概率论与数理统计-重要公式

概率论与数理统计-重要公式

、随机事件与概率

二、随机变量及其分布

1、分布函数

2、离散型随机变量及其分布

3、续型型随机变量及其分布

F (兀)=

=

概率密度函数

P(a

￡ f(x)dx = 1

计算概

P(a < X

率:

a

一般正态

P(X a) P(X a)

(

) P(X a) P(X a) 1

(-—)分布的概

率计算公式

b

a

P(a X b)(

)(

)

分布函数

4、随机变量函数Y=g(X)的分布 离散型：P

(丫

y

i

)

P j 'i 1,2

丄

g(x j ) y

① 分布函数法，

② 公式法 f y (y) f x (h(y)) h (y) (x h(y)单调) h(y)是g(x)的反函数

2、连续型二维随机变量及其分布 ①分布函数及性质

对离散型随机变量 F(x) P(X

x)

k

P(X k)

对连续型随机变量

F(x) P(X

x)

x

f(t)dt

分布函数与密度函数的重要关系:

F (x)

f (x) F(x) P(X x)

x

f(t dt

连续型: 三、多维随机变量及其分布

1、离散型二维随机变量及其分布 分布律：P(X X i 边缘分布律: 条件分布律: ,Y

V j )

P j , i,

j 1,2,L 联合分布函数 P(X xj P j

j

P j P(Y

y j ) P j

i

X i Y yj

P j . ,i P j

1,2,L ， P(Y y j X xj 也

P i

F(X,Y)

x

i

x y i y

P j

联合密

f (x, y)

P i f(x, y) 0

P(X

,j 1,2

丄

f(x,y)dxdy 1

、

一」

4、二维随机变量和函数的分布(卷积公式) 离散型：P(Z Z k )

四、随机变量的数字特征

1、数学期望

2、方差

E(X)E(Y)，当 X 、Y 相互独立时：Cov(X,Y)

，当X 、Y 相互独立时： XY 0

(X,Y 不相关)

③协方差和相关系数的性质：Cov(X,X) D(X)，

Cov(X,Y) Cov(Y,X)

Cov(X 1 X 2,Y) Cov(X 1,Y) Cov(X 2,Y) ， Cov(aX c,bY d) abCov(X,Y)

Cov(x,a)=0(a 为常数)，D(aX bY) a 2D(X) b 2D(Y) 2abCov(X,Y)

0 F(x,y) 1 F(x,y) P{X x,Y y}

性

质： F ( , ) 1,—F (x, y)

f (x, y), P((x, y) G) f (x,

y)dxdy x y

f x (x) f (x,v)dv F y (y)

f (u, v)dudv

f y (y)

f (u, y)du

③条件概率密度

f Yx (yx)洱，

f x (x)

3、随机变量的独立性 随机变量X 、Y 相互独立 ，f XY (xy)

f(x ,y)

f Y (y)

F(x,y) F X (X )F Y W),

离散型：P ij

P i.P .j ， P{X i,Y j} P{X i} P{Y j}连续型：f (x, y) f x (x)

f Y (y)

P(X 心丫 y j )注意部分可加性

x y j Z k

连续型：f z (z) f (x, z x)dx f (z y, y)dy

①定义: 离散型 ②性质: E(aX E(X)

X k p k ，连续型 E(X )

k 1

C, E[E(X)] E(X)，E(CX)

当X 、Y 相互独立时：

xf (x)dx

随机变量 E(C) b) aE(X) b ，

CE(X)，E(X Y) E(X) E(Y) E(XY) E(X)E(Y)(正对逆错)

g(X)的数学期望

E(g(X))

g(xQP k

k

①定义：

②性质： 当X 、Y 相互独立时：D(X Y)

D(C) 0，D(aX b)

2

a 2

D(X)，D(X Y) D(X) D(Y) 2Cov(X,

D(X) D(Y)

Y)

3、协方差与相关系数

①协方差：Cov(X, Y) E(X Y) Cov(X,Y)

XY

.'DCXj.D^^

②相关系数:

