高等数学讲义(一)
高等数学基础
高等数学基础课程得学习内容微积分学,它就是创建于十七世纪得一门数学学科,创始人就是英国数学家牛顿(Newton)与德国数学家莱布尼茨(Leibniz)。用著名学者得话来形容“微积分、或者数学分析,就是人类思维得伟大成果之一。它处于自然科学与人文科学之间得地位,使它成为高等教育得一种特别有效得工具”。“微积分得创立,与其说就是数学史上,不如说就是人类历史上得一件大事。时至今日,它对工程技术得重要性就像望远镜之于天文学,显微镜之于生物学一样。
第1讲 函数
1、2 函数
要知道什么就是函数,需要先了解几个相关得概念。 一、常量与变量 先瞧几个例子: 圆得面积公式
2πr S =
自由活体得下落距离
202
1gt t v s +
= 在上述讨论得问题中,g v ,,π0就是常量,t s r S ,,,就是变量。变量可以视为实属集合(不
止一个元素)。
二、函数得定义
定义1、1 设D 就是一个非空数集。如果有一个对应规则f ,使得对每一D x ∈,都能对应于唯一得一个数y ,则此对应规则f 称为定义在集合D 上得一个函数,并把数x 与对应得数y 之间得对应关系记为
)(x f y =
并称x 为该函数得自变量,y 为函数值或因变量,D 为定义域。
实数集合
},)(;{D x x f y y Z ∈==
称为函数f 得值域。
瞧瞧下面几个例子中哪些就是函数: }6,3,1{=X }9,8,6,2{=Y
f 就是函数,且
2)1(=f ,8)3(=f ,6)6(=f
定义域}6,3,1{=D ,值域}8,6,2{=Z ,一般地Y Z ?。
}7,6,3,1{=X
}9,8,6,2{=Y f 不就是函数。 }6,3,1{=X
}9,8,6,2{=Y f 就是函数,且
2)1(=f ,8)3(=f ,8)6(=f
定义域}6,3,1{=D ,值域}8,2{=Z 。
f
f
f
}6,3,1{=X
}9,8,6,2{=Y f 不就是函数。
由函数定义可以得出,函数得对应规则与定义域就是确定函数得两个要素,用解析法表示得函数得对应规则就就是由表达式确定得,而定义域就就是使表达式有意义得所有x 轴上得点。
例1 求函数x y -=1得定义域。 解 在实数范围内要使等式有意义,有
01≥-x
即
1≤x
所以函数得定义域为]1,(-∞。
例2 求函数2411
x x
y -+-=
得定义域。 解 在实数范围内要使第一个等式有意义,有
01≠-x 即
1≠x
在实数范围内要使第二个等式有意义,有
042≥-x 或 42≤x
即
2≤x 或 22≤≤-x
所以函数得定义域为]2,1()1,2[ -。
三、函数表示法
函数表示法主要有以下三种 ⒈解析法
用数学式子表示变量之间得对应关系,这种表示函数得方法称为解析法。例如
2x y = x y sin =
?
?
?>-≤+=0,10
,1)(x x x x x f ⒉图形法
在平面直角坐标系中满足一定条件得曲线图形,也可以确定一个函数关系,这种表示函数得方法称为图形法。例如
表示一天内温度随时间变化得函数关系。
⒊列表法
在实际应用中把一系列自变量值及其相对应得函数值列成表,这种表示函数得方法称为列表法。如对数函数表、三角函数表等等。
四、函数得几种属性 ⒈单调性
请瞧下面两个
图
f
左边得图形表示,函数值随自变量得增加而增加,就称函数单调增加,数学上描述为:如果当任意得),(,21b a x x ∈且21x x <时,恒有
)()(21x f x f <
则称函数)(x f 在区间),(b a 内就是单调上升得或单调增加得。
右边得图形表示,函数值随自变量得增加而减少,就称函数单调减少,数学上描述为:如果当任意得),(,21b a x x ∈且21x x <时,恒有
)()(21x f x f >
则称函数)(x f 在区间),(b a 内就是单调下降得或单调减少得。
⒉奇偶性
请瞧下面两个图 左边得函数图形关于y 轴对称,就称函数就是偶函数,数学上描述为:如
果函数)(x f y =得定义域D 以原点为对称,且恒满足等式
)()(x f x f =-,则称)(x f 就是偶函
数。 右边得函数图形关于原点对称,就称函数就是奇函数,数学上描述为:如果函数)(x f y =得定义域D 以原点为对称,且恒满足等式)()(x f x f -=-,则称)(x f 就是奇函数。
例3 判断下列函数得奇偶性:
⑴x x f =)(; ⑵)1,1(11lg )(-∈+-=x x
x
x f
解 ⑴由绝对值得性质,对任意x 有
)()(x f x x x f ==-=-
由此可知)(x f 就是偶函数。
⑵由对数函数得性质,对任意)1,1(-∈x 有
1
)11lg(11lg )(1)(1lg
)(-+-=-+=-+--=-x x x x x x x f
)(11lg x f x
x
-=+--=
由此可知)(x f 就是奇函数。
判断函数得奇偶性也可以利用以下结论: 偶函数加减偶函数就是偶函数 奇函数加减奇函数就是奇函数 偶函数乘偶函数就是偶函数 奇函数乘奇函数就是偶函数 奇函数乘偶函数就是奇函数
例如,x x y sin +=就是奇函数,x x y cos =也就是奇函数。 1、3 初等函数
要了解初等函数,首先从以下开始
一、基本初等函数
我们将以下几类函数称为基本初等函数,它们就是 ⒈常数函数 R c c y ∈= 常数函数得图形如下
⒉幂函数
R x y ∈=αα
幂函数得图形如
下
⒊指数函数
1,0≠>=a a a y x
指数函数得图形如下
⒋对数函数
1,0log ≠>=a a x y a
对数函数得图形如下 ⒌三角函数
x y sin = 正弦函数 余弦函数 x y cos = 正切函数 x y tan = 余切函数 x y cot =
正弦、余
弦、与正切函数得图形分别就
是
⒍反三角函数
反正弦函数 x y arcsin = 反余弦函数 x y arccos = 反正切函数 x y arctan =
反正弦、反余弦、与反正切函数得图形分别就是
二、函数得复合运算
在介绍函数得复合运算之前,先介绍函数得四则运算:设)(x f ,)(x g 就是两个函数,定义域分别为1D ,2D ,如果21D D D =不就是空集,那么在D 上可以得到以下函数
)()(x g x f + )()(x g x f - )()(x g x f ? )(/)(x g x f
这里要注意,最后一个函数)(/)(x g x f 得定义域要在D 中去掉使0)(=x g 得点。
除了函数得四则运算外,再瞧下面复杂一些得运算,如函数
x y sin lg =
可以瞧作由函数u y lg =与x u sin =构成得,这种构成方式就就是一种新得运算。一般地,由两个函数)(u f y =与)(x g u =构成得对应规则))((x g f y =称为f 与g 这两个函数得复合函数。
三、初等函数
由基本初等函数经过有限次得四则运算或复合运算而成,能用一个解析式表示得函数称为初等函数。
函数
??
