高三理科数学试卷(含答案)

理科数学试卷参考答案及评分标准

本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共11页，满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项：

1. 答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置.

2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上.

3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔在答题卡各题的答题区域内作答；不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效.

4. 填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

第Ⅰ卷(共60分)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设全集I 是实数集R ， 3

{|2}{|0}1

x M x x N x x -=>=≤-与都是I 的子集

（如图所示）， 则阴影部分所表示的集合为

A ．{}2x x <

B ．{}21x x -≤<

C ．{}12x x <≤

D ．{}22x x -≤≤

2．下列函数中既不是奇函数，又不是偶函数的是

A ．2x

y = B ． (lg y x =

C ． 22x

x

y -=+ D ． 1

lg

1

y x =+ 3．若曲线x x x f -=4

)(在点P 处的切线平行于直线03=-y x ，则点P 的坐标为

A ．（1，0）

B ．（1，5）

C ．（1，－3）

D ．（－1，2）

4．在ABC ∆中，a b 、分别是角A B 、所对的边，条件“a b <”是使 “cos cos A B >”成立的

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件 5.

4

22142x x dx -⎛⎫-++= ⎪⎝⎭

⎰ A ．16 B ．18 C ．20 D ．22

6. 已知函数),6

cos()6

sin()(π

π

+

+=x x x f 则下列判断正确的是

A ．)(x f 的最小正周期为2π，其图象的一条对称轴为12

π

=x

B ．)(x f 的最小正周期为2π，其图象的一条对称轴为6

π

=x

C ．)(x f 的最小正周期为π，其图象的一条对称轴为12

π

=x

D ．)(x f 的最小正周期为π，其图象的一条对称轴为6

π

=

x

7. 一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A

．2π+ B

．42π+ C

．6π+ D

．62π+ 8. 若直线:10 l ax by ++=始终平分圆M ：

224210x y x y ++++=的周长，则()()2

2

22a b -+-的最小值为

A

B ．5

C

．

D ．10

9. 设b c 、表示两条直线，αβ、表示两个平面，下列命题中真命题是

A ．若c ∥α，c ⊥β，则αβ⊥

B ．若b α⊂，b ∥c ，则c ∥α

C ．若b α⊂，c ∥α，则b ∥c

D ．若c ∥α，αβ⊥，则c β⊥

10.已知数列{}n x 满足

3n n x x +=，21||()n n n x x x n N *++=-∈，若11x =，

2 (1,0)x a a a =≤≠，则数列{}n x 的前2010项的和2010S 为

A ．669

B ．670

C ．1338

D ．1340

11. 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，设向量).

3,1(),1,3(,,====其中若10,≤≤≤+=μλμλ且，C 点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是

俯视图

正视图

侧视图

（第7题图）

A ．

B ．

C ．

D ．

12．已知点F 是双曲线)0,0(122

22>>=-b a b

y a x 的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过

F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A B 、两点，若ABE ∆是锐角三角形，则该双曲线的

离心率e 的取值范围是

A ． ()1,+∞

B ．()1,2

C

．(1,1+

D

．(

2,1+

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 13. 对任意非零实数a b 、，若a b ⊗的运算原理如图所

示，则()2

21log 82-⎛⎫

⊗= ⎪⎝⎭___1___．

14．在ABC ∆中，已知41AB AC ==

，

，

ABC

S AB AC ∆=⋅

则的值为 ±2 ．

15. 设n S 表示等差数列{}n a 的前n 项和，且918S =，

240n S =，若()4309n a n -=>，则n = 15 ．

16. 已知两个不相等的实数a b 、满足以下关系式：

204

a sin a cos π

θθ⋅+⋅-=，

204

b sin b cos π

θθ⋅+⋅-

=，

则连接A (

)

2

a ,a 、 B ()

2

b ,b 两点的直线与圆心在原点的单位圆的位置关系是 相交 ． 三、解答题：本大题共6个小题，共74分. 17．（本小题满分12分）

已知函数2

()sin cos f x x x x =． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期；

（Ⅱ）求()f x 在区间,62ππ⎡⎤

-

⎢⎥⎣⎦

上的最大值和最小值． 解：（Ⅰ）∵

2

()sin cos f x x x x =+

)12sin cos cos 212x x x =

⋅++

（第13题图）

1sin 2cos 2222x x =

++ ……………3分

sin 23x π⎛⎫

=++ ⎪⎝

⎭ ……………5分 ∴ 函数()f x 的最小正周期22

T π

π=

=． ……………6分 （Ⅱ）∵ 62x ππ-≤≤，40233

x ππ

≤+≤

∴

sin 213x π⎛

⎫≤+≤ ⎪⎝

⎭， ……………9分 ∴

0sin 213x π⎛

⎫

≤+

+≤= ⎪⎝

⎭， ∴ ()f x 在区间,62ππ⎡⎤

-

⎢⎥⎣⎦

上的最大值为22，最小值为0．……………12分 18．（本小题满分12分）

已知等腰直角三角形RBC ，其中∠RBC =90º， 2==BC RB ．点A 、D 分别是RB 、RC 的中点，现将△RAD 沿着边AD 折起到△PAD 位置，使PA ⊥AB ，连结PB 、PC ． （Ⅰ）求证：BC ⊥PB ；

