平面向量常用的方法技巧
备考方略
＜３
平面向量常用的方法技文Ｋ灼
＊
＞
＼ｉ＾ｉ
北京市陈经纶中学周明芝
－－
特别提示：【解】对于①於＋３
＝
０
平面向量具有代數几何双重身份，从近几年对于②ＡＳＸＳ＋Ｓ？５（ＸＪ＋
ｃ５）ａ５ａ５ｏ
＝＝
的高考试题看对向量的考查力度在逐年加大并且
对于③
强调了向量的知识性与工具性，重点考查向量的四
对于④＋（ｇ
种运算
、
两个充要条件等核心知识，考查向量的几Ｍ
＝ＮＰ＋前＝〇
Ｐ
何形式与代教形式的相互转化技能有些问题的处理，综上知应填①②③④
对变形技巧要求高，具有定的难度因此，要想在【小结】向量的加减法法则是解题的基础在运用时平面向量试题的求解中取得高分，必须在理解向量
要注意交换律和结合律的使用
熟练四种运算和两个充要条件应用的基础上
概念、
例２（２０１１湖南）在边长为１的正三角形ＡＢＣ中
认
真梳理
常
用
的
方法
和技巧
逐
步提高解
题
能
力
设则Ｘ５？
【分析】
利用边长为１和正三角形内角度数
？
并注意
４把和进行拆分
方法一、分解合成法
由题意沒ｒｓ技瓦＆茂
【解】＝ｊ
＝分解是指把个向量拆成几个向量有利于处理向
量前面的系数合成是指利用向量加减运算多项合成ｃ￥＝ｙＣ＾ｃＳ
项减少项数从而达到化简的目的在解题时要灵活运
用向量加法法则和首尾相连的向量和为零等技巧
例１化简下列各式①万２十否ｆ＋亡芳②疋§１＝＋＝
＋節成③孩前＋滅④胡＋前威ｃＪｃ％
２３６４
结果为零向量的序号是【小结】根据加、减法法则灵活地进行合理拆分是解［分析】
对于化简题，应灵活运用加法交换律，尽可题的关键
能使之变为首尾相连的向量然后再运用向量加法结合律
练习１在ＡＡＢＣ中＝ｃｆ＝ｃｆ若点Ｄ满足
訪＝２万Ｐ则力５＝（）
求和
２０１７
１
７ｃｃｅｅｖ
名师导航
ｃｙ６Ｔｃｄｔ６＋ｔｃ
练习２已知Ｏ是ＡＡＢＣ所在平面内点Ｄ为ＢＣ边中点且芳＋Ｓｔ０那么（
＇
＝
ＡＡｆ；＝〇ＳＢＡｔ）＝２Ｗ
ＣａＴ；＝３〇ＳＤ２Ａｄ＝〇Ｓ
４
方法二、充要条件法
例３已知向量ａ（ｌ２）６（２３）．若向量ｆｔ满
＝＝
足（ｃ＋ａ）／＾＆ｃ丄（ａ＋办），则ｃ＝（）？
Ａ
（ＴＴ）
Ｂ
（
ｃｉＴ）Ｄ：ｕ）
（
，（
【分析】
设出所求向量，再利用两向量平行、垂直的充要条件来求解
【解】不妨设Ｃ＝＝
ｗ＂则ｆｌＣ＝１＋，《２＋７Ｚｆｌ＋
，）（）
ｂ＝
３
１）
ｃ＋ｄ／６，得３ｌ＋ｍ２２＋对由（）／＝
（））
又由ｃ丄ａ丁
ｆｔ），得３＂７”
＝
０
解得／？＝ｊ，《＝故选Ｄ
【小结】此题主要考查了平面向量的坐标运算以
及
两向量平行和垂直的相互关系，体现了平面向量平行、垂直的充要条件在解决具体问题中的重要作用
例４（２０１０全国）已知圆〇的半径为１ＰＡＰＢ为
该圆的两条切线为两个切点那么戶方？Ｍ的最小值为（）Ａ４＋＃Ｂ３＋７２Ｃ４＋２＾２Ｄ３＋２＾２
【分析】
本小题主要考查向量的数量积运算，同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力
【解】
把圆心放在坐标原点则可得圆的方程为ｘ２＋ｙ＝设：ｙ！）以々，Ｍ）ＰｆｊＴ。，〇），则＝
（ｘ
ｘ〇ｙ）？（ｘｊ：０，ｙ＝ｘ２２ｘＸ｛ｘｙ
ｊ，
ｌ）ｉ〇〇
Ｃ
Ｍ丄丄（々３）．（〇了。％）＝０＝＞
ｒ
ｆｊｔｊｃ〇
＋ｘ０＝１
ＰＡ？Ｒ§＝ｘｉ２ｒｉｘ〇＼ｘ〇ｙｉ＝ｊ：ｉ２ｉｊ：〇（１
ｒ
ｆ）
＝
２：
ｒ
？＋ｘ§
３為２＞／＾３？故选Ｄ
【小结】
本题解法较多可以设ＰＡ＝ＰＢ＝：ｒＵ＞０＞
ＺＡＰＯａ贝＝ａＰＯ＝＝１
Ｊ
２
ＶＴＴ？ｓｎａ
７１＋７
将前＿表示为ｉ的函数后求解也可设＝
〇＜０＜７ｔ将
Ｍ表示为０的关系式再求解但这两种
解法的求解过程都较复杂而建系后利用平行、垂直的充要
条件结合二次函数求解，相比之下较为简捷
练习３（２０１１北京）已知向量ａ＝（ａ／１１）６＝〇
１），
Ｃ
＝
（
々
Ｖ
＾）若ｌｆ２办与ｃ共线则々＝
４
方法三、数形结合法
例５已知向量满足
ｄ＝６６＝４
且ａ与＆的
夹角为６〇°求ａ＋ｆｔ和ａ３６
【分析】如图？
根据条件利用向量的加、减法法则作
出图形，直接作出ａ６和ａ３办？然后再求模
冬１图２
【解】
如图
１
所示
，
成
二
则？
由ｌｆｊ的夹角为６０°知ＺＡＯＣ＝６０°ＺＢＡＯ＝１２０°
在ＡＡＯ
Ｂ
中由余弦定理得，
ａ＋
ｂ＝〇５＝ｖ／６２
＋４２２Ｘ４Ｘ６ｃｏ
ｓ１２０
°
＝２
＾１９
如图２所示同理可求得ａ３６＝歹￡＝６＃
【小结】用
数形结合思想构造几何图形求解使解
题过程变得非常简捷避免了大量繁杂的计算
例６（２０１１全国）设向量ａ、＆、ｃ满足ａ＝ｈ＝ｌ
？
？ｃ
＞＝６０°，贝Ｊｃ的最大值等于
（）
Ａ２Ｂ＞／３Ｃ７２Ｄ１
【分
析】根据题目中ａ、６、ｃ的关系，构造出满足条件
１Ｑ２０１７〇
ｃｃｅｅｖ
■＾备考方略
的图形来求解
【解】
如图３设ＸＳ＝ａ，
Ａ５＝ｂＡｔ＝ｃ
又设＆的夹角为９则
ａ？ｂ１
Ｃ〇ｓ９
ａ６Ｙ
所以０＝１２０°即ＺＢＡＤ＝
１２０
。阁３
°
又ＺＢＣＤ＝６０
故ＺｊＢＡＬ？＋ＺＢＣＤ＝１８０°所以ＡＢ，ＣＤ四点共圆
因此当ＡＣ为圆的直径时ｃ最大
此时ＡＡＢＣ是直角三角形ＺＡＣＪ３＝３〇°，
所以ＡＣ＝２ＡＢ＝２即ｋ的最大值是２选Ａ
【小结】
本题主要考查平面向量的数量积运算、
向量
加减法、四点共圆的条件用数形结合的方法，巧妙构造出圆
的内接四边形来求解是个省时省力的好方法－
练习４设Ｐ是ＡＡＢＣ所在平面内的点
＝
２節则（）
ＡＴＸ＋Ｔ＾＾ＯＢＰｆ＋Ｐ＾＝０
ＣＰ＾＋Ｐｔ＇０ＤＰ＾＋Ｒ§＋Ｐｆ＝０
练习５已知ａ＝ｌ，Ｍ＝２ｃ＝ｌｆ＋＆ｃ丄ａ则ｆｌ与办
的夹角大小为（
ＡｆＢ譬ＣｆＤ
ｆ
４
方法四、特值处理法
例７设平面向量ｆｌ、的和ｌｆ＋ｌｆ２十Ａ二０？如果向量匕、込、ｈ满足Ｍ＝２Ａ且ａ顺时针旋转３０°后与６同向其中＾＝１２３则（
Ａｂ＼ｂ＋＝０Ｂｂ６２ｈ６３＝０
Ｃｂ＼ｂ２＾０Ｄｂ＋ｂｊ＋／ｈ＝０
【分析】本题主要考查向量
加
法的几何意义、向量的模以及两向量
