概率论习题解答(第4章)
第4章习题答案
三、解答题
1. 设随机变量X
求)(X E ，)(2
X E ，)53(+X E ．
解：E (X ) =
∑∞
=1
i i
xp
= ()2-4.0?+03.0?+23.0?=
E (X 2 ) =
∑∞
=1
2
i i p x
= 44.0?+ 03.0?+ 43.0?=
E (3 X +5) =3 E (X ) +5 =3()2.0-?+5 =
2. 同时掷八颗骰子，求八颗骰子所掷出的点数和的数学期望． 解：记掷1颗骰子所掷出的点数为X i ，则X i 的分布律为
6,,2,1,6/1}{Λ===i i X P
记掷8颗骰子所掷出的点数为X ，同时掷8颗骰子，相当于作了8次独立重复的试验， E (X i ) =1/6×(1+2+3+4+5+6)=21/6 E (X ) =8×21/3=28
3. 某图书馆的读者借阅甲种图书的概率为p 1，借阅乙种图书的概率为p 2，设每人借阅甲乙图书的行为相互独立，读者之间的行为也是相互独立的． (1) 某天恰有n 个读者，求借阅甲种图书的人数的数学期望．
(2) 某天恰有n 个读者，求甲乙两种图书至少借阅一种的人数的数学期望． 解：(1) 设借阅甲种图书的人数为X ，则X~B (n , p 1),所以E (X )= n p 1 (2) 设甲乙两种图书至少借阅一种的人数为Y , 则Y ~B (n , p ),
记A ={借甲种图书}， B ={借乙种图书}，则p =｛A ∪ B ｝= p 1+ p 2 - p 1 p 2 所以E (Y )= n (p 1+ p 2 - p 1 p 2 )
4. 将n 个考生的的录取通知书分别装入n 个信封，在每个信封上任意写上一个考生的姓名、地址发出，用X 表示n 个考生中收到自己通知书的人数，求E (X )．
解：依题意，X~B (n ，1/n )，所以E (X ) =1.
5. 设)(~λP X ，且}6{}5{===X P X P ，求E (X )． 解：由题意知X ～P （λ），则X 的分布律P {}k X ==
λ
λ-e k k
!
，k = 1,2,...
又P {}5=X =P {}6=X , 所以
λλ
λλ--=
e e
!
6!
56
5
解得
6=λ，所以E (X ) = 6.
6. 设随机变量X 的分布律为,,4,3,2,1,6
}{2
2Λ--===k k
k X P π问X 的数学期望是否存在
解：因为级数∑∑∑∞
=+∞
=+∞
=+-=-=?
-1
1
21
211
2211)1(6)6)1(()6)1((k k k k k k k
k k k πππ， 而
∑∞
=1
1
k k 发散，所以X 的数学期望不存在.
7. 某城市一天的用电量X （十万度计）是一个随机变量，其概率密度为
?????>=-.0
,0,9
1)(3
/其它x xe x f x 求一天的平均耗电量．
解：E (X ) =???∞
-∞
-∞
∞-==0
3/203/9191)(dx e x dx xe x
dx x f x x x =6.
8. 设某种家电的寿命X （以年计）是一个随机变量，其分布函数为
?????>-=.0
,5,25
1)(2
其它x x x F
求这种家电的平均寿命E (X )．
解：由题意知，随机变量X 的概率密度为)()(x F x f '=
当x >5时，=)(x f 33
50
252x
x =?--
，当x 5时，=)(x f 0. E (X ) =10|5050)(5-53=-==∞
++∞∞+∞??x
dx x x dx x xf
所以这种家电的平均寿命E (X )=10年.
9. 在制作某种食品时，面粉所占的比例X 的概率密度为
?
?
?<<-=.0,
10,)1(42)(5其它x x x x f 求X 的数学期望E (X )．
解：E (X ) =
dx x x dx x xf ?
?+∞
∞
-=-1
52)1(42)(=1/4
10. 设随机变量X 的概率密度如下，求E (X )．
????
?????≤<-≤≤-+=.010,)1(2
3
01)1(23)(22
其它，，，，x x x x x f
解：0)1(102
3)1(0123)()(2
2=-++-=+∞∞-=???dx x x dx x x dx x xf X E .
