钟祥一中高三理科数学周练55

钟祥一中高三理科数学周练31

命题人：金伟 审题人：曹刿

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的．把答案填在答题卡上对应题号后的框内，答在试卷上无效．

1．设集合{123}A =，，

，{45}B =，，{|}M x x a b a A b B ==+∈∈，，，则M 中的元素个数为 A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

2．在北京召开的第24届国际数学家大会的会议，会议是根据中国古代数学家赵爽的弦图（如图）设计的，其由四个全等的直角三角形和一个正方形组成，若直角三角形的直角边的边长分别是3和4，在绘图内随机取一点，则此点取自直角三角形部分的概率为 A ．125

B ．925

C ．1625

D ．2425

3．设i 为虚数单位，则下列命题成立的是

A ．a ?∈R ，复数3i a --是纯虚数

B ．在复平面内i(2i)-对应的点位于第三限象

C ．若复数12i z =--，则存在复数1z ，使得R z z ∈?1

D ．x ∈R ，方程2i 0x x +=无解

4．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3215109S a a a =+=，，则1a =

A ．1

9

B ．19

-

C ．13

D ．13

-

5．已知曲线421y x ax =++在点(1(1))f --，处切线的斜率为8，则(1)f -= A ．7

B ．－4

C ．－7

D ．4 6．84(1)(1)x y ++的展开式中22x y 的系数是

A ．56

B ．84

C ．112

D ．168

7．已知一个空间几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是 A ．4cm 3

B ．5 cm 3

C ．6 cm 3

D ．7 cm 3

8．函数()sin()(0,0)f x A x A ω?ω=+>>的图像如图所示，则

(1)(2)(3)(18)f f f f ++++ 的值等于

A

B

C

2 D ．1

9．某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x 在1，2，3…，24 这24个整数中等可能随机产生。则按程序框图正确编程运行时输 出y 的值为3的概率为 A ．12

B ．13

C ．16

D ．18

10．从抛物线24y x =在第一象限内的一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且||9PM =

，设抛物线的焦点为F ，则直线PF 的斜率为 A

B

C

D

11．已知三点(12)(1)(0)A B a C b ---，，，，，共线，则122(0,0)a b a b a b

+++>>的最小值为

A ．11

B ．10

C ．6

D ．4

12．已知正方形ABCD 的边长是a ，依次连接正方形ABCD 各边中点得到一个新的正方形，

由此规律，依次得到一系列的正方形，如图所示．现有一只小虫从A 点出发，沿正方形的边逆时针方向爬行，如此下去，爬行了10条线段．设这10条线段的长度之和是S 10

，则10(2S =

A ．3164

a

B ．6164a

C ．3132a

D ．61128

a

二、填空题：本大题 共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填在答题卡对应题号的

位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．

13．已知向量a ，b 的夹角为60?，||2,||5==a b ，则2-a b 在a 方向上的投影为 ．

14．若实数x ，y 满足202080y x y x y -??

-??--?

≥≥≥，则目标函数321z x y =-+的最小值为 ．

15．如图12F F ，是椭圆22:14

x C y +=与双曲线2C 的公共焦点，A ， B 分别是12C C ，在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2 为矩形，则2C 的虚轴长为 ．

C

16．如图，在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为BC

的中点，点P 在线段D 1E 上，点Q 在线段CC 1上 ，则线 段PQ 长的最小值为 ．

三、解答题：本大题分必做题和选做题，其中第17～21题为必做题，第22～23为选做题，共

70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．把答案填在答题卡上对应题号指定框内．

17．（本题满分12分）

在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos cos cos cos C A B A B +． （Ⅰ）求cos B 的值；

（Ⅱ）若1a c +=，求b 的取值范围．

18.（本题满分12分）

如图，四棱锥P -ABCD 中， P A ⊥平面ABCD ，E 为BD 的中点，G 为PD 的中点，△DAB ≌△DCB ，EA =EB =AB =1，32PA =，连接CE 并延长交AD 于F ．

（Ⅰ）求证：AD ⊥CG ；

（Ⅱ）求平面BCP 与平面DCP 的夹角的余弦值．

19.（本题满分12分）

如图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图．空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．

（Ⅰ）求此人到达当日空气重度污染的概率；

（Ⅱ）设X 是此人停留期间空气质量优良的天数，求X 的分布列与数学期望； （Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）

