2021年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅰ)(原卷版)含解析答案

2021年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学乙卷

注意事项：

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设2（z+z̅）+3(z-z̅)=4+6i ，则z=( ). A.1-2i B.1+2i C.1+i D.1-i

2.已知集合S=｛s|s=2n+1,n ∈Z ｝，T=｛t|t=4n+1,n ∈Z ｝，则S ∩T=( ) A.∅ B.S C.T D.Z

3.已知命题p ：∃x ∈R ，sinx ＜1；命题q ：∀x ∈R ，e |x|≥1，则下列命题中为真命题的是（ ）

A.p ∧q

B.¬p ∧q

C.p ∧¬q

D.¬(pVq)

4.设函数f(x)=1−x

1+x ，则下列函数中为奇函数的是（ ）

A.f(x-1)-1

B.f(x-1)+1

C.f(x+1)-1

D.f(x+1)+1

5.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，P 为B 1D 1的中点，则直线PB 与AD 1所成的角为（ ） A.π2 B. π3 C. π

4 D. π

6

6.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）

A.60种

B.120种

C.240种

D.480种

7.把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的1

2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移π

3个单位长度，得到函数y=sin(x-π

4)的图像，则f(x)=（ ） A.sin(x

2−7π

12) B. sin(x

2+π

12)

C. sin(2x −7π

12) D. sin(2x +π

12) 8.在区间（0,1）与（1,2）中各随机取1个数，则两数之和大于7

4的概率为（ ）

A. 7

4 B. 23

32 C. 9

32 D. 2

9

9.魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海盗的高。如图，点E,H,G 在水平线AC 上，DE 和FG 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG 称为“表距”，GC 和EH 都称为“表目距”，GC 与EH 的差称为“表目距的差”。则海岛的高AB=（ ）.

A ：

表高×表距

表目距的差+表高

B ：表高×表距

表目距的差−表高

C ：表高×表距表目距的差

+表距

D ：表高×表距表目距的差

−表距 10.设a ≠0，若x=a 为函数f (x )=a (x −a )2(x −b )的极大值点，则（ ）. A ：a ＜b B ：a ＞b C ：ab ＜a 2 D ：ab ＞a 2

11.设B 是椭圆C ：x 2

a 2+y 2

b 2=1（a ＞b ＞0）的上顶点，若C 上的任意一点P 都满足|PB |≤2b ，则C 的离心率的取值范围是（ ）. A ：[√2

2,1) B ：[12,1) C ：(0,

√22] D ：(0,1

2]

12.设a =2ln 1.01，b =ln 1.02，c =√1.04−1，则（ ）. A ：a ＜b ＜c B ：b ＜c ＜a C ：b ＜a ＜c D ：c ＜a ＜b

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知双曲线C ：x 2

m −y 2=1（m>0）的一条渐近线为√3x +my=0，则C 的焦距

为 .

14.已知向量a =（1，3），b=（3，4），若（a -λb ）⊥b ，则λ= 。 15.记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为√3，B=60°，a 2+c 2=3ac ，则b= .

16.以图①为正视图和俯视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为 （写出符合要求的一组答案即可）.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。 17.（12分）

某厂研究了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：

别记为s

12和s

2

2

（1）求x̅，y̅， s

12，s

2

2；

（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果y̅-x̅≥2√s12+s22

2

，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）.

18.(12分)

如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，P D⊥底面ABCD，PD=DC=1，M为BC的中点，且P B⊥AM，

（1）求BC；

（2）求二面角A-PM-B的正弦值。

19.（12分）

记S

n 为数列{a

n

}的前n项和，b

n

为数列{S

n

}的前n项和，已知2

S n

+1

b n

=2.

（1）证明：数列{b

n

}是等差数列；

（2）求{a

n

}的通项公式.

20.（12分）

设函数f（x）=ln（a-x），已知x=0是函数y=xf（x）的极值点。（1）求a；

（2）设函数g（x）=x+f（x）

xf（x）

，证明：g（x）＜1.

