高中三角函数和指数函数教学的案例分析

天津师范大学津沽学院

本科毕业论文

题目：高中三角函数和指数函数教学的案例分析

系别：理学系

学生姓名：李莹

学号：12583143

专业：数学与应用数学

年级：2012级

完成日期：2016年4月14日

指导老师：刘明苏帆

高中三角函数和指数函数教学的案例分析

摘要：数学被许多高中生认为是一门特别难的学科，学起来难度较大,最富有挑战的内容当属函数了，其中所涉及的内容非常广泛，方程的计算、公式的数量、图像的分析都对学生来说是一种挑战。本文就三角函数和指数函数的教学案例来进行详细的分析，结合教学实践，从三角函数和指数函数的案例出发进行分析，可以提高学生对于函数的理解和运用。指数函数和对数函数作为两个基本初等函数是高中数学中最重要的，是高考数学试卷中考查函数单调性、奇偶性、定义域、值域等的重要载体；它也一直是高考的热点问题之一。所以对于教师来说，优化课程内容，培养学生学习兴趣，让学生充分理解函数之间的关系，并正确绘制相关函数的图像，通过把数据和图像联系到一起解决问题的能力，也是很艰巨的教学任务。

关键词：案例分析，三角函数，指数函数

Trigonometric and Exponential Functions

Teaching Case Analysis in High School

Abstract: Many high school students mathematics is considered a particularly difficult subject, difficult to learn content, undoubtedly the most challenging function, the contents of which involved very extensive, calculated equations, formulas, images are analyzed for students is a challenge. In this paper, teaching cases trigonometric and exponential functions to carry out a detailed analysis, teaching practice, from the case starting trigonometric and exponential functions are analyzed, can improve students' understanding of the function and use. Exponential and logarithmic functions as two basic elementary functions are the most important high school math, college entrance test in mathematics papers monotonic function, parity, domain, range and other important carrier, it has also been a hot college entrance examination one of the issues. So for teachers, optimizing the curriculum, students' interest in learning, enable students to fully understand the relationship between the function, and draw the correct image correlation function, through the data and images linked together resolved capacity issues, but also very difficult task of teaching.

Keywords: case analysis, trigonometric, exponential functions

目录

1绪论 (1)

1.1问题的提出 (1)

1.2研究的意义和目的 (1)

1.3研究的内容与方法 (2)

2研究的现状 (2)

2.1国内研究现状 (3)

2.2 国外研究现状 (3)

2.3 研究现状综述 (4)

3 理论依据与概念界定 (4)

3.1 理论依据 (4)

3.2 概念界定 (5)

4 案例分析 (5)

4.1 案例1——三角函数的教学案例 (5)

4.2 案例2——指数函数的案例分析 (8)

4.3 教学案例分析 (10)

5 结论、教学建议与展望 (13)

5.1 结论 (13)

5.2 教学建议 (13)

5.3 展望 (14)

参考文献 (15)

致谢 (16)

1 绪论

1.1 问题的提出

数学教学是一种思维过程的教学，引导学生如何参与到教学过程中，尤其在思维

深层次上的参与，是提高学生良好知识的结构，能力的培养，素质的全面提高的关键。在数学教学过程中，探究式创造性思维教学对培养和提高学生的能动性、自主性和创造性有着非常重要的意义。本文选取“三角函数”和“指数函数”的教学内容，以分析教学案例方式来探索高中数学在函数这个方面教与学的实施过程。

指数函数和三角函数是高中数学课程中的基础的、传统的内容，所以学好三角函数和指数函数可以为以后进一步的数学学习提供一定的基础和必要的知识储备。指数函数和三角函数的内容，尤其是它们的图像、性质、公式以及指数函数和三角函数的基础知识为背景的函数知识，一直都是每年高考的考查重点和难点。