20.（本题满分12分）

如图，椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，离心率e ，过左焦点F 1

作x 轴的

垂线交椭圆于A ，A '两点||4AA '=． （Ⅰ）求该椭圆的标准方程；

（Ⅱ）取垂直于x 轴的直线与椭圆相交于不同的两点P ，P '，过

P 、P '作圆心为Q 的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q 外． 若PQ P Q '⊥，求圆Q 的标准方程．

21.（本题满分12分）

设函数2()(1)()x f x x e kx k =--∈R ． （Ⅰ）当1k =时，求函数()f x 的单调区间；

（Ⅱ）当1(1]k ∈，

时，求函数()f x 在[0]k ，上的最大值M ．

请考生在22，23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一题计分．做答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号的方框涂黑． 22．（本题满分10分）【选修4—4 坐标系与参数方程】

已知动点P 、Q 都在曲线2cos :(2sin x t C t y t =??=?

为参数）

上，对应参数分别为t α=与2t α=（02απ<<），M 为PQ 的中点． (Ⅰ) 求M 的轨迹的参数方程；

(Ⅱ)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点．

23．（本题满分10分）【选修4—5 不等式选讲】

(Ⅰ)当2a =时，求不等式()4|4|f x x --≥的解集；

(Ⅱ)已知关于x 的不等式|(2)2()|2f x a f x +-≤的解集为{|12}x x ≤≤，求a 的值．

钟祥一中高三理科数学周练31

参考答案及评分标准

一、选择题：1—5 BDCAB 6—10 DACCC 11—12 AC 二、填空题：13．32 14．53

-

15．2

16

三、解答题：

17．解：

（Ⅰ）由已知得cos()cos cos cos 0A B A B A B -++=，

即有sin sin cos 0A B A B =……………………………………3分 因为sin 0A ≠

，∴sin 0B B =．又cos 0B ≠

，∴tan B = 又0B π<<，∴3B π=，∴1cos 2B =………………………………6分

（Ⅱ）由余弦定理，有2222cos b a c a B =+-．

因为11cos 2a c B +==，

，有22113()24

b a =-+……………………9分 又01a <<，于是有2114b <≤，即有112

b <≤…………………12分 18．解：（Ⅰ）在△ABD 中，因为点E 是BD 的中点，∴EA =EB =ED =AB =1，故

23BAD ABE AEB ππ∠=∠=∠=，.因为△DAB ≌△DCB ，∴△EAB ≌△ECB ，从而有

3

FED BEC AEB π∠=∠=∠=…………………………………………2分

∴FED FEA ∠=∠，故EF ⊥AD ，AF =FD ． 又PG =GD ，∴FG//P A ．又P A ⊥平面ABCD ， ∴GF ⊥AD ，故AD ⊥平面CFG .又CG ?平面CFG ，∴AD ⊥CF ………6分 （Ⅱ）以点A 为坐标原点建立如图所示的坐标系，则

33(000)(100)(0)(00)(00)22

A B C D P ，，，，，，，，，，，

…………7分

故1(02BC = ），33(22CP =- ，，）

，3(02CD =- ）

． 设平面BCP 的法向量111(1)y z =，，n ，

则111102330

22y y z ?=????-+=??

，解得1123y z ?=???=?，即1

2(1)3=，n …………9分 设平面DCP 的法向量222(1

)y z =，，n ，

则2

22

30233022

y y z ?-=????-+=??

，

，

解得222y z ?=??=??，

即2(12)=n ．

从而平面BCP 与平面DCP

的夹角的余弦值为12124

||

cos ||||

θ==

=

n n n n 12分 19．解：设A i 表示事件“此人于3月i 日到达该市”（i =1，2，…，13）． 根据题意，1()13i P A =，且()i j A A i j =?≠ ………………………………2分

