高等数学讲义(一)
高等数学基础
高等数学基础课程的学习内容微积分学，它是创建于十七世纪的一门数学学科，创始人是英国数学家牛顿（Newton ）和德国数学家莱布尼茨（Leibniz ）。用著名学者的话来形容“微积分、或者数学分析，是人类思维的伟大成果之一。它处于自然科学与人文科学之间的地位，使它成为高等教育的一种特别有效的工具”。“微积分的创立，与其说是数学史上，不如说是人类历史上的一件大事。时至今日，它对工程技术的重要性就像望远镜之于天文学，显微镜之于生物学一样。
第1讲 函数
1.2 函数
要知道什么是函数，需要先了解几个相关的概念。 一、常量与变量 先看几个例子： 圆的面积公式
2πr S =
自由活体的下落距离
202
1gt t v s +
= 在上述讨论的问题中，g v ,,π0是常量，t s r S ,,,是变量。变量可以视为实属集合（不止一个元素）。
二、函数的定义
定义1.1 设D 是一个非空数集。如果有一个对应规则f ，使得对每一D x ∈，都能对应于唯一的一个数y ，则此对应规则f 称为定义在集合D 上的一个函数，并把数x 与对应的数y 之间的对应关系记为
)(x f y =
并称x 为该函数的自变量，y 为函数值或因变量，D 为定义域。 实数集合
},)(;{D x x f y y Z ∈==
称为函数f 的值域。
看看下面几个例子中哪些是函数：
}6,3,1{=X
f
}9,8,6,2{=Y f 是函数，且
2)1(=f ，8)3(=f ，6)6(=f
定义域}6,3,1{=D ，值域}8,6,2{=Z ，一般地Y Z ?。
}7,6,3,1{=X
}9,8,6,2{=Y f 不是函数。 }6,3,1{=X
}9,8,6,2{=Y f 是函数，且
2)1(=f ，8)3(=f ，8)6(=f
定义域}6,3,1{=D ，值域}8,2{=Z 。
}6,3,1{=X
}9,8,6,2{=Y f 不是函数。
由函数定义可以得出，函数的对应规则和定义域是确定函数的两个要素，用解析法表示的函数的对应规则就是由表达式确定的，而定义域就是使表达式有意义的所有x 轴上的点。
例1 求函数x y -=1的定义域。 解 在实数范围内要使等式有意义，有
01≥-x
即
f
f
f
1≤x
所以函数的定义域为]1,(-∞。
例2 求函数2411
x x
y -+-=
的定义域。 解 在实数范围内要使第一个等式有意义，有
01≠-x 即
1≠x
在实数范围内要使第二个等式有意义，有
042≥-x 或 42≤x
即
2≤x 或 22≤≤-x
所以函数的定义域为]2,1()1,2[Y -。
三、函数表示法
函数表示法主要有以下三种 ⒈解析法
用数学式子表示变量之间的对应关系，这种表示函数的方法称为解析法。例如
2x y =
x y sin =
?
?
?>-≤+=0,10
,1)(x x x x x f ⒉图形法
在平面直角坐标系中满足一定条件的曲线图形，也可以确定一个函数关系，这种表示函数的方法称为图形法。例如
表示一天内温度随时间变化的函数关系。
⒊列表法
在实际应用中把一系列自变量值及其相对应的函数值列成表，这种表示函数的方法称为列表法。如对数函数表、三角函数表等等。
四、函数的几种属性
⒈单调性
请看下面两个图
左边的图形表示，函数值随自变量的增加而增加，就称函数单调增加，数学上描述为：如果当任意的)
,
(
,
2
1
b
a
x
x∈且
2
1
x
x<时，恒有
)
(
)
(
2
1
x
f
x
f<
则称函数)
(x
f在区间)
,
(b
a内是单调上升的或单调增加的。
右边的图形表示，函数值随自变量的增加而减少，就称函数单调减少，数学上描述为：如果当任意的)
,
(
,
2
1
b
a
x
x∈且
2
1
x
x<时，恒有
)
(
)
(
2
1
x
f
x
f>
则称函数)
(x
f在区间)
,
(b
a内是单调下降的或单调减少的。
⒉奇偶性
请看下面两个图
左边的函数图形关于y轴对称，就称函数是偶函数，数学上描述为：如果函数)
(x
f
y=的定义域D以原点为对称，且恒满足等式)
(
)
(x
f
x
f=
-，则称)
(x
f是
偶函数。
右边的函数图形关于原点对称，就称函数是奇函数，数学上描述为：如果函数)(x f y =的定义域D 以原点为对称，且恒满足等式)()(x f x f -=-，则称)(x f 是奇函数。
例3 判断下列函数的奇偶性：
⑴x x f =)(； ⑵)1,1(11lg
)(-∈+-=x x
x
x f
解 ⑴由绝对值的性质，对任意x 有
)()(x f x x x f ==-=-
由此可知)(x f 是偶函数。
⑵由对数函数的性质，对任意)1,1(-∈x 有
1
)11lg(11lg )(1)(1lg
)(-+-=-+=-+--=-x
x x x x x x f
)(11lg x f x
x
-=+--= 由此可知)(x f 是奇函数。
判断函数的奇偶性也可以利用以下结论： 偶函数加减偶函数是偶函数 奇函数加减奇函数是奇函数 偶函数乘偶函数是偶函数 奇函数乘奇函数是偶函数 奇函数乘偶函数是奇函数
例如，x x y sin +=是奇函数，x x y cos =也是奇函数。 1.3 初等函数
要了解初等函数，首先从以下开始
一、基本初等函数
我们将以下几类函数称为基本初等函数，它们是 ⒈常数函数 R c c y ∈=
常数函数的图形如下
⒉幂函数R
x
y∈
=α
α
幂函数的图形如下
⒊指数函数
1
,0≠
>
=a
a
a
y x
指数函数的图形如下
⒋对数函数
1
,0
log≠
>
=a
a
x
y
a
对数函数的图形如下
⒌三角函数
正弦函数
x
y sin
=
余弦函数x
y cos
=
正切函数x
y tan
=
余切函数x
y cot
=
正弦、余弦、和正切函数的图形分别是
⒍反三角函数
反正弦函数x
y arcsin
=
反余弦函数x
y arccos
=
反正切函数x
y arctan
=
反正弦、反余弦、和反正切函数的图形分别是
二、函数的复合运算
在介绍函数的复合运算之前，先介绍函数的四则运算：设)(x f ，)(x g 是两个函数，定义域分别为1D ，2D ，如果21D D D I =不是空集，那么在D 上可以得到以下函数
)()(x g x f + )()(x g x f - )()(x g x f ? )(/)(x g x f
这里要注意，最后一个函数)(/)(x g x f 的定义域要在D 中去掉使0)(=x g 的点。
除了函数的四则运算外，再看下面复杂一些的运算，如函数
x y sin lg =
可以看作由函数u y lg =和x u sin =构成的，这种构成方式就是一种新的运算。一般地，由两个函数)(u f y =和)(x g u =构成的对应规则))((x g f y =称为f 和g 这两个函数的复合函数。
三、初等函数
由基本初等函数经过有限次的四则运算或复合运算而成，能用一个解析式表示的函数称为初等函数。
函数
?
