幂函数练习题及答案解析

1．下列幂函数为偶函数的是( ) A ．y ＝x 1

2

B ．y ＝3

x

C ．y ＝x 2

D ．y ＝x －

1 解析：选C.y ＝x 2，定义域为R ，f (－x )＝f (x )＝x 2.

2．若a ＜0，则0.5a,5a,5－

a 的大小关系是( )

A ．5－a ＜5a ＜0.5a

B ．5a ＜0.5a ＜5－

a

C ．0.5a ＜5－a ＜5a

D ．5a ＜5－

a ＜0.5a

解析：选B.5－a ＝(15)a ，因为a ＜0时y ＝x a 单调递减，且15＜0.5＜5，所以5a ＜0.5a ＜5－

a .

3．设α∈{－1,1，1

2

，3}，则使函数y ＝x α的定义域为R ，且为奇函数的所有α值为( )

A ．1,3

B ．－1,1

C ．－1,3

D ．－1,1,3 解析：选A.在函数y ＝x －1

，y ＝x ，y ＝x 1

2，y ＝x 3中，只有函数y ＝x 和y ＝x 3的定义域是R ，且是奇函数，故α＝1,3.

4．已知n ∈{－2，－1,0,1,2,3}，若(－12)n >(－1

3

)n ，则n ＝________.

解析：∵－12<－13，且(－12)n >(－1

3

)n ，

∴y ＝x n 在(－∞，0)上为减函数． 又n ∈{－2，－1,0,1,2,3}， ∴n ＝－1或n ＝2. 答案：－1或2

1．函数y ＝(x ＋4)2的递减区间是(

) A ．(－∞，－4) B ．(－4，＋∞) C ．(4，＋∞) D ．(－∞，4)

解析：选A.y ＝(x ＋4)2开口向上，关于x ＝－4对称，在(－∞，－4)递减．

2．幂函数的图象过点(2，1

4

)，则它的单调递增区间是( )

A ．(0，＋∞)

B ．[0，＋∞)

C ．(－∞，0)

D ．(－∞，＋∞) 解析：选C.

幂函数为y ＝x －

2＝1x

2，偶函数图象如图．

3．给出四个说法：

①当n ＝0时，y ＝x n 的图象是一个点； ②幂函数的图象都经过点(0,0)，(1,1)； ③幂函数的图象不可能出现在第四象限；

④幂函数y ＝x n 在第一象限为减函数，则n ＜0. 其中正确的说法个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

解析：选B.显然①错误；②中如y ＝x －1

2

的图象就不过点(0,0)．根据幂函数的图象可知

③、④正确，故选B.

4．设α∈{－2，－1，－12，13，1

2

，1,2,3}，则使f (x )＝x α为奇函数且在(0，＋∞)上单调

递减的α的值的个数是( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4 解析：选A.∵f (x )＝x α为奇函数，

∴α＝－1，1

3

，1,3.

又∵f (x )在(0，＋∞)上为减函数， ∴α＝－1.

5．使(3－2x －x 2)－

3

4有意义的x 的取值范围是( ) A ．R

B ．x ≠1且x ≠3

C ．－3＜x ＜1

D ．x ＜－3或x ＞1

解析：选C.(3－2x －x 2)－3

4＝

1

4

(3－2x －x 2)3

，

∴要使上式有意义，需3－2x －x 2＞0， 解得－3＜x ＜1.

6．函数f (x )＝(m 2－m －1)x m 2－2m －

3是幂函数，且在x ∈(0，＋∞)上是减函数，则实数m ＝( )

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5 解析：选A.m 2－m －1＝1，得m ＝－1或m ＝2，再把m ＝－1和m ＝2分别代入m 2－2m －3＜0，经检验得m ＝2.

7．关于x 的函数y ＝(x －1)α(其中α的取值范围可以是1,2,3，－1，1

2

)的图象恒过点

________．

解析：当x －1＝1，即x ＝2时，无论α取何值，均有1α＝1， ∴函数y ＝(x －1)α恒过点(2,1)． 答案：(2,1)

