概率论与数理统计(经管类)公式

概率论与数理统计必考知识点

一、随机事件和概率

1、随机事件及其概率

运算律名称 表达式

交换律

A B B A +=+ BA AB =

结合律 C B A C B A C B A ++=++=++)()( ABC BC A C AB ==)()(

分配律 AC AB C B A ±=±)( ))(()(C A B A BC A ++=+

德摩根律

B A B A =+ B A AB +=

2、概率的定义及其计算

公式名称

公式表达式

求逆公式 )(1)(A P A P -=

加法公式 )()()()(AB P B P A P B A P -+=+

条件概率公式 )

()

()(A P AB P A B P =

乘法公式 )()()(A B P A P AB P = )()()(B A P B P AB P =

全概率公式

∑==

n

i i

i

A B P A P B P 1

)()()(

贝叶斯公式 （逆概率公式） ∑∞

==

1

)

()()

()()(i i

j

j j j A B P A P A B P A P B A P

伯努利概型公式 n k p p C k P k n k

k n n ,1,0,)1()(=-=-

两件事件相互独立相应

公式 )()()(B P A P AB P =；)()(B P A B P =；)()(A B P A B P =；1)()(=+A B P A B P ；

1)()(=+A B P A B P

二、随机变量及其分布

1、分布函数性质

)()(b F b X P =≤ )()()(a F b F b X a P -=≤<

2、离散型随机变量

分布名称 分布律

0–1分布),1(p B 1,0,)1()(1=-==-k p p k X P k k

二项分布),(p n B

n k p p C k X P k n k

k n ,,1,0,)1()( =-==-

泊松分布)(λP ,2,1,0,!

)(===-k k e

k X P k

λλ

几何分布)(p G

,2,1,0,)1()(1=-==-k p p k X P k

超几何分布),,(n M N H ),min(,,1,,)(M n l l k C C C k X P n

N

k n M

N k M +==

=--

3、连续型随机变量

分布名称

密度函数

分布函数

均匀分布),(b a U

??

???<<-=其他,0,1

)(b x a a b x f

??

?

????

≥<≤--<=b x b x a a b a x a x x F ,1,,0)(

指数分布)(λE

????

?>=-其他,

00

,)(x e x f x λλ ?

??≥-<=-0,10,

0)(x e x x F x

λ 正态分布),(2σμN

+∞<<∞-=

--

x e

x f x 2

2

2)(21)(σμσ

π ?∞

---

=

x

t t e

x F d 21

)(2

22)(σμσπ

标准正态分布)1,0(N +∞<<∞-=-

x e

x x 2

221)(π

?

?

∞

---

=

x

t t e

x F d 21)(2

22)(σμσπ

三、多维随机变量及其分布

1、离散型二维随机变量边缘分布

∑∑====

==?j

j

ij

j

i

i i p

y Y x X P x X P p ),()(

∑∑====

==?i

i

ij

j

i

j j p

y Y x X P y Y P p ),()(

2、离散型二维随机变量条件分布

2,1,)()

,()(==

====

===?i P p y Y P y Y x X P y Y x X P p j ij j j i j i j i

2,1,)

()

,()(======

===?

j P p x X P y Y x X P x X y Y P p i ij i j i i j i j

3、连续型二维随机变量( X ,Y )的联合分布函数??

∞-∞

-=x

y

dvdu v u f y x F ),(),(

4、连续型二维随机变量边缘分布函数与边缘密度函数

边缘分布函数：??

∞-+∞

∞-=x X dvdu v u f x F ),()( 边缘密度函数：?+∞

∞

-=dv v x f x f X ),()( ?

?

∞-+∞∞

-=y

Y dudv v u f y F ),()( ?

+∞

∞

-=

du y u f y f Y ),()(

5、二维随机变量的条件分布

+∞<<-∞=

y x f y x f x y f X X Y ,)(),()( +∞<<-∞=x y f y x f y x f Y Y X ,)

()

,()(

四、随机变量的数字特征

1、数学期望

离散型随机变量：∑+∞

==1)(k k k p x X E 连续型随机变量：?

+∞∞

-=dx x xf X E )()(

2、数学期望的性质

(1)为常数C ,)(C C E = )()]([X E X E E = )()(X CE CX E =

(2))()()(Y E X E Y X E ±=± b X aE b aX E ±=±)()( )()()(1111n n n n X E C X E C X C X C E +=+ (3)若XY 相互独立则：)()()(Y E X E XY E = (4))()()]([222Y E X E XY E ≤ 3、方差：)()()(22X E X E X D -= 4、方差的性质

(1)0)(=C D 0)]([=X D D )()(2X D a b aX D =± 2)()(C X E X D -<

(2)),(2)()()(Y X Cov Y D X D Y X D ±+=± 若XY 相互独立则：)()()(Y D X D Y X D +=± 5、协方差：)()(),(),(Y E X E Y X E Y X Cov -= 若XY 相互独立则：0),(=Y X Cov 6、相关系数：)

()(),(),(Y D X D Y X Cov Y X XY ==ρρ 若XY 相互独立则：0=XY ρ即XY 不相关

7、协方差和相关系数的性质

(1))(),(X D X X Cov = ),(),(X Y Cov Y X Cov =

(2)),(),(),(2121Y X Cov Y X Cov Y X X Cov +=+ ),(),(Y X abCov d bY c aX Cov =++ 8、常见数学分布的期望和方差