21.（12 分）

己知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，且F与圆M：x2+（y+4）2=1上点的距离的最小值为4.

（1）求p；

（2）若点P在M上，PA,PB是C的两条切线，A,B是切点，求ΔPAB的最大值.

（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22.［选修4一4：坐标系与参数方程］（10分）

在直角坐标系xOy中，⊙C的圆心为C（2，1），半径为1.

（1）写出⊙C的一个参数方程；的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）过点F（4,1）作⊙C的两条切线, 以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条直线的极坐标方程.

23.[选修4一5：不等式选讲]（10分）

已知函数f（x）=|x-a|+|x+3|.

（1）当a=1时，求不等式f（x）≥6的解集；

（2）若f（x）≥—a ,求a的取值范围.

2021年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷） 数学（理）

一、选择题

1.设2()3()46z z z z i ++-=+，则z =

( ）

A.12i -

B.12i +

C.1i +

D.1i - 答案： C

解析：

设z a bi =+，则z a bi =-，2()3()4646z z z z a bi

i ++-=+=+，所以1a =，

1b =，所以1z i =+.

2.已知集合{|21,}S s s n n Z ==+∈，{|41,}T t t n n Z ==+∈，则S T =( )

A.∅

B.S

C.T

D.Z 答案： C

解析：

21s n =+，n Z ∈；

当2n k =，k Z ∈时，{|41,}S s s k k Z ==+∈；当21n k =+，k Z ∈时，

{|43,}S s s k k Z ==+∈.所以T

S ，S T T =.故选C.

3.已知命题:p x R ∃∈﹐sin 1x <；命题||

:,1x q x R e

∈∀≥，则下列命题中为真命题的是

（ ） A.p q ∧ B.p q ⌝∧ C.

p q ∧⌝

D.()p q ⌝∨

答案： A

解析：

根据正弦函数的值域sin [1,1]x ∈-，故x R ∃∈，sin 1x <，

p 为真命题，而函数

||x y y e ==为偶函数，且0x ≥时，||1x y e =≥，故x R ∀∈，||1x y e =≥恒成立.，则q 也为真命题，所以p q ∧为真，选A.

4.设函数1()1x

f x x

-=+，则下列函数中为奇函数的是（ ） A.1()1f x -- B.1()1f x -+ C.1()1f x +- D.1()1f x ++ 答案： B

解析：

12

()111x f x x x

-=

=-+

++，()f x 向右平移一个单位，向上平移一个单位得到为奇函数.

5.在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为11B D 的中点，则直线PB 与1AD 所成的角为

（ ） A.2

π

B.3

π

C.4

π

D.

6

π

答案：

D

解析：

如图，1PBC ∠为直线PB 与1AD 所成角的平面角. 易知11A BC ∆为正三角形，又P 为11AC 中点，所以16

PBC π

∠=

.

6.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰，短道速滑､冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）

2()g x x =

A.60种

B.120种

C.240种

D.480种 答案： C

解析：

所求分配方案数为2

4

54

240C A =.

7.把函数()y f x =图像上所有点的横坐标缩短到原来的1

2

倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移3

π

个单位长度，得到函数sin()4

y x π

=-

的图像，则)(f x =（ ）

A.7sin()212x π

-

B.sin()212

x π+

C.7sin(2)12

x π

-

D.sin(2)12

x π

+

答案： B

解析：

逆向：23

1sin()sin()sin()412212

y x y x y x ππππ=-−−−

→=+−−−−−−−→=+左移横坐标变为原来的倍. 故选B.

8.在区间(0,1)与(1,2)中各随机取1个数，则两数之和大于

7

4

的概率为（ ） A.79 B.2332 C.932 D.29

答案： B

解析：

由题意记(0,1)x ∈，(1,2)y ∈，题目即求7

4

x y +>

的概率，绘图如下所示. 故113311123224411132

ABCD

AM AN S P S =

=⨯-⋅-⨯⨯

==⨯阴正.

