辅助角公式专题练习
辅助角公式专题练习 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
辅助角公式专题训练
一．知识点回顾
对于形如y=asinx+bcosx 的三角式，可变形如下：
y=asinx+bcosx =++++a b x a a b
x b a b
222
2
2
2
(sin cos )·
·
。记
a a b
2
2
+=cos θ，
b a b 22
+=sin
θ，则cos cos sin ))y x x x θθθ+=+
由此我们得到结论：asinx+bcosx=a b x 22++sin()θ，（*
cos ,θ=
sin θ=来确定。通常称式子（*）为辅助角公式，它可以将多个三角式的函数
问题，最终化为y=Asin(?+ωx )+k 的形式。 二．训练
1.化下列代数式为一个角的三角函数
（1
）1sin cos 22
αα+
； （2
cos αα+； （3）sin cos αα- （4
）sin()cos()6363
ππ
αα-+-． （5）5sin 12cos αα+ （6）sin cos a x b x +
2．函数y ＝2sin ? ????π3－x －cos ? ??
??π6＋x (x ∈R)的最小值等于 ( )
A ．－3
B ．－2
C ．－1
D ．－ 5
3.
若函数()(1)cos f x x x =+，02
x π
≤<，则()f x 的最大值为
( )
A ．1
B ．2 C
1 D
2
4.（2009安徽卷理）已知函数
()cos (0)f x x x ωωω=+>，()y f x =的图像与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的单调递增区间是( )A.5[,],1212
k k k Z ππππ-+∈ B.511[,],1212
k k k Z ππππ++∈C.[,],3
6
k k k Z ππππ-+∈ D.2[,],6
3
k k k Z ππππ++∈5. 如果函数y=sin2x+acos2x 的图象关于直线x=-π
8
对称，那么a= ( )
（A ）2 （B ）-2 （C ）1
（D ）-1
6．函数y ＝cos x ＋cos ?
??
??
x ＋
π3的最大值是________．
7.2)cos()12
12
3x x π
π
+
++
=
，且 02
x π
-<<，求sin cos x x -的值。 8.求函数f x k x k x x ()cos(
)cos()sin()=+++--++61326132233
2πππ (,)x R k Z ∈∈的值域。
6.（2006年天津）已知函数x b x a x f cos sin )(-=（ a 、b 为常数，0≠a ，R x ∈）在
4
π
=
x 处取得最小值，则函数)4
3(
x f y -=π
是 （ ）
A ．偶函数且它的图象关于点)0,(π对称
B ．偶函数且它的图象关于点)0,2
3(π
对称 C ．奇函数且它的图象关于点)0,2
3(π
对称 D ．奇函数且它的图象关于点)0,(π对称
9. 若sin(50)cos(20)3x x +++=，且0360x ≤<，求角x 的值。 11.已知向量(cos(),1)3a
x π=+,1
(cos(),)32
b x π=+-,
(sin(),0)3
c x π
=+,求函数()h x =2a b b c ?-?+的最大值及相应的x 的值.
（本题中可以选用的公式有21cos 21
cos ,sin cos sin 222
a αααα+=
=）
参考答案
1.（6
）
sin cos )
)
a x
b x x x x ?+=+
=+
其中辅助角?
由cos sin ???
=?
?
??=
??
?的终边经过点(,)a b
2.[答案] C
[解析] y ＝2sin ????π3－x －cos ????π
6＋x ＝2cos ????π6＋x －cos ????π
6＋x ＝cos ???
?x ＋π
6(x ∈R )． ∵x ∈R ，∴x ＋π
6
∈R ，∴y min ＝－1.
3.答案：B
解析
因为()(1)cos f x x x =
=cos x x +=2cos()3x π
-
当3
x π
=
是，函数取得最大值为2. 故选B
4.答案 C
解析 ()2sin()6f x x π
ω=+，由题设()f x 的周期为T π=，∴2ω=，
由2222
6
2
k x k π
π
π
ππ-
≤+
≤+
得，,3
6
k x k k z π
π
ππ-
≤≤+
∈，故选C
5.解：可化为y a x =++122sin()θ。 知x =-
π
8
时，y 取得最值±12+a ，即
7. [答案]
3
[解析] 法一：y ＝cos ???
?????x ＋π3－π3＋cos ???
?x ＋π3 ＝cos ????x ＋π3·cos π3＋sin ????x ＋π3sin π3＋cos ???
?x ＋π3
＝32cos ????x ＋π3＋3
2sin ????x ＋π3 ＝3??
?
?
32cos ????x ＋π3＋12sin ????x ＋π3
＝3cos ????π6－x －π3＝3cos ????x ＋π
6≤ 3. 法二：y ＝cos x ＋cos x cos π3－sin x sin π
3
＝32cos x －32sin x ＝3????32cos x －1
2sin x ＝3cos ???
?x ＋π
6， 当cos ???
?x ＋π
6＝1时，y max ＝ 3.
10.解：
。
)2
x 2sin(4]
6
sin )x 23cos(6cos )x 23[sin(4)
x 23sin(32)x 23cos(2)x 23
sin(32)x 23k 2cos()x 23k 2cos()x (f π
+=π
+π+π+π=+π
++π=+π
+-π-π++π+
π= 所以函数f(x)的值域是[-4，4]。
11. 解:2
1()cos ()sin()cos()23233
h x x x x π
ππ
=+--+++
=
2
1cos(2)
1233sin(2)2232
x x ππ++-++ =1212
cos(2)sin(2)22323x x ππ+
-++
=
22[cos(2)sin(2)]222323
x x ππ+-
++ =
11
cos(2)2212
x π++
这时1111
22,.1224
x k x k k Z ππππ+==-∈.
12.如图3,记扇OAB 的中心角为45?
,半径为1,矩形PQMN 内接于这个扇形,求矩形的对角线l 的最小值.
