有限元与数值方法-讲稿19 弹塑性增量有限元分析课件

材料非线性问题有限元方法

教学要求和内容

1.掌握弹塑性本构关系和塑性力学的基本法则；

2.掌握弹塑性增量分析的有限元格式；

3.学习常用非线性方程组的求解方法：

（1）直接迭代法；

（2） Newton-Raphson 方法，修正的N－R 方法；

（3）增量法等。

请大家预习，争取对相关内容有大概的了解和把握。

弹塑性增量有限元分析

一．材料弹塑性行为的描述

弹塑性材料进入塑性的特点：存在

不可恢复的塑性变形；

卸载时：非线性弹性材料按原路径

卸载；

弹塑性材料按不同的路径卸载，并

且有残余应变，称为塑性应变。

1．单向加载

1） 弹性阶段: 卸载时不留下残余变形; 2） 初始屈服：s σσ=

3） 强化阶段：超过初始屈服之后,按弹性规律卸载，再加载弹性范

围扩大：ss σσ'>，s

σ'为相继屈服应力。

4） 鲍氏现象（Bauschinger ）： 二．塑性力学的基本法则

1．初始屈服准则： 00(,)0ij F k σ= 已经建立了多种屈服准则：

（1） V . Mises 准则：000(,)()0ij ij F k f k σσ=-=

2

2

001

1

()(),()2

3ij ij ij s f s s J k σσ===第二应力不变量1122221

,()

3

ij ij ij m m s σδσσσσσ=-=++偏应力张量：平均应力：

（2） Tresca 准则（最大剪应力准则）：

0max ()0ij s F S ττ=-=

2．流动法则

V . Mises 流动法则：

0(,)()ij ij p ij

ij

ij

F k f d d d σσελ

λ

σσ??==??， 0d λ> 待定有限量

塑性应变增量 p ij

d ε 沿屈服面当前应力点的法线方向增加。 因此，称为法向流动法则。

3．硬化法则：

（1）各向同性硬化：(,)()0ij ij F k f k σσ=-=

21(),3p p

s k σεε==? 等效塑性应变，可由单拉试验确定。 （2）运动硬化法则：

* Prager 运动硬化准则；Zeigler 修正的运动硬化准则。 （3）混合硬化法则：

4．加载卸载准则：

（1）若(,)0ij F k σ=，且()

0ij ij ij f σσσ?>?，则继续塑性加载

（2）若(,)0ij F k σ=，且()

0ij ij ij f σσσ?

（3）若(,)0ij F k σ=，且()

0ij ij ij f σσσ?=?，

1）对理想塑性材料，则继续塑性流动；2）对硬化材料，则

继续塑性加载，但塑性应变增量为零。0p

d ε=

三．弹塑性增量的应力应变关系 1．建立弹塑性增量应力应变关系的原则

（1）一致性条件：塑性加载时，应力仍在屈服面上

（2）流动法则：新的塑性应变增量，p

ij

d ε，在屈服面上的原应力点的外法线方向。

（3）弹性应力应变关系：应变增量的弹性应变部分与应力关系仍服从胡克定律。

2．各向同性硬化材料的应力应变关系 （1）一致性条件

(,)(,)(,i j i j i j i j d F F d d F σκσσκ

κσκ=++-=，

ij ij F F dF d d σκσκ

??=+=?? 具体形式：

203s

ij s p ij p f d d σσσεσε??-=??， s p

p

E σε?=? 单向拉伸试验测得。

（2）流动法则：

()ij p

ij

ij

f d d σελ

σ?=?， 1

()2

ij ij ij

f s s σ=

23p

p s d d εελσ=?===?

（3）应力应变关系：

e p ij ij ij

d d d εεε=+

())e p p ij ijkl kl ijkl kl kl ijkl kl ijkl kl

d D d D d d D d D d σεεεεε==-=-

注意：屈服条件是已知的，我们应该将塑性应变通过已知量表示出来。根据流动规则，

()ij p ij

ij

f d d σελ

σ?=?，需要确定d λ。

249

e

ijkl kl

ij

e

ijkl s p ij kl f D d d f f D E εσλσσσ??=

??+??， s

p

p E σε?=?

()ij p ij

ij

f d d σελ

σ?=?

2

()

()

()

9

e e p ij ijkl

kl

ijkl kl kl

e kl ijkl

kl kl

e mnqr

e e mn

ijkl

kl ijkl

qr

e kl

mnqr

s p

mn

qr e p ep ijkl kl ijkl

kl ijkl

kl d D d D d d f D d d f

D

f D d D

d D

E D d D d D d σεεεσελσσεεσσσσεεε==-?=-????=-?+??=-=

弹性张量：,e e e ijkl ij ijkl kl

D d D d σε=

塑性张量：

29

e

e

ijpq

mnkl

pq mn p

ijkl

e

mnqr s p

mn qr f f D D D D E σσσσσ????=

+??，2[][]

[]4[]9

T

e

e

p

e s p

f f D D D f f D E σσσσσ????????????????

