高一上学期期中考试数学试题及答案解析
高一上学期期中数学卷
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 设集合A ={1，2，4}，B ={x |x 2-4x +m =0}．若A ∩B ={1}，则B =（ ）
A. {1,?3}
B. {1,0}
C. {1,3}
D. {1,5} 2. 设函数f （x ）={x 2+1，x ≤1
2
x
，x ＞1，则f （f （3））=（ ）
A. 1
5
B. 3
C. 2
3
D. 13
9
3. 如果幂函数y =（m 2-3m +3）x m 2
?m?2的图象不过原点，则m 取值是（ ） A. ?1≤m ≤2 B. m =1或m =2 C. m =2 D. m =1 4. 设a =0.80.7，b =0.80.9，c =1.20.8，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）
A. a >b >c
B. b >c >a
C. c >a >b
D. c >b >a
5. 用二分法求函数f （x ）=ln x -2
x 的零点时，初始的区间大致可选在（ ）
A. (1,2)
B. (2,3)
C. (3,4)
D. (e,+∞)
6. 函数f （x ）=√2?2x +1
log 3
x 的定义域为（ ）
A. {x|x <1}
B. {x|0 C. {x|0 D. {x|x >1} 7. 已知函数f （x ）=a x -2，g （x ）=log a |x |（其中a ＞0且a ≠1），若f （4）g （4）＜0， 则f （x ），g （x ）在同一坐标系内的大致图象是（ ） A. B. C. D. 8. 方程|log a x |=（1 a ）x 有两个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A. (1,+∞) B. (1,10) C. (0,1) D. (10,+∞) 9. 设奇函数f （x ）在（0，+∞）上为单调递减函数，且f （2）=0，则不等式 3f(?x)?2f(x) 5x ≤0 的解集为（ ） A. (?∞,?2]∪(0，2] B. [?2,0]∪[2,+∞) C. (?∞,?2]∪[2,+∞) D. [?2,0)∪(0,2] 10. 已知f （x ）={(a ?3)x +4a,x ≥0a x ,x<0 ，对任意x 1≠x 2都有 f(x 1)?f(x 2)x 1?x 2 ＜0成立，则a 的取 值是（ ） A. (0,3) B. (1,3] C. (0,1 4] D. (?∞,3) 11. 定义域为D 的函数f （x ）同时满足条件①常数a ，b 满足a ＜b ，区间[a ，b ]?D ，② 使f （x ）在[a ，b ]上的值域为[ka ，kb ]（k ∈N +），那么我们把f （x ）叫做[a ，b ]上的 “k 级矩阵”函数，函数f （x ）=x 3是[a ，b ]上的“1级矩阵”函数，则满足条件的常数对（a ，b ）共有（ ） A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对 12. 已知定义在D =[-4，4]上的函数f （x ）={|x 2+5x +4|，?4≤x ≤0 2|x ?2|，0＜x ≤4，对任意x ∈D ， 存在x 1，x 2∈D ，使得f （x 1）≤f （x ）≤f （x 2），则|x 1-x 2|最大与最小值之和为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 不等式|x -3|+|x -5|≥4的解集为______． 14. 若函数y =x 2-4x -2的定义域为[0，m ]，值域为[-6，-2]，则m 的取值范围是______． 15. 已知偶函数f （x ）在区间（0，+∞）单调递增，则满足f(2x ?1)＜f(1 3)的x 取值范 围是______． 16. 已知函数f （x ）={x 2?2mx +4m,x >m |x|,x≤m ，其中m ＞0，若存在实数b ，使得关于x 的方程f （x ）=b 有三个不同的根，则m 的取值范围是______． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. （1）已知x +1 x =3，求x 2+1x 2的值； （2）已知a ，b ，c 为正实数，且a x =b y =c x ，1x +1y +1 z =0，求abc 的值． 18. 