解:连结OM,设∠AOM=θ.则MQ=sin θ,OQ=cos θ,OP=PN=sin θ. PQ=OQ-OP=cos sin θ
θ-.
=2
2sin
(cos sin )θθθ+-
=31
(sin 2cos 2)22θθ-+
=13sin(2)22
θ?-
+,其中11tan 2?=,1(0,)2π?∈,11
arctan 2
?=.
04
π
θ<<,111
arctan
2arctan .222
πθ?∴<+<+
2min
322l
∴=-
,min 1
2
l -=. 所以当11
arctan 422
π
θ=
-时, 矩形的对角线l
的最小值为
12-. N
B
M
A
P O
图
辅助角公式专题练习
辅助角公式专题练习 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
辅助角公式专题训练 一．知识点回顾 对于形如y=asinx+bcosx 的三角式，可变形如下： y=asinx+bcosx =++++a b x a a b x b a b 222 2 2 2 (sin cos )· · 。记 a a b 2 2 +=cos θ， b a b 22 +=sin θ，则cos cos sin ))y x x x θθθ+=+ 由此我们得到结论：asinx+bcosx=a b x 22++sin()θ，（* cos ,θ= sin θ=来确定。通常称式子（*）为辅助角公式，它可以将多个三角式的函数 问题，最终化为y=Asin(?+ωx )+k 的形式。 二．训练 1.化下列代数式为一个角的三角函数 （1 ）1sin cos 22 αα+ ； （2 cos αα+； （3）sin cos αα- （4 ）sin()cos()6363 ππ αα-+-． （5）5sin 12cos αα+ （6）sin cos a x b x + 2．函数y ＝2sin ? ????π3－x －cos ? ?? ??π6＋x (x ∈R)的最小值等于 ( ) A ．－3 B ．－2 C ．－1 D ．－ 5 3. 若函数()(1)cos f x x x =+，02 x π ≤<，则()f x 的最大值为 ( ) A ．1 B ．2 C 1 D 2
4.（2009安徽卷理）已知函数 ()cos (0)f x x x ωωω=+>，()y f x =的图像与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的单调递增区间是( )A.5[,],1212 k k k Z ππππ-+∈ B.511[,],1212 k k k Z ππππ++∈C.[,],3 6 k k k Z ππππ-+∈ D.2[,],6 3 k k k Z ππππ++∈5. 如果函数y=sin2x+acos2x 的图象关于直线x=-π 8 对称，那么a= ( ) （A ）2 （B ）-2 （C ）1 （D ）-1 6．函数y ＝cos x ＋cos ? ?? ?? x ＋ π3的最大值是________． 7.2)cos()12 12 3x x π π + ++ = ，且 02 x π -<<，求sin cos x x -的值。 8.求函数f x k x k x x ()cos( )cos()sin()=+++--++61326132233 2πππ (,)x R k Z ∈∈的值域。 6.（2006年天津）已知函数x b x a x f cos sin )(-=（ a 、b 为常数，0≠a ，R x ∈）在 4 π = x 处取得最小值，则函数)4 3( x f y -=π 是 （ ） A ．偶函数且它的图象关于点)0,(π对称 B ．偶函数且它的图象关于点)0,2 3(π 对称 C ．奇函数且它的图象关于点)0,2 3(π 对称 D ．奇函数且它的图象关于点)0,(π对称 9. 若sin(50)cos(20)3x x +++=，且0360x ≤<，求角x 的值。 11.已知向量(cos(),1)3a x π=+,1 (cos(),)32 b x π=+-, (sin(),0)3 c x π =+,求函数()h x =2a b b c ?-?+的最大值及相应的x 的值. （本题中可以选用的公式有21cos 21 cos ,sin cos sin 222 a αααα+= =）
(完整word版)辅助角公式的推导
辅助角公式sin cos )a b θθθ?+=+的推导 在三角函数中，有一种常见而重要的题型，即化sin cos a b θ θ+为一个角 的一个三角函数的形式，进而求原函数的周期、值域、单调区间等.为了帮助学 生记忆和掌握这种题型的解答方法,教师们总结出公式 sin cos a b θθ+ )θ?+或sin cos a b θθ+ cos()θ?-,让学生在大量的训练和考试中加以记忆和活用.但事与愿违,半个 学期不到,大部分学生都忘了,教师不得不重推一遍.到了高三一轮复习,再次忘记,教师还得重推!本文旨在通过辅助角公式的另一种自然的推导,体现一种解决问题的过程与方法,减轻学生的记忆负担;同时说明“辅助角”的范围和常见的取角方法,帮助学生澄清一些认识;另外通过例子说明辅助角公式的灵活应用,优化解题过程与方法;最后通过例子说明辅助公式在实际中的应用,让学生把握辅助角与原生角的范围关系,以更好地掌握和使用公式. 一.教学中常见的的推导方法 教学中常见的推导过程与方法如下 1.引例 例1 α+cos α=2sin （α+ 6π）=2cos （α-3 π）. 其证法是从右往左展开证明,也可以从左往右“凑”,使等式得到证明,并得出 结论: 可见 α+cos α可以化为一个角的三角函数形式. 一般地,asin θ+bcos θ 是否可以化为一个角的三角函数形式呢? 2.辅助角公式的推导 例2 化sin cos a b θ θ+为一个角的一个三角函数的形式. 解: asin θ+bcos θ sin θ cos θ), ① =cos ? =sin ?, 则asin θ+bcos θ θcos ?+cos θsin ?) θ+?),(其中tan ?= b a )