1.2 研究的意义和目的

学生在高中数学三角函数和指数函数的学习中，三角函数和指数函数的公式之间的联系比较多，而且变形方式也比较复杂。在学习数学的过程中，通过自主学习的方法将新知识与旧知识相结合，从而构建出教师们自己的一套知识体系，再结合数学中的方法和数学思想培养学生的逻辑思维能力。再通过运用指数函数和三角函数知识解

决一些相关的实际问题,来提高学生对数学的作用和价值的认识和理解。

1.2.1研究的意义

对于学生来说，从初中的数学思维直接跳跃到高中的数学学习思维是一个很大的突破，因为学生的抽象思维还不是很成熟还达不到高中数学学习的要求，所以就导致了教师在这抽象知识方面的教学产生了一定的困难。因此，研究高中数学指数函数和三角函数的教学案例是非常有意义的，这样不但为教师和学生在教学方法和学习知识上提供很好的帮助，解决在教学和学习上存在的问题，而且还能为学生在今后的学习过程中打下坚实的基础。

指数函数是学习函数概念及基本性质之后研究的第一个重要的函数，相比于让学生学会一个新的函数的本身的知识，让学生学会研究方法更重要。在这个研究过程中，所有的新知识都是陌生的，在学生的大脑中没有形成基本的框架结构，这就需要老师的帮助和引导，使他们逐渐建立框架结构。在数学中任何新知识的形成都展示出它的思想与方法，教师授课注重让学生领悟新知识中的思想，运用其中的方法来帮助学生学习新的知识，这是非常重要的。

1.2.2研究的目的

刚刚从初中升入高中的学生们，他们仍然保留着许多初中生的学习特点和学习习惯，他们的能力发展正处在一个由形象思维向抽象思维转折的阶段，并且更加注重形象思维。但是由于函数概念十分抽象，又以三角函数和指数函数为基础，教师必须要认识到这一点的严重性，教学中必须要控制要求的拔高，要关注学生的学习过程和学习方法。要求学生掌握利用三角函数指数函数有关的知识来解决一些简单的函数应用问题。

1.3研究的内容与方法

本篇文章主要以新课标为指导思想，对高中数学中指对函数和三角函数的教学方法、做题方法及思考方式等进行案例分析和比较，从而为高中教师和学生提供一些优秀的方式方法。

1.3.1研究的方法

本文采用了经验总结的方法和文献法等研究方法。以新课标为指导思想，从国内外对指数函数、对数函数和三角函数教学的研究现状入手，本文主要是分析教师在指对函数和三角函数教学过程中的实例及比较，从而从中发现函数规律，并且在认知结构主义上和构建主义理论上，寻找、研究并讨论出相应的有效的教学策略。本篇论文就是将实践和理论相联系，希望可以为以后的高中教师和学生提供一些学习这方面的便利。

1.3.2研究的内容

本文选取“三角函数”和“指数函数”的教学内容，以分析教学案例的方式来探索高中数学函数教与学的实施过程。将三角函数和指数函数的教学案例来进行详细的分析，结合教学实践，从三角函数和指数函数的案例出发进行分析，可以提高学生对于函数的理解和运用。

2 研究的现状

各国学者在指数函数和三角函数教学上的研究可谓是成绩斐然，在研究方式和研究角度也良莠不齐，有从心理学角度上进行探究的；有从教育学角度进行钻研的；有就关于某一个知识点进行剖析的；也有就对于某一种教学方法进行探索的。从论文选题来看，有指对函数和三角函数在学习上的困难原因以及其解决办法；有总结学生在解指数函数和三角函数问题时经常出现的差错及其原因分析；也有针对这两个函数在高考时的出题方向等等。

2.1国内研究现状暨南大学教授刘华在对三角函数的教学内容上进行分析的时候，发现了知识的容量和课时的数量不能相对应。在分析学生解三角函数的问题时发现有知识性、心理性、策略性三种错误类型。他通过研究发现学习的困难主要有态度、心理、方法、知识、技能、策略等几方面表现出来，学习困难有策略与方法、习惯与技能、课程与习题这三个因素产生。并且还研究出学生在学习三角函数的困难产生不仅有主观因素，同时也有客观因素。

