高中数学选修4-4参数方程本章整合及题型归纳

高中数学选修4-4参数方程本章整合及题型归纳

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要点归纳

1．直线的参数方程

直线的参数方程可以从它的普通方程转化而来，设直线的点斜式方程为y －y 0＝k (x －x 0)．其中k ＝tan α.α为直线的倾斜角，代入上式得，

y －y 0＝sin αcos α(x －x 0)，α≠π

2，即x －x 0cos α＝y －y 0sin α

.

记上式的比值为t ，整理后得?

????

x ＝x 0＋t cos α，

y ＝y 0＋t sin α.

2．圆的参数方程

若圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为r ，则圆的参数方程为?

????

x ＝x 0＋r cos θ

y ＝y 0＋r sin θ，0≤θ≤2π.

3．椭圆的参数方程

若椭圆的中心不在原点，而在点M 0(x 0，y 0)，相应的椭圆(x －x 0)2a 2＋(y －y 0)2

b 2

＝1的参数方

程为?

????

x ＝x 0＋a cos t y ＝y 0＋b sin t ，

0≤t <2π.

4．双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1的参数方程是?

????

x ＝a sec θ，y ＝b tan θ，

5．抛物线y 2＝2px 的参数方程是?

???

?

x ＝2pt 2，y ＝2pt .

专题一 参数方程化为普通方程的考查

参数方程是用第三个变量(即参数)，分别表示曲线上任一点M 的坐标x 、y 的另一种曲线方程的形式，它体现了x 、y 之间的一种关系，这种关系借助于中间桥梁——参数．有些参数具有物理或几何意义，在解决问题时，要注意参数的取值范围．

在参数方程与普通方程的互化中，要注意参数方程与普通方程应是等价的，即它们所表示的应是同一条曲线．

【例1】 (1)(2012·广东高考)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为

??? x ＝t

y ＝t (t 为参数)和???

x ＝2cos θy ＝2sin θ

(θ为参数)，则曲线C 1与C 2的交点坐标为________． (2)将参数方程???

x ＝t ＋1t

，

y ＝t 2

＋1

t

2

(t 为参数)，化为普通方程为________．

解析 (1)把C 2的方程化成普通方程为x 2＋y 2＝2，∴t 2＋(t )2＝2，∴t ＝1或t ＝－2(舍)，∴两曲线的交点坐标为(1,1)．

(2)由x ＝t ＋1t 得，x 2＝t 2＋1t 2＋2，又y ＝t 2＋1t 2，∴x 2＝y ＋2.∵t 2＋1

t

2≥2，∴y ≥2.

答案 (1)(1,1) (2)x 2

－y ＝2(y ≥2)

专题二 圆的参数方程及其应用

圆的参数方程?????

x ＝x 0＋r cos θ，

y ＝y 0＋r sin θ

(θ为参数)表示中心在(x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方

程，是近几年高考的热点和重点．

【例2】 (2013·福建五校联考)已知圆的极坐标方程为ρ2－42ρcos ????θ－π

4＋6＝0. (1)将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程；

(2)若点P (x ，y )在该圆上，求x ＋y 的最大值和最小值．

解 (1)由ρ2－42ρcos ???

?θ－π

4＋6＝0得， ρ2

－4ρcos θ－4ρsin θ＋6＝0，

即x 2＋y 2－4x －4y ＋6＝0为所求， 由圆的标准方程(x －2)2＋(y －2)2＝2， 令x －2＝2cos α，y －2＝2sin α，

得圆的参数方程为???

x ＝2＋2cos α，

y ＝2＋2sin α

(α为参数)．

(2)由上述可知，

x ＋y ＝4＋2(cos α＋sin α)＝4＋2sin ???

?α＋π

4，故x ＋y 的最大值为6，最小值为2. 专题三 关于直线参数方程的应用

1．利用直线的参数方程?

????

x ＝x 0＋t cos α，

y ＝y 0＋t sin α (α为参数)中参数的几何意义，在解决直线

与曲线交点问题时，可以方便地求出相应的距离．

2．直线的参数方程有不同的形式，可以允许参数t 没有明显的几何意义，在直线与圆锥曲线的问题中，利用参数方程有时可以简化计算．

【例3】 已知直线l 过点P (2,0)，斜率为4

3

，直线l 和抛物线y 2＝2x 相交于A 、B 两点，

设线段AB 的中点为M ，求：

(1)P 、M 两点间的距离|PM |； (2)线段AB 的长|AB |.

