圆压轴八大模型题(4)-圆内接等边三角形

圆压轴题八大模型题（四）

泸州市七中佳德学校 易建洪

引言：与圆有关的证明与计算的综合解答题，往往位于许多省市中考题中的倒数第二题

的位置上，是试卷中综合性与难度都比较大的习题。一般都是在固定习题模型的基础上变化与括展，本文结合近年来各省市中考题，整理了这些习题的常见的结论，破题的要点，常用技巧。把握了这些方法与技巧，就能台阶性帮助考生解决问题。

类型4 圆内接等边三角形

如图，点P 为等边△ABC 外接圆劣弧BC 上一点. (1) 求证：PA ＝PB ＋PC ； (2) 设PA 、BC 交于点M ，

① 若BP ＝4，PC ＝2，求CM 的长度. ② 若AB ＝4，PC ＝2，求CM 的长度. 【分析】

(1) 证明：连结CD ．在PA 上截取PD=PC ， 证得△ACD ≌△BCP ，∴AD=PB ，又DP=PC ， 因此PA=PB +PC.

(2)①⊙O 中△ABM ∽△CPM,

12PC MC AB MA == ∴1

2

PC MC AB MA == 设MC=x ，则AM=2x,MN=2-x ，又

在Rt △AMN 中，由勾股定理得

.

(2)②过点C 作CE ⊥AP 于E ，过点A 作AN ⊥BC 于点N.由（1）可得AP=BP+CP=4+2=6,Rt △PCE 中

，则

因此

由（2）②可得

. 【典例】

（2018·湖南常德）如图，已知⊙O 是等边三角形ABC 的外接圆，点D 在圆上，在CD 的延

图1

图（1）

图（2） 图（3）

长线上有一点F ，使DF ＝DA ，AE ∥BC 交CF 于E ． （1）求证：EA 是⊙O 的切线； （2）求证：BD ＝CF ．

【分析】（1）连结OA 后，由∠OAC ＝30°，BC ∥AE 得∠CAE ＝∠BCA ＝60°，因此∠OAE ＝90°证得AE 是⊙O 的切线.（2）∠ADF ＝∠ABC ＝60°，且DF ＝DA 得等边△ADF ，且△ABC 也是等边三角形，可得△ADB ≌△AFC ，因此BD ＝CF .

【解答】证明：（1）连接OD ， ∵⊙O 是等边三角形ABC 的外接圆， ∴∠OAC ＝30°，∠BCA ＝60°， ∵AE ∥BC ，∴∠EAC ＝∠BCA ＝60°，

∴∠OAE ＝∠OAC ＋∠EAC ＝30°＋60°＝90°， ∴AE 是⊙O 的切线；

（2）∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝AC ，∠BAC ＝∠ABC ＝60°， ∵A 、B 、C 、D 四点共圆，∴∠ADF ＝∠ABC ＝60°，

∵AD ＝DF ，∴△ADF 是等边三角形，∴AD ＝AF ，∠DAF ＝60°， ∴∠BAC ＋∠CAD ＝∠DAF ＋∠CAD ，即∠BAF ＝∠CAF ， 在△BAD 和△CAF 中， ∵

，∴△BAD ≌△CAF ，

∴BD ＝CF ． 【点拨】

等边三角形的边等角等易构造三角形全等和相似，圆上一点与圆内接等边三角形三顶点的连线之间的关系探究，可以运用延长法与截短法；含60°角三角形，知两边求第三边；借相交弦或平行线得三角形相似，作等边三角形的高，借比例线段和勾股定理建方程求线段是关键。

【变式运用】

1.（2011·泸州）如图，点P 为等边△ABC 外接圆劣弧BC 上一点．

图

4-1

图a

（1）求∠BPC 的度数； （2）求证：PA ＝PB ＋PC ；

（3）设PA ，BC 交于点M ，若AB ＝4，PC ＝2，求CM 的长度．

（1）解：∵△ABC 为等边三角形，∴∠BAC ＝60°， ∵点P 为等边△ABC 外接圆劣弧BC 上一点， ∴四边形ABPC 是圆的内接四边形

∴∠BPC ＋∠BAC ＝180°，∴∠BPC ＝120°， （2）证明：连结C D ．在PA 上截取PD ＝PC ， ∵AB ＝AC ＝BC ，∴∠APB ＝∠APC ＝60°， ∴△PCD 为等边三角形，

∴∠PCD ＝∠ACB ＝60°，CP ＝CD ，

∴∠PCD ﹣∠DCM ＝∠ACB ﹣∠DCM ，即∠ACD ＝∠BCP ， 在△ACD 和△BCP 中，

AC BC ACD BCP CP CD =??

