初三数学专题——根与系数的关系
一元二次方程练习题 姓名_____________学号_________
一、用适当的方法解一下列一元二次方程
（1）
08)3(2
12=--x （2）0162=+-x x （3）052=-x x
（4）0342=+-x x （5）x x 3622=+ （6）)3(2)3(2-=-x x x
二、解答题 1、已知关于x 的一元二次方程0462=-+-m x x 有两个不相等的实数根，求m 的取值范围。
2、已知方程0922=-+kx x 的一个根是3-，求另一个根及k 的值。
3、已知0352=--x x 的两个根分别为1x ，2x ，求下列各式子的值：
（1）2221x x + （2）
2
122x x + （3）)1)(1(21++x x （4）221)(x x -
4、已知关于x 的一元二次方程03)1(2=--++k x k x ，求证：该方程一定有两个不相等的实数根。
5、已知关于x 的一元二次方程0)2(2=+++m x m x
（1）求证：无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
（2）若1x ，2x 是原方程的根，且
21121-=+x x ，求m 的值。
6、设1x ，2x 是关于x 的一元二次方程0)12(22=+-+m x m x 的两个实数根
（1）求实数m 的取值范围；
（2）当02221=-x x 时，求实数m 的值。
7、关于x 的一元二次方程01)12(2
2=++++k x k x 有两个不等的实数根1x ，2x
（1）求实数k 的取值范围；
（2）若方程两实数根1x ，2x 满足2121x x x x ⋅-=+，求k 的值。
8、关于x 的一元二次方程0122=-+-m mx x 有两个实数根分别是1x ，2x 且72221=+x x ，求m 的值
根与系数的关系拓展训练
9、若关于x 的方程03)2(2=---+m x m x 两根的平方和是9. 求m 的值.
10、已知方程032=--m x x 的两根之差的平方是7，求m 的值.
11、已知方程0)54(22=+--+m x m m x 的两根互为相反数，求m 的值.
12、关于x 的方程0)2()14(322=++--m m x m x 的两实数根之和等于两实数根的倒数和，求m 的值.
13、已知方程m x x 322
+-=0，若两根之差为－4，求m 的值.
14、已知一元二次方程。
（1）若方程有两个实数根，求m 的范围；（2）若方程的两个实数根为x 1，x 2，且，求m 的值。
022=+-m x x 3321=+x x
15、已知关于x 的方程的两根为、，且满足.求的值。
16、已知关于x 的一元二次方程0)12(62
=++-m x x 有实数根。
（1）求m 的取值范围；
（2）如果方程的两个实数根为1x ，2x 且2022121≥++x x x x ，求m 的值。
17、已知是方程的两个实数根，且．（1）求及a 的值；（2）求的值．
18、关于x 的方程04
)2(2=+++k x k kx 有两个不相等的实数根.(1)求k 的取值范围。(2)是否存在实数k ，使方程的两个实数根的倒数和等于0?若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由
22
2(1)740x a x a a +-+--=1x 2x 12123320x x x x ---=242(1)4a a a
++
⋅-12x x ，220x x a -+
=1223x x +=12x x ，32111232x x x x -++
中考数学专题 根与系数的关系_答案
专题 根与系数的关系 例1. 15 2 s ≥- 且3,5s s ≠-≠ 例2. C 提示: 设三根为121,,x x ,则121x x -< 例3. 设22 3,A βα = +22 3,B αβ= + 31004A B += ① A B -= ② 解由① ②联立的 方程组得 1 (4038 A =- 例 4. 0,s ≠Q 故第一个等式可变形为211()99()190,s s ++= 又1 1,,st t s ≠∴Q 是一元二次方 程 299190x x ++=的两个不同实根, 则11 99,19,t t s s +=-=g 即199,19.st s t s +=-= 故 41994519st s s s t s ++-+==- 例5. (1) 当a b =时, 原式=2; 当a b ≠时, 原式=-20, 故原式的值为2或-20 (2) 由方程组得232,326(6),x y a z x y z az +=-=-+g 易知3,2x y 是一元二次方程 22()6(6)0t a z t z az --+-+=的两个实数根,0∴?≥, 即2223221440z az a -+-≤, 由z 为实数知,22'(22)423(144)0,a a ?=--??-≥ 解得a ≥故正实数a 的最小值为 (3) xy 与x y +是方程217660m m -+=的两个实根,解得11, 6x y xy +=??=? 或 6,()xy 11. x y +=?? =?舍原式=()()2 22222212499x y x y xy x y +-++=． 例6 解法一：∵ac ＜0，2=40b ac ?-＞，∴原方程有两个异号实根，不妨设两个根为x 1，x 2， 且x 1<0 根与系数关系 阅读与思考 根与系数的关系称为韦达定理，其逆定理也成立，是由16世纪的法国数学家韦达所发现的．韦达定 理形式简单而内涵丰富，在数学解题中有着广泛的应用，主要体现在： 1．求方程中字母系数的值或取值范围； 2．求代数式的值； 3．结合根的判别式，判断根的符号特征； 4．构造一元二次方程； 5．证明代数等式、不等式． 当所要求的或所要证明的代数式中的字母是某个一元二次方程的根时，可先利用根与系数的关系找 到这些字母间的关系，然后再结合已知条件进行求解或求证，这是利用根与系数的关系解题的基本思路，需要注意的是，应用根与系数的关系的前提条件是一元二次方程有两个实数根，所以，应用根与系数的关系解题时，必须满足判别式△≥0． 