2019年数学周报杯试题答案

中国教育学会中学数学教学专业委员会

“《数学周报》杯”2019年全国初中数学竞赛试题参考答案

一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分.其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）

1．若

20 10a b b c ==，，则

a b

b c

++的值为（ ）． （A ）1121 （B ）2111 （C ）11021 （D ）210

11

解：D 由题设得1

201210

111

1110

a a

b b

c b c b +++===

+++． 2．若实数a ，b 满足21

202

a a

b b -++=，则a 的取值范围是 （ ）．

（A ）a ≤2- （B ）a ≥4 （C ）a ≤2-或 a ≥4 （D ）2-≤a ≤4 解．C

因为b 是实数，所以关于b 的一元二次方程21

202

b ab a -++=

的判别式 21

()41(2)2a a ?--??+＝≥0,解得a ≤2-或 a ≥4．

3．如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝135°，∠C ＝120°，AB

=BC

=4-CD

＝，则AD 边的长为（ ）．

（A

）

（B ）64

（C ）64+ （D ）622+ 解：D

如图，过点A ，D 分别作AE ，DF 垂直于直线BC ，垂足分别为E ，F ．

由已知可得

BE =AE

，CF

＝，DF ＝

，

于是 EF ＝4

＋．

过点A 作AG ⊥DF ，垂足为G ．在Rt △ADG 中，根据勾股定理得

AD ==

2+

4．在一列数123x x x ，，，……中，已知11=x ，且当k ≥2时，1121444k k k k x x -?--?????=+-- ?

??????????

（取整符号[]a 表示不超过实数a 的最大整数，例如[]2.62=，[]0.20=），则2010x 等于（ ）．

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 解：B

由11=x 和1121444k k k k x x -?--?

????=+-- ?????

??????

可得 11x =，22x =，33x =，44x =，

51x =，62x =，73x =，84x =，

……

因为2019=4×502+2，所以2010x =2．

5．如图，在平面直角坐标系xOy 中，等腰梯形ABCD 的顶点坐标分别为A （1，1），B （2，－1），C （－2，－1），D （－1，1）．y 轴上一点P （0，2）绕点A 旋转180°得点P 1，点P 1绕点B 旋转180°得点P 2，点P 2绕点C 旋转180°得点P 3，点P 3绕点D 旋转180°得点P 4，……，重复操作依次得到点P 1，P 2，…， 则点P 2019的坐标是（ ）．

（A ）（2019，2） （B ）（2019，2-） （C ）（2019，2-） （D ）（0，2）

解：B 由已知可以得到，点1P ，2P 的坐标分别为（2，0），（2，2-）．

记222 )P a b （，

，其中222,2a b ==-． 根据对称关系，依次可以求得：

322(42)P a b --，－－，422(2)P a b ++，4，522(2)P a b ---，，622(4)P a b +，．

令662(,)P a b ，同样可以求得，点10P 的坐标为（624,a b +），即10

P （2242,a b ?+）， 由于2019=4?502+2，所以点2010P 的坐标为（2019，2-）． 二、填空题

6．已知a ＝5－1，则2a 3＋7a 2－2a －12 的值等于 ．

解：0

由已知得 (a ＋1)2＝5，所以a 2＋2a ＝4，于是

2a 3＋7a 2－2a －12＝2a 3＋4a 2＋3a 2－2a －12＝3a 2＋6a －12＝0．

7．一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶．在某一时刻，客车在前，小轿车在后，货车在客车与小轿车的正中间．过了10分钟，小轿车追上了货车；又过了5分钟，小轿车追上了客车；再过t 分钟，货车追上了客车，则t ＝ ．

