一元二次方程根与系数的关系专题
一元二次方程根与系数的关系专题
1、若方程x2－4x+m=0与x2－x－2m=0有一个根相同，则m= 。
2，若关于y的方程y2－my+n=0的两个根中只有一个根为0，那么m，n应满
足。
3、证明：如果有理系数方程x2+px+q=0有一个根是形如A+B的无理数(A、B均为有理数)，
那么另一个根必是A－B。
4、设：3a2－6a－11=0，3b2－6b－11=0且a≠b，求a4－b4的值。
5、已知一元二次方程(2k－3)x2+4kx+2k－5=0，且4k+1是腰长为7的等腰三角形
的底边长，
求当k取何整数时，方程有两个整数根。
6、已知：α、β是关于x的方程x2+(m－2)x+1=0的两根，
求(1+mα+α2)(1+mβ+β2)的值。
7、已知x1,x2是关于x的方程x2+px+q=0的两根，x1+1、x2+1是关于x的方程
x2+qx+p=0的两根，求常数p、q的值。，
8、已知x1、x2是关于x的方程x2+m2x+n=0的两个实数根；y1、y2是关于y的方程y2+5my+7=0的两个实数根，且x1－y1=2,x2－y2=2，求m、n的值。
9、关于x的方程m2x2+(2m+3)x+1=0有两个乘积为1的实根，x2+2(a+m)x+2a－m2+6m －4=0有大于0且小于2的根。求a的整数值。
10、已知关于x的一元二次方程x2+2x+p2=0有两个实根x1和x2(x1≠x2)，在数轴上，表示x2的点在表示x1的点的右边，且相距p+1，求p的值。
11、已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为α、β，且两个关于x的方程x2+(α+1)x+β2=0与x2+(β+1)x+α2=0有唯一的公共根，求a、b、c的关系式。
12、如果关于x的实系数一元二次方程x2+2(m+3)x+m2+3=0有两个实数根α、β，那么(α－1)2+(β－1)2的最小值是多少?
13、设x1，x2是方程3x2－2x－2=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：
(1)(x1－4)(x2－4)；
(2)x13x24+x14x23；
(3)
⎪⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
⎪⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
+
1
2
2
13
1
3
1
x
x
x
x
；
(4)x13+x23。
14、已知方程x2+mx+12=0的两实根是x1和x2，方程x2－mx+n=0的两实根是x1+7和x2+7，求m和n的值。
15、在解方程x2+px+q=0时，小张看错了p，解得方程的根为1与－3；小王看错了q，解得方程的根为4与－2。这个方程的根应该是什么?
16、已知x1，x2是方程2x2+3x－1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：
(1)(2x 1－3)(2x 2－3)；
(2)x 13x 2+x 1x 23。
17、已知a 2=1－a ，b 2=1－b ，且a ≠b ，求(a －1)(b －1)的值。
18、.已知m ，n 是一元二次方程x 2－2x －5=0的两个实数根，求2m 2+3n 2+2m 的值。
19、已知关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两根之比为2∶1， 求证：2b 2=9ac 。
20、已知一元二次方程x 2－10x+21+a=0。(1)当a 为何值时，方程有一正、一负两个根?(2)此 方程会有两个负根吗?为什么?
21、当m 为何值时，方程3x 2+2x+m －8=0：(1)有两个大于－2的根?(2)有一个根大于－2，另一个 根小于－2 ?