?
?>+≤=0,10
,sin )(x x x x x f 不是初等函数，这类函数称为分段函数。
第2
讲 极限与连续
微积分的主要研究对象是函数，它所使用的一个重要工具就是我们要在下面介绍的——极限。极限的严格描述奠定了微积分的理论基础，而微积分学几乎所有的重要概念都以不同的极限形式来表示。
2.2 函数的极限
一、极限的概念
首先让我们看看反正切函数x y arctan =的图形
当自变量x 向∞+变化时，函数值在向2
π
靠近。而且x 向∞+充分接近时，函数值可以和
2
π
任意靠近。我们将x 向∞+充分接近说成x 趋于∞+，记为+∞→x 。一般地，当自变量x 趋于∞+时，如果函数)(x f 的函数值和某个常数A 任意靠近，我们就称函数)(x f 当x 趋于∞+时以A 为极限（或称当x 趋于∞+时，)(x f 的极限是A ）。记为
A x f x =+∞
→)(lim 或 )()(+∞→→x A x f
如我们在开始看到的情形就是
2
π
arctan lim =
+∞
→x x 类似可以得到B x f x =-∞
→)(lim ，仍以反正切函数为例，有
2
π
arctan lim -=-∞→x x 再一次观察反正切函数x y arctan =的图形，当自变量x 向点0=x 变化时，函数值在向0靠近。而且x 向点0=x 充分接近时，函数值可以和0任意靠近。我们将x 向点0=x 充分接近说成x 趋于0，记为0→x 。一般地，当自变量x 趋于0x 时，如果函数)(x f 的函数值和某个常数A 任意靠近，我们就称函数)(x f 当x 趋于0x 时以A 为极限（或称当x 趋于0x 时，)(x f 的极限是A ）。记为
A
x
f
x
x
=
→
)
(
lim
或)
(
)
(
x
x
A
x
f→
→
这样我们就得到
arctan
lim
=
→
x
x
极限A
x
f
x
x
=
→
)
(
lim
的直观意义可以用下面的图形说明
函数在一点的极限可能存在，也可能不存在，如函数
x
y
1
sin
=当0
→
x时的极限就不存在，我们也可以从图形中看出
再看下面这个图形
可以看出，这个函数当1
→
x时没有极限，但当x从大于1的方向趋于1时，函数值与
5.2任意接近。一般地，当自变量x从大于
x的方向趋于
x时，如果函数)
(x
f的函数值和某个常数A任意靠近，就称A为)
(x
f在点
x的右极限，记为
A
x
f
x
x
=
+
→
)
(
lim
类似可以给出)
(x
f在点
x的左极限，记为B
x
f
x
x
=
-
→
)
(
lim
。如此一来我们就有了以下结论)
(
lim
x
f
x
x→
存在的充分必要条件是)
(
lim
x
f
x
x+
→
和)
(
lim
x
f
x
x-
→
都存在，且
)(lim )(lim 0
x f x f x x x x +-→→=
二、极限的运算法则
为了方便地计算函数的极限，我们不加证明地给出极限的运算法则： 若)(lim x f ，)(lim x g 存在，则有
)(lim )(lim )]()(lim[x g x f x g x f ±=± )(lim )(lim )]()(lim[x g x f x g x f ?=? c x f c x cf )(lim )](lim[=为常数 )
(lim )
(lim ])()(lim[
x g x f x g x f = （假定0)(lim ≠x g ） 例1 求6
2
3lim 222-++-→x x x x x 。
解 观察发现本题不能直接应用极限的四则运算法则，但对表达式经适当整理后就可以应用极限的四则运算法则，
)
3)(2()1)(2(lim 623lim 2222+---=-++-→→x x x x x x x x x x 5
1)3(lim )1(lim 31lim 2
2
2=+-=+-=→→→x x x x x x x
例2 求5
23
2lim 22-+-++∞→x x x x x 。
解 观察发现本题不能直接应用极限的四则运算法则，但对表达式经适当整理后就可以应用极限的四则运算法则，
2
2
225
12321lim 5232lim x x x x x x x x x x -+-+
=-+-++∞→+∞→ 2
1002001)512(lim )3
21(lim 22=-+-+=-+-+=
+∞→+∞→x
x x x x x
只有极限的四则运算法则对解决的计算还是不够的，接下来我们大家介绍两个重要的极限。
2.3 两个重要极限
我们先给出两个重要的极限公式
1
sin
lim
=
→x
x
x
e
)
1
1(
lim=
+
∞
→
x
x x
之所以说这是两个重要极限，一方面因为它们出自于两个极限存在定理，另外在后面求基本初等函数的导数时需要用到。
在这里我们只给出第一个极限的证明，为此先不加证明地给出一个极限存在定理
夹逼定理设在
x的某领域内（可不包含点
x）有
)
(
)
(
)
(x
h
x
f
x
g≤
≤
且A
x
h
x
g
x
x
x
x
=
=
→
→
)
(
lim
)
(
lim
，则)
(
lim
x
f
x
x→
存在且
A
x
f
x
x
=
→
)
(
lim
下面就来证明第一个重要极限，先看一下下面这张图
图中的圆周是单位圆周，圆心角AOB
∠的弧度是x，则有
线段BD的长度为x
sin
AB弧的长度为x
线段AE的长度为x
tan
当
2
π
0<
x x x tan sin 0< < < 从而有 x x x x sin 1 1 sin cos < < 从而有 1 sin cos< < x x x 当+ →0 x时，1 cos lim = + → x x ，由夹逼定理得 1 sin lim = + →x x x 由于x x x tan ,,sin 都是奇函数，因此当02 π <<- x 时，有 )tan()sin(0x x x -<-<-< 即 x x x tan sin 0-<-<-< 从而有 x x x x sin 1 1sin cos - <-<- 从而有 1sin cos << x x x 当- →0x 时，11lim cos lim 0 ==--→→x x x ，由夹逼定理得 1sin lim 0 =- →x x x 最后得到 1sin lim 0=→x x x 例3 求x x x 3sin lim 0→。 解 本题不能直接应用第一个重要极限公式，需要作适当变换。注意到x 趋于0时，x 3也趋于0，有 313)3() 3sin(lim 333sin 3lim 3sin lim 000=?===→→→x x x x x x x x x 例4 求3 2) 3sin(lim 23 ---→x x x x 。 解 本题不能直接应用第一个重要极限公式，需要作适当变换。注意到x 趋于3时， )3(-x 趋于0，有 ) 1(1 )3()3sin(lim )1)(3()3sin(lim 32)3sin(lim 3323 +?--=+--=---→→→x x x x x x x x x x x x 4 1 411)1(1lim )3()3sin(lim 33=?=+?--=→→x x x x x 2.4 无穷小量与无穷大量 定义2.5 极限为零的量称为无穷小量。 定理2.1 A x f x x =→)(lim 0 的充分必要条件是 )()(x A x f α+= 其中)(x α是无穷小量。 利用极限的运算法则很容易得到无穷小量的如下性质 ⒈有限个无穷小量的代数和是无穷小量。 ⒉有限个无穷小量的乘积是无穷小量。 ⒊无穷小量与有界变量的乘积是无穷小量。 ⒋任意常数与无穷小量的乘积是无穷小量。 例5求 x x x 1 sin lim → 。 解前面我们已经知道， x 1 sin当0 → x时极限不存在，但它是有界变量，而x是无穷 小量。由无穷小量的性质3知 x x 1 sin是无穷小量，即 1 sin lim = →x x x 如果) ( ,) (x g x f都是无穷小量，而 ) ( ) ( x f x g 仍然是无穷小量，这是称) (x g是关于) (x f的高阶无穷小量，记为)) ( ( ) (x f o x g=。 如果 ) ( 1 x f 是无穷小量，那么称) (x f为无穷大量。例如 x 1 当0 → x时就是无穷大量。 2.5 函数的连续性 先看看下面的图形 以上几个函数的图形在点1 = x都存在不同形式的“断裂”，但归纳起来，这些情况属于要么) (x f在1 = x的极限不存在，要么) (x f在1 = x的极限不等于在该点的函数值。 定义2.6设函数) (x f在 x x=的一个邻域内有定义，且等式) ( ) ( lim x f x f x x = → 成立，则称) (x f在点 x处连续， x称为函数) (x f的连续点。若 x不是) (x f的连续点，则 x称为函数) (x f的间断点。 例6 判断设函数 ?? ?≤>=0 ,0 ,e )(x x x x f x 在点0=x 处是否连续。 解 因为在点0=x 处有 0)(lim 0=- →x f x 1)(lim 0=+ →x f x 可知)(lim 0 x f x →不存在，由定义2.6可知)(x f 在点0=x 处不连续，即0=x 是)(x f 的间断 点。 如果函数)(x f 在),(b a 区间内的每个点都连续，则称)(x f 在区间),(b a 内连续。 可以证明基本初等函数在它们的定义域内都是连续的，而函数的四则运算和复合运算仍保持函数的连续性，因此我们可以得出结论：初等函数在其定义域内是连续的。 高等数学基础 高等数学基础课程的学习内容微积分学，它是创建于十七世纪的一门数学学科，创始人是英国数学家牛顿（Newton ）和德国数学家莱布尼茨（Leibniz ）。用著名学者的话来形容“微积分、或者数学分析，是人类思维的伟大成果之一。它处于自然科学与人文科学之间的地位，使它成为高等教育的一种特别有效的工具”。“微积分的创立，与其说是数学史上，不如说是人类历史上的一件大事。时至今日，它对工程技术的重要性就像望远镜之于天文学，显微镜之于生物学一样。 第1讲 函数 1.2 函数 要知道什么是函数，需要先了解几个相关的概念。 一、常量与变量 先看几个例子： 圆的面积公式 2πr S = 自由活体的下落距离 202 1gt t v s + = 在上述讨论的问题中，g v ,,π0是常量，t s r S ,,,是变量。变量可以视为实属集合（不止一个元素）。 二、函数的定义 定义1.1 设D 是一个非空数集。如果有一个对应规则f ，使得对每一D x ∈，都能对应于唯一的一个数y ，则此对应规则f 称为定义在集合D 上的一个函数，并把数x 与对应的数y 之间的对应关系记为 )(x f y = 并称x 为该函数的自变量，y 为函数值或因变量，D 为定义域。 实数集合 },)(;{D x x f y y Z ∈== 称为函数f 的值域。 看看下面几个例子中哪些是函数： }6,3,1{=X f }9,8,6,2{=Y f 是函数，且 2)1(=f ，8)3(=f ，6)6(=f 定义域}6,3,1{=D ，值域}8,6,2{=Z ，一般地Y Z ?。 }7,6,3,1{=X }9,8,6,2{=Y f 不是函数。 }6,3,1{=X }9,8,6,2{=Y f 是函数，且 2)1(=f ，8)3(=f ，8)6(=f 定义域}6,3,1{=D ，值域}8,2{=Z 。 }6,3,1{=X }9,8,6,2{=Y f 不是函数。 由函数定义可以得出，函数的对应规则和定义域是确定函数的两个要素，用解析法表示的函数的对应规则就是由表达式确定的，而定义域就是使表达式有意义的所有x 轴上的点。 例1 求函数x y -=1的定义域。 解 在实数范围内要使等式有意义，有 01≥-x 即 f f f 定积分与微积分基本定理复习讲义[备考方向要明了] 考什么怎么考 1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念． 2.了解微积分基本定理的含义. 1.考查形式多为选择题或填空题． 2.考查简单定积分的求解． 3.考查曲边梯形面积的求解． 4.与几何概型相结合考查． 1．定积分 (1)定积分的相关概念：在∫b a f(x)d x中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)d x叫做被积式． (2)定积分的几何意义 ①当函数f(x)在区间[a，b]上恒为正时，定积分∫b a f(x)d x的几何意义是由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积(左图中阴影部分)． ②一般情况下，定积分∫b a f(x)d x的几何意义是介于x轴、曲线f(x)以及直线x＝a，x＝b之间的曲边梯形面积的代数和(右上图中阴影所 示)，其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数． (3)定积分的基本性质：①∫b a kf(x)d x＝k∫b a f(x)d x. ②∫b a[f1(x)±f2(x)]d x＝∫b a f1(x)d x±∫b a f2(x)d x. ③∫b a f(x)d x＝∫c a f(x)d x＋∫b c f(x)d x. [探究] 1.若积分变量为t，则∫b a f(x)d x与∫b a f(t)d t是否相等？ 提示：相等． 2．一个函数的导数是唯一的，反过来导函数的原函数唯一吗？ 提示：一个函数的导数是唯一的，而导函数的原函数则有无穷多个，这些原函数之间都相差一个常数，在利用微积分基本定理求定积分时，只要找到被积函数的一个原函数即可，并且一般使用不含常数的原函数，这样有利于计算． 3．定积分∫b a[f(x)－g(x)]d x(f(x)>g(x))的几何意义是什么？ 提示：由直线x＝a，x＝b和曲线y＝f(x)，y＝g(x)所围成的曲边梯形的面积． 2．微积分基本定理：如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么∫b a f(x)d x＝F(b)－F(a)，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼兹公式．为了方便，常把F(b)－F(a)记成F(x)| b a，即∫b a f(x)d x＝F(x) |b a＝F(b)－F(a)． 课前预测： 1.∫421 x d x等于( ) A．2ln 2 B．－2ln 2 C．－ln 2 D．ln 2 高等数学简明二阶微分方程讲义 作者：齐睿添 ————微分方程的理论帮助了很多工程学,物理学中实际 问题的解决 讨论0. 欧拉公式 欧拉公式在二阶线性齐次常系数方程通解的推导和其非齐次方程的自由项为三角函数时的求解过程中有重要的应用. 讨论1. 二阶常系数线性齐次微分方程 实际问题1. 如图，在水平光滑平面上有一物体在弹簧和阻尼器的牵拉下往复运动.