1
11. 设),4(~p B X ，求数学期望)2
(sin
X E π． 解：X 的分布律为k n k
k n p p C k X P --==)1(}{， k = 0，1，2，3，4，
X 取值为0，1，2，3，4时，2
sin
X π相应的取值为0，1，0，-1，0，所以 )21)(1(4)1(1)1(1)2
(sin
13
343114p p p p p C p p C X
E --=-?--?=π
12. 设风速V 在(0，a )上服从均匀分布，飞机机翼受到的正压力W 是V 的函数：
2kV W =，
（k > 0，常数），求W 的数学期望． 解：V 的分布律为??
??
?<<=其它 ,00 ,1
)(a v a v f ，所以 ===+∞∞-=??a
a v a k dv a kv dx v f kv W E 03022|)31(1)()(23
1ka
13. 设随机变量(X , Y
求E (X )，E (Y )，E (X – Y )．
解：E (X )=0×(3/28+9/28+3/28）+1×(3/14+3/14+0)+ 2×(1/28+0+0)= 7/14=1/2 E (Y )=0×（3/28+3/14+1/28）+1×(9/28+3/14+0)+ 2×(3/28+0+0)=21/28=3/4 E (X -Y ) = E (X )- E (Y )=1/2-3/4= -1/4.
14. 设随机变量(X ，Y )具有概率密度???≤+≤≤≤≤=其它,
01
,10,10,24),(y x y x xy y x f ，求
E (X )，E (Y )，E (XY )
解：E (X )=
????-=?1
10
2
2424x
D
ydydx x xydxdy x dx x x ?-?=1
02
2)1(2124dx x x x ?+-=10432)2412(52)51264(1
543=+-=x x x
.15
2
)34524638()1(3
1
242424)(5
/22424)(1
065431
101
0322
2
1
102
=-+-=-?==?===?=????
?????
--x x x x dx x x dydx y x
xydxdy xy XY E xdxdy y
xydxdy y Y E D
x
D
y
15.
所得利润（以元计）为)12(1000X Y -=,求E (Y )，D (Y )．
解： E (Y) = E ［1000(12-X )］
=1000×[(12-10)×+(12-11)]×+(12-12)×+(12-13)×+(12-14)×] = 400
E (Y 2) = E ［10002(12-X )2］
=10002[(12-10)2×+（12-11）2×+（12-12）2×+（12-13）2× +（12-14）2×]=×106
D (Y )=
E (Y 2)-［E (Y )］2=×106- 4002=×106
16. 设随机变量X 服从几何分布 ，其分布律为,,2,1,)1(}{1Λ=-==-k p p k X P k 其中0 < p < 1是常数，求E (X )，D (X )．
解：令q=1- p ,则
∑∑∑∑∞
=∞
=-∞
=-∞==?=?==?=11
1
1
1
1
)()}{()(k k
k k k k k dq
dq p q
k p p q
k k X P k X E
p q dq d p q dq d p k k /1)11(0∑∞==-==
∑∑∑∑∞
=-∞
=-∞
=-∞
=?+?-=?==?=1
11
1
1
1
2
1
2
2
])1([)()}{()(k k k k k k k q k q
k k p p q
k k X P k X E
p q
k k pq k k /1)1(1
2
+?-=∑∞
=-p q
dq d pq p q dq
d pq k k k
k /1)(/101
2
2
22∑∑∞
=∞
=+=+=
p p q p q pq p q dq d pq /1/2/1)
1(2/1)11(2
3
22+=+-=+-= D (X ) = E (X 2)- E (X ) =2q /p 2+1/p -1/p 2 = (1-p )/p 2
17. 设随机变量X 的概率密度为??
???
<-=其它,01||,11)(2x x x f π，试求E (X )，D (X )．
解：E (X )=
011
)(1
1
2
=-=??
-∞
∞
-dx x
x
dx x f x π
D (X )=
E (X 2)=
???