22、已知2s 2+4s －7=0，7t 2－4t －2=0，s ，t 为实数，且st ≠1。求下列各式的值： (1)t st 1
+；; (2)t s st 3
23+-。
23、已知x 1，x 2是一元二次方程x 2+m x+n=0的两个实数根
x 12+x 22+(x 1+x 2)2=3，5222221=+x x ，求m 和n 的值。
八年级下册数学 一元二次方程根与系数的关系复习专题(附答案)
八年级下册数学 一元二次方程根与系数的关系复习专题（附答案） 一、单选题 1.已知关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0的根为2和3，则关于x 的一元二次方程ax 2-bx-c=0的根为（ ） . A. -2,-3 B. -6,1 C. 2,-3 D. -1,6 2.一元二次方程ax 2+bx+c=0中，若a>0，b<0，c<0，则这个方程根的情况是（ ） A. 有两个正根 B. 有两个负根 C. 有一正根一负根且正根绝对值大 D. 有一正根一负根且负根绝对值大 3.已知一元二次方程a(x-x 1)(x-x 2)=0(a≠0，x 1≠x 2)与一元一次方程dx+e=0有一个公共解x=x 1 ， 若一元二次方程a(x-x 1)(x-x 2)+(dx+e)=0有两个相等的实数根，则( ) A. a(x 1-x 2)=d B. a(x 2-x 1)=d C. a(x 1-x 2)²=d D. a(x 2-x 1)=d 4.已知方程x 2-2x-5=0，有下列判断：①x 1+x 2=-2；②x 1•x 2=-5；③方程有实数根；④方程没有实数根；则下列选项正确的是（ ） A. ①② B. ①②③ C. ②③ D. ①②④ 5.若x 1 ， x 2是一元二次方程x 2﹣2x ﹣3=0的两个根，则x 1x 2的值是（ ） A. -2 B. -3 C. 2 D. 3 6.已知A ，B 是两个锐角，且满足 sin 2A +cos 2B =54 t ， cos 2A +sin 2B =34t 2 ，则实数t 所有可能值的和为（ ） A. - 83 B. - 53 C. 1 D. 113 7.下列各式计算正确的是（ ） A. a 3⋅a 2=a 6 B. a 5+a 5=a 10 C. (−2a 3)3=−8a 9 D. (a −1)2=a 2−1 8.若多项式2x 2+3y+3的值为8，则多项式6x 2+9y+8的值为（ ） A. 1 B. 11 C. 15 D. 23 9.已知实数a ，b 分别满足a 2−6a +4=0,b 2−6b +4=0 ， 且a≠b ，则b a +a b 的值是( ) A. 7 B. －7 C. 11 D. －11 10.已知实数 m 、n 满足 x 2−7x +2=0 ，则 n m +m n 的值是（ ） A. 452 B. 152 C. 152 或2 D. 452 或2 二、填空题 11.已知关于x 的方程x²-mx+2m-1=0的两个实数根的平方和为7，那么m 的值是________ 12.设m 、n 是方程x 2+x-1001=0的两个实数根，则m 2+2m+n 的值为________。 13.已知a ，b 是一元二次方程x 2+x －3＝0的两个实数根，则a 2-b+2020=________. 14.已知x 1 ， x 2是方程x 2+6x+3＝0的两实数根，则 x 2x 1 + x 1 x 2 的值为________． 15.一元二次方程x 2﹣3x ﹣4=0与x 2+4x-5=0的所有实数根之和等于________
一元二次方程根与系数的关系基础练习30题含详细答案
装…………○……_姓名：___________班级：__装…………○……一元二次方程根与系数的关系基础练习30题含详细答案 一、单选题 1．若12,x x 是一元二次方程²350x x +-=的两根，则12x x +的值是（ ） A ．3 B ．3- C ．5 D ．5- 2．已知方程22430x x +-=的两根分别为1x 和2x ，则12x x 的值等于（ ） A ．2 B ．－1.5 C ．－2 D ．4 3．已知α，β是方程2202010x x ++=的两个根，则（1＋2022α＋α2）（1＋2022β＋β2）的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4．