分布函数：F

(x, y)

f (u,v)dudv

②边缘分布函数与边缘密度函数

x

f (u,v)dvdu 密度函数:

分布函数：F x (x)

4、常见随机变量分布的数学期望和方差

五、大数定律与中心极限定理

1、切比雪夫不等式

若 E(X) ,D(X) 2,对于任意0有P{X E(X) D(X)

2

2、大数定律：

①切比雪夫大数定律: 若X1 X n相互独立,

E(X i) i,D(XJ 2且2C，则：- ②伯努利大数定律:

X i n

i 1

设 n A是n次独立试验中事件

E(X i),( n )

A发生的次数, p是事件A在每次试验中发

生的概率，则0，有:n imp

n A

③辛钦大数定律：若X1,L ,X n独立同分布，且E(X i)

n

X i P

n n

3、*中心极限定理

X i(i 1,2丄)，均值为，①列维一林德伯格中心极限定理：独立同分布的随机变量

20，当n充分大时有：Y；( X k n )

k 1 /

②棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理：随机变量X?B(n, p)，则对任意x 有:

?dt (x) 方差为

N(0,1)

lim P{

X np

.np(1 p)

x}

③近似计算：P(a

n

X k

k 1

b)

六、数理统计的基本概念

1、总体和样本的分布函数

n

设总体X?F(x)，则样本的联合分布函数F(x1,x2 x n) F(X k)

k 1

2、统计量

1.参数估计 七、 参数估计

①定义：用

(X 1,X 2,L ,X n )估计总体参数

，称(X 1,X 2,L ,X n )为 的估计量，相 应的

(X i ,X 2 ,L , X n )为总体 的估计值。

2.点估计中的极大似然估计

设X !,X 2丄X n 取自X 的样本，设X ~ f (x,)或X ~ P(x,

求法步骤:

n

①似然函数：L( ) f(X i ,)(连续型)或L( )

R(X j , i 1

i 1

)(离散型)

②取对数：ln L( ) ln f (X i ,)或 In L( ) In p(x,

3、三大抽样分布

分布(卡方分布)：设随机变量 X ~ B(0,1) (i 1,2丄，n)且相互独立，则称统计量

1

2

X 22

x n 服从自由度为n 的2

分布，记为2

~ 2

(n)

性质：① E[ 2(n)] n,D[ 2(n)] 2n ②设 X ~

2

(m),Y ~

2

(n)且相互独立,

2

则 X Y ~ (m n)

⑵

t 分布：设随机变量X ~ N(0,1),Y ~ 2

(n)，且X 与丫独立，则称统计量

从自由度为n 的t 分布，记为T ~t(n)。

n

1

性质：① E(T) 0(n 1),D (T)门5 2)②-imf n (X)

(X)

于

则 1F ~ F(n,m)。

n n

2 1 2 1 2 2

: (X i X) (X i

nX ) n 1i1

n 1i 1

n

X k

,k 1,2

n

i 1

1 n

: X i ，样本方差：

S n

i 1

J 二 (X i X)2 ，样本k 阶原点距：A k ■ n 1

i 1

1 n

_ 样本 k 阶中心距：B k - (X i X)k

,k 1,2,3L

n i 1

样本均值：X

样本标准差：S 2

(1)

2

X

~2

⑶F 分布：设随机变量X ~ (m),Y ~

2

5)，且X 与Y 独立，则称统计量F(m, n)

从第一自由度为m ,第二自由度为n 的F

分布，记为F ~ F (m,n)，性质：设F ~ F (

m,n)，

1 1(为，X2,L ,X n)

③解方程：血0丄，」吐0，解得：L L

1 k

k 心兀丄,X n)

3?估计量的评价标准

正态总体中，样本均值X是的无偏估计量

修正样本方差S2是2的无偏估计量

5.区间估计单正态总体参数的置信区间

八、假设检验

第一类错误：当H为真时，而样本值却落入了拒绝域，应当否定H)。“弃真错误”

P｛拒绝H)为真｝=

第二类错误：当H为真时，而样本值却落入了接受域，应接受 H。“取伪错误”

P｛接受H)|H为真｝=

2.单正态总体均值和方差的假设检验