（Ⅰ）设B 为事件“此人到达当日空气重度污染”，则58B A A = ．

∴58582()()()()P B P A A P A P A ==+= ………………………………4分）

（Ⅱ）由题意可知，X 的所有可能取值为0，1，2，且

36711367114(1)()()()()()P X P A A A A P A P A P A P A ===+++= ，

1212131212134

(2)()()()()()13P X P A A A A P A P A P A P A ===+++= 5(0)1(1)(2)13

P X P X P X ==-=-==

∴X 的分布列为：

故X 的数学期望5441201213131313

EX =?+?+?=……………………8分

（Ⅲ）从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大………………12分

20．解：（Ⅰ）由题意知，(2)A c -，在椭圆上，则2222()21c a b -+=，从而222

21c b +

=,由e ，得22481b e ==-，从而222

161b a e ==-．故该椭圆的标准方程为221y x +=……4分 （Ⅱ）由椭圆的对称性，可设0(0)Q x ，

． 又设()M x y ，是椭圆上任意一点，则 2

22222

000||()28(1)16

x QM x x y x x x x =-+=-++-2200

1(2)8([4,4])2x x x x =--+∈-…6分

设11()P x y ，，由题意知，点P 是椭圆上到点Q 的距离最小的点，因此，上式当1

x x =时取最小值．又因为1(44)x ∈-，

，∴上式当02x x =时取最小值， 从而102x x =，且 …………6分

2

||8QP x =-．因为PQ P Q '⊥，且11()P x y '-，， ∴101101()()0QP QP x x y x x y =--=

，，-，即22101()0x x y -=-…………8分

由椭圆方程及102x x =，得221118(1)0416x x --=，

解得110x x x ==，从而22

16||83PQ x =-=．………10分 故这样的圆有两个，其标准方程分别为

22221616((33

x y x y +=+=，…………………………12分

21．解：（Ⅰ）当1k =时，2()(1)x f x x e x =--，()(1)2(2)x x x f x e x e x x e '=+--=-…2分 由()0f x '=，解得120ln 20x x ==>，． 由()0f x '>，解得0ln 2x x <>或．

由()0f x '<，解得0ln 2x <<． ∴函数()f x 的单调增区间为(0)(ln 2)-∞+∞，和，， 单调减区间为(0ln 2)，

…………………………………………………………6分

（2）因为2()(1)x f x x e kx =--，∴()2(2)x x f x xe kx x e k '=-=-．

令()0f x '=，解得120ln(2)x x k ==，……………………………………8分

因为1(1]2k ∈，，∴2(12]k ∈，，∴0ln(2)ln 2k <≤． 设()ln(2)g k k k =-，1(1]2

k ∈，， 11()10k g k k k -'=-=≤，∴()g k 在1(1]2，上是减函数， ∴()(1)1ln 20g k g =->≥，即0ln(2)k k <<．∴()f x '，()f x 随x 的变化情况如下表：

∴函数()f x 在[0，k ]上的最大值为(0)f 或()f k ．3(0)1()(1)k f f k k e k =-=--，， 33()(0)(1)1(1)(1)k k f k f k e k k e k -=--+=---

22(1)(1)(1)(1)[(1)]k k k e k k k k e k k =---++=--++

因为1(1]2k ∈，，∴10k -≤．令2()(1)k h k e k k =-++，则()(21)k h k e k '=-+． 对任意的1(1]k ∈，，k y e =的图象恒在21y k =+的图象的下方，

∴(21)0k e k -+<，即()0h k '<…………………………………………10分

∴函数()h k 在1(1]2，

上为减函数，故1

7111(1)()()(1)02424h h k h e <<=-++=<，

∴()(0)0f k f -≥，即()(0)f k f ≥．

∴函数()f x 在[0]k ，的最大值3()(1)k M f k k e k ==--………………12分 22．解：(Ⅰ) 依题意有(2cos ,2sin ),(2cos2,2sin 2)P Q αααα…………………2分 因此(cos cos2,sin sin 2)M αααα++ ………………………………………………3分

M 的轨迹的参数方程为cos cos2sin sin 2x y αα

αα=+??=+?

（α为参数，02απ<<）…………5分

当απ=时，0d =，故M 的轨迹过坐标原点………………………………10分

23．解：(Ⅰ)当2a =时，26,2

()|4|2,2426,4x x f x x x x x -+≤??

+-=<

………………………………1分

当2x ≤时，由()4|4|f x x ≥--得264x -+≥，解得1x ≤…………2分 当24x <<时，()4|4|f x x ≥--无解……………………………………3分 当4x ≥时，由()4|4|f x x ≥--得264x -≥，解得5x ≥…………4分 ∴()4|4|f x x ≥--的解集为{|15}x x x ≤≥或…………………………5分

(Ⅱ)记()(2)2()h x f x a f x =+-，则

又已知|()|2h x ≤的解集为{|12}x x ≤≤，