如图，二次函数()2 0y ax bx c a =++≠的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且OC ＝2OB 则下列结论：① 0abc <；②0a b c ++>；③240ac b -+=；④ c OA OB a ⋅=- ，其中正确的结论有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 5．★在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，a ，b 是关于x 的方程x 2－7x ＋c ＋7＝0的两根，那么AB 边上的中线长是（ ） A ． 3 2 B ． 52 C ．5 D ．2 二、解答题 6．关于x 的一元二次方程x 2+3x ﹣k =0有两个不相等的实数根． （1）求k 的取值范围． （2）若x 1+2x 2=3，求|x 1﹣x 2|的值． 7．已知关于x 的方程x 2+（2m ﹣1）x +m 2＝0有实数根． （1）若方程的一个根为1，求m 的值；
一元二次方程根与系数的关系专题
一元二次方程根与系数的关系专题 1、若方程x2－4x+m=0与x2－x－2m=0有一个根相同，则m= 。 2，若关于y的方程y2－my+n=0的两个根中只有一个根为0，那么m，n应满 足。 3、证明：如果有理系数方程x2+px+q=0有一个根是形如A+B的无理数(A、B均为有理数)， 那么另一个根必是A－B。 4、设：3a2－6a－11=0，3b2－6b－11=0且a≠b，求a4－b4的值。 5、已知一元二次方程(2k－3)x2+4kx+2k－5=0，且4k+1是腰长为7的等腰三角形 的底边长， 求当k取何整数时，方程有两个整数根。 6、已知：α、β是关于x的方程x2+(m－2)x+1=0的两根， 求(1+mα+α2)(1+mβ+β2)的值。 7、已知x1,x2是关于x的方程x2+px+q=0的两根，x1+1、x2+1是关于x的方程 x2+qx+p=0的两根，求常数p、q的值。， 8、已知x1、x2是关于x的方程x2+m2x+n=0的两个实数根；y1、y2是关于y的方程y2+5my+7=0的两个实数根，且x1－y1=2,x2－y2=2，求m、n的值。 9、关于x的方程m2x2+(2m+3)x+1=0有两个乘积为1的实根，x2+2(a+m)x+2a－m2+6m －4=0有大于0且小于2的根。求a的整数值。
10、已知关于x的一元二次方程x2+2x+p2=0有两个实根x1和x2(x1≠x2)，在数轴上，表示x2的点在表示x1的点的右边，且相距p+1，求p的值。 11、已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为α、β，且两个关于x的方程x2+(α+1)x+β2=0与x2+(β+1)x+α2=0有唯一的公共根，求a、b、c的关系式。 12、如果关于x的实系数一元二次方程x2+2(m+3)x+m2+3=0有两个实数根α、β，那么(α－1)2+(β－1)2的最小值是多少? 13、设x1，x2是方程3x2－2x－2=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值： (1)(x1－4)(x2－4)； (2)x13x24+x14x23； (3) ⎪⎪ ⎭ ⎫ ⎝ ⎛ ⎪⎪ ⎭ ⎫ ⎝ ⎛ + 1 2 2 13 1 3 1 x x x x ； (4)x13+x23。 14、已知方程x2+mx+12=0的两实根是x1和x2，方程x2－mx+n=0的两实根是x1+7和x2+7，求m和n的值。 15、在解方程x2+px+q=0时，小张看错了p，解得方程的根为1与－3；小王看错了q，解得方程的根为4与－2。这个方程的根应该是什么? 16、已知x1，x2是方程2x2+3x－1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：
专题：一元二次方程根与系数的关系(含答案)-