?>+≤=0
,10
,sin )(x x x x x f 不就是初等函数,这类函数称为分段函数。
第2讲 极限与连续
微积分得主要研究对象就是函数,它所使用得一个重要工具就就是我们要在下面介绍得——极限。极限得严格描述奠定了微积分得理论基础,而微积分学几乎所有得重要概念都以不同得极限形式来表示。
2、2 函数得极限
一、极限得概念
首先让我们瞧瞧反正切函数x y arctan =得图形
变化时,函数值在向2
π
靠近。而当自变量x 向∞+函数值可以与
2
π
任意靠近。我们且x 向∞+充分接近时,
将x 向∞+充分接近说成x 趋于∞+,记为+∞→x 。于∞+时,如果函数)(x f 得函
一般地,当自变量x 趋数值与某个常数A 任意
靠近,我们就称函数)(x f 当x 趋于∞+时以A 为极限(或称当x 趋于∞+时,)(x f 得极限就是A )。记为
A x f x =+∞
→)(lim 或 )()(+∞→→x A x f
如我们在开始瞧到得情形就就是
2
πarctan lim =
+∞
→x x 类似可以得到B x f x =-∞
→)(lim ,仍以反正切函数为例,有
2
π
arctan lim -=-∞→x x 再一次观察反正切函数x y arctan =得图形,当自变量x 向点0=x 变化时,函数值在向0靠近。而且x 向点0=x 充分接近时,函数值可以与0任意靠近。我们将x 向点0=x 充分接近说成x 趋于0,记为0→x 。一般地,当自变量x 趋于0x 时,如果函数)(x f 得函数值与某个常数A 任意靠近,我们就称函数)(x f 当x 趋于0x 时以A 为极限(或称当x 趋于0x 时,)(x f 得极限就是A )。记为
A x f x x =→)(lim 0
或 )()(0x x A x f →→
这样我们就得到
0arctan lim 0
=→x x
极限A x f x x =→)(lim 0
得直观意义可以用下面得图形说明
函数在一点得极限可能存在,也可能不存在,如函数x
y 1
sin
=当0→x 时得极限就不存在,我们也可以
从图形中瞧出
再瞧下面这个图形
当1→x 时没有极限,但当x
可以瞧出,这个函数
从大于1得方向趋于1时,函数值与5.2任意接近。一般地,当自变量x 从大于0x 得方向趋于
0x 时,如果函数)(x f 得函数值与某个常数A 任意靠近,就称A 为)(x f 在点0x 得右极限,
记为
A x f x x =+→)(lim 0
类似可以给出)(x f 在点0x 得左极限,记为B x f x x =-→)(lim 0
。如此一来我们就有了以下结论
)(lim 0
x f x x →存在得充分必要条件就是)(lim 0
x f x x +→与)(lim 0
x f x x -→都存在,且
)(lim )(lim 0
x f x f x x x x +-→→=
二、极限得运算法则
为了方便地计算函数得极限,我们不加证明地给出极限得运算法则: 若)(lim x f ,)(lim x g 存在,则有
)(lim )(lim )]()(lim[x g x f x g x f ±=± )(lim )(lim )]()(lim[x g x f x g x f ?=? c x f c x cf )(lim )](lim[=为常数 )
(lim )(lim ])()(lim[x g x f x g x f = (假定0)(lim ≠x g )
例1 求6
2
3lim 222-++-→x x x x x 。
解 观察发现本题不能直接应用极限得四则运算法则,但对表达式经适当整理后就可以应用极限得四则运算法则,
)
3)(2()1)(2(lim 623lim 2222+---=-++-→→x x x x x x x x x x 5
1)3(lim )1(lim 31lim 2
2
2=+-=+-=→→→x x x x x x x
例2 求5
23
2lim 22-+-++∞→x x x x x 。
解 观察发现本题不能直接应用极限得四则运算法则,但对表达式经适当整理后就可以应用极限得四则运算法则,
2
2
22
5
12321lim 5232lim x x x x x x x x x x -+-+
=-+-++∞→+∞→ 2
1002001)512(lim )3
21(lim 22=-+-+=-+-+=
+∞→+∞→x
x x x x x
只有极限得四则运算法则对解决得计算还就是不够得,接下来我们大家介绍两个重要得
极限。
2、3 两个重要极限
我们先给出两个重要得极限公式
1sin lim
0=→x
x
x
∞→x x
之所以说这就是两个重要极限,一方面因为它们出自于两个极限存在定理,另外在后面
求基本初等函数得导数时需要用到。
在这里我们只给出第一个极限得证明,为此先不加证明地给出一个极限存在定理 夹逼定理 设在0x 得某领域内(可不包含点0x )有
)()()(x h x f x g ≤≤
且A x h x g x x x x ==→→)(lim )(lim 0
,则)(lim 0
x f x x →存在且
A x f x x =→)(lim 0
下面就来证明第一个重要极限,先瞧一下下面这张图
圆周,圆心角AOB ∠得弧度就是x ,图中得圆周就是单位则有
线段BD 得长度为x sin AB 弧得长度为x
线段AE 得长度
为x tan 当2
π
0< x x x x sin 1 1sin cos < < 从而有 1sin cos << x x x 当+ →0x 时,1cos lim 0 =+→x x ,由夹逼定理得 1sin lim 0=+ →x x x 由于x x x tan ,,sin 都就是奇函数,因此当02 π <<-x 时,有 )tan()sin(0x x x -<-<-< 即 x x x tan sin 0-<-<-< 从而有 x x x x sin 1 1sin cos - <-<- 从而有 1sin cos << x x x 当- →0x 时,11lim cos lim 0 ==--→→x x x ,由夹逼定理得 1sin lim 0 =- →x x x 最后得到 0→x x 例3 求x x x 3sin lim 0→。 解 本题不能直接应用第一个重要极限公式,需要作适当变换。注意到x 趋于0时,x 3也趋于0,有 313) 3() 3sin(lim 333sin 3lim 3sin lim 000=?===→→→x x x x x x x x x 例4 求3 2) 3sin(lim 23---→x x x x 。 解 本题不能直接应用第一个重要极限公式,需要作适当变换。注意到x 趋于3时,)3(-x 趋于0,有 ) 1(1 )3()3sin(lim )1)(3()3sin(lim 32)3sin(lim 3323+?--=+--=---→→→x x x x x x x x x x x x 4 1 411)1(1lim )3()3sin(lim 33=?=+?--=→→x x x x x 2、4 无穷小量与无穷大量 定义2、5 极限为零得量称为无穷小量。 定理2、1 A x f x x =→)(lim 0 得充分必要条件就是 )()(x A x f α+= 其中)(x α就是无穷小量。 利用极限得运算法则很容易得到无穷小量得如下性质 ⒈有限个无穷小量得代数与就是无穷小量。 ⒉有限个无穷小量得乘积就是无穷小量。 ⒊无穷小量与有界变量得乘积就是无穷小量。 ⒋任意常数与无穷小量得乘积就是无穷小量。 例5 求x x x 1sin lim 0 →。 解 前面我们已经知道,x 1 sin 当0→x 时极限不存在,但它就是有界变量,而x 就是无穷小量。