第五章-多元函数微分学习题参考答案

第五章多元函数微分学习题

练习5.1

1.在空间直角坐标系下,下列方程的图形是什么形状? (1) )(422

2

椭圆抛物面z y x =+ (2)

圆锥面）(4222z y x =+

(3) 椭球面）(19

164222=++z y x (4) 圆柱面）(12

2=+z x 2.求下列函数的定义域: (1)y x z --=

解：??

?≥-≥0

y x y

即??

?

??≥≥≥y x x y 200 ∴函数的定义域为{

}y x y x y x ≥≥≥2,0,0|),(

(2) z =解：0≥-y x

{}0|),(≥-∴y x y x 函数的定义域为

3. ()y x f ,对于函数=

y

x y

x +-,证明不存在),(lim 0y x f x →

分析：由二元函数极限定义，我们只须找到沿不同路径0(0,0)p p →时，所

得极限值不同即可。

证明：

①(,)0,0)(0,0)p x y x x y p ≠=0当沿轴(此时趋于时，

(,)(,0)1,lim (,)1x y f x y f x f x y →→===

②当0(,)(0)00p x y y kx k p =≠沿直线趋于（，）时， 0011(,)lim (,)1(0)11x y x kx k k

f x y f x y k x kx k k

→→---=

==≠≠+++

综合①②可知函数极限不存在，证毕。

练习5.2

1.求下列函数的偏导数 ①;,,33y

z x z xy y x z ????-=求 解：

23323,3xy x y

z y y x x z -=??-=?? ②;,,)ln(y

z

x z xy z ????=求

解：[]1

211ln()

2z xy y x xy -?=??=?

[]1

211ln()

2z xy x y xy -

?=??=? ③222ln(),,z z z x x y x x y

??=+???求

解：

1ln()z x y x x x y

?=++??+ 2222)(2)(1))(ln()(y x y x y x x y x y x y x x y x x x

z x x z ++=

+-+++=+++??=????=??

222

1()(ln())()()z z x x y

x y x y y x y x y x y x y x y ????==++=-=?????++++ ④;,3z

y x u

e u xyz

????=求

解；2

2,()xyz xyz xyz xyz u u yze ze yzxze z xyz e x x y

??==+=+??? 3222()(())(12)()xyz xyz xyz

u u z xyz e xyz e z xyz xye x y z z x y z

????==+=+++???????

=)31()21(222222z y x xyz e z y x xyz xyz e xyz xyz ++=+++

2．设y

f y f e

y x f y xy ?-?+=→?)

1,2()1,2(lim

,),(0

2

则

解：①2

2(1)200(2,1)(2,1)0

lim lim ()0

y y y f y f e e y y +??→?→+?--=??未定式

2

2(1)04(1)10lim 1

y y e y +??→?+??-= = 42e ②2220

1

(2,1)(2,1)

lim

(2,1)24xy y x y y f y f f e xy

e y

=?→=+?-'==?=?

3．设23ln(1),111x y z u

x y z u u u '''=+++++在点（，，）处求

解：2311x u x y z '=

+++ 23

21y

y

u x y z '=+++ 22331z z u x y z '=+++ (1,1,1)

1233

()|4442

x y z u u u '''∴++=++= 4．设2

,20x

y z z

z e x

y x y

??=+=??求证: 证明：2

2221x

x

y y z e y e x y

-?=?=?Q 22331

(2)2x x

y y z e x xy e y y

-?=??-=-?Q

222223231

22(2)22x x x x

y y y y z z x y xy e ye x xy e y xy e x y y

---??∴+=+??-=-?+?? = 0

证毕

练习5.3

1.求下列函数的全微分

(1) 求z xy =在点（2，3）处当时的全增量与全微分与2.01.0-=?=?y x

解：全增量12.068.21.2)3,2()2.03,1.02(-=-?=--+=?f f z

x y dz z dx z dy ydx xdy ''=+=+

(2,3)

0.10.2

30.12(0.2)0.1dx dy dz

==-=?+?-=-

（2）求时的全微分当2,1),1ln(2

2

==++=y x y x z

解：2222

2211z z x y dz dx dy dx dy x y x y x y ??=

+=+??++++ dy dx dy dx dz

3

2

3141144112)

2,1(+=+++++=

（3）,u xy yz zx du =++求

解：u u u

du dx dy dz x y z

???=

++??? dz y x dy z x dx z y )()()(+++++=

2．计算下列各式的近似值

（分析运用公式010000000()(,)(,)(,)x y f x x y y f x y f x y x f x y y ''+?+?≈+?+?）

（1）03

.2)

1.10(

解：令03.0,2,1.0,10,),(00=?==?==y y x x x y x f y 取

2.03(10.1)=00000000(,)(,)(,)(,)x y f x x y y f x y f x y x f x y y ''+?+?≈+?+?