一元二次方程根与系数的关系(一) 姓名 ◆课前预习 1．如果一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两个根是x 1，x 2，那么x 1+x 2=____，x 1x 2=____． 2．如果方程x 2+px+q=0的两个根是x 1，x 2，那么x 1+x 2=_____，x 1x 2=________；以两个数x 1，x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是__________． ◆互动课堂 【例1】写出下列方程的两根和与积 (1)2 x 3x-5=0- (2)2 2x +3x 8=0- (3)52 x 7x 10-+= 【例2】设方程4x 2－7x －3=0的两根为x 1，x 2，不解方程，求下列各式的值： （1）x 12+x 22； （2）（x 1－3）（x 2－3）；（3）21121x x x x x +++； （4）│x 1－x 2│． 【例3】已知方程2 5x +kx 6=0-的一个根为2，求k 的值及另一个根 【例4】已知关于x 的一元二次方程x 2－（2k+1）x+4k －3=0。 （1）求证：无论x 取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）当Rt △ABC 的斜边长b 和c 恰好是这个方程的两个根时，求△ABC 的周长． 【例5】已知关于x 的一元二次方程2 2x +3x m+1=0-的两实根的倒数和为3, 求m 的值. ◆跟进课堂 1．如果方程x 2+px+q=01 ，那么p=_____，q=_____． 2．已知一元二次方程x 2－5x －6=0x 1，x 2，则x 12+x 22=_______． 3．已知x 1、x 2是关于x 的一元二次方程a 2x 2－（2a －3）x+1=0的两个实数根，如果1 2 11x x +=－2， 那么a 的值是_______． 4．已知关于x 的方程x 2－3x+m=0的一个根是另一个根的2倍，则m 的值为______． 5．已知方程x 2+3x －1=0的两个根为α、β，那么a βαβ + =_______． 6．设方程x 2 +x －1=0的两个实数根分别为x 1，x 2，则1 2 1 1x x +的值为（ ）． A ．1 B ．－1 C D 7．对于方程x 2+bx －2=0，以下观点正确的是（ ）． A ．方程有无实数根，要根据b 的取值而定 B ．无论b 取何值，方程必有一正根，一负根 C ．当b>0时，方程两根为正；b<0时，方程两根为负 D ．∵－2<0，∴方程两根肯定为负 8．已知一个直角三角形两条直角边的长恰好是方程x 2－8x+7=0的两个根，•则这个直角三角形的斜边长是（ ）． A ．5 B ．3 C ． D ．9 9．已知α、β满足α+β=5，且αβ=6，则以α、β为两根的一元二次方程是（ ）． A ．x 2+5x+6=0 B ．x 2－5x+6=0 C ．x 2－5x －6=0 D ．x 2 +5x －6=0 10．一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）有两异号实数根的条件是（ ）． A ．b a >0 B ．b a <0 C ．c a >0 D ．c a <0 ◆课外作业 1．设x 1，x 2是方程x 2－4x+2=0的两实数根，则x 1+x 2=____，x 1·x 2=_____． 2．关于x 的一元二次方程x 2+bx+c=0的两根为x 1=1，x 2=2，则x 2+bx+c •分解因式的结果为_______． 3．如果一个矩形的长和宽是一元二次方程x 2－10x+20=0的两个根，•那么这个矩形的周长是
一元二次方程根与系数的关系的关系(含答案)
21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 A基础知识详解—————————————— ☆知识点一元二次方程根与系数的关系 B重难点解读————————— ☆重难点根据方程中两根的关系确定方程中字母的值 ○随堂例题 例1 已知关于x的方程x2+（2k-1）x+k2-1=0有两个实数根x1、x2．（1）求实数k的取值范围； （2）若x1、x2满足x12+x22=16+x1?x2，求实数k的值．
