【中考冲刺】初三数学培优专题 04 根与系数关系(含答案)(难)
根与系数关系
阅读与思考
根与系数的关系称为韦达定理，其逆定理也成立，是由16世纪的法国数学家韦达所发现的．韦达定 理形式简单而内涵丰富，在数学解题中有着广泛的应用，主要体现在： 1．求方程中字母系数的值或取值范围； 2．求代数式的值；
3．结合根的判别式，判断根的符号特征； 4．构造一元二次方程； 5．证明代数等式、不等式．
当所要求的或所要证明的代数式中的字母是某个一元二次方程的根时，可先利用根与系数的关系找 到这些字母间的关系，然后再结合已知条件进行求解或求证，这是利用根与系数的关系解题的基本思路，需要注意的是，应用根与系数的关系的前提条件是一元二次方程有两个实数根，所以，应用根与系数的关系解题时，必须满足判别式△≥0．
例题与求解
【例1】设关于x 的二次方程2
2
(4)(21)10m x m x -+-+=(其中m 为实数)的两个实数根的倒数和为
s ，则s 的取值范围是_________.
【例2】 如果方程2
(1)(2)0x x x m --+=的三个根可以作为一个三角形的三边长，那么，实数m 的取
值范围是_________.
A ．01m ≤≤
B ．34m ≥
C ．314m <≤
D ．3
14
m ≤≤
【例3】已知α，β是方程2
780x x -+=的两根，且αβ>．不解方程，求22
3βα
+的值．
【例4】 设实数,s t 分别满足22
199910,99190s s t t ++=++=并且1st ≠，求41
st s t
++的值．
【例5】（1）若实数,a b 满足2
58a a +=，2
58b b +=，求代数式11
11
b a a b --+
--的值； （2）关于,,x y z 的方程组32236
x y z a
xy yz zx ++=⎧⎨
++=⎩有实数解(,,)x y z ，求正实数a 的最小值；
（3）已知,x y 均为实数，且满足17xy x y ++=，2
2
66x y xy +=，求4
3
2
2
3
4
x x y x y xy y ++++的值．
【例6】 ,,a b c 为实数，0ac <0++=，证明一元二次方程2
0ax bx c ++=有大于
1的根．
能力训练
A 级
1．已知m ，n 为有理数，且方程2
0x mx n ++=2，那么m n += ．
2．已知关于x 的方程2
30x x m -+=的一个根是另一个根的2倍，则m 的值为 ． 3．当m = 时，关于x 的方程2
2
8(26)210x m m x m -+-+-=的两根互为相反数； 当 时，关于x 的方程2
2
240x mx m -+-=的两根都是正数；当 时，关于m
的方程2
3280x x m ++-=有两个大于2-的根．
4．对于一切不小于2的自然数n ．关于x 的一元二次方程2
2
(2)20x n x n -+-=的两根记为
,n n a b (2)n ≥则
22332007200711
1
(2)(2)(2)(2)
(2)(2)
a b a b a b ++
+
=------ ．
5．设12,x x 是方程2
2
2(1)(2)0x k x k -+++=的两个实根，且12(1)(1)8x x ++=，则k 的值为（ ） A ．31-或 B ．3- C ．1 D ．1
2
k ≥
的一切实数 6．设12,x x 是关于x 的一元二次方程2
2x x n mx ++-=的两个实数根，且1210,30x x x <-<，则 （ ）
A ．12m n >⎧⎨>⎩
B ．12m n >⎧⎨<⎩
C ．12m n <⎧⎨>⎩
D ．12m n <⎧⎨<⎩
7．设12,x x 是方程2
20x x k +-=的两个不等的实数根，则22122x x +-是（ ）
A ．正数
B ．零
C ．负数
D ．不大于零的数
8．如图，菱形ABCD 的边长是5，两对角线交于O 点，且AO ，BO 的长分别是关于x 的方程
22(21)30x m x m +-++=的根，那么m 的值是（ ）
A ．3-
B ．5
C ．53-或
D ．53-或
9．已知关于x 的方程：2
2
(2)04
m x m x --=． （1）求证：无论m 取什么实数值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若这个方程的两个根是12,x x ，且满足212,x x =+求m 的值及相应的12,x x ．
10．已知12,x x 是关于x 的一元二次方程2
430kx x +-=的两个不相等的实数根． （1）求k 的取值范围；
（2）是否存在这样的实数k ，使1212
3
222x x x x +-=成立？若存在，求k 的值；若不存在，说明理由．
11．如图，已知在△ABC 中，∠ACB ＝90°，过C 点作CD ⊥AB 于D ，设AD ＝m ，BD ＝n ，且AC 2：BC 2
＝2：1；又关于x 的方程012)1(24
12
2=-+--m x n x 两实数根的差的平方小于192，求整数m 、n 的值．
D
B
A
C
12．已知,m n 是正整数，关于x 的方程2
()0x mnx m n -++=有正整数解，求,m n 的值．
B 级
1．设1x ，2x 是二次方程032
=-+x x 的两根，则3212419x x -+= ．
2．已知1ab ≠，且有25199580a a ++=及2
8199550b b ++=则
a
b
= ． 3．已知关于x 的一元二次方程2
610x x k -++=的两个实数根是12,x x ，且221224x x +=，则
k = ．
4．已知12,x x 是关于x 的一元二次方程2
2x ax a ++=的两个实数根，则1221(2)(2)x x x x --的最大
值为 ．
5．如果方程2
10x px ++=（p ＞0）的两根之差为1，那么p 等于（ ）
A ．2
B ．4
C
D 6．已知关于x 的一元二次方程2
210x mx m -+-=的两个实数根分别是12,x x ，且22127x x +=，则
212()x x -的值是 ( )
A ．1
B ．12
C ．13
D ．25
7．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，a 、b 是关于x 的方程0772=++-c x x 的两根，那么AB 边上的中线长是 ( ) A ．
23 B ．2
5
C ．5
D ．2 8．设2
13a a +=，2
13b b +=且a b ≠，则代数式
22
11
a b +的值为（ ） A ．5 B ．7 C ．9 D ．11
9．已知,a b 为整数，a b >，且方程2
33()40x a b x ab +++=的两个根,αβ满足关系式
(1)(1)(1)(1)ααββαβ+++=++．试求所有整数点对(,)a b ．
10．若方程2
310x x ++=的两根,αβ也是方程6
2
0x px q -+=的两根，其中,p q 均为整数，求,p q 的
值．
11. 设,a b 是方程2310x x -+=的两根，c ，d 是方程2
420x x -+=的两根，已知
a b c d
M b c d c d a d a b a b c
+++=++++++++．求证：
（1）
2222
77a b c d M b c d c d a d a b a b c +++=-++++++++； （2）
3333
4968a b c d M b c d c d a d a b a b c
+++=-++++++++．
