2018年初三数学中考模型之费马点问题(含答案)
费马点的问题
定义：数学上称，到三角形3个顶点距离之和最小的点为费马点。它是这样确定的：
1. 如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点；
2. 如果3个内角均小于120°，则在三角形内部对3边张角均为120°的点，是三角形的费马点。
3. 费马点与3个顶点连成的线段是沟通3点的最短路线，容易理解，这个路线是唯一的。我们称这一结果为最短路线原理。
性质：费马点有如下主要性质：
1．费马点到三角形三个顶点距离之和最小。
2．费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120°。
3．费马点为三角形中能量最低点。
4．三力平衡时三力夹角皆为120°，所以费马点是三力平衡的点。
例1：已知：△ABH是等边三角形。
求证：GA+GB+GH最小
证明：∵△ABH是等边三角形。G是其重心。
∴∠AGH=∠AGB=∠BGH=120°。
以HB为边向右上方作等边三角形△DBH.
以HG为边向右上方作等边三角形△GHP.
∵AH=BH=AB=12.
∴∠AGH=120°, ∠HGP=60°.
∴A、G、P三点一线。
再连PD两点。
∵△ABH、△GHP和△BDH都是等边三角形,∠GHB=30°.
∴∠PHD=30°,.
在△HGB和△HPD中
∵HG=HP
∠GHB=∠PHD；
HB=HD；
∴△HGB≌△HPD；（SAS）
∴∠HPD=∠HGB=120°；
∵∠HPG=60°.
∴G、P、D三点一线。
∴AG=GP=PD,且同在一条直线上。
∵GA+GH+GB=GA+GP+PD=AD.
∴G点是等边三角形内到三个顶点的距离之和最小的哪一点，费马点。也就是重心。例2：已知：△ABC是等腰三角形，G是三角形内一点。∠AGC=∠AGB=∠BGC=120°。
求证：GA+GB+GC最小
证明：将△BGC逆时针旋转60°，连GP,DB.则△HGB≌△HPD；
∴∠CPD=∠CGB=120°,CG=CP,GB=PD, BC=DC,∠GCB=∠PCD.
∵∠GCP=60°,
∴∠BCD=60°,
∴△GCP和△BCD都是等边三角形。
∵∠AGC=120°, ∠CGP=60°.
∴A、G、P三点一线。
∵∠CPD=120°, ∠CPG=60°.
∴G、P、D三点一线。
∴AG、GP、PD三条线段同在一条直线上。
∵GA+GC+GB=GA+GP+PD=AD.
∴G点是等腰三角形内到三个顶点的距离之和最小的哪一点，费马点。
但它不同于等边三角形的费马点是重心。
例3：已知：△ABC是锐角三角形，G是三角形内一点。∠AGC=∠AGB=∠BGC=120°。
初三数学难题集锦 (1)
初中数学难题集锦 1．（本小题满分10分） 如图，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点D ，已知∠D ＝30°. ⑴求∠A 的度数； ⑵若点F 在⊙O 上，CF ⊥AB ，垂足为E ，CF ＝34，求图中阴影部分的面积. 2．（本小题满分10分） 已知抛物线2 y ax bx =+(a ≠0)的顶点在直线1 12 y x =- -上，且过点A (4，0)． ⑴求这个抛物线的解析式； ⑵设抛物线的顶点为P ，是否在抛物线上存在一点B ，使四边形OPAB 为梯形？若存在，求出点B 的坐标；若不存在，请说明理由. ⑶设点C (1，－3)，请在抛物线的对称轴确定一点D ，使AD CD -的值最大，请直接写出点D 的坐标. 3．（本小题满分12分） 已知在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，且AB =40cm ，AD =BC =20cm ，∠ABC =120°．点P 从点B 出发以1cm/s 的速度沿着射线BC 运动，点Q 从点C 出发以2cm/s 的速度沿着线段CD 运动，当点Q 运动到点D 时，所有运动都停止. 设运动时间为t 秒． ⑴如图1，当点P 在线段BC 上且△CPQ ∽△DAQ 时，求t 的值； ⑵在运动过程中，设△APQ 与梯形ABCD 重叠部分的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围； 图1Q P D C B A
参考答案 1．（本小题满分10分） ⑴解：连结OC，∵CD切⊙O于点C，∴∠OCD＝90°. (1分) ∵∠D＝30°，∴∠COD＝60°. …………………(2分) ∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO＝30°. ………………(4分) ⑵∵CF⊥直径AB，CF＝3 4，∴CE＝(5分) ∴在Rt△OCE中，OE＝2，OC＝4. ……………………(6分) ∴ 2 BOC 6048 3603 S π π ? 扇形 ＝＝，EOC 1 2 2 S?? V ＝…………………………(8分) ∴ EOC BOC S S Sπ V 阴影扇形 8 ＝－＝－ 3 …………………………………………………(10分) 2．（本小题满分10分） ⑴∵抛物线过点(0，0)、(4，0)， ∴抛物线的对称轴为直线2 x=. ………………………………………………………(1分) ∵顶点在直线 1 1 2 y x =--上，∴顶点坐标为(2，－2). …………………………(3分) 故设抛物线解析式为2 (2)2 y a x =--， ∵过点(0，0)，∴ 1 2 a=，∴抛物线解析式为2 1 2 2 y x x =-………………………(5分) ⑵当AP∥OB时， 如图，∠BOA＝∠OAP＝45°，过点B作BH⊥x轴于H，则OH＝BH. 设点B(x，x)，故2 1 2 2 x x x =-，解得x＝6或x＝0(舍去)…………………………(6分) ∴B(6，6). …………………………………………………………………………(7分) 当OP∥AB时，同理设点B(4－x，x)
“费马点”与中考数学试题
