2008年高考理科数学(安徽)卷

2008年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）

数 学（理科）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第Ⅱ卷第3至第4页．全卷满分150分，考试时间120分钟．

第I 卷（选择题共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． （1）．复数 3

2

(1)i i += A ．2

B ．－2

C ．

2i D ．2i -

（2）．集合{}|lg ,1A y R y x x =∈=>，}{

2,1,1,2B =--则下列结论正确的是 A. }{

2,1A B =-- B ． ()(,0)R C A B =-∞ C. (0,)A B =+∞

D ．}{

()2,1R C A B =--

（3）．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若(2,4)AB = ，(1,3)AC = ,则AB =

A ． （－2，－4）

B ．（－3，－5）

C ．（3，5）

D ．（2，4）

（4）．已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是 A ．,,m n m n αα若则‖‖‖

B ．,,αγβγαβ⊥⊥若则‖

C ．,,m m αβαβ若则‖‖‖

D ．,,m n m n αα⊥⊥若则‖

（5）．将函数sin(2)3

y x π

=+

的图象按向量α平移后所得的图象关于点(,0)12

π

-

中心对

称，则向量α的坐标可能为 A ．(,0)12

π

-

B ．(,0)6

π

-

C ．(

,0)12

π

D ．(

,0)6

π

（6）．设8

8

018(1),x a a x a x +=+++ 则0,18,,a a a 中奇数的个数为 A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

（7）．0a <是方程2

210ax x ++=至少有一个负数根的 A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

（8）．若过点(4,0)A 的直线l 与曲线2

2

(2)1x y -+=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为

A ．[

B ．(

C ．[

D ．(

（9）．在同一平面直角坐标系中，函数()y g x =的图象与x

y e =的图象关于直线y x =对

称。而函数()y f x =的图象与()y g x =的图象关于y 轴对称，若()1f m =-，则m 的值是 A ．e -

B ．1

e

-

C ．e

D ．

1e

（10）．设两个正态分布2

111()(0)N μσσ>，和

2

222()(0)N μσσ>，的密度函数图像如图所示。则有

A ． 1212,μμσσ<<

B ．1212,μμσσ<>

C ．1212,μμσσ><

D ．1212,μμσσ>>

（11）．若函数(),()f x g x 分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足()()x

f x

g x e -=，则有 A ．(2)(3)(0)f f g << B ．(0)(3)(2)g f f << C ．(2)(0)(3)f g f <<

D ．(0)(2)(3)g f f <<

（12）12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前

排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是 A ．2

2

83C A

B ．26

86C A

C ．22

86C A

D ．22

85C A

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡的相应位置． （13）

．函数2()f x =

的定义域为 ．

（14）在数列{}n a 在中，542

n a n =-

，212n a a a an bn ++=+ ，*

n N ∈,其中,a b 为常数，则lim n n

n n

n a b a b →∞-+的值是

（15）若A 为不等式组0

02x y y x ≤??≥?

?-≤?

表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线

x y a += 扫过A 中的那部分区域的面积为

（16）已知,,,A B C D 在同一个球面上,,AB BCD ⊥平面,BC CD ⊥若6,AB =

AC =8AD =,则,B C 两点间的球面距离是

三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （17）．（本小题满分12分） 已知函数()cos(2)2sin()sin()344

f x x x x π

ππ

=-

+-+

（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程 （Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]122

ππ

-上的值域

（18）．（本小题满分12分

如图，在四棱锥O A B C D -中，底面ABC D 四边长为1的菱形，4

ABC π

∠=

,

OA ABCD ⊥底面, 2OA =,M 为OA 的中点，N 为BC 的中点

（Ⅰ）证明：直线MN OCD

平面‖；

（Ⅱ）求异面直线AB 与MD 所成角的大小； （Ⅲ）求点B 到平面OCD 的距离。

(19)．（本小题满分12分）

为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物。某人一次种植了n

株沙柳，各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为p ，设ξ为成活沙柳的株数，数学期望

3E ξ=，标准差σξ

（Ⅰ）求n,p 的值并写出ξ的分布列；

（Ⅱ）若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率

N

B

（20）．（本小题满分12分） 设函数1

()(01)ln f x x x x x

=

>≠且 （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；

（Ⅱ）已知12a

x

x >对任意(0,1)x ∈成立，求实数a 的取值范围。

（21）．（本小题满分13分）

设数列{}n a 满足3

*

010,1,,n n a a ca c c N c +==+-∈其中为实数

（Ⅰ）证明：[0,1]n a ∈对任意*

n N ∈成立的充分必要条件是[0,1]c ∈；

（Ⅱ）设103c <<

，证明：1*

1(3),n n a c n N -≥-∈; （Ⅲ）设103c <<，证明：222

*1221,13n a a a n n N c

++>+-∈-

（22）．（本小题满分13分）

设椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>过点M ，且着焦点为1(F

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）当过点(4,1)P 的动直线l 与椭圆C 相交与两不同点,A B 时，在线段AB 上取点Q ，