（2）∵关于x 的方程x +（2k-1）x+k -1=0有两 个实数根x 1，x 2，∴x 1+x 2=1-2k ，x 1?x 2=k 2 -1． ∵x 12+x 22=（x 1+x 2）2 -2x 1?x 2=16+x 1?x 2， ∴（1-2k ）2-2×（k 2-1）=16+（k 2-1），即k 2 -4k-12=0， 解得k=-2或k=6（不符合题意，舍去）． ∴实数k 的值为-2． 【一中名师点拨】题目中提到两个实数根，即隐含着根的判别式大于等于0；当根据方程中两根的关系确定方程中字母的值，关键是把这种关系式转化为含x 1+x 2及x 1x 2的形式. ○随堂训练 1.（2017烟台）若x 1，x 2是方程x 2-2mx+m 2 -m-1=0的两个根，且x 1+x 2=1-x 1x 2，则m 的值为（ D ） A ．-1或2 B ．1或-2 C ．-2 D ．1 2.已知关于x 的一元二次方程x 2 +（m+2）x+m=0， （1）求证：无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根； （2）若x 1，x 2是原方程的两根，且 2 1 1 1 x x + =-2， 求m 的值. 解：（1）△=（m+2）2-4m=m 2 +4＞0，∴无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根； （2）∵x 1，x 2是原方程的两根， ∴x 1+x 2=-（m+2），x 1x 2=m ． ∵ 2 1 1 1 x x + = 2 121x x x x +=-m m 2 +=-2， 解得m=2，经检验，m=2是分式方程的解，且符合 题意，∴m 的值为2． 课后达标 基础训练 1.（2017呼和浩特）关于x 的一元二次方程x 2+（a 2 -2a ）x+a-1=0的两个实数根互为相反数，则a 的值为（ B ） A ．2 B ．0 C ．1 D ．2或0 2.（2017新疆）已知关于x 的方程x 2 +x-a=0的一个根为2，则另一个根是（ A ） A ．-3 B ．-2 C ．3 D ．6 3.已知m ，n 是一元二次方程x 2 -4x-3=0的两个实数根，则代数式（m+1）（n+1）的值为（ D ） A ．-6 B ．-2 C ．0 D ．2 4.已知实数x 1，x 2满足x 1+x 2=11，x 1x 2=30，则以x 1，x 2为根的一元二次方程是（ A ） A ．x 2-11x+30=0 B ．x 2 +11x+30=0 C ．x 2+11x-30=0 D ．x 2 -11x-30=0 5.已知x 1、x 2是方程2x 2+3x-4=0的两根，那么x 1+ x 2= 23- ；x 1·x 2= 2 ；11x +2 1x = 43- ；x 12+ x 22 = 47- ；21x x -= 4 23 -. 6.已知关于x 的方程x 2 +ax+b+1=0的解为x 1=x 2=2，则a+b 的值为 -1 . 7.以3+2和3-28.已知方程5x 2 +mx-10=0的一根是-5，求方程的另一根及m 的值. 解：设方程的另一个根为k ， 则-5k=-2，解得52k = ，又k-5=5 m -，得m=23. 9.已知关于x 的一元二次方程kx 2 +x-2=0有两个不相等的实数根． （1）求实数k 的取值范围；
一元二次方程根与系数的关系专项练习(含解析)
同步测验一、选择题（本题共计10小题，每题3分，共计30分） 1.若关于x的一元二次方程x2?4x?m2=0有两个实数根x1，x2，则m2(1 x1+1 x2 )=() A.m 4 4B.?m 4 4 C.4 D.?4 2.关于x的一元二次方程x2+mx?6=0的一个根是3，则另一个根是（） A.?1 B.1 C.?2 D.2 3.已知x1，x2是方程x2?2x?1=0的两根，则x1+x2的值为（） A.1 B.?2 C.?1 D.2 4.一元二次方程x2+4x?3=0的两根为x1、x2，则x1?x2的值是（） A.4 B.?4 C.3 D.?3 5.已知a、b是方程x2?4x+2=0的两个根，则a2?2a+2b的值为（） A.?4 B.6 C.?8 D.8 6.若x1、x2是一元二次方程2x2?3x+1=0的两个根，则x12+x22的值是（） A.5 4B.9 4 C.11 4 D.7 7.已知x1，x2是关于x的元二次方程x2?(5m?6)x+m2＝0的两个不相等的实根，且满足x1+x2＝m2，则m的值是（） A.2 B.3 C.2或3 D.?2或?3 8.x1，x2是关于x的一元二次方程x2?mx+m?2=0的两个实数根，是否存在实数m使1 x1+1 x2 =0 成立？则正确的结论是（） A.m=0时成立 B.m=2时成立 C.m=0或2时成立 D.不存在 9.关于x的方程x2?(k+3)x+3k=0的两根为x1，x2，1 x1+1 x2 =2 3 ，则k值为（） A.1 B.2 C.3 D.4 10.下列方程中，两根是?2和?3的方程是（） A.x2?5x+6=0 B.x2?5x?6=0 C.x2+5x?6=0 D.x2+5x+6=0