例题与求解 【例1】设关于x 的二次方程2 2 (4)(21)10m x m x -+-+=(其中m 为实数)的两个实数根的倒数和为 s ，则s 的取值范围是_________. 【例2】 如果方程2 (1)(2)0x x x m --+=的三个根可以作为一个三角形的三边长，那么，实数m 的取 值范围是_________. A ．01m ≤≤ B ．34m ≥ C ．314m <≤ D ．3 14 m ≤≤ 【例3】已知α，β是方程2 780x x -+=的两根，且αβ>．不解方程，求22 3βα +的值． 【例4】 设实数,s t 分别满足22 199910,99190s s t t ++=++=并且1st ≠，求41 st s t ++的值． 【例5】（1）若实数,a b 满足2 58a a +=，2 58b b +=，求代数式11 11 b a a b --+ --的值； （2）关于,,x y z 的方程组32236 x y z a xy yz zx ++=⎧⎨ ++=⎩有实数解(,,)x y z ，求正实数a 的最小值； （3）已知,x y 均为实数，且满足17xy x y ++=，2 2 66x y xy +=，求4 3 2 2 3 4 x x y x y xy y ++++的值． 【例6】 ,,a b c 为实数，0ac <0++=，证明一元二次方程2 0ax bx c ++=有大于 1的根． 能力训练 A 级 1．已知m ，n 为有理数，且方程2 0x mx n ++=2，那么m n += ． 2．已知关于x 的方程2 30x x m -+=的一个根是另一个根的2倍，则m 的值为 ． 3．当m = 时，关于x 的方程2 2 8(26)210x m m x m -+-+-=的两根互为相反数； 当 时，关于x 的方程2 2 240x mx m -+-=的两根都是正数；当 时，关于m 一元二次方程练习题 姓名_____________学号_________ 一、用适当的方法解一下列一元二次方程 （1） 08)3(2 12=--x （2）0162=+-x x （3）052=-x x （4）0342=+-x x （5）x x 3622=+ （6）)3(2)3(2-=-x x x 二、解答题 1、已知关于x 的一元二次方程0462=-+-m x x 有两个不相等的实数根，求m 的取值范围。 2、已知方程0922=-+kx x 的一个根是3-，求另一个根及k 的值。 3、已知0352=--x x 的两个根分别为1x ，2x ，求下列各式子的值： （1）2221x x + （2） 2 122x x + （3）)1)(1(21++x x （4）221)(x x - 4、已知关于x 的一元二次方程03)1(2=--++k x k x ，求证：该方程一定有两个不相等的实数根。 5、已知关于x 的一元二次方程0)2(2=+++m x m x （1）求证：无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根； （2）若1x ，2x 是原方程的根，且 21121-=+x x ，求m 的值。 6、设1x ，2x 是关于x 的一元二次方程0)12(22=+-+m x m x 的两个实数根 （1）求实数m 的取值范围； （2）当02221=-x x 时，求实数m 的值。 7、关于x 的一元二次方程01)12(2 2=++++k x k x 有两个不等的实数根1x ，2x （1）求实数k 的取值范围； （2）若方程两实数根1x ，2x 满足2121x x x x ⋅-=+，求k 的值。 8、关于x 的一元二次方程0122=-+-m mx x 有两个实数根分别是1x ，2x 且72221=+x x ，求m 的值 专题2.14 一元二次方程根与系数关系（知识讲解） 【学习目标】 掌握一元二次方程的根与系数的关系以及在各类问题中的运用. 【要点梳理】 一元二次方程的根与系数的关系 1.一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程的两个实数根是， 那么，. 注意它的使用条件为a ≠0， Δ≥0. 也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. 2. 一元二次方程的根与系数的关系的应用 ⎧⎪ ⎪⎪ →→⎨⎪⎪⎪⎩知识框图： 1、求代数式的值 2、求待定系数一元二次方程求根公式根与系数关系应用 3、构造方程 4、解特殊的二元二次方程组 5、二次三项式的因式分解 【典型例题】 类型一、由根与系数关系直接求值 1．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2－3x －1＝0的两根，不解方程求下列各式的值： （1）22 11+x x （2） 12 11+x x 【答案】（1）11；（2） －3． 【分析】 由一元二次方程的根与系数的关系可得12123,1x x x x +=⋅=-； （1）将所求式子变形为(x 1＋x 2)2－2x 1x 2 ，然后整体代入上面两个式子计算即可； （2）将所求式子变形为12 12 x x x x +⋅，然后整体代入上面两个式子计算即可． 解：∵x 1，x 2是一元二次方程x 2－3x －1＝0的两根， ∵12123,1x x x x +=⋅=-， （1）22 11+x x ＝ (x 1＋x 2)2－2x 1x 2 ＝32－2×(－1)＝11； )0(02 ≠=++a c bx ax 21x x ，a b x x - =+21a c x x =21 初三数学一元二次方程根与系数的关系及其应用知识精讲 一元二次方程根与系数的关系及其应用 一元二次方程ax bx c a 2 00++=≠()的根x x 12、是由系数a 、b 、c 决定的，它们之 间有密切的关系。 x x b a x x c a 1212+=- =， 这就是根与系数的关系，也称为韦达定理。 反之，一元二次方程的两根也制约着这个方程的系数，当a =1时，有()b x x =-+12， c x x =12，从而有以两个数x x 12、为根的二次项系数为1的一元二次方程是 ()x x x x x x 212120-++=。 