郴州市第一中学的朱作炜教师就根据自己多年来的教学经验，在有效、分层、变式教学的理念下，思考并研究了相当有价值的一些教学经验。例如如何构建高效课堂；如何利用口诀、图像、图形来巧妙地有效的记住公式；如何通过多媒体教学的方式来帮助学生学习三角函数图像基本变换的重点难点；如何帮助基础较弱的学生产生对数学的兴趣并且重新找回信心；如何在实践知识的过程中提高学生的解题能力等等。他也同时发现了学生掌握不好不仅仅是学生一方面的问题，教师也有责任，教师应该因材施教。

石家庄二中的刘丽花教师在研究中发现学生在通过单位圆来定义三角函数时，学生认为长度就是坐标值；发现学生对三角函数线的理解不到位；发现学生不能本质的认识三角函数；发现教师之间对于坐标比定法和单位圆定义法的观点不一致。她将以高二学生及其任课教师为研究对象，以三角函数的定义为中心，研究课改后学生对于三角函数知识的掌握情况、教师的授课方式、教学态度和教学设计、在学习中所出现的问题。

2.2国外研究现状

Delice从三角知识教学和评价这一方面着手，研究和反思土耳其和英国这两个国家通过使用不同的教具，来对比发现学生的成绩：再恒等变形方面土耳其的学生掌握得非常好，在解决三角应用题的地方，英国学生理解的更透彻。原因是土耳其教师在讲解三角函数时采用的是三角函数表，而英国是采用的计算器。造成这种不一样的原因不仅仅是教师单方面的原因，还与其国家的教育体制有很大关系。

Kendal和Stacey在两种不同的教学模式下观察学生对三角函数的理解情况。这与Keith 研究的问题一样，都是一种用定义法一种采用单位圆定义的方法。他们的出了同样的结论：采用单位圆的方法对学生在学习三角函数相关知识时有更大的帮助。

Amir-Moez设想在三角函数的教学上可以利用向量来帮助学生更好的理解公式

和概念，但他从来没有实践过。

Rajan在研究时发现利用计算机辅助教学可以帮助教师分析学生在三角函数这方

面产生错误的原因并且也可以帮助学生自己对概念的形成。

2.3 研究现状综述

通过对国内与国外的这两种函数现状的了解和分析，不难发现：人们在研究三角函数和指数函数上是下了很多功夫的，尤其是在教学方法、学习方法以及做题技巧方面，可以说是面面俱到。同时也看出了让学生自主学习是国内外都主张的一种教学方式并且对学生来说也是目前最好的一种方式了，但与此同时也要注意因材施教，不能对所有学生都用这一种方法。

3 理论依据与概念界定

本文是通过认知结构主义教学理论和新课标下的教与学作为理论依据的，同时新课标下的教与学也是围绕教师在教学过程中起引导作用、师生在课堂教学中要进行互动、师生在课堂中共同成长来分析的。

3.1理论依据本文是通过认知结构主义教学理论和新课标下的教与学作为理论依据的。通过皮亚杰的认知结构主义可以更好的帮助学生学习函数知识，教师通过新课标下的教与学认识到在教学过程中起主导作用、在课堂教学中要进行师生互动，这样才能共同成长。

3.1.1认知结构主义教学理论

学生因为在初中学习过程中就学习过简单的三角函数，在认知结构主义的理论下，通过同化、顺应、平衡这三个过程就可以学生更加深入的学习。从三角函数的定义慢慢进入到三角函数图像的发展；从直角三角形定义三角函数上升到任意角的三角函数；从周角延伸到正角、负角。