《辅助角公式》专题(更新版)
《辅助角公式》专题 2017年（ ）月（ ）日 班级 姓名 宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。 我们知道sin( )6x π+= 那么sin cos cos sin 66x x ππ+= 1 cos 22 x x - cos x x cos x x + sin π12－3cos π12 cos )x x - x x sin15cos15o o + 【辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)】
问题 请写出把a sin x ＋b cos x 化成A sin(ωx ＋φ)形式的过程． a sin x ＋ b cos x ＝a 2＋b 2x x ? ?+?? ＝a 2＋b 2(sin x ＋cos x ) (想想正弦、余弦的定义) ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ) (其中sin φ＝b a 2＋b 2，cos φ＝a a 2＋b 2 )． 使a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)成立时，cos φ＝ a a 2＋ b 2，sin φ＝b a 2＋b 2， 其中φ (a ，b )决定． 辅助角公式在研究三角函数的性质中有着重要的应用． 试一试 将下列各式化成A sin(ωx ＋φ)的形式，其中A >0，ω>0，|φ|<π2 . (1)sin x ＋cos x ＝ ；(2)sin x －cos x ＝ ； (3)3sin x ＋cos x ＝_____________；(4)3sin x －cos x ＝_____________； (5)sin x ＋3cos x ＝_____________；(6)sin x －3cos x ＝_____________. 【当堂训练】 【求周期】 1.求函数x x y 4sin 4cos 3+= 的最小正周期。
辅助角公式专题训练
辅助角公式专题训练 Revised by Petrel at 2021
辅 助角公式专题训练 教学目标 1、会将ααcos sin b a +（a 、b 不全为零）化为只含有正弦的一个三角比的形式 2、能够正确选取辅助角和使用辅助角公式 教学重点与难点辅助角公式的推导与辅助角的选取 教学过程 一、复习引入 （1）两角和与差的正弦公式 ()sin αβ+=_______________________；()sin αβ-=________________________. （2）利用公式展开sin 4πα??+ ???=___________________ αα=____________. 尝试：将以下各式化为只含有正弦的形式，即化为)sin(βα+A ()0A >的形式 （1 1cos 2 αα+（2 ）sin αα 二、辅助角公式的推导 对于一般形式ααcos sin b a +（a 、b 不全为零），如何将表达式化简为只含有正弦的三角比形式？ 其中辅助角β 由cos sin ββ?=????=?? β（通常πβ20<≤）的终边经过点(,)a b ，我们称上述公式为辅助角公式，其中角β为辅助角. 三、例题反馈 例１、试将以下各式化为)sin(βα+A ()0A >的形式. （1 1cos 2 αα-（2）ααcos sin + （3 αα（4）ααcos 4sin 3- 例2、试将以下各式化为)sin(βα+A （),[,0ππβ-∈>A ）的形式. （1）sin cos αα-（2）ααsin cos -
（3）cos αα- 例3、若sin(50)cos(20)3x x +++=，且0360x ≤<，求角x 的值. 例42)cos()12123 x x π π +++=，且02x π-<<，求sin cos x x -的值. 四、小结思考（1）公式()sin cos a b αααβ++中角β如何确定 （2）能否会将ααcos sin b a +（a 、b 不全为零）化为只含有余弦的一个三角比的 形式？ 五、作业布置 1.3cos 66ππαα????+-+ ? ????? 化为)sin(βα+A ()0A >的形式=________________. 2.关于x 的方程12sin x x k =有解，求实数k 的取值范围. 3.已知46sin 4m x x m -=-，求实数m 的取值范围. 4.利用辅助角公式化简：() sin 801cos50? ?? 5.已知函数1()cos 4f x x x =-.（1）若5cos 13x =-，,2x ππ??∈???? ，求()f x 的值；（2）将函数()f x 的图像向右平移m 个单位，使平移后的图像关于原点对称，若0m π<<，求m 的值. 6.已知函数211()sin 2sin cos cos sin()222 f x x x π???=+-+(0)?π<<，其图像过点1(,)62 π （1）求的?值；（2）将函数()y f x =的图像上各点的横坐标缩短到原来的12 ，纵坐标不变，得到 函数()y g x =的图像，求函数()y g x =在区间0,4π?????? 上的最值. 7.已知函数()2cos sin()3f x x x π=+-.（1）求函数()f x 的最小正周期及取得最大值时x 的取值集合；（2）求函数()f x 图像的对称轴方程.