需要指出，韦达定理应该是在判别式大于等于零的前提下使用，即在保证一元二次方程有实数根的条件下使用。 一元二次方程的韦达定理，揭示了根与系数的一种必然联系，利用这个关系，我们可以解决诸如已知一根求另一根，求根的代数式的值，构造方程，确定系数等问题，它是中学数学中的一个有用的工具。 例（2002·南京）已知：关于x 的方程x kx 2 20--= （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）设方程的两根为x x 12、，如果()21212x x x x +>，求k 的取值范围。 解： （1）证明： ∆=-=+>b ac k 2 2 480 ∴原方程有两个不相等的实数根 （2） x x k x x 12122+==-， 又() 21212x x x x +> ∴>-∴>-22 1 k k 说明：本题侧重考察对基本知识点的掌握，难度不大，可以说是中考中的送分题，同学们应该把这类题的分数拿到手。 例（2000上海） 已知关于x 的一元二次方程()mx m x m m 2 21200--+-=>() （1）求证：这个方程有两个不相等的实数根； （2）如果这个方程的两个实数根分别为x x 12、，且()()x x m 12335--=，求m 的值。 解： （1）证明：()[] ()∆=----21422 m m m =-+-+=+4414841 22m m m m m 一元二次方程专题复习（二） 根与系数的关系及其应用 如果一元二次方程ax 2＋bx ＋c=0(a ≠0)的两根为x 1，x 2，那么 反过来，如果x 1，x 2满足x 1+x 2=p ，x 1x 2=q ，则x 1，x 2是一元二次方程x 2-px+q=0的两个根．一元二次方程的韦达定理，揭示了根与系数的一种必然联系．利用这个关系，我们可以解决诸如已知一根求另一根、求根的代数式的值、构造方程、证明等式和不等式等问题，它是中学数学中的一个有用的工具． 【典型例题】 应用一：已知一个根，求另一个根； 例1 ： 方程(1998x)2-1997·1999x-1=0的大根为a ，方程x 2＋1998x-1999=0的小根为b ，求a-b 的值． 解 : 先求出a ，b ． 由观察知，1是方程(1998x)2-1997·1999x-1=0的根，于是由韦达定理知， 另一根为2 1998 1 - ，于是可得a=1.又从观察知，1也是方程x 2＋1998x-1999=0的根，此方程的另一根为-1999，从而b=-1999． 所以a-b=1-(-1999)=2000． 应用二：求根的代数式的值 不解方程，利用一元二次方程根与系数的关系求两个代数式的值关键是把所给的代数 式经过恒等变形，化为含，的形式，然后把， 的值代入，即可求 出所求代数式的值．常见的代数式变形有： ① ② ③ ④ ⑤ 例2： 已知二次方程x 2-3x ＋1=0的两根为α，β，求： （1） β α1 1+ （2）22βα+ (3)α3＋β3 解： 由韦达定理知 ： α+β=3， α·β=1． （1） 31 31 1 ==+= + αββαβ α （2）()729123222 22=-=⨯-=-+=+αββαβα (3)α3＋β3=(α+β)(α2-αβ+β2)=(α+β)[(α+β)2-3αβ]=3(9-3)=18； 例3： 设方程4x 2-2x -3=0的两个根是α和β，求4α2＋2β的值． 解： 因为α是方程4x 2-2x -3=0的根，所以 4α2-2α-3＝0， 即 4α2=2α＋3．由韦达定理可知，2 1 =+βα.所以 4α2+2β=2α+3+2β=2(α+β)+3=4． 例4： 已知α，β分别是方程x 2＋x -1=0的两个根，求2α5+5β3的值． 解： 由于α，β分别是方程x 2＋x -1=0的根，所以 α2+α-1=0，β2+β-1=0， 即 α2=1-α，β2=1-β． α5=(α2)2·α=(1-α)2α=(α2-2α+1)α=(1-α-2α+1)α= -3α2+2α = -3(1-α)+2α=5α-3， β3=β2·β=(1-β)β=β-β2=β-(1-β)=2β-1．所以 2α5+5β3=2(5α-3)+5(2β-1)=10(α+β)-11=-21． 说明： 此解法的关键在于利用α，β是方程的根，从而可以把它们的幂指数降次，最后都降到一次，这种方法很重要． 应用三：与两根之比有关的问题； 例5： 已知x 1，x 2是一元二次方程 4x 2-(3m -5)x -6m 2＝0的两实数根，且2 3x x 21=，求m 的值. 解： 首先，△=(3m -5)2＋96m 2＞0，方程有两个实数根．由韦达定理知 从上面两式中消去k ，便得 即 m 2-6m+5=0， 所以 m 1=1，m 2=5． 应用四：求作新的二次方程 苏科版九年级数学上册 一元二次方程的根与系数的关系- 专题培优训练 一、选择题 1、若x 1，x 2是一元二次方程x 2+10x +16=0的两个根，则x 1+x 2的值是（ ） A ．﹣10 B ．10 C ．﹣16 D ．16 2、一元二次方程x 2+4x ﹣3=0的两根为x 1、x 2，则x 1•x 2的值是（ ） A ．4 B ．﹣4 C ．3 D ．﹣3 3、已知x 1，x 2是一元二次方程2x 2﹣3x +1＝0的两个根，下列结论正确的是（ ） A ．x 1+x 2=-23 B ．x 1•x 2＝1 C ．x 1，x 2都是有理数 D ．x 1，x 2都是无理数 4、已知关于x 的一元二次方程x 2+mx +n=0的两个实数根分别为x 1=﹣2，x 2=4，则m +n 的值是（ ） A ．﹣10 B ．10 C ．﹣6 D ．2 5、若关于x 的方程x 2+3x +a=0有一个根为﹣1，则另一个根为（ ） A ．﹣2 B ．2 C ．4 D ．﹣3 6、已知实数x 1，x 2满足x 1+x 2=7，x 1x 2=12，则以x 1，x 2为根的一元二次方程是（ ） A ．x 2﹣7x +12=0 B ．x 2+7x +12=0 C ．x 2+7x ﹣12=0 D ．x 2﹣7x ﹣12=0 7、若一元二次方程x 2﹣x ﹣2＝0的两根为x 1，x 2，则（1+x 1）+x 2（1﹣x 1）的值是（ ） A ．