9.魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作.其中第一题是测量海岛的高.如图，点,,E H G 在水平线AC 上，DE 和FG 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG 称为“表距”，GC 和EH 都称为“表目距”.GC 与EH 的差称为“表目距的差”，则海岛的高AB =（ ）

A.

⨯+表高表距

表高表目距的差 B.

⨯-表高表距

表高表目距的差 C.

⨯+表高表距

表距表目距的差 D.

⨯-表高表距

表距表目距的差

答案： A

解析：

连接DF 交AB 于M ，则AB AM BM =+. 记BDM α∠=，BFM β∠=，则

tan tan MB MB

MF MD DF βα

-=-=. 而tan FG GC β=

，tan ED

EH

α=.所以11()()tan tan tan tan MB MB GC EH GC EH MB MB MB FG ED ED

βαβα--=-=⋅-=⋅. 故ED DF MB GC EH ⋅⨯==-表高表距表目距的差，所以高AB ⨯=

+表高表距

表高表目距的差

.

10.设0a ≠，若x

a =为函数2

()()()f x a x a x b =--的极大值点，则

A.a b <

B.a b >

C.2ab a <

D.2ab a > 答案： D

解析：

若0a >，其图像如图（1），此时，0a b <<；若0a <，时图像如图（2），此时，0b a <<.

综上，2ab a <.

11.设B 是椭圆C ：22

221(0)x y a b a b

+=>>的上顶点，若C 上的任意一点P 都满足，

2PB b ≤，则C 的离心率的取值范围是（ ）

A.[

,1)2

B.1[,1)2

C.(0,

]2

D.1

(0,]2

答案： C

解析：

由题意，点(0,)B b ，设00(,)P x y ，则22222

00002221(1)x y y x a a b b +=⇒=-，故

22222222

222000000022()(1)22y c PB x y b a y by b y by a b b b

=+-=-+-+=--++，

0[,]y b b ∈-.

由题意，当0y b =-时，2

PB 最大，则32b b c

-≤-，22b c ≥，222a c c -≥，2c c a =≤，

(0,2

c ∈.

12.设2ln1.01a =，ln1.02b =，1c =，则（ ）

A.a b c <<

B.b c a <<

C.b a c <<

D.c a b << 答案： B 解析:

设

()ln(1)1f x x =+-，则(0.02)b c f -=，易得

1()

1f x x '=

=

+

当0x ≥时，1x +=≥，故()0f x '≤.

所以()f x 在[0,)+∞上单调递减，所以(0.02)(0)0f f <=，故b c <.

再设()2ln(1)1g x x =+-

，则(0.01)a c g -=，易得

2()2

1g x x '=

=+.

当02x ≤<1x ≥=+，所以()g x '在[0.2)上0≥.

故()g x 在[0.2)上单调递增，所以(0.01)(0)0g g >=，故a c >.

综上，a c b >>.

二、填空题

13.已知双曲线C ：2

21(0)x y m m

-=>的一条渐近线为0my +=，则C 的焦距为 . 答案：

4

解析：

易知双曲线渐近线方程为b

y x a

=±

，由题意得2a m =，21b =，且一条渐近线方程为

y x m

=-

，则有0m =（舍去），3m =，故焦距为24c =. 14.已知向量(1,3)a =，(3,4)b =，若()a b b λ-⊥，则λ= . 答案：

35

解析：

由题意得()0a b b λ-⋅=，即15250λ-=，解得35

λ=

.

15.记ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为， 60B =︒，

223a c ac +=，则b = . 答案：

解析：

1

sin 24

ABC S ac B ac ∆===4ac =，

由余弦定理，222328b a c ac ac ac ac =+-=-==，所以b =.

16.以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为 （写出符合要求的一组答案即可）.

答案： ②⑤或③④ 解析：

由高度可知，侧视图只能为②或③.