“费马点”与中考数学试题 费尔马，法国业余数学家，拥有业余数学之王的称号，他是解析几何的发明者之一．费马点——就是到三角形的三个顶点的距离之和最小的点．费尔马的结论：对于一个各角不超过120°的三角形，费马点是对各边的张角都是120°的点，对于有一个角超过120°的三角形，费马点就是这个内角的顶点． △三个顶点的距离之和P A+PB+PC最小？这就下面简单说明如何找点P使它到ABC 是所谓的费尔马问题． 图1 解析：如图1，把△APC绕A点逆时针旋转60°得到△AP′C′，连接PP′． 则△APP′为等边三角形，AP= PP′，P′C′=PC， 所以P A+PB+PC= PP′+ PB+ P′C′． 点C′可看成是线段AC绕A点逆时针旋转60°而得的定点，BC′为定长，所以当B、P、P′、C′四点在同一直线上时，P A+PB+PC最小． 这时∠BP A=180°-∠APP′=180°-60°=120°， ∠APC=∠A P′C′=180°-∠AP′P=180°-60°=120°， ∠BPC=360°-∠BP A-∠APC=360°-120°-120°=120° △的每一个内角都小于120°时，所求的点P对三角形每边的张角都是因此，当ABC 120°，可在AB、BC边上分别作120°的弓形弧，两弧在三角形内的交点就是P点；当有一内角大于或等于120°时，所求的P点就是钝角的顶点． 费尔马问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换． 本文列举近年“费马点”走进中考试卷的实例，供同学们学习参考． 例1 （2008年广东中考题）已知正方形ABCD内一动点E到A、B、C三点的距离26
2020年山东省潍坊市中考数学试卷及答案
2020年山东省潍坊市中考数学试卷 一、选择题（本大题共12小题，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得3分，错选、不选或选出的答案超过一个均记0分．） 1．（3分）（2020?潍坊）下列图形，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B． C．D． 2．（3分）（2020?潍坊）下列运算正确的是（） A．2a+3b＝5ab B．a3?a2＝a5 C．（a+b）2＝a2+b2D．（a2b）3＝a6b 3．（3分）（2020?潍坊）今年的政府工作报告中指出：去年脱贫攻坚取得决定性成就，农村贫困人口减少1109万．数字1109万用科学记数法可表示为（） A．1.109×107B．1.109×106C．0.1109×108D．11.09×106 4．（3分）（2020?潍坊）将一个大正方体的一角截去一个小正方体，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图是（） A．B．C．D． 5．（3分）（2020?潍坊）为调动学生参与体育锻炼的积极性，某校组织了一分钟跳绳比赛活动，体育组随机抽取了10名参赛学生的成绩，将这组数据整理后制成统计表： 一分钟跳绳个数 （个）141144145146
学生人数（名） 5 2 1 2 则关于这组数据的结论正确的是（ ） A ．平均数是144 B ．众数是141 C ．中位数是144.5 D ．方差是5.4 6．（3分）（2020?潍坊）若m 2+2m ＝1，则4m 2+8m ﹣3的值是（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 7．（3分）（2020?潍坊）如图，点E 是?ABCD 的边AD 上的一点，且DE AE =1 2 ，连接BE 并 延长交CD 的延长线于点F ，若DE ＝3，DF ＝4，则?ABCD 的周长为（ ） A ．21 B ．28 C ．34 D ．42 8．（3分）（2020?潍坊）关于x 的一元二次方程x 2+（k ﹣3）x +1﹣k ＝0根的情况，下列说法正确的是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．无实数根 D ．无法确定 9．（3分）（2020?潍坊）如图，函数y ＝kx +b （k ≠0）与y = m x （m ≠0）的图象相交于点A （﹣2，3），B （1，﹣6）两点，则不等式kx +b ＞m x 的解集为（ ） A ．x ＞﹣2 B ．﹣2＜x ＜0或x ＞1 C ．x ＞1 D ．x ＜﹣2或0＜x ＜1 10．（3分）（2020?潍坊）如图，在Rt △AOB 中，∠AOB ＝90°，OA ＝3，OB ＝4，以点O 为圆心，2为半径的圆与OB 交于点C ，过点C 作CD ⊥OB 交AB 于点D ，点P 是边OA
最新2018年上海浦东新区中考数学一模试卷
精品文档 2018年上海市浦东新区中考数学一模试卷 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．（4分）如果把一个锐角三角形三边的长都扩大为原来的两倍，那么锐角A的 余切值（） ．缩小为原来的B．扩大为原来的两倍A C．不变D．不能确定 2．（4分）下列函数中，二次函数是（） 22y=Dx．（x+4）﹣﹣4x+5 B．y=x（2x﹣3）C．y=A．y= 3．（4分）已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=7，BC=5，那么下列式子中正确的 是（） cotA=．tanA= cosA= C．A．DsinA= B． 与向量分）已知非零向量平行的，，下列条件中，不能判定向量，4．（4是（） =C=2．=AD．，．，B．||=3 || 2+bx+c的图象全部在x5．（4分）如果二次函数y=ax轴的下方，那么下列判断中正确的是（） A．a＜0，b＜0 B．a＞0，b＜0 C．a＜0，c＞0 D．a＜0，c＜0 6．（4分）如图，已知点D、F在△ABC的边AB上，点E在边AC上，且DE∥BC，要使得EF∥CD，还需添加一个条件，这个条件可以是（） ．B．A．C．D 精品文档． 精品文档