4 B ．2 C ．1 D ．﹣2 8、若方程x 2﹣2x ﹣4＝0的两个实数根为α，β，则α2+β2的值为（ ） A ．12 B ．10 C ．4 D ．﹣4 9、若α，β是关于x 的一元二次方程x 2﹣2x +m ＝0的两实根，且βα1 1 +＝﹣3 2，则m 等于（ ） A ．﹣2 B ．﹣3 C ．2 D ．3 10、关于x 的一元二次方程x 2+2mx +2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y 的一元二次方程y 2+2ny +2m=0同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都负根； ②（m ﹣1）2+（n ﹣1）2≥2； ③﹣1≤2m ﹣2n ≤1， 其中正确结论的个数是（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 二、填空题 11、若方程x 2﹣3x +2＝0的两根是α、β，则α+αβ+β＝ ． 12、若方程240x x c -+=的一个根为23+，则方程的另一个根为 ，c = ． 13、设1x 、2x 是方程()222120x k x k -+++=的两个不同的实根，且()()12118x x ++=， 则k 的值是 ． 14、已知关于x 的方程x 2+（a ﹣2）x +a +1＝0的两实根x 1、x 2满足42 221=+x x ，则实数a ＝ ． 15、已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2+2x +k ﹣1＝0的两个实数根，且x 12+x 22﹣x 1x 2＝13， 则k 的值为 ． 16、已知关于x 的一元二次方程x 2﹣4x +m ﹣1＝0的实数根x 1，x 2，满足3x 1x 2﹣x 1﹣x 2＞2， 22.2.5一元二次方程的根与系数的关系 基础知识 1.一元二次方程根与一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)： 如果方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21,x x ，那么 a b x x -=+21,a c x x =21．也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，这个方 程的两个根与系数的关系是：两根之和，等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积，等于常数项除以二次项系数所得的商． 2．韦达定理的逆定理： 如果实数21,x x 满足a c x x a b x x = -=+2121，，那么21,x x 是一元二次方程02=++c bx ax 的两个根． 利用韦达定理的逆定理，可以比较简捷地检验解一元二次方程所得结果是否正确． 3．韦达定理的两个重要推论： 推论1：如果方程02=++q px x 的两个根是21,x x ，那么p x x -=+21， q x x =21． 推论2：以两个数21,x x 为根的一元二次方程(二次项系数为1)是 0)(21212=++-x x x x x x ． 【提醒】关于一元二次方程的根与系数的关系，在传统教学中，这是一个重点，但新课标没有作要求。到底该不该删这个内容，仍存在争论。在华师大教材中，一元二次方程的根与系数的关系目前是选学内容。 例题 例1．已知12,x x 是方程2420x x -+=的两根，求： （1）（x 1+3）（x 2+3）的值； （2） 12 11 +x x 的值． 【答案】（1）23；（2）2． 【分析】 （1）由根与系数的关系，得到x 1+x 2=4，x 1•x 2=2，然后把式子进行化简，即可得到答案； （2）由根与系数的关系，把式子进行化简，即可得到答案； 【详解】 解：∵12,x x 是方程2420x x -+=的两根， ∴124x x +=，122x x •=， （1）(3)(3)3()9234923x x x x x x ++=+++=+⨯+=； 九年级数学专题一：一元二次方程的根与系数的关系 一、知识要点： 一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为： 12,22b b x x a a -+--== 所以：12b x x a +=+=-， 12244ac c x x a a ⋅====定理：如果一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为12,x x ， 那么： 12x x +=______________, 12x x =______________. 说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为韦达定理．上述定理成立的前提是0∆≥． 二、例题讲解 类型一、一元二次方程的两个根的有关计算 例1.设x 1，x 2是方程x 2+2x ﹣3＝0的两个实数根，求x 12+x 22的值． 解：∵x 1，x 2是方程x 2+2x ﹣3＝0的两个实数根， ∴x 1+x 2＝﹣2，x 1•x 2＝﹣3， ∴x 12+x 22＝（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2＝（﹣2）2﹣2×（﹣3）＝10； 例2.设x 1与x 2为一元二次方程x 2+3x +2＝0的两根，求（x 1﹣x 2）2的值． 解：由题意可知：x 1+x 2＝﹣6，x 1x 2＝4，∴（x 1﹣x 2）2＝（x 1+x 2）2﹣4x 1x 2 ＝（﹣6）2﹣4×4＝36﹣16＝20， 练习1： （1）设a ，b 是方程x 2﹣x ﹣2021＝0的两个实数根，则a +b ﹣ab 的值为（ ） A ．2022 B ．﹣2022 C ．2020 D ．﹣2020 （2）已知方程x 2+2x +6＝10x +2的两实数根分别为x 1，x 2，则 的值为（ ） A ．﹣2 B ．2 C ． D ．