(完整版)辅助角公式专题训练
辅 助 角 公 式 专 项 训 练（主观题安徽2012高考数学） 1.已知函数1()sin cos 44f x x x = -。 （1）若5cos 13x =-，,2x ππ??∈???? ，求()f x 的值； （2）将函数()f x 的图像向右平移m 个单位，使平移后的图像关于原点对称，若0m π<<，求m 的值。 2.已知函数211()sin 2sin cos cos sin()222 f x x x π???=+-+(0)?π<<，其图像过点1(,)62π。 (1)求的?值； (2)将()y f x =的图像上各点的横坐标缩短到原来的12 ，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图像，求函数()y g x =在区间0, 4π??????上的最值。 3.已知函数()2cos sin()32 f x x x π =+-。 （1）求函数()f x 的最小正周期及取得最大值时x 的取值集合； （2）求函数()f x 图像的对称轴方程。 4.已知函数2()2cos sin cos f x a x b x x =+，且(0)f =，1()42 f π=。 （1）求()f x 的单调递减区间； （2）函数()f x 的图像经过怎样的平移才能使所得图像对应的函数成为奇函数？
5.设22()cos()2cos ,32 x f x x x R π=++∈。 （1）求()f x 的值域；（2）求()f x 的对称中心。 6.已知()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ =-+-+。 （1）求函数()f x 的最小正周期和图像的对称轴方程； （2）求函数()f x 在区间,122ππ??- ????上的值域。 7.已知函数11()cos()cos(),()sin 23324 f x x x g x x ππ=+-=-。 （1）求()f x 的最小正周期； （2）求函数()()()h x f x g x =-的最大值，并求使()h x 取得最大值的x 的集合。 8.设2()sin()cos 1468f x x x πππ =--+，若函数()y g x =与()y f x =的图像关于直线x=1对称，求当40,3 x ??∈????时，()y g x =的最大值。 9.已知函数2()2cos 2sin 4cos f x x x x =+-。 （1）求()3 f π 的值；（2）求()f x 的最值。 10.已知向量(sin ,cos )m A A =r ，1)n =-r ，1m n =r r g ，且A 为锐角。 （1）求角A 的大小；（2）求函数()cos 24cos sin ()f x x x A x R =+∈的值域。
辅助角公式专题练习
精品文档 辅助角公式专题训练 一．知识点回顾 sin cos ) ) a x b x x x x ?+=+ =+ 其中辅助角?由cos sin ??? =? ? ?? = ?? 确定，即辅助角?的终边经过点(,)a b 二．训练 1.化下列代数式为一个角的三角函数 （1）1sin 2αα+； （2cos αα+； （3）sin cos αα- （4sin()cos()6363 ππ αα-+-． 2、 如果函数y=sin2x+acos2x 的图象关于直线x=-π 8 对称，那么a= ( ) （A ）2 （B ）-2 （C ）1 （D ）-1 3、已知函数()2cos .f x x x =-[0,],()x f x π∈求的值域
精品文档 4、函数2cos(2), [,]664y x x πππ =+∈-的值域 5、求5sin 12cos αα+ 的最值 6．求函数y ＝cos x ＋cos ? ???? x ＋π3的最大值 7.已知函数()cos (0)f x x x ωωω= +>，()y f x =的图像与直线2y =的 两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的单调递增区间是 （过程 ( ) A.5[,],12 12k k k Z π π ππ-+ ∈ B.511[,],1212k k k Z ππππ++∈ C.[,],3 6 k k k Z ππππ-+∈ D.2[,],6 3 k k k Z ππππ++∈ （果 过程
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参考答案 1.（6） sin cos ) ) a x b x x x x ?+==+ 其中辅助角?由cos sin ??? =? ? ??= ? ? 确定，即辅助角?的终边经过点(,)a b 2.[答案] C [解析] y ＝2sin ????π3－x －cos ??? ?π 6＋x ＝2cos ????π6＋x －cos ??? ?π 6＋x ＝cos ??? ?x ＋π 6(x ∈R )． ∵x ∈R ，∴x ＋π 6∈R ，∴y min ＝－1. 3.答案：B 解析 因为()(1)cos f x x x ==cos x x +=2cos()3 x π - 当3 x π = 是，函数取得最大值为2. 故选B
(完整版)辅助角公式专题训练
辅助角公式专项训练（主观题安徽2012高考数学） 1.已知函数3 1 ()sin cos 44f x x x 。 （1）若5 cos 13x ，,2x ，求()f x 的值； （2）将函数 ()f x 的图像向右平移m 个单位，使平移后的图像关于原点对称，若0m ， 求m 的值。2.已知函数211()sin 2sin cos cos sin()222f x x x (0)，其图像过点1(,)62 。(1)求的 值；(2)将()y f x 的图像上各点的横坐标缩短到原来的1 2，纵坐标不变，得到函数()y g x 的 图像，求函数()y g x 在区间0,4上的最值。 3.已知函数3 ()2cos sin()32f x x x 。 （1）求函数 ()f x 的最小正周期及取得最大值时x 的取值集合； （2）求函数()f x 图像的对称轴方程。4.已知函数23 ()2cos sin cos 2f x a x b x x ，且3 (0)2f ，1 ()42f 。 （1）求()f x 的单调递减区间； （2）函数()f x 的图像经过怎样的平移才能使所得图像对应的函数成为奇函数？