满足AP QB AQ PB = ，证明：点Q 总在某定直线上

参考答案

一. 选择题

1A 2D 3B 4D 5C 6A 7B 8C 9B 10A 11D 12C 二. 13: [3,)+∞ 14: 1 15: 74 16: 43

π

三. 解答题

17解：（1）()cos(2)2sin()sin(

)344

f x x x x π

ππ

=-

+-+

1cos 22(sin

cos )(sin cos )2x x x x x x =

++-+ 22

1cos 22sin cos 2x x x x =+- 1cos 22cos 222x x x =

+-sin(2)6x π=- 2T 2

ππ∴==周期 由2(),()6

2

23

k x k k Z x k Z π

π

ππ

π-

=+

∈=

+∈得 ∴函数图象的对称轴方程为 ()3

x k k Z π

π=+

∈

（2）5[,],2[,]122636

x x ππ

πππ

∈-

∴-∈- 因为()sin(2)6

f x x π

=-在区间[,]123ππ-

上单调递增，在区间[,]32

ππ

上单调递减，

所以

当3

x π

=

时，()f x 去最大值 1

又 1()()12

222f f

π

π-

=-

<= ，当12

x π

=-时，()f x 取最小值2-

所以 函数 ()f x 在区间[,]122

ππ

-

上的值域为[,1]2- 18 方法一（综合法）

（1）取OB 中点E ，连接ME ，NE

ME CD ME CD ∴ ，‖AB,AB ‖‖

又,NE OC MNE OCD ∴ 平面平面‖‖

MN OCD ∴平面‖

（2）CD ‖AB,

M D C ∠∴为异面直线AB 与MD 所成的角（或其补角） 作,AP CD P ⊥于连接MP

⊥⊥平面A BC D ，∵OA ∴CD MP

,4

2

ADP π

∠=

∵∴DP =

MD ==，1cos ,23

DP MDP MDC MDP MD π

∠=

=∠=∠=∴ 所以 AB 与MD 所成角的大小为

3

π

（3）AB 平面∵∴‖OCD,点A 和点B 到平面OCD 的距离相等，连接OP,过点A 作

AQ OP ⊥ 于点Q ，,,,AP CD OA CD CD OAP AQ CD ⊥⊥⊥⊥平面∵∴∴

又 ,AQ OP AQ OCD ⊥⊥平面∵∴,线段AQ 的长就是点A 到平面OCD 的距离

2

OP ====∵

，

2

AP DP ==

223OA AP AQ OP === ∴，所以点B 到平面OCD 的距离为23 方法二(向量法)

作AP CD ⊥于点P,如图,分别以AB,AP,AO 所在直线为,,x y z 轴建立坐标系

(0,0,0),(1,0,0),((0,0,2),(0,0,1),(1A B P D O M N

(1)(11),(0,2),(2)44222MN OP OD =-

-=-=-- 设平面OCD 的法向量为(,,)n x y z =,则0,0n OP n OD ==

即

2022022

y

z x y z -=????

-+-=??

取z =,解得n =

(11)(0,

0MN n =

-= ∵

MN OCD ∴平面‖

(2)设AB 与MD 所成的角为θ,(1,0,0),(1)AB MD ==- ∵ 1c o s ,2

3AB MD AB MD π

θθ===?