侧视图为②，如图（1），平面PAC ⊥平面ABC ，PA PC ==，

BA BC ==2AC =，

俯视图为⑤.

俯视图为③，如图（2），PA ⊥平面ABC ，1PA =，AC AB ==2BC =，俯视图为

④.

三、解答题

17.某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到产品该项指标数据如下：

旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x 和y

， 样本方差分别

己为21s 和2

2S . （1）求x ，

y ，21s ，2

2s ：

（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高 ( 如果

y x -≥ ， 否 则不认为有显著提高 ) 。 答案： 见解析 解析：

（1）各项所求值如下所示.

1

(9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7)10.0

10x +++++++++==

，1

(10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5)10.3

10y =+++++++++=，222222

11

[(9.710.0)2(9.810.0)(9.910.0)2(10.010.0)(10.110.0)10s =⨯-+⨯-+-+⨯-+-222(10.210.0)(10.310.0])0.036

+⨯-+-=，

2222221

[(10.010.3)3(10.110.3)(10.310.3)2(10.410.3)10

s =

⨯-+⨯-+-+⨯-+

222(10.510.3)(10.610.3])0.04⨯-+-=.

（2）由（1）

中数据得0.34y x -=≈.

显然y x -<所以不认为

新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高。

18.如图，四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PD ⊥底面ABCD ，1PD DC ==,M 为BC 的中点，且PB AM ⊥. （1）求BC ；

（2）求二面角A PM B --的正弦值.

答案： 见解析 解析：

（1）因为PD ⊥平面ABCD ，且矩形ABCD 中，AD DC ⊥.所以以DA ，DC ，DP 分别为x ，y ，z 轴正方向，D 为原点建立空间直角坐标系D xyz -.设BC t =，0(,0,)A t ，

0(,1,)B t ，(,1,0)2t M ，)(0,0,1P ，所以(,1,1)PB t =-，(,1,0)2

t

AM =-

因为PB AM ⊥，所以2

102

t PB AM ⋅=-+=

所以t =

，所以

2BC =.

(2)设平面

APM

的一个法

向量为,)(,m x y z =，由于

(AP =-，

则

2002

m AP z

m AM x y ⎧⋅=-+=⎪

⎨⋅=-

+=⎪⎩.令x =，的m =.设平面PMB 的一个法向量为(,,)n x y z '''=，则2020

n CB x n PB x

y z

⎧'⋅==⎪⎨'''⋅=+-=⎪⎩.令1y '=，的(0,1,1)n =.所以

3cos ,14||||7m n m

n m n ⋅〈〉===

⨯，所以二面角A PMN B --.

19.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，n b 为数列{}n S 的前n 项积，已知21

2n n

S b +=. （1）证明：数列{}n b 是等差数列； （2）求{}n a 的通项公式. 答案：

见解析 解析：

（1）由已知21

2n n S b +=，则1

(2)n n n b S n b -=≥，111211

2222(2)2n n n n n n n b b b b b n b b ---⇒+=⇒+=⇒-=≥，132

b =，

故{}n b 是以

32为首项，1

2

为公差的等差数列. （2）由（1）知312(1)222n n b n +=+-=，则222221n

n n S S n n ++=⇒=++， 1n =时，1132

a S ==

，2n ≥时，12111(1)n n n n n a S S n n n n -++=-=-=-++，

故3

,121,2(1)

n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨

⎪-≥+⎪⎩. 20.设函数()ln()f x a x =-，已知0x =是函数()y xf x =的极值点. （1）求a ； （2）设函数()

()()

x f x g x xf x +=

，证明：()1g x <.

答案： 见解析 解析：

（1）令()()ln()h x xf x x a x ==-

则()ln()x h x a x a x

'=--

-. ∵0x =是函数()y xf x =的极值点. ∴(0)0h '=. 解得：1a =；

（2）由（1）可知：()ln(1)f x x =-

()11()()()x f x g x xf x f x x

+==+，

要证()1g x <，即证111110()ln(1)x f x x x x

-+<⇔+<-（1x <且0x ≠） (1)ln(1)0ln(1)

x x x x x +--⇔<-.