5.设22 ()cos()2cos ,32x f x x x R 。 （1）求()f x 的值域；（2）求()f x 的对称中心。 6.已知()cos(2)2sin()sin()344f x x x x 。 （1）求函数()f x 的最小正周期和图像的对称轴方程； （2）求函数()f x 在区间,122上的值域。 7.已知函数1 1 ()cos()cos(),()sin 23324f x x x g x x 。 （1）求()f x 的最小正周期； （2）求函数()()()h x f x g x 的最大值，并求使()h x 取得最大值的x 的集合。 8.设2 ()sin()cos 1468f x x x ，若函数()y g x 与()y f x 的图像关于直线 x=1对称，求当4 0,3x 时，()y g x 的最大值。 9.已知函数2()2cos 2sin 4cos f x x x x 。 （1）求()3f 的值；（2）求()f x 的最值。 10.已知向量(sin ,cos )m A A r ，(3,1)n r ，1m n r r g ，且A 为锐角。 （1）求角A 的大小；（2）求函数()cos24cos sin ()f x x x A x R 的值域。
辅助角公式专题练习
辅助角公式专题训练2013.3 一．知识点回顾 对于形如y=asinx+bcosx 的三角式，可变形如下： y=asinx+bcosx = ++++a b x a a b x b a b 222 2 2 2 (sin cos )· · 。记 a a b 2 2 +=cos θ， b a b 22 +=sin θ，则cos cos sin ))y x x x θθθ=+=+ 由此我们得到结论：asinx+bcosx=a b x 22++sin()θ，（* cos ,θ= sin θ=来确定。通常称式子（*）为辅助角公式，它可以将多个三角式的函数问题，最终 化为y=Asin(?+ωx )+k 的形式。 二．训练 1.化下列代数式为一个角的三角函数 （1 ）1sin 22 αα+； （2 cos αα+； （3）sin cos αα- （4 ） sin()cos()6363 ππ αα-+-． （5）5sin 12cos αα+ （6）sin cos a x b x +
2．函数y ＝2sin ? ????π3－x －cos ? ?? ??π6＋x (x ∈R)的最小值等于 ( ) A ．－3 B ．－2 C ．－1 D ．－ 5 3.若函数()(1)cos f x x x =+，02 x π ≤< ，则()f x 的最大值为 ( ) A ．1 B ．2 C 1 D 2 4.（2009安徽卷理）已知函数()cos (0)f x x x ωωω=+>，()y f x =的图像与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的单调递增区间是( )A.5[,],1212k k k Z ππππ-+∈ B.511[,],1212k k k Z ππππ++∈C.[,],36k k k Z ππππ-+∈ D.2[,],63k k k Z ππππ++∈ 5. 如果函数y=sin2x+acos2x 的图象关于直线x=- π 8 对称，那么a= ( ) （A ）2 （B ）-2 （C ）1 （D ）-1 6．函数y ＝cos x ＋cos ? ? ? ?? x ＋ π3的最大值是________． 7.2)cos()12 12 3x x π π + ++ = ，且 02 x π -<<，求sin cos x x -的值。 8.求函数f x k x k x x ()cos( )cos()sin()=+++--++61326132233 2πππ (,)x R k Z ∈∈的值域。
辅助角公式专题训练 (2)
辅助角公式专题训练 教学目标 1、会将ααcos sin b a +(a 、b 不全为零)化为只含有正弦的一个三角比的形式 2、能够正确选取辅助角与使用辅助角公式 教学重点与难点 辅助角公式的推导与辅助角的选取 教学过程 一、复习引入 (1)两角与与差的正弦公式 ()sin αβ+=_______________________; ()sin αβ-=________________________、 (2)利用公式展开sin 4πα??+ ???=___________________; 反之 αα=____________、 尝试:将以下各式化为只含有正弦的形式,即化为)sin(βα+A ()0A >的形式 1cos 2 αα+ (2)sin αα 二、辅助角公式的推导 对于一般形式ααcos sin b a +(a 、b 不全为零),如何将表达式化简为只含有正弦的三角比形式？ )sin()cos sin (cos sin 2 2222222βααααα++=++++=+b a b a b b a a b a b a 其中辅助角β 由cos sin ββ??????? ,即辅助角β(通常πβ20<≤)的终边经过点(,)a b ,我们称上述公式为辅助角公式,其中角β为辅助角、 三、例题反馈 例１、试将以下各式化为)sin(βα+A ()0A >的形式、 1cos 2 αα- (2)ααcos sin + αα (4)ααcos 4sin 3- 例2、试将以下各式化为)sin(βα+A (),[,0ππβ-∈>A )的形式、 (1)sin cos αα- (2)ααsin cos - (3)cos αα- 例3 、若sin(50)cos(20)x x +++o o 且0360x ≤ ：两角和与差及其二倍角公式知识点及典例 知识要点： 1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式 C(α－β)：cos(α－β)＝ ； C(α＋β)：cos(α＋β)＝ ； S(α＋β)：sin(α＋β)＝ ； S(α－β)：sin(α－β)＝ ； T(α＋β)：tan(α＋β)＝ ； T(α－β)：tan(α－β)＝ ； 2、二倍角的正弦、余弦、正切公式 2S α：sin2α＝ ； 2T α：tan2α＝ ； 2C α：cos2α＝ ＝ ＝ ； 3、在准确熟练地记住公式的基础上,要灵活运用公式解决问题:如公式的正用、逆用和变形用等。 如T(α±β)可变形为: tan α±tan β=___________________； tan αtan β= = . 考点自测： 1、已知tan α＝4，tan β＝3，则tan(α＋β)＝( ) 711 A 、 711 B 、- 713 C 、 7 13D 、- 2、已知cos ????α－π6＋ sin α＝4 5 3，则 sin ????α＋7π6的值是( ) A ．－235 B.235 C ．－45 D.4 5 3、在△ABC 中，若cos A ＝45，cos B ＝5 13 ，则cos C 的值是( ) A.1665 B.5665 C.1665或5665 D ．－1665 4、若cos2θ＋cos θ＝0，则sin2θ＋sin θ的值等于( ) A ．0 B ．±3 C ．0或 3 D ．