（Ⅱ）求二面角P CD A --的余弦值． 解：（Ⅰ）∵点D A 、分别是RB 、RC 的中点，

∴ BC AD BC AD 2

1

//=且. …… 2分

∴ ∠0

90=∠=∠=RBC RAD PAD . ∴ AD PA ⊥又PA ⊥AB ，DA AB A =

∴ ABCD PA 面⊥ ∴BC PA ⊥ ∵ A AB PA AB BC =⊥ ,,

∴ BC ⊥平面PAB . …… 4分 ∵ ⊂PB 平面PAB ,

∴ PB BC ⊥. …… 6分 （Ⅱ）法一：

取RD 的中点F ，连结AF 、PF ．

P

C

A

D

B

R

(第18题图)

∵ 1==AD RA ,

∴ RC AF ⊥.

又由（Ⅰ）知ABCD PA 面⊥, 而⊂RC 平面ABCD ,

∴ RC PA ⊥. ………………… 8分 ∵ ,A PA AF

= ∴ ⊥RC 平面PAF .

∴ ∠AFP 是二面角P CD A --的平面角. ………………10分 在Rt △RAD 中, 22

212122=+==

AD RA RD AF ， 在Rt △PAF 中, 2

6

22=

+=

AF PA PF ， ∴ 33

2

6

22

cos ===∠PF AF AFP . ………………11分 ∴ 二面角P CD A --的平面角的余弦值是3

3

. ………………12分 （Ⅱ）法二：

建立如图所示的空间直角坐标系xyz A -． 则D （－1，0，0），C （－2，1，0），

P （0，0，1）.∴=（－1，1，0）

， =（1，0，1）, ……8分 设平面PCD 的法向量为),,(z y x n =

，则

n DC x y n DP x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩

……10分 令1=x ，得1,1-==z y ， ∴ )1,1,1(-=n

.

F

R A

D

B

C

P （第18题图）

R

（第18题图）

显然，是平面ACD 的一个法向量=（,0,01-）．

∴ cos

33

131=

⨯=

． ∴ 二面角P CD A --的余弦值是3

3

. ………………12分 19．（本小题满分12分）

已知数列{}n a 的首项15a =，前n 项和为n S ，且125n n S S n +=++()n N *

∈．

（Ⅰ）设1n n b a =+，求数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ． 解：（Ⅰ）由125n n S S n +=++()n N *

∈

得 ()1215n n S S n -=+-+(,2)n N n *

∈≥

两式相减得 121n n a a +=+ ……………………………… 3分 ∴ ()1121n n a a ++=+

即 n n b b 21=+(,2)n N n

*

∈≥ …………………………………… 4分 又1165111122=+=++=-=a S S S a ∴ 12122=+=a b ，6111=+=a b

∴ 122b b = …………………………………… 6分 ∴ 数列{}n b 是首项为6，公比为2的等比数列 ∴ n n n b 232

61

⋅=⋅=- ………………………………… 8分

（Ⅱ）法一

由（Ⅰ）知321n

n a =⋅- ……………………………… 9分 ∴ 12n n S a a a =++⋅⋅⋅+

2

323232n

n =⨯+⨯+⋅⋅⋅+⋅- ……………………………10分

()221321

n n -=⨯

--

1626326n n n n +=⋅--=⋅--． ……………………… 12分

（Ⅱ）法二

由已知125n n S S n +=++()n N *

∈ ① 设()()112n n S c n d S cn d ++++=++ 整理得 12n n S S cn d c +=++- ②

对照① 、②，得 1,6c d == ……………………………………8分 即①等价于 ()()11626n n S n S n ++++=++

∴ 数列{}6n S n ++是等比数列，首项为11161612S a ++=++=，公比为2q = ∴ 1

1612232n n n S n -+++=⋅=⋅

∴ 1

32

6n n S n +=⋅--． …………………………………… 12分

20．（本小题满分12分）

如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求B 点在

AM 上，D 点在AN 上，且对角线MN 过C 点，已知3=AB 米，2=AD 米．

（I ）要使矩形AMPN 的面积大于32平方米，则DN 的长应在什么范围内？ （II ）当DN 的长度是多少时，矩形花坛AMPN 的面积最小？并求出最小值． 解：（I ）设DN 的长为x （0x >）米，则2AN x =+米

∵

AM

DC AN

DN =

，∴()32x AM x

+=

， ……………………2分

∴ ()2

32AMPN x S AN AM x

+=⋅=

由32>AMPN S 得

()2

3232x x

+> ，

(第20题图)