夹角等基本概念
【常规解法】？？＋ｌｆ３
０？
＋２ａ２＋２ａ＝０．？
ａ＋ａ
２
＝
，
？？２ｌｆ３
因为＝２ａ，且ｆｌ顺时针旋转３０°后与ｈ同向故２ａ必与办重合即私＝２ａ
故ｈ＋ｈ＋ｈ：０，故选Ｄ
【特殊值法】令ａ＝〇则七＝化关〇
由题意知ｈ＝〇ｈ＝込关〇从而排除Ｂｃ
同理排除Ａ故选Ｄ
【小结】
特殊值法巧在取特值Ａ＝〇使问题简单化
对于选择和填空题应用特值法进行化简，结合排除往往能事
半功倍
练习６已知向量
ａ、
ｆｃ不共线ｃ＝＝
６
如果那么（）
Ａ务＝１且ｃ与ｄ同向Ｂ々＝１且ｃ与ｄ反向
Ｃ々＝１且ｃ与ｄ同向Ｄ６＝１且ｃ与ｄ反向
￣
方法五、平方去模法
例８平面向量ｌｆ与６的夹角为６０°ｌｆ＝（２０）４＝１则ｌｆ＋２６
＝
）
ＡＶ３Ｂ２＾
／３
Ｃ４Ｄ１２
【分析】
可对ａ＋２＆先求平方？再把已知条件代入
求解
【解】
由已知ａ２Ｗ
＝
１
注意到
ｆｌ
与的夹角
＝
为６
０
。则
ａ
＋２＆＝＋４ａ？＆＝４＋４Ｘ２Ｘ１Ｘ
ｃｏｓ６０°
＋４＝１２
／？ａ＋２６＝２
＃，故选Ｂ
ａ
２＝
ｆｌ
２
是向量数量积的重要性质之它
【小结】
沟通了向量与实数间的相互联系充分利用这性质可
以将向量模长的计算问题转化为向量的运算问题．
练习７已知向量ｆｌ＝（２ｌ）ｃｉ．＆＝１０，ｌｆ＋６＝
５＃则…＝（）？
Ａ＾５Ｂｙｉ〇Ｃ５Ｄ２５
４
方法六、“四心结论”法
例９已知《ＮＰ在ＡＡＢＣ所在平面内且成＝
？５
Ｓ＝ｏｆＫＸ＋ｙＳ＋Ｎｔ＇＝ｏｓｐ＾？７３２＝ｐＥ？ｐｔ
梵Ｔ！则点０Ａ依次是的（）
＝５Ｔ
Ｐ
Ａ重心外心垂心Ｂ重心外心内心Ｃ外心重心垂心
Ｄ外心重心内心
【分析】此
题考查了三角形的内心、外心、重心和垂心的概念，由已
知条件中的向量关系式出发进行推导，并结合三角形内心、外心、重心
和垂心的几何特征即可获解
２０７
１
９ｃｃｅｅｖ
名师导航
【解】由
孩卜成＝泛知〇为ＡＡＢＣ的外心
由
Ｍ＋７＾＋７＾＝０知ＪＶ为厶ＡＢＣ＇的重心
：ＴＸ？ｐ＾＝ｒＢ？ｐｔ，ｐ＾ｐｔ？ｒＢｏ
？＝
．？
？沒．
沛＝〇．？沒丄戒
同理好丄Ｓｆ？？？Ｐ为ＡＡＢＣ的垂心故选Ｃ
小结考查三角形内心、外心、重心和垂心的试题【】
在近几年高考中较为常见求解这类问题需要掌握这些
心” 的判断条件和相关的向量关系式
常见的向量
＂四心结论
＂
有
① 〇是ａａｂｃ的重心＜＾Ｓ５＋？ｊＳ＋ｏｒ
＝
ｏ
② 〇是ａａｂｃ的垂心技成．＝？ＤＰ＝Ｄｆ？成
③Ｏ是ＡＡＳＣ的外心⑶Ｍ＝ＤＳ＝ＤＰ（或ｍ２＝ｑＳ２＝ｏｔ２）
④ Ｏ是ＡＡＢＣ内心的充要条件是
／ｃＡｃＳ
ｏｒ
－
＼］ｃＸＴ＾Ｔ）＝〇
晶Ｗ
⑤ 向量ａ＋ＡｔＵ关０）所在直线过ＡＡＢＣ
（
的内心（是ＺＢＡＣ的角平分线所在直线）
练习８在ＡＡＢＣ中Ｍ是的中点ＡＭ
＝１
点Ｐ
在ＡＭ上且满足Ａ，＝２Ｍ则？ＦＳ＋Ｐｆ等于（）
Ａ＋Ｂ｜Ｃ｜Ｄ
＋
练习９已知Ｏ为ＡＡＢＣ内点且Ｄ方＋Ｓｆ＋２Ｄ￥０则ＡＡＯＣ与ＡＡＢＣ的面积之比是（）
Ａ１：２Ｂ１：３Ｃ２：３Ｄ１１
练习１０（２０１０湖北）已知ＡＡＢＣ和点Ｍ满足Ｍ？＋
ｇ＋Ｍｆ
＝ｏ若存在实数ｗ使得；
成立
则ｗ＝（）
Ａ２Ｂ３Ｃ４Ｄ．５
练习题参考答案
１解析
如图４所示在ＡＡＢＣ中
由＝２得
痛＝２（於沛
３Ａ３＝ＡＳｈ２Ａｔ＝ｃ
ｈ２ｂ
Ｘｔ５＝＋ｃ＋吾６？故选Ａ
２解析ｊ
Ｍ＋ＤＳ＋Ｄｆｓ
２０Ｘ＋ｄＳ＋ｏＳ
）＋
ｄＰｈｏＳ）
＝ｏ
ｖｄＳ＝ｄＰ阍４
？
？
？２
成＋２Ｓ５＝０／．Ｘｆ）＝＾５故选Ａ
３
解析
ｆｌ２＆
万３
）
由
２６
与ｃ共线得＃Ｗ
＝？
＝
３々＝＞灸＝１
心解析因为：＾＋：＾二之：＾＾所以点尸为线段焱厂
的中点戶ｒ＋瓦￥＝〇所以应该选ｂ
５解析如图５Ｗ＝ｆｌ＋６ｃ丄
〇
，
构成个三角形且ＰＡ２
所以可以推知ａ与的夹角
为￥故选Ｄ
解析取
〇
＝
０）６
＝
（０１
若厶＝
１
则〇＝〇＋办
６（
１）
１１）＜／〇
６（１１）显然〇与６不平行排除八、
＝二＝
Ｂ
若
々＝
１
贝ｊｃ＝ａ６
二
（
ｌｌ
ｄ＝ｌｆ办＝
，
（１
１），
即ｃ／／（／且ｃ与ｄ反向排除Ｃ故选Ｄ
解析？？５０＝ｎ＋６２＝
ｌｆ２
＋２ｆｌ？Ｈ＆２＝＃＋２０
７
＆
２
，？
？
？办
＝
５？故选Ｃ
８解
析由＝知Ｐ为△ＡＢＣ的重心根据向量加法法贝
Ｆ＾ｉ＝２ＡｐＰｉ＾ｃ〇Ｓ〇〇＝２ＸｙＸｙＸｌ＝ｙ．Ａ
９解析设ＡＣ的中点为Ｄ则？＋？５ｆ＝２７５５
．？．ａ＾
＋？５ｆ＋２〇２＝２〇Ｓ＋２ａ§＝ｏ．，．ｏ５＝ｏ２
即点Ｏ为ＡＣ边上的中线ＢＤ的中点
＝
ＡＡＢＣ
匕
故选Ａ
１０
解析由条件可知Ｍ为△ＡＢＣ的重心连接ＡＭ
并延长交于Ｄ
则减＝＋訪①
因为为中线，则ＸＳ＋Ｘ？＝２瓦５＝ｍｇ即２Ｍ
＝ｍ
Ａ］＾②
联立①②可得，《＝３故选Ｂ＊
２０１７２０ｃｃｅｅｖ
平面向量常见题型与解题方法归纳学生版
平面向量常见题型与解题方法归纳 （1） 常见题型分类 题型一：向量的有关概念与运算 例1：已知a是以点A(3,－1)为起点，且与向量b = (－3,4)平行的单位向量，则向量a的终点坐标是. 例2：已知| a |=1,| b |=1，a与b的夹角为60°, x =2a－b，y=3b－a,则x与y的夹角的余弦是多少 题型二：向量共线与垂直条件的考查 r r r r 例1（1）,a b r r为非零向量。“a b⊥r r”是“函数()()() f x xa b xb a =+?-
为一次函数”的 A 充分而不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 （2）已知O ，N ，P 在ABC ?所在平面内，且 ,0OA OB OC NA NB NC ==++=，且PA PB PB PC PC PA ?=?=?，则点O ，N ，P 依次是ABC ?的 A.重心 外心 垂心 B.重心 外心 内心 C.外心 重心 垂心 D.外心 重心 内心 例2．已知平面向量a ＝(3，－1)，b ＝(21, 2 3).(1) 若存在实数k 和t ，便得x ＝a ＋(t 2－3)b , y ＝－k a ＋t b ，且x ⊥y ，试求函数的关系式k ＝f(t)；(2) 根据(1)的结论，确定k ＝f(t)的单调区间. 例3： 已知平面向量a ?＝(3，－1)，b ?＝(2 1，23)，若存在不为零的实数k 和角α，使向量c ?＝a ?＋(sin α －3)b ?, d ?＝－k a ?＋(sin α)b ?,且c ?⊥d ?，试求实数k 的