∵当0x <时，ln(1)0x x ⋅-<. 当01x <<时，ln(1)0x x ⋅-<. ∴只需证明(1)ln(1)0x x x +-->

令()(1)ln(1)H x x x x =+--，且易知(0)0H =.

则1

()1ln(1)(1)ln(1)1H x x x x x

-'=--+-=---

（i ）当0x <时，易得()0H x '<，则()H x 在(,0)-∞上单调递减， ∵(0)0H =，∴()(0)0H x H >=，得证.

（ii ）当01x <<时，易得()0H x '>，则()H x 在(0,1)上单调递增. ∵(0)0H =，∴()(0)0H x H >=，得证. 综上证得()1g x <.

21.已知抛物线C ：2

2(0)x

py p =>的焦点为F ，且F 与圆M ：22(4)1x y ++=上点

的距离的最小值为4. （1）求p ；

（2）若点P 在M 上，PA ，PB 是C 的两条切线，A ，B 是切点，求PAB ∆面积的

最大值. 答案： 见解析 解析： （1）焦点(0,

)2p F 到22(4)1x y ++=的最短距离为342p

+=，所以2p =. （2）抛物线21

4

y x =，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，00(,)P x y ，得

PA l ：211111111111()2242

y x x x y x x x x x y =-+=-=-，

PB l ：2212

y x x y =-，且22000815x y y =---，

PA l ，PB l 都过点00(,)P x y ，则010*********

y x x y y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 故AB l ：0012y x x y =-，即001

2y x x y =-，

联立00212

4y x x y x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩

，得200240x x x y -+=，200416x y ∆=-，

所以AB ==

P AB d →=

，所以20011

422

PAB P AB S AB d x y ∆→=

⋅=-33

22

22000011(4)(1215)22

x y y y =-=---. 而0[5,3]y ∈--，故当05y =-时，PAB S ∆

达到最大，最大值为

22.在直角坐标系xOy 中，C 的圆心为)(2,1C ，半径为1. （1）写出C 的一个参数方程; （2）过点)(4,1F 作C 的两条切线.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系，求这两条切线的极坐标方程. 答案： 见解析 解析：

（1）C 的参数方程为2cos 1sin x y θ

θ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）

（2）C 的方程为22

(2)(1)1x y -+-=

①当直线斜率不存在时，直线方程为4x =，此时圆心到直线距离为2r >，舍去； ②当直线斜率存在时，设直线方程为1(4)y k x -=-，化简为410kx y k --+=，

此时圆心(2,1)C

到直线的距离为1d r =

==，

化简得2||k =，

两边平方有22

41k k =+

，所以k =.

代入直线方程并化简得40x -+=

或40x +-=化为极坐标方程为

5cos sin 4sin()46

π

ρθθρθ=⇔+=

或cos sin 4sin()46

π

ρθθρθ+=⇔+=+

23.已知函数()|||3|f x x a x =-++.

（1）当1a =时，求不等式()6f x ≥的解集； （2）若()f x a >-，求a 的取值范围. 答案： 见解析 解析：

当1a =时，()6|1||3|6f x x x ≥⇔-++≥，

当3x ≤-时，不等式136x x ⇔---≥，解得4x ≤-； 当31x -<<时，不等式136x x ⇔-++≥，解得x ∈∅； 当1x ≥时，不等式136x x ⇔-++≥，解得2x ≥. 综上，原不等式的解集为(,4][2,)-∞-+∞. （2）若()f x a >-，即min ()f x a >-，

因为()|||3||()(3)||3|f x x a x x a x a =-++≥--+=+（当且仅当()(3)0x a x -+≤时，

等号成立），所以min ()|3|f x a =+，所以|3|a a +>-，即3a a +<或3a a +>-，解得

3

(,)2

a ∈-+∞.