01.0ln 1.010)2,10()

2,10(1

2?+?+=-x x yx y y

9.10810ln 32100≈++= (2) )198.003.1ln(43-+

解:令)1ln(),(43-+=y x y x f 取 02.0,1,03.0,100-=?==?=y y x x 原式(10.03,10.02)f =+-

2

3

(1,1)11)|(0.03)x -≈+-+

?

3

4(1,1)1|(0.02)y -+

?-

= 0+005.002.04

1

03.03

1=?-

? (3) 0046tan 29sin

解：令y x y x f tan sin ),(= 取 00,,,6

180

4

180

x x y y π

π

π

π

=

?=-

=?=

则 原式=)180

4

,

1806

(

π

π

ππ

+

-

f

(,)(,)()(,)

646418064180

x y f f f ππ

ππππππ

''≈+-+ =

2(,)(,)6464

11cos tan |()sin sec |2180180x y x y ππππππ?+-+?

= 0.5023

练习5.4

1. 求下列函数的导数或偏导数。

（1）.,.23,,ln 2

y

z x z y x v y x u v u z ????-==

=求而 解：2

22

23122ln 3ln(32)32x z z u z v u x y u v x y x u x v x y v y x y ??????=+=?+?=-+

?????- 2

2

2)23(3)23ln(2y

y x x y x y x -+-= )

23(2)23ln(2)2()(ln 222

3222y x y x y x y x v u y x v u y v v z y u u z y z ----=-+-?=????+????=?? (2) dt

dz

e y e x x y z t t 求而,1,,2-===

解:

dt dy y z dt dx x z dt dz ??+??= )2(122

t

t e x e x

y -+?-

= 22211

(2)t t t t t e e e e e

-=-?+-

=()t t

e e -=-+

(3) dx

dz

x y y x y x z 求而,32,2-=+-=

解：方法1：

222

2

2323()()2333

(22)(33)(23)3(33)dz d x x d x x dx dx x x dx x x x x x x -+-+==+------+?=

- 2

2)

1(31

2---=x x x 方法2：

dx

dy y f x f dx dz ??+??= =2

22222)1(3122)()()()()()(2---=

?+--+-++--+x x x y x y x y x y x y x y x x （4） 22,cos ,sin ,,z z

z x y xy x u v y u v u v

??=-==??而求

解：

u

y y z u x x z u z ????+????=?? 22(2)cos (2)sin ,xy y v x xy v =-+-

2222(2cos sin sin )cos (cos 2cos sin )sin u v u v u v v u v u v u v v

=?-+-?

=2

3sin cos (cos sin ),u v v v v -

z z x z y v x v y v

?????=+????? =22

(2)(sin )(2)cos xy y u v x xy u v --+-

=3333

2sin cos (sin cos )(sin cos )u v v v v u v v -+++

2.求下列隐函数的导数或偏导数.

（1）.,0ln ln dx

dy

x y xy 求

=-+ 解：①两边同时对x 求导

11

0,y xy y y x

''++

-= 11()y x y y x '+=-

1

1y x y x y

-'=+

2

2y xy x x y -=+

②(,)ln ln F x y xy y x =+-令

1x F y x '=- 1y F x y '=+ 1

1x y y F dy x dx F x y

-

'=-=-'+2

2

y xy x x y -=+ （2）dx

dy xy e y x 求,0sin 2

=-+

解： 两边同时对x 求导

2cos 20x y y e y xyy ''+--=

2

(cos 2)x

y y xy y e '-=- 2

cos 2y y y xy

'=-

3.已知方程222(,)0(,).F x y z x y z z f x y ++++==所确定的函数

,z z

F x y

????且的两个一阶偏导数存在，求

解：①令2

2

2

,,(,)0u x y z v x y z F u v =++=++=则

两边同时对x 求偏导，

0u x u z x v x v z x F u F u z F v F v z ''''''''''?+??+?+??= 11220u u x v v x F F z F x F z z ''''''?+??+?+??=即

22u v x u v F xF z

z x F zF ''+?'=

=-''

?+ 两边同时对y 求偏导，

0u y u z y v y v z y F u F u z F v F v z ''''''''''?+??+?+??=

11220u u y v v y F F z F y F z z ''''''?+??+?+??=即

22u v y u v F yF z

z y F zF ''+?'=

=-''

?+ ②令222,,(,)0u x y z v x y z F u v =++=++=则

122u v u v F F u F v F F x F xF x u x v x

?????''''=+=?+?=+????? 2u v F F u F v

F yF y u y v y

?????''=+=+????? 2u v F F u F v F zF z u z v z

?????''=+=+????? 22u v u v F

F xF z x F x F zF z

?''+??=-=-?''?+? 22u v u v F F yF z y

F y F zF z ?''+??=-=-?''