已知集合A ={x |x 2-4x -5≥0}，集合B ={x |2a ≤x ≤a +2}． （1）若a =-1，求A ∩B 和（?R A ）∪B ； （2）若A ∩B =B ，求实数a 的取值范围． 19. 为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒，已知药物释放过程中，室内 每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为y =（1 16）t -a （a 为常数），如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题： （1）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）之间的函数关系式． （2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进入教室，那从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室． 20. 已知f （x ）=x+a x 2+bx+1是定义在[-1，1]上的奇函数． （1）求f （x ）的解析式； （2）判断并证明f （x ）的单调性； （3）解不等式：f （x ）-f （1-x ）＜0． 21. 已知函数f （x ）=ax 2+bx +1（a ，b 为常数），x ∈R ．F （x ）={?f(x)(x <0)f(x)(x>0) ． （1）若f （-1）=0，且函数f （x ）的值域为[0，+∞），求F （x ）的表达式； （2）在（1）的条件下，当x ∈[-2，2]时，g （x ）=f （x ）-kx 是单调函数，求实数k 的取值范围； （3）设m ?n ＜0，m +n ＞0，a ＞0，且f （x ）为偶函数，判断F （m ）+F （n ）能否大于零？ 22. 定义在D 上的函数f （x ），如果满足：对任意x ∈D ，存在常数M ＞0，都有|f （x ） |≤M 成立，则称f （x ）是D 上的有界函数，其中M 称为函数f （x ）的上界． 已知函数f （x ）=1+a ?（1 2）x +（1 4）x ；g （x ）= 1?m?x 21+m?x 2 （Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）值域并说明函数f（x）在（-∞，0）上是否为有界函数？ （Ⅱ）若函数f（x）在[0，+∞）上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围；（Ⅲ）已知m＞-1，函数g（x）在[0，1]上的上界是T（m），求T（m）的取值范围． 答案和解析 1.【答案】C 【解析】 解：集合A={1，2，4}，B={x|x2-4x+m=0}． 若A∩B={1}，则1∈A且1∈B， 可得1-4+m=0，解得m=3， 即有B={x|x2-4x+3=0}={1，3}． 故选：C． 由交集的定义可得1∈A且1∈B，代入二次方程，求得m，再解二次方程可得集合B． 本题考查集合的运算，主要是交集的求法，同时考查二次方程的解法，运用 定义法是解题的关键，属于基础题． 2.【答案】D 【解析】 解：函数f（x）=，则f（3）=， ∴f（f（3））=f（）=+1=， 故选：D． 由条件求出f（3）=，结合函数解析式求出f（f（3））=f（）=+1，计算求得结果． 本题主要考查利用分段函数求函数的值的方法，体现了分类讨论的数学思想，求出f（3）=，是解题的关键，属于基础题． 3.【答案】B 【解析】 解：幂函数的图象不过原点，所以 解得m=1或2，符合题意． 故选：B． 幂函数的图象不过原点，所以幂指数小于等于0，系数为1，建立不等式组，解 之即可． 本题主要考查了幂函数的图象及其特征，考查计算能力，属于基础题． 4.【答案】C 【解析】 解：由于函数y=0.8x在R上是减函数，1＞0.9＞0.7＞0， ∴0.80=1＞0.80.7＞0.80.9＞0.81，即1＞a＞b． 由于函数y=1.2x在R上是增函数，0.8＞0，∴1.20.8＞1.20＞1，即c＞1． 综上可得，c＞a＞b， 故选：C． 函数y=0.8x在R上是减函数可得1＞a＞b，再根据函数y=1.2x在R上是增函数，可得c＞1，由此可得a，b，c的大小关系． 本题主要考查指数函数的单调性和特殊点，属于基础题． 5.【答案】B 【解析】 解：函数f（x）=lnx-在区间（2，3）上连续且单调递增，f（2）=ln2-1＜0，而f（3）=ln3-＞1-＞0， f（2）f（3）＜0，故用二分法求函数f（x）=lnx-的零点时，初始的区间大致可选在（2，3）上． 