8．已知2.4α＞2.5α，则α的取值范围是________．

解析：∵0＜2.4＜2.5，而2.4α＞2.5α，∴y ＝x α在(0，＋∞)为减函数． 答案：α＜0

9．把(23)－13，(35)12，(25)12，(7

6

)0按从小到大的顺序排列____________________．

解析：(76)0＝1，(23)－13＞(23

)0

＝1，

(35)12＜1，(25

)1

2＜1， ∵y ＝x 1

2

为增函数，

∴(25)12＜(35)12＜(76)0＜(23

)－13. 答案：(25)12＜(35)12＜(76)0＜(23)－1

3

10．求函数y ＝(x －1)－

2

3的单调区间．

解：y ＝(x －1)－

2

3＝1(x －1)23

＝

1

3(x －1)2

，定义域为x ≠1.令t ＝x －1，则y ＝t －

2

3，t ≠0为偶函数．

因为α＝－23

＜0，所以y ＝t －

23在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递增．又t ＝x

－1单调递增，故y ＝(x －1)－

2

3在(1，＋∞)上单调递减，在(－∞，1)上单调递增．

11．已知(m ＋4)－

1

2＜(3－2m )－

1

2，求m 的取值范围． 解：∵y ＝x －

1

2的定义域为(0，＋∞)，且为减函数． ∴原不等式化为⎩⎪⎨⎪

⎧

m ＋4＞03－2m ＞0

m ＋4＞3－2m ，

解得－13＜m ＜3

2

.

∴m 的取值范围是(－13，32)．

12．已知幂函数y ＝x m 2＋2m －

3(m ∈Z )在(0，＋∞)上是减函数，求y 的解析式，并讨论此函数的单调性和奇偶性．

解：由幂函数的性质可知

m 2＋2m －3＜0⇒(m －1)(m ＋3)＜0⇒－3＜m ＜1， 又∵m ∈Z ，∴m ＝－2，－1,0.

当m ＝0或m ＝－2时，y ＝x －

3， 定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)． ∵－3＜0，

∴y ＝x －

3在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数，

又∵f (－x )＝(－x )－3＝－x －

3＝－f (x )，

∴y ＝x －

3是奇函数．

当m ＝－1时，y ＝x －

4，定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．

∵f (－x )＝(－x )－4＝1(－x )4

＝1x

4＝x －

4＝f (x )， ∴函数y ＝x －4是偶函数．

∵－4＜0，∴y ＝x －

4在(0，＋∞)上是减函数，

又∵y ＝x －

4是偶函数，

∴y ＝x －

4在(－∞，0)上是增函数．

1．下列函数中，其定义域和值域不同的函数是( ) A ．y ＝x 1

3 B ．y ＝x －

1

2 C ．y ＝x 53

D ．y ＝x 2

3

解析：选D.y ＝x 23＝3

x 2，其定义域为R ，值域为[0，＋∞)，故定义域与值域不同．

2．如图，图中曲线是幂函数y ＝x α在第一象限的大致图象．已知α取－2，－12，1

2

，2

四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的α的值依次为( )

A ．－2，－12，12，2

B ．2，12，－1

2，－2

C ．－12，－2,2，12

D ．2，12，－2，－12

解析：选B.当x ＝2

时，22＞212＞2－1

2＞2－2，

即C 1：y ＝x 2，C 2：y ＝x 1

2，C 3：y ＝x －

1

2，C 4：y ＝x －

2.

3．以下关于函数y ＝x α当α＝0时的图象的说法正确的是( )

A ．一条直线

B ．一条射线

C ．除点(0,1)以外的一条直线

D ．以上皆错

解析：选C.∵y ＝x 0，可知x ≠0，

∴y ＝x 0的图象是直线y ＝1挖去(0,1)点．

4．函数f (x )＝(1－x )0＋(1－x )1

2

的定义域为________．

解析：⎩

⎪⎨⎪⎧

1－x ≠01－x ≥0，∴x <1.

答案：(－∞，1)

1．已知幂函数f (x )的图象经过点(2，2

2)，则f (4)的值为( ) A ．16 B.116 C.12

D ．2

解析：选C.设f (x )＝x n ，则有2n ＝

22，解得n ＝－12

，

即f (x )＝x －

1

2，所以f (4)＝4－

1

2＝1

2

.