解 (1)∵直线l 过点P (2,0)，斜率为4

3，

设直线的倾斜角为α，tan α＝43，sin α＝45，cos α＝3

5，

∴直线l 的参数方程为?

??

x ＝2＋35

t ，

y ＝45

t (t 为参数)(*)

∵直线l 和抛物线相交，将直线的参数方程代入抛物线方程y 2＝2x 中，整理得 8t 2－15t －50＝0，Δ＝(－15)2－4×8×(－50)>0. 设这个二次方程的两个根分别为t 1、t 2，

由根与系数的关系，得t 1＋t 2＝158，t 1t 2＝－25

4

，

由M 为线段AB 的中点，根据t 的几何意义，得

|PM |＝????t 1＋t 22＝15

16.

(2)|AB |＝|t 2－t 1|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝5

8

73.

专题四 圆锥曲线的参数方程及其应用

(1)椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的一个参数方程为?

????

x ＝a cos φ，y ＝b sin φ

(φ为参数)；

(2)双曲线x 2

a 2－y 2

b

2＝1的参数方程为?????

x ＝a cos φ

，y ＝b tan φ

(φ为参数)；

(3)抛物线y 2＝2px 的参数方程为????

?

x ＝2pt 2，y ＝2pt

(t 为参数)．

【例4】 设P 是椭圆4x 2＋9y 2＝36上的一个动点，求x ＋2y 的最大值和最小值．

解 法一 令x ＋2y ＝t ，且x ，y 满足4x 2＋9y 2＝36，

故点(x ，y )是方程组?

????

4x 2＋9y 2＝36

x ＋2y ＝t 的公共解．

消去x 得，25y 2－16ty ＋4t 2－36＝0，

由Δ＝(－16t )2－4×25×(4t 2－36)≥0，即t 2≤25， 解得－5≤t ≤5，

∴x ＋2y 的最大值为5，最小值为－5.

法二 由椭圆方程4x 2＋9y 2

＝36，得x 29＋y 24

＝1，

设x ＝3cos θ，y ＝2sin θ，代入x ＋2y 得 x ＋2y ＝3cos θ＋4sin θ＝5sin(θ＋φ)，

其中，tan φ＝3

4

，φ角的终边过点(4,3)．

由于－1≤sin(θ＋φ)≤1， 所以－5≤5sin(θ＋φ)≤5.

当sin θ＝45，cos θ＝3

5时，(x ＋2y )max ＝5；

当sin θ＝－45，cos θ＝－3

5

时，(x ＋2y )min ＝－5.

∴x ＋2y 的最大值为5，最小值为－5.

专题五 极坐标、参数方程与普通方程的综合应用

纵观历年来高考试题，极坐标、参数方程与普通方程的综合试题是高考热点与重点，掌握好极坐标方程与普通方程、参数方程与普通方程的互化是解题的关键点．

【例5】 (2012·湖北高考)在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴

建立极坐标系．已知射线θ＝π

4与曲线?????

x ＝t ＋1，y ＝(t －1)

2(t 为参数)相交于A ，B 两点，则线段AB 的中点的直角坐标为________．

解析 曲线?

????

x ＝t ＋1，y ＝(t －1)2可化为y ＝(x －2)2

，射线θ＝π4

可化为y ＝x (x ＞0)，联立这两个方程得：x 2－5x ＋4＝0，点A ，B 的横坐标就是此方程的根，线段AB 的中点的直角坐标为

???

?52，52. 答案 ????

52，52

【例6】 已知直线l 的参数方程为??

?

x ＝－1＋22t y ＝22t

(t 为参数)，曲线C 的极坐标方程是

ρ＝sin θ

1－sin 2 θ

，以极点为原点，极轴为x 轴正方向建立直角坐标系，点M (－1,0)，直线l 与曲线C 交于A 、B 两点．

(1)写出直线l 的极坐标方程与曲线C 的普通方程； (2)线段MA ，MB 长度分别记为|MA |，|MB |，求|MA |·|MB |的值．

解 (1)直线l 的极坐标方程2ρcos ???

?θ＋π

4＝－1， 曲线C 普通方程y ＝x 2

.

(2)将??

?

x ＝－1＋22t y ＝22t

代入y ＝x 2得t 2－32t ＋2＝0，

|MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝2.