取值范围. 例4：已知向量)1,2(),2,1(-==b a ，若正数k 和t 使得向量 b t a k y b t a x 1)1(2 +-=++=与垂直，求k 的最小值. 题型三：向量的坐标运算与三角函数的考查 向量与三角函数结合，题目新颖而又精巧，既符合在知识的“交汇处”构题，又加强了对双基的考查. 例7．设函数f (x )＝a · b ，其中向量a ＝(2cos x , 1), b ＝(cos x ,3sin2x ), x ∈R.（1）若f(x )＝1－3且x ∈[－
高中数学解题方法系列：平面向量最值问题的4种方法
高中数学解题方法系列：平面向量最值问题的4种方法 平面向量中的最值问题多以考查向量的基本概念、基本运算和性质为主，解决此类问题要注意正确运用相关知识，合理转化。 一、利用函数思想方法求解 例1、给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点C 在以 O 为圆心的圆弧上变动.若其中 ,则的最大值是________. 分析：寻求刻画C 点变化的变量，建立目标x y +与此变量的函数关系是解决最值问题的 常用途径。 解：设AOC θ∠=，以点O 为原点，OA 为x 轴建立直角坐标系，则(1,0)A ，13(,)2B -，(cos ,sin )C θθ。 Q 13(cos ,sin )(1,0)(,)2x y θθ∴=+-即 cos 23sin y x y θθ?-=????= cos 3sin 2sin()6x y πθθθ∴+=+=+2(0)3 πθ≤≤。 因此，当3 π θ=时，取最大值2。 例2、已知(1,7),(5,1),(2,1),OA OB OP ===u u u r u u u r u u u r 点Q 为射线OP 上的一个动点，当QA QB u u u r u u u r g 取最小值时，求.OQ u u u r 分析：因为点Q 在射线OP 上，向量OQ uuu r 与OP uuu r 同向，故可以得到关于OQ uuu r 坐标的一个 关系式，再根据QA QB u u u r u u u r g 取最小值求.OQ u u u r 解：设(2,),(0)OQ xOP x x x ==≥u u u r u u u r ，则(12,7),(52,1)QA x x QB x x =--=--u u u r u u u r OA u u u r OB uuu r 120o AB u u u v ,OC xOA yOB =+u u u r u u u r u u u r ,x y R ∈x y +,OC xOA yOB =+u u u r u u u r u u u r x y +图 1 1
平面向量的概念、运算及平面向量基本定理
05—平面向量的概念、运算及平面向量基本定理 突破点(一)平面向量的有关概念 知识点：向量、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、相反向量 考点 平面向量的有关概念 ［典例］⑴设a , b 都是非零向量，下列四个条件中，使 向=而成立的充分条件是( ) A . a =- b B . a // b C . a = 2b D . a // b 且 |a|= |b| ⑵设a o 为单位向量，下列命题中：①若 a 为平面内的某个向量，贝U a = |a| a o ;②若a 与a o 平行，则 a = |a|a o ;③若a 与a o 平行且|a|= 1,则a = a o .假命题的个数是( ) A . o B . 1 C . 2 D . 3 ［解析］⑴因为向量合的方向与向量a 相同，向量￡的方向与向量b 相同，且￡，所以向量a 与 |a| |b| |a| |b| 向量b 方向相同，故可排除选项 A , B , D.当a = 2b 时，a =警=b ，故a = 2b 是耳=g 成立的充分条件. |a| |2b| |b| |a| |b| (2)向量是既有大小又有方向的量， a 与|a|a o 的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若 a 与a o 平行，则a 与a o 的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时 a =- |a|a o ，故②③也是假命题.综上 所述，假命题的个数是 3. ［答案］(1)C (2)D _ _［易错提醒」_____________ _____________ 厂7i)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小 ［…(2)大小与方向是向量的两个要素?j 分别是向量的代数特征与几何特征； (3)向量可以自由平移，任意一组平行向量都可以移到同一直线上. 突破点(二)平面向量的线性运算 1. 向量的线性运算： 加法、减法、数乘 2. 平面向量共线定理： 向量b 与a(a ^ o )共线的充 要条件是有且只有一个实数 人使得b = 1 ［答案］(1)D ⑵1 —…_［方法技巧丄—――――_—_ _―_—_ _―_……_ _―_…_ _―_…_ _―_…_ _―_…「 i 1.平面向量的线性运算技巧： ⑴不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解. ⑵含图形的情况：将它们转化到 ］ 三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示岀来求解. 