12．设m 是不小于1-的实数，使得关于x 的一元二次方程22
2(2)310x m x m m +-+-+=有两个不相等实数根12,x x ．
（1）若22
126x x +=，求m 的值；
（2）求22
1212
11mx mx x x +
--的最大值．
13．已知关于x 的一元二次方程2
0x cx a ++=的两个整数根恰好比方程2
0x ax b ++=的两个根都大1，求a b c ++的值．
根与系数的关系
例1. 15
2
s ≥-
且3,5s s ≠-≠ 例2. C 提示: 设三根为121,,x x ,则121x x -< 例 3. 设22
3,A βα
=+22
3,B αβ=
+ 31004A B += ①
A B -= ② 解由① ②联立的 方程组得
1
(4038
A =-
例 4. 0,s ≠故第一个等式可变形为211()99()190,s s ++= 又
1
1,,st t s
≠∴是一元二次方程
299190x x ++=的两个不同实根, 则11
99,19,t t s s
+=-=即199,19.st s t s +=-=
故
41994519st s s s
t s
++-+==- 例5. (1) 当a b =时, 原式=2; 当a b ≠时, 原式=-20, 故原式的值为2或-20 (2) 由方程组得232,326(6),x y a z x y z az +=-=-+易知3,2x y 是一元二次方程
22()6(6)0t a z t z az --+-+=的两个实数根,0∴∆≥, 即2223221440z az a -+-≤,
由z 为实数知,22'(22)423(144)0,a a ∆=--⨯⨯-≥
解得a 故正实数a
(3) xy 与x y +是方程217660m m -+=的两个实根,解得11,
6x y xy +=⎧⎨=⎩
或
6,
()xy 11.x y +=⎧⎨
=⎩
舍原式=()()2
22222212499x y x y xy x y +-++=．
例6 解法一：∵ac ＜0，2=40b ac ∆-＞，∴原方程有两个异号实根，不妨设两个根为x 1，x 2，且x 1<0 由韦达定理得x 1+ x 2=b a -，12c x x a =， 由0+=， 得0b c a a =， 即 )12120x x x ++= ，解得2x = ，假设2x ，则，由10x ＜ 推得 3- 不成立，故2x ；假设21x ≥ 1，由10x ＜ 推得10x ，矛盾．故21x ＜ 21x ＜．解法二：设()2f x ax bx c =++ ，由条件得) b =， 得 ) 3355f a c a c =++=+= ， ( ) 1f a b c a a c ⎤=++=- ⎦ ．若a ＞0，0c ＜， 则 0f ＜，()10f ＞；若a ＜0， 0c ＞ ，则0f ＞，()10f ＜．∴0ac ＜ 时，总有 ()10f f .＜ 1之间． A 级 1．3 2．2 3．-2 m ＞2 0＜m ≤1 83 提示：12x -＞，22x -＞与124x x +-＞，124x x ⋅＞不等价． 4．100134016 - 提示：由条件得2n n a b n +=+，22n n a b n ⋅=-，则()()()2221n n a b n n --=-+，则 ()()21 1112221n a b n n ⎛⎫=-- ⎪--+⎝⎭ ． 5．C 6．C 7．A 8．A 9．提示：（1）()2 =2120m ∆-+＞ （2）2124m x x =-≤0，m =4或m =0． 10．（1）4 3 k - ＞且0k ≠ （2）存在k =4 11．由题意得2m n =，224840n m n --+＜．当n =1时，m =2；当n =2时，m =4． 12．设方程两根为1x ，2x ，则1212 , .x x mn x x m n +=⎧⎨=+⎩∵m ，n ，1x ，2x 均为正 整数，设121x x ≥≥，1m n ≥≥，则()1212x x x x mn m n +-=-+，即有()()()()1211112x x m n --+--=，则 ()()()()12112,1,0,110,1,2.x x m n ⎧--=⎪⎨ --=⎪⎩ ∴123,2,5, 2,2,1,5,2,3,1,2,2. x x m n =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩故5,2,3,1;2; 2.m m m n n n ===⎧⎧⎧⎨⎨⎨===⎩⎩⎩ B 级 1．0 提示：由条件得21130x x +-=，22 230x x +-=，∴2113x x =-，2 223x x =-，∴()3211111111333343x x x x x x x x =-=-+=-+=-， ∴原式=()()121212434319431241944x x x x x x ---+=--++=++．又∵121x x +=-,∴原式=0． 2．8 5 3．5 4．638- 提示：()2=240a ∆-+＞，原式=2 963632488a ⎛ ⎫---- ⎪⎝ ⎭≤． 5．D 6．C 7．B 8．B 9．()231αβαβ+-=，由根与系数关系得()241a b ab +-=，即()2 1a b -=，a -b =1．又由0∆≥得()2 316a b ab +≥，从而()2 4a b +≤．由a -b =1，()2 4a b +≤，得满足条件的整数点对（a ，b ）是（1,0） 或（0，-1）． 104 4 47αβ+=，66 2 2 48p αβαβ-==-，()2244227q αβαβαβ-==-． 11．a +b =3,c +d =4,ab =1,cd =2,a +b +c +d =7,222219a b c d +++=． (1)原式=()()()()7a a b c d a b c d d a b c d d a b c a a b c d a b c b c d +++-+++++-+++=-++++++…+ 77777.b c d b c d M c d a d a b a b c +-+-+-=-++++++ （2）原式= ()() ()() 2222a a b c d a b c d d a b c d d a b c b c d a b c +++-+++++-+++=++++…+ ()()22227774968M a b c d M --+++=-． 12．（1 ）m =． （2）原式=()()()222 1212122 1212352312122m x x x x x x m m m x x x x ⎡⎤+-+⎛⎫⎣⎦=-+=-- ⎪-++⎝ ⎭． ∵11m -≤≤,∴当m =-1时， 22 1212 11mx mx x x +--的最大值为10． 13．设20x ax b ++=的两根分别为,αβ（其中,αβ为整数且αβ≤），则方程20x cx a ++=的两根分别为1,1αβ++，又∵ ,(1)(1)a a αβαβ+=-++=，两式相加，得2210αβαβ+++=，即(2)(2)3αβ++=，从而21 23αβ+=⎧⎨ +=⎩ ， 或2321αβ+=-⎧⎨+=-⎩，解得12αβ=-⎧⎨=⎩，或53αβ=-⎧⎨=-⎩，∴0 12 a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，或8156 a b c =⎧⎪ =⎨⎪ =⎩，∴3a b c ++=-或29． 根与系数关系 阅读与思考 根与系数的关系称为韦达定理，其逆定理也成立，是由16世纪的法国数学家韦达所发现的．