∴∴

, AB 与MD 所成角的大小为3π (3)设点B 到平面OCD 的交流为d ,则d 为OB

在向量n =上的投影的绝对值,

由 (1,0,2)OB =- , 得23

OB n d n ?==

.所以点B 到平面OCD 的距离为2

3

19 (1)由2

33,()(1),2E np np p ξσξ===-=

得112p -=,从而1

6,2

n p == ξ的分布列为

ξ 0

1

2

3

4

5

6

P

1

64 664 1564 2064 1564 664 164

(2)记”需要补种沙柳”为事件A, 则()(3),P A P ξ=≤ 得

16152021(),6432P A +++== 或 156121

()1(3)16432P A P ξ++=->=-=

20 解 (1) '

22ln 1(),ln x f x x x +=-若 '()0,f x = 则 1x e

= 列表如下

x

1

(0,)e 1e

1(,1)e

(1,)+∞

'()f x

+

0 -

-

()f x

单调增

极大值1()f e

单调减

单调减

(2) 在 12a

x

x > 两边取对数, 得

1

ln 2ln a x x

>,由于01,x <<所以 1

ln 2ln a x x

>

(1) 由(1)的结果可知,当(0,1)x ∈时, 1

()()f x f e e ≤=-,

为使(1)式对所有(0,1)x ∈成立,当且仅当ln 2

a

e >-,即ln 2a e >-

21解 (1) 必要性 ：120,1a a c ==-∵∴ ，

又 2[0,1],011a c ∈≤-≤∵∴ ，即[0,1]c ∈

充分性 ：设 [0,1]c ∈，对*

n N ∈用数学归纳法证明[0,1]n a ∈ 当1n =时，10[0,1]a =∈.假设[0,1](1)k a k ∈≥

则3

1111k k a ca c c c +=+-≤+-=，且3

1110k k a ca c c +=+-≥-=≥

1[0,1]k a +∈∴，由数学归纳法知[0,1]n a ∈对所有*n N ∈成立

(2) 设 1

03

c <<

，当1n =时，10a =，结论成立 当2n ≥ 时，

3

2

11111,1(1)(1)n n n n n n a ca c a c a a a ----=+--=-++∵∴ 103

C <<

∵,由（1）知1[0,1]n a -∈，所以 2

1113n n a a --++≤ 且 110n a --≥ 113(1)n n a c a --≤-∴

2

1

112113(1)(3)(1)(3)(1)(3)n n n n n a c a c a c a c -----≤-≤-≤≤-= ∴

1

*1(3)

()n n a c n N -≥-∈∴

(3) 设 103c <<

，当1n =时，2

120213a c

=>--，结论成立 当2n ≥时，由（2）知1

1(3)

0n n a c -≥->

2

1212(1)1(1(3))12(3)(3)12(3)n n n n n a c c c c ----≥-=-+>-∴ 222222112212[3(3)(3)

]n n n a a a a a n c c c -+++=++>--+++ ∴

2(1(3))2

111313n c n n c c

-=+->+---

22解 (1)由题意：

2222222211c a b

c a b ?=?

?+=???=-?

，解得22

4,2a b ==，所求椭圆方程为 22142x y +=

(2)方法一

设点Q 、A 、B 的坐标分别为1122(,),(,),(,)x y x y x y 。

由题设知,,,AP PB AQ QB

均不为零，记AP AQ PB QB λ==

,则0λ>且1λ≠

又A ，P ，B ，Q 四点共线，从而,AP PB AQ QB λλ=-=

于是 12

41x x λλ-=-， 12

11y y λλ-=-

12

1x x x λλ

+=+， 12

1y y y λλ

+=

+

从而

222

12241x x x λλ-=-， （1） 222

122

1y y y λλ

-=-， （2） 又点A 、B 在椭圆C 上，即

2

2

1124,(3)x y += 22

2224,(4)x y += （1）+（2）×2并结合（3），（4）得424s y += 即点(,)Q x y 总在定直线220x y +-=上 方法二

设点1122(,),(,),(,)Q x y A x y B x y ，由题设，,,,PA PB AQ QB

均不为零。

且 PA PB AQ QB

=

又 ,,,P A Q B 四点共线，可设,(0,1)PA AQ PB BQ λλλ=-=≠±

,于是

1141,11x y

x y λλλλ--=

=

-- （1） 2241,11x y

x y λλλλ

++==

++ （2） 由于1122(,),(,)A x y B x y 在椭圆C 上，将（1），（2）分别代入C 的方程2

2

24,x y +=整理得

222(24)4(22)140x y x y λλ+--+-+= （3） 222(24)4(22)140x y x y λλ+-++-+= (4)

(4)－(3) 得 8(22)0

x y λ+-= 0,220x y λ≠+-=∵∴

即点(,)Q x y 总在定直线220x y +-=上