由无穷小量得性质3知x x 1 sin 就是无穷小量,即 01 sin lim 0=→x x x 如果)(,)(x g x f 都就是无穷小量,而) () (x f x g 仍然就是无穷小量,这就是称)(x g 就是关 于)(x f 得高阶无穷小量,记为))(()(x f o x g =。 如果)(1x f 就是无穷小量,那么称)(x f 为无穷 大量。例如x 1 当0→x 时就就是无穷大量。 2、5 函数得连续性 先瞧瞧下面得图形 形在点1=x 都存在不同形以上几个函数得图来,这些情况属于要么) (x f 式得“断裂”,但归纳起 在1=x 得极限不存在,要么)(x f 在1=x 得极限不等于在该点得函数值。 定义2、6 设函数)(x f 在0x x =得一个邻域内有定义,且等式)()(lim 00 x f x f x x =→成立, 则称)(x f 在点0x 处连续,0x 称为函数)(x f 得连续点。若0x 不就是)(x f 得连续点,则0x 称为函数)(x f 得间断点。 例6 判断设函数 ?? ?≤>=0 ,0 ,e )(x x x x f x 在点0=x 处就是否连续。 解 因为在点0=x 处有 0)(lim 0=- →x f x 1)(lim 0=+ →x f x 可知)(lim 0 x f x →不存在,由定义2、6可知)(x f 在点0=x 处不连续,即0=x 就是)(x f 得间 断点。 如果函数)(x f 在),(b a 区间内得每个点都连续,则称)(x f 在区间),(b a 内连续。 可以证明基本初等函数在它们得定义域内都就是连续得,而函数得四则运算与复合运算仍保持函数得连续性,因此我们可以得出结论:初等函数在其定义域内就是连续得。 高等数学基础 高等数学基础课程的学习内容微积分学，它是创建于十七世纪的一门数学学科，创始人是英国数学家牛顿（Newton ）和德国数学家莱布尼茨（Leibniz ）。用著名学者的话来形容“微积分、或者数学分析，是人类思维的伟大成果之一。它处于自然科学与人文科学之间的地位，使它成为高等教育的一种特别有效的工具”。“微积分的创立，与其说是数学史上，不如说是人类历史上的一件大事。时至今日，它对工程技术的重要性就像望远镜之于天文学，显微镜之于生物学一样。 第1讲 函数 1.2 函数 要知道什么是函数，需要先了解几个相关的概念。 一、常量与变量 先看几个例子： 圆的面积公式 2πr S = 自由活体的下落距离 202 1gt t v s + = 在上述讨论的问题中，g v ,,π0是常量，t s r S ,,,是变量。变量可以视为实属集合（不止一个元素）。 二、函数的定义 定义1.1 设D 是一个非空数集。如果有一个对应规则f ，使得对每一D x ∈，都能对应于唯一的一个数y ，则此对应规则f 称为定义在集合D 上的一个函数，并把数x 与对应的数y 之间的对应关系记为 )(x f y = 并称x 为该函数的自变量，y 为函数值或因变量，D 为定义域。 实数集合 },)(;{D x x f y y Z ∈== 称为函数f 的值域。 看看下面几个例子中哪些是函数： }6,3,1{=X f }9,8,6,2{=Y f 是函数，且 2)1(=f ，8)3(=f ，6)6(=f 定义域}6,3,1{=D ，值域}8,6,2{=Z ，一般地Y Z ?。 }7,6,3,1{=X }9,8,6,2{=Y f 不是函数。 }6,3,1{=X }9,8,6,2{=Y f 是函数，且 2)1(=f ，8)3(=f ，8)6(=f 定义域}6,3,1{=D ，值域}8,2{=Z 。 }6,3,1{=X }9,8,6,2{=Y f 不是函数。 由函数定义可以得出，函数的对应规则和定义域是确定函数的两个要素，用解析法表示的函数的对应规则就是由表达式确定的，而定义域就是使表达式有意义的所有x 轴上的点。 例1 求函数x y -=1的定义域。 解 在实数范围内要使等式有意义，有 01≥-x 即 f f f 高等数学（通用复习） 师兄的忠告：记住我们只复习重点，不需要学得太多，这些是每年必须的重点，希望注意 第一章 函数与极限 函数 ○函数基础（高中函数部分相关知识）（★★★） ○邻域（去心邻域）（★） (){},|U a x x a δ δ=-< (U a 1．由n x ∴N 2．即对?∴x ∞ →lim ○x →1．由(f ∴δ=2．即对?∴x x →0 lim ○→x 1．由(f ∴X 2．即对?∴x ∞ →lim 第三节 无穷小与无穷大 ○无穷小与无穷大的本质（★） 函数()x f 无穷小?()0lim =x f 函数()x f 无穷大?()∞=x f lim ○无穷小与无穷大的相关定理与推论（★★） （定理三）假设()x f 为有界函数，()x g 为无穷小，则()()lim 0f x g x ?=???? （定理四）在自变量的某个变化过程中，若()x f 为无穷大，则()1 f x -为无穷小；反之，若()x f 为无穷小，且 ()0f x ≠，则()x f 1 -为无穷大 【题型示例】计算：()()0 lim x x f x g x →?????（或∞→x ） 1．∵()f x ≤M ∴函数()f x 在0x x =的任一去心邻域()δ,0x U 内是有界的； （∵()f x ≤M ，∴函数()f x 在D x ∈上有界；） 2． →x （→x 3（x →0lim x x → 3 9 x x →-【求解示例】解：因为3→x ，从而可得3≠x ，所以原式()() 2 3 3 3 33 11lim lim lim 9 333 6 x x x x x x x x x →→→--==== -+-+ 其中3x =为函数()2 39 x f x x -= -的可去间断点 倘若运用罗比达法则求解（详见第三章第二节）： 高等数学简明二阶微分方程讲义 作者：齐睿添 ————微分方程的理论帮助了很多工程学,物理学中实际 问题的解决 讨论0. 欧拉公式 欧拉公式在二阶线性齐次常系数方程通解的推导和其非齐次方程的自由项为三角函数时的求解过程中有重要的应用. 讨论1. 二阶常系数线性齐次微分方程 实际问题1. 如图，在水平光滑平面上有一物体在弹簧和阻尼器的牵拉下往复运动.阻力f的大小与物体运动速率成正比，阻力f的方向与速度方向相反（f=-cv）. 物体的位置随时间如何变化？ 设位置函数x=x(t) 已知: F弹=-kx,f=-cv 故由牛顿第二定律: 合力=-kx-cv=ma 即a+(c/m)v+(k/m)x=0 得到微分方程： 记 得到形如下式的方程（*） 这便是一个二阶常系数线性齐次微分方程. 其通解如下表所示: 特征方程 (上表的具体推导与证明详见教材P174-177) 可以发现其通解形式是符合物块运动的直观直觉的. 1）如果阻力很大，弹簧弹性弱，那么物块晃动两下很快就会停止. 这种情况下,列出方程的通解应是表中第一条或者第二条. 例如:取m=1kg, k=3, c=4, 一开始物块位置在+0.5m处, 给予它一个初速度-5 m/s. 我们依照数学习惯将时间(自变量)记为x, 将位置(因变量）记为y. 那么方程为: . 特征方程为，有两个不相等实根 通解为 把初值条件带入 求得 故该例的解为 图像 2)如果阻力很小,弹簧的弹性很强,那么物块将反复往返震荡,幅度随时间越来越小.这种情况下方程通解应是上表第三条. 例如: 取m=1kg,c=3,k=4,一开始物块位置在+0.5m处, 给予它一个初速度-5 m/s. 即为 带入初值条件 C_1=1/2, C_2=-17根号7/14 图像为 第一部分函数极限连续 历年试题分类统计及考点分布 本部分常见的题型 1.求分段函数的复合函数。 2.求数列极限和函数极限。 3.讨论函数连续性，并判断间断点类型。 