∠=∠??=?

，∴△ACD ≌△BCP ， ∴AD ＝PB ，∵PA ＝AD ＋DP ，DP ＝PC ， ∴PA ＝PB ＋PC ；

（3）解：∵△PCD 和△ABC 都为等边三角形， ∴∠MDC ＝∠ACM ＝60°，CD ＝PC ， 又∵∠DMC ＝∠CMA ，

∴△CDM ∽△ACM ，AB ＝4，PC ＝2，

∴CM ：AM ＝DM ：MC ＝DC ：AC ＝PC ：AC ＝2：4＝1：2， 设DM ＝x ，则CM ＝2x ，BM ＝4﹣2x ，PM ＝2﹣x ， AM ＝4x ，AD ＝AM ﹣DM ＝4x ﹣x ＝3x ∵∠BMP ＝∠CMA ，∠PBM ＝∠CAM ， ∴△BPM ∽△ACM ，

∴BP ：AC ＝PM ：CM ，即3x ：4＝（2﹣x ）：2x ， 解得x ＝

113

3

-±（舍去负号）， 则x ＝

1133-+，∴CM ＝2213

3

-+． 2.如图，已知AD 是△ABC 外角∠EAC 的平分线，交BC 的延长线于点D ，延长DA 交△ABC

的外接圆于点F ，连结FB 、F C . （1）求证：FB ＝FC ； （2）FB 2＝FA ·FD ；

（3）若AB 是△ABC 的外接圆的直径，∠EAC ＝120°，BC ＝6cm ，求AD 的长.

证明：（1）∵AD 平分∠EAC ，

图b

图4-2

∴∠EAD ＝∠DA C .

∵四边形AFBC 内接于圆， ∴∠DAC ＝∠FB C .

∵∠EAD ＝∠FAB ＝∠FCB ， ∴∠FBC ＝∠FCB ， ∴FB ＝F C .

（2）∵∠FAB ＝∠FCB ＝∠FBC ，∠AFB ＝∠BFD ， ∴△FBA ∽△FDB ，∴

FB

FA

FD FB =

∴FB 2＝FA ·F D .

（3）解：∵AB 是圆的直径，

∴∠ACB ＝90°.∵∠EAC ＝120°， ∴∠DAC ＝

2

1

∠EAC ＝60°. ∵四边形ACBF 内接于圆，

∴∠DAC ＝∠FBC ＝60°，又FB ＝FC ，

∴△BFC 是等边三角形，∴∠BAC ＝∠BFC ＝60°， ∴∠D ＝30°.∵BC ＝6，∴AC ＝23，

∴AD ＝2AC ＝43．

3.（2016·德阳）如图，点D 是等边三角形ABC 外接圆上一点.M 是BD 上一点，且满足DM ＝DC ，点E 是AC 与BD 的交点. （1）求证：CM //AD ；

（2）如果AD ＝1，CM ＝2.求线段BD 的长及△BCE 的面积. 解：（1）∵ABC 是正三角形，

∴⌒AB ＝⌒

BC ,∴∠ADB ＝∠BDC ＝60°， 又∵DM ＝DC ，∴CDM 是等边三角形，

即DM ＝CM ＝CD ，

∴∠DMC ＝60°，∴∠ADB ＝∠DMC ＝60°，

∴CM ∥AD ；

（2）∵∠DAC ＝∠DBC ，∠BMC ＝∠ADC ＝120°，

而AC ＝BC ，∴ADC ≌BMC ，∴BM ＝AD ＝1， ∴BD ＝BM ＋MD ＝1＋2＝3

由（1）可得，ADE ∽CME ，而AD ＝1，CM ＝2， ∴

2

1

ME DE CE AE CM AD === 又∵MD ＝2，∴DE ＝23，ME ＝4

3

，

∵AE CE ＝12，且点E 在线段AC 上，∴AE ＝1

3AC ， ∵∠BAC ＝∠BDC ＝60°，∠ABD ＝∠ACD ，

∴ABE ∽

DCE ，∴DC AB ＝EC BE , ∴3

41322+=AC

AB

,

又∵AB ＝AC ，∴AB 2＝7，即AB ＝7＝BC , ∵AD ＝1,CM ＝2,CM ＝CD ,∴AD :CD ＝1:2,

E D M C

B

图4-3

图4-4

又∵∠ADE ＝∠CDE ＝60°，∴BD 平分∠ADC ，

∴AE ：CE ＝AD ：CD ＝1：2，∴CE ＝2

3AC ，

∴S

BCE ＝23×S ABC ＝23×34×(7)2＝7

6

3.