又0x >，得 2320120x x -+>，

解得：2

063

x x <<

> 或 即DN 长的取值范围是2

(0)(6)3

∞ ，，+ ……………………7分

（II ）矩形花坛AMPN 的面积为

()2

2323121212312x x x y x x

x x

+++=

==++

1224≥= ……………………10分 当且仅当12

32x x ,x

=

=即时矩形花坛AMPN 的面积取得最小值24． 故，DN 的长度是2米时，矩形AMPN 的面积最小，最小值为24平方米．…12分 21．（本小题满分12分）

已知函数2

2

()ln ()f x x a x ax a R =-+∈．

（Ⅰ）当1a =时，证明函数()f x 只有一个零点；

（Ⅱ）若函数()f x 在区间()1,+∞上是减函数，求实数a 的取值范围． 解：（Ⅰ）当1a =时，2

()ln f x x x x =-+，其定义域是(0,)+∞

∴ 2121

()21x x f x x x x --'∴=-+=- …………2分

令()0f x '=，即2210x x x ---

=，解得1

2

x =-或1x =． 0x >Q ，∴ 12

x ∴=-舍去． 当01x <<时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<．

∴ 函数()f x 在区间()01,上单调递增，在区间()1,+∞上单调递减 ∴ 当x =1时，函数()f x 取得最大值，其值为2

(1)ln1110f =-+=． 当1x ≠时，()(1)f x f <，即()0f x <．

∴ 函数()f x 只有一个零点． ……………………6分

（Ⅱ）显然函数2

2

()ln f x x a x ax =-+的定义域为(0,)+∞

∴ 222

121(21)(1)()2a x ax ax ax f x a x a x x x

-++-+-'=-+== ………7分

① 当0a =时，1

()0,()f x f x x

'=

>∴在区间()1,+∞上为增函数，不合题意……8分 ② 当0a >时，()()00f x x '≤>等价于()()()21100ax ax x +-≥>，即1x a

≥ 此时()f x 的单调递减区间为1,a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭

．

依题意，得11,

0.

a a ⎧≤⎪⎨⎪>⎩解之得1a ≥．

………10分

③ 当0a <时，()()00f x x '≤>等价于()()()21100ax ax x +-≥>，即1

2x a

≥- 此时()f x 的单调递减区间为12,a ⎡⎫

-

+∞⎪⎢⎣⎭

， ∴1

120a a ⎧-

≤⎪⎨⎪<⎩

得12a ≤-

综上，实数a 的取值范围是1

(,][1,)2

-∞-+∞U …………12分 法二：

①当0a =时，1

()0,()f x f x x

'=

>∴在区间()1,+∞上为增函数，不合题意……8分 ②当0a ≠时，要使函数()f x 在区间()1,+∞上是减函数，只需()0f x '≤在区间

()1,+∞上恒成立，0x > ∴只要22210a x ax --≥恒成立，

2214210

a

a a a ⎧≤⎪

∴⎨⎪--≥⎩

解得1a ≥或12a ≤-

综上，实数a 的取值范围是1

(,][1,)2

-∞-+∞U …………12分 22．（本小题满分14分）

已知椭圆C 中心在原点、焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点的最大值为3，最小值为1．

（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；

（Ⅱ）若直线l ：()0y kx m k =+≠与椭圆交于不同的两点M N 、（M N 、不是左、右顶点），且以MN 为直径的圆经过椭圆的右顶点A ．

求证：直线l 过定点，并求出定点的坐标． 解：（Ⅰ）设椭圆的长半轴为a ，半焦距为c ，则

3

1a c a c +=⎧⎨

-=⎩ 解得 2

1a c =⎧⎨=⎩

∴ 椭圆C 的标准方程为 22

143

x y +=． ………………… 4分

（Ⅱ）由方程组22

143x y y kx m

⎧⎪

+=⎨⎪=+⎩ 消去y ，得

(

)2

2

234

84120

k x

k m x m +++-= 由题意：△()()()2

2

2

84344120km k

m

=-+->

整理得：22

340k m +-> ① ……7分 设()()1122,,M x y N x y 、，则

122

834km

x x k

+=-+， 212241234m x x k -=+………………… 8分 由已知，AM AN ⊥ ， 且椭圆的右顶点为A (2,0) ∴

()()1212220x x y y --+=

………………… 10分

即 (

)()()2

2

12

1

2

1240k

x x km x x m

++-+++=

也即 ()()22

222

412812403434m km k km m k k

--+⋅+-⋅++=++ 整理得： 22

71640m mk k ++= 解得： 2m k =- 或 27

k

m =-

，均满足① ……………………… 12分 当2m k =-时，直线l 的方程为 2y kx k =-，过定点(2,0)，舍去

当27k m =-

时，直线l 的方程为 27y k x ⎛

⎫=- ⎪⎝

⎭，过定点2(,0)7，

故，直线l 过定点，且定点的坐标为2(,0)7

．……………………… 14分