故选：B． 函数f（x）=lnx-在区间（2，3）上连续且单调递增，f（2）＜0，而f（3）＞1-＞0，f（2）f（3）＜0，由此可得函数的零点所在的初始区间． 本题主要考查函数的零点的定义，判断函数的零点所在的区间的方法，属于 基础题． 6.【答案】B 【解析】 解：要使函数有意义，则， 即，得0＜x＜1， 即函数的定义域为{x|0＜x＜1}， 故选：B． 根据函数成立的条件即可求函数的定义域． 本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件，比较基础． 7.【答案】B 【解析】 解：∵f（4）=a2＞0， ∴由f（4）g（4）＜0，得g（4）＜0，即g（x）=log a4＜0，得0＜a＜1，即f（x）是减函数，排除A，C 函数g（x）是偶函数，当x＞0时，g（x）是减函数，排除D， 则对应的图象为B， 故选：B． 结合指数函数的性质，得到f（4）＞0，g（4）＜0，得到0＜a＜1，结合指数函数和对数的单调性和奇偶性进行判断即可． 本题主要考查函数图象的识别和判断，结合指数函数，对数函数的性质是解决本题的关键． 8.【答案】A 【解析】 解：函数y=|log a x|与函数y=（）x的图象如下： 由图象可知：a＞1． 故选：A． 根据两个函数y=（）x与y=|lpg a x|的图象可得． 本题考查了函数与方程的综合运用，属中档题． 9.【答案】D 【解析】 解：∵函数f（x）在（0，+∞）上为单调递减函数，且f（2）=0 ∴函数f（x）在（0，2）的函数值为正，在（2，+∞）上的函数值为负 当x＞0时，不等式等价于3f（-x）-2f（x）≤0 又奇函数f（x），所以有f（x）≥0 所以有0＜x≤2 同理当x＜0时，可解得-2≤x＜0 综上，不等式的解集为[-2，0）∪（0，2] 故选：D． 由题设条件，可得出函数f（x）在（0，2）的函数值为正，在（2，+∞）上的函数值为负，再利用函数奇函数的性质对不等式进行化简，解出不等式的解集，选正确选项 本题考查函数单调性与奇偶性的综合，解题的关键是综合利用函数的奇偶性与单调性对函数值的符号作出正确判断，对不等式的分类化简也很重要．本题考查了转化的思想及推理判断的能力，有一定的综合性，是高考考查的重 点． 10.【答案】C 【解析】 解：∵f（x）=，对任意x1≠x2都有＜0成立， ∴f（x）=为R上的减函数， ∴， 解得0＜a≤． 故选：C． 由题意可知，f（x）=为减函数，从而可得不等式组，由此可求得a的取值范围． 本题考查函数单调性的性质，判断出f（x）=为R上的减函数是关键，得到4a≤1是难点，属于中档题． 11.【答案】C 【解析】 解：由题意，函数f（x）=x3是[a，b]上的“1级矩阵”函数，即满足条件①常数a，b满足a＜b，区间[a，b]?D，②使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b] ∵函数f（x）=x3是[a，b]上的单调增函数 ∴，∴满足条件的常数对（a，b）为（-1，0），（-1，1），（0，1） 故选：C． 函数f（x）=x3是[a，b]上的“1级矩阵”函数，即满足条件①常数a，b满足a＜b，区间[a，b]?D，②使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]，利用函数f（x）=x3是[a，b]上的单调增函数，即可求得满足条件的常数对． 本题考查了新定义型函数的理解和运用能力，函数单调性的应用，转化化归 的思想方法 12.【答案】B 【解析】 解：画函数f（x）的图象如图： 从图象上看，要满足对任意x∈D，存在x1，x2∈D，使得f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立： ∵f （-4）=0，f （4）=4，∴任意x ∈D ，f （-4）≤f （x ）≤f （4），故满足|x 1-x 2|最大值为8， 而对于任意x ∈D ，f （x ）≤f （x ）≤f （x ），故满足|x 1-x 2|最小值为0， 则|x 1-x 2|最大与最小值之和为8+0=8， 故选：B ． 先画函数f （x ）的图象如图，从图象上看，求适合使得f （x 1）≤f （x ）≤f （x 2）成立的|x 1-x 2|最大值与最小值． 本题主要考查函数求最值的方法，特别是分段函数的最值求法，对于较复杂的函数可以考虑画函数的图象，结合图形解题． 13.【答案】{x |x ≤2或x ≥6} 【解析】 解：|x-3|+|x-5|≥4?