阻力f的大小与物体运动速率成正比，阻力f的方向与速度方向相反（f=-cv）. 物体的位置随时间如何变化？ 设位置函数x=x(t) 已知: F弹=-kx,f=-cv 故由牛顿第二定律: 合力=-kx-cv=ma 即a+(c/m)v+(k/m)x=0 得到微分方程： 记 得到形如下式的方程（*） 这便是一个二阶常系数线性齐次微分方程. 其通解如下表所示: 特征方程 (上表的具体推导与证明详见教材P174-177) 可以发现其通解形式是符合物块运动的直观直觉的. 1）如果阻力很大，弹簧弹性弱，那么物块晃动两下很快就会停止. 这种情况下,列出方程的通解应是表中第一条或者第二条. 例如:取m=1kg, k=3, c=4, 一开始物块位置在+0.5m处, 给予它一个初速度-5 m/s. 我们依照数学习惯将时间(自变量)记为x, 将位置(因变量）记为y. 那么方程为: . 特征方程为，有两个不相等实根 通解为 把初值条件带入 求得 故该例的解为 图像 2)如果阻力很小,弹簧的弹性很强,那么物块将反复往返震荡,幅度随时间越来越小.这种情况下方程通解应是上表第三条. 例如: 取m=1kg,c=3,k=4,一开始物块位置在+0.5m处, 给予它一个初速度-5 m/s. 即为 带入初值条件 C_1=1/2, C_2=-17根号7/14 图像为 第一部分函数极限连续 历年试题分类统计及考点分布 本部分常见的题型 1.求分段函数的复合函数。 2.求数列极限和函数极限。 3.讨论函数连续性，并判断间断点类型。 4.确定方程在给定区间上有无实根。 一、 求分段函数的复合函数 例1 (1988, 5分) 设2 (),[()]1x f x e f x x ?==-且()0x ?≥,求()x ?及其定义 域。 解: 由2 ()x f x e =知2 () [()]1x f x e x ? ?==-,又()0x ?≥, 则()0 x x ?= ≤. 例2 (1990, 3分) 设函数 1,1 ()0,1 x f x x ?≤?=?>??,则[()]f f x =1. 练习题: (1)设 1,1, ()0,1,(),1,1, x x f x x g x e x ??求[()]f g x 和[()]g f x , 并作出这 两个函数的图形。 (2) 设 20,0,0,0, ()(), ,0,,0, x x f x g x x x x x ≤≤??==??>->??求 [()],[()],[()],[()]f f x g g x f g x g f x . 二、 求数列的极限 方法一 利用收敛数列的常用性质 一般而言,收敛数列有以下四种常用的性质。 性质1(极限的唯一性) 如果数列{}n x 收敛,那么它的极限唯一。 性质2(收敛数列的有界性)如果数列{}n x 收敛,那么数列{}n x 一定有界。 性质3(收敛数列的保号性) 如果lim n n x a →∞ =,且0a >(或0a <),那么存在 0n N + ∈,使得当0n n >时,都有0n x >(或0n x <). 性质4(数列极限的四则运算法则) 如果,, lim lim n n n n x a y b →∞ →∞ ==那么 (1)()lim n n n x y a b →∞ ±=±; (2)lim n n n x y a b →∞ ?=?; (3)当0()n y n N + ≠∈且0 b ≠时,lim n n n x a y b →∞ = . 心之所向，所向披靡 第八章 无穷级数（数学一和数学三） 引言：所谓无穷级数就是无穷多项相加，它与有限项相加有本质不同，历史上曾经对一个无穷级数问题引起争论。例如： ΛΛ+-++-+-+1)1(1111n 历史上曾有三种不同看法，得出三种不同的“和” 第一种 0)11()11()11(=+-++-+-ΛΛ 第二种 1)11()11()11(1=-------ΛΛ 第三种 设S n =+-++-+-+ΛΛ1 )1(1111 则[]S =+-+--Λ11111 ,1S S =- ,12=S 2 1= S 这种争论说明对无穷多项相加，缺乏一种正确的认识。 1) 什么是无穷多项相加？如何考虑？ 2) 无穷多项相加，是否一定有“和”？ 3) 无穷多项相加，什么情形有结合律，什么情形有交换律等性质。因此对无穷级数的基本概 念和性质需要作详细的讨论。 § 8.1 常数项级数 （甲） 内容要点 一、基本概念与性质 1. 基本概念 无穷多个数ΛΛ,,,,,321n u u u u 依次相加所得到的表达式ΛΛ+++++=∑∞ =n n n u u u u u 3211 称 为数项级数（简称级数）。 ∑===n k k n u S 1 123n u u u u ++++L （Λ,3,2,1=n ）称为级数的前n 项的部分和， {}),3,2,1(Λ=n S n 称为部分和数列。 S u S ，，u S ，S n n n n n n ==∑∑∞ =∞ =∞ →1 1 )(lim 记以且其和为是收敛的则称级数存在若 n n S ∞ →lim 若不存在，则称级数∑∞ =1 n n u 是发散的，发散级数没有和的概念。 （注：在某些特殊含义下可以考虑发散级数的和，但在基础课和考研的考试大纲中不作这种要求。） 2． 基本性质 （1） 如果 ∑∑∑∑∑∞=∞ =∞=∞ =∞=++1 1 1 1 1 )(,n n n n n n n n n n n v b u a ，bv au ，b ，a v u 且等于收敛则为常数皆收敛和 （2） 在级数中增加或减少或变更有限项则级数的收敛性不变。 （3） 收敛级数具有结合律，也即对级数的项任意加括号所得到的新级数仍收敛，而且其和不 变。发散级数不具有结合律，引言中的级数可见是发散的，所以不同加括号后得到级数的情形就不同。 （4） 级数 ∑∞ =1 n n u 收敛的必要条件是 0lim =∞ →n n u （注：引言中提到的级数 ∑∞ =+-1 1 ,) 1(n n 具有∞→n lim ()不存在1 1+-n ，因此收敛级数的必要条件不满 足， ∑∞ =1 n () 1 1+-n 发散。调和级数 ∑ ∞ =1 n n 1满足∞→n lim 但,01=n ∑∞ =1n n 1却是发散的，所以满足收敛级数的必要条件∞ →n lim 0=n u ，而 ∑ ∞ =1 n n u 收敛性尚不能确定。） 3．两类重要的级数 （1）等比级数（几何级数） ∑∞ =0 n n ar ()0≠a 当1 考研数学辅导书比较，一个比较经典的帖子，重温一下。 1.李永乐考研数学复习全书 题型很全面，内容很充实（线代和概率很不错，微积分稍逊）难度要高于真题，所谓的简单是命题的风格 很常规，没有什么剑走偏锋让人一下傻眼的题，考研真题不正是这样的吗？ 做熟练（我不知道怎么叫做透哈）120以上真不难，135以上就要看临场发挥。 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2.陈文灯考研数学复习指南 个别题其实已经很陈旧了，难度也有被夸大的嫌疑。很大一部分也是注重基础的题只是不像全书加以强调 和总结，微积分部分题型归纳很好，个别题有难度（真不多），但有助于锻炼思维。线代和概率内容显单 薄。 PS：无穷级数，积分，不等式证明，泰勒公式，中值定理等是精华，做过思路会很清晰。传说，考高分要 做指南，我想，是因为指南在你有一定基础之后，能对你的思维有一个提炼吧。 