韦达定 理形式简单而内涵丰富，在数学解题中有着广泛的应用，主要体现在： 1．求方程中字母系数的值或取值范围； 2．求代数式的值； 3．结合根的判别式，判断根的符号特征； 4．构造一元二次方程； 5．证明代数等式、不等式． 当所要求的或所要证明的代数式中的字母是某个一元二次方程的根时，可先利用根与系数的关系找 到这些字母间的关系，然后再结合已知条件进行求解或求证，这是利用根与系数的关系解题的基本思路，需要注意的是，应用根与系数的关系的前提条件是一元二次方程有两个实数根，所以，应用根与系数的关系解题时，必须满足判别式△≥0． 例题与求解 【例1】设关于x 的二次方程2 2 (4)(21)10m x m x -+-+=(其中m 为实数)的两个实数根的倒数和为 s ，则s 的取值范围是_________. 【例2】 如果方程2 (1)(2)0x x x m --+=的三个根可以作为一个三角形的三边长，那么，实数m 的取 值范围是_________. A ．01m ≤≤ B ．34m ≥ C ．314m <≤ D ．3 14 m ≤≤ 【例3】已知α，β是方程2 780x x -+=的两根，且αβ>．不解方程，求22 3βα +的值． 【例4】 设实数,s t 分别满足22 199910,99190s s t t ++=++=并且1st ≠，求41 st s t ++的值． 【例5】（1）若实数,a b 满足2 58a a +=，2 58b b +=，求代数式11 11 b a a b --+ --的值； （2）关于,,x y z 的方程组32236 x y z a xy yz zx ++=⎧⎨ ++=⎩有实数解(,,)x y z ，求正实数a 的最小值； （3）已知,x y 均为实数，且满足17xy x y ++=，2 2 66x y xy +=，求4 3 2 2 3 4 x x y x y xy y ++++的值． 【例6】 ,,a b c 为实数，0ac <0++=，证明一元二次方程2 0ax bx c ++=有大于 1的根． 能力训练 A 级 1．已知m ，n 为有理数，且方程2 0x mx n ++=2，那么m n += ． 2．已知关于x 的方程2 30x x m -+=的一个根是另一个根的2倍，则m 的值为 ． 3．当m = 时，关于x 的方程2 2 8(26)210x m m x m -+-+-=的两根互为相反数； 当 时，关于x 的方程2 2 240x mx m -+-=的两根都是正数；当 时，关于m 中考数学根与系数关系培优练习 阅读与思考 根与系数的关系称为韦达定理，其逆定理也成立，是由16世纪的法国数学家韦达所发现的．韦达定 理形式简单而内涵丰富，在数学解题中有着广泛的应用，主要体现在： 1．求方程中字母系数的值或取值范围； 2．求代数式的值； 3．结合根的判别式，判断根的符号特征； 4．构造一元二次方程； 5．证明代数等式、不等式． 当所要求的或所要证明的代数式中的字母是某个一元二次方程的根时，可先利用根与系数的关系找 到这些字母间的关系，然后再结合已知条件进行求解或求证，这是利用根与系数的关系解题的基本思路，需要注意的是，应用根与系数的关系的前提条件是一元二次方程有两个实数根，所以，应用根与系数的关系解题时，必须满足判别式△≥0． 例题与求解 【例1】设关于x 的二次方程22(4)(21)10m x m x -+-+=(其中m 为实数)的两个实数根的倒数和为 s ，则s 的取值范围是_________. 【例2】 如果方程2 (1)(2)0x x x m --+=的三个根可以作为一个三角形的三边长，那么，实数m 的取 值范围是_________. A ．01m ≤≤ B ．34m ≥ C ．314m <≤ D ．3 14 m ≤≤ 【例3】已知α，β是方程2 780x x -+=的两根，且αβ>．不解方程，求22 3βα +的值． 【例4】 设实数,s t 分别满足22199910,99190s s t t ++=++=并且1st ≠，求41 st s t ++的值． 【例5】（1）若实数,a b 满足2 58a a +=，2 58b b +=，求代数式11 11 b a a b --+--的值； （2）关于,,x y z 的方程组32236 x y z a xy yz zx ++=?? ++=?有实数解(,,)x y z ，求正实数a 的最小值； （3）已知,x y 均为实数，且满足17xy x y ++=，2266x y xy +=，求432234x x y x y xy y ++++的值． 【例6】 ,,a b c 为实数，0ac <，且2350a b c ++=，证明一元二次方程2 0ax bx c ++=有大于 3 5 而小于1的根． 能力训练 A 级 1．已知m ，n 为有理数，且方程2 0x mx n ++=有一个根是52-，那么m n += ． 2．已知关于x 的方程2 30x x m -+=的一个根是另一个根的2倍，则m 的值为 ． 3．当m = 时，关于x 的方程22 8(26)210x m m x m -+-+-=的两根互为相反数； 当 时，关于x 的方程2 2 240x mx m -+-=的两根都是正数；当 时，关于m 拓展训练 2020年冀教版数学九年级上册 24.3 一元二次方程根与系数的关系 基础闯关全练 1．关于x 的方程2x 2+mx+n=0的两个根是-2和1，则n ?的值为 ( ) A ．-8 B ．8 C ．16 D ．-16 2．一元二次方程2x 2-mx +2=0有一根是x=1，则另一根是 ( ) A.x=1 B.x= -1 C.x=2 D.x=4 能力提升全练 1．若α，β是一元二次方程3x 2+2x -9=0的两根，则的值是 ( ) A ． B ． C ． D ． 2．已知x ?，x ?是方程2x 2-3x-1=0的两根，则____． 3．已知关于x 的一元二次方程x 2-3x+m=0有两个不相等的实数根x ?、x ?． (1)求m 的取值范围； (2)当x ?=1时，求另一个根x ?的值． 三年模拟全练 一、选择题 1．（2019河北石家庄新世纪外国语学校月考，4，★☆☆）若关于x 的方程x 2+3x+a=0有一个根为1，则另一个根为( ) A ．-3 B ．2 C ．4 D ．-4 2．（2019河北唐山乐亭期中，6，★☆☆）若矩形的长和宽是方程x 2-7x+12=0的两根，则矩形对角线的长度为 ( ) A ．5 B ．7 C ．8 D ．10 二、填空题 3．（2019河北衡水武邑中学月考，13，★☆☆）已知x ?、x ?是关于x 的方程x 2+ax -2b=0的两个实数根，且x ?+x ?=-2，x ?·x ?=1，则的值是_________． 4．（2018河北保定定州期中，22，★☆☆）已知关于x 的方程 x 2+2x+a-2=0． (1)若该方程有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围； (2)当该方程的一个根为1时，求a 的值及方程的另一根． 五年中考全练 一、选择题 1．（2018广西贵港中考，6，★☆☆）已知α，β是一元二次方程x 2+x -2=0的两个实数根，则α+β-αβ的值是 ( ) A ．3 B ．1 C.-1 D ．-3 二、填空题 2．（2018江苏南京中考，12，★☆☆）设x ?，x ?是一元二次方程x 2-mx-6=0的两个根，且x ?+x ?=1，则x ?=____，x ?=____. 三、解答题 3．