3.1.2 新课标下的教与学

1）教师在教学过程中起引导作用

在数学教学中，教师将自己的经验数学化。要求教师在再课堂上强化学生的经验、以学生的经验为中心，引导学生构建自己的学习体系、让学生用数学的眼光体验生活。在课堂中，让学生主动参与教学活动，是学生得到更好的发展。新课标下的教学应该摆脱教师“教”学生“学”的模式，应该让每一个学生都自主学习，通过自己主动的学习来构建知识体系。

2）师生在课堂教学中要进行互动

教师在课堂中讲课的过程是十分重要的但是，师生关系应该是平等的，学生应该在教师的引导下自己分析并解决问题。在新课标下，教师已经不是课堂的“当家人”，

学生才是课堂的中心，教师只是帮助引导学生。教师应该先备好课，在课堂上才能激发出学生的学习兴趣，让学生们爱上学习主动学习,达到在课堂上师生共同合作。

3）师生在课堂中共同成长

让学生在知识和技能、情感和态度、过程和方法等方面得到发展就是教学的基本目标。这三个方面是相互关联的，在课堂中，教师的教和学生的学是相统一的，教师通过学生的学习反馈，不断完善自己的教学过程和教学想法。

3.2概念界定

本文的概念界定是从教学和教学策略简要地说明了一下，本文的核心也是如此，作为教师教学策略是重中之重。

3.2.1 教学

教学就是教与学的统一活动。教师在教学过程中，和学生都是各自独立的个体，教师和学生之间相互依存、相互影响，缺一不可，不能相互代替。教学也不仅仅是教师和学生两者的“加法运算”。教学的主要场所就是学校，学校服务于社会，它根据社会的需求来培养人才。在学校的教学中，学生的德智、体、美、劳都可以得到全面的发展，学生可以增强自身的体制、培养学生的审美能力、让学生掌握基本的技能和运动知识，为学生以后能更好的融入社会。

3.2.2 教学策略

1970~1980年期间，随着教学模式和设计的不断深入，有一个概念开始产生——教学策略。教学策略从来就没有一个明确的定义，有许多研究这方面的专家从不同的方面和角度进行讨论，出现了很多不同的观点。

1)将教学策略分为内容限制性策略和非内容限制性策略。

2)将教学策略分为教学指导策略和教学管理策略。

4 案例分析

在高中教材中，分类、代入、讨论、化归、数形结合思想一直贯穿指数函数，因此，教师更应该注重培养学生使用这些数学思想来解决问题，这样才能提高学生的数学能力和思维品质。在这部分通过两个案例来分析了三角函数和指数函数的教学特点，在教学上所运用的方法。

4.1案例1——三角函数的教学案例

案例1中通过代入法、思维变换法和数形结合法全面的分析了三角函数的案例。下面就来具体的看看：

1）代入法

设()()sin f x A x ω?=+()00A ω?π>>≤，，最高点M

的坐标为(2，点P 在曲线上，P 点由点M 运动到相邻的最低点N 时，在点()60Q ，处越过x 轴，

(1)求,,A ω?的值；(2)确定()g x 表达式使其图像与()f x 的图像关于直线8x =对称。 解答：(1)

由题意，得A =4264=-=T ，得16T =，所以8

πω=， 又由题意可知最高点M 的横坐标是2，且44=T ，20-=x ．又有ω?-=0x ，得4π?=。 (2)设点(),A x y 是()g x 图像上的任意一点，则点A 关于直线8x =对称的对称点

()','B x y 应在()f x 的图像上，由82x x y y '+?=???'

=?得16x x y y '=-??'=?代入()f x 可得()??? ??--=48

sin 2ππx x g 。 分析：在初中二次函数中代入法就经常被用到，代入法对于高中的学生来说再熟悉不过了，老师可以在讲解三角函数的课堂教学中利用代入法来解决三角函数中不太困难的题目。这不仅让学生们在解题过程中提高了信心，而且还将很大的激发学生们对于学习三角函数的兴趣，这样就更加有利于教师在教学中对三角函数的实践与创新。

我们可以通过运用解析几何中的相关知识点来渗入代入法的解题思想，非常巧妙地使高中数学与初中数学联系起来，让学生们在不知不觉中体会到初中二次函数在学习方法上与高中三角函数存在着必然的联系，这样就必然降低了学生们在学习高中数学三角函数的难度。当然教师在课堂教学中通过举一反三的运用这个方法去更好的引导学生们去自主地解题，达到触类旁通的目的和教学效果。

2）思维变换法

直线2y =和函数???? ?