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3.蔡燧林考研数学标准全书 微积分部分例题精华，讲解很深入，给人醍醐灌顶的感觉。所谓精华就是不会边边角角都涉及到的意思， 所以还是要做点非精华的练习（比如全书？？^_^） 线代一般，概率一般，纸张一般，印刷一般。 ps ：章后练习很多，但一定要做，那个也是精华。 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 4.水木艾迪微积分通用讲义 配合水木的视频，很好的哈。把解题中的疑难提出来，然后列举例题加以解决分析。章前的知识点讲解也 很好，选题很也典型。总之，比全书微积分要好，值得一读。 PS：多元微分，一元微积分非常好。 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 5.赵达夫高等数学辅导讲义 体例不好，一堆知识点，一堆练习，一堆解答。章后练习选题还是很好的，不一定很难，但非常典型。但 PS：只靠这一本书是不够的。是不是叫不给力？ --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 6.黄庆怀高等数学辅导教材 同学们骂我书托吧，我做了这么多书，最想推荐的就是这本了。 体例好，内容全，例题典型，归纳完整，练习题保质保量。唯一稍差是讲解不够（全书和标 微积分初步 一、微积分的基本概念 1、极限 极限指无限趋近于一个固定的数值 两个常见的极限公式 0sin lim 1x x x →= *1lim 11x x x →∞??+= ??? 2、导数 当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限叫做导数。 0'lim x dy y y dx x ?→?==? 导数含义，简单来说就是y 随x 变化的变化率。 导数的几何意义是该点切线的斜率。 3、原函数和导函数 对原函数上每点都求出导数，作为新函数的函数值，这个新的函数就是导函数。 00()()'()lim lim x x y y x x y x y x x x ?→?→?+?-==?? 4、微分和积分 由原函数求导函数：微分 由导函数求原函数：积分 微分和积分互为逆运算。 例1、根据导函数的定义，推导下列函数的导函数 （1）2y x = （2） (0)n y x n =≠ （3）sin y x = 二、微分 1、基本的求导公式 （1）()'0 ()C C =为常数 （2）()1' (0)n n x nx n -=≠ （3）()'x x e e = *（4）()'ln x x a a a = （5）()1ln 'x x = *（6）()1log 'ln a x x a = （7）()sin 'cos x x = （8）()cos 'sin x x =- （9）()21tan 'cos x x = （10）()21cot 'sin x x = **（11）() arcsin 'x = **（12）()arccos 'x = **（13）()21arctan '1x x =+ **（14）()2 1arccot '1x x =-+ 2、函数四则运算的求导法则 设u =u (x )，v =v (x ) （1）()'''u v u v ±=± （2）()'''uv u v uv =+ （3）2'''u u v uv v v -??= ??? 例2、求y=tan x 的导数 3、复合函数求导 对于函数y =f (x )，可以用复合函数的观点看成y =f [g (x)]，即y=f (u )，u =g (x ) 'dy dy du y dx du dx == 即：'''u x y y u = 例3、求28(12)y x =+的导数 例4、求ln tan y x =的导数 三、积分 1、基本的不定积分公式 下列各式中C 为积分常数 （1） ()kdx kx C k =+?为常数 （2）1 (1)1n n x x dx C n n +=+≠-+? 第三章 一元函数积分学 §3．1 不定积分 甲 内容要点 一．基本概念与性质 1．原函数与不定积分的概念 设函数()x f 和()x F 在区间I 上有定义，若()()x f x F ='在区间I 上成立，则称()x F 为()x f 在区间 I 上的原函数，()x f 在区间I 中的全体原函数称为()x f 在区间I 的不定积分，记以()?dx x f 。其中?称 为积分号，x 称为积分变量，()x f 称为被积函数，()dx x f 称为被积表达式。 2．不定积分的性质 设 ()()C x F dx x f +=?，其中()x F 为()x f 的一个原函数，C 为任意常数。 则（1）()()C x F dx x F +='? 或 ()()? +=C x F x dF （2） ()[]()x f dx x f ='? 或 ()[]()dx x f dx x f d =? （3）()()? ? =dx x f k dx x kf （4） ()()[]()()???±=±dx x g dx x f dx x g x f 3．原函数的存在性 设()x f 在区间I 上连续，则()x f 在区间I 上原函数一定存在，但初等函数的原函数不一定是初等函数。例如() ?dx x 2sin ，() ?dx x 2 cos ， ?dx x x sin ，?dx x x cos ，?x dx ln ，dx e x ?-2 等。被积函数有原函数， 但不能用初等函数表示，故这些不定积分均称为积不出来。 二．基本积分公式 1．C x dx x ++= ?+1 1 ααα ()，实常数1-≠α 2． ?+=C x dx x ln 1 3．?+=C a a dx a x x ln 1 ()1,0≠>a a C e dx e x x +=? 4．? +=C x xdx sin cos 5．? +-=C x xdx cos sin 6．C x dx x xdx +== ??tan cos 1 sec 22 7．C x dx x xdx +-==??cot sin 1csc 2 2 8．C x xdx x +=? sec sec tan 9．C x xdx x +-=? csc csc cot 10．C x xdx +-=? cos ln tan 11．C x xdx +=? sin ln cot 12．C x x xdx ++=? tan sec ln sec 13．C x x xdx +-=? cot csc ln csc 14． ? +=-C a x x a dx arcsin 2 2 ()0>a 15． C a x a x a dx +=+?arctan 122 ()0>a 16． C x a x a a x a dx +-+=-?ln 2122 ()0>a 17． C a x x a x dx +±+=±? 222 2ln () 0>a 第八章 无穷级数 常数项级数 一、基本概念与性质 1. 基本概念 无穷多个数Λ Λ,,,,,321n u u u u 依次相加所得到的表达式 ΛΛ+++++=∑∞ =n n n u u u u u 3211 称为数项级数（简称级数）。 ∑===n k k n u S 1 123n u u u u ++++L （Λ,3,2,1=n ）称为级数的前n 项的部分和， {}),3,2,1(Λ=n S n 称为部分和数列。 