（2017湖北黄冈中考，17，★★☆）已知关于x 的一元二次方程x 2+( 2k+1)x+k 2 =0①有两个不相等的实数根． (1)求k 的取值范围； (2)设方程①的两个实数根分别为x ?，x ?，当k=1时，求2221x x 的值 4．（2014四川南充中考，20，★★☆）已知关于x 的一元二次方程x 2-x+m=0有两个不相等的实数根． (1)求实数m 的最大整数值； 2021-2022学年北师大版九年级数学上册《2.5一元二次方程的根与系数的关系》解答题 专题培优提升训练（附答案） 1．已知关于x的方程2mx2﹣（5m﹣1）x+3m﹣1＝0． （1）求证：无论m为任意实数，方程总有实数根． （2）如果这个方程的根的判别式的值等于1，求m的值． 2．关于x的一元二次方程x2﹣2x+3m﹣2＝0有实数根． （1）求m的取值范围； （2）若m为正整数，求出此时方程的根． 3．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0的两个实数根，求m的取值范围． 4．已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+a﹣1＝0有实数根． （1）求a的取值范围； （2）当a为符合条件的最大整数时，求此时方程的解． 5．已知y1＝x2﹣2x+3．y2＝x+m． （1）若m＝1，当x取何值时y1＝y2？ （2）若y1＝2y2，当m为何范围时，存在两个不同的x值？ 6．已知关于x的一元二次方程|x2﹣1|＝（x﹣1）（kx﹣2）： （1）若k＝3，求方程的解； （2）若方程恰有两个不同解，求实数k的取值范围． 7．已知关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣3＝0有实数根． （ⅰ）求实数k的取值范围； （ⅱ）当k＝2时，方程的根为x1，x2，求代数式（x12+2x1﹣1）（x22+4x2+3）的值． 8．已知关于x的一元二次方程：x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）＝0． （1）求证：这个方程总有两个实数根； （2）若等腰△ABC的一边长a＝4，另两边长b、c，恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC的周长． （3）若方程的两个实数根之差等于3，求k的值． 9．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+4）x+m2+4m＝0． （1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根． （2）设方程的两个实数根分别为x1，x2； ①求代数式﹣4x1x2的最大值； ②若方程的一个根是6，x1和x2是一个等腰三角形的两条边，求等腰三角形的周长． 10．关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1＝0有实数根． （1）求k的取值范围； （2）若方程的两根x1，x2满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝6，求k的值． 11．已知关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣1＝0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围； （2）设两个实数根是x1和x2，且x1+x2﹣2x1x2＝2，则k的值为． 12．关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围． （2）设出x1、x2是方程的两根，且x12+x22＝12，求m的值． 13．已知关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+（2m+1）x+m＝0有两个实数根x1，x2．（1）求m的取值范围． （2）若|x1|＝|x2|，求m的值及方程的根． 苏科版九年级数学上册 一元二次方程的根与系数的关系- 专题培优训练 一、选择题 1、若x 1，x 2是一元二次方程x 2+10x +16=0的两个根，则x 1+x 2的值是（ ） A ．﹣10 B ．10 C ．﹣16 D ．16 2、一元二次方程x 2+4x ﹣3=0的两根为x 1、x 2，则x 1•x 2的值是（ ） A ．4 B ．﹣4 C ．3 D ．﹣3 3、已知x 1，x 2是一元二次方程2x 2﹣3x +1＝0的两个根，下列结论正确的是（ ） A ．x 1+x 2=-23 B ．x 1•x 2＝1 C ．x 1，x 2都是有理数 D ．x 1，x 2都是无理数 4、已知关于x 的一元二次方程x 2+mx +n=0的两个实数根分别为x 1=﹣2，x 2=4，则m +n 的值是（ ） A ．﹣10 B ．10 C ．﹣6 D ．2 5、若关于x 的方程x 2+3x +a=0有一个根为﹣1，则另一个根为（ ） A ．﹣2 B ．2 C ．4 D ．﹣3 6、已知实数x 1，x 2满足x 1+x 2=7，x 1x 2=12，则以x 1，x 2为根的一元二次方程是（ ） A ．x 2﹣7x +12=0 B ．x 2+7x +12=0 C ．x 2+7x ﹣12=0 D ．x 2﹣7x ﹣12=0 7、若一元二次方程x 2﹣x ﹣2＝0的两根为x 1，x 2，则（1+x 1）+x 2（1﹣x 1）的值是（ ） A ．4 B ．2 C ．1 D ．﹣2 8、若方程x 2﹣2x ﹣4＝0的两个实数根为α，β，则α2+β2的值为（ ） A ．12 B ．10 C ．4 D ．﹣4 9、若α，β是关于x 的一元二次方程x 2﹣2x +m ＝0的两实根，且βα1 1 +＝﹣3 2，则m 等于（ ） A ．﹣2 B ．﹣3 C ．2 D ．3 10、关于x 的一元二次方程x 2+2mx +2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y 的一元二次方程y 2+2ny +2m=0同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都负根； ②（m ﹣1）2+（n ﹣1）2≥2； ③﹣1≤2m ﹣2n ≤1， 其中正确结论的个数是（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 二、填空题 11、若方程x 2﹣3x +2＝0的两根是α、β，则α+αβ+β＝ ． 12、若方程240x x c -+=的一个根为23+，则方程的另一个根为 ，c = ． 13、设1x 、2x 是方程()222120x k x k -+++=的两个不同的实根，且()()12118x x ++=， 则k 的值是 ． 14、已知关于x 的方程x 2+（a ﹣2）x +a +1＝0的两实根x 1、x 2满足42 221=+x x ，则实数a ＝ ． 15、已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2+2x +k ﹣1＝0的两个实数根，且x 12+x 22﹣x 1x 2＝13， 则k 的值为 ． 16、已知关于x 的一元二次方程x 2﹣4x +m ﹣1＝0的实数根x 1，x 2，满足3x 1x 2﹣x 1﹣x 2＞2， 专题：一元二次方程根的判别式和根与系数的关系 例1.已知关于x的方程mx2-2m-1x+m-2=0． 