概率论第四章课后习题解答

概率论第四章习题解答

1（1）在下列句子中随机地取一个单词，以X 表示取到的单词所饮食的字母个数，写出X 的分布律并求数学期望()E X 。

“THE GIRL PUT ON HER BEAUTIFUL RED HAT ”

（2）在上述句子的30个字母中随机地取一个字母，以Y 表示取到的字母所在单词所包含的字母数，写出Y 的分布律并求()E Y

（3）一人掷骰子，如得6点则掷第二次，此时得分为6加第二次得到的点数；否则得分为第一次得到的点数，且不能再掷，求得分X 的分布律。 解 （1）在所给的句子中任取一个单词，则其所包含的字母数，即随机变量X 的取值为：2,3,4，9，其分布律为 所

以

151115()234988884

E X =?+?+?+?=。

（2）因为Y 的取值为2,3，4，9

当2Y =时，包含的字母为“O ”，“N ”，故

1

21

{2}3015

C P Y ==

=； 当3Y =时，包含的3个字母的单词共有5个，故 当4Y =时，包含的4个字母的单词只有1个，故 当9Y =时，包含的9个字母的单词只有1个，故

112314673

()234915215103015

E Y =?

+?+?+?==

。 （3）若第一次得到6点，则可以掷第二次，那么他的得分为：X ＝7,8，9,10，11,12；

若第一次得到的不是6点，则他的得分为1,2，3,4，5。由此得X 的取值为：

1，2，3，4，5，7，8，9，10，11，12。

2 某产品的次品率为，检验员每天检验4次，每次随机地取10件产品进行检验，如果发现其中的次品多于1，就去调整设备。以X 表示一天中调整设备的次数，试求()E X 。（设诸产品是否为次品是相互独立的。）

解 （1）求每次检验时产品出现次品的概率

因为每次抽取0件产品进行检验，且产品是否为次品是相互独立的，因而可以看作是进行10次独立的贝努利试验，而该产品的次品率为，设出现次品的件数为

Y ，则(10,0.1)Y B :，于是有

1010{}(0.1)(0.9)k

k k P Y k C -==

（2

）一次检验中不需要调整设备的概率

则需要调整设备的概率 {1}1{}10.73610.2639P Y P Y >=-≤=-= （3）求一天中调整设备的次数X 的分布律

由于X 取值为0，1，2，3，4。0.2369p =，则(4,0.2369)X B : 于是 0044{0}(0.2639)(0.7361)0.2936P X C ===

（4）求数学期望 1.0556=。

3 有3只球4个盒子的编号为1，2，3，4。将球逐个独立地随机地放入4个盒子中去，以X 表示其中至少有一只球的盒子的最小号码（例如X ＝3，表示第1号、第2号盒子是空的，第3个盒子至少有一只球。）试求

()E X 。

解 （1）求X 的分布律

由于每只球都有4种方法，由乘法定理共有3464= 种放法。其中3只球都放到第4号盒子中的放法仅有1种，从而 1

{4}64

P X ==； 又{3}X =

“3X =”表示事件：“第1号、第2号盒子是空的，第3号盒子不空”，从而3只球只能放在第3、4号两个盒子中，共有328=种放法，但其中有一种是3只坏都放在第4号盒子中，即3号盒子是空的，这不符合3X =这一要求，需要除去，故有

“2X =”表示事件：“第1号是空的，第2号盒子不空”，从而3只球只能放在第2、3、4号三个盒子中，共有3327=种放法，但其中有一种是

3只球都放在第3、或4号盒子中，共有328=种放法，即2号盒子是空的，这不符合2X =这一要求，需要除去，故有

即

（2）求()E X 37197110025()1234 1.5625646464646416

E X =?