或或， 解得x≤2或x≥6， 故答案为{x|x≤2或x≥6} 分三段去绝对值解不等式组，在相并可得． 本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题． 14.【答案】[2，4] 【解析】 解：∵函数y=x 2-4x-2=（x-2）2-6 的定义域为[0，m]，值域为[-6，-2]， f （0）=-2，f （2）=-6， 可得2∈[0，m]，且 2≤m≤2+2=4， 故m 的范围为[2，4]， 故答案为：[2，4]． 由题意可得2∈[0，m]，且 2≤m≤2+2=4，由此求得m 的取值范围． 本题主要考查二次函数的性质的应用，属于基础题． 15.【答案】（1 3，2 3） 【解析】 解：根据题意，偶函数f （x ）在区间（0，+∞）单调递增， 则 ?|2x-1|＜， 解可得：＜x＜， 即x的取值范围为（，）； 故答案为：（，）． 根据题意，由函数的奇偶性与单调性分析可得|2x-1|＜，解可得x的取值范围，即可得答案． 本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是利用函数的奇偶性与单调性得到关于x的不等式． 16.【答案】（3，+∞） 【解析】 解：当m ＞0时， 函数f（x） = 的图象如 下： ∵x＞m时， f（x） =x2-2mx+4m=（x-m）2+4m-m2＞4m-m2， ∴y要使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根， 必须4m-m2＜m（m＞0）， 即m2＞3m（m＞0）， 解得m＞3， ∴m的取值范围是（3，+∞）， 故答案为：（3，+∞）． 作出函数f（x）=的图象，依题意，可得4m-m2＜m（m＞0），解之即可． 本题考查根的存在性及根的个数判断，数形结合思想的运用是关键，分析得到4m-m2＜m是难点，属于中档题． 17.【答案】解：（1）∵x +1 x =3， ∴x 2+1 x 2=(x +1 x )2?2=7 （2）∵a ，b ，c 为正实数，设a x =b y =c x =k ， ∴x =log a k ，y =log b k ，z =log c k ， ∴1x +1y +1 z =log k a +log k b +log k c =log k abc =0， ∴abc =1 【解析】 （1）由x 2+ = 代入即可求解 （2）由a x =b y =c x =k ，利用指数与对数的互化及对数的换底公式可求 本题主要考查了指数的运算及指数与对数的相互转化，对数的换底公式的简单应用，属于基础试题 18.【答案】解：（1）A ={x |x ≤-1或x ≥5}，B ={x |-2≤x ≤1}…（2分） ∴A ∩B ={x |-2≤x ≤-1}…（4分） ?R A ={x |-1＜x ＜5}…（5分） ∴（?R A ）∪B ={x |-2≤x ＜5}…（7分） （2）∵A ∩B =B ，∴B ?A …（8分） ①若B =φ，则2a ＞a +2，∴a ＞2…（10分） ②若B ≠φ，则{a +2≤?1a≤2 或{2a ≥5a≤2 ，∴a ≤-3…（13分） 综上a ＞2，或a ≤-3…（14分） 【解析】 （1）由此能求出集合A={x|x 2-4x-5≥0}={x|x≤-1或x≥5}，从而能求出（?R A ）∪B ． （2）由A∩B=B ，得B ?A ，由此能求出实数a 的取值范围． 本题考查交集和并集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用． 19.【答案】解：（1）由于图中直线的斜率为k =1 0.1=10， 所以图象中线段的方程为y =10t （0≤t ≤0.1）， 又点（0.1，1）在曲线y =(1 16)t?a 上，所以1=(116)0.1?a ， 所以a =0.1，因此含药量y （毫克）与时间（小时）之间的函数关系式为 y ={10t (0≤t ≤0.1)(116)t?0.1(t ＞0.1) （5分） （2）因为药物释放过程中室内药量一直在增加，即使药量小于0.25毫克，学生也不能 进入教室， 所以，只能当药物释放完毕，室内药量减少到0.25毫克以下时学生方可进入教室，即(1 16)t?0.1＜0.25， 解得t ＞0.6 所以从药物释放开始，至少需要经过0.6小时，学生才能回到教室．（10分） 【解析】 （1）利用函数图象，借助于待定系数法，求出函数解析法，进而发现函数性质； （2）根据函数解析式，挖掘其性质解决实际问题． 根据题意，利用函数的图象，求得分段函数的解析式，利用解析式进一步解决具体实际问题． 20.