最新中考数学专题复习-圆压轴八大模型题(1)-弧中点的运用

圆压轴题八大模型题（一）

泸州市七中佳德学校 易建洪

引言：与圆有关的证明与计算的综合解答题，往往位于许多省市中考题中的倒数第二题的位置上，是试卷中综合性与难度都比较大的习题。一般都会在固定习题模型的基础上变化与括展，本文结合近年来各省市中考题，整理了这些习题的常见的结论，破题的要点，常用技巧。把握了这些方法与技巧，就能台阶性地帮助考生解决问题。

类型1 弧中点的运用

在⊙O 中，点C 是⌒

AD 的中点，CE ⊥AB 于点E .

（1）在图1中，你会发现这些结论吗？

①AP ＝CP ＝FP ； ②CH ＝AD ；

②AC 2＝AP ·AD ＝CF ·CB ＝AE ·A B .

（2）在图2中，你能找出所有与△ABC 相似的三角形吗？

【分析】

(1)①由等弧所对的圆周角相等及同角或等角的余角相等得：∠CAD ＝∠B ＝∠ACE ;∠PCF ＝∠PFC ,所以AP ＝CP ＝FP .

(1)②由垂径定理和弧中点的性质得，⌒

DC ＝⌒

AC ＝⌒

AH ,再由弧叠加得：⌒

CH ＝⌒

AD ,所以CH ＝A D .

(1)③由共边角相似易证：△ACE ∽△ABC ,△ACP ∽△ADC ,△ACF ∽△BCA ,进而得AC 2＝AE ?AB ;AC 2＝AP ?AD ;AC 2＝CF ?CB ;

(2)垂径定理的推论得：C 0⊥AD ,易证：Rt △ABC ∽Rt △ACE ∽Rt △CBE ∽Rt △ACF ∽Rt △BDF ∽ Rt △ACG ∽Rt △CGF .

此外还有Rt △APE ∽Rt △AOG ∽Rt △ABD ∽Rt △CPG .运用这些相似三角形可以解决相关的计算与证明题.

建议：将下列所有例题与习题转化到图1或图2上观察、比较、思考和总结。 【典例】

（2018·湖南永州）如图，线段AB 为⊙O 的直径，点C ，E 在⊙O 上，＝

，CD ⊥AB ，

垂足为点D ，连接BE ，弦BE 与线段CD 相交于点F ． （1）求证：CF ＝BF ；

（2）若cos ∠ABE ＝，在AB 的延长线上取一点M ，使BM ＝4，⊙O 的半径为6．求证：

B

B

（图1）

（图2）

直线CM 是⊙O 的切线．

【分析】（1）延长CD 与圆相交，由垂径定理得到

＝

，再由

＝

得到

＝

＝

，等弧所对的角

相等，等角对等边。（2）由垂径定理的推论得OC ⊥

BE ，再由锐角三角函数得到边BH 、OH 的长度，由对应边成比例得BE ∥CM ，由∠MCO ＝∠BHO ＝90°证得结论。

证明：（1）延长CD 交⊙O 于G ，如图， ∵CD ⊥AB ，∴＝， ∵

＝

，∴

＝

，

∴∠CBE ＝∠GCB ，∴CF ＝BF ； （2）连接OC 交BE 于H ，如图， ∵

＝

，∴OC ⊥BE ，

在Rt △OBH 中，cos ∠OBH ＝＝，

∴BH ＝×6＝

，OH ＝

＝

，

∵＝

＝，＝＝，

∴

＝

，而∠HOB ＝∠COM ，

∴△OHB ∽△OCM ，∴∠OCM ＝∠OHB ＝90°，

∴OC ⊥CM ，∴直线CM 是⊙O 的切线．

【点拔】

弧中点得到弧等、弦等、圆周角等，进一步引出角平分线、垂径定理、相似三角形。再结合勾股定理、同角或等角的余角相等、中位线定理，垂径定理、相似三角形的性质定理。可以组合出综合性比较强的有关的习题组。抓边等角等是关键，要善于分解图形。

【变式运用】

1.（2018·四川宜宾）如图，AB 是半圆的直径，

AC 是一条弦，D 是AC 的中点，DE ⊥AB 于点E 且DE 交AC 于点F ，DB 交AC 于点G ，若

＝，

（图1-1）

（图4）

则

＝ ．（）

2.（2010·泸州）如图，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 边上的一点，且AE 与DE 分别平分∠BAD 和∠ADC 。(1)求证：AE ⊥DE ；(2)设以AD 为直径的半圆交AB 于F ，连接