+?+?+?===。 4（1）设随机变量X 的分布律为1

32

{(1)

}3

j j j P X j +=-=，（1,2,3,j =L ），说明X 的数学期望不存在。

（2）一个盒中装有1只黑球，一只白球，作摸球游戏，规则如下：一次随机地从盒中摸出一只球，若摸到白球，则游戏结束；若摸到黑球，放回再放入一只黑球，然后再从盒中随机地摸取一只球。试说明要游戏结束的摸球次数X 的数学期望不存在。 解 （1）因为级数

1

111

13332(1)

{(1)}(1)3j j j j j j j j j P j j j ∞

∞+++==--=-?∑∑11

(1)2j j j +∞

=-=∑， 这是一个莱布尼茨交错级数，收敛而非绝对收敛。所以其数学期望不存在。

（2）以k A 记事件“第k 次摸到黑球”，以k A 记事件“第k 次摸到白球”，以k C 表示事件“游戏在k 次摸球时结束”，1,2,3,k =L 。

按题意，121k k k C A A A A -=L ，由乘法公式得 而 11{1}()2

P X P A ===

212211121

11(|)(|)()432

43

P A A A P A A P A =??=?，

一般地，若当X k =时，盒中共有1k +只球，其中只有一只白球，故 若()E X 存在，则根据数学期望的定义，就有

111

111

()()11k k k E X kP X k k k k k ∞

∞

∞======?=++∑∑∑，

而调和级数11

1

k k ∞

=+∑

却是发散的，此即表明数学期望()E X 不存在。 5设在某一规定的时间间隔里，某电气设备用于最大负荷的时间X （以min 计）是一个随机变量，其概率密度为

求()E X

解 按连续型随机变量的数学期望的定义有 6 设随机变量X 的分布律为

求()E X ，2()E X ，2(35)E X + （2）设()X πλ:，求11E X ??

?+??

解 ()20.400.320.302E X =-?+?+?=-； 或

因为

所以 2()00.340.7 2.8E X =?+?=。 （2）因为 !

k k e p k λ

λ-=

，0,1,2,k =L

所以 00

1111!(1)!k k k k e E e X k k k λλ

λλ-∞∞

-==??=?= ?+++??∑∑ （注 在公式0

()k k k E X x p ∞

==∑中现在的1

1k x k =+，!k k e p k λλ-=，

!k

k e k λλ∞

==∑）

7 （1）设随机变量X 的概率密度为

求（ⅰ）2Y X =，（ⅱ）2X Y e -=的数学期望；

（2）设随机变量1X ，2X ，…，n X 相互独立，且都服从（0，1）上的均匀分布

（ⅰ）求12max{,,,}n U X X X =L 的数学期望， （ⅱ）求12min{,,,}n V X X X =L 的数学期望。 解 （1）0()(2)2()2x E Y E X xf x dx xe dx ∞

∞

--∞===?? 330

01

13

3

x x

e dx e ∞

--∞==-=?。 （2）因为（ⅰ）因为随机变量1X ，2X ，…，n X 相互独立，且都服从（0，1）上的均匀分布，其概率密度为

其分布函数为

而 12max{,,,}n U X X X =L 的分布函数为

即max 0,0(),011,0n z F z z z z

=≤?

，

于是1max ,01

()0,

n nz z f z -?≤<=??其它

1

11max 00()()11

n n n n

E Z zf z dz nz dz z n n ∞+-∞====++??。 （ⅱ）12min{,,,}n V X X X =L

11(1)n n u u du -=--? （令1u z =-） 11

100

11

1

n n n

u u n n +=-

=-

++。 8 设随机变量(,)X Y 的分布律为

（1）求()E X ，()E Y ； （2）设Y

Z X

=

，求()E Z ； （3）设2()Z X Y =-，求()E Z 。 解 （1）由已知分布律知其边缘分布为

()10.420.230.42E X =?+?+?=； ()10.300.410.30E Y =-?+?+?=。

（2）由已知的分布律有 0.11

0.20.050.10.05315

=--+++

=-。 （3） 3

3

2

211

()[()]()i j ij j i E Z E X Y x y p ===-=-∑∑

222222030.300.110.120.15+?+?+?+?+?=。 或 先求出2()X Y -的分布律，再求对应的数学期望

2{0}{()0}{1,1}0.1P Z P X Y P X Y ==-=====,

即

所以 ()00.110.240.390.45E Z =?+?+?+?=。 9（1）随机变量(,)X Y 的概率密度为 求()E X ，()E Y ，()E XY ，22()E X Y +； （2）随机变量(,)X Y 的概率密度为 求()E X ，()E Y ，()E XY

解 （1）()(,)E X xf x y dxdy ∞

∞

-∞-∞=??1

20012x

xdx y dy =??