【答案】解：（1）∵f （x ）=x+a x 2+bx+1是定义在[-1，1]上的奇函数， ∴f （0）=0，即0+a 0+0+1=0，∴a =0． 又∵f （-1）=-f （1），∴?12?b =-1 2+b ， ∴b =0， ∴f （x ）=x x 2+1． （2）函数f （x ）在[-1，1]上为增函数． 证明如下， 任取-1≤x 1＜x 2≤1， ∴x 1-x 2＜0，-1＜x 1x 2＜1， ∴1-x 1x 2＞0． f （x 1）-f （x 2）=x 1x 1 2+1-x 2 x 2 2+1 = (x 1?x 2)(1?x 1x 2) (x 12+1)(x 2 2+1)＜0， ∴f （x 1）＜f （x 2）， ∴f （x ）为[-1，1]上的增函数． （3）∵f （x ）-f （1-x ）＜0， 即f （x ）＜f （1-x ）， ∴{?1≤x ≤1 ?1≤1?x ≤1x ＜1?x 解得0≤x ≤1 2， ∴解集为：{x |0≤x ＜1 2} 【解析】 （1）根据奇函数的性质f （-x ）=-f （x ），列出方程求出a 、b 的值，代入解析式； （2）先判断出函数是减函数，再利用函数单调性的定义证明：取值，作差，变形，定号下结论． （3）根据函数的单调性即可得到关于x 的不等式组，解得即可． 本题考查奇函数的性质的应用，以及函数单调性的判断与证明，解题的关键是掌握函数单调性的定义证明步骤：取值，作差，变形，定号下结论． 21.【答案】解：（1）∵f （-1）=0，∴a -b +1=0①， 又x ∈R ，f （x ）的值域为[0，+∞）， ∴{△=b 2?4a =0a>0 ②， 由①②消掉a 得，b 2-4（b -1）=0， ∴b =2，a =1， ∴f （x ）=x 2+2x +1=（x +1）2． ∴F （x ）={?(x +1)2,(x < 0)(x+1)2,(x>0) ； （2）由（1）知，g （x ）=f （x ）-kx =x 2+2x +1-kx =x 2+（2-k ）x +1=（x +2?k 2 ）2+1- (2?k)2 4 ， 当 2?k 2 ≥2或 2?k 2 ≤-2时， 即k ≥6或k ≤-2时，g （x ）是单调函数． （3）∵f （x ）是偶函数， ∴f （x ）=ax 2+1，F （x ）={?ax 2?1,(x <0)ax 2+1,(x>0) ， ∵m ?n ＜0，设m ＞n ，则n ＜0． 又m +n ＞0， ∴m ＞-n ＞0， ∴|m |＞|-n |， F （m ）+F （n ）=f （m ）-f （n ）=（am 2+1）-an 2-1=a （m 2-n 2）＞0， ∴F （m ）+F （n ）能大于零 【解析】 （1）由f （-1）=0得a-b+1=0①，由x ∈R ，f （x ）的值域为[0，+∞）得：②，联立①②可解a ，b ； （2）由（1）表示出g （x ），根据抛物线对称轴与区间[-2，2]位置可得不等式，解出即可； （3）由f （x ）为偶函数可得b=0，从而可表示出F （x ），由mn ＜0，不妨设m ＞0， n ＜0，则m ＞-n ＞0，即|m|＞|-n|，由此刻判断F （m ）+F （n ）的符号． 本题考查函数的奇偶性、单调性及其综合应用，考查二次函数的有关性质，考查学生分析解决问题的能力． 22.【答案】解：（Ⅰ）∵f （x ）=1+a ?（1 2）x +（1 4）x ， ∴当a =1时，f(x)=1+(1 2)x +(1 4)x ， ∵y =(1 4)x 和y =(1 2)x 在R 上是单调递减函数， ∴f （x ）在R 上是单调递减函数， ∴f （x ）在（-∞，0）上是单调递减函数， ∴f （x ）＞f （0）=3， ∴f （x ）在（-∞，0）的值域为（3，+∞）， ∴|f （x ）|＞3， 故不存在常数M ＞0，使|f （x ）|≤M 成立， ∴函数f （x ）在（-∞，0）上不是有界函数； （Ⅱ）∵函数f （x ）在[0，+∞）上是以3为上界的有界函数， ∴由题意知，|f （x ）|≤3在[0，+∞）上恒成立， ∴-3≤f （x ）≤3在[1，+∞）上恒成立， ∴?4?(1 4)x ≤a ?(1 2)x ≤2?(1 4)x 在[0，+∞）上恒成立， ∴?4?2x ?(1 2)x ≤a ≤2?2x ?(1 2)x 在[0，+∞）上恒成立， ∴[?4?2x ?(1 2)x ]max ≤a ≤[2?2x ?(1 2)x ]min ， 令t =2x ，由x ∈[0，+∞），可得t ≥1， ∴?(t)=?4t ?1 t ，p(t)=2t ?1 t ， 下面判断函数h （t ）和p （t ）的单调性： 设1≤t 1＜t 2，则t 2-t 1＞0，4t 1t 2-1＞0，t 1t 2＞0，2t 1t 2+1＞0， ∴?