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） ，则== 7．（4分）知． 8．（4分）已知线段MN的长是4cm，点P是线段MN的黄金分割点，则较长线 段MP的长是cm． 的周长的比值是C，ABC的周长与△AB4分）已知△ABC∽△ABC，△9．（111111BE、BE分别是它们对应边上的中线，且BE=6，则BE=．1111 （）=+2 ．10（4分）计算：．3 11．（4分）计算：3tan30°+sin45°=． 2﹣4的最低点坐标是y=3x ．12．（4分）抛物线 2向下平移3个单位，所得的抛物线的表达式是13．（4分）将抛物线 y=2x． 14．（4分）如图，已知直线l、l、l分别交直线l于点A、B、C，交直线l于51432点D、E、F，且l∥l∥l，AB=4，AC=6，DF=9，则DE=．312 15．（4分）如图，用长为10米的篱笆，一面靠墙（墙的长度超过10米），围成一个矩形花圃，设矩形垂直于墙的一边长为x米，花圃面积为S平方米，则S关 于x的函数解析式是（不写定义域）． 16．（4分）如图，湖心岛上有一凉亭B，在凉亭B的正东湖边有一棵大树A，在湖边的C处测得B在北偏西45°方向上，测得A在北偏东30°方向上，又测得A、C之间的距离为100米，则A、B之间的距离是米（结果保留根号形式）． 精品文档．
最值问题(费马点)
最值问题2（费马点） 1、已知：P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求PA+PB+PC的最小值． 2、已知：P是边长为1的等边三角形ABC内的一点，求PA+PB+PC的最小值．
图2 图1 A' P P A A B C B C 3、（延庆）（本题满分4分）阅读下面材料： 阅读下面材料： 小伟遇到这样一个问题：如图1，在△ABC （其中∠BAC 是一个可以变化的角）中，AB=2，AC=4，以BC 为边在BC 的下方作等边△PBC ，求AP 的最大值。 小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合．他的方法是以点B 为旋转中心将△ABP 逆时针旋转60°得到△A ’BC,连接A A ' ,当点A 落在C A ' 上时,此题可解（如图2）． 请你回答：AP 的最大值是 ． 参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题： 如图3，等腰Rt △ABC ．边AB=4,P 为△ABC 内部一点， 则AP+BP+CP 的最小值是 .（结果可以不化简） 图3 C A B P
4、(朝阳二模)阅读下列材料： 小华遇到这样一个问题，如图1, △ABC 中，∠ACB =30o，BC =6，AC =5，在△ABC 内部有一点P ，连接P A 、PB 、PC ，求P A +PB +PC 的最小值． 小华是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可以求出这三条线段和的最小值了．他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题．他的做法是，如图2，将△APC 绕点C 顺时针旋转60o，得到△EDC ，连接PD 、BE ，则BE 的长即为所求． （1）请你写出图2中，P A +PB +PC 的最小值为 ； （2）参考小华的思考问题的方法，解决下列问题： ①如图3，菱形ABCD 中，∠ABC =60o，在菱形ABCD 内部有一点P ，请在图3 中画出并指明长度等于P A +PB +PC 最小值的线段（保留画图痕迹，画出一条即可）；②若①中菱形ABCD 的边长为4，请直接写出当P A +PB +PC 值最小时PB 的长． D E A C B P 图 2 D A C B 图 3 A C B P 图1
2018年山东省潍坊市中考数学试卷
山东省潍坊市2018年中考数学试卷一、选择题 1．（3分）（2018?潍坊）的立方根是（） A．﹣1 B．0C．1D．±1 考点：立方根 分析：根据开立方运算，可得一个数的立方根． 解答： 解：的立方根是1， 故选：C． 点评：本题考查了立方根，先求幂，再求立方根． A．B．C．D． 考点：中心对称图形 分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 解答：解：A、是中心对称图形，故此选项不合题意； B、是中心对称图形，故此选项不合题意； C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项符合题意； D、是中心对称图形，故此选项不合题意； 故选：C． 点评：此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心 对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． D．s in45°A．B．2﹣2C． 5. 考点：无理数 分析：根据无理数是无限不循环小数，可得答案． 解答：解：A、B、C、是有理数； D、是无限不循环小数，是无理数； 故选：D． 点评：本题考查了无理数，无理数是无限不循环小数．
4．（3分）（2018?潍坊）一个几何体的三视图如图，则该几何体是（） A．B．C．D． 考点：由三视图判断几何体 分析：由空间几何体的三视图可以得到空间几何体的直观图． 解答：解：由三视图可知，该组合体的上部分为圆台，下部分为圆柱， 故选：D． 点评：本题只要考查三视图的识别和判断，要求掌握常见空间几何体的 三视图，比较基础． 5．（3分）（2018?潍坊）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（）A．x≥﹣1 B．x≥﹣1且x≠3C．x＞﹣1 D．x＞﹣1且x≠3 考点：二次根式有意义的条件；分式有意义的条件 分析：根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解． 解答：解：由题意得，x+1≥0且x﹣3≠0， 解得x≥﹣1且x≠3． 故选B． 点评：本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被 开方数是非负数． 6．（3分）（2018?潍坊）如图，?ABCD的顶点A、B、D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上，连接AE，∠E=36°，则∠ADC的度数是（） A．44°B．54°C．72°D．53° 考点：圆周角定理；平行四边形的性质 分析：首先根据直径所对的圆周角为直角得到∠BAE=90°，然后利用四边形ABCD是
上海市2018年中考数学试题及解析.doc