2?利用平面向量的线性运算求参数的一般思路： (1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置. (2)利用平行四 边形法则或三角形法贝U 进行转化丄转化为要求的向量形式._ _ (3) 比较，观察可知所求.__________ 考点二 平面向量共线定理的应用 ［例2Lu 设两个非零向J a 和b 不共鈿 平面向量的线性运算 …uuur …"uLu r 考点一 ~~uuur ----- u uur ［例 1］ (1)在厶 ABC 中，AB = c , AC = b.若点 D 满足 BD = 2 DC 12 5 2 A.3b + 3C B.gC — 3b 2 1 2 1 C.gb — 3c D.gb + 3C uuuu 1 uuur ⑵在△ ABC 中，N 是AC 边上一点且 AN = NC , P 是BN 上一点, 数m 的值是 ______________ . uuur umr ［解析］(1)由题可知BC = AC - uuur + BD = c + 2 1 —c)= 3b + §c,故选 D. uuuu 1 uuur (2)如图，因为AN = 2 NC ，所以 uuur 2 uuuu m AB + 3 AN ?因为B ，P ，N 三点共线, ―uuur ，贝U AD =( ) UULT uuur 2 uuur 若 AP = m AB + 9 AC ，则实 2 uuir 2 uuir uur uuur uuur uuur UULT AB = b — c , '^BD = 2 DC ,「.BD = 3 BC = 3(b — c)，则 AD = AB uuuu 1 uuur AN = 3 AC ，所以 2 所以m +3= 1,则 UULT uuur 2 uuur AP = m AB + 9 AC = 1 m = 3.
高中数学经典解题技巧和方法：平面向量
高中数学经典解题技巧：平面向量【编者按】平面向量是高中数学考试的必考内容，而且是这几年考试解答题的必选，无论是期中、期末还是会考、高考，都是高中数学的必考内容之一。因此，马博士教育网数学频道编辑部特意针对这部分的内容和题型总结归纳了具体的解题技巧和方法，希望能够帮助到高中的同学们，让同学们有更多、更好、更快的方法解决数学问题。好了，下面就请同学们跟我们一起来探讨下平面向量的经典解题技巧。 首先，解答平面向量这方面的问题时，先要搞清楚以下几个方面的基本概念性问题，同学们应该先把基本概念和定理完全的吃透了、弄懂了才能更好的解决问题：1．平面向量的实际背景及基本概念 （1）了解向量的实际背景。 （2）理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义。 （3）理解向量的几何意义。 2．向量的线性运算 （1）掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义。 （2）掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义。 （3）了解向量线性运算的性质及其几何意义。 3．平面向量的基本定理及坐标表示 （1）了解平面向量的基本定理及其意义。 （2）掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。 （3）会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算。 （4）理解用坐标表示的平面向量共线的条件。 4．平面向量的数量积 （1）理解平面向量数量积的含义及其物理意义。 （2）了解平面向量的数量积与向量投影的关系。 （3）掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算。 （4）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直 关系。 5. 向量的应用 （1）会用向量方法解决某些简单的平面几何问题。 （2）会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题。
20高考数学平面向量的解题技巧
第二讲平面向量的解题技巧 【命题趋向】 由2007年高考题分析可知： 1．这部分内容高考中所占分数一般在10分左右． 2．题目类型为一个选择或填空题，一个与其他知识综合的解答题． 3．考查内容以向量的概念、运算、数量积和模的运算为主． 【考点透视】 “平面向量”是高中新课程新增加的内容之一，高考每年都考，题型主要有选择题、填空题，也可以与其他知识相结合在解答题中出现，试题多以低、中档题为主． 透析高考试题，知命题热点为： 1．向量的概念，几何表示，向量的加法、减法，实数与向量的积． 2．平面向量的坐标运算，平面向量的数量积及其几何意义． 3．两非零向量平行、垂直的充要条件． 4．图形平移、线段的定比分点坐标公式． 5．由于向量具有“数”与“形”双重身份，加之向量的工具性作用，向量经常与数列、三角、解析几何、立体几何等知识相结合，综合解决三角函数的化简、求值及三角形中的有关问题，处理有关长度、夹角、垂直与平行等问题以及圆锥曲线中的典型问题等． 6．利用化归思想处理共线、平行、垂直问题向向量的坐标运算方面转化，向量模的运算转化为向量的运算等；利用数形结合思想将几何问题代数化，通过代数运算解决几何问题．【例题解析】 1. 向量的概念，向量的基本运算 (1)理解向量的概念，掌握向量的几何意义，了解共线向量的概念. (2)掌握向量的加法和减法. (3)掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件. (4)了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算.