155661

01221221216(4)5330

33015

x x dx x x =+

=+=

+=?。 （2）()0

()(,)x

y y x E X xf x y dxdy dy e dx y

-+∞

∞

∞

∞

-∞-∞

==?

?

??

0222y y

e dy e ∞

--∞===?。

注：可以利用20(3)2y y e dy ∞

-=Γ=?

10 （1）设随机变量(0,1)X N :，(0,1)Y N :，且X 和Y 相互独立。

求(

)222

X E

X Y +；

（2）一飞机进行空投作业，设目标点为原点(0,0)o ，物资着陆点为(,)X Y ，X 和Y 相互独立，且设2(0,)X N σ:，2(0,)Y N σ:，求原点到点

(,)X Y 间的距离的数学期望。

解 （1）根据对称性，

22

2222

()()X Y E E X Y X Y =++， 而X 和Y 相互独立且

所以 2222()1X E X Y =+，即2221

()2X E X Y =+。 或 因为X 和Y 相互独立，2

22

1(,)2x

y f x y e π

+-=，x -∞<<∞，

y -∞<<∞。

2

1

1

(sin 2)

2

π

θθπ=+12

=

。 （2）设原点到(,)X Y 的距离为R

，则R =(,)X Y 的概率

密度为 222

22

1(,)2x y f x y e σπσ

+-

=，x -∞<<∞，y -∞<<∞。

2

22

2

221

2

2

r r e dr dr σσ--

∞

∞

-∞=

=

??

＝=

。

11 一工厂生产的某种设备的寿命X （以年计）服从指数分布，概

率密度为

工厂规定：出售的设备若在一年之内损坏可予调换，若工厂售出的一台设备赢利100元，调换一台设备厂方需花费300元。试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望。

解 因为设备的寿命为随机变量X ，则一台设备在一年内调换的概率

设工厂售出一台设备的净赢利值为Y ：则Y 的分布律为

故有 1114

4

4

()100200(1)300200E Y e e e ---=--=- 3000.778820033.64=?-=（元）

12、 某车间生产的圆盘直径在区间(,)a b 内服从均匀分布，试求

圆盘面积的数学期望。

解 设圆盘的直径为X ，则X 的概率密度为

记圆盘的面积为Y ，则24

Y X π

=

，于是圆盘面积的数学期望为

13设电压（以V 计）(0,9)X N :，将电压施加于一检波器，其输出的电压为25Y X =，求输出电压Y 的平均值。

解 因为(0,9)X N :，所以()0E X =，()9D X = 由22()()(())D X E X E X =+得

又 222(5)5()5[()(())]E X E X

D X

E X ==- 故 2(5)5[90]45E X =-=（V

） 或 因为218

()x f x -=

22

234545x e

dx -

∞

?-∞

==?

（V ）

15、将n 只球（1n :）号随机地放进n 个盒子（1n :）中去，一个例子中装一只球。若一只球装入与球同号的例子中，称为一个配对，记X 为总的配对数，求()E X 解 设1,i X ?=?

?第i 号球配成对

0，第i 号球不配对

，1,2,,i n =L ，则i X 服从（0－1）分布，故

1{1}i P X n ==，1{0}i n P X n -==

，111

()10i n E X n n n

-=?+?= 又 1n

i i X X ==∑，所以

1

()()n i i E X E X ==∑1

11

1n

i n n n

===?=∑

。 16、若n 有把看上去样子相同的钥匙，其中只有一把能把打开门上的锁，用它们去试开门上的锁，设取到每只钥匙是等可能的。若每把钥匙试开一次后除去，试用下面两种方法求开锁的次数X 的数学期望。