解：15

设在某一时刻，货车与客车、小轿车的距离均为S 千米，小轿车、货车、客车的速度分别为a b c ，，（千米/分），并设货车经x 分钟追上客车，由题意得

()10a b S -=， ①

()152a c S -=， ② ()x b c S -=．

③ 由①②，得30b c S -=（），所以，x =30． 故 3010515t =--=（分）

． 8．如图，在平面直角坐标系xOy 中，多边形OABCDE 的顶点坐标分别是O （0，0），A （0，6），B （4，6），C （4，4），D （6，4），E （6，0）．若直线l 经过点M （2，3），且将多边形OABCDE 分割成面积相等的两部分，则直线l 的函数

表达式是 ．

解：111

33

y x =-+

如图，延长BC 交x 轴于点F ；连接OB ，AF ；连接CE ，DF ，且相交于点N ． 由已知得点M （2，3）是OB ，AF 的中点，即点M 为矩形ABFO 的中心，所以直线l 把矩形ABFO 分成面积相等的两部分．又因为点N （5，2）是矩形CDEF 的中心，所以，

过点N （5，2）的直线把矩形CDEF 分成面积相等的两部分．

于是，直线MN 即为所求的直线l ．

（第8题

设直线l 的函数表达式为y kx b =+，则2352k b k b =??+=?+，

，

解得 13

11.

3k b ?=-????=??

，,故所求直线l 的函数表达式为11133y x =-+．

9．如图，射线AM ，BN 都垂直于线段AB ，点E 为AM 上一点，过点A 作BE 的垂线AC 分别交BE ，BN 于点F ，C ，过点C 作AM 的垂线CD ，垂足为D ．若CD ＝CF ，则

AE

AD = ． 解：

2

1

5- 见题图，设,FC m AF n ==．

因为Rt △AFB ∽Rt △ABC ，所以 2AB AF AC =?． 又因为 FC ＝DC ＝AB ，所以 2()m n n m =+，即 2()10n n

m m

+-=，

解得

12n m =

，或12

n m =（舍去）． 又Rt △AFE ∽Rt △CFB ，所以

AE AE AF n

AD BC FC m ===

=12， 即AE

AD

=12． 10．对于i =2，3，…，k ，正整数n 除以i 所得的余数为i －1．若n 的最小值0n 满足

020003000n <<，则正整数k 的最小值为 ．

解：9 因为1n +为2 3 k ，，，的倍数，所以n 的最小值0n 满足

[]012 3 n k +=，，，，

其中[]2 3 k ，，，表示2 3 k ，，

，的最小公倍数． 由于[][]2 3 88402 3 92520 ==，，，，，，

，， [][]2 3 1025202 3 1127720==，，，，，，

，， 因此满足020003000n <<的正整数k 的最小值为9．

（第9题）

三、解答题（共4题，每题20分，共80分）

11．如图，△ABC 为等腰三角形，AP 是底边BC 上的高，点D 是线段PC 上的一点，BE 和CF 分别是△ABD 和△ACD 的外接圆直径，连接EF . 求证： tan EF

PAD BC

∠=

．

证明：如图，连接ED ，FD . 因为BE 和CF 都是直径，所以

ED ⊥BC ， FD ⊥BC ，

因此D ，E ，F 三点共线. …………（5分） 连接AE ，AF ，则

AEF ABC ACB AFD ∠=∠=∠=∠，

所以，△ABC ∽△AEF . …………（10分）

作AH ⊥EF ，垂足为H ，则AH =PD . 由△ABC ∽△AEF 可得

EF

AH

BC AP =， 从而

E F

P D

B C

A P

=， 所以 t a n P D E F

PAD AP BC ∠==. …………（20分）

12．如图，抛物线2

y ax bx =+（a >0）与双曲线k

y x

=

相交于点A ，B . 已知点A 的坐标为（1，4），点B 在第三象限内，且△AOB 的面积为3（O 为坐标原点）.

（1）求实数a ，b ，k 的值；

（2）过抛物线上点A 作直线AC ∥x 轴，交抛物线于另一点C ，求所有满足△EOC ∽△AOB 的点E 的坐标.