4.确定方程在给定区间上有无实根。 一、 求分段函数的复合函数 例1 (1988, 5分) 设2 (),[()]1x f x e f x x ?==-且()0x ?≥,求()x ?及其定义 域。 解: 由2 ()x f x e =知2 () [()]1x f x e x ? ?==-,又()0x ?≥, 则()0 x x ?= ≤. 例2 (1990, 3分) 设函数 1,1 ()0,1 x f x x ?≤?=?>??,则[()]f f x =1. 练习题: (1)设 1,1, ()0,1,(),1,1, x x f x x g x e x ??求[()]f g x 和[()]g f x , 并作出这 两个函数的图形。 (2) 设 20,0,0,0, ()(), ,0,,0, x x f x g x x x x x ≤≤??==??>->??求 [()],[()],[()],[()]f f x g g x f g x g f x . 二、 求数列的极限 方法一 利用收敛数列的常用性质 一般而言,收敛数列有以下四种常用的性质。 性质1(极限的唯一性) 如果数列{}n x 收敛,那么它的极限唯一。 性质2(收敛数列的有界性)如果数列{}n x 收敛,那么数列{}n x 一定有界。 性质3(收敛数列的保号性) 如果lim n n x a →∞ =,且0a >(或0a <),那么存在 0n N + ∈,使得当0n n >时,都有0n x >(或0n x <). 性质4(数列极限的四则运算法则) 如果,, lim lim n n n n x a y b →∞ →∞ ==那么 (1)()lim n n n x y a b →∞ ±=±; (2)lim n n n x y a b →∞ ?=?; (3)当0()n y n N + ≠∈且0 b ≠时,lim n n n x a y b →∞ = . 心之所向，所向披靡 第八章 无穷级数（数学一和数学三） 引言：所谓无穷级数就是无穷多项相加，它与有限项相加有本质不同，历史上曾经对一个无穷级数问题引起争论。例如： ΛΛ+-++-+-+1)1(1111n 历史上曾有三种不同看法，得出三种不同的“和” 第一种 0)11()11()11(=+-++-+-ΛΛ 第二种 1)11()11()11(1=-------ΛΛ 第三种 设S n =+-++-+-+ΛΛ1 )1(1111 则[]S =+-+--Λ11111 ,1S S =- ,12=S 2 1= S 这种争论说明对无穷多项相加，缺乏一种正确的认识。 1) 什么是无穷多项相加？如何考虑？ 2) 无穷多项相加，是否一定有“和”？ 3) 无穷多项相加，什么情形有结合律，什么情形有交换律等性质。因此对无穷级数的基本概 念和性质需要作详细的讨论。 § 8.1 常数项级数 （甲） 内容要点 一、基本概念与性质 1. 基本概念 无穷多个数ΛΛ,,,,,321n u u u u 依次相加所得到的表达式ΛΛ+++++=∑∞ =n n n u u u u u 3211 称 为数项级数（简称级数）。 ∑===n k k n u S 1 123n u u u u ++++L （Λ,3,2,1=n ）称为级数的前n 项的部分和， {}),3,2,1(Λ=n S n 称为部分和数列。 S u S ，，u S ，S n n n n n n ==∑∑∞ =∞ =∞ →1 1 )(lim 记以且其和为是收敛的则称级数存在若 n n S ∞ →lim 若不存在，则称级数∑∞ =1 n n u 是发散的，发散级数没有和的概念。 （注：在某些特殊含义下可以考虑发散级数的和，但在基础课和考研的考试大纲中不作这种要求。） 2． 基本性质 （1） 如果 ∑∑∑∑∑∞=∞ =∞=∞ =∞=++1 1 1 1 1 )(,n n n n n n n n n n n v b u a ，bv au ，b ，a v u 且等于收敛则为常数皆收敛和 （2） 在级数中增加或减少或变更有限项则级数的收敛性不变。 （3） 收敛级数具有结合律，也即对级数的项任意加括号所得到的新级数仍收敛，而且其和不 变。发散级数不具有结合律，引言中的级数可见是发散的，所以不同加括号后得到级数的情形就不同。 （4） 级数 ∑∞ =1 n n u 收敛的必要条件是 0lim =∞ →n n u （注：引言中提到的级数 ∑∞ =+-1 1 ,) 1(n n 具有∞→n lim ()不存在1 1+-n ，因此收敛级数的必要条件不满 足， ∑∞ =1 n () 1 1+-n 发散。调和级数 ∑ ∞ =1 n n 1满足∞→n lim 但,01=n ∑∞ =1n n 1却是发散的，所以满足收敛级数的必要条件∞ →n lim 0=n u ，而 ∑ ∞ =1 n n u 收敛性尚不能确定。） 3．两类重要的级数 （1）等比级数（几何级数） ∑∞ =0 n n ar ()0≠a 当1 高等数学上册复习要点及解题技巧 第一章：1、极限（夹逼准则） 2、连续（学会用定义证明一个函数连续，判断间断点类型） 第二章：1、导数（学会用定义证明一个函数是否可导）注：连续不一定可导，可导一定连续 2、求导法则（背） 3、求导公式也可以是微分公式 第三章：1、微分中值定理（一定要熟悉并灵活运用--第一节） 2、洛必达法则 3、泰勒公式拉格朗日中值定理 4、曲线凹凸性、极值（高中学过，不需要过多复习） 5、曲率公式曲率半径 第四章、第五章：积分 不定积分：1、两类换元法 2、分部积分法（注意加C ） 定积分： 1、定义 2、反常积分 第六章：定积分的应用 主要有几类：极坐标、求做功、求面积、求体积、求弧长 第七章：向量问题不会有很难 1、方向余弦 2、向量积 3、空间直线（两直线的夹角、线面夹角、求直线方程） 3、空间平面 4、空间旋转面（柱面） 高数解题技巧 高数解题的四种思维定势 ●第一句话：在题设条件中给出一个函数f(x)二阶和二阶以上可导，“不管三七二十一”，把f(x)在指定点展成泰勒公式再说。 ●第二句话：在题设条件或欲证结论中有定积分表达式时，则“不管三七二十一”先用积分中值定理对该积分式处理一下再说。 ●第三句话：在题设条件中函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=0或f(b)=0或f(a)＝f(b)=0，则“不管三七二十一”先用拉格朗日中值定理处理一下再说。 ●第四句话：对定限或变限积分，若被积函数或其主要部分为复合函数，则“不管三七二十一”先做变量替换使之成为简单形式f(u)再说。 线性代数解题的八种思维定势 ●第一句话：题设条件与代数余子式Aij或A*有关，则立即联想到用行列式按行(列)展开定理以及AA*=A*A=|A|E。 ●第二句话：若涉及到A、B是否可交换，即AB＝BA，则立即联想到用逆矩阵的定义去分析。 ●第三句话：若题设n阶方阵A满足f(A)=0，要证aA+bE可逆，则先分解因子aA+bE再说。 ●第四句话：若要证明一组向量α1,α2,…,αS线性无关，先考虑用定义再说。 ●第五句话：若已知AB＝0，则将B的每列作为Ax=0的解来处理 ●第六句话：若由题设条件要求确定参数的取值，联想到是否有某行列式为零再说。 ●第七句话：若已知A的特征向量ξ0，则先用定义Aξ0＝λ0ξ0处理一下再说。 ●第八句话：若要证明抽象n阶实对称矩阵A为正定矩阵，则用定义处理一下再说。 概率解题的九种思维定势 ●第一句话：如果要求的是若干事件中“至少”有一个发生的概率，则马上联想到概率加法公式；当事件组相互独立时，用对立事件的概率公式 ●第二句话：若给出的试验可分解成（0－1）的n重独立重复试验，则马上联想到Bernoulli试验，及其概率计算公式 ●第三句话：若某事件是伴随着一个完备事件组的发生而发生，则马上联想到该事件的发 生概率是用全概率公式计算。