???????∈=25,2sin 2ππx y 的图像围成一个封闭的平面图形，求这个平面图形的面积。

图 4.1.1（4.1思维变化法例题图）

解答：如图 4.1.1，当??

????∈25,2ππx 时，2sin y x =的图像是对称的，利用割补法求面积即可。依据三角函数 y=2sinx 及其图像的对称性，其面积为ππ422=?=S 。

分析：数学是一门非常灵活的学科，有人说科学的“皇后”是数学，有人说物理的基础是数学，这其实就是人们对于数学的实质性的一种概括和最好评价。在数学的王国里，无论是小学还是中学，甚至是大学乃至更高的学堂，无一不显示出数学的灵活巧妙、变化多端的特点。数学的解题方法可以说是千变万化的，所以教师更应该在课堂教学中通过各种各样的方法和技巧把数学的真正魅力展现出来，让学生的大大脑像数学的思维一样灵活，大家可以在下面得例题中就能通过在高中三角函数的实际解题过程中充分看出数学的灵活的运用。

数学知识的每个环节都是相互依存、相互联系的，就上面例2这道题在整个题目设计和分析过程中，包含了图形对称、图形面积、定义域图像位移等多方面的知识，这道题的数学知识跨度很大，数学知识的联系性也很强。所以，在解这类题时，就要求具学生们具有很强的综合数学知识、综合能力等。

3）数形结合法

方程x x sin 2sin =在区间()π2,0内的解的个数是( )。

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

解答：在同一平面直角坐标系中分别画出在区间()π2,0内x y 2sin =和x y sin =的图像，观察交点的个数就可以得到解的个数。由图4.1.2可知，在区间()π2,0内x y 2sin =和x y sin =有3个交点，所以方程x x sin 2sin =在区间()π2,0内有3个解。故选C 。

图 4.1.2（4.1数形结合法例题图）

分析：无论是在初中还是在高中的数学解题过程中“数形结合法”都扮演着十分重要的角色。不管是它的出现还是它的灵活运用都和整个数学的教学效果的高低有着直接的关系。所以，所有的高中数学教师们都共同面对的一个教学问题，也是目前许多高中数学教师共同努力研究的一个课题就是如何让学生能够灵活的解决实际问题并且是运用数形结合法的方法。

如果在解这道题时是直接运用三角函数方程的解法是非常费时费力的。所以，在解三角函数的过程中，很少会用三角函数方程可以直接求解，而且这很容易在解答的过程当中出现错误。在数学的解题过程中是这样的，但凡在解题的过程中一个步骤出现差错，那么接下来的整个解题过程都必定会出现错误，因此将无法得出正确的答案。

学生在解答这一类型的题目时，就必须要灵活的运用所学的图形知识，非常巧妙地运用数形结合的方法来解答这一类型的题目。通俗的来讲，高考数学考试本来就只有120分钟，学生在做选择题事没必要把大把的时间耗在研究解题步骤上面，只要能很快地找出正确答案就可以了。因此，在高考数学考试过程中数形结合的方法就显得非常重要了，数形结合法是高考数学考试中能拿的到高分的制胜法宝。所以无论是从缩短解题时间的角度还是保证答案准确性的角度都具有十分有利的优势，所以我们要注重培养学生们如何利用数形结合的方法在高中数学中来解题的思维习惯。