--∈-∞
∞
-=-=2
/2
/2]
2/,2/[1
1
2
2
2
cos sin sin 11
)(ππ
ππππdt t
t t
x dx x
x
dx x f x t
2
1
22cos 12
2
/0=
-=
?ππdt t 18. 设随机变量(X ，Y )具有D (X ) = 9，D (Y ) = 4，6/1-=XY ρ，求)(Y X D +，)43(+-Y X D ．
解：因为)
()(),(Y D X D Y X Cov XY =
ρ，所以
)()(),(Y D X D Y X Cov XY ρ==-1/6×3×2=-1,
11249),(2)()()(=-+=++=+Y X Cov Y D X D Y X D
51)1(6369)3,(2)(9)()43(=--+=-++=+-Y X Cov Y D X D Y X D
19. 在题13中求Cov (X ，Y )，XY ． 解：E (X ) =1/2, E (Y ) =3/4,
E (XY )=0×(3/28+9/28+3/28+3/14+1/28）+1×3/14+2×0+4×0=3/14,
E (X 2)= 02×（3/28+9/28+3/28）+12×(3/14+3/14+0)+ 22×(1/28+0+0)=4/7, E (Y 2)= 02×（3/28+3/14+1/28）+12×(9/28+3/14+0)+ 22×(3/28+0+0)=27/28, D (X )= E (X 2) -［E (X )］2 = 4/7-(1/2)2= 9/28, D (Y )= E (Y 2)- ［E (Y )］2=27/28-(3/4)2= 45/112,
Cov (X ，Y )= E (XY )- E (X ) E (Y ) =3/14- (1/2) ×(3/4)= -9/56,
XY = Cov (X ，Y ) /(
)(X D )(Y D )=-9/56 (28
/9112/45)= -5/5
20. 在题14中求Cov (X ，Y )，XY ，D (X + Y )．
解：52)()(=
=Y E X E ,,)(15
2=XY E 752
)()()(),(-=-=Y E X E XY E Y X Cov
)(5
1
24)(2101032Y E dydx y x X E x ===??-
[]
)(25
1
25451)()()(22Y D X E X E X D ==-=-=
75
2
),(2)()()(32
)
()(),(=
++=+-
==
Y X Cov Y D X D Y X D Y D X D Y X Cov XY
ρ
21. 设二维随机变量(X , Y )的概率密度为
?????≤+=.0
,1,1
),(22其它y x y x f π
试验证X 和Y 是不相关的，但X 和Y 不是相互独立的．
解：0/12/)(1
1
21
1112
2
=-==
???
-----dx x x dydx x X E x x
ππ
x
y
O
x
y 2=x
y 2-=0/)(1
1112
2
==?
?
----x x dydx y Y E π 0/)(1
1112
2
==?
?
----x x dydx xy XY E π，
所以Cov (X ，Y )=0，
XY =0，即
X 和Y 是不相关.
??
???<<--=?????<<-==??
---∞
+∞
-其他，，其他，01112011,/1),()(21122x x x dy dy y x f x f x x X π
π ??
???<<--=?????<<-==??---∞+∞
-其他，，其他，01112011,/1),()(21122y y y dx dx y x f y f y y Y π
π 当x 2 + y 2≤1时，f ( x,y )≠f X ( x ) f Y (y ),所以X 和Y 不是相互独立的
22. 设随机变量(X , Y )的概率密度为
??
?<<<=.0
1
0,2||,2/1),(其它x x y y x f 验证X 和Y 是不相关的，但X 和Y 不是相互独立的．
解：由于f ( x,y )的非零区域为D : 0 < x < 1, | y |< 2x
32
22110221
2====?????-dx x xdydx dxdy y x xf X E x
x D ),()(,
02
1
1
022?
???-===x
x D
ydydx dxdy y x yf Y E ),()(,
02
1
1
022?
???-===x
x D
xydydx dxdy y x xyf XY E ),()(,所以Cov (X ，Y )=0，从而
0)
()()
,(==
y D x D y x Cov xy ρ，因此X 与Y 不相关 .
??
???<<===??
-∞
∞
-其他,01
0,22
1),()(22X
x x dy dy y x f x x x f
??
??