2018年上海市初中毕业统一学业考试 数学试卷 （满分150分，考试时间100分钟） 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分。下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的） 1．（4 分）下列计算 ﹣的结果是（） A．4 B．3 C． 2 D 2．（4分）下列对一元二次方程x2+x﹣3=0根的情况的判断，正确的是（） A．有两个不相等实数根 B．有两个相等实数根 C．有且只有一个实数根 D．没有实数根 3．（4分）下列对二次函数y=x2﹣x的图象的描述，正确的是（）A．开口向下 B．对称轴是y轴 C．经过原点 D．在对称轴右侧部分是下降的
4．（4分）据统计，某住宅楼30户居民五月份最后一周每天实行垃圾分类的户数依次是：27，30，29，25，26，28，29，那么这组数据的中位数和众数分别是（） A．25和30 B．25和29 C．28和30 D．28和29 5．（4分）已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（） A．∠A=∠B B．∠A=∠C C．AC=BD D．AB⊥BC 6．（4分）如图，已知∠POQ=30°，点A、B在射线OQ上（点A在点O、B之间），半径长为2的⊙A与直线OP相切，半径长为3的⊙B与⊙A相交，那么OB的取值范围是（） A．5＜OB＜9 B．4＜OB＜9 C．3＜OB＜7 D．2＜OB＜7 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．（4分）﹣8
的立方根是 8．（ 4分）计算：（a+1）2﹣a2= 9．（4分）方程组的解是 10．（4分）某商品原价为a元，如果按原价的八折销售，那么售价是元． （用含字母a的代数式表示）． 11．（4分）已知反比例函数y=（k是常数，k≠1）的图象有一支在第二象限，那么k的取值范围是 12．（4分）某校学生自主建立了一个学习用品义卖平台，已知九年级200名学生义卖所得金额的频数分布直方图如图所示，那么20﹣30元这
中考专题费马点讲义与练习
图4—11 C B A 从“费马点”说起 前言 解题 题海战术 通性通法 过程与结果 内化 一、走近费马点 1．（浙教版数学八下P82）设计题 你听说过费马点吗？如图4—11，P 为△ABC 所在平面上一点。如果∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，则点P 就叫做费马点。费马点有许多有趣并且有意义的性质，例如，平面内一点P 到△ABC 三顶点的距离之和为PA+PB+PC ，当点P 为费马点时，距离之和最小。假设A,B,C 表示三个村庄，要选一处建车站，使车站到三个村庄的公路路程的和最短。若不考虑其他因素，那么车站应建在费马点上。 请按下列步骤对费马点进行探究： （1） 查找有关资料，了解费马点被发现的历史背景； （2） 在特殊三角形中寻找并验证费马点。例如，当△ABC 腰三角形或直角三角形时，费马点有哪些性质？ （3） 你的小论文。 2．（2009年浙江省湖州市中考题）若P 为ABC △所在平面上一点，且120APB BPC CPA ∠=∠=∠=°，则点P 叫做ABC △的费马点. （1）若点P 为锐角ABC △的费马点，且60ABC PA PC ∠===°，3，4，则PB 的值为________； （2）如图，在锐角ABC △外侧作等边ACB △′连结BB ′. 求证：BB ′过ABC △的费马点P ，且BB ′=PA PB PC ++. 3．（2010年湖南省永州市中考数学试题）探究问题： (1)阅读理解： ①如图(1)，在已知△ABC 所在平面上存在一点P ，使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点P 为△ABC 的费马点，此时PA+PB+PC 的值为△ABC 的费马距离． ②如图(2)，若四边形ABCD 的四个顶点在同一圆上，则有AB ·CD+BC ·DA=AC ·BD ，此为托勒密定理． (2)知识迁移：
2018年潍坊市中考数学试卷及答案(Word解析版)
CLARK-EDU、康老师--2018年潍坊中考数学 试题解读 一、选择题＜本题共12小题，在每 小题给出的四个选项中，只有一个是正确的, 的选项选出来.每小题选对得3分， 1.实数0.5的算术平方根等于＜ C. 算术平方根。 理解算术平方根的意义，把二次根式化成最简形式是解答本题的关键 答案：A. 考点：轴对称图形与中心对称图形的特征。 点评：此题主要考查了轴对称图形与中心对称图形的概念，二者既有联系又有区别。. 3.2Q18 年，我国财政性教育经费支出实现了占国内生产总值比例达义务教育均衡 发展方面，安排义务教育教育经费保障教育机制改革资金达 “865.4亿元”用科学记数法可表示为＜ )元.YNSHECzGeP 答案：B. 考点：根据实物原型画出三视图。 点评:本题考查了俯视图的知识，注意俯视图是从上往下看得到的视图 . 5.在某校“我的中国梦”演讲比赛中，有 同.其中的一名学生想要知道自己能否进入前 名学生成绩的＜).YNSHECzGeP 选错、不选或选出的答案超过一个均记 A.2 B. ,2 C.二 2 1 D.- 2 请把正确 Q分.) 答案 考点 点评 2.下面的图形是天气预报中的图标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是 A. B. C. 4%的目标?其中在促进 865.4亿元?数据 8 A. 865 10 9 B. 8.65 10 C.8.65 1010 D. 0.865 11 10 答案：C. 考点：科学记数法的表示。 点评：此题考查了科学记数法的表示方法?科学记数法的表示形式为axlQ n的形式，其中 1 W|a|10, n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值.YNSHECzGeP 4.如图是常用的一种圆顶螺杆，它的俯视图正确的是＜). I.. 9名学生参加决赛，他们决赛的最终成绩各不相 5名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这9 大 弋 h.