关键：寻找完备事件组 ●第四句话：若题设中给出随机变量X ~ N 则马上联想到标准化 ~ N(0,1)来处理有关问题。 ●第五句话：求二维随机变量（X，Y）的边缘分布密度的问题，应该马上联想到先画出使 联合分布密度的区域，然后定出X的变化区间，再在该区间内画一条//y轴的直线，先与区域边界相交的为y的下限，后者为上限，而的求法类似。 ●第六句话：欲求二维随机变量（X，Y）满足条件Y≥g(X)或(Y≤g(X))的概率，应该马上联 想到二重积分的计算，其积分域D是由联合密度的平面区域及满足Y≥g(X)或(Y≤g(X))的 区域的公共部分。 ●第七句话：涉及n次试验某事件发生的次数X的数字特征的问题，马上要联想到对X作 （0－1）分解。即令 考研数学辅导书比较，一个比较经典的帖子，重温一下。 1.李永乐考研数学复习全书 题型很全面，内容很充实（线代和概率很不错，微积分稍逊）难度要高于真题，所谓的简单是命题的风格 很常规，没有什么剑走偏锋让人一下傻眼的题，考研真题不正是这样的吗？ 做熟练（我不知道怎么叫做透哈）120以上真不难，135以上就要看临场发挥。 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2.陈文灯考研数学复习指南 个别题其实已经很陈旧了，难度也有被夸大的嫌疑。很大一部分也是注重基础的题只是不像全书加以强调 和总结，微积分部分题型归纳很好，个别题有难度（真不多），但有助于锻炼思维。线代和概率内容显单 薄。 PS：无穷级数，积分，不等式证明，泰勒公式，中值定理等是精华，做过思路会很清晰。传说，考高分要 做指南，我想，是因为指南在你有一定基础之后，能对你的思维有一个提炼吧。 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3.蔡燧林考研数学标准全书 微积分部分例题精华，讲解很深入，给人醍醐灌顶的感觉。所谓精华就是不会边边角角都涉及到的意思， 所以还是要做点非精华的练习（比如全书？？^_^） 线代一般，概率一般，纸张一般，印刷一般。 ps ：章后练习很多，但一定要做，那个也是精华。 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 4.水木艾迪微积分通用讲义 配合水木的视频，很好的哈。把解题中的疑难提出来，然后列举例题加以解决分析。章前的知识点讲解也 很好，选题很也典型。总之，比全书微积分要好，值得一读。 PS：多元微分，一元微积分非常好。 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 5.赵达夫高等数学辅导讲义 体例不好，一堆知识点，一堆练习，一堆解答。章后练习选题还是很好的，不一定很难，但非常典型。但 PS：只靠这一本书是不够的。是不是叫不给力？ --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 6.黄庆怀高等数学辅导教材 同学们骂我书托吧，我做了这么多书，最想推荐的就是这本了。 体例好，内容全，例题典型，归纳完整，练习题保质保量。唯一稍差是讲解不够（全书和标 高等数学A2 第7章 向量代数与空间解析几何 1. 求向量的模。（课本9页，例7-7） 2. 求向量的单位向量。（课本9页，例7-7） 3. 求向量的方向角，方向余弦。（课本10页，例7-8） 4. 求向量a →在b → 方向上的投影。（课本17页，习题3） 5. 求向量的点积a b →→?，叉积a b →→?。（课本15页，例7-13） 6. 求空间平面的方程（点法式方程，一般式方程，截距式方程）。 （寻找法向量）（课本29页，例7-24，7-25） 7. 求空间直线的方程（点向式方程，参数式方程，一般式方程）。（寻找方向向量）（课本35页，例7-29、7-30） 第8章 多元函数微分学 1. 求多元函数的定义域。（课本44页，例8-3） 2. 求多元函数的极限。（课本46页，例8-6） 3. 求多元函数的偏导数。（课本51页，例8-11） 4. 求多元函数的全微分。（课本56页，例8-16） 5. 求多元复合函数的导数。（课本60页，公式8-13，例8-22） 6. 求多元隐函数的导数。（课本65页，公式8-23，例8-26） 7. 多元函数偏导数在几何上的应用。（课本67页，例8-27；8-28） 8. 求多元函数的极值。（课本71页，例8-30，课本74页，拉格 朗日乘子法） 第9章多元函数积分学 1. 二重积分的性质4. （课本79页，性质4） 2. 直角坐标系下二重积分的计算。（课本86页，例9-5） 3. 直角坐标系下二重积分交换积分次序。（课本87页，例9-6） 4. 极标系下二重积分的计算。（极标系下二重积分计算的转换公式，课本88页，公式9-5，例9-8） 第10章无穷级数 1. 常用级数等比级数（课本125页，例10-2），P级数（课本131页，例10-6）的收敛性。 2. 利用定义法（课本125页，例10-1）；逆否命题法（课本128页，例10-4），比较判别法（课本133页，例10-7），比值判别法（课本135页，例10-8）等判断级数的收敛性。 3.判断常数项级数收敛还是发散，若收敛，是绝对收敛，还是条件收敛。（利用正项级数，交错级数判别法）（课本138页，例10-10） 4.求幂级数的收敛半径，收敛域。（课本143页，例10-11） 第11章微分方程 1. 理解微分方程、解、通解、特解的概念。（课本159页） 2. 会判断微分方程的阶。（课本160页，课后习题1） 3. 求解可分离变量的微分方程。（一阶）（课本161页，例11-4） 微积分初步 一、微积分的基本概念 1、极限 极限指无限趋近于一个固定的数值 两个常见的极限公式 0sin lim 1x x x →= *1lim 11x x x →∞??+= ??? 2、导数 当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限叫做导数。 0'lim x dy y y dx x ?→?==? 导数含义，简单来说就是y 随x 变化的变化率。 导数的几何意义是该点切线的斜率。 3、原函数和导函数 对原函数上每点都求出导数，作为新函数的函数值，这个新的函数就是导函数。 00()()'()lim lim x x y y x x y x y x x x ?→?→?+?-==?? 4、微分和积分 由原函数求导函数：微分 由导函数求原函数：积分 微分和积分互为逆运算。 例1、根据导函数的定义，推导下列函数的导函数 （1）2y x = （2） (0)n y x n =≠ （3）sin y x = 二、微分 1、基本的求导公式 （1）()'0 ()C C =为常数 （2）()1' (0)n n x nx n -=≠ （3）()'x x e e = *（4）()'ln x x a a a = （5）()1ln 'x x = *（6）()1log 'ln a x x a = （7）()sin 'cos x x = （8）()cos 'sin x x =- （9）()21tan 'cos x x = （10）()21cot 'sin x x = **（11）() arcsin 'x = **（12）()arccos 'x = **（13）()21arctan '1x x =+ **（14）()2 1arccot '1x x =-+ 2、函数四则运算的求导法则 设u =u (x )，v =v (x ) （1）()'''u v u v ±=± （2）()'''uv u v uv =+ （3）2'''u u v uv v v -??