﹣ （3）设x 1，x 2是方程x 2﹣3x ﹣3＝0的两个实数根，则x 12x 2+x 1x 22的值为（ ） A ．9 B ．﹣9 C ．1 D ．﹣1 （4）已知x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣4x ﹣7＝0的两个实数根，则x 12+4x 1x 2+x 22的值是 ． （5）已知a 、b 是方程x 2+5x +3＝0的两个根，则的值是（ ） A ． B ． C ． D ． 练习2：若12,x x 是方程2220090x x +-=的两个根，试求下列各式的值： (1) 2212x x +； (2) 12 11x x +； (3) 12(5)(5)x x --； (4) 12||x x -． 中考数学专项练习一元二次方程系数与根的关 系（含解析） 一、单选题 1.若、是一元二次方程的两根，则的值是（） A.- 2 B.2 C.3 D.1 2.一元二次方程x2+3x﹣a=0的一个根为﹣1，则另一个根为（） A.﹣ 2 B.2 C.4 D.﹣3 3.已知方程x2-5x+2=0的两个解分别为m，n，则m+n-mn的值是（ ） A.- 7 B.- 3 C.7 D.3 4.若关于x一元二次方程x2﹣x﹣m+2=0的两根x1 ，x2满足（x1﹣1）（x2﹣1）=﹣1，则m的值为（） A.3 B.- 3 C.2 D.-2 5.下列方程中：①x2-2x-1=0，②2x2-7x+2=0，③x2-x+1=0两根互为倒数有（） A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 6.设x1 ，x2是一元二次方程-2x-3=0的两根，则=（） A.6 B.8 C.1 D.12 7.一元二次方程x2＋x－2＝0的两根之积是() A.－ 1 B.－ 2 C.1 D.2 8.方程x2+2x-4=0的两根为x1 ，x2 ，则x1+x2的值为（） A.2 B.－ 2 C. D.－ 9.若矩形的长和宽是方程x2﹣7x+12=0的两根，则矩形的对角线之和为（） A.5 B.7 C. 8 D.10 10.假如a，b是一元二次方程x2﹣2x﹣4=0的两个根，那么a3b﹣2a2b 的值为（） A.- 8 B.8 C.-1 6 D.16 11.假如是一元二次方程的两个实数根，那么的值是（） A. B. C. D. 二、填空题 12.设x1、x2是方程x2-4x+3=0的两根，则x1+x2=________. 13.定义新运算“*”，规则：a*b= ，如1*2=2，* ．若x2+x﹣1=0的两根为x1 ，x2 ，则x1*x2=________． 14.若x1、x2是方程2x2﹣3x﹣4=0的两个根，则x1•x2+x1+x2的值为________． 15.若a、b是一元二次方程x2+2x﹣1=0的两个根，则的值是_____ ___． 16.写出一个以2和3为两根且二项系数为1的一元二次方程，你写的是________． 17.若方程x2﹣3x+1=0的两根分别为x1和x2 ，则代数式x1+x2﹣x 1x2=________． 18.若一个一元二次方程的两个根分别是1、3，请写出一个符合题意的一元二次方程________． 三、运算题 19.已知关于的一元二次方程的两个整数根恰好比方程 的两个根都大1，求的值. 20.已知一元二次方程x2﹣6x+4=0的两根分别是a，b，求 （1）a2+b2 （2）a2﹣b2的值． 四、解答题 21.已知关于x的方程x2+x+a﹣1=0有一个根是1，求a的值及方程的另一个根． 专题：一元二次方程根的判别式和根与系数的关系 例1.已知关于x的方程mx2-2m-1x+m-2=0． 1当m取何值时,方程有两个不相等的实数根； 2若x1、x2为方程的两个不等实数根,且满足x12+x22-x1x2=2,求m的值． 例2.已知关于x的方程x2-4mx+4m2-9=0． 1求证：此方程有两个不相等的实数根； 2设此方程的两个根分别为x1,x2,其中x1＜x2．若2x1=x2+1,求m的值． 例3．已知关于x的方程mx2+4-3mx+2m-8=0m＞0． 1求证：方程有两个不相等的实数根； m,且点B m,n在x轴上,求m 2设方程的两个根分别为x1、x2x1＜x2,若n=x2-x1-1 2 的值． . 例4.已知关于x的一元二次方程：x2-2m+1x+m2+5=0有两个不相等的实数根．1求m的取值范围； 2若原方程的两个实数根为x1、x2,且满足x12+x22=|x1|+|x2|+2x1x2,求m的值． 例5.已知关于x的方程x2-2k+1x+4k-1 =0． 2 1求证：无论k取什么实数值,这个方程总有实数根； 2能否找到一个实数k,使方程的两实数根互为相反数若能找到,求出k的值；若不能,请说明理由． 3当等腰三角形ABC的边长a=4,另两边的长b、c恰好是这个方程的两根时,求△ABC的周长． 训练 1.已知关于x的方程mx2-m+2x+2=0m≠0． 1求证：方程总有两个实数根； 2已知方程有两个不相等的实数根α,β,满足1 α+1 α =1,求m的值． 2.已知一元二次方程x2-2x+m=0 1若方程有两个实数根,求m的范围； 2若方程的两个实数根为x1和x2,且x1+3x2=3,求m的值．3若方程的两个实数根为x1和x2,且x12-x22=0,求m的值． 专题21.4 一元二次方程根与系数的关系【八大题型】 【人教版】 【题型1 由根与系数的关系求代数式的值（直接）】 (1) 【题型2 由根与系数的关系求代数式的值（代换）】 (2) 【题型3 由根与系数的关系求代数式的值（降次）】 (2) 【题型4 由方程两根满足关系式求字母系数的值】 (2) 【题型5 构造一元二次方程求代数式的值】 (3) 【题型6 已知方程根的情况判断另一个方程】 (4) 【题型7 根与系数关系中的新定义问题】 (4) 【题型8 由方程两根的不等关系确定字母系数的取值范围】 (5) 【题型1 由根与系数的关系求代数式的值（直接）】 【例1】（2022•江安县模拟）若α、β是一元二次方程2x2+3x﹣5＝0的两根，则α β + β α 的值是． 【变式1-1】（2021秋•密山市校级期末）若x1，x2是一元二次方程x2﹣7x+5＝0的两根，则（x1﹣1）（x2﹣1）的值为（） A．