S u S ，，u S ，S n n n n n n ==∑∑∞ =∞ =∞ →1 1 )(lim 记以且其和为是收敛的则称级数存在若 n n S ∞ →lim 若不存在，则称级数∑∞ =1 n n u 是发散的，发散级数没有和的概念。 （注：在某些特殊含义下可以考虑发散级数的和，但在基础课和考研的考试大纲中不作这种要求。） 2． 基本性质 （1） 如果 ∑∑∑∑∑∞=∞ =∞=∞ =∞=++1 1 1 1 1 )(,n n n n n n n n n n n v b u a ，bv au ，b ，a v u 且等于收敛则为常数皆收敛和 （2） 在级数中增加或减少或变更有限项则级数的收敛性不变。 （3） 收敛级数具有结合律，也即对级数的项任意加括号所得到的新级数仍收敛， 而且其和不变。发散级数不具有结合律，引言中的级数可见是发散的，所以不同加括号后得到级数的情形就不同。 （4） 级数∑∞ =1n n u 收敛的必要条件是0lim =∞ →n n u （注：引言中提到的级数∑∞ =+-1 1,)1(n n 具有∞ →n lim ()不存在1 1+-n ，因此收敛级数的必要条 件不满足，∑ ∞ =1 n () 1 1+-n 发散。调和级数∑ ∞ =1 n n 1满足∞→n lim 但,01=n ∑∞ =1n n 1却是发散 的，所以满足收敛级数的必要条件∞ →n lim 0=n u ，而∑∞ =1 n n u 收敛性尚不能确定。） 3．两类重要的级数 （1）等比级数（几何级数） ∑∞ =0 n n ar ()0≠a 第一讲 极限与连续 主要内容概括（略） 重点题型讲解 一、极限问题 类型一：连加或连乘的求极限问题 1．求下列极限： （1）???? ? ?+-++?+?∞→)12)(12(1 531311lim n n n Λ； （2）1 1 lim 332+-=∞→k k n k n π； （3）∑=∞ →+n k n n k k 1]) 1(1 [ lim ； 2．求下列极限： （1）???? ??++++++∞→n n n n n 22241 2411 41lim Λ； 3．求下列极限： （1）??? ? ??++++++∞→2222221 211 1lim n n n n n Λ； （2）n n n n !lim ∞ →； （3）∑ =∞ →++ n i n n i n 1 2 11 lim 。 类型二：利用重要极限求极限的问题 1．求下列极限： （1）)0(2 cos 2cos 2cos lim 2≠∞→x x x x n n Λ； （2）n n n n n n 1sin )1(lim 1+∞→+； 2．求下列极限： （1）( ) x x x cos 11 20 sin 1lim -→+； （3）) 21ln(103 sin 1tan 1lim x x x x x +→?? ? ??++； （4）2 1cos lim x x x ?? ? ?? ∞ →； 类型三：利用等价无穷小和麦克劳林公式求极限的问题 1．求下列极限： （1）) cos 1(sin 1tan 1lim 0x x x x x -+-+→； （2）)cos 1(lim tan 0x x e e x x x --→； （3）]1)3cos 2[(1lim 30 -+→x x x x ； （4）)tan 1 1(lim 220x x x -→； 第一部分函数极限连续 函数、极限、 连续 函数极限连续 函数概念函数的四种反函数与复初等函数数列极限函数极限连续概念间断点分类初等函数的连闭区间上连续特征合函数续性函数的性质 函数的有界数列极限的函数极限的第一类间断有界性与最大性定义定义点值最小值定理函数的单调收敛数列的函数极限的可去间断点零点定理性性质性质 函数的奇偶极限的唯一函数极限的跳跃间断点 性性唯一性 函数的周期收敛数列的函数极限的第二类间断 性有界性局部有界性点 收敛数列的函数极限的 保号性局部保号性 数列极限四函数极限与数 则运算法则列极限的关系 极限存在准函数极限四 则则运算法则 夹逼准则两个重要极 限 单调有界准无穷小的比 则较 高阶无穷小 低阶无穷小 同阶无穷小 等价无穷小 历年试题分类统计及考点分布 考点复合函数极限四则两个重要单调有界无穷小的合计 运算法则极限准则阶 年份 1987 1988 5 3 8 1989 1990 3 3 6 1991 5 3 8 1992 3 3 1993 5 3 8 1994 3 3 1995 3 3 1996 3 6 3 12 1997 3 3 1998 1999 2000 5 5 2001 2002 2003 4 4 8 2004 4 4 2005 2006 12 3 15 2007 4 4 2008 4 4 2009 4 4 2010 4 4 2011 10 10 20 合计8 18 37 32 27 本部分常见的题型 1.求分段函数的复合函数。 2.求数列极限和函数极限。 3.讨论函数连续性，并判断间断点类型。 4.确定方程在给定区间上有无实根。 课程配套讲义说明1、配套课程名称2013年考研数学高数中值定理及定积分公开课（汤家凤） 2、课程内容 此课程为2013年考研数学高数部分的公开课，主要讲授定积分部分。 3、主讲师资 汤家凤——主讲高等数学、线性代数。 著名考研辅导专家，南京大学博士，南京工业大学教授，江苏省大学生数学竞赛优秀指导教师。凭借多年从事考研阅卷工作的经验，通过自己的归纳总结，在课堂上为学生列举大量以往考过的经典例子。深入浅出，融会贯通，让学生真正掌握正确的解题方法。 4、讲义： 6页（电子版） 文都网校 2011年5月27日 公开课二：定积分理论 一、实际应用背景 1、运动问题—设物体运动速度为)(t v v =，求],[b a t ∈上物体走过的路程。 （1）取b t t t a n =<<<= 10，],[],[],[],[12110n n t t t t t t b a -???= ， 其中)1(1n i t t t i i i ≤≤-=?-； （2）任取)1](,[1n i x x i i i ≤≤∈-ξ，i n i i t f S ?≈ ∑=)(1ξ； （3）取}{max 1i n i x ?=≤≤λ，则i n i i x f S ?=∑=→)(lim 1 ξλ 2、曲边梯形的面积—设曲线)(0)(:b x a x f y L ≤≤≥=，由b x a x L ==,,及x 轴围成的区域称为曲边梯形，求其面积。 （1）取b x x x a n =<<<= 10，],[],[],[],[12110n n x x x x x x b a -???= ， 其中)1(1n i x x x i i i ≤≤-=?-； （2）任取)1](,[1n i x x i i i ≤≤∈-ξ，i n i i x f A ?≈ ∑=)(1ξ； （3）取}{max 1i n i x ?=≤≤λ，则i n i i x f A ?=∑=→)(lim 1 ξλ。 二、定积分理论 （一）定积分的定义—设)(x f 为],[b a 上的有界函数， （1）取b x x x a n =<<<= 10，],[],[],[],[12110n n x x x x x x b a -???= ， 其中)1(1n i x x x i i i ≤≤-=?-； （2）任取)1](,[1n i x x i i i ≤≤∈-ξ，作 i n i i x f ?∑=)(1 ξ； （3）取}{m a x 1i n i x ?=≤≤λ， 若i n i i x f ?