=??????+?????????? 弹塑性张量：ep

e p ijkl ijkl ijkl

D D D =-

e p ep ij ijkl kl ijkl kl ijkl

kl d D d D d D d σεεε=-=

写成矩阵形式：

{}[]{}[

]{}[]{

}

e

p

e p

d D d

D d D d σεεε=-=

四．弹塑性增量有限元格式 1 弹塑性问题的增量方程

将物体的作用荷载分成很多阶段，以模拟加载历史。假设在t 时刻作用的荷载：t

F （体积力），t

T （表面力），t

u （已知位移）,以及所对应的响应（应力t ij σ，应变t

ij ε，位移t

i u ）已知。求t t +?时刻对应的响

应：

t t

t F F F +?=+?，

t t

t

T T T +?=+?，

t t

t

u u u +?=+?

t t

t

ij ij ij σσσ+?=+?，

t t

t

ij ij ij εεε+?=+?，

t t

t

i i i u u u +?=+?

由虚功方程（虚位移原理）描述的控制方程为：

()()()()()()0

t t t

ij ij ij i i s dx F F u dx T T u ds σ

σσδεδδΩ

Ω

+??-+??-+??=?

??

()()()()()()ij ij i i s t t t

ij ij i i s dx F u dx T u ds

dx F u dx T u ds σ

σ

σδεδδσδεδδΩ

Ω

Ω

Ω

??-??-??=-?+?+??

?????

()()()()()()t

ep ijkl

kl ij i i s t t t

ij ij i i s D dx F u dx T u ds

dx F u dx T u ds σ

σ

εδεδδσδεδδΩ

Ω

Ω

Ω

??-??-??=-?+?+??

?????

写成矩阵形式

{}[]{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}t ep s t

t

t

s D dx u F dx u T ds

dx u F dx u T ds σ

σ

δεεδδδεσδδT T T

Ω

Ω

T T T Ω

Ω

??-??-??=-?+?+??

?????

将物体离散成有限单元，单元内任意点的位移增量通过形函数用单元节点位移增量表示： 位移：{}[]{}e

u N a ?=? 应变：{}[]{}e

B a ε?=? 带入虚功原理：

[]{}{t

K a Q ?=?

[][],[][][][]{}{}{}{}{}e

t

t

e

t

e

t

ep

e

t t t t t t e t t e K K K B D B dx

Q Q Q Q Q T Ω+?+?+?+?==?=-=-∑?∑∑

[][][][]{

}[]{

}[]{

}{}[]{}[]{}e

e

e e

e

t e t ep

t t

e t t

t t

s t e

t

t

s K B D B dx

Q N F dx N T dx

Q N F dx N T dx

σσT Ω+?T +?T +?ΩT T Ω==+=+?????

采用纯增量法作弹塑性有限元分析的步骤

以下仅限于简单加载过程（无反复加卸载过程）和Mises 各向同性强化材料:

1. 开始，输入初始参数（几何；材料性质，0s

σ，P E ；边界条件；外载

荷）

2. 将外载荷一次加上作线弹性分析 {}{}{}max q εσσ→→→（Mi.条件） 如果 0max s σσ≤ 不存在塑性区则为弹性问题→直接输出结果 结束！ 否则

0max s σσ>

作弹塑性分析

3.计算弹性极限{}e Q 设 0max /s

ασσ=， 则 {}{}

e Q P α

=

并可输出弹性极限载荷{}e Q 下的结果{}{}{}e e e q εσ、

、。 4.对剩余载荷{}{}{}r e Q Q Q =-作弹塑性分析

如果采用等增量步格式，则将{}r Q 等分为N 个增量步，即每一增量步载荷为：{}r

Q Q N

?=

。下面5.中是对N 个增量步循环。

5.在i 步上施加一个增量载荷i Q ?。已知当前状态下（i -1步终），各单元的（or 高斯点）σ，ε，s σ。判断三种类型的单元：1）弹性 2）塑性 3）过渡单元。对本增量步内所有过渡单元经过2~3次迭代得

到合适的ep D ????，计算各单元的t k ，并集合所有单元，形成总刚T K ，

求解{}[]T K a Q ?=?得{}i a ? 得到第i 步的解。

{}{}{}1i i i a a a -=+? 和 {}{}

{}1i

i

i εεε-=+?；

{}{}{}1i i i σσ

σ-=+?