= ??? 例2、求y=tan x 的导数 3、复合函数求导 对于函数y =f (x )，可以用复合函数的观点看成y =f [g (x)]，即y=f (u )，u =g (x ) 'dy dy du y dx du dx == 即：'''u x y y u = 例3、求28(12)y x =+的导数 例4、求ln tan y x =的导数 三、积分 1、基本的不定积分公式 下列各式中C 为积分常数 （1） ()kdx kx C k =+?为常数 （2）1 (1)1n n x x dx C n n +=+≠-+? 大一高数上复习重点 Prepared on 24 November 2020 高数高数重点 本章公式： 两个重要极限： 常用的8个等价无穷小公式：当x→0时， sinx~x tanx~x arcsinx~x arctanx~x 1-cosx~1/2*（x^2） （e^x）-1~x ln(1+x)~x [(1+x)^1/n]-1~（1/n）*x 二.导数与微分 熟悉函数的可导性与连续性的关系求高阶导数会运用两边同取对数隐函数的显化会求由参数方程确定的函数的导数 三.微分中值定理与导数的应用： 洛必达法则： 利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意： ① 在着手求极限以前，首先要检查是否满足或型，否则滥用洛必达法则会出错.当不存在时（不包括∞情形），就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则失效，应从另外途径求极限 . ② 洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止. ③ 洛必达法则是求未定式极限的有效工具，但是如果仅用洛必达法则，往往计算会十分繁琐，因此一定要与其他方法相结合，比如及时将非零极限的乘积因子分离出来以简化计算、乘积因子用等价量替换等等. 曲线的凹凸性与拐点： 注意：首先看定义域然后判断函数的单调区间 求极值和最值 利用公式判断在指定区间内的凹凸性或者用函数的二阶导数判断（注意二阶导数的符号） 四.不定积分：（要求：将例题重新做一遍） 对原函数的理解 原函数与不定积分 1 基本积分表基本积分表（共24个基本积分公式） 不定积分的性质 2 第一类换元法（凑微分法） 2 第二类换元法（三角代换无理代换倒代换） 3 分部积分法 f(x)中含有 可考虑用代换 第三章 一元函数积分学 §3．1 不定积分 甲 内容要点 一．基本概念与性质 1．原函数与不定积分的概念 设函数()x f 和()x F 在区间I 上有定义，若()()x f x F ='在区间I 上成立，则称()x F 为()x f 在区间 I 上的原函数，()x f 在区间I 中的全体原函数称为()x f 在区间I 的不定积分，记以()?dx x f 。其中?称 为积分号，x 称为积分变量，()x f 称为被积函数，()dx x f 称为被积表达式。 2．不定积分的性质 设 ()()C x F dx x f +=?，其中()x F 为()x f 的一个原函数，C 为任意常数。 则（1）()()C x F dx x F +='? 或 ()()? +=C x F x dF （2） ()[]()x f dx x f ='? 或 ()[]()dx x f dx x f d =? （3）()()? ? =dx x f k dx x kf （4） ()()[]()()???±=±dx x g dx x f dx x g x f 3．原函数的存在性 设()x f 在区间I 上连续，则()x f 在区间I 上原函数一定存在，但初等函数的原函数不一定是初等函数。例如() ?dx x 2sin ，() ?dx x 2 cos ， ?dx x x sin ，?dx x x cos ，?x dx ln ，dx e x ?-2 等。被积函数有原函数， 但不能用初等函数表示，故这些不定积分均称为积不出来。 二．基本积分公式 1．C x dx x ++= ?+1 1 ααα ()，实常数1-≠α 2． ?+=C x dx x ln 1 3．?+=C a a dx a x x ln 1 ()1,0≠>a a C e dx e x x +=? 4．? +=C x xdx sin cos 5．? +-=C x xdx cos sin 6．C x dx x xdx +== ??tan cos 1 sec 22 7．C x dx x xdx +-==??cot sin 1csc 2 2 8．C x xdx x +=? sec sec tan 9．C x xdx x +-=? csc csc cot 10．C x xdx +-=? cos ln tan 11．C x xdx +=? sin ln cot 12．C x x xdx ++=? tan sec ln sec 13．C x x xdx +-=? cot csc ln csc 14． ? +=-C a x x a dx arcsin 2 2 ()0>a 15． C a x a x a dx +=+?arctan 122 ()0>a 16． C x a x a a x a dx +-+=-?ln 2122 ()0>a 17． C a x x a x dx +±+=±? 222 2ln () 0>a 第八章 无穷级数 常数项级数 一、基本概念与性质 1. 基本概念 无穷多个数Λ Λ,,,,,321n u u u u 依次相加所得到的表达式 ΛΛ+++++=∑∞ =n n n u u u u u 3211 称为数项级数（简称级数）。 ∑===n k k n u S 1 123n u u u u ++++L （Λ,3,2,1=n ）称为级数的前n 项的部分和， {}),3,2,1(Λ=n S n 称为部分和数列。 S u S ，，u S ，S n n n n n n ==∑∑∞ =∞ =∞ →1 1 )(lim 记以且其和为是收敛的则称级数存在若 n n S ∞ →lim 若不存在，则称级数∑∞ =1 n n u 是发散的，发散级数没有和的概念。 （注：在某些特殊含义下可以考虑发散级数的和，但在基础课和考研的考试大纲中不作这种要求。） 2． 基本性质 （1） 如果 ∑∑∑∑∑∞=∞ =∞=∞ =∞=++1 1 1 1 1 )(,n n n n n n n n n n n v b u a ，bv au ，b ，a v u 且等于收敛则为常数皆收敛和 （2） 在级数中增加或减少或变更有限项则级数的收敛性不变。 （3） 收敛级数具有结合律，也即对级数的项任意加括号所得到的新级数仍收敛， 而且其和不变。发散级数不具有结合律，引言中的级数可见是发散的，所以不同加括号后得到级数的情形就不同。 （4） 级数∑∞ =1n n u 收敛的必要条件是0lim =∞ →n n u （注：引言中提到的级数∑∞ =+-1 1,)1(n n 具有∞ →n lim ()不存在1 1+-n ，因此收敛级数的必要条 件不满足，∑ ∞ =1 n () 1 1+-n 发散。调和级数∑ ∞ =1 n n 1满足∞→n lim 但,01=n ∑∞ =1n n 1却是发散 的，所以满足收敛级数的必要条件∞ →n lim 0=n u ，而∑∞ =1 n n u 收敛性尚不能确定。） 3．两类重要的级数 （1）等比级数（几何级数） ∑∞ =0 n n ar ()0≠a 万变不离其宗！短短一个月后，就要考试了，面对复习不能手足无措，要有目的地复习。