∑=→)(lim 1 ξλ存在，称)(x f 在],[b a 上可积，极限称为) (x f 在],[b a 上的定积分，记 ? b a dx x f )(，即?b a dx x f )(i n i i x f ?=∑=→)(lim 1 ξλ。 第一章 函数、极限、连续 §1.1 函数 一、有关四种性质(奇偶性、单调性、周期性、有界性) 1. 0 () (0)()2() ()a a a f x a f x dx f x dx f x ->?? =???? ?当为奇函数当为偶函数 口诀(1)：奇偶函数常遇到；对称性质不可忘。 2. 在(a,b )内，若()0f x '>，则()f x 单调增加 若()0f x '<，则()f x 单调减少 口诀(2)：单调增加与减少；先算导数正与负 例1 求1 51 [()ln(.x x I x x e e x dx --= +-+? 解 1()x x f x e e -=-是奇函数， ∵112()(),()ln(x x f x e e f x f x x --=-=-=+是奇 函数， ∵ 222()ln(ln f x x -=-+ = 2ln1ln(()x f x =-=- 因此()ln(x x x e e x --是奇函数。 于是1 1 6 61 2027 I x dx x dx -= +== ? ?。 例2 设()()F x f x '=，则下列结论正确的是 (A)若()f x 为奇函数，则()F x 为偶函数。 (B)若()f x 为偶函数，则()F x 为奇函数。 (C)若()f x 为周期函数，则()F x 为周期函数。 (D)若()f x 为单调函数，则()F x 为单调函数。 解 (B)不成立，反例3 2 (),()13 x f x x F x ==+ (C)不成立，反例()cos 1,()sin f x x F x x x =+=+ (D)不成立，反例2 ()2,()(,)f x x F x x ==-∞+∞在内 (A)成立。 证明 0 ()(0)(),x F x F f t dt f =+ ? 为奇函数， 《微积分》讲义 第一章极限 一、函数极限的概念：f＝A 要点：⑴x 为变量；⑵A 为一常量。 二、函数极限存在的充分必要条件： f＝A f＝A，f＝A 例：判定是否存在？ 三、极限的四则运算法则 ⑴＝f±g ⑵＝f·g ⑶＝……g≠0 ⑷k·f＝k·f 四、例： ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ 五、两个重要极限 ⑴＝1 ＝1 ⑵＝e ＝e ……… 型 理论依据： ⑴两边夹法则：若f≤g≤h，且limf＝limh＝A， 则：limg＝A ⑵单调有界数列必有极限。 例题： ⑴＝ ⑵＝ ⑶＝ ⑷＝ ⑸＝ 六、无穷小量及其比较 1、无穷小量定义：在某个变化过程中趋向于零的变量。 2、无穷大量定义：在某个变化过程中绝对值无限增大的变量。 3、高阶无穷小，低阶无穷小，同阶无穷小，等价无穷小。 4、定理：f＝A f＝A＋a （a＝0） 七、函数的连续性 1、定义：函数y＝f在点处连续……在点处给自变量x一改变量 x： ⑴x0时，y0。即：y＝0 ⑵f＝f ⑶左连续：f＝f右连续：f＝f 2、函数y＝f在区间上连续。 3、连续函数的性质： ⑴若函数f和g都有在点处连续，则：f±g、f·g、 （g()≠0）在点处连续。 ⑵若函数u＝j在点处连续，而函数y＝f在点＝j()处连续， 则复合函数f(j(x)) 在点处连续。 例：＝ ＝ ＝ 4、函数的间断点： ⑴可去间断点：f＝A，但f不存在。 ⑵跳跃间断点：f＝A ，f＝B，但A≠B。 ⑶无穷间断点：函数在此区间上没有定义。 5、闭区间上连续函数的性质：若函数f在闭区间上连续，则： ⑴f在闭区间上必有最大值和最小值。 ⑵若f与f异号，则方程f＝0 在内至少有 一根。 例：证明方程式－4＋1＝0在区间内至少有一个根。 第二章一元函数微分学 一、导数 1、函数y＝f在点处导数的定义：x y＝f－f ＝A f'＝A ……y'，， 。 2、函数y＝f在区间上可导的定义：f'，y'，，。 3、基本初等函数的导数公式： ⑴＝0 ⑵＝n· ⑶＝，＝ ⑷＝·lnɑ，＝ ⑸＝cosx，＝－sinx ＝x，＝－ 接下来我们就开始学习高等数学了，也许在学习的过程中我们会感到枯燥无味，但是我相信只要我们努力，我们一定能达到成功的彼岸。 常量与变量 变量的定义 我们在观察某一现象的过程时，常常会遇到各种不同的量，其中有的量在过程中不起变化，我们把其称之为常量；有的量在过程中是变化的，也就是可以取不同的数值，我们则把其称之为变量。 注：在过程中还有一种量，它虽然是变化的，但是它的变化相对于所研究的对象是极其微小的，我们则把它看作常量。 变量的表示 如果变量的变化是连续的，则常用区间来表示其变化范围。 在数轴上来说，区间是指介于某两点之间的线段上点的全体。 以上我们所述的都是有限区间，除此之外，还有无限区间： [a，+∞)：表示不小于a的实数的全体，也可记为：a≤x＜+∞； (-∞，b)：表示小于b的实数的全体，也可记为：-∞＜x＜b； (-∞，+∞)：表示全体实数，也可记为：-∞＜x＜+∞ 注：其中-∞和+∞，分别读作"负无穷大"和"正无穷大",它们不是数,仅仅是记号。邻域 设α与δ是两个实数，且δ＞0.满足不等式│x-α│＜δ的实数x的全体称为点α的δ邻域，点α称为此邻域的中心，δ称为此邻域的半径。 函数 函数的定义 如果当变量x在其变化范围内任意取定一个数值时，量y按照一定的法则总有确定的数值与它对应，则称y是x的函数。变量x的变化范围叫做这个函数的定义域。通常x 叫做自变量，y叫做因变量。 注：为了表明y是x的函数，我们用记号y=f(x)、y=F(x)等等来表示.这里的字母"f"、"F"表示y与x之间的对应法则即函数关系,它们是可以任意采用不同的字母来表示的. 注：如果自变量在定义域内任取一个确定的值时，函数只有一个确定的值和它对应，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数。这里我们只讨论单值函数。 高等数学讲义 目录 第一章函数、极限、连续 (1) 第二章一元函数微分学 (24) 第三章一元函数积分学 (49) 第四章常微分方程 (70) 第五章向量代数与空间解析几何 (82) 第六章多元函数微分学 (92) 第七章多元函数积分学 (107) 第八章无穷级数（数一和数三） (129) 第一章 函数、极限、连续 §1.1 函数 (甲) 内容要点 一、函数的概念 1．函数的定义 2．分段函数 3．反函数 4．隐函数 二、基本初等函数的概念、性质和图象 三、复合函数与初等函数 四、考研数学中常出现的非初等函数 1．用极限表示的函数 (1) )(lim x f y n n ∞→= (2) ),(lim x t f y x t →= 2．用变上、下限积分表示的函数 (1) ?= x a dt t f y )( 其中)(t f 连续，则)(x f dx dy = (2) ?= )()(21)(x x dt t f y ?? 其中)(),(21x x ??可导，)(t f 连续， 则2211[()]()[()]()dy f x x f x x dx ????''=- 五、函数的几种性质 1． 有界性：设函数)(x f y =在X 内有定义，若存在正数M ，使X x ∈都有M x f ≤)(，则称)(x f 在X 上是有界的。 