0或 ±3 5 、三角式2cos55°－3sin5° cos5° 值为( ) A.3 2 B.3 C ．2 D ．1 题型训练 题型1 给角求值 一般所给出的角都是非特殊角，利用角的关系（与特殊角的联系）化为特殊角 例1求[2sin50sin10(1)]???+. 变式1：化简求值：2cos10sin 20.cos 20 ?? ? - 题型2给值求值 三角函数的给值求值问题解决的关键在于把“所求角”用“已知角”表示．如()()ααββαββ=+-=-+，2()() ααβαβ=++-， 2()() αβαβα=+--， 22 αβαβ++=? ，()( ) 222αββ ααβ+=--- 例2 设cos ????α－β2＝－19 ，sin ????α2－β＝2 3，其中α∈????π2，π，β∈????0，π2，求cos(α＋β)． 变式2：π3π33π5 0π,cos(),sin(),4445413 βααβ<< <<-=+=已知求sin(α+β)的值. 题型3给值求角 已知三角函数值求角，一般可分以下三个步骤：(1)确定角所在的范围；(2)求角的某一个三角函数值(要求该三角函数应在角的范围内严格单调)；（3）求出角。 例3已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12， tan β＝－1 7 ，求2α－β的值． 变式3：已知tan α= 17，tan β= 1 3 ，并且α,β 均为锐角,求α+2β的值. 题型4辅助角公式的应用 ()sin cos a x b x x θ+=+ (其中θ角所在的象限由a , b 的符号确定，θ角的值由 tan b a θ= 确定) 在求最值、化简时起着重要作用。 例4求函数2 5f (x )sin x cos x x =- x R )∈的单调递增区间？ 变式4（1）如果()()sin 2cos()f x x x ??=+++是奇函数，则tan ?= ； （2）若方程sin x x c -=有实数解，则c 的取值范围是___________. 题型5公式变形使用 二倍角公式的升幂降幂 辅助角公式专项训练(主观题安徽 2012高考数学) 1 ⑵ 将函数f (x)的图像向右平移 m 个单位，使平移后的图像关于原点对称，若 0 m 求m 的值。 1 (,)。 6 2 (1)求的值; 1 ，纵坐标不变，得到函数y g(x)的 2 图像，求函数y g(x)在区间0,— 上的最值。 4 3.已知函数f (x) 2cos xsin(x —) (1)求函数f (x)的最小正周期及取得最大值时 x 的取值集合; (2)求函数f (x)图像的对称轴方程。 1.已知函数f(x) in x 4 COSX 。(1)右 COSX 4 13 ，求f (x)的值; 2.已知函数 f(x) 珈2xsin cos 2xcos ^si n (- )(0 2 2 )，其图像过点 ⑵ 将y f(x)的图像上各点的横坐标缩短到原来的 2 (1 )求f(x)的单调递减区间； (2)函数f(X )的图像经过怎样的平移才能使所得图像对应的函数成为奇函数? (1 )求f (x)的值域；(2)求f (x)的对称中心。 (1)求函数f (x)的最小正周期和图像的对称轴方程; (2)求函数f (x)在区间 一，一上的值域。 12 2 4.已知函数 f (X ) 2a cos 2 x bsin xcosx 弓，且f(0) 5.设 f (x) cos(x 2r ) 2cos 2 -, x 2 6.已知f(x) COs(2x 3) 2sin(x 4)sin(x 3 7.已知函数 f (x) cos(§ x)cos(§ x),g(x) (1) 求 f (x)的最小正周期; f (x) g (x)的最大值，并求使 h(x)取得最大值的x 的集合。 4 对称，求当x 0,-时，y g(x)的最大值。 3 2 9.已知函数 f (x) 2cos 2x sin x 4cos x 。 (1 )求f(—)的值；(2)求f (x)的最值。 3 10.已知向量 mn (si nA cos A)，n (、、3, 1)，rrnign 1，且 A 为锐角。 (1)求角A 的大小；(2)求函数f (x) cos2x 4cos xsin A(x R)的值域。 1sin2x 1。 2 4 (2)求函数h(x) 8.设 f (x) 2 sin(—x ) cos x 1，若函数 y 4 6 8 g(x)与 y f (x)的图像关于直线x=1 辅助角公式专题训练2015-3-23. 袁毅 一．知识点回顾 对于形如y=asinx+bcosx 的三角式，可变形如下： y=asinx+bcosx = ++++a b x a a b x b a b 222 2 2 2 (sin cos )· · 。记 a a b 2 2 +=cos θ， b a b 22 +=sin θ，则cos cos sin ))y x x x θθθ=+=+ 由此我们得到结论：asinx+bcosx=a b x 22++sin()θ，（* cos ,θ= sin θ=来确定。通常称式子（*）为辅助角公式，它可以将多个三角式的函数问题，最终 化为y=Asin(?+ωx )+k 的形式。 二．训练 1.化下列代数式为一个角的三角函数 （1 ）1sin 2αα+； （2 cos αα+； （3）sin cos αα- （4 ）sin()cos()6363 ππ αα-+-． （5）5sin 12cos αα+ （6）sin cos a x b x + 2．函数y ＝2sin ? ????π3－x －cos ? ?? ??π6＋x (x ∈R)的最小值等于 ( ) A ．－3 B ．－2 C ．－1 D ．－ 5 3.若函数()(1)cos f x x x =+，02 x π ≤< ，则()f x 的最大值为 ( ) A ．1 B ．2 C 1 D 2 4.（2009安徽卷理）已知函数()cos (0)f x x x ωωω=+>，()y f x =的图像与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的单调递增区间是( )A.5[,],1212k k k Z ππππ-+∈ B.511[,],1212k k k Z ππππ++∈C.[,],36k k k Z ππππ-+∈ D.2[,],63k k k Z ππππ++∈ 5. 如果函数y=sin2x+acos2x 的图象关于直线x=- π 8 对称，那么a= ( ) （A ）2 （B ）-2 （C ）1 （D ）-1 6．函数y ＝cos x ＋cos ? ? ? ?? x ＋ π3的最大值是________． 7.2)cos()12 12 3x x π π + ++ = ，且 02 x π -<<，求sin cos x x -的值。 