4.2 案例2——指数函数的案例分析

案例2中通过分类讨论法、化归法、数形结合法全面的分析了指数函数的案例。下面就来具体的看看：

1）分类讨论法

例1：比较下列各组中的两个值的大小。

① 2.51.5， 3.21.5； ②-1.20.5，-1.50.5

解答：①由 1.51a =>，则x y 5.1=在R 上是增函数

因为2.5 3.2<

所以 2.5 3.21.5 1.5<

② 0.51a =<，则x y 5.0=在R 上是减函数

因为 1.2 1.5->-

所以 1.2 1.50.50.5--<

例2：比较下列各组中的两个值的大小。

①4.3log 2，8.3log 2

③ 8.1log 5.0，1.2log 5.0

解答：①由21a =>，则X log 2=y 在R 上是增函数

3.4 3.8<因为

22log 3.4log 3.8<所以

②由0.51a =<，则x y 5.0=在R 上是减函数

1.8

2.1<因为

0.50.5log 1.8log 2.1>所以

分析：在解决一些相对复杂的题目时，就需要把整体分成许多个部分逐个解决，这就是分类讨论的方法。这个方法在初等函数中非常实用，由于指数函数的底数在“1a >或01a <<”时函数的性质和图像就大大不同了。所以在比较两个对数或幂值大小情况下就需要用这种方法了。

通过这两个例子就可以发现其实实质就是将1a >或01a <<进行分类，再利用函数的单调性判断大小。这两个例题看起来很容易，但其中的这种解题方法可以很好的使学生进行合理的分类，从而达到更好的效果。

2）化归法

例1：解下列方程

① x x -+?=12382564

；②0826212=-?--+x x 解答：①由x x -+?=12382564得到x x 3114622-+=

64113x x +=-因为

79

x =所以 ②由0826212=-?--+x x 得到082324=-?-?x x

3282x ==因为

3x =所以

以上两道题就是通过化归思想求解的，将指数方程化成代数方程。

例2：求32log 9log 38?的值。

解答：原式=3

103lg 2lg 52lg 33lg 23lg 32lg 8lg 9lg =?=? 这道题则是需要通过公式的运算，将不同底的对数转化成同底的。

分析：化归思想就是把不熟悉的未解决的问题转化成熟悉的问题，通过观察、分析、联想、类比等方式转化为比较好解决的问题。在指数函数中，利用性质与图像或者进行函数之间的相互转化把需要解决的问题转化为容易的问题，从而解决问题。

3）数形结合法

已知函数b a y x +=的图像如图4.2.1所示，求,a b 的取值范围。

图4.2.1（4.2数形结合法例题图）

解答：由指数函数()1x y a a =>的图像指数函数复合函数b a y x +=的图像就可以知道1a >，再由函数b a y x +=的图像与y 轴的交点就知道10b +<，所以1b <-。因而a 的取值范围是()1,+∞,b 的取值范围是(),1-∞-。

分析：同一个事物都有两个方面，一个是“数”，一个是“形”。“形”可以使“数”的关系具有直观性和实际背景，所以就更具有启发性。数形结合的思想其实就是将数字与图像相结合，数字是抽象的，图形是形象的，所以将两者结合，将抽象与形象相互转化，将复杂变为简单，化抽象为直观。

4.3 教学案例分析

4.3.1 指数函数的案例

指数函数是高中引进的重要的初等函数，是高考的重点内容。学生在前面的函数性质学习的基础上，来进一步研究和学习指数函数的概念、图像和性质以及初步应用，有利于学生进一步完善初等函数的认识的系统性，加深对函数的思想方法的理解，在

教学过程中，虽然学生的认知水平有限，但只要让学生体验对数函数来源于实践，通过教师课件的演示，通过数形结合，让学生感受()log 0a 1a y x a =>≠且和x y a = ()0a 1a >≠且中，a 取不同的值时反映出不同的函数图像，让学生观察、讨论、发现、归纳出图像的共同特征、函数图像的规律，进而探究学习指对函数的性质。 注：

① 指数函数应用实例

()2

122a 2a a a --±=±+ 11112222a b a b a b ????-=+- ???????