解：（1）因为点A （1，4）在双曲线k y x =

上，

所以k=4. 故双曲线的函数表达式为x

y 4

=.

设点B （t ，4

t

），0t <，AB 所在直线的函数表达式为y mx n =+，则有

44

m n mt n t

=+??

?=+??，

， 解得4m t =-，4(1)t n t +=. 于是，直线AB 与y 轴的交点坐标为4(1)0,

t t +?

?

???

，故 ()141132AOB t S t t

?+=?-=（）

，整理得22320t t +-=，

解得2t =-，或t ＝2

1

（舍去）．所以点B 的坐标为（2-，2-）．

因为点A ，B 都在抛物线2

y ax bx =+（a >0）上，所以

4422a b a b +=??-=-?，， 解得13.

a b =??

=?，

…………（10分） （2）如图，因为AC ∥x 轴，所以C （4-，4），于是CO ＝42. 又BO =22，所以

2=BO

CO

. 设抛物线2

y ax bx =+（a >0）与x 轴负半轴相交于点D ， 则点D 的坐标为（3-，0）.

因为∠COD ＝∠BOD ＝45?，所以∠COB =90?.

（i ）将△BOA 绕点O 顺时针旋转90?，得到△1B OA '.这时，点B '(2-，2)是CO 的中点，点1A 的坐标为（4，1-）.

（第12题）

延长1OA 到点1E ，使得1OE =12OA ，这时点1E （8，2-）是符合条件的点.

（ii ）作△BOA 关于x 轴的对称图形△2B OA '，得到点2A （1，4-）；延长2OA 到点2E ，使得2OE ＝22OA ，这时点E ２（2，8-）是符合条件的点．

所以，点E 的坐标是（8，2-），或（2，8-）. …………（20分）

13．求满足22282p p m m ++=-的所有素数p 和正整数m .

．解：由题设得(21)(4)(2)p p m m +=-+，

所以(4)(2)p m m -+，由于p 是素数，故(4)p m -，或(2)p m +. ……（5分） （1）若(4)p m -，令4m kp -=，k 是正整数，于是2m kp +>，

2223(21)(4)(2)p p p m m k p >+=-+>，

故2

3k <，从而1k =.

所以4221m p m p -=??

+=+?，，解得59.

p m =??=?，

…………（10分）

（2）若(2)p m +，令2m kp +=，k 是正整数. 当5p >时，有46(1)m kp kp p p k -=->-=-，

223(21)(4)(2)(1)p p p m m k k p >+=-+>-，

故(1)3k k -<，从而1k =，或2.

由于(21)(4)(2)p p m m +=-+是奇数，所以2k ≠，从而1k =.

于是4212m p m p -=+??

+=?，

，

这不可能.

当5p =时，2

263m m -=，9m =；当3p =，2

229m m -=，无正整数解；当

2p =时，2218m m -=，无正整数解.

综上所述，所求素数p =5，正整数m =9. …………（20分）

14．从1，2，…，2019这2019个正整数中，最多可以取出多少个数，使得所取出的数中任意三个数之和都能被33整除？

解：首先，如下61个数：11，1133+，11233+?，…，116033+?（即1991）满足题设条件. …………（5分） 另一方面，设12n a a a <<

<是从1，2，…，2019中取出的满足题设条件的数，对于

这n 个数中的任意4个数i j k m a a a a ，，，，因为

33()i k m a a a ++， 33()j k m a a a ++，

所以 33()j i a a -.

因此，所取的数中任意两数之差都是33的倍数. …………（10分） 设133i i a a d =+，i =1，2，3，…，n .

由12333()a a a ++，得12333(33333)a d d ++，

所以1333a ，111a ，即1a ≥11. …………（15分）

133n n a a d -=

≤201011

6133

-<， 故n d ≤60. 所以，n ≤61.

综上所述，n 的最大值为61. …………（20分）