ2 1222 22112 11)(010j ? ??? ??? ? ??M M =ij a ，),,2,1,(n j i Λ=， 因此有B A = 。 4) 由定义，知 ∑=j i j i ij y x a ,),(βα ， α== β==
高等代数北大版习题参考答案
第九章 欧氏空间 1.设() ij a =A 是一个n 阶正定矩阵,而 ),,,(21n x x x Λ=α, ),,,(21n y y y Λ=β, 在n R 中定义内积βαβα'A =),(, 1) 证明在这个定义之下, n R 成一欧氏空间； 2) 求单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε， 的度量矩阵； 3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。 解 1)易见 βαβα'A =),(是n R 上的一个二元实函数，且 (1) ),()(),(αβαβαββαβαβα='A ='A '=''A ='A =， (2) ),()()(),(αβαββαβαk k k k ='A ='A =， (3) ),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+='A '+'A ='A +=+， (4) ∑= 'A =j i j i ij y x a ,),(αααα， 由于A 是正定矩阵，因此 ∑j i j i ij y x a ,是正定而次型，从而0),(≥αα，且仅当0=α时有 0),(=αα。 2)设单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε， 的度量矩阵为 )(ij b B =，则 )0,1,,0(),()(ΛΛi j i ij b ==εε??????? ??nn n n n n a a a a a a a a a Λ M O M M ΛΛ2 1222 22112 11)(010j ? ??? ??? ? ??M M =ij a ，),,2,1,(n j i Λ=， 因此有B A =。
高等代数教案(北大版)第一章 多项式
第一章多项式 多项式理论是高等代数研究得基本对象之一，在整个高等代数课程中既相对独立，又贯穿其它章节，换句话说，多项式理论得讨论可以不依赖于高等代数得其他内容而自成体系，却可为其它章节的内容提供范例和理论依据。 本章主要讨论多项式的基本概念和基本性质，包括数域的概念、一元多项式的定义与运算规律、整除性、因式分解及根等概念。 教学目的：通过本章的学习，要使学生了一元多项式及运算、整除、最大公因式、(不)可约多项式、重因式等基本概念，领会因式分解定理的基本内容及复数域和实数域上的因式分解的具体内容，掌握多项式的最大公因式的求法、因式分解的方法、重因式的求法及有理系数多项式的可约性的判定。 教学重点：最大公因式的求法、因式分解定理及其应用 教学难点：有理系数多项式 教学方法与手段：1. 理论课教学以讲授为主，部分介绍性内容用多媒体。 2．习题课以多媒体教学为主。 教学内容： §1 一元多项式的定义和运算 1. 多项式的定义 令R是一个数环, 并且R含有数1, 因而R含有全体整数。在这一章里, 凡是说到数环, 都作这样的约定, 不再每次重复。 先讨论R上一元多项式。 定义1 数环R上一个文字x的多项式或一元多项式指的是形式表达式 a0+a1x+ a2x2+…+ a n x n (1) 这里n是非负整数而a0, a1, a2, …, a n都是R中的数。 在多项式 (1)中, a0叫做零次项或常数项, a1x叫做一次项, 一般地，a i x i叫做第i次项, a i叫做第i次项的系数。 一元多项式常用符号f(x), g(x), …来表示。 2. 相等多项式: 定义2 若是数环R上两个一元多项式f(x)和g(x)有完全相同的项, 或者只差一些系数为零的项, 那么f(x)和g(x)说是相等; f (x)=g(x) 定义3a n x n叫做多项式a0+a1x+ a2x2+…+ a n x n, ( a n≠0)的最高次项，非负整数n叫做多项式a0+a1x+…+ a n x n, (a n≠0)的次数。称a n为多项式的首项系数。 系数全为零的多项式没有次数, 这个多项式叫做零多项式。按照定义2, 零多项式总可以记为0。以后谈到多项式f(x)的次数时, 总假定f(x)≠0。 多项式的次数有时就简单地记作?°(f(x))。