（1）写出X 的分布律， （2）不写出X 的分布律。

解 （1）写出分布律

开锁的次数X 的取值为1,2，…，n 。 则 1{1}P X n ==，111

{2}1n P X n n n -==

?=-，

1211

{3}12n n P X n n n n --==??=--，…，一般地

12111

{}11n n n i P X i n n n i n i n

---+==????=---+L ，1,2,,i n =L

（备注：这实质上是一个抽签问题，由条件概率知每把钥匙把门

打开的概率是相等的，均为1

）

所以 11

111(1)1

()22n

n i i n n n E X i i n n n ==++=?==?=∑∑

（2）不写出分布律

不妨设第j 抒钥匙能打开门上的锁，把第一次抽取看作是第一轮，

则第一次抽取后，剩下的有1n -把钥匙，依此类推。

则 111{1}n i i C n i P X n n -+-+=== （11

{0}1i n i i P X n n

-+-==-=

） 故 11

11(1)1

()1(1)(1)22n

n i i n i n n E X n i n n n ==-+++=?=+-=+-=∑∑ 17、设X 为随机变量，C 为常数，证明2()[()]D X E X c <-，对于()c E X ≠。（由于2()[()]D X E X C =-，上式表明2[()]E X C -当()C E X =时取到最小值。）

证明 因为 2[()]()E X c D X --

当 ()c E X ≠时，2[()]()E X c D X --2(())0E X c =->。 即 2()[()]D X E X c <-

当 ()c E X =时 2[()]()0E X c D X --=， 即 2()[()]D X E X c =-

18、设随机变量X 服从瑞利分布，其概率密度为 其中0σ＞是常数，求()E X 和()D X 。 解 2

2

2

22

()()x

x E X x f x dx e dx σσ

∞

∞

--∞==??

又 22

3

2

222

0()()x x E X x f x dx e

dx σσ∞

∞

--∞==??

22

2

22

2x x

e

dx σσ

σ∞

--∞

=?

（概率密度的性质()1f x dx ∞

-∞

=?）

所以 22222

4()()()22

2

D X

E X E X ππσσσ-=-=-=

19、设随机变量X 服从Γ分布，其概率密度为 其中0α>，0β>是常数，求()E X 和()D X 解 10

()()()

x x E X xf x dx x e dx αβ

α

βα∞

∞

---∞==Γ??

又 2

101()()

x E X x e dx αβ

α

βα∞+=-Γ? 故 22()()()D X E X E X =-2222()()βαααβαβ=+-= 20、设随机变量X 服从几何分布，其分布律为 1{}(1)k P X k p p -==-，1,2,k =L 。 其中01p <<是常数，求()E X 和()D X

解 1

1

11

()(1)

()

k k k k E X k p p p k q ∞

∞

--===-=∑∑ 1

()n

k k p q ='=∑

又 2

2

1

211

1()(1)

()k k k k E X k p p p k q ∞

∞

--===-=∑∑

因为

1

11

1

1

(1)((1))((1))k k

k k k k k k q

k q k q ∞

∞

∞

-+==='''+=+=+∑∑∑

所以 232212()p

E X p p p p

-=?

-= 21、设长方形的高（以m 计）(0,2)X U :，已知长方形的周长（以m 计）为20，求长方形的面积A 的数学期望和方差。

解 因为(0,2)X U :，所以 20

()12

E X -==，221()123D X =

= 而 2(202)

(10)102

X A X

X X X X -==-=- 又22()()()D A E A E A =- 而 2

22()(10)()E A x x f x dx ∞

-∞=-? 所以 22()()()D A E A E A =-

296.53338.666796.533375.111721.4216=-=-=。

22、（1）设随机变量1234,,,X X X X 相互独立，且有()i E X i =，()5i D X i =-，

1,2,3,4i =。设12341

232

Y X X X X =-+-

求()E Y 和()D Y ；

（2）设随机变量X ，Y 相互独立，且2(720,30)X N :，2(640,25)Y N :，

求12Z X Y =+，2Z X Y =-的分布，并求概率{}P X Y >，{1400}P X Y +>。

解 （1） 12341

()2()()3()()2

E Y E X E X X E X =-+-

（2）因为2(720,30)X N :，2(640,25)Y N : 所以 2221112122(2,2)Z X Y N μμσσ=+++: 即 221(2720640,43025)Z N ?+?+: 故 21(2080,65)Z N :

同样，因为()720E X =，()640E Y =，()72064080E X Y -=-= 2()30D X =，2()25D Y = 所以 2()(80,1525)Z X Y N =-:

又 {}{0}1{0}P X Y P X Y P X Y >=->=--<

又因为 ()7206401360E X Y +=+=， 所以 ()(1360,1525)X Y N +:

23、五家商店联营，它们每两周的出售的农产品的数量（以kg 计）分别为

12345

,,,,X X X X X 已知

1(200,225)

X N :，

2(240,240)

X N :，

3(180,225)X N :，4(260,265)X N :，5(320,270)X N :，且12345

,,,,X X X X X 相互独立。

（1）求五家商店的总销售量的均值和方差。

（2）商店每隔两周进一次货，为了使新的供货到达商店前不会脱销的概率达到，问商店的仓库应至少储存多少千克产品。

解 （1）设五家商店每两周的总销量为X ，则 则五家商店的总销量 (1200,1225)X N :

（2）设商店仓库需要储存该产品的数量为m(kg)，则在新货到达之前不会脱销的

概率达到，即{}0.99P X m ≤>。 而 {}

P X m P ≤=≤ 查表得 (2.33)0.99Φ> 令

1200

2.3335

m -> 解得 1281.551282m >≥

即仓库需要储存至少1282kg 该产品，才能保证其不脱销的概率达到。 24卡车装运水泥，设每袋水泥重量X （以kg 计）服从2(50,2.5)N ，问最多装多少袋水泥使总重量超过2000的概率大于

解 设卡车所装的水泥袋数为m ，则水泥的总问题为 因为 2(50,2.5)N :，所以 2(50,2.5)X N m m : 而所求概率为 {2000}0.05P X >≤ 即 0.95

P ≤≥

即 0.95

Φ≥，

查表得 (1.65)0.95Φ≥ 1.65

=，

80020m -=

取

1.6525

2.99

40

-+=

6.24=，

38.96m =，取整得，39m =。

25、随机变量X ，Y 相互独立，且都服从(0,1)上的均匀分布。 （1）求()E XY ，()E X Y ，(ln )E XY ，()E X Y -

（2）以X ，Y 为边长，作一长方形，以A ，C 分别表示长方形的面积和周长，

求A 和C 的相差系数。

解 因为X ，Y 相互独立，且都服从(0,1)上的均匀分布

因为在 2

1

1100011

()(,)ln |2R E X x y f x y dxdy dy xdx y y ====-∞????， 所以 ()E X Y 不存在。

（注 因为20

00ln 1lim ln lim

lim 011y y y xy y

y xy y y

→→→===-，所以10ln |ln y xy x = 20

00ln 1lim ln lim

lim 011y y y x x

x x x x

→→→===-10ln |0x x =) (2) 因为 A XY =，所以由（1）知 1()()4

E A E XY ==；

221177

()()()916916144

D A

E A E A =-=-==

?， 2()C X Y =+， 所以

AC ρ=

=

=

=== 26、（1）设随机变量123,,X X X 相互独立，且有11

(4,)2

X b :，21(6,)3

X b : 31

(6,)3

X b :，求123{2,2,5}P X X X ===，123()E X X X ，

12()E X X -，12(2)E X X -

（2）设X ，Y 是随机变量，且有()3E X =，()1E Y =，()4D X =，()9D Y =，

令515Z X Y =-+，分别在下列三种情况下求()E Z 和()D Z ： （ⅰ）X 与Y 相互独立；（ⅱ）X ，Y 不相关；（ⅲ）X 与Y 的相关系数为。

解 （1）因为11(4,)2

X b :，21(6,)3

X b :，31(6,)3

X b :

所以123123{2,2,5}{2}{2}{5}P X X X P X P X P X ======= 又因为123,,X X X 相互独立，且

11()422E X =?=，21()623E X =?=，31

()623

E X =?=

所以 123123()()()()E X X X E X E X E X =8= 1212(2)()2()2E X X E X E X -=-=-。 （2）当（ⅰ）X 与Y 相互独立