?????<≤-=<<-+===???-∞+∞-其他,020,421202,42121
),()(1
2
12
Y y y dx y y dx dx y x f y y y f
所以，当0 ?? ???≤>>=???≥<<--==- ,00 ,0,1)(,0),()(y y e y f Y x Y mx x Y Y x n mY Y Q Q y Y θθθ的密度函数为[ ] ()()()取最大值时，当又则令)(n ln 0 n m )(d n ln ,n 0)(1)()(d )()()()(1 .1.)()(.)()( 2 000 0000Q E n m x e dx Q E n m x n m e n e n m n e n m dx Q E nx n m e n m mxe nx nxe e n m xe n m mxe nxe dy n m e ye n m mxde de nx yde n m dy e mx dy e y x n my dy Y f Y Q Q E x x x x x x x x y x x y x y x y x y x y x y y x x y x y Y +-=∴<+-=+-=∴+==-+=-??? ??-+-=-+++-=+-++-+-=-+??? ?????+-+=-++-=+--==------ ---∞ +--- -∞+---∞+--∞∞-? ? ??? ?? θθθθθθθθ θθθθθθ θ θθθθθθθθ θθθθ四、应用题 .1. 某公司计划开发一种新产品市场，并试图确定该产品的产量，他们估计出售一件产品可获利m 元，而积压一件产品导致n 元的损失，再者，他们预测销售量Y （件）服从参数θ 解：设生产x 件产品时，获利Q 为销售量Y 的函数 y 2. 设卖报人每日的潜在卖报数为X 服从参数为λ的泊松分布，如果每日卖出一份报可获报 酬m 元，卖不掉而退回则每日赔偿n 元，若每日卖报人买进r 份报，求其期望所得及最佳卖报数。 解： 设真正卖报数为Y ,则 ?? ?≥<=r X r r X X Y ，Y 的分布为}{???????=<==∑∞ =--r i i k r k i r k k k Y P e e ,!,! λ λ λλ 设卖报所得为Z ,则Z 与Y 的关系为 ()()???=<--==r Y mr r Y y r n my Y g Z ()][()[]()()mr k nr k n m k mr k mr k nr k n m k mr i n k r km k r Y P r g k Y P k g k Y P k g Y g E r k k r k k k k r k k r k k r k k r i i r k k r k r k e e e e e e e e +-+=??? ? ??+--+=??? ? ??+--???? ??==+====∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑-=--=-∞=--=--=--=-∞=--=--==1 02 001 01 01 0101 ! ! !!!!!!) ()()()()()(λ λ λλλλλλλλ λλλλλλλ 当给定m,n,λ之后，求r ，使得E (g (Y ))达到最大. ()][150 ,1000,10,100=====r Y g E n m 此时时用软件计算λ (B)组题 1. 已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品，从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求： (1) 乙箱中次品件数X 的数学期望； (2) 从乙箱中任取一件产品是次品的概率． 解：(1) X 的可能取值为0，1，2，3，X 的概率分布律为 3 6 33 3}{C C C k X P k k -==， k =0,1,2,3. 即 X 0 1 2 3 p i 201 209 209 20 1 因此 .2 32013209220912010)(=?+?+?+? =X E (2) 设A 表示事件“从乙箱中任取一件产品是次品”，由于}0{=X ，}1{=X ，}2{=X ，}3{=X 构成完备事件组，因此根据全概率公式，有 ∑==== 3 0}{}{)(k k X A P k X P A P =∑∑====?=3 03 }{616}{k k k X kP k k X P = .4 1 2361)(61=?=X E 2. 随机变量X 的概率密度为?? ???≤≤=其他 ,00,2cos 21)(πx x x f ，对X 独立重复观察4次，用 Y 表示观察值大于 3 π 的次数，求Y 2的数学期望 解：依题意，Y~B (4, p ), p=P {X >3π}=2 12sin 2cos 21)(3/3/3/===??∞π ππππx dx x dx x f 所以E (Y )= 4p =2，D (Y )= 4p (1-p )=1， E (Y 2) = D (Y )+[E (Y )]2=1+4=5 3. 设随机变量U 在区间(-2，2)上服从均匀分布，随机变量 .1, 11 ,1;1,11,1???>≤-=???->-≤-=U U Y U U X 若若若若 试求：(1)X 和Y 的联合分布律；(2))(Y X D +． 解：(1) ?????