(5)掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,掌握向量垂直的条件. (6)掌握平面两点间的距离公式. 例1（2007年北京卷理）已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且 2OA OB OC ++=0u u u r u u u r u u u r ，那么（ ） Ａ．AO OD =u u u r u u u r Ｂ．2AO OD =u u u r u u u r Ｃ．3AO OD =u u u r u u u r Ｄ．2AO OD =u u u r u u u r 命题意图:本题考查能够结合图形进行向量计算的能力． 解： 22()(,22.OA OB OC OA DB OD DC OD DB DC OA OD AO OD ∴∴++=++++=-+==)=0,0,u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 故选A ． 例2．（2006年安徽卷）在ABCD Y 中，,,3AB a AD b AN NC ===u u u r r u u u r r u u u r u u u r ，M 为BC 的中点，则MN =u u u u r ______.（用a b r r 、表示） 命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法,以及实数与向量的积. 解：343A =3()AN NC AN C a b ==+u u u r u u u r u u u r u u u r r r 由得，12 AM a b =+u u u u r r r ， 所以,3111()()4 2 4 4 MN a b a b a b =+-+=-+u u u u r r r r r r r . 例3．（2006年广东卷）如图1所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量 =CD ( ) （A ）BA BC 2 1+- （B ） BA BC 2 1-- （C ） BA BC 2 1- （D ）BA BC 2 1+ 命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法运算能力. 解：BA BC BD CB CD 2 1+-=+=，故选A. 例4． ( 2006年重庆卷)与向量a r =71,,22b ? ?= ???r ?? ? ??27,21的夹解相等，且模为1的向量是 ( ) (A) ?? ?- ??53,5 4 (B) ?? ?- ??53,5 4或?? ? ??-53,54 （C ）?? ?- ??31,3 22 （D ）?? ?- ??31,3 22或?? ? ? ?- 31,3 22 命题意图: 本题主要考查平面向量的坐标运算和用平面向量处理有关角度的问题. 解：设所求平面向量为,c r 由433,,, 1. 555c c ???? =-= ? ?????r 4或-时5 另一方面,当222274134312525,,cos ,. 55271432255a c c a c a c ?? ?+?- ?????? =-=== ????????????+++- ? ? ? ?????????r r r r r r r 时
高中数学经典解题技巧和方法平面向量
高中数学经典解题技巧：平面向量 一、向量的有关概念及运算 解题技巧：向量的有关概念及运算要注意以下几点： （1）正确理解相等向量、共线向量、相反向量、单位向量、零向量等基本概念，如有遗漏，则会出现错误。 （2）正确理解平面向量的运算律，一定要牢固掌握、理解深刻 （3）用已知向量表示另外一些向量，是用向量解题的基础，除了用向量的加减法、实数与向量乘积外，还要充分利用平面几何的一些定理，充分联系其他知识。 例1：（2010·山东高考理科·Ｔ12）定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下，对任意的a=(m,n)，b p,q)= （，令a ⊙b mq np =-，下面说法错误的是（ ） A.若a 与b 共线，则a ⊙b 0= B. a ⊙b = b ⊙a C.对任意的R λ∈，有()a λ⊙b = (a λ⊙)b D. (a ⊙b )2222()a b a b +?= 【命题立意】本题在平面向量的基础上，加以创新，属创新题型，考查平面向量的基础知识以及分析问题、解决问题的能力. 【思路点拨】根据所给定义逐个验证. 【规范解答】选B ，若a 与b 共线，则有a ⊙b 0mq np =-=，故A 正确；因为b ⊙a pn qm =-,，而a ⊙b mq np =-，所以有a ⊙b ≠ b ⊙a ，故选项B 错误，故选B. 【方法技巧】自定义型信息题 1、基本特点：该类问题的特点是背景新颖，信息量大，是近几年高考的热点题型. 2、基本对策：解答这类问题时，要通过联想类比，仔细分析题目中所提供的命题，找出其中的相似性和一致性 二、与平面向量数量积有关的问题 解题技巧：与平面向量数量积有关的问题 1．解决垂直问题：121200,a b a b x x y y a b ⊥?=?+=其中、均为非零向量。这一条件不能忽视。 2．求长度问题：2||a a a =，特别地1122(,),(,),||(A x y B x y AB x =则 3．求夹角问题：求两非零向量夹角的依据 2 22 222cos(,).||||a b a b a b x x y ==++ 例2：1.（2010·湖南高考理科·Ｔ4）在Rt ABC ?中，C ∠=90°AC=4，则AB AC ?uu u r uuu r 等于（ ）
平面向量常用的方法技巧
备考方略 ＜３ 平面向量常用的方法技文Ｋ灼 ＊ ＞ ＼ｉ＾ｉ 北京市陈经纶中学周明芝 －－ 特别提示：【解】对于①於＋３ ＝ ０ 平面向量具有代數几何双重身份，从近几年对于②ＡＳＸＳ＋Ｓ？５（ＸＪ＋ ｃ５）ａ５ａ５ｏ ＝＝ 的高考试题看对向量的考查力度在逐年加大并且 对于③ 强调了向量的知识性与工具性，重点考查向量的四 对于④＋（ｇ 种运算 、 两个充要条件等核心知识，考查向量的几Ｍ ＝ＮＰ＋前＝〇 Ｐ 何形式与代教形式的相互转化技能有些问题的处理，综上知应填①②③④ 对变形技巧要求高，具有定的难度因此，要想在【小结】向量的加减法法则是解题的基础在运用时平面向量试题的求解中取得高分，必须在理解向量 要注意交换律和结合律的使用 熟练四种运算和两个充要条件应用的基础上 概念、 例２（２０１１湖南）在边长为１的正三角形ＡＢＣ中 认 真梳理 常 用 的 方法 和技巧 逐 步提高解 题 能 力 设则Ｘ５？ 【分析】 利用边长为１和正三角形内角度数 ？ 并注意 ４把和进行拆分 方法一、分解合成法 由题意沒ｒｓ技瓦＆茂 【解】＝ｊ ＝分解是指把个向量拆成几个向量有利于处理向 量前面的系数合成是指利用向量加减运算多项合成ｃ￥＝ｙＣ＾ｃＳ 项减少项数从而达到化简的目的在解题时要灵活运 用向量加法法则和首尾相连的向量和为零等技巧 例１化简下列各式①万２十否ｆ＋亡芳②疋§１＝＋＝ ＋節成③孩前＋滅④胡＋前威ｃＪｃ％ ２３６４ 结果为零向量的序号是【小结】根据加、减法法则灵活地进行合理拆分是解［分析】 对于化简题，应灵活运用加法交换律，尽可题的关键 能使之变为首尾相连的向量然后再运用向量加法结合律 练习１在ＡＡＢＣ中＝ｃｆ＝ｃｆ若点Ｄ满足 訪＝２万Ｐ则力５＝（） 求和 ２０１７ １ ７ｃｃｅｅｖ
平面向量解题大全
平面向量解题大全 考查内容：平面向量的线性运算，基本定理，坐标表示，数量积。 补充内容：特殊化策略、坐标法、函数建模在平面向量中的应用。 1、设向量)0,1(=a ，?? ? ??=21,21b ，则下列结论中正确的是（ C ） A 、b a = B 、2 2=?b a C 、b a -与b 垂直 D 、b a // 2、平面向量a 与b 的夹角为 60，()0,2=a ，1=b ，则=+b a 2（ B ） A 、3 B 、23 C 、4 D 、12 3、平面上B A O ,,三点不共线，设b OB a OA ==,，则OAB ?的面积等于（ C ） A 、222)(b a b a ?- B 、222)(b a b a ?+ C 、222)(2 1b a b a ?- D 、222)(21b a b a ?+ 4、在ABC ?中，M 是BC 的中点，1=AM ，点P 在AM 上且满足2AP PM =，则()PA PB PC ?+等于（ A ） A 、49- B 、43- C 、43 D 、49 5、如图，设,P Q 为ABC ?内的两点，且2155AP AB AC =+，AC AB AQ 4132+=， 则ABP ?的面积与ABQ ?的面积之比为（ B ） A 、15 B 、45 C 、14 D 、13 解析图：