中考数学压轴题专题费马点
专题9 费马点 破解策略 费马点是指平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点，这个最小的距离叫做费马距离． 若三角形的内角均小于120°，那么三角形的费马点与各顶点的连线三等分费马点所在的周角；若三角形内有一个内角大于等于120°，则此钝角的顶点就是到三个顶点距离之和最小的点． 1.若三角形有一个内角大于等于120°，则此钝角的顶点即为该三角形的费马点 如图在△ABC中，∠BAC≥120°，求证：点A为△ABC的费马点证明： 如图，在△ABC内有一点P延长BA至C，使得AC＝AC，作∠CAP＝∠CAP，并且使得AP ＝AP，连结PP 则△APC≌△APC，PC＝PC 因为∠BAC≥120° 所以∠PAP＝∠CAC≤60 所以在等腰△PAP中，AP≥PP 所以PA＋PB＋PC≥PP＋PB＋PC＞BC＝AB＋AC 所以点A为△ABC的费马点 2.若三角形的内角均小于120°，则以三角形的任意两边向外作等边三角形，两个等边三角形外接圆在三角形内的交点即为该三角形的费马点．
如图，在△ABC中三个内角均小于120°，分别以AB、AC为边向外作等边三角形，两个等边三角形的外接圆在△ABC内的交点为O，求证：点O为△ABC的费马点 证明：在△ABC内部任意取一点O，；连接OA、OB、OC 将△AOC绕着点A逆时针旋转60°，得到△AO′D连接OO′则O′D＝OC 所以△AOO′为等边三角形，OO′＝AO 所以OA＋OC＋OB＝OO′＋OB＋O′D 则当点B、O、O′、D四点共线时，OA＋OB＋OC最小 此时ABAC为边向外作等边三角形，两个等边三角形的外接圆在△ABC内的交点即为点O 如图，在△ABC中，若∠BAC、∠ABC、∠ACB均小于120°，O为费马点，则有∠AOB＝∠BOC ＝∠COA＝120°，所以三角形的费马点也叫三角形的等角中心
山东省潍坊市2018年中考数学试卷及答案解析.doc
2018 年山东省潍坊市中考数学试卷 一、选择题（本大题共 12 小题，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是正 确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得 3 分，选错、不选或选出的答案 超过一个均记 0 分） 1．（3 分）|1﹣ |=（ ） A ．1﹣ B ． ﹣1 C ．1+ D ．﹣1﹣ 2．（ 3 分）生物学家发现了某种花粉的直径约为 0.0000036 毫米，数据 0.0000036 用科学记数法表示正确的是（ ） ﹣ B ．0.36×10 ﹣ 5 C ． 3.6× ﹣ 6 ﹣ 6 A ．3.6×10 5 10 D ．0.36× 10 3．（3 分）如图所示的几何体的左视图是（ ） A ． B ． C ． D ． 4．（3 分）下列计算正确的是（ ） 2 3 6 3÷ a=a 3 ．﹣（﹣） ﹣ ．（﹣ ）3 ﹣ 3 A ．a ?a =a B ．a C a b a =2a b D a = a 5．（3 分）把一副三角板放在同一水平桌面上，摆放成如图所示的形状，使两个 直角顶点重合，两条斜边平行，则∠ 1 的度数是（ ） A ．45° B ．60° C ．75° D ．82.5 ° 6．（3 分）如图，木工师傅在板材边角处作直角时，往往使用 “三弧法 ”，其作法 是： （ 1）作线段 AB ，分别以 A ，B 为圆心，以 AB 长为半径作弧，两弧的交点为 C ； （ 2）以 C 为圆心，仍以 AB 长为半径作弧交 AC 的延长线于点 D ；
（3）连接 BD，BC． 下列说法不正确的是（） A．∠ CBD=30° B．S△BDC=AB2 C．点 C 是△ ABD的外心D．sin2A+cos2D=l 7．（3 分）某篮球队10 名队员的年龄结构如表，已知该队队员年龄的中位数为 21.5，则众数与方差分别为（） 年龄19 20 21 22 24 26 人数 1 1 x y 2 1 A．22，3 B．22，4 C．21， 3 D．21， 4 8．（3 分）在平面直角坐标系中，点 P（m， n）是线段 AB 上一点，以原点 O 为位 似中心把△ AOB放大到原来的两倍，则点 P 的对应点的坐标为（） A．（2m，2n）B．（2m，2n）或（﹣ 2m，﹣ 2n） C．（ m，n） D．（ m，n）或（﹣m，﹣n） 9．（3 分）已知二次函数y=﹣（ x﹣h）2（h 为常数），当自变量 x 的值满足 2≤x ≤ 5 时，与其对应的函数值y 的最大值为﹣1，则h 的值为（） A．3 或6 B．1 或6 C．1 或3 D．4 或6 10．（ 3 分）在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系．如图， 在平面上取定一点O 称为极点；从点O 出发引一条射线Ox 称为极轴；线段OP 的长度称为极径．点P 的极坐标就可以用线段OP 的长度以及从 Ox 转动到 OP 的角度（规定逆时针方向转动角度为正）来确定，即P（3，60°）或P（3，﹣300°） 或 P（3，420°）等，则点 P 关于点 O 成中心对称的点 Q 的极坐标表示不正确的 是（）
中考数学经典难题解答集锦
经典难题（一） 1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．（初二） 2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150． 3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD 1的中点． 求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二） 连接BC1和AB1分别找其中点F,E.连接C2F 与A2E 并延长相交于Q 点， 连接EB2并延长交C2Q 于H 点，连接FB2并延长交A2Q 于G 点， 由A2E= A1B1= B1C1= FB2 ，EB2= AB= BC=FC1 ，又∠GFQ+∠Q=900和 ∠GEB2+∠Q=900,所以∠GEB2=∠GFQ 又∠B2FC2=∠A2EB2 ， 可得△B2FC2≌△A2EB2 ，所以A2B2=B2C2 ， 又∠GFQ+∠HB2F=900和∠GFQ=∠EB2A2 , 从而可得∠A2B2 C2=900 ， 同理可得其他边垂直且相等， 从而得出四边形A2B2C2D2是正方形。 A F G C E B O D D 2 C 2 B 2 A 2 D 1 C 1 B 1 C B D A A 1