8.求函数f x k x k x x ()cos( )cos()sin()=+++--++61326132233 2πππ (,)x R k Z ∈∈的值域。 免费下载站 2020-02-08原文 二轮复习划重点之共用篇 二轮复习中，每个学科都要做好下面的归纳整理。 第一，考什么?确定哪些是非常重要的考点，哪些是一般重要的考点，哪些不考。把这些考点涉及到的公式定理列出来。没有理解的，记不住的，就趁着归纳整理的机会把这些尽量弄懂，搞明白。 第二，怎么考?这个考点常见的出题方式什么，选择题还是解答题。往往出现在高考题中的什么位置，前面还是后面，难度如何，常常的综合形式有哪些。 第三，怎么答?这个考点常用的答题方法有哪些，往往一个考点的解题方法不会多至一二十种，三五种已经比较厉害了。 第四，陷阱在哪?往往我在什么地方出错。别人错不错别管，关键是你自己错不错。顺便还可以编一些顺口溜，来提醒自己避免这些失误，拿到高分甚至满分。 常见的归纳总结的方法有哪些 1、以章节顺序展开的归纳 上面提到的是以章节顺序展开的归纳，这种归纳方式是最常见的方式，也是最基础的方式，比较能够帮助我们迅速掌握一个学科的知识体系。 2、题+题的归纳 比如我们把数列这一个章节历次考试的题目找出来，对比，问上边提到的四个问题。我们就能归纳出很多东西。这对于重点章节进行重点突破非常有效。以后，遇到这些章节的题目，就能迅速地从大脑这个数据库中提取有用的信息，帮助我们高效解题。 3、试卷归纳 我们通过分析所在省份历年高考真题容易发现一些惊人的结论。试想，如果你在考前都已经知道哪些地方你一定能得分了，你对考试还会没有把握吗? 同时，由于你非常清楚自己弱势在哪里，那你就很容易在最后冲刺阶段努力解决，从而整体拉伸你的学科成绩。 4、灵感性的归纳 比如，对于逻辑联结词，我想，很多同学都觉得不容易把握。就比如，很多 同学认真折磨一个知识点的时候不容易明白，然而在吃饭排队的时候，就突 然恍然大悟了。很多归纳总结就是在散步、吃饭、睡觉，甚至上厕所的时候 归纳出来的。 5、语文、英语学科的归纳 由于语文、英语学科属于语言学科，体系性不强。但并不是说不归纳。语言 学科的归纳，从应试的角度来讲，我觉得多做试卷归纳是非常必要的。 二轮复习划重点之学科篇 语文二轮复习重点梳理 近两年来，语文基础知识题比例减小，考试的重点在阅读能力、语言表达和作文这三个方面。从高三生个人语文知识掌握和语言能力的实际状况上看，除作文外，失分较多的是现代文阅读和语言表达。第二轮复习中，我们一定要注意对这几部分内容的复习。 现代文阅读 这部分着重考查高三生筛选和提取信息的能力，理解和分析能力，鉴赏和评价能力。这三方面试题的正确回答都以对文章的准确理解为前提。高三生答不好题，主要不是试题不会答，而在于文章读不懂，没有处理好读文章与答题的关系，对于答题技巧的储备也太少。 因此复习时要特别注意找到依据不同类型文章的要素读懂读通文章的基本规律，进而形成运用文中语言材料组织答案的能力，总结每类题型的技巧。 阅读能力的培养应注重两个方面，一是信息筛选的能力，二是对阅读材料的理解和分析能力。高三生平时所阅读材料的内容大多是新鲜的，能否在短时间内了解和掌握更 辅助角公式专题训练 .知识点回顾 asin X +bcosx = J a 2 +b 2( , a sin x + b _cosx) J a 2 +b 2 J a 2 +b 2 =J a 2 +b 2 sin(x + W ) COS? = I / 2 +b 2 其中辅助角W 由q ^a b 确定，即辅助角W 的终边经过点（a,b ） b 二.训练 1.化下列代数式为一个角的三角函数 3、已知函数 f(x)=2j3sin X-2cos X. X 忘［0,兀］,求f (x)的值域(1) 1sin 」cos c^ ； 2 2 (2) J 3sin a+cos a sin a —COSa (4) V^sin(-~)十 6 3 V G 兀 ■^cos (§如果函数 y=sin2x+acos2x 的图象关于直线x=-―对称，那么a= 8 (A ) (B ) -血 (C ) 1 (D ) -1 JI 4 函数y = 2cos（2x+6）. 5、求5sin a +12cosa 的最 值 f n 6.求函数 y= cos x + cos x + V 71兀 XU-QN】的值域 、 3 的最大值 3丿 7.已知函数f(x)=^s in賊+cos Q x? >0)，y = f (x)的图像与直线y=2的 两个相邻交点的距离等于兀,则f(x)的单调递增区间是(过程（） A H丄57! - ■ [k兀——，k兀+一], k匸Z 12 12 C. [k兀一寻k兀+?],k亡Z B . D . 丄5兀丄11兀L [k 兀+——，k兀+—I'k^Z 12 12 [k兀+戈k兀+空],k<^Z （果 6 3 过程 《辅助角公式应用》专题 2017年（ ）月（ ）日 班级 姓名 授之以鱼，不若授之以渔。 化下列代数式为一个角的三角函数 1sin 22 αα+； cos αα+； a sin x ＋ b cos x ＝a 2＋b 2x x ??+?? ＝a 2＋b 2(sin x ＋cos x ) (想想正弦、余弦的定义) ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ) (其中sin φ＝b a 2＋b 2，cos φ＝a a 2＋b 2 )． 使a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)成立时，cos φ＝ a a 2＋ b 2，sin φ＝b a 2＋b 2， 【求周期】 1.求函数x x y 4sin 4cos 3+= 的最小正周期。 2.求函数y x x x =+ -+24432cos()cos()sin ππ 的最小正周期。 小结：将三角式化为y=Asin(?+ωx )+k 的形式，是求周期的主要途径。 【求值】 1.求函数x x y 4sin 4cos 3+= 的最大值。 2.函数y ＝2sin ????π3－x －cos ??? ?π6＋x (x ∈R)的最小值等于 ( ) A ．－3 B ．－2 C ．－1 D ．－ 5 3.2)cos()12123x x ππ+ ++=，且 02x π-<<，求sin cos x x -的值。 4.已知)4x y πθ+= +，)4x y π θ-=-，求证：221x y += 【求单调区间】 求函数x x y 4sin 4cos 3+= 的单调递增区间。 （2009安徽卷理）已知函数()cos (0)f x x x ωωω=+>，()y f x =的图像与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的单调递增区间是( )A.5[,],1212 k k k Z ππππ-+∈ B.511[,],1212k k k Z ππππ++∈C.