高等数学(上册)教案22定积分的概念与性质

高等数学(上册)教案22定积分的概念与性

质

-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

第5章 定积分及其应用

定积分的概念与性质

【教学目的】：

1. 理解曲边梯形的面积求法的思维方法；

2. 理解定积分的概念及其性质；

3. 掌握定积分的几何意义 ；

【教学重点】：

1. 定积分的概念及其性质；

【教学难点】：

1. 曲边梯形面积求法的思维方法；

【教学时数】：2学时

【教学过程】：

案例研究

引例5.1.1 曲边梯形的面积问题

所谓曲边梯形是指由连续曲线)(x f y =(设0)(≥x f )，直线a x =，b x =和

0=y (即x 轴)所围成的此类型的平面图形（如图5-1所示）．下面来求该曲边

梯形的面积．

分析 由于“矩形面积=底?高”，而曲边梯形在底边上各点处的高()f x 在区间

[,]a b 上是变动的，故它的面积不能按矩形面积公式计算.

另一方面，由于曲线()y f x =在[,]a b 上是连续变化的，所以当点x 在区间

[,]a b 上某处变化很小时，相应的()f x 也就变化不大.于是，考虑用一组平行于

y 轴的直线把曲边梯形分割成若干个小曲边梯形，当分割得较细，每个小曲边图5-1 图5-2

梯形很窄时，其高()f x 的变化就很小.这样，可以在每个小曲边梯形上作一个

与它同底、以底上某点函数值为高的小矩形，用小矩形的面积近似代替小曲边

梯形的面积，进而用所有小曲边梯形的面积之和近似代替整个曲边梯形的面积

（如图5-2所示）.显然，分割越细，近似程度越高，当无限细分时，所有小矩

形面积之和的极限就是曲边梯形面积的精确值.

根据以上分析，可按以下四步计算曲边梯形的面积A .

（1）分割 在闭区间],[b a 上任意插入1n -个分点，

01211......i i n n a x x x x x x x b --=<<<<<<<<=，

将闭区间[,]a b 分成n 个小区间

],[,],,[,],[],,[112110n n i i x x x x x x x x -- ，

它们的长度依次为

11022111,,...,,...,i i i n n n x x x x x x x x x x x x --?=-?=-?=-?=-，

过每一个分点作平行于y 轴的直线，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形；

（2）取近似 在每个小区间1[,]i i x x -(1,2,...,)i n =上任取一点

1()i i i i x x ξξ-≤≤，以小区间1i i i x x x -?=-为底，()i f ξ为高作小矩形，用小矩形的

面积()i i f x ξ?近似代替相应的小曲边梯形的面积A ?，即

()(1,2,...,)i i A f x i n ξ?=?=，

（3）求和 把这样得到的n 个小矩形的面积加起来，得和式∑=?n

i i i x f 1)(ξ，

将其作为曲边梯形面积的近似值，即

11()n n

i i i i i A A f x ξ===?≈?∑∑；

（4）取极限 当分点个数n 无限增加，且小区间长度的最大值λ

（max{}i x λ=?）趋于零时，上述和式的极限值就是曲边梯形面积的精确值，

即

01lim ()n

i i i A f x λξ→==?∑. 5.1.1 定积分的定义

定义1 设函数()y f x =在闭区间[,]a b 上有界，在闭区间[,]a b 中任意插

入1n -个分点

01211......i i n n a x x x x x x x b --=<<<<<<<<=，

将区间[,]a b 分成n 个小区间

011211[,],[,],...,[,],...,[,]i i n n x x x x x x x x --，

各小区间的长度依次为

11022111,,...,,...,i i i n n n x x x x x x x x x x x x --?=-?=-?=-?=-，

在每个小区间上任取一点)(1i i i i x x ≤≤-ξξ，作函数值)(i f ξ与小区间长度i x ?的

乘积),,2,1()(n i x f i i =?ξ，并作和∑=?n

i i i x f 1)(ξ，记

}max {i x ?=λ， ),,2,1(n i =，

当n 无限增大且0→λ时，若上述和式的极限存在，则称函数()y f x =在区

间[,]a b 上可积，并将此极限值称为函数()y f x =在[,]a b 上的定积分，记为

?b

a dx x f )(. 即 ∑?=→?=n i i i

b a x f dx x f 1

0)(lim )(ξλ， 其中x 称为积分变量，()f x 称为被积函数，()f x dx 称为被积表达式， a 称为

积分下限，b 称为积分上限，[,]a b 称为积分区间，符号?b

a dx x f )(读作函数()f x 从a 到

b 的定积分.