主要以教材为主，看教材时，先把教材看完一节就做一节的练习，看完一章后，通过看小结对整一章的内容进行总复习。掌握重点的知识，对于没有要求的部分可以少花时间或放弃，重点掌握要求的内容，大胆放弃老师不做要求的内容。 复习自然离不开大量的练习，熟悉公式然后才能熟练任用。结合课后习题要清楚每一道题用了哪些公式。没有用到公式的要死抓定义定理！ 一.函数与极限二.导数与微分三.微分中值定理与导数的应用四.不定积分五.定积分六定积分的应用浏览目录了解真正不熟悉的章节然后有针对的复习。 一函数与极限 熟悉差集对偶律（最好掌握证明过程）邻域（去心邻域）函数有界性的表示方法数列极限与函数极限的区别收敛与函数存在极限等价无穷小与无穷大的转换夹逼准则（重新推导证明过程）熟练运用两个重要极限第二准则会运用等价无穷小快速化简计算了解间断点的分类零点定理 本章公式： 两个重要极限： 常用的8个等价无穷小公式：当x→0时， sinx~x tanx~x arcsinx~x arctanx~x 1-cosx~1/2*（x^2） （e^x）-1~x ln(1+x)~x [(1+x)^1/n]-1~（1/n）*x 二.导数与微分 熟悉函数的可导性与连续性的关系求高阶导数会运用两边同取对数隐函数的显化会求由参数方程确定的函数的导数 三.微分中值定理与导数的应用： 洛必达法则： 利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意： ① 在着手求极限以前，首先要检查是否满足或型，否则滥用洛必达法则会出错.当不存在 第一部分函数极限连续 函数、极限、 连续 函数极限连续 函数概念函数的四种反函数与复初等函数数列极限函数极限连续概念间断点分类初等函数的连闭区间上连续特征合函数续性函数的性质 函数的有界数列极限的函数极限的第一类间断有界性与最大性定义定义点值最小值定理函数的单调收敛数列的函数极限的可去间断点零点定理性性质性质 函数的奇偶极限的唯一函数极限的跳跃间断点 性性唯一性 函数的周期收敛数列的函数极限的第二类间断 性有界性局部有界性点 收敛数列的函数极限的 保号性局部保号性 数列极限四函数极限与数 则运算法则列极限的关系 极限存在准函数极限四 则则运算法则 夹逼准则两个重要极 限 单调有界准无穷小的比 则较 高阶无穷小 低阶无穷小 同阶无穷小 等价无穷小 历年试题分类统计及考点分布 考点复合函数极限四则两个重要单调有界无穷小的合计 运算法则极限准则阶 年份 1987 1988 5 3 8 1989 1990 3 3 6 1991 5 3 8 1992 3 3 1993 5 3 8 1994 3 3 1995 3 3 1996 3 6 3 12 1997 3 3 1998 1999 2000 5 5 2001 2002 2003 4 4 8 2004 4 4 2005 2006 12 3 15 2007 4 4 2008 4 4 2009 4 4 2010 4 4 2011 10 10 20 合计8 18 37 32 27 本部分常见的题型 1.求分段函数的复合函数。 2.求数列极限和函数极限。 3.讨论函数连续性，并判断间断点类型。 4.确定方程在给定区间上有无实根。 课程配套讲义说明1、配套课程名称2013年考研数学高数中值定理及定积分公开课（汤家凤） 2、课程内容 此课程为2013年考研数学高数部分的公开课，主要讲授定积分部分。 3、主讲师资 汤家凤——主讲高等数学、线性代数。 著名考研辅导专家，南京大学博士，南京工业大学教授，江苏省大学生数学竞赛优秀指导教师。凭借多年从事考研阅卷工作的经验，通过自己的归纳总结，在课堂上为学生列举大量以往考过的经典例子。深入浅出，融会贯通，让学生真正掌握正确的解题方法。 4、讲义： 6页（电子版） 文都网校 2011年5月27日 公开课二：定积分理论 一、实际应用背景 1、运动问题—设物体运动速度为)(t v v =，求],[b a t ∈上物体走过的路程。 （1）取b t t t a n =<<<= 10，],[],[],[],[12110n n t t t t t t b a -???= ， 其中)1(1n i t t t i i i ≤≤-=?-； （2）任取)1](,[1n i x x i i i ≤≤∈-ξ，i n i i t f S ?≈ ∑=)(1ξ； （3）取}{max 1i n i x ?=≤≤λ，则i n i i x f S ?=∑=→)(lim 1 ξλ 2、曲边梯形的面积—设曲线)(0)(:b x a x f y L ≤≤≥=，由b x a x L ==,,及x 轴围成的区域称为曲边梯形，求其面积。 （1）取b x x x a n =<<<= 10，],[],[],[],[12110n n x x x x x x b a -???= ， 其中)1(1n i x x x i i i ≤≤-=?-； （2）任取)1](,[1n i x x i i i ≤≤∈-ξ，i n i i x f A ?≈ ∑=)(1ξ； （3）取}{max 1i n i x ?=≤≤λ，则i n i i x f A ?=∑=→)(lim 1 ξλ。 二、定积分理论 （一）定积分的定义—设)(x f 为],[b a 上的有界函数， （1）取b x x x a n =<<<= 10，],[],[],[],[12110n n x x x x x x b a -???= ， 其中)1(1n i x x x i i i ≤≤-=?-； （2）任取)1](,[1n i x x i i i ≤≤∈-ξ，作 i n i i x f ?∑=)(1 ξ； （3）取}{m a x 1i n i x ?=≤≤λ， 若i n i i x f ?∑=→)(lim 1 ξλ存在，称)(x f 在],[b a 上可积，极限称为) (x f 在],[b a 上的定积分，记 ? b a dx x f )(，即?b a dx x f )(i n i i x f ?=∑=→)(lim 1 ξλ。 第三章 中值定理与导数的应用 ?????? ? ? ?? ?? ?? ??????????? ?????????????? ??必要条件求解函数的性态，充分渐近线凹凸性，拐点单调性，极值，最值—求极限—洛必达法则—应用数，求极限证明，确定无穷小的阶泰勒中值定理柯西中值定理拉格朗日中值定理罗尔定理中值定理 第一节 微分中值定理 极值:设) f在0x的某一邻域) (x U内有定义，若 (0x 对一切) ) ( (0x f≤,则 f≥)) x f ( U (0x x ( x∈有) f (0x ) 称) (x f的极f在0x取得极小（大）值，称0x是) (x 小（大）值点，极小值和极大值统称为极值，极小值点和极大值点统称为极值点。 费马引理：设) f在0x (x f'存在， (0x x=取极值，又) 则0)(0='x f 。 在0x x =取极值的必要条件：可导的极值点导数必为零。 驻点：若0)(='a f ，则称a x =为)(x f 的驻点。 可导的极值点一定为驻点，但是驻点不一定为极值点。 定理1（罗尔定理）： 条件： ①)(x f 在],[b a 上连续； ②在),(b a 可导； ③)()(b f a f = 结论： 一定存在),(b a ∈ξ， 使得0)(='ξf 。 几何意义：设AB 是 （1）定义在],[b a 上的光滑曲线)(x f y =； （2）若除端点外处处有不垂直于x 轴的切线； （3）两端点纵坐标相等 则在AB 上至少存在一点C ，其切线是水平的． 即两端点同高的连续曲线内至少有一点的切线是水平的．（如图所示） 大一上学期高数复习要点 同志们，马上就要考试了，考虑到这是你们上大学后的第一个春节，为了不影响阖家团圆的气氛，营造以人文本，积极向上，相互理解的师生关系，减轻大家学习负担，以下帮大家梳理本学期知识脉络，抓住复习重点； 1.