1B．﹣1C．2D．﹣2 【变式1-2】（2022•汉川市模拟）已知实数a、b满足√a−2+|b+3|＝0，若关于x的一元二次方程x2﹣ax+b ＝0的两个实数根分别为x1、x2，则1 x1+ 1 x2 的值是（） A．−2 3B． 2 3 C．2D． 1 6 【变式1-3】（2022春•琅琊区校级月考）若α，β（α≠β）是一元二次方程x2﹣5x﹣14＝0的两个根，则α﹣β的值为（） A ．﹣9 B ．9 C ．﹣9或9 D ．﹣5或5 【题型2 由根与系数的关系求代数式的值（代换）】 【例2】（2022•乳山市模拟）若x 1，x 2是方程2x 2﹣3x +1＝0的两个根，则3x 12﹣3x 1+x 22＝（ ） A ．1 4 B ．5 4 C ．9 4 D ．3 4 【变式2-1】（2022•牟平区一模）已知一元二次方程x 2﹣2022x +1＝0的两个根分别为x 1，x 2，则x 12−2022 x 2 +1 的值为（ ） A ．﹣1 B ．0 C ．﹣2022 D ．﹣2021 【变式2-2】（2022•东港区校级一模）若m ，n 是一元二次方程x 2﹣5x ﹣1＝0的两个实数根，则m 2﹣6m ﹣n +2022的值是（ ） A ．2016 B ．2018 C ．2020 D ．2022 【变式2-3】（2022春•海门市期末）若m ，n 是方程x 2﹣2x ﹣1＝0的两个实数根，则2m 2+4n 2﹣4n +2022的值为 ． 【题型3 由根与系数的关系求代数式的值（降次）】 【例3】（2022•呼和浩特）已知x 1，x 2是方程x 2﹣x ﹣2022＝0的两个实数根，则代数式x 13﹣2022x 1+x 22 的值是（ ） A ．4045 B ．4044 C ．2022 D ．1 【变式3-1】（2022•硚口区模拟）已知a ，b 是方程x 2﹣x ﹣5＝0的两根，则代数式﹣a 3+5a −5 b 的值是（ ） A ．5 B ．﹣5 C ．1 D ．﹣1 【变式3-2】（2022•松山区模拟）若m ，n 是一元二次方程x 2+x ﹣3＝0的两个实数根，则m 3﹣4n 2+17的值为（ ） A ．﹣2 B ．6 C ．﹣4 D ．4 【变式3-3】（2022春•汉阳区校级月考）已知m ，n 是方程x 2﹣4x +2＝0的两根，则代数式2m 3+5n 2−16 n +4的值是（ ） A ．57 B ．58 C ．59 D ．60 【题型4 由方程两根满足关系式求字母系数的值】 【例4】（2021秋•毕节市期末）已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2﹣（2m +3）x +m 2＝0的两个不相等 *专题训练(四) 一元二次方程根的判别式和根与系数的关系 类型1 一元二次方程根的判别式 1．已知一元二次方程2x2－5x＋3＝0，则该方程根的情况是( ) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．两个根都是自然数 D．无实数根 2．关于x的一元二次方程(m－2)x2＋2x＋1＝0有实数根，则m的取值范围是( ) A．m≤3 B．m＜3 C．m＜3且m≠2 D．m≤3且m≠2 3．若关于x的一元二次方程ax2＋3x－1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是______________．类型2 一元二次方程根与系数的关系 4．(防城港中考)x1，x2是关于x的一元二次方程x2－mx＋m－2＝0的两个实数根，是否存在实数m使1 x1＋ 1 x2 ＝0成立？ 则正确的结论是( ) A．m＝0时成立 B．m＝2时成立 C．m＝0或2时成立 D．不存在 5．(西宁中考)若矩形的长和宽是方程2x2－16x＋m＝0(0＜m≤32)的两根，则矩形的周长为________． 6．已知一元二次方程x2－4x－3＝0的两根为m，n，则m2－mn＋n2＝________. 7．(江西中考)若一个一元二次方程的两个根分别是Rt△ABC的两条直角边长，且S△ABC＝3，请写出一个符合题意的一元二次方程________________________________________________________________________． 8．已知方程x2－6x＋m2－2m＋5＝0的一个根为2，求另一个根及m的值． 9．已知方程x2－3x＋1＝0的两根分别为x1和x2，不解方程： (1)求代数式x21＋x22的值； (2)试证明两根中一根大于1，另一根小于1. 一元二次方程根与系数的关系 教材分析 1.一元二次方程根与系数的关系（也称韦达定理）是在学习了一元二次方程的解法和根的判别式之后引入的，课标要求通过本节内容的学习能运用韦达定理由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知数，会求一元二次方程两个根的倒数和、两根的平方和及两根之差；教材通过一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根x1、x2推导出韦达定理，以及能够建立以数x1、x2为根的一元二次方程的方程模型；是对前面知识的巩固与深化，又为以后的知识打下基础，它深化了两根与系数之间的关系，是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，是方程理论的重要组成部分。 2.韦达定理是初中代数中的一个重要定理，这是因为通过韦达定理的学习，把一元二次方程的研究推向了高级阶段，运用韦达定理可以进一步研究数学中的许多问题，通过近些年的中考数学试卷的分析可以得出：韦达定理及其应用是各地市中考数学命题的热点之一。出现的题型有选择题、填空题和解答题，有的将其与三角函数、几何、二次函数等内容综合起来，形成难度系数较大的压轴题。通过韦达定理的教学，可以培养学生的创新意识、创新精神和综合分析数学问题的能力，也为学生今后学习方程理论打下基础。 学情分析 1．学生已学习用求根公式法解一元二次方程，但是有一部分在把一些较复杂一点的一元二次方程化为一元二次方程的一般形式的时候，要么常在去括号、移项或者合并同类项的时候出问题，要么就在解方程过程中不能正确代入各项系数；或者就在最后不会把计算结果化成最简单的形式；2．