≤≤-=其他, 022,41 )(u u f U P {X =-1, Y =-1}= P {U ≤-1且U ≤1}= P {U ≤-1}=4 1 411 2=?--du ， P {X =-1, Y =1}= P {U ≤-1且U >1}= 0， P {X =1, Y =-1}= P {-1 4111=?-du ， P {X =1, Y =1}= P {U > -1且U >1}= P {U > 1}=4 14121 =? du ， (2) 和 所以E (X )= -1/4+3/4=1/2，E (Y )= -3/4+1/4=-1/2，E (XY )= 1/4-1/2+1/4=0， E (X 2)= 1/4+3/4=1，E (Y 2)=1，D (X )=1-1/4=3/4，D (Y )=1-1/4=3/4， Cov (X ，Y )=1/4，D (X+Y )= D (X )+ D (Y )+2 Cov (X ，Y )=3/4+3/4+2/4=2 4. 设随机变量X 的期望E (X )与方差)(X D 存在，且有)0()(,)(>==b b X D a X E ， b a X Y -= ，证明1)(,0)(==Y D Y E ． 证明：首先证明E （Y ）存在 (1) 若随机变量X 为离散型随机变量，分布律为：Λ,2,1,,}{===i p x X P i i 则由E (X )存在知，∑∞ ==1)(i i i p x X E 绝对收敛，且,)(a X E = 记)(X g b a X Y =-= ,则b p b a x p x g i i i i i i 1 )(11=???? ? ?-=∑∑∞ =∞ =∑∞ =1 i i i p x b a - 绝对收敛， 所以E （Y ）存在，0)(=???? ??-=b a X E Y E ,1)()(==??? ? ??-=b X D b a X D Y D (2) 若X 为连续型随机变量，其概率密度为f (x ),则： ()()()()()()()()()()()()()()()()()()()[]()()()11 1011111==-=??? ? ??-==-=-=? ?? ? ??-=????? ?-??????-=????? ?-=-?????? ?∞ +∞-∞ +∞ -∞+∞-∞+∞-∞ +∞-∞ +∞ -∞ ∞ -X D b a X D b b a X D Y D a X E b a X E b b a X E Y E Y E a x d x xf b x d x xf a x d x xf b x d x af x d x xf b x d x f b a X x d x f x X E 存在，且即绝对收敛绝对收敛，所以 因为则绝对收敛。 存在知由 5. 设离散型随机变量X 的分布律为),2,1(,}{Λ===k p x X P k k ，且E (X )，E (X 2)，D (X )都存在，试证明：函数∑∞ =-=1 2)()(k k k p x x x f 在)(X E x =时取得最小值，且最小值为D (X )． 证明：令0)(2) (1 =--=∑∞ =k k k p x x dx x df ， 则01 1 =+-∑∑∞ =∞=k k k k k xp p x ， 0)(1 1 =+-=+-∑∑∞ =∞=x X E p x p x k k k k k ，所以，)(X E x = 又01)(2 2>=dx x f d ，所以)(X E x =时，∑∞ =-=1 2)()(k k k p x x x f 取得最小值，此时 )())(())((1 2X D p X E x X E f k k k =-=∑∞ = 6. 随机变量X 与Y 记),min(),,max(Y X V Y X U ==， (1) 求(U ，V )的分布律； (2) 求U 与V 的协方差Cov (U ，V ). 解：(1) (X ,Y )的分布律 (2) E (U )= 4/9+2×5/9=14/9， E (V )= (4/9+2/9+2/9)+ 2×1/9=10/9， E (UV )= 4/9+2×4/9+4×1/9=16/9, Cov (U ，V )=16/9-140/81=4/81 7. 随机变量X 的概率密度为 ?? ? ??<≤<<-=其它,020,4/101,2/1)(x x x f X 令),(,2y x F X Y =为二维随机变量（X ，Y ）的分布函数，求Cov (X ，Y )． 解： 3 /2)6/5()4/1(8/7) ()()(),(8 /74/2/)()()(6/54/2/)()()(4 /14/12/1)()(230 1 2 33 3 3 1 2 22 2 2 01 2 =?-=-==+====+====+==??? ?????? -∞+∞ -∞ +∞ ---+∞ ∞ -X E X E X E Y X Cov dx x dx x dx x f x X E XY E dx x dx x dx x f x X E Y E xdx xdx dx x f x X E 则：ｘｘｘ 8. 对于任意二事件A 和B ，0 < P (A ) < 1，0 < P (B ) < 1，)()()()()()()(B P A P B P A P B P A P AB P ?-=ρ 称作事件A 和B 的相关系数． (1) 证明事件A 和B 独立的充分必要条件是其相关系数等于零． (2) 利用随机变量相关系数的基本性质，证明1≤ρ．