1当m取何值时,方程有两个不相等的实数根； 2若x1、x2为方程的两个不等实数根,且满足x12+x22-x1x2=2,求m的值． 例2.已知关于x的方程x2-4mx+4m2-9=0． 1求证：此方程有两个不相等的实数根； 2设此方程的两个根分别为x1,x2,其中x1＜x2．若2x1=x2+1,求m的值． 例3．已知关于x的方程mx2+4-3mx+2m-8=0m＞0． 1求证：方程有两个不相等的实数根； m,且点B m,n在x轴上,求m 2设方程的两个根分别为x1、x2x1＜x2,若n=x2-x1-1 2 的值． . 例4.已知关于x的一元二次方程：x2-2m+1x+m2+5=0有两个不相等的实数根．1求m的取值范围； 2若原方程的两个实数根为x1、x2,且满足x12+x22=|x1|+|x2|+2x1x2,求m的值． 例5.已知关于x的方程x2-2k+1x+4k-1 =0． 2 1求证：无论k取什么实数值,这个方程总有实数根； 2能否找到一个实数k,使方程的两实数根互为相反数若能找到,求出k的值；若不能,请说明理由． 3当等腰三角形ABC的边长a=4,另两边的长b、c恰好是这个方程的两根时,求△ABC的周长． 训练 1.已知关于x的方程mx2-m+2x+2=0m≠0． 1求证：方程总有两个实数根； 2已知方程有两个不相等的实数根α,β,满足1 α+1 α =1,求m的值． 2.已知一元二次方程x2-2x+m=0 1若方程有两个实数根,求m的范围； 2若方程的两个实数根为x1和x2,且x1+3x2=3,求m的值．3若方程的两个实数根为x1和x2,且x12-x22=0,求m的值． 九年级数学 《一元二次方程》根与系数关系专题培优 1、下列给出的四个命题，真命题的有（）个 ①若方程ax2+bx+c=0（a≠0）两根为-1和2，则2a+c=0； ②若a2-5a+5=0，则()1 a； -a 12- = ③若b2-4ac＜0，则方程ax2+bx+c=0（a≠0）一定无解； ④若方程x2+px+q=0的两个实根中有且只有一个根为0，那么p≠0，q=0． A、4个 B、3个 C、2个 D、1个 答案：A 2、已知关于x的一元二次方程：x2-2x-a=0，有下列结论： ①当a＞-1时，方程有两个不相等的实根； ②当a＞0时，方程不可能有两个异号的实根； ③当a＞-1时，方程的两个实根不可能都小于1； ④当a＞3时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3. 以上4个结论中，正确的为（） A、①②③④ B、①②③ C、①③④ D、②③④ 答案：C 3、已知a，b是方程x2-x-1=0的两根，则代数式2a3+5a+3b3+3b+1的值是（） A、19 B、20 C、14 D、15 答案：D 4、若四个互不相等的正实数a，b，c，d满足（a2012-c2012）（a2012-d2012）=2012,（b2012-c2012）（b2012-d2012）=2012，则(ab)2012-(cd)2012的值为（） 5、规定：如果关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”现有下列结论： ①方程x 2＋2x ﹣8＝0是倍根方程； ②若关于x 的方程x 2＋ax ＋2＝0是倍根方程，则a ＝±3； ③若（x ﹣3）（mx ﹣n ）＝0是倍根方程，则n ＝6m 或3n ＝2m ； ④若点（m ，n ）在反比例函数x y 2=的图象上，则关于x 的方程mx 2﹣3x ＋n ＝0是倍根方程． 上述结论中正确的有（ ） A 、② B 、①③ C 、②③④ D 、②④ 答案：D 6、设一元二次方程(x ﹣2)(x ﹣3)﹣p 2＝0的两实根分别为α、β(α＜β)，则α、β满足（ ） A 、2＜α＜3≤β B 、α≤2且β≥3 C 、α≤2＜β＜3 D 、α＜2且β＞3 答案：B 7、关于x 的方程ax 2+(a+2)x+9a ＝0有两个不等的实数根x 1，x 2，且x 1＜1＜x 2，那么a 的取值范围是（ ） A 、72-＜a ＜52 B 、a ＞52 C 、a ＜72- D 、112- ＜a ＜0 答案：D 8、若a ≠b ，且a 2-4a+1=0，b 2-4b+1=0则 221111b a +++的值为（ ） A 、4 1 B 、1 C 、4 D 、3 答案：B 9、若α，β是方程x 2+2x-2018=0的两个实数根，则α2+3α+β的值为（ ） 初中数学一元二次方程根与系数关系专项练习题（附答案详解） 1．若一个关于x 的一元二次方程的两个根分别是数据2，4，5，4，3，5，5的众数和中位数，则这个方程是（ ） A ．x 2﹣7x+12=0 B ．x 2+7x+12=0 C ．x 2﹣9x+20=0 D ．x 2+9x+20=0 2．关于x 的方程kx 2+2x ﹣1＝0有两个实数根，则k 的取值范围是（ ） A ．k≥1 B ．k≥﹣1 C ．k≥1且k≠0 D ．k≥﹣1且k≠0 3．若m ，n 是方程2250x x --=两根，则() ()22m m m n -+的值为( ) A ．5 B ．10 C ．5- D ．10- 4．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2-6x- 15=0的两个根，则x 1+x 2等于( ) A ．-6 B ．6 C ．-15 D ．15 5．在数轴上用点B 表示实数b ．若关于x 的一元二次方程x 2+bx +1=0有两个相等的实数根，则（ ） A ．2O B = B ．2OB > C ．2OB ≥ D ．2OB < 6．若方程x 2 +x-1 = 0的两实根为α、β，那么下列说法不正确的是( ) . A ．α+β=-1 B ．αβ=-1 C ．1 1 +αβ=1 D ．α2+β2=1 7．已知x 1，x 2是关于x 的方程x 2+bx ﹣3=0的两根，且满足x 1+x 2﹣3x 1x 2=5，那么b 的值为（ ） A ．4 B ．﹣4 C ．3 D ．﹣3 8．下列关于x 的一元二次方程中，有两个不相等的实数的是( ). A ．2x +2 =0 B ．2x +x-1=0 C ．2x +x+3=0 D ．42x -4x+1=0. 9．已知关于x 的一元二次方程x 2＋mx ＋n ＝0的两个实数根分别为x 1＝－2，x 2＝4，则m ，n 的值分别为() A ．m ＝－2，n ＝8 B ．m ＝－2，n ＝－8 C ．m ＝2，n ＝－8 D ．m ＝2，n ＝8 10．已知α，β是方程2201610x x ++=的两个根，则 ()()22 1201812018ααββ++++的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 11．已知1x ，2x 分别是一元二次方程260x x --=的两个实数根，则 12x x +=________． 中考数学专项练习一元二次方程系数与根的关 系（含解析） 一、单选题 1.若、是一元二次方程的两根，则的值是（） A.- 2 B.2 C.3 D.1 2.一元二次方程x2+3x﹣a=0的一个根为﹣1，则另一个根为（） A.﹣ 2 B.2 C.4 D.﹣3 3.已知方程x2-5x+2=0的两个解分别为m，n，则m+n-mn的值是（ ） A.- 7 B.- 3 C.7 D.3 4.若关于x一元二次方程x2﹣x﹣m+2=0的两根x1 ，x2满足（x1﹣1）（x2﹣1）=﹣1，则m的值为（） A.3 B.- 3 C.2 D.-2 5.