本课的教学对象是初中三年级学生，学生对事物的认识多是直观、形象的，他们所注意的多是事物外部的、直接的、具体形象的特征； 3．在教学初始，出示一些学生所熟悉和感兴趣的东西，结合一元二次方程求根公式使他们在现代化的教学模式和传统的教学模式相结合的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系。 教学目标 1、知识目标：要求学生在理解的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系式，能运用根与系数的关系由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知数，会求一元二次方程两个根的倒数和与平方数，两根之差。 2、能力目标：通过韦达定理的教学过程，使学生经历观察、 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 1，对于方程ax 2 ＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，代数式b ２ －4ac 叫做根的判别式，用“△＝b ２ －4ac ”表示．写出一个一元二次方程的根的判别式，首先要将一元二次方程化为一般形式，凡不是一般形式的一元二次方程，都理应通过去括号、移项、合并等步骤化为一般形式. 任何一个一元二次方程 用配方法将其变形为 ，所以对于被开方数 来说，只 需研究 为如下几种情况的方程的根。 ① 当 时，方程有两个不相等的实数根。 即 ② 当 时，方程有两个相等的实数根，即 。 ③ 当 时，方程没有实数根。 判别式的作用是能够由其值的情况确定一元二次方程根的情况，当判别式的值分别取正数、零和负数时，一元二次方程分别有两个不等的实数根、两个相等的实数根和没有实数根.必须指出的是： 不难得到 x 1＋x 2＝－ a b , x 1·x 2＝a c . 这就是一元二次方程的根与系数关系(韦达定理). 在学习和应用上述定理时要注意以下几点： 1.一元二次方程根与系数的关系揭示了一元二次方程的实根与系数之间的内在联系， 在使用时需先将一元二次方程化为一般形式ax 2 ＋bx ＋c ＝0(a ≠0); 2.使用韦达定理的前提是方程有实数根； 3.韦达定理不但可求出方程两实根的和与积,而且可判断两实数根的符号(如两正根;两负根;一正根一负根等); 4.要防止出现x 1＋x 2＝ a b 这样的错误. 典型例题 例1 m 取什么值时，方程3x ２ －2(3m －1)x ＋3m ２ －1＝0 (1)有两个不相等的实数根? (2)有两个相等的实数根? (3)没有实数根? 例2已知方程x２－(3－a)x－(3a＋b２)＝0有两个相等的实数根，求实数a与b的值． 例3当a、b为何值时，方程x2＋(1＋a)x＋(3a２＋4ab＋4b２＋2)＝0有实数根? 例4判别下列关于x的二次方程2(m＋1)x２＋4mx＋(2m－1)＝0的根的情况． 例5当m为何值时，关于x的二次三项式x２＋2(m－4)x＋m２＋6m＋2是完全平方式? 例6已知a、b、c是△ABC的三边，且方程b(x２－1)－2ax＋c(x２＋1)＝0有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状． 分析这是一道代数、几何知识的综合题，解题前理应明确： 初中九年级数学上册 第5讲：一元二次方程的根与系数的关系 一：知识点讲解 知识点：一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的根与系数的关系 根与系数的关系：如果方程()002 ≠=++a c bx ax 有两个实数根1x ，2x ，那么 a b x x -=+21，a c x x =⋅21（推导过程） 根与系数的关系的变式：如果方程02 =++q px x 有两个实数根为1x ，2x ，那么 p x x -=+21，q x x =⋅21 易错警示：应用一元二次方程的根与系数的关系时，一定要注意两个前提条件：①满 足0≠a ；②满足042 ≥-ac b 涉及两根的代数式的重要变形： ✧ ()212 212 2212x x x x x x -+=+ ✧ ()()212212214x x x x x x -+=- ✧ 2 12 12111x x x x x x +=+ ✧ ()2 12 122112212x x x x x x x x x x -+= + 例1：已知一元二次方程0342 =--x x 的两根为m ，n ，则2 2 n mn m +-= 。 二：知识点复习 知识点：一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的根与系数的关系 1. 已知方程22 =+x x ，则下列说法正确的是（ ） A. 方程两根之和是1 B. 方程两根之和是-1 C. 方程两根之积是2 D. 方程两个之差为-1 2. 已知关于x 的一元二次方程032 =--x x 的两个实数根分别是α，β，则 ()()11++βα= 。 三：题型分析 题型一：已知方程一根，求另一根及待定系数 例1：已知方程032 =++mx x 的一个根是1，则它的另一个根是 ，m 的值是 。 题型二：不解方程，求与方程的根相关的代数式的值 例2：已知方程0152=++x x 的两个实数根分别为1x 、2x ，则2 22 1x x += 。 题型三：利用根与系数的关系求字母的值或取值范围 例3：已知关于x 的一元二次方程0122 =-+-m x x 有两个实数根1x 、2x 。 1) 求m 的取值范围 2) 当212 22 16x x x x =+时，求m 的值 四：习题 1：选择题 1) 若1>k ，关于x 的方()0121422 2 =-++-k x k x 的根的情况是（ ） A. 有一正根和一负根 B. 有两个正根 C. 有两个负根 D. 