4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交MN 于E 、F ． 求证：∠DEN ＝∠F ． 求∠DEN ，不是吧，这求不出来的吧，是不是求证：∠DEN ＝∠MFC ． 连接AC,取AC 中点G,连接MG,NG ∵N,G 是CD,AC 的中点 ∴GN ‖AD,GN=0.5DA ∴∠GNM=∠DEN 同理,∠NMG=∠MFC,MG=0.5BC ∵AD=BC ∴MG=NG ∴∠GMN=∠GNM ∴∠DEN ＝∠MFC 经典难题（二） 1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O （1）求证：AH ＝2OM ； （2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二） 2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 及D 、E ，直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二） 3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题： B
2018年初三数学中考模型之费马点问题(含答案)
费马点的问题 定义：数学上称，到三角形3个顶点距离之和最小的点为费马点。它是这样确定的： 1. 如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点； 2. 如果3个内角均小于120°，则在三角形内部对3边张角均为120°的点，是三角形的费马点。 3. 费马点与3个顶点连成的线段是沟通3点的最短路线，容易理解，这个路线是唯一的。我们称这一结果为最短路线原理。 性质：费马点有如下主要性质： 1．费马点到三角形三个顶点距离之和最小。 2．费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120°。 3．费马点为三角形中能量最低点。 4．三力平衡时三力夹角皆为120°，所以费马点是三力平衡的点。 例1：已知：△ABH是等边三角形。 求证：GA+GB+GH最小 证明：∵△ABH是等边三角形。G是其重心。 ∴∠AGH=∠AGB=∠BGH=120°。 以HB为边向右上方作等边三角形△DBH. 以HG为边向右上方作等边三角形△GHP. ∵AH=BH=AB=12. ∴∠AGH=120°, ∠HGP=60°. ∴A、G、P三点一线。 再连PD两点。 ∵△ABH、△GHP和△BDH都是等边三角形,∠GHB=30°.
∴∠PHD=30°,. 在△HGB和△HPD中 ∵HG=HP ∠GHB=∠PHD； HB=HD； ∴△HGB≌△HPD；（SAS） ∴∠HPD=∠HGB=120°； ∵∠HPG=60°. ∴G、P、D三点一线。 ∴AG=GP=PD,且同在一条直线上。 ∵GA+GH+GB=GA+GP+PD=AD. ∴G点是等边三角形内到三个顶点的距离之和最小的哪一点，费马点。也就是重心。例2：已知：△ABC是等腰三角形，G是三角形内一点。∠AGC=∠AGB=∠BGC=120°。
2018年上海市浦东新区中考数学一模试卷
2018年上海市浦东新区中考数学一模试卷 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1. （4分）如果把一个锐角三角形三边的长都扩大为原来的两倍，那 么锐角A的余切值（） A.扩大为原来的两倍 B.缩小为原来的丄 2 C.不变 D.不能确定 2. （4分）下列函数中，二次函数是（） A. y=-4x+5 B. y-x (2x - 3) C. y= (x+4) 2-X2 D. y二 3. （4分）已知在RtΔABC中，ZC=90o , AB=7, BC=5,那么下列式 子中正确的是（） A-S i nA=I B- COSA=7 C. ta∩A=∣D- COtA=T 4? （4分）已知非零向量$ b, c, 下列条件中，不能判定向量；与向量伉平行的是（） A. a // c, b P c B. IaI zz3 Ibl C. a- c, b=2c D. 3÷K=0
5. （4分）如果二次函数y=ax2+bx+c的图象全部在X轴的下方，那么 下列判断中正确的是（） A. a<0, b<0 B. a>0, b<0 C. a<0, c>0 D? a<0, c<0 6. （4分）如图，已知点D、F在Z?ABC的边AB上，点E在边AC上，且DE∕/BC,要使得EF〃CD,还需添加一个条件，这个条件可以是 （） A EF 二AD B AE=M C AF二A D D AF _ad ? CD-AB . AC-AB * AD-AB * AD-DB 二、填空题:（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. （4分）知昱二色，则兰M= y 2 x+y 8. （4分）已知线段MN的长是4cm,点P是线段MN的黄金分割点, 则较长线段MP的长是__________ cm. 9. （4分）已知△ ABC^ΔA1B,C1, ΔABC的周长与厶A l B l C l的周长的比值是寻BE、BE分别是它们对应边上的中线,且BE=6,则B片——?