?+? ③2

2

2

,,(,)0u x y z v x y z F u v =++=++=则

两边同时求微分： 0u v F du F dv ''+=

222()()0u v F d x y z F d x y z ''+++++=

2220u u u v v v F dx F dy F dz xF dx yF dy zF dz ''''''+++++=

2222u v u v u v u v F xF F yF dz dx dy F zF F zF ''''

++=---''''

++

22u v x u v F xF z z x F zF ''+?'=

=-''?+ 22u v y u v

F yF z

z y F zF ''+?'==-''?+

练习5.5

1. 22

9620z x xy y x y =-++-+求二元函数的极值

解：290

4260

1x y z x y x z x y y '=-+==-???

?

'=-+-==??解得 (4,1)20,(4,1)1,(4,1)2xx xy yy A z B z C z ''''''=-=>=-=-=-=Q 又 03412<-=-=-=?AC B 是极小值1|)1,4(-=∴-Z

226012022515z x y x xy y x y =+---+=2.求二元函数 在条件下的极值

解：2

2

(,,)60120225(15)F x y x y x xy y x y λλ=+---++-

604201202100150x y F x y F x y F x y λλλ'=--+=??

'=--+=??'=+-=?

解得 6

918x y λ=??

=??=-?

因为只有唯一的一个驻点，

且2222

()(30)(230)230z x y x y =-+----+?应有极大值，

故极大值855|)9,6(=z

12112212

1212123.,,82,102532,,Q Q x x Q P P Q P P C Q Q P P x x P P =-+=+-=+1212设分别为商品,的需求量而它们的需求量为总成本函数为,其中为商品,的价格.试问价格取何值时可使利润最大?

121122(,)R P P PQ P Q =+解: 22

11122122821025P

P PP P PP P =-+++- 121212(,)3(82)2(1025)

C P P P P P P =?-+++- 22

121212714544

L R C P P P P PP =-=+--+-利润函数 12121221724063/214141040P P

L P P P P L P P '=-+=?=????

'==-+=???解得为唯一驻点 1112

63

63

14201442

2

P P P P A L B L ''''==-<==Q （，）（，） 22

21

263

141040,263

,142

P P C L B AC L P P ''==--=-<==（，）有极大值.故在时利润最大.

练习5.6

221.,(,)64244321464440403248024(40,24)40x y xx x y L x y x x xy y y x y x y x y L x y x L x y y A L =-+-+-'=-+==????

'

=+-==??''==-

xy

yy B L C L ''''====-()()2160,40,2440,241650.

B A

C L ∴-=-<=故在取得极大值,即为最大值最大值()()()32

2

2.1

3(,)71341225024

x y

C x y x

y xy x y =+

-+++某公司同时销售煤气和电力，煤气的销量为单位:万米,电力的销量为单位:千瓦，总成本函数为单位:万元(),4360.,4360x y x y C x y x y +-=+-=其中满足问应如何安排销售,才能使总成本最低?

解:条件极值问题,实际中有最小值,即求在条件下的极值.

解：()22

13(,,)71341225043624

F x y x y xy x y x y λλ=

+-+++++-令 ()()3

713440

3138871202814360

x y

F x y F y x x y F x y λλλ'=-++=???'=-++==??'=+-=??382解得=万米千瓦即为销售安排.81()22,6202f L K L K L K =+--3.设某企业和生产函数为 L K 其中表示生产力,表示资本投入.如果这两种生产要素

的单价为4和8,且希望投入的总成本为88.求满足该条件的最大可能生产量.

f L K 解:条件极值问题.实际中有最大可能生产量.所以即求在条件4+8=88下的极大值.

()()2

2

,,62024888L K L K L K L K λλ=+--++-令F

62402048048880(6,8)32

L K

F L F K F L K L K f λ

λλ'=-+=??

'=-+=??'=+-=?∴=解得=6,=8,根据实际意义有最大可能生产量.所求最大生产量