DF 交AE 于G ，已知CD ＝5，AE ＝8，求

FG

AF

值。 （1） 证明：在 ABCD 中，

∵AB ∥CD ，∴∠BAD ＋∠ADC ＝180° ∵AE 与DE 平分∠BAD 和∠ADC

∴∠EAD

＝12∠BAD ，∠EDA ＝1

2

∠ADC ，

∴∠AED ＝180°－（∠EAD ＋∠EDA ）

＝180°－（12∠BAD ＋1

2∠ADC ）

＝180°－1

2

（∠BAD ＋∠ADC ）

＝180°－90°＝90°

∴AE ⊥DE

（2）解：在 ABCD 中，∵AD ∥BC ∴∠EAD ＝∠AEB ，且∠BAE ＝∠DAE ∴∠BAE ＝∠AEB ，∴AB ＝BE ， 同理：DC ＝EC ＝5

又∵AB ＝DC ，∴AB ＝BE ＝ DC ＝EC ＝5， ∴BC ＝AD ＝10

在Rt △AED 中，由勾股定理可得： DE ＝22221086AD AE -=-= ∵∠BAE ＝∠EAD ，∠AFD ＝∠AED ＝90° ∴△AFG ∽△AED ， ∴8463AF AE FG ED ===

3. （2012·泸州）如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，C 是AD 的中点，弦CE ⊥AB 于点H ，连结AD ，分别交CE 、BC 于点P 、Q ，连结BD 。 (1)求证：P 是线段AQ 的中点； (2)若⊙O 的半径为5，AQ ＝

，求弦CE 的长。

（1）证明：∵AB 是⊙O 的直径，弦CE ⊥AB ， ∴⌒AC ＝⌒AE ．又∵C 是⌒AD 的中点，∴⌒AC ＝⌒CD ， ∴⌒AE ＝⌒

CD ．∴∠ACP ＝∠CAP ．∴PA ＝PC ， ∵AB 是直径．∴∠ACB ＝90°．

∴∠PCQ ＝90°﹣∠ACP ，∠CQP ＝90°﹣∠CAP ， ∴∠PCQ ＝∠CQP ．∴PC ＝PQ ．

（图1-4）

（图1-3）

A

B

C D

E

F G 图9

∴PA ＝PQ ，即P 是AQ 的中点；

（2）解：∵⌒AC ＝⌒

CD ，∴∠CAQ ＝∠AB C ． 又∵∠ACQ ＝∠BCA ，∴△CAQ ∽△CB A ．

∴15

32104

AC AQ BC AB ===． 又∵AB ＝10，∴AC ＝6，BC ＝8．

根据直角三角形的面积公式，得：AC ?BC ＝AB ?CH ，∴6×8＝10CH ．

∴CH ＝

24

5

．又∵CH ＝HE ， ∴CE ＝2CH ＝48

5

．

4．（2014?泸州）如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，AC 和BD 相交于点E ，且DC 2

＝CE ?C A ． （1）求证：BC ＝CD ；

（2）分别延长AB ，DC 交于点P ，过点A 作AF ⊥CD 交CD 的延长线于点F ，若PB ＝OB ，CD

＝，求DF 的长．

（1）证明：∵DC 2

＝CE ?CA ， ∴

DC CA

CE DC

=

，△CDE ∽△CAD ， ∴∠CDB ＝∠DAC ，∵四边形ABCD 内接于⊙O ， ∴BC ＝CD ；

（2）解：方法一：如图，连接OC ， ∵BC ＝CD ，

∴∠DAC ＝∠CAB ，又∵AO ＝CO ， ∴∠CAB ＝∠ACO ，∴∠DAC ＝∠ACO ， ∴AD ∥OC ，∴

PC PO

PD PA

=

， ∵PB ＝OB ，CD ＝

，

∴

2

3=

∴PC ＝

又∵PC ?PD ＝PB ?PA

∴

（

4＋

）＝OB ?3OB ∴OB ＝4，即AB ＝2OB ＝8，PA ＝3OB ＝12， 在Rt △ACB 中， AC

==

∵AB 是直径，∴∠ADB ＝∠ACB ＝90°

（图1-5）

图a

∴∠FDA＋∠BDC＝90°，∠CBA＋∠CAB＝90°∵∠BDC＝∠CAB，∴∠FDA＝∠CBA，

又∵∠AFD＝∠ACB＝90°，

∴△AFD∽△ACB

∴

AF

FD

AC

CB

===

在Rt△AFP中，设FD＝x，则AF

，

∴在Rt△APF

中有，222

)(12

x

++=，

求得DF

＝

2

．

方法二；连接OC，过点O作OG垂直于CD，

易证△PCO∽△PDA，可得

PC PO

PD PA

=，

△PGO∽△PFA，可得

PG PO

PF PA

=，

可得，

PC PG

PD PF

=，由方法一中PC＝

=，

即可得出DF

＝

2

．

5．（2015?泸州）如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，BD为⊙O的弦，且AB∥CD，过点A作⊙O的切线AE与DC的延长线交于点E，AD与BC交于点F．