(完整)初中数学难题精选(附答案)
经典难题（一） 1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．（初二） 2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150． 求证：△PBC 是正三角形．（初二） A P C D B A F G C E B O D
3、如图，已知四边形ABCD、A1B1C1D1都是正方形，A2、B2、C2、D2分别是AA1、BB1、 CC1、DD1的中点． 求证：四边形A2B2C2D2是正方形．（初二） 4、已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N BC 的延长线交MN于E、F．求证：∠DEN＝∠F． D2 C2 B2 A2 D1 C1 B1 C B D A A1 B
经典难题（二） 1、已知：△ABC中，H为垂心（各边高线的交点），O为外心，且OM⊥BC于M． （1）求证：AH＝2OM； （2）若∠BAC＝600，求证：AH＝AO．（初二） 2、设MN是圆O外一直线，过O作OA⊥MN于A，自A 及D、E，直线EB及CD分别交MN于P、Q．求证：AP＝AQ．（初二）
F 3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题： 设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二） 4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ， 点P 是EF 的中点． 求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半． 经典难题（三）
费马点与中考试题
识别“费马点”思路快突破 例1 探究问题： （1）阅读理解： ①如图（A），在已知△ABC所在平面上存在一点P，使它到三角形顶点的距离之和最小， 则称点P为△ABC的费马点，此时PA＋PB＋PC的值为△ABC的费马距离. ②如图（B），若四边形ABCD的四个顶点在同一圆上，则有AB·CD＋BC·DA＝AC·BD.此为托勒密定理 . （2）知识迁移： ①请你利用托勒密定理，解决如下问题： 如图（C），已知点P为等边△ABC外接圆的上任意一点.求证：PB＋PC＝PA. A BC ②根据（2）①的结论，我们有如下探寻△ABC（其中∠A、∠B、∠C均小于120°）的费马点和费马距离的方法： 第一步：如图（D），在△ABC的外部以BC为边长作等边△BCD及其外接圆； 第二步：在上任取一点P′，连结P′A、P′B、P′C、P′D.易知P′A＋P′B＋P′C＝P′A＋（P′B＋P′C） A BC ＝P′A＋； 第三步：请你根据（1）①中定义，在图（D）中找出△ABC的费马点P，并请指出线段的长度即为△ABC的费马距离 . （3）知识应用： 2010年4月，我国西南地区出现了罕见的持续干旱现象，许多村庄出现了人、畜饮水困难，为解决老百姓的饮水问题，解放军某部来到云南某地打井取水. 已知三村庄A、B、C构成了如图（E）所示的△ABC（其中∠A、∠B、∠C均小于120°），现选取一点P打水井，使从水井P到三村庄A、B、C所铺设的输水管总长度最小，求输水管总长度的最小值.
简解：（2）①证明：由托勒密定理可知PB ·AC ＋PC ·AB ＝PA ·BC ∵△ABC 是等边三角形 ∴ AB ＝AC ＝BC ∴PB ＋PC ＝PA ②P ′D AD （3）解：如图，以BC 为边长在△ABC 的外部作等边△BCD ，连接AD ，则知线段AD 的长即为△ABC 的费马距离. ∵△BCD 为等边三角形，BC ＝4， ∴∠CBD ＝60°，BD ＝BC ＝4. ∵∠ABC ＝30°， ∴∠ABD =90°. 在Rt △ABD 中，∵AB ＝3，BD ＝4 ∴AD ＝5（km ） ∴从水井P 到三村庄A 、B 、C 所铺设的输水管总长度的最小值为5km. 点评：此题集阅读理解、创新探究、实际应用于一体，题型新颖别致，综合考查自主探究、创新应用能力，是一道不可多得的好题.命题者设置成递进式问题，后续问题的思路获取、求解都靠对上一结论的解读、利用，这也是近年“课题学习”考查的一大风向，值得重视. 如果说例1只是以“费马点”为课题学习的素材进行了考查，为了帮助同学们更好的理解三角形的费马点，我们补充几点： （1）平面内一点P 到△ABC 三顶点的之和为PA+PB+PC ，当点P 为费马点时，距离之和最小. 特殊三角形中： (2)三内角皆小于120°的三角形，分别以 AB ，BC ，CA ，为边，向三角形外侧做正三角形ABC 1，ACB 1，BCA 1，然后连接AA 1，BB 1，CC 1，则三线交于一点P ，则点P 就是所求 的费马点. (3)若三角形有一内角大于或等于120度，则此钝角的顶点就是所求. (4)当△ABC 为等边三角形时，此时外心与费马点重合. 可见，永州卷这道考题对于费马点只是以课题学习为问题载体，考得比较直截了当；巧合的是 2010年福建宁德一道考题对这个知识考查显得隐蔽了，请看：
山东省潍坊市2020年中考数学试题及详解(WORD版)