当（ⅱ）X ，Y 不相关

因为X ，Y 不相关，即协方差

cov(,)0X Y =，(5,)5(,)0Cov X Y Cov X Y -=-=

当（ⅲ）X 与Y 的相关系数为。

因为 (,)230.25 1.5XY Cov X Y ==??= 254910 1.51091594=?+-?=-=。

27、下列各对随机变量X 和Y ，问哪几对是相互独立的？哪几对是不相关的。

（1）(0,1)X U :，2Y X =； （2）(1,1)X U -:，2Y X =；

（3）cos X V =，sin Y V =，(0,2)V U π:。 若（X ，Y ）的概率密度为

（4） ,01,01

(,)0,x y x y f x y +<<<

其它

（5） 2,01,01

(,)0,

y x y f x y <<<

?其它

解 (1) 因为(0,1)X U :，其概率密度为 1,01

()0,x f x <

?其它

，

当2Y X =时 1

2220

1()()()3

E Y E X x f x dx x dx ∞

-∞

====?? 因为 1

(,)012

Cov X Y =

≠，所以X 和Y 是相关的，即不是不相关的。 事实上，X 和Y 有明显的线性关系：Y X =即X 和Y 不是不相关的，既然有线性关系，当然也就不独立了。用反证 可得到这一结论：若X 和Y 相互独立，则()()()E XY E X E Y =，从而(,)0Cov X Y =。进而0XY ρ=，即X 和Y 是不相关的，矛盾。

所以X 和Y 不相互独立，也不是不相关的。

（2）(1,1)X U -:，2Y X =；

因为 1

1()()0E X xf x dx xdx ∞

-∞-===??（奇函数在关于原点对称的区间上的积分为0）

1

331

()()0E XY x f x dx x dx ∞

-∞

-===??（奇函数在关于原点对称的区间上的

积分为0）

所以 (,)()()()0Cov X Y E XY E X E Y =-= 故 X 和Y 是不相关的。

虽然X 和Y 是不相关的，即它们之间没有线性关系，但它们之间有平方关系：2Y X =

所以X 和Y 不是相互独立的。

也可以通过计算来说明这一点：对任何01a <<都有事件

2{}{}X a X a ≤?≤从而

故 X 和Y 不是相互独立的。

（3）cos X V =，sin Y V =，(0,2)V U π:。 （ 或

2222

20

sin cos sin (sin )sin |

sin cos v vdv vd v v v vdv π

π

π

π==-?

??

移项得

20

sin cos 0v vdv π=?

）

所以 1

ov(,)000C X Y π

=+?=

故X 和Y 是不相关的，但cos sin Y v

X v

=

，因而X 和Y 不相互独立的。 （4）,01,01

(,)0,x y x y f x y +<<<

?

其它

当01x <<时，3

2

0()()2

x

X x f x x y dy x =+=+?

（由对称性可直接得到 ）

（由对称性可直接得到 ）

所以X 和Y 不是是相关的，因而X 和Y 不相互独立的。 （5）2,01,01

(,)0,

y x y f x y <<<

?其它

（ⅰ）求边缘概率密度

当01x <<时，1

2100()2|1X f x ydy y ===? 当01y <<时，1100()22|2Y f y ydx xy y ===?

（ⅱ）由边缘概率密度与联合概率密度的关系知 由此可知 (,)()()X Y f x y f x f y =， 故X ，Y 相互独立，从而X ，Y 不相关。 解法二｜关于（5）的计算：

已经求得

所以 1

1()()2

X E X xf x dx xdx ∞

-∞

===??

知X ，Y 不相关。

又 300{,}2a

a

P X a Y a dx ydy a ≤≤==?? 所以X ，Y 相互独立。

（一般可以先证明相互独立，当然也就有了不相关的结论。）

28、设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为

试验证X 和Y 是不相关的，但X 和Y 不是相互独立的。 证明

111,()(,)0,X dy x f x f x y dy π

∞

--∞

?≤≤?==???

??

其它显然(,)()()X Y f x y f x f y ≠，所以X 和Y 不是相互独立的

但 1

1

11

2

()()0X E X xf x xdx π--==

=??

，

（奇函数在对称区间的积分为0） 所以 (,)0Cov X Y =，故X 和Y 是不相关的。

29、设随机变量(,)X Y 的分布律为

试验证X 和Y 是不相关的，但X 和Y 不是相互独立的。 解 求边缘分布律

所以

323()1010828E X =-?+?+?=，323

()1010828

E Y =-?+?+?=

可见 (,)0Cov X Y =，故X 和Y 是不相关的。 但 1

{1,1}8

P X Y ===，33{1}{1}88

P X P Y ===?

又 {1,1}{1}{1}P X Y P X P Y ==≠==可知X 和Y 不相互独立。