2．下列幂函数中，定义域为{x |x ＞0}的是( ) A ．y ＝x 2

3 B ．y ＝x 3

2 C ．y ＝x －

13

D ．y ＝x －

3

4

解析：选D.A.y ＝x 23＝3x 2，x ∈R ；B.y ＝x 32＝x 3，x ≥0；C.y ＝x －

13＝13x

，x ≠0；D.y ＝x

－

34

＝14x

3，x ＞0. 3．已知幂函数的图象y ＝xm 2－2m －3(m ∈Z ，x ≠0)与x ，y 轴都无交点，且关于y 轴对称，则m 为( )

A ．－1或1

B ．－1,1或3

C ．1或3

D ．3

解析：选B.因为图象与x 轴、y 轴均无交点，所以m 2－2m －3≤0，即－1≤m ≤3.又图象关于y 轴对称，且m ∈Z ，所以m 2－2m －3是偶数，∴m ＝－1,1,3.故选B.

4．下列结论中，正确的是( ) ①幂函数的图象不可能在第四象限

②α＝0时，幂函数y ＝x α的图象过点(1,1)和(0,0) ③幂函数y ＝x α，当α≥0时是增函数

④幂函数y ＝x α，当α<0时，在第一象限内，随x 的增大而减小 A ．①② B ．③④ C ．②③ D ．①④

解析：选D.y ＝x α，当α＝0时，x ≠0；③中“增函数”相对某个区间，如y ＝x 2在(－∞，0)上为减函数，①④正确．

5．在函数y ＝2x 3，y ＝x 2，y ＝x 2＋x ，y ＝x 0中，幂函数有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 解析：选B.y ＝x 2与y ＝x 0是幂函数．

6．幂函数f (x )＝x α满足x ＞1时f (x )＞1，则α满足条件( ) A ．α＞1 B ．0＜α＜1 C ．α＞0 D ．α＞0且α≠1

解析：选A.当x ＞1时f (x )＞1，即f (x )＞f (1)，f (x )＝x α为增函数，且α＞1. 7．幂函数f (x )的图象过点(3，3)，则f (x )的解析式是________．

解析：设f (x )＝x α，则有3α

＝3＝312⇒α＝12

.

答案：f (x )＝x 1

2

8．设x ∈(0,1)时，y ＝x p (p ∈R )的图象在直线y ＝x 的上方，则p 的取值范围是________． 解析：结合幂函数的图象性质可知p <1. 答案：p <1

9．如图所示的函数F (x )的图象，由指数函数f (x )＝a x 与幂函数g (x )＝x α“拼接”而成，则a a 、a α、αa 、αα按由小到大的顺序排列为________．

解析：依题意得 ⎩

⎨⎧

a 14＝12(14)α＝12⇒⎩

⎨⎧

a ＝116

，

α＝12

.

所以a a ＝(116)116＝[(12)4]116，a α＝(116)12＝[(12)32]116，αa ＝(12)116，αα

＝(12)12＝[(12

)8]116，由幂函数

单调递增知a α＜αα＜a a ＜αa .

答案：a α＜αα＜a a ＜αa

10．函数f (x )＝(m 2－m －5)x m －

1是幂函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )是增函数，试确定m 的值．

解：根据幂函数的定义得：m 2－m －5＝1， 解得m ＝3或m ＝－2，

当m ＝3时，f (x )＝x 2在(0，＋∞)上是增函数；

当m ＝－2时，f (x )＝x －

3在(0，＋∞)上是减函数，不符合要求．故m ＝3.

11．已知函数f (x )＝(m 2＋2m )·x m 2＋m －

1，m 为何值时，f (x )是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数？

解：(1)若f (x )为正比例函数，

则⎩

⎪⎨⎪⎧ m 2＋m －1＝1m 2＋2m ≠0⇒m ＝1. (2)若f (x )为反比例函数， 则⎩

⎪⎨⎪⎧

m 2＋m －1＝－1m 2＋2m ≠0⇒m ＝－1. (3)若f (x )为二次函数， 则⎩

⎪⎨⎪⎧

m 2＋m －1＝2m 2＋2m ≠0⇒m ＝－1±132.

(4)若f (x )为幂函数，则m 2＋2m ＝1，

∴m ＝－1±2.

12．已知幂函数y ＝x m 2－2m －

3(m ∈Z )的图象与x 、y 轴都无公共点，且关于y 轴对称，求m 的值，并画出它的图象．

解：由已知，得m 2－2m －3≤0，∴－1≤m ≤3. 又∵m ∈Z ，∴m ＝－1,0,1,2,3.

当m ＝0或m ＝2时，y ＝x －

3为奇函数，其图象不关于y 轴对称，不适合题意．

∴m＝±1或m＝3.当m＝－1或m＝3时，有y＝x0，其图象如图(1)．当m＝1时，y＝x－4，其图象如图(2)．

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