下列方程中：①x2-2x-1=0，②2x2-7x+2=0，③x2-x+1=0两根互为倒数有（） A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 6.设x1 ，x2是一元二次方程-2x-3=0的两根，则=（） A.6 B.8 C.1 D.12 7.一元二次方程x2＋x－2＝0的两根之积是() A.－ 1 B.－ 2 C.1 D.2 8.方程x2+2x-4=0的两根为x1 ，x2 ，则x1+x2的值为（） A.2 B.－ 2 C. D.－ 9.若矩形的长和宽是方程x2﹣7x+12=0的两根，则矩形的对角线之和为（） A.5 B.7 C. 8 D.10 10.假如a，b是一元二次方程x2﹣2x﹣4=0的两个根，那么a3b﹣2a2b 的值为（） A.- 8 B.8 C.-1 6 D.16 11.假如是一元二次方程的两个实数根，那么的值是（） A. B. C. D. 二、填空题 12.设x1、x2是方程x2-4x+3=0的两根，则x1+x2=________. 13.定义新运算“*”，规则：a*b= ，如1*2=2，* ．若x2+x﹣1=0的两根为x1 ，x2 ，则x1*x2=________． 14.若x1、x2是方程2x2﹣3x﹣4=0的两个根，则x1•x2+x1+x2的值为________． 15.若a、b是一元二次方程x2+2x﹣1=0的两个根，则的值是_____ ___． 16.写出一个以2和3为两根且二项系数为1的一元二次方程，你写的是________． 17.若方程x2﹣3x+1=0的两根分别为x1和x2 ，则代数式x1+x2﹣x 1x2=________． 18.若一个一元二次方程的两个根分别是1、3，请写出一个符合题意的一元二次方程________． 三、运算题 19.已知关于的一元二次方程的两个整数根恰好比方程 的两个根都大1，求的值. 20.已知一元二次方程x2﹣6x+4=0的两根分别是a，b，求 （1）a2+b2 （2）a2﹣b2的值． 四、解答题 21.已知关于x的方程x2+x+a﹣1=0有一个根是1，求a的值及方程的另一个根． 第 1 页 共 16 页 2020-2021学年人教版九年级数学上：根与系数的关系 一．选择题（共30小题） 1．关于x 的一元二次方程x 2+2x +k +1＝0的两根x 1，x 2，满足x 1+x 2﹣x 1x 2＜﹣1，则k 的取值范围是（ ） A ．k ＞﹣2 B ．k ＞2 C ．﹣2＜k ≤0 D ．0≤k ＜2 2．若x 1、x 2是方程x 2﹣5x +6＝0的两个解，则代数式（x 1+1）（x 2+1）的值为（ ） A ．8 B ．10 C ．12 D ．14 3．关于x 的一元二次方程x 2﹣5x +2p ＝0的一个根为1，则另一根为（ ） A ．﹣6 B ．2 C ．4 D ．1 4．设方程x 2﹣3x +2＝0的两根分别是x 1，x 2，则x 1+x 2的值为（ ） A ．3 B ．−3 2 C ．3 2 D ．﹣2 5．关于x 的方程x 2+2（m ﹣1）x +m 2﹣m ＝0有两个实数根α，β，且α2+β2＝12，那么m 的值为（ ） A ．﹣1 B ．﹣4 C ．﹣4或1 D ．﹣1或4 6．关于x 的方程（x ﹣1）（x +2）＝p 2（p 为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（ ） A ．两个正根 B ．两个负根 C ．一个正根，一个负根 D ．无实数根 7．下列关于一元二次方程x 2+2x ＝0的说法正确的是（ ） A ．该方程只有一个实数根x ＝2 B ．该方程只有一个实数根x ＝﹣2 C ．该方程的实数根为x 1＝0，x 2＝2 D ．该方程的实数根为x 1＝0，x 2＝﹣2 8．一元二次方程3x 2﹣8x ﹣a ＝0有一个根是x ＝3，则a 的值及方程的另一个根是（ ） A ．a ＝3，x ＝1 B ．a ＝3，x =−1 3 C ．a ＝﹣3，x =−5 3 D ．a ＝﹣1，x ＝﹣3 9．已知m 、n 是一元二次方程x 2 ﹣3x ﹣1＝0的两个实数根，则1m + 1n =（ ） A ．3 B ．﹣3 C ．1 3 D ．−1 3 10．若x 1，x 2是方程x 2﹣3x ﹣2＝0的两个根，则x 1+x 2﹣x 1•x 2的值是（ ） A ．﹣5 B ．﹣1 C ．5 D ．1 人教版九年级数学上册第 21 章 *21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 同步练习题 一、选择题 2 1. —兀二次方程 x — 2x + b = 0的两根分别为 x i 和X 2，则x i + X 2为(C) A ．－ 2 B ．b C ．2 D ．－ b 2. 若一兀二次方程 x — 4x — 3= 0的两根是m, n ,则下列说法正确的是(D) 2 x 2＋2x — k —i =0 的两根,且 x i x 2=— 3,则 k 的值为 (B) A ．i B ．2 C ．3 D ．4 4．已知一兀二次方程 x 2＋bx ＋c = 0 的两根分别为 2 和 3,则 b , c 的值分别为 (D) A ． 5, 6 B ．— 5,— 6 C ． 5,— 6 D ．— 5 , 6 5.若关于x 的一元二次方程 x 2+ 2mx + nf + m = 0的两个实数根的平方和为 12,则m 的值为(A) A ． m =— 2 B ． m = 3 C ． m = 3 或 m =— 2 D ． m =— 3 或 m = 2 6．若关于 x 的一兀二次方程 x 2—2x ＋m =0 有一个解为 x =— 1,则另一个解为 (C) A ．1 B ．— 3 C ．3 D ．4 7.若一元二次方程 x 2— 7x + 5= 0的两个实数根分别是 a , b ,则一次函数y = abx + a + b 的 图象一定不经过 (D) A.第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 22 & 一元二次方程 x — 3x + 1 = 0的两个根为 x i , X 2，贝U x i + 3x 2+ X 1X 2— 2的值是(D) A ．10 B ．9 C ．8 D ．7 二、填空题 9．不解方程,求下列各方程的两根之和与两根之积： A ． m ＋n =— 4， mn = 3 B m ＋ n =— 4, mn =— 3 C ． m ＋ n = 4, mn = 3 D m ＋ n = 4, mn =— 3 3．已知 x i , x 2 是一兀二次方程 2021－2022学年九年级数学上册课时作业(人教版) 第二十一章一元二次方程 21.2解一元二次方程 21.2.4一元二次方程的根与系数的关系 分点训练 知识点1利用根与系数的关系求两根之间关系的代数式的值 1. 设α，β是一元二次方程x2＋2x－1＝0的两个根，则α·β的值是( ) A. 2 B. 1 C. －2 D. －1 2. 下列方程两个实数根之和等于两个实数根之积的是( ) A. x2－2x－2＝0 B. x2＋x＋1＝0 C. x2＋x－1＝0 D. x2＋5x＋5＝0 3. 已知一元二次方程2x2－5x＋1＝0的两根为m，n，则m2＋n2＝. 4. 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两根x1，x2的和与积： (1)x2－9x－16＝0； (2)3x2－2＝2x； (3)3x(x－2)＝5. 5. 