按定积分的定义，两个引例的结果可以分别表示为：

?=b a dx x f A )(，?=b

a dt t P Q )(， 关于定积分的定义作以下几点说明：

（1）和式的极限∑=→?1

0)(lim i i i x f ξλ存在（即函数()f x 在[,]a b 上可积）是指不论对区间[,]a b 怎样分法，也不论对点1()i i i i x x ξξ-≤≤怎样取法，极限都存在.

（2）和式的极限仅与被积函数()f x 的表达式及积分区间[,]a b 有关，与积

分变量使用什么字母无关，即

???==b

a b a b

a du u f dt t f dx x f )()()(. （3）定义中要求积分限a

b <，我们补充如下规定：

当a b =时，()0b

a f x dx =? 当a

b >时，()()b a

a b f x dx f x dx =-?? （4）函数可积的两个充分条件：

若],[)(b a x f 在上连续，则],[)(b a x f 在上可积。

若],[)(b a x f 在上有界，且只有有限个第一类间断点，则],[)(b a x f 在上可

积。

定积分的几何意义 当0)(≥x f 时，由前述可知，定积分?b

a dx x f )(在几何上表示由曲线)(x f y =，两直线

b x a x ==,与x 轴所围成的曲边梯形的面积；

如果0)(≤x f ，这时曲边梯形位于x 轴下方，定积分?b

a dx x f )(在几何上表示上述曲边梯形面积的负值，如图5－3；

当)(x f 在[,]a b 上有正有负时，定积分?b

a dx x f )(在几何上表示x 轴，曲线)(x f y =及两直线

b x a x ==,所围成的各个曲边梯形面积的代数和（见图5－

4），即 123()b

a f x dx A A A =-+-?. 5.1.2 定积分的性质

以下性质中函数均为可积函数.

性质1 函数和（差）的定积分等于它们定积分的和（差）,

即 ???±=±b

a b a b a dx x g dx x f dx x g x f )()()](([）

. 性质1可推广到有限多个函数代数和的情形. 性质2 被积函数的常数因子可以提到定积分的符号外面，

即??=b

a b a dx x f k dx x kf )()(，（k 为常数）. 性质3 如果在区间[,]a b 上()f x C ≡，则

)()(a b C Cdx dx x f b

a b a -==??， 特别地，1C =时，a b dx b

a -=?. 性质3的几何意义如图5－7所示.

性质4（积分区间的可加性） 如果积分区间[,]a b 被点c 分成两个区间

[,]a c 和[,]c b ,则在整个区间上的定积分等于这两个区间上定积分的和，即

???+=c a b

c b a dx x f dx x f dx x f )()()(. 注意：无论,,a b c 的相对位置如何，总有上述等式成立。

性质5 如果在区间[,]a b 上，()0f x ≥，则 0)(≥?b

a dx x f ()a

b <. 性质6（定积分的单调性） 如果在区间],[b a 上，有()()f x g x ≤,

则 ??≤b

a b a dx x g dx x f )()( ()a b <. 例2 比较下列各对积分值的大小

（1）0?与1

30x dx ? （2）2

0xdx π

?与20sin xdx π?

解 （1）由幂函数的性质，在[]0,1上，有

3x ≥

由定积分性质，得1

300x dx ≥??

（2）在0,2π??????内有sin x x ≥，得2200sin xdx xdx ππ

≥?? 性质7（估值定理） 如果函数()f x 在闭区间],[b a 上的最大值为M ，最小值为m ，则 )()()(a b M dx x f a b m b

a -≤≤-? ()a

b <. 性质7说明，由被积函数在积分区间上的最大值和最小值可以估计积分值的大致范围.

例3 估计定积分?--11

2dx e x 的值. 解 先求2)(x e x f -=在区间[1,1]-上的最大值和最小值，为此求得

2

2)(x xe x f --='， 令0)(='x f ，得驻点0x =，比较驻点0x =处与区间端点1x =±处的函数值：

1)0(0==e f ， e

e f 1)1(1==±-， 得最小值1m e =，最大值1M =，再根据估值定理，得 2211

2≤≤?--dx e e x . 性质8（积分中值定理） 如果函数()y f x =在闭区间[,]a b 上连续，则至少存在一点[,]a b ξ∈，使得 ))(()(a b f dx x f b

a -=?ξ )(

b a ≤≤ξ

这个公式称为积分中值公式.

【教学小节】：

通过本节的学习，理解曲边梯形面积求法的思维过程，理解定积分的概念及其几何意义，熟练掌握定积分的性质，并学会应用其解决定积分的简单问题。

【课后作业】：

无