（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；

（2）若AE＝6，CD＝5，求OF的长．

【解答】（1）证明：∵AE与⊙O相切于点A，

∴∠EAC＝∠ABC，∵AB＝AC

∴∠ABC＝∠ACB，∴∠EAC＝∠ACB，

∴AE∥BC，∵AB∥CD，

∴四边形ABCE是平行四边形；

（2）解：如图，连接AO，交BC于点H，双向延长OF分别交AB，CD与点N，M，

∵AE是⊙O的切线，

由切割线定理得，AE2＝EC?DE，

∵AE＝6，CD＝5，

∴62＝CE（CE＋5），解得：CE＝4，（已舍去负数），

由圆的对称性，知四边形ABDC是等腰梯形，且AB＝AC＝BD＝CE＝4，

又根据对称性和垂径定理，得AO垂直平分BC，MN垂直平分AB，DC，

设OF＝x，OH＝y，FH＝z，

（图1-6）

图b

∵AB＝4，BC＝6，CD＝5，

∴BF＝1

2

BC﹣FH＝3﹣z，

DF＝CF＝1

2

BC＋FH＝3＋z，

易得△OFH∽△DFM∽△BFN，

∴DF

OF

DM

OH

=，

BF

OF

BM

OH

=，

即

5

32

z

x y

+

=，①

32

z

x y

-

=②，

①＋②得：69

2

x y

=，①÷②得：

35

34

z

z

+

=

-

，

解

69

2

35

34

x y

z

z

?

=

??

?

+

?=

?-

?

得

3

4

1

3

y x

z

?

=

??

?

?=

??

，∵x2＝y2＋z2，∴22

91

169

x x

=+，

∴x

，∴OF

．

6.如图，AB是⊙O的直径，C、P是弧AB上的两点，AB＝13，AC＝5.

(1)如图①，若P是弧AB的中点，求PA的长；

(2)如图②，若P是弧BC的中点，求PA的长.

解：（1）如答图①，连接PB，

∵AB是⊙O的直径且P是⌒

AB的中点，

∴∠PAB＝∠PBA＝45°，∠APB＝90°

又∵在等腰三角形△ABC中有AB＝13，

∴

（2）如答图②，连接BC，与OP相交于M点，作PH⊥AB于点H，

∵P点为⌒

BC的中点，∴OP⊥BC，∠OMB＝90°，

图

c

（图1-7

）

图d

图①图②

又∵AB 为直径，∴∠ACB ＝90°.

∴∠ACB ＝∠OM B. ∴OP ∥A C.∴∠CAB ＝∠PO B.

又∵∠ACB ＝∠OHP ＝90°，∴△ACB ∽△0HP . ∴

AB OP ＝AC OH 又∵AB ＝13,AC ＝5,OP ＝13

2

， ∴

，解得OH ＝5

2

∴AH ＝OA ＋OH ＝9. ∵在Rt △OPH 中，有

。

∴在Rt △AHP 中 有 .

∴PA ＝

7.如图，△ABC 内接于⊙O ，且AB 为⊙O 的直径．∠ACB 的平分线交⊙O 于点D ，过点D 作⊙O 的切线PD 交CA 的延长线于点P ，过点A 作AE ⊥CD 于点E ，过点B 作BF ⊥CD 于点F ． （1）求证：DP ∥AB ；

（2）若AC ＝6，BC ＝8，求线段PD 的长．

解：（1）证明：如图，连接OD ，

∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°.

∵∠ACB 的平分线交⊙O 于点D ，∴∠ACD ＝∠BCD ＝45°. ∴∠DAB ＝∠ABD ＝45°。∴△DAB 为等腰直角三角形。 ∴DO ⊥A B.

∵PD 为⊙O 的切线，∴OD ⊥P D.

∴DP

∥A B.

（2）在Rt △ACB 中，，

∵△DAB 为等腰直角三角形，

∴.

（图1-8）

图e

∵AE⊥CD，∴△ACE为等腰直角三角形。

∴.

图f

在Rt△AED中，

∴.

∵AB∥PD，∴∠PDA＝∠DAB＝45°.∴∠PAD ＝∠PCD。

又∵∠DPA＝∠CPD，∴△PDA∽△PC D.

∴.

∴PA＝PD，PC ＝P D.

又∵PC ＝PA＋AC，∴PD＋6＝PD，解得PD＝.