已知x1，x2是一元二次方程x2－4x＋1＝0的两个根. 求(1)(x1－3)(x2－3)； (2)(x1－x2)2. 知识点2利用根与系数的关系求方程中待定字母的值 6. 如果关于x的一元二次方程x2＋4x＋a＝0的两个不相等的实数根x1，x2满足x1x2－2x1－2x2－5＝0，那么a的值为( ) A. 3 B. －3 C. 13 D. －13 7. 关于x的一元二次方程x2＋2x－2m＋1＝0的两实数根之积为负数，则实数m的取值范围是. 8. 关于x的方程3x2＋mx－8＝0有一个根是2 3 ，求另一个根及m的值. 9. 若关于x的一元二次方程x2－4x＋k－3＝0的两个实数根为x1，x2且满足x1＝3x2，试求出方程的两个实数根及k的值. 强化提升 10. 一元二次方程x2－5x－4＝0的两根为x1，x2，则下列正确的是( ) A. x1＝－1，x2＝4 B. x1＝1，x2＝－4 C. x1＋x2＝5 D. x1x2＝4 专题09一元二次方程根与系数的关系大题专练（真题7道模拟30道）【方法归纳】题型概述，方法小结，有的放矢 考点考查年份考查频率 一元二次方程根与系数的关系（大题） 2021、2019、2018、2017、2016、 2014、2013 十年7考 一元二次方程根与系数的关系是北京中考的常考大题之一，主要涉及根的判别式和根与系数的关系根的判别式： 根与系数的关系： 【典例剖析】典例精讲，方法提炼，精准提分 【例1】（2021·北京·中考真题）已知关于x的一元二次方程x2−4mx+3m2=0． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若m>0，且该方程的两个实数根的差为2，求m的值． 【真题再现】必刷真题，关注素养，把握核心 1．（2013·北京·中考真题）已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k−4=0有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值． 2．（2014·北京·中考真题）已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2=0（m≠0）． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值． 3．（2016·北京·中考真题）关于x的一元二次方程x2＋（2m＋1）x＋m2-1=0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围； （2）写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根． 4．（2018·北京·中考真题）关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0． （1）当b=a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况； （2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根．5．（2019·北京·中考真题）关于x的方程x2−2x+2m−1=0有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根． 6．（2017·北京·中考真题）已知关于x的方程x2−(k+3)x+2k+2=0 （1）求证：方程总有两个实数根 （2）若方程有一个小于1的正根，求实数k的取值范围 【模拟精练】押题必刷，巅峰冲刺，提分培优 一、解答题 1．（2022·北京四中模拟预测）已知关于x的一元二次方程mx2−(2m+1)x+m+2=0 (1)若这个方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； (2)当x1⋅x2=0时，求方程的两个根 2．（2022·北京·二模）已知关于x的一元二次方程x2+ax−5=0． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有一个根是1，求方程另一个根． 3．（2022·北京市十一学校模拟预测）已知关于x的一元二次方程mx2+(2m+1)x+m+2=0有两个不相等的实数根x1，x2． (1)求m的取值范围； (2)若x1⋅x2=0，求方程的两个根． 4．（2022·北京大兴·一模）已知关于x的方程x2−2mx+m2−9=0． *专题训练(四) 一元二次方程根的判别式和根与系数的关系 类型1 一元二次方程根的判别式 1．已知一元二次方程2x2－5x＋3＝0，则该方程根的情况是( ) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．两个根都是自然数 D．无实数根 2．关于x的一元二次方程(m－2)x2＋2x＋1＝0有实数根，则m的取值范围是( ) A．m≤3 B．m＜3 C．m＜3且m≠2 D．m≤3且m≠2 3．若关于x的一元二次方程ax2＋3x－1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是______________．类型2 一元二次方程根与系数的关系 4．(防城港中考)x1，x2是关于x的一元二次方程x2－mx＋m－2＝0的两个实数根，是否存在实数m使1 x1＋ 1 x2 ＝0成立？ 则正确的结论是( ) A．m＝0时成立 B．m＝2时成立 C．m＝0或2时成立 D．不存在 5．(西宁中考)若矩形的长和宽是方程2x2－16x＋m＝0(0＜m≤32)的两根，则矩形的周长为________． 6．已知一元二次方程x2－4x－3＝0的两根为m，n，则m2－mn＋n2＝________. 7．(江西中考)若一个一元二次方程的两个根分别是Rt△ABC的两条直角边长，且S△ABC＝3，请写出一个符合题意的一元二次方程________________________________________________________________________． 8．已知方程x2－6x＋m2－2m＋5＝0的一个根为2，求另一个根及m的值． 9．已知方程x2－3x＋1＝0的两根分别为x1和x2，不解方程： (1)求代数式x21＋x22的值； (2)试证明两根中一根大于1，另一根小于1. 21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系（第一课时） 导学探究： 阅读教材，回答下列问题： 1、回忆：一元二次方程ax2 + bx + c = 0(a≠0)的求根公式是_____________.由求根公式可知, 一元二次方程的根的大小由系数a、b、c决定。 2.(1)方程（x-x1）(x-x2)= 0 与方程x2-(x1+x2)x+x1x2=0是同一个方程吗？ _____(答“是”或“否”)。 (2)方程（x-x1）(x-x2)= 0的两个根据是_________________. 方程x2-(x1+x2)x+x1x2=0的两个根是_____________________ (3)方程x2-(x1+x2)x+x1x2=0的二次三项式系数为______, 一次项系数p=______, 常数项q=_____,反之，方程x2+px +q =0 两根x1x2的和、积分别与系数的关系是x1+ x2=______, x1x2=_______. 