(t 1)??(t 2)=(t 2?t 1)(4t 1t 2?1) t 1t 2 ＞0， p(t 1)?p(t 2)= (t 1?t 2)(2t 1t 2+1) t 1t 2 ＜0， ∴h （t 1）＞h （t 2），p （t 1）＜p （t 2）， ∴h （t ）在[1，+∞）上递减，p （t ）在[1，+∞）上递增 ∴h （t ）在[1，+∞）上的最大值为h （1）=-5， p （t ）在[1，+∞）上的最小值为p （1）=1， ∴-5≤a ≤1， ∴实数a 的取值范围为[-5，1]； （Ⅲ）g （x ）= 1?m?x 21+m?x 2 =-1+2 m?x +1， ①当m ＞0时，x ∈[0，1]， ∵y =m ?x 2+1在[0，1]上单调递增， ∴g （x ）在[0，1]上递减， ≤g(x)≤1， ∴g（1）≤g（x）≤g（0），即1?m 1+m |＜1， ∵|1?m 1+m ∴|g（x）|＜1， ∵函数g（x）在[0，1]上的上界是T（m），由有界函数的定义可得， |g（x）|≤T（m）任意x∈[0，1]恒成立， ∴T（m）≥1； ②当m=0时，g（x）=1，|g（x）|=1， ∵函数g（x）在[0，1]上的上界是T（m），由有界函数的定义可得， |g（x）|≤T（m）任意x∈[0，1]恒成立， ∴T（m）≥1； ③当-1＜m＜0时，x∈[0，1]， ∵y=m?x2+1在[0，1]上单调递减， ∴g（x）在[0，1]上递增， ∴g（0）≤g（x）≤g（1），即1≤g(x)≤1?m ， 1+m ∴|g(x)|＜1?m ， 1+m ∵函数g（x）在[0，1]上的上界是T（m），由有界函数的定义可得， |g（x）|≤T（m）任意x∈[0，1]恒成立， ∴T(m)≥1?m ． 1+m 综合①②③，当m≥0时，T（m）的取值范围是[1，+∞）， ，+∞)． 当-1＜m＜0时，T（m）的取值范围是[1?m 1+m 【解析】 （Ⅰ）将a=1代入f（x）可得，利用指数函数的单调性判断出f（x）在（-∞，0）上是单调递减函数，即可求得f（x）＞f（0），从而得到f（x）的值域，根据有界函数函数的定义，即可判断出f（x）不是有界函数； （Ⅱ）根据有界函数的定义，可得|f（x）|≤3在[0，+∞）上恒成立，利用参变量分 离转化为在[0，+∞）上恒成立，令t=2x，则 ，，问题转化为求h（t）的最大值和p（t）最小值，利用函数单调性的定义，分别判断出函数h（t）和p（t）的单调性，即可求得最值，从容求得a的取值范围． （Ⅲ）将函数g（x）=变形为g（x）=-1+，对参数m进行分类讨论，当m＞0时，确定函数g（x）的单调性，根据单调性可得g（x）的取值范围，从而 确定|g（x）|的范围，利用有界函数的定义，转化为|g（x）|≤T（m）任意x∈[0，1]恒成立，利用所求得的g（x）的范围，即可求得T（m）的取值范围，同理研究当 m=0和当-1＜m＜0时的情况，综上所求范围，即可求得T（m）的取值范围． 本题考查了函数的恒成立问题，函数的最值的应用．对于函数的恒成立问题，一般选用参变量分离法、最值法、数形结合法进行求解．本题选用了参变量 分离的方法转化成求最值问题．本题涉及了函数的求最值和值域问题，解题 中主要运用了函数的单调性求解最值和值域．对于本题中的新定义问题，要 严格按照题中所给定义分析，将陌生的问题转化为所熟悉的问题，本题转化 为恒成立问题．属于难题． 高一上学期期中考试数学试题 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. {1，2}_____{?，1，2，{1，2}}横线上可以填入的符号有（ ） A. 只有∈ B. 只有? C. ?与∈都可以 D. ?与∈都不可以 2. 若函数f （x ）的定义域为[-1，4]，则函数f （2x -1）的定义域为（ ） A. [0,5 2] B. [?7,3] C. [?1 2,2] D. [?1,4] 3. 设a =log 3π，b =log 2√3，c =log 3√2，则（ ） A. a >b >c B. a >c >b C. b >a >c D. b >c >a 4. 设a ，b ∈R ，集合{1，a +b ，a }={0，b a ， b }，则b -a =（ ） A. 1 B. ?1 C. 2 D. ?2 5. 如图，设a ，b ，c ，d ＞0，且不等于1，y =a x ，y =b x ，y =c x ，y =d x 在同一坐标系中的 图象如图，则a ，b ，c ，d 的大小顺序（ ） A. a B. a C. b