主要以教材为主，看教材时，先把教材看完一节就做一节的练习，看完一章后，通过看小结对整一章的内容进行总复习。 2.掌握重点的知识，对于没有要求的部分可以少花时间或放弃，重点掌握要求的内容，大胆放弃老师不做要求的内容。 3.复习自然离不开大量的练习，熟悉公式然后才能熟练任用。结合课后习题要清楚每一道题用了哪些公式。没有用到公式的要死抓定义定理！ 一.函数与极限二.导数与微分三.微分中值定理与导数的应用四.不定积分浏览目录了解真正不熟悉的章节然后有针对的复习。 一函数与极限 熟悉差集对偶律（最好掌握证明过程）邻域（去心邻域）函数有界性的表示方法数列极限与函数极限的区别收敛与函数存在极限等价无穷小与无穷大的转换夹逼准则（重新推导证明过程）熟练运用两个重要极限第二准则会运用等价无穷小快速化简计算了解间断点的分类零点定理 本章公式： 两个重要极限： 二.导数与微分 熟悉函数的可导性与连续性的关系求高阶导数会运用两边同取对数隐函数的显化会求由参数方程确定的函数的导数 洛必达法则： 利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意： ①在着手求极限以前，首先要检查是否满足或型，否则滥用洛必达法则会出错.当不存在时（不包括∞情形），就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则失效，应从另外途径求极限 . ②洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止. ③洛必达法则是求未定式极限的有效工具，但是如果仅用洛必达法则，往往计算会十分繁琐，因此一定要与其他方法相结合，比如及时将非零极限的乘积因子分离出来以简化计算、乘积因子用等价量替换等等. 曲线的凹凸性与拐点： 注意：首先看定义域然后判断函数的单调区间 求极值和最值 利用公式判断在指定区间内的凹凸性或者用函数的二阶导数判断（注意二阶导数的符号） 四.不定积分：（要求：将例题重新做一遍） 对原函数的理解 原函数与不定积分 1 基本积分表基本积分表（共24个基本积分公式） 不定积分的性质 最后达到的效果是会三算两证（求极限，求导数，求积分）（极限和中值定理的证明），一定会取得满意的成绩！ 第一章 函数、极限、连续 §1.1 函数 一、有关四种性质(奇偶性、单调性、周期性、有界性) 1. 0 () (0)()2() ()a a a f x a f x dx f x dx f x ->?? =???? ?当为奇函数当为偶函数 口诀(1)：奇偶函数常遇到；对称性质不可忘。 2. 在(a,b )内，若()0f x '>，则()f x 单调增加 若()0f x '<，则()f x 单调减少 口诀(2)：单调增加与减少；先算导数正与负 例1 求1 51 [()ln(.x x I x x e e x dx --= +-+? 解 1()x x f x e e -=-是奇函数， ∵112()(),()ln(x x f x e e f x f x x --=-=-=+是奇 函数， ∵ 222()ln(ln f x x -=-+ = 2ln1ln(()x f x =-=- 因此()ln(x x x e e x --是奇函数。 于是1 1 6 61 2027 I x dx x dx -= +== ? ?。 例2 设()()F x f x '=，则下列结论正确的是 (A)若()f x 为奇函数，则()F x 为偶函数。 (B)若()f x 为偶函数，则()F x 为奇函数。 (C)若()f x 为周期函数，则()F x 为周期函数。 (D)若()f x 为单调函数，则()F x 为单调函数。 解 (B)不成立，反例3 2 (),()13 x f x x F x ==+ (C)不成立，反例()cos 1,()sin f x x F x x x =+=+ (D)不成立，反例2 ()2,()(,)f x x F x x ==-∞+∞在内 (A)成立。 证明 0 ()(0)(),x F x F f t dt f =+ ? 为奇函数， 第五章 定积分的概念 教学目的与要求： 1． 解变上限定积分定义的函数，及其求导数定理，掌握牛顿—莱布尼茨公式。 2． 解广义积分的概念并会计算广义积分。 3．掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、变力做功、引力、压力和函数的平均值等）。 5.1定积分概念 一． 定积分的定义 不考虑上述二例的几何意义，下面从数学的角度来定义定积分 定义 设函数f(x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入若干个分点 ， 把区间[a,b]分成n 个小区间，记 },......,,max{,,......2,1,211n i i i x x x n i x x x ???==-=?-λ在[i i x x ,1-] 上任意取一点 i ξ，作和式：)1.......( )(1 i n i i x f ?∑=ξ 如果无论[a,b]作怎样分割，也无论 i ξ在[i i x x ,1-]怎样选取，只要0→λ有 →?∑=i n i i x f 1 )(ξI （I 为一个确定的常数），则称极限I 是f(x)在[a,b]上的定积分，简称 积分，记做 ? b a dx x f )(即I=?b a dx x f )(其中f(x)为被积函数，f(x)dx 为积分表达式，a 为 积分下限，b 为积分上限，x 称为积分变量，[a,b]称为积分区间。 注 1． 定积分还可以用 δε-语言定义 2由此定义，以上二例的结果可以表示为A= ? b a dx x f )(和S=?2 1 )(T T dt t v 3有定义知道 ? b a dx x f )(表示一个具体的书，与函数f(x)以及区间[a,b]有关，而与积分变量x 无关，即 ? b a dx x f )(=?b a du u f )(=?b a dt t f )( 4定义中的 0→λ不能用∞→n 代替 5如果i n i i x f Lim ?∑=→1 )(ξλ存在，则它就是f(x)在[a,b]上的定积分，那么f(x)必须在[a,b] 上满足什么条件f(x)在[a,b]上才可积分呢？ 经典反例： ?? ?=中的无理点， 为，中的有理点， 为]10[0]10[,1)(x x x f 在[0，1]上不可积。 可见函数f(x)在什么情况下可积分并不是一件容易的事情。 以下给出两个充分条件。 定理1 设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。 定理2 设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。 定理3 设f(x)在区间[a,b]上单调，则f(x)在[a,b]上可积。 6几何意义 当f(x) ≥0时，?b a dx x f )(表示曲边梯形的面积；当f(x)≤ 0时，?b a dx x f )(表示曲边 梯形的面积的负值；一般地，若f(x)在[a,b]上有正有负，则? b a dx x f )(表示曲边梯形面积的 代数和。 [例1]计算 ? 1 dx e x 解：显然f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积，现将[0，1]分成n 个等分，分点为高等数学讲义(一)
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