第一部分山东省潍坊市2020年中考数学试题（1-7） 第二部分山东省潍坊市2020年中考数学试题详解（8-20） 第Ⅰ卷 （选择题 共36分） 一、选择题（本大题共12小题，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得3分，错选、不选或选出的答案超过一个均记0分．） 1.下列图形，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2.下列运算正确的是（ ） A. 235a b ab += B. 325a a a ?= C. 222()a b a b +=+ D. ()326a b a b = 3.今年的政府工作报告中指出：去年脱贫攻坚取得决定性成就，农村贫困人口减少1109万．数字1109万用科学记数法可表示为（ ） A. 71.10910? B. 61.10910? C. 80.110910? D. 611.0910? 4.将一个大正方体的一角截去一个小正方体，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 5.为调动学生参与体育锻炼积极性，某校组织了一分钟跳绳比赛活动，体育组随机抽取了10名参赛学生的成绩，将这组数据整理后制成统计表： 一分钟跳绳个数（个） 141 144 145 146 学生人数（名） 5 2 1 2 则关于这组数据的结论正确的是（ ） A. 平均数是144 B. 众数是141 C. 中位数是144.5 D. 方差是5.4
6.若221m m +=，则2483m m +-的值是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 7.如图，点E 是ABCD 的边AD 上的一点，且12DE AE =，连接BE 并延长交CD 的延长线于点F ，若3,4DE DF ==，则ABCD 的周长为（ ） A. 21 B. 28 C. 34 D. 42 8.关于x 的一元二次方程2(3)10x k x k +-+-=根的情况，下列说法正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 9.如图，函数(0)y kx b k =+≠与m y (m 0)x =≠的图象相交于点(2,3),(1,6)A B --两点，则不等式m kx b x +>的解集为（ ） A. 2x >- B. 20x -<<或1x > C. 1x > D. 2x <-或01x << 10.如图，在Rt AOB 中，90,3,4AOB OA OB ∠=?==，以点O 为圆心，2为半径的圆与OB 交于点C ，过点C 作CD OB ⊥交AB 于点D ，点P 是边OA 上的动点．当PC PD +最小时，OP 的长为（ ） A. 12 B. 34 C. 1 D. 32
2018年上海市普陀区中考数学二模试卷
2018年上海市普陀区中考数学二模试卷 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）[下列各题的四个选项中， 有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上] 1．（4分）下列计算中，错误的是（） A．20180=1B．﹣22=4C．=2D．3﹣1= 2．（4分）下列二次根式中，最简二次根式是（） A．B．C．D． 3．（4分）如果关于x的方程x2+2x+c=0没有实数根，那么c在2、1、0、﹣3中取值是（） A．2B．1C．0D．﹣3 4．（4分）如图，已知直线AB∥CD，点E，F分别在AB、CD上，∠CFE：∠EFB=3：4，如果∠B=40°，那么∠BEF=（） A．20°B．40°C．60°D．80° 5．（4分）自1993年起，联合国将每年的3月22日定为“世界水日”，宗旨是唤起公众的节水意识，加强水资源保护．某校在开展“节约每一滴水”的活动中，从初三年级随机选出20名学生统计出各自家庭一个月的节约用水量，有关数据整理如下表． 节约用水量（单位：吨）1 1.2 1.42 2.5家庭数46532 这组数据的中位数和众数分别是（） A．1.2，1.2B．1.4，1.2C．1.3，1.4D．1.3，1.2 6．（4分）如图，已知两个全等的直角三角形纸片的直角边分别为a、b（a≠b），将这两个三角形的一组等边重合，拼合成一个无重叠的几何图形，其中轴对
称图形有（） A．3个B．4个C．5个D．6个 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．（4分）计算：2x2?xy=． 8．（4分）方程x=的根是． 9．（4分）大型纪录片《厉害了，我的国》上映25天，累计票房约为402700000元，成为中国纪录电影票房冠军．402700000用科学记数法表示是． 10．（4分）用换元法解方程﹣=3时，如果设=y，那么原方程化成以 y为“元”的方程是． 11．（4分）已知正比例函数的图象经过点M（﹣2，1）、A（x1，y1）、B（x2，y2），如果x1＜x2，那么y1y2．（填“＞”、“=”、“＜”） 12．（4分）已知二次函数的图象开口向上，且经过原点，试写出一个符合上述条件的二次函数的解析式：．（只需写出一个） 13．（4分）一个多边形的内角和是720°，那么这个多边形是边形．14．（4分）如果将“概率”的英文单词probability中的11个字母分别写在11张相同的卡片上，字面朝下随意放在桌子上，任取一张，那么取到字母b的概率是． 15．（4分）2018年春节期间，反季游成为出境游的热门，中国游客青睐的目的地仍主要集中在温暖的东南亚地区．据调查发现2018年春节期间出境游约有700万人，游客目的地分布情况的扇形图如图所示，从中可知出境游东南亚地区的游客约有万人．