2． 奇偶性：设区间X 关于原点对称，若对X x ∈，都有)()(x f x f -=-，则称)(x f 在X 上是奇函数。 若对X x ∈，都有()()f x f x -=，则称)(x f 在X 上是偶函数，奇函数的图象关于原点对称；偶函数图象关于y 轴对称。 3． 单调性：设)(x f 在X 上有定义，若对任意X x X x ∈∈21,，21x x <都有)()(21x f x f < )]()([21x f x f >则称)(x f 在X 上是单调增加的[单调减少的]；若对任意1x X ∈，2,x X ∈12x x <都有1212()()[()()]f x f x f x f x ≤≥，则称)(x f 在X 上是单调不减[单调不增] （注意：有些书上把这里单调增加称为严格单调增加；把这里单调不减称为单调增加。） 第3讲导数与微分 高等数学基础课程的主要研究对象是函数，函数是变量之间的对应关系，怎样研究函数的变化是这一讲的主要问题。 3.1 导数的概念 一、函数的变化率 对于函数) (x f y=，我们要研究y怎样随x变化，进一步我们还要研究变化的速率，可以先看看下面这个图 我们可以看出，对于相同的自变量的改变量x ?，所对应的函数改变量y ?是不同的。 x y ? ?可以表示变化的速率，但这是一个平均速率，怎样考虑函数) (x f y=在一点 x的变化率呢？ 二、导数的概念 根据前面的介绍，我们给出下面的定义。 定义3.1设函数) (x f y=在点 x及其某个邻域U有定义，对应于自变量x在 x处的改变量x ?，函数相应的改变量为) ( ) ( x f x x f y- ? + = ?，如果当0 → ?x时极限 x y x? ? → ?0 lim 存在，则此极限值称为函数) (x f y=在点 x处的导数，或在点 x处函数) (x f关于自变量x的变化率，记作 ) ( x y'，或) ( x f' 这时，称函数) (x f y=在点 x处是可导的。 根据导数定义，我们来求一些基本初等函数的导数。 例1根据导数定义求c y=在点x处的导数。 解根据定义求导数通常分三步： （Ⅰ）求)()(00x f x x f y -?+=?： 0=-=?c c y （Ⅱ）求x y ??： 00=?=??x x y （Ⅲ）求x y x ??→?0lim ： 00lim lim 00==??→?→?x x x y 因此得出0)(='x y 。 如果函数)(x f 在其定义域每一点都可导，那么我们就得到了一个新的函数)(x f '，称 )(x f '为)(x f 的导函数。)(x f '在点0x x =的函数值)(0x f '就是)(x f 在点0x x =的导数。 例2 根据导数定义求2 )(x x f =在点x 处的导数。 解 按照由定义求导数的步骤： 22)()()()(x x x x f x x f y -?+=-?+=? 2 222x x x x x -?+?+= x x x 22?+?= x x x x x x x y ?+=??+?=??222 x x x x y x x 2)2(lim lim 00=?+=??→?→? 因此得出x x f 2)(='。 例3 根据导数定义求n x x f =)(（n 为自然数）在点x 处的导数。 解 按照由定义求导数的步骤： n n x x x x f x x f y )()()()(-?+=-?+=? n n n n n x x x x n n x nx x -?++?-+ ?+=-- 2212 )1( x x x n n x nx n n n ?++?-+?=-- 2212)1( 01高等数学讲义(汪诚义)第一章24页 新东方在线高等数学讲义 主讲：汪诚义 欢迎使用新东方在线电子教材 目录 第一章函数、极限、连续 (1) 第二章一元函数微分学 (24) 第三章一元函数积分学 (49) 第四章常微分方程 (70) 第五章向量代数与空间解析几何 (82) 第六章多元函数微分学 (92) 第七章多元函数积分学 (107) 第八章无穷级数（数一和数三） (129) 第一章函数、极限、连续 §1.1 函数 (甲) 内容要点 一、函数的概念 1．函数的定义2．分段函数3．反函数4．隐函数 二、基本初等函数的概念、性质和图象 三、复合函数与初等函数 四、考研数学中常出现的非初等函数 1．用极限表示的函数 (1) ?Skip Record If...? (2) ?Skip Record If...? 2．用变上、下限积分表示的函数 (1) ?Skip Record If...?其中?Skip Record If...?连续，则?Skip Record If...? (2) ?Skip Record If...?其中?Skip Record If...?可导，?Skip Record If...?连续， 则?Skip Record If...? 五、函数的几种性质 1．有界性：设函数?Skip Record If...?在X内有定义，若存在正数M，使?Skip Record If...?都有?Skip Record If...?，则称?Skip Record If...?在X上是有界的。 2．奇偶性：设区间X关于原点对称，若对?Skip Record If...?，都有?Skip Record If...?，则称?Skip Record If...?在X上是奇函数。 若对?Skip Record If...?，都有?Skip Record If...?，则称?Skip Record If...?在X上是偶函数，奇函数的图象关于原点对称；偶函数图象关于?Skip Record If...?轴对称。3．单调性：设?Skip Record If...?在X上有定义，若对任意?Skip Record If...?，?Skip Record If...?都有?Skip Record If...? ?Skip Record If...?则称?Skip Record If...?在X上是单调增加的[单调减少的]；若对任意?Skip Record If...?，?Skip Record If...??Skip Record If...?都有?Skip Record If...?，则称?Skip Record If...?在X上是单调不减[单调不增] （注意：有些书上把这里单调增加称为严格单调增加；把这里单调不减称为单调增加。） 4．周期性：设?Skip Record If...?在X上有定义，如果存在常数?Skip Record If...?，使得任意?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，都有?Skip Record If...?，则称?Skip Record If...?是周期函数，称T为?Skip Record If...?的周期。 由此可见，周期函数有无穷多个周期，一般我们把其中最小正周期称为周期。(乙) 典型例题 一、定义域与值域 例1 设?Skip Record If...?的定义域为?Skip Record If...?（?Skip Record If...?）求?Skip Record If...?的定义域 解：要求?Skip Record If...?，则?Skip Record If...?，高等数学讲义(一)
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