解析：如图，设25AM AB =，15 AN AC =，则AP AM AN =+，由平行四边形法则 知//NP AB ，所以5 1==??AC AN S S ABC ABP ，同理可得41=??ABC ABQ S S ，故54=??ABQ ABP S S 。 6、已知P N O ,,在ABC ?所在平面内，且OC OB OA ==，0=++NC NB NA ， 且PA PC PC PB PB PA ?=?=?，则点P N O ,,依次是ABC ?的（ C ） A 、重心 外心 垂心 B 、重心 外心 内心 C 、外心 重心 垂心 D 、外心 重心 内心 7、已知P 是ABC ?所在平面内任意一点，且3PA PB PC PG ++=，则G 是ABC ?的（ C ） A 、外心 B 、内心 C 、重心 D 、垂心 8、已知O 是ABC ?所在平面内一点，满足OA OB OB OC ?=?=OC OA ?，则点O 是ABC ?的（ D ） A 、三个内角的角平分线的交点 B 、三条边的垂直平分线的交点 C 、三条中线的交点 D 、三条高的交点 9、已知O 是平面内的一个点，C B A ,,是平面上不共线的三点，动点P 满足 [)+∞∈???? ? ??++=,0,λλAC AC AB AB OA OP ，则点P 的轨迹一定过ABC ?的（ B ） A 、外心 B 、内心 C 、重心 D 、垂心 10、已知两点()()1,0,1,0M N -，若直线340x y m -+=上存在点P 满足 0PM PN ?=，则实数m 的取值范围是（ D ） A 、(,5][5,)-∞-+∞ B 、(,25][25,)-∞+∞ C 、[]25,25- D 、[]5,5-
平面向量方法总结(带例题)【大全】
平面向量方法总结(带例题)【大全】
平面向量 应试技巧总结 一．向量有关概念： 1．向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。如： 已知A （1,2），B （4,2），则把向量AB u u u r 按向量a r ＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（答： （3,0）） 2．零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意的； 3．单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB u u u r 共线的单位向量是|| AB AB ±u u u r u u u r )； 4．相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性； 5．平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：∥ b ，规定零向量和任何向量平行。 提醒： ①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等； ②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但 两条直线平行不包含两条直线重合； ③平行向量无传递性！（因为有0r )； ④三点A B C 、、共线? AB AC u u u r u u u r 、 共线； 6．相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a 的相反向量是－a 。如 下列命题：（1）若a b =r r ，则a b =r r 。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终 点相同。（3）若AB DC =u u u r u u u r ，则ABCD 是平行四边形。（4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC =u u u r u u u r 。
向量解题技巧
向量解题技巧
一、怎么样求解向量的有关概念问题 掌握并理解向量的基本概念 １.判断下列各命题是否正确 (1)若c a c b b a 则,,； (2)两向量b a 、相等的充要条件是b a 且共线、b a ； (3) b a 是向量 b a 的必要不充分条件； (1)若D C B A 、、、是不共线的四点，则C D B A 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件； (2) D C B A 的充要条件是A 与C 重合， D B 与重合。 二、向量运算及数乘运算的求解方法 两个不共线的向量，加法的三角形法则和平行四边形法则是一致的。两个有相同起点的向量的差是连结两向量的终点，方向指向被减向量的向量，若起点不同，要平移到同一起点；重要结论：a 与b 不共线，则 b a b a 与是以a 与b 为邻边的平行四边形两条对角线 所表示的向量。在求解向量的坐标运算问题时，注意向量坐标等终点坐标减起点坐标，即若),(),,(2 2 1 1 y x B y x A ， 则 A O B O B A ) ,(),(),(12121122y y x x y x y x 。 例1 若向量_______2),1,0(),2,3(的坐标是则a b b a 例2 若向量____)2,1(),1,1(),1,1( c c b a 则 b a D b a C b a B b a A 2 123.2123.2321.2321. 例3 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已
知两点),3,1(),1,3( B A 若点 满足C B O A O C O ，其中R ,且 1 ，则点 C 的轨迹为（ ） 52. 02.0)2()1.( 01123.22 y x D y x C y x B y x A 例4 O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足 ) (C A C A B A B A A O P O ，),0[ ，则P 的轨迹一定过ABC 的（） . A 外心 . B 内心 . C 重心 . D 垂心 例5 设G 是ABC 内的一点，试证明: (1)若G 是为ABC 重心，则0 C B B G A G ； (2)若0 C B B G A G ，则G 是为ABC 重心。 三、三点共线问题的证法 证明A,B,C 三点共线，由共线定理(共线 与C A B A )，只需证明存在实数 ，使C A B A ，，其中必须有公共点。 共线的坐标表示的充要条件，若 ) ,(),,(2211y x b y x a ， 则 ) (0//12211221y x y x y x y x b a b a 例1 已知A 、B 两点，P 为一动点，且B tA A O P O ，其中t 为一变量。 证明：1.P 必在直线AB 上；2.t 取何值时，P 为A 点、
《利用平面向量的解题技巧》
利用平面向量的解题技巧 平面向量是一个解决数学问题的很好工具，它具有良好的运算和清晰的几何意义。在数学的各个分支和相关学科中有着广泛的应用。下面举例说明。 一、用向量证明平面几何定理 例1. 用向量法证明：直径所对的圆周角是直角。 已知：如图1，AB 是⊙O 的直径，点P 是⊙O 上任一点（不与A 、B 重合），求证：∠APB ＝90°。 图1 证明：联结OP ，设向量b OP a OA =→ =→，，则a OB -=→且b a OP OA PA -=→-→=→，b a OP OB PB -=→ -→=→ 0|a ||b |a b PB PA 2222=-=-=→ ?→∴ → ⊥→∴PB PA ，即∠APB ＝90°。 二、用向量求三角函数值 例2. 求值：7 6cos 74cos 72cos πππ++ 解：如图2，将边长为1的正七边形ABCDEFO 放进直角坐标系中，则 ) 01(OA ，=→ ， ) 7 12sin 712(cos FO )710sin 710(cos EF )78sin 78(cos DE )7 6sin 76(cos CD )74sin 74(cos BC )72sin 72(cos AB ππππππππππππ，，，，，， ，，，，，=→=→=→=→=→=→