没有实数根 2) 关于x 的一元二次方程0122 =+++k x x 的两实根1x 、2x 满足 12121-<⋅-+x x x x ，则k 的取值范围在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 3) 已知关于x 的一元二次方程082 =-+mx x 的一个实数根为2，则m 的值和另一实数根分别为（ ） A. 2，-4 B. -2，-4 C. 2，4 D. -2，4 4) 如果一元二次方程0322 =--x x 的两根为1x 、2x ，则2 2122 1x x x x +的值等于 （ ） A. -6 B. 6 C. -5 D. 5 5) 已知m 、n 是方程01222 =++x x 的两根，则代数式mn n m 322-+的值为 （ ） A. 3 B. 3- C. 4 D. 5 小专题(六) 一元二次方程根与系数关系的运用 【例】 (泸州中考)已知x 1、x 2是关于x 的一元二次方程x 2－2(m ＋1)x ＋m 2＋5＝0的两个实数根． (1)若(x 1－1)(x 2－1)＝28，求m 的值； (2)已知等腰△ABC 的一边长为7，若x 1、x 2恰好是△ABC 另外两边的边长，求这个三角形的周长． 【思路点拨】 (1)根据根与系数的关系，求得m 的值，再由判别式确定m 的值；(2)根据等腰三角形的性质，边长为7分底边长、腰长两种情况求解． 【方法归纳】 一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)根与系数关系：x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝c a ，是求解一元二次方程中未知字母的值的重要数量关系，可结合两根之差通过配方相互进行转化．另外，注意运用它们的前提条件是方程必须要有两个实数根． 1．(防城港中考)x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2－mx ＋m －2＝0的两个实数根，是否存在实数m 使1x 1＋1x 2 ＝0成立？则正确的结论是( ) A ．m ＝0时成立 B ．m ＝2时成立 C ．m ＝0或2时成立 D ．不存在 2．关于方程49x 2－98x －1＝0的解，下列叙述正确的是( ) A ．无解 B ．有两正根 C ．有两负根 D ．有一正根及一负根 3．(西宁中考)若矩形的长和宽是方程2x 2－16x ＋m ＝0(0＜m ≤32)的两根，则矩形的周长为________． 4．(江西中考)若一个一元二次方程的两个根分别是Rt △ABC 的两条直角边长，且S △ABC ＝3，请写出一个符合题意的一元二次方程____________________． 5．已知方程x 2－6x ＋m 2－2m ＋5＝0的一个根为2，求另一个根及m 的值． 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系—知识讲解（提高） 【学习目标】 1. 会用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况，由方程根的情况能确定方程中待定系数的取值范围； 2. 掌握一元二次方程的根与系数的关系以及在各类问题中的运用. 【要点梳理】 要点一、一元二次方程根的判别式 1.一元二次方程根的判别式 一元二次方程)0(02 ≠=++a c bx ax 中，ac b 42 -叫做一元二次方程)0(02 ≠=++a c bx ax 的 根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42 -=∆ （1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； （2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根； （3）当△<0时，一元二次方程没有实数根. 要点诠释： 利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定c b a .,的值；③计算ac b 42-的值；④根据ac b 42 -的符号判定方程根的情况. 2. 一元二次方程根的判别式的逆用 在方程()002 ≠=++a c bx ax 中， （1）方程有两个不相等的实数根⇒ac b 42 -﹥0； （2）方程有两个相等的实数根⇒ac b 42 -=0； （3）方程没有实数根⇒ac b 42 -﹤0. 要点诠释： （1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件； （2）若一元二次方程有两个实数根则 ac b 42 -≥0. 要点二、一元二次方程的根与系数的关系 1.一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程)0(02 ≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，【中考冲刺】初三数学培优专题 04 根与系数关系(含答案)(难)
初三数学专题——根与系数的关系
一元二次方程根与系数关系(知识讲解)九年级数学上册基础知识讲与练
初三数学一元二次方程根与系数的关系及其应用知识精讲
初中数学九年级专项训练一元二次方程专题根与系数关系
苏科版九年级数学上册 一元二次方程的根与系数的关系- 专题培优训练【含答案】
22.2.5 一元二次方程根与系数关系-2021-2022学年九年级数学上(华师大版)
专题：一元二次方程的根与系数的关系
中考数学专项练习一元二次方程系数与根的关系(含解析)
专题根与系数的关系含答案
九年级数学上册专题21.4 一元二次方程根与系数的关系【八大题型】(举一反三)(人教版)(原卷版)
九年级数学专题训练(四) 一元二次方程根的判别式和根与系数的关系
数学人教版九年级上册一元二次方程根与系数之间的关系(第一课时)
初三数学培优——判别式根与系数关系
人教版九上第二十一章一元二次方程第5讲_一元二次方程的根与系数的关系(无答案)
数学北师大版九年级下册小专题(六) 一元二次方程根与系数关系的运用
人教版初三数学：一元二次方程根的判别式及根与系数的关系—知识讲解(提高)