112112333333a b a b a a b b ????+=+-+ ???????

若M x =+

1x , 则21x 222-=+M x

。 若 M =x 1-x , 则21x 222+=+M x

。 ② 对数函数应用实例 ()

y log 0a 1a x a =>≠且 log log log a a a M M N N

=- ()log log log a a a MN M N =+

2log log a a M n M =

log log log c a c b b a

= 1log log a b b a =

log log log a b a b c c ?=

log a N a N =

log log n m a a m b b n

= ③ 同底的指数函数)1,0(≠>=a a a y x 与对数函数log a y x =()01a a >≠且互为反函数，其图像关于直线x y =对称。

4.3.2 三角函数的案例分析

中学生在学习数学时经常会有这样的一个误区，那就是很孤立的看待数学中的各个分支，实际上数学中的各个分支都是相互联系的，密不可分的。高考的数学题目也是综合性的，如果从解析几何的角度，我们可以更好地挖掘三角函数的本质，这一点是必然的。当然，并不是所有的三角函数都是由其解析几何的，但是我们并不能放弃这方面的努力。

1） 三角函数图像及性质

这样教师在讲解三角函数时可以先以正弦函数为例，透彻的讲解后，让学生自己来研究余弦函数和正切函数相关的知识。这样的设计可以让学生更好的接触三角函数，更快的理解三角函数，更直接的学习三角函数，从而更快的解题。

2）三角函数的特殊角函数值

教师在设计这节课的时候也同样可以采用抛砖引玉的方式，教师只需要认真详细的讲解一个角的三角函数值（包括正弦值、余弦值、正切值），剩下的就有学生自己总结、自己计算、自己寻找方法。这样不仅给学生提供了一个锻炼自己的机会，也同时激发了学生对学习三角函数这方面的兴趣，更重要的是让学生记忆特殊函数值更加牢固，有益于做题的准确性和高效性。

3）三角函数之间的关系

1.勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方222c b a =+

2.如下表4.

3.1，在直角三角形ABC 中，C ∠为直角，则A ∠的锐角三角形函数为(A ∠可换成B ∠)：

表4.3.1

5 结论、教学建议与展望

5.1结论

高中数学中的三角函数和指数函数知识涉及非常广，而且需要掌握的公式也很多。一些学生虽然在学习中觉得自己已经掌握了这方面的知识，但事实上还不能很灵活的运用知识或者解一些相对较难的问题。实际的课堂教学中，教师要教会学生解题时从全局分析问题，也就是在学生已经完全学会和掌握了三角函数和指数函数的概念，已经比较熟悉指数函数和三角函数的相关性质以及理解三角函数和指数函数的图形和方程的基础之上利用函数和式子的特征来进行解题，通过学习这些的知识，进行综合分析来进行观察以达到增强学生解题能力的目的。

5.2教学建议

5.2.1 对教学内容的建议

作为数学老师来说，就要从“教”的角度去观察数学去挖掘数学，不仅要能做到“做”和会“理解”，还应该能够教会学生“做”和“理解”，因此作为教师，应当对教学概念的建议应从关系、逻辑、辨证等多方面去展开。就逻辑这个角度看，对数函数主要是从形式特征、真数的范围、以及底数的限制这三个方面考虑，就关系这个角度看，指数函数与三角函数之间存在着实质性的联系，定义域、值域还有图像都有一定的关联。

5.2.2 对学生学习过程的建议

教师要注重培养学生的自主学习能力，在教师的指导下，学生要有主动分析问题和解决问题的能力，在此过程中，应注意以下问题：

1）放手学生但别放任学生

“放手”让学生自主学习，意思是在学生自主学习前，教师应引导学生弄清楚研究的内容与方法，并能提供学生的学习时间和思维空间。“放任”则只看重结论，不重视过程。让学生随意猜想。