[,],36k k k Z ππππ-+∈ D.2[,],63 k k k Z ππππ++∈ 已知函数()3f x x x =-，求： （1）求函数()f x 的周期、最大值以及取得最大值自变量x 的取值范围. （2）求函数()f x 的单调区间、对称中心. （3）函数()f x 由函数sin y x =的图像如何变换得到的？ 辅助角公式专题训练.知识点回顾 asin X +bcosx = J a2+b2( , a sin x+ b _cosx) J a2+b2J a2+b2 =J a2+b2 sin(x + W) COS? = I / 2 +b2 其中辅助角W由q ^a b确定，即辅助角W的终边经过点（a,b） b 二.训练 1.化下列代数式为一个角的三角函数 (1) 丄sin^d cos c^ ； 2 2 (2) J3sin a+cos a sin a —COSa (4) V^sin(-~)十 6 3 V G兀 ■^cos(§?). 如果函数y=sin2x+acos2x 的图象关于直线x=--对称，那么a= 8 (A) (B) -血(C) 1 (D) -1 3、已知函数f(x) =2j3sin X—2cosx. [0,兀],求f (x)的值域 5、求 5sin a +12cosa 的最值 f n 6.求函数 y = cos x + cos x + — V 3 丿 7.已知函数f(x)=^s in 賊+cos Q x ? >0)， y = f (x)的图像与直线y=2的 4、函数 y = 2cos(2x + 兀 6) ， 兀 兀 XU-QN 】的值域 的最大值 两个相邻交点的距离等于兀 ,则f(x)的单调递增区间是 (过程 ( ) A H 丄 57! - ■ [k 兀——，k 兀+一], k 匸Z 12 12 C. [k 兀一寻k 兀+?],k 亡 B. D. 丄5兀 丄11兀 L [k 兀+——，k 兀+——】，k 匸Z 12 12 [k 兀+戈k 兀+互],k<^Z (果 三角函数小题 1.（2012北京宏志中学高考模拟训练）cos300=o （ ） A.3 2 - B. -12 C. 12 D. 32 2.（山东省莱芜市第一中学2012高三自主检测）20π cos()3 - 的值等于（ ） A. 12 B. 32 C. 12 - D. 3 2- 3.（广东省深圳市2012高三二模）tan 2012∈o （ ） A. 3(0,)3 B. 3(,1)3 C. 3(1,)3-- D. 3(,0)3 - 4.（北海市合浦县教育局教研室2011-2012学年高一下学期期中考试）若点)9,(a 在函数 x y 3=的图象上，则6tan π a 的值为（ ） A. 0 B. 3 3 C. 1 D. 3 题型二：象限角 1. (浙江省临海市白云中学2011-2012学年高一下学期期中考试)终边在y 轴上的角α的集 合为 . 2.（四川省内江市、广安市2012届高三第二次模拟联考） 已知角α的终边经过点(4,3)P -，则tan α的值等于 （ ） A ．－4 3 B. － 3 4 C. 3 5 D. － 45 3.(浙江省金华十校2012年高考模拟考试)已知角α的终边经过点() 1,3P -，则 cos α= . 4.（重 庆 市2012届高三考前冲刺）已知角α的终边过点(1,2)P -，则sin cos αα?的值为（ ） A ．25 B ．25 - C ． 52 D ．52 - 5.（山东省潍坊市高密市2012高三5月份适应性训练）已知α是第二象限角，)5,(x P 为 其终边上一点，且x 4 2 cos =α，则x 的值是 ． 6.重庆市2012（春）高三考前模拟测试)tan3的值（ ） A ．大于0 B ．等于0 C ．小于0 D ．不存在 7．（2012北京宏志中学高考模拟训练） 若sin cos 0?>αα，且cos 0α<，则角α是 （ ） 辅助角公式专题训练 欧阳光明（2021.03.07） 教学目标 1、会将ααcos sin b a +（a 、b 不全为零）化为只含有正弦的一个三角比的形式 2、能够正确选取辅助角和使用辅助角公式 教学重点与难点辅助角公式的推导与辅助角的选取 教学过程 一、复习引入 （1）两角和与差的正弦公式 ()sin αβ+=_______________________；()sin αβ-=________________________. （2）利用公式展开sin 4πα? ? + ???=___________________；反之， αα=____________. 尝试：将以下各式化为只含有正弦的形式，即化为)sin(βα+A ()0A >的形式 （11 cos 2 αα+ （2）sin αα 二、辅助角公式的推导 对于一般形式ααcos sin b a +（a 、b 不全为零），如何将表达式化简为只含有正弦的三角比形式？ 其中辅助角β 由cos sin ββ? =? ? ??= ?? 确定，即辅助角β（通常πβ20<≤）的终边 经过点(,)a b ，我们称上述公式为辅助角公式，其中角β为辅助角. 三、例题反馈 例１、试将以下各式化为)sin(βα+A ()0A >的形式. （1 1 cos 2 αα-（2）ααcos sin + （3 αα（4）ααcos 4sin 3- 例2、试将以下各式化为)sin(βα+A （),[,0ππβ-∈>A ）的形式. （1）sin cos αα-（2）ααsin cos - （3 ）cos αα- 例3、若sin(50)cos(20)3x x +++=，且0360 x ≤<，求角x 的值. 例42)cos()12 12 3 x x π π + ++ = ，且 02x π -<<，求sin cos x x -的值. 四、小结思考 （1）公式()sin cos a b αααβ++中角β如何确定? （2）能否会将ααcos sin b a +（a 、b 不全为零）化为只含有 余弦的一个三角比的形式？ 五、作业布置 1. 3cos 66ππαα??? ?+-+ ? ???? ?化为)sin(βα+A ()0A >的形式 =________________. 2. 关于x 的方程1 2sin x x k = 有解，求实数k 的取值范围 . 3. 已知46 sin 4m x x m -= -，求实数m 的取值范围. 4. 利用辅助角公式化简：() sin 801cos50? ?? 5.已知函数1()cos 44f x x x = -.（1）若5cos 13x =-，,2x ππ?? ∈???? ，求()f x最新两角和与差及二倍角公式经典例题及答案
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