图2 又0FO EF DE CD BC AB OA =→ +→+→+→+→+→+→ 07 12cos 710cos 78cos 76cos 74cos 72cos 1=++++++∴ππππππ 又7 2cos 712cos 74cos 710cos 76cos 78cos ππππππ===，， 2176cos 74cos 72cos 0)7 6cos 74cos 72(cos 21- =++∴=+++∴ππππ ππ 三、用向量证明不等式 例3. 证明不等式)b b )(a a ()b a b a (2 221222122211++≤+ 证明：设向量)b b (b )a a (a 2121，，，==，则222 12221b b |b |a a |a |+=+=，， 设a 与b 的夹角为θ，22 2122 21 2211b b a a b a b a | b ||a |b a cos +++=?= θ 又1|cos |≤θ 则)b b )(a a ()b a b a (2 221222122211++≤+ 当且仅当a 、b 共线时取等号。 四、用向量解物理题 例 4. 如图3所示，正六边形PABCDE 的边长为b ，有五个力 →→→→PD PC PB PA 、、、、→ PE 作用于同一点P ，求五个力的合力。
专题七：平面向量常考题型的解题技巧
平面向量专题讲解 向量是数学中的重要概念，以向量为工具可以把几何问题（平面、空间）转化为简单的向量运算，变抽象的逻辑推理为具体的向量运算，实现形与数的结合. 题型一：考查与向量概念有关的问题 ⑴向量不同于数量，数量是只有大小的量（称标量），而向量既有大小又有方向；数量可以比较大小，而向量不能比较大小，只有它的模才能比较大小.记号“a ＞b ”错了，而|a |＞|b |才有意义. ⑵有些向量与起点有关，有些向量与起点无关.由于一切向量有其共性（力和方向），故我们只研究与起点无关的向量（既自由向量）.当遇到与起点有关向量时，可平移向量. ⑶平行向量（既共线向量）不一定相等，但相等向量一定是平行向量，既向量平行是向量相等的必要条件. ⑷单位向量是模为1的向量，其坐标表示为（,）,其中x 、y 满足 +2x 2y ＝1（可用（cos θ,sin θ）（0≤θ≤2π）表示）. ⑸零向量0的长度为0，是有方向的，并且方向是任意的，实数0仅仅是一个无方向的实数. ⑹有向线段是向量的一种表示方法，并不是说向量就是有向线段. 题型二：与向量运算有关的问题 ⑴向量与向量相加，其和仍是一个向量（对应坐标相加）. ①当两个向量和不共线时，+的方向与、都不相同，且|+|＜||＋|b |； ②当两个向量和共线且同向时，+、、的方向都相同，且=+||||||+； ③当向量和反向时，若||＞||，+与 方向相同 ， 且|+|=||-||；
若|a |＜|b |时,b a +与b 方向相同，且|a ＋b |=|b |-|a |. ⑵向量与向量相减，其差仍是一个向量.向量减法的实质是加法的逆运算. ⑶围成一周首尾相接的向量（有向线段表示）的和为零向量. 如，+AB +BC 0=CA ,（在△ABC 中） +++=.(□ABCD 中) ⑷判定两向量共线的注意事项 如果两个非零向量，，使=λb （λ∈R ），那么∥； 反之，如∥，且≠0，那么=λ. 这里在“反之”中，没有指出是非零向量，其原因为=0时，与λ的方向规定为平行. ⑸数量积的8个重要性质 ①两向量的夹角为0≤θ≤π.由于向量数量积的几何意义是一个向量的长度乘以另一向量在其上的射影值，其射影值可正、可负、可以为零，故向量的数量积是一个实数. ②设、都是非零向量，是单位向量，θ是与的夹角，则 ③?⊥)1|.(cos ||==?=?e a θ0=?（∵θ=90°，)0cos =θ ④在实数运算中ab =0a ?=0或b=0.而在向量运算中b a ?=0a ?=0或b =0是错误的，故0=a 或0=b 是b a ?=0的充分而不必要条件. ⑤当a 与b 同向时b a ?=||||b a ?(θ=0,cos θ=1); 当a 与b 反向时，b a ?=-||||b a ?(θ=π,cos θ=-1)，即a ∥b 的另一个充要条件是||||b a ?=?. 特殊情况有2=?=2 |a .
平面向量方法总结大全
平面向量应试技巧总结一．向量有关概念：：既有大小 又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，．向量的概念1。如：注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）rruuua （答：_____＝（－1,3按向量已知A（1,2），B（4,2），则把向量）平移后得到的向量是AB）（3,0）0；，注意：长度为2．零向量0零向量的方向是任意的的向量叫零向量，记作：ruuu ruuu AB共线的单位向量是：长度为一个单位长度的 向量叫做单位向量(与)；3．单位向量AB ruuu?||AB相等向量：长度相等且 方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；4．baba，、记作：：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，∥5．平行向量（也叫共线向量）。规定零向量和任何向量平行：提醒①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；但两, ②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线条直线平行不包含两条直线重合；r0)；（因为有③平行向 量无传递性！ruuuuuur、ACAB?共线共线；④三点C、B、A aa。如：长度相等 方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是－6．相反向量rrrr）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终2，则）若。（（下列命题： 1ba?ba?ruuuuuuruuruuruu。）若（是平行四边形。，则43点相同。（）若是平行四边形，则DCDCAB??ABABCDABCD． rrrrrrrrrrrr_______）若（5，则。（6）若，则。其中正确的是cb//a//a?b,b?cb,ca?ca// 4（答：（）（5））二．向量的表示方法：1，注意起点在前，终点在后；．几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如ABcab，．符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如，2等；i为轴、轴方向相同的两个单位向量，3．坐标表示法： 在平面内建立直角坐标系，以与y x jrrr????aaa yx,＝为向量基底，则平面内的 任一向量，称可表示为的坐标，yx,?axi?yj???a y,x的坐标表示。如果向量的起 点在原点，叫做向量那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。 ee是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的：如果和三．平面向量 的基本定理21?aeea。如=任一向量，有且只有一对实数、＋，使???212211rrrr，则若______（1）1,2)(1,(??1),c?a?(1,1),b??crr31）；（答：ba?22（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 uruururuur A. B. (5,7)??1,2),2)ee?(?e(0,0),e?(1,?2112uruurruruu13 C. D.