3、一元二次方程ax2 + bx + c = 0(a≠0)的两根为x1=__________,x2 =___________. (1) 计算x1+ x2和 x1x2的值。 （2）请你根据（1）的结果，试着用文字表述这一结论。 归纳梳理 1、若一元二次方程ax2 + bx + c = 0(a≠0)的两根为x1，x2，它们与系数a、b、c的关系是x1+ x2=________, x1x2=__________. 一元二次方程的根与系数的关系：如果一元二次方程有实数根，那么两根的和等于_______________,两根的积等于____________________. 2、运用一元二次方程根与系数的关系的前提条件是方程有实数根，即△______0. 典例探究 1．不解方程求两个根之和与积 【例1】不解方程，求方程3x2+2=1﹣4x两根的和与积． 2018年九年级数学上册一元二次方程根与系数的关系 课堂培优卷 一、选择题： 1、下列一元二次方程中，两实根之和为1的是（） A.x2—x＋1=0 B.x2＋x—3=0 C.2 x2－x－1=0 D.x2－x－5=0 2、关于x的一元二次方程x2+2x+1=0的根的判断说法正确的是（） A.有两个不等的实根 B.有两个相等的实数根 C.方程没有实数根 D.无法判断 3、已知x1、x2是一元二次方程x2－4x＋1=0的两个根，则x1·x2等于（） A.－4 B.－1 C.1 D.4 4、已知关于x的一元二次方程（a－1）x2－2x＋1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（） A.a＞2 B.a＜2 C.a＜2且a≠1 D.a＜－2 5、关于x的一元二次方程x2+8x+q=0有两个不相等的实数根，则q的取值范围是（） A.q＜16 B.q＞16 C.q≤4 D.q≥4 6、已知α、β满足α＋β=5，αβ=6，则以α、β为根的一元二次方程（） A.x2＋5x＋6=0 B.x2－5x＋6=0 C.x2－5x－6=0 D.x2＋5x－6=0 7、已知x1,x2为方程x2+3x+1=0的两实根，则x12-3x2+20的值为（） A. B.－28 C.20 D.28 8、设x1、x2是方程x2+3x﹣3=0的两个实数根，则的值为（） A.5 B.﹣5 C.1 D.﹣1 9、已知实数a，b分别满足a2﹣6a+4=0，b2﹣6b+4=0，且a≠b，则a2+b2的值为（） A.36 B.50 C.28 D.25 10、若实数a，b（a≠b）分别满足方程a2﹣7a+2=0，b2﹣7b+2=0，则的值为（） A. B. C.或2 D.或2 11、已知α、β是方程x2﹣2x﹣4=0的两个实数根，则α3+8β+6的值为（） A.﹣1 B.2 C.22 D.30 12、一元二次方程x2﹣2x+m=0总有实数根，则m应满足的条件是（） A.m=1 B.m≥1 C.m＜1 D.m≤1 二、填空题: 13、若是方程x2－2mx＋m2－m－1=0的两个根，且x1＋x2=1－x1x2，则m的值为___________ 14、如果关于x的方程有两个相等的实数根，那么实数的值是. 15、已知关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，则m+n= . 16、若关于x的一元二次方程（1﹣k）x2+2kx﹣k+1=0有实数根，则实数k的取值范围是. 17、已知x1、x2是方程x2﹣5x﹣6=0的两个根，则x12+5x2﹣6= . 18、已知关于x的方程x2+2kx+k2+k+3=0的两根分别是x1、x2，则（x1﹣1）2+（x2﹣1）2的最小值 苏科版九年级数学上册《一元二次方程根与系数的关系》专题培优训练 1．已知关于x的一元二次方程x2+4x+m﹣3＝0有两个负整数根，则符合条件的所有正整数m的和为（） A．16B．13C．10D．7 2．已知数m满足6＜m＜20，如果关于x的一元二次方程mx2﹣（2m﹣1）x+m﹣2＝0有有理根，求m的值（） A．11B．12 C．m有无数个解D．13 3．（非课改）已知α，β是关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2＝0的两个不相等的实数根，且满足+＝﹣1，则m的值是（） A．3B．1C．3或﹣1D．﹣3或1 4．关于x的方程x2+2（m﹣1）x+m2﹣m＝0有两个实数根α，β，且α2+β2＝12，那么m的值为（） A．﹣1B．﹣4C．﹣4或1D．﹣1或4 5．已知一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两根分别为x1，x2，则+的值为（）A．2B．﹣1C．D．﹣2 6．若x1，x2是方程x2﹣3x﹣2＝0的两个根，则x1+x2﹣x1•x2的值是（）A．﹣5B．﹣1C．5D．1 7．已知关于x的方程kx2﹣（3k+1）x+2k+2＝0根都是整数；若k为整数，则k的值为．8．若关于x的一元二次方程kx2+（4k﹣1）x+3k﹣1＝0的解都是整数，则正整数k的值为．9．已知方程a2x2﹣（3a2﹣8a）x+2a2﹣13a+15＝0（其中a为非负整数）至少有一个整数根．那么a＝． 10．若关于x的一元二次方程2ax2﹣（a+4）x+2＝0有一个正整数解，则正整数a＝．11．关于x的一元二次方程mx2﹣（m+1）x+1＝0有两个不相等的整数根，m为整数，那么m的值是． 12．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣5x+a＝0的两个实数根，且x12﹣x22＝10，则a 人教版 九年级数学上册 第21章 一元二次方程根与系数的关系 培优练习（含答案） 典例解读 例1. 若0是关于x 的方程（m -2）x 2+3x +m 2-2m -8=0的解，求实数m 的值，并讨论此方程解的情况． 例2.如果关于x 的方程x 2+（2k -3）x +k 2-3=0的两个实数根的和等于这两个根的倒数和． 求：（1）k 的值； （2）方程的两个实数根的平方和． 例3. 设x 1、x 2是方程2x 2+4x -3=0的两个根，利用根与系数关系，求下列各式的值： （1）（x 1-x 2）2； 例4．已知关于x 的一元二次方程x 2-（8+k ）x +8k =0 （1）求证：无论k 取任何实数，方程总有实数根； （2）若等腰三角形的一边长为5，另两边长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长。 题型精练 1．已知一元二次方程：①x 2+2x +3=0，②x 2﹣2x ﹣3=0．下列说法正确的是（ ） A ．①②都有实数解 B.①无实数解，②有实数解 C. ①有实数解，②无实数解 D. ①②都无实数解 2．若关于x 的一元二次方程x 2﹣2x +m =0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（ ） A. m ＜﹣1 B. m ＜1 C. m ＞﹣1 D. m ＞1 3．已知函数y =kx +b 的图象如图所示，则一元二次方程x 2+x +k ﹣1=0根的存在情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 4．已知关于x 的方程kx 2+（1﹣k ）x ﹣1=0，下列说法正确的是（ ） A. 当k =0时，方程无解【中考冲刺】初三数学培优专题 04 根与系数关系(含答案)(难)
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