分布 数学期望

方差

0-1分布),1(p B p

)1(p p - 二行分布),(p n B np

)1(p np -

泊松分布)(λP λ

λ

几何分布)(p G p

1 2

1p p -

超几何分布),,(n M N H N M n

1

)

1(---N m

N N M N M n

均匀分布),(b a U 2

b

a + 12

)(2

a b - 正态分布),(2σμN μ

2σ

指数分布)(λE

λ

1

2

1

λ

五、大数定律和中心极限定理

1、切比雪夫不等式

若,)(,)(2σμ==X D X E 对于任意0>ξ有2

)

(})({ξξX D X E X P ≤

≥-或2

)

(1})({ξξX D X E X P -

≥<-

2、大数定律：若n X X 1相互独立且∞→n 时，

∑∑

==?→

?n

i i

D

n

i i X E n

X n

1

1

)(1

1

(1)若n X X 1相互独立，2)(,)(i i i i X D X E σμ==且M i ≤2

σ则：

∑∑

==∞→?→

?n

i i

P

n

i i n X E n

X n

1

1

)(),(1

1

(2)若n X X 1相互独立同分布，且i i X E μ=)(则当∞→n 时：μ?→?∑=P

n i i X n 1

1

3、中心极限定理

(1)独立同分布的中心极限定理：均值为μ，方差为02>σ的独立同分布时，当n 充分大时有：

)1,0(~1

N n n X

Y n

k k

n ?→?-=

∑=σ

μ

(2)拉普拉斯定理：随机变量),(~)2,1(p n B n n =η则对任意x 有：

?

∞

--

+∞

→Φ==

≤--x

t n x x dt

e

x p np np

P )(21})

1({

lim 22

π

η

(3)近似计算：)(

)(

)(

)(1

1

σ

μσ

μσ

μσ

μ

σ

μn n a n n b n n b n n X

n n a P b X a P n

k k

n

k k -Φ--Φ≈-≤

-≤

-=≤≤

∑∑

==

六、数理统计

1、总体和样本

总体X 的分布函数)(x F 样本),(21n X X X 的联合分布为)(),(121k n

k n x F x x x F =∏=

2、统计量

(1)样本平均值：∑

==

n

i i X n

X 1

1

(2)样本方差：∑

∑

==--=

--=

n

i i n

i i X n X n X X n S 1

2

21

2

2

)(11

)(1

1

(3)样本标准差：∑

=--=

n

i i X X n S 1

2

)(1

1

(4)样本k 阶原点距： 2,1,1

1

==

∑=k

X

n A n

i k

i k

(5)样本k 阶中心距：∑==-=

=n

i k i

k k k X X

n

M B 1

3,2,)(1

(6)次序统计量：设样本),(21n X X X 的观察值),(21n x x x ，将n x x x 21,按照由小到大的次序重新排列，得到)()2()1(n x x x ≤≤≤ ，记取值为)(i x 的样本分量为)(i X ，则称)()2()1(n X X X ≤≤≤ 为样本),(21n X X X 的次序统计量。),m in(21)1(n X X X X =为最小次序统计量；),m ax(21)(n n X X X X =为最大次序统计量。

3、三大抽样分布

(1)2χ分布：设随机变量n X X X 21,相互独立，且都服从标准正态分布)1,0(N ，则随机变量

2

22212n

X X X ++=χ所服从的分布称为自由度为n 的2χ分布，记为)(~22n χχ 性质：①n n D n n E 2)]([,)]([22==χχ②设)(~),(~22n Y m X χχ且相互独立，则)(~2n m Y X ++χ (2)t 分布：设随机变量)(~),1,0(~2n Y N X χ，且X 与Y 独立，则随机变量：n

Y X T =所服从的分布称为自由

度的n 的t 分布，记为)(~n t T 性质：①)2(,2

)]([,0)]([>-=

=n n n

n t D n t E ②2

22)(21)1,0()(lim σμπ

--∞→=

=x n e N n t

(3)F 分布：设随机变量)(~),(~2212n V n U χχ，且U 与V 独立，则随机变量2

1

21),(n V n U n n F =所服从的分布称为自由度),(21n n 的F 分布，记为),(~21n n F F 性质：设),(~n m F X ，则),(~1

m n F X

七、参数估计

1、参数估计

(1) 定义：用),,(21n X X X ∧θ估计总体参数θ，称),,(21n X X X ∧θ为θ的估计量，相应的),,(21n X X X ∧

θ为总体θ的估计值。

(2) 当总体是正态分布时，未知参数的矩估计值=未知参数的最大似然估计值 2、点估计中的矩估计法：（总体矩=样本矩）

离散型样本均值：∑

==

=n

i i X n

X E X 1

1)( 连续型样本均值：dx x xf X E X ?

+∞

∞

-=

=),()(θ

离散型参数：∑==

n

i i

X

n

X E 1

22

1

)(

3、点估计中的最大似然估计

最大似然估计法：n X X X ,,21取自X 的样本，设)]()()[,(~θθP X X P x f X i ==或则可得到概率密度：

])()(),,([),(),,,(1

1

21

1

21∏∏∏======

===

n

i i

n i i

n n n

i i

n P x X P x X X

X X P x f x x x f θθθ 或

基本步骤： ①似然函数：])([),()(1

1

∏∏===

n

i i

n

i i

P x f L θθθ或

②取对数：∑==

n

i i

X f L 1

),(ln ln θ

③解方程：0ln ,,0ln 1=??=??k

L

L θθ 最后得：),,(,),,,(212111n k k n x x x x x x ∧∧∧∧==θθθθ