平面向量常见题型与解题方法归纳学生版
平面向量常见题型与解题方法归纳 （1） 常见题型分类 题型一：向量的有关概念与运算 例1：已知a 是以点A (3,－1)为起点，且与向量b = (－3,4)平行的单位向量，则向量a 的终点坐标是 . 例2：已知| a |=1,| b |=1，a 与b 的夹角为60°, x =2a －b ，y =3b －a ,则x 与y 的夹角的余弦是多少？ 题型二：向量共线与垂直条件的考查 例1（1）,a b r r 为非零向量。“a b ⊥r r ”是“函数()()()f x xa b xb a =+?-r r r r 为一次函数”的 A 充分而不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 （2）已知O ，N ，P 在所在平面内，且，且，则点O ，N ，P 依次是的 A.重心 外心 垂心 B.重心 外心 内心 C.外心 重心 垂心 D.外心 重心 内心 例2．已知平面向量a ＝(3，－1)，b ＝(21, 23).(1) 若存在实数k 和t ，便得x ＝a ＋(t 2－3)b , y ＝－k a ＋t b ，且x ⊥y ，试求函数的关系式k ＝f(t)；(2) 根据(1)的结论，确定k ＝f(t)的单调区间. 例3： 已知平面向量a ?＝(3，－1)，b ?＝(21，23)，若存在不为零的实数k 和角α，使向量c ?＝a ?＋(sin α－3)b ?, d ?＝－k a ?＋(sin α)b ?,且c ?⊥d ?，试求实数k 的取值范围. 例4：已知向量)1,2(),2,1(-==，若正数k 和t 使得向量
b t a k y b t a x 1)1(2+-=++=与垂直，求k 的最小值. 题型三：向量的坐标运算与三角函数的考查 向量与三角函数结合，题目新颖而又精巧，既符合在知识的“交汇处”构题，又加强了对双基的考查. 例7．设函数f (x )＝a · b ，其中向量a ＝(2cos x , 1), b ＝(cos x ,3sin2x ), x ∈R.（1）若f(x )＝1－3且x ∈[－3π，3π]，求x ；（2）若函数y ＝2sin2x 的图象按向量c ＝(m , n) (m ﹤2 π)平移后得到函数y ＝f(x )的图象，求实数m 、n 的值. 例8：已知a =（cosα，sin α）,b =（cosβ,sinβ）(0<α<β<π)，（1）求证： a +b 与a -b 互相垂直； （2）若k a +b 与a -k b 的模大小相等(k ∈R 且k ≠0)，求β－α 巩固练习 1.函数的图象按向量a r 平移到,的函数解析式为当为奇函数时，向量a r 可以等于 1. 2.给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为. 如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧上变动.若其中,则的最大值是________. 3给出下列命题 ① 非零向量、满足||=||=|-|，则与+的夹角为30°； ② ·＞0是、的夹角为锐角的充要条件； ③ 将函数y =|x -1|的图象按向量=（-1，0）平移，得到的图像对应的函数为y =|x |； ④若（）·（）=0，则△ABC 为等腰三角形 以上命题正确的是 。（注：把你认为正确的命题的序号都填上）
平面向量的解题技巧
第四讲平面向量的解题技巧 【命题趋向】由2007年高考题分析可知： 1．这部分内容高考中所占分数一般在10分左右． 2．题目类型为一个选择或填空题，一个与其他知识综合的解答题． 3．考查内容以向量的概念、运算、数量积和模的运算为主． 【考点透视】“平面向量”是高中新课程新增加的内容之一，高考每年都考，题型主要有选择题、填空题，也可以与其他知识相结合在解答题中出现，试题多以低、中档题为主． 透析高考试题，知命题热点为： 1．向量的概念，几何表示，向量的加法、减法，实数与向量的积． 2．平面向量的坐标运算，平面向量的数量积及其几何意义． 3．两非零向量平行、垂直的充要条件． 4．图形平移、线段的定比分点坐标公式． 5．由于向量具有“数”与“形”双重身份，加之向量的工具性作用，向量经常与数列、三角、解析几何、立体几何等知识相结合，综合解决三角函数的化简、求值及三角形中的有关问题，处理有关长度、夹角、垂直与平行等问题以及圆锥曲线中的典型问题等． 6．利用化归思想处理共线、平行、垂直问题向向量的坐标运算方面转化，向量模的运算转化为向量的运算等；利用数形结合思想将几何问题代数化，通过代数运算解决几何问题． 【例题解析】 1. 向量的概念，向量的基本运算 (1)理解向量的概念，掌握向量的几何意义，了解共线向量的概念. (2)掌握向量的加法和减法. (3)掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件. (4)了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算. (5)掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题, 掌握向量垂直的条件. (6)掌握平面两点间的距离公式. 例1（2007年北京卷理）已知O是ABC △所在平面内一点，D为BC边中点，且2OA OB OC ++=0，那么（）Ａ．AO OD =Ｄ．2AO OD AO OD = AO OD =Ｂ．2 =Ｃ．3
向量解题技巧
一、怎么样求解向量的有关概念问题 掌握并理解向量的基本概念 １.判断下列各命题是否正确 (1)若c a c b b a ===则,,； (2)两向量b a 、相等的充要条件是b a =且共线、b a ； (3)b a =是向量b a =的必要不充分条件； (1)若D C B A 、、、是不共线的四点，则C D B A =是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件； (2)D C B A =的充要条件是A 与C 重合，D B 与重合。 二、向量运算及数乘运算的求解方法 两个不共线的向量，加法的三角形法则和平行四边形法则是一致的。两个有相同起点的向量的差 是连结两向量的终点，方向指向被减向量的向量，若起点不同，要平移到同一起点；重要结论：a 与b 不共线，则b a b a -+与是以a 与b 为邻边的平行四边形两条对角线所表示的向量。在求解向量的坐 标运算问题时，注意向量坐标等终点坐标减起点坐标，即若),(),,(2211y x B y x A ，则 =-=A O B O B A ),(),(),(12121122y y x x y x y x --=-。 例1 若向量_______2),1,0(),2,3(的坐标是则a b b a --== 例2 若向量____)2,1(),1,1(),1,1(=-=-==c c b a 则 b a D b a C b a B b a A 2 123.2123.2321.2321.+---+- 例3 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点),3,1(),1,3(-B A 若点 满足C B O A O C O βα+=，其中R ∈βα,且1=+βα，则点C 的轨迹为（ ） 52. 02.0)2()1.( 01123.22=-+=-=-+-=-+y x D y x C y x B y x A 例4 O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足 )(C A C A B A B A A O P O ++=λ，),0[+∞∈λ，则P 的轨迹一定过ABC ?的（） .A 外心 .B 内心 .C 重心 .D 垂心 例5 设G 是ABC ?内的一点，试证明: (1)若G 是为ABC ?重心，则0 =++C B B G A G ；