在课堂中，教师引导学生明确研究内容：对指函数和三角函数图像特征与性质，并向学生指明了运用数形结合的研究方法。学生就能游刃有余地开展自主研究，积极参与到分析、解决问题的过程中，真正获得知识。

2）让学生有独立思考的时间也要有小组合作的时间

在学生自主学习的过程中，教师也要提供出学生独立思考与小组合作的时间。一方面，独立思考是小组合作的基础：另一方面，小组合作也同样能收集集体的智慧，

使独立思考的结论更具体、全面。教师在提出问题后，让学生有一段独立思考的时间，在小组交流的时候，教师要关注相对掌握不太好的学生，让他们也有表达自己想法的机会，鼓励他们，让所有学生成为真正的学习主体。

5.3展望

通过整篇文章就可以体会出指对函数和三角函数在平时计算、测验、高考所占题数之多、分数之大了，所以教师一定要重视这上面的教学和引导，而且还为未来研究数学知识提供了很多的便捷。经过这么多年有经验的教师和学者的研究，指数函数和三角函数这部分知识不仅是学生考试时需要学习和了解的，教师在这上面下的功夫应该更加多。通过分析，可以深深地体会到，数学中就有函数，函数就在数学中，也可以体会到指数函数和三角函数在学生学习数学中所占的比重之大。所以在这方面还需要教师之间、教师与学生之间、学生与学生之间多沟通，从而发现规律或者更好的学习方法，让学生学习的更加透彻，也为未来的数学教育提供方便。

参考文献：

[1] 崔丽霞．基于工科中等职业学校学生的三角函数教学研究[D]．石家庄：河北师范大学．2009．

[2] 刘华．高中生三角函数学习的主要困难及原因分析[D]．苏州：苏州大学，2009．

[3] 胡慧敏．关于高一学生三角函数概念学习的研究[D]．上海：华东师范大学，2009．

[4] 刘丽花．三角函数概念教学的调查研究[D]．石家庄：河北师范大学，2010．

[5] Kendal，M.＆Staley，and K．Trionometry. comparing ratio and unit circle methods [J]，2007，08

[6] Amir-Moez, R.Teaching trigonometry through vectors. Mathematics Magazine 2008 [J]，32(l)：19-23．

[7] Delice，A．A comparative Study of Students’Understanding of Trigonometry in the United kingdom and the Turkish Republic，PhD thesis，University of Leeds[J]．2003．(09)：16-32．

[8] 华东师范大学数学系. 数学分析（上册）[M].4版.北京：高等教育出版社，2010．

[9] 涂荣豹.《数学建构主义学习的实质及其主要特征》[J].数学教育学报，1999，(08)．

[10] 严加明.三角函数在高中数学课堂中的教学实例研究[D].江苏徐州.．2005.

[11] 黄新华.浅谈指数、对数函数教学中所蕴含的数学思想[M].教研论坛，2009-5.

[12] 韩茂安.关于指数函数、对数函数与幂函数的教学探索[D].上海师范大学数学研究所.2004．

致谢

本论文是在刘明老师的悉心指导和支持下完成的。他为人随和热情，治学严谨细心。在论文的写作和措辞等方面他总会以“专业标准”严格要求我，从选题、定题开始，一直到最后论文的反复修改、润色，始终认真负责地给予我深刻而细致地指导，帮助我开拓研究思路，精心点拨、热忱鼓励。在本次论文写作过程中，我从刘老师身上学到了很多东西。无论在理论上还是实践中，都给予我很大的帮助，使我得到不少的提高，这对于我今后的工作和学习都会有一种巨大的帮助，在此，谨向导师表示崇高的敬意和衷心的感谢。

在此过程中其他老师和同学也给予我很大的帮助，使得论文能及时完成。此外，给予转载和引用权的论文、期刊、资料等文献，以及研究思想和设想的所有者，使我的论文有了坚实的理论基础和后备资源，在这里表示感谢。