中考数学狙击重难点系列专题11----一元二次方程根与系数的关系(含答案)
一元二次方程根与系数的关系 1. 已知a≥2，m2﹣2am+2=0，n2﹣2an+2=0，则（m﹣1）2+（n﹣1）2的最小值是（） A. 6 B. 3 C. ﹣3 D. 0 2. 已知α，β是方程x2+2014x+1=0的两个根，则（1+2016α+α2）（1+2016β+β2）的值为（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（） A. B. 3 C. 6 D. 9 4. 已知方程x2+5x+1=0的两个实数根分别为x1、x2，则x12+x22=________． 5. ( 1分) 若关于的方程有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，则的取值范围是________. 6. ( 1分) 如果、是两个不相等的实数，且满足，，那么代数式 =________ 7. 已知关于x的一元二次方程x2﹣（3k+1）x+2k2+2k=0 （1）求证：无论k取何实数值，方程总有实数根； （2）若等腰△ABC的一边长a=6，另两边长b、c恰好是这个方程的两个根，求此三角形的三边长？ 8.已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k=0 （1）求证：无论k取任何实数，方程总有实数根； （2）若等腰△ABC的一边a=3，另两边长b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长 9. 如果方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2，那么x1+x2=﹣p，x1•x2=q，请根据以上结论，解决下列问题： （1）若p=﹣4，q=3，求方程x2+px+q=0的两根． （2）已知实数a、b满足a2﹣15a﹣5=0，b2﹣15b﹣5=0，求+ 的值； （3）已知关于x的方程x2+mx+n=0，（n≠0），求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数．
一元二次方程根与系数关系专题
一元二次方程根与系数的关系专题 一、 知方程，利用根与系数的关系求与根有关的对称式的值： 方法：先根据方程写出x 1＋x 2和x 1．x 2的值，然后把所求的对称式通过配方、运算、因式分解等技巧，变形为含有x 1＋x 2和x 1．x 2的式子，再代值计算。如果所求式子不是对称式，则先根据方程的根的定义，对所求式子进行降次、变形为对称式子，再按上述方法求值。 例1、设方程4x 2 －7x ＋1=0的两根为x 1，x 2，不解方程，求下列各式的值： (1) x 12＋x 22 (2) (x 1－1)(x 2-1) （3）x 1－x 2 (4) 21x x + 例2、已知m 、n 是方程2 310x x -+= 的两根，求2 2 2462008m n n +-+ 的值。 二、知方程两根的关系，求字母系数的值： 方法：先根据方程把x 1＋x 2和x 1．x 2用含字母系数的式子表示出来，然后把已知的关系式变形为含有x 1＋x 2和x 1．x 2的式子，代入，建立方程，求出字母系数的值，再判断Δ，分两种情况：①若Δ是一个二次三项式，则把所求的值代入Δ中，使Δ＜0的值要舍去，②若Δ是一个一次二项式，则令Δ≥0，解不等式，求出字母系数的取值范围，不在取值范围内的值要舍去。有时也可将所求的值代入原方程进行验证。 例3、已知关于x 的方程x 2－(k ＋1)x ＋k ＋2=0的两根的平方和等于6，求k 的值。 例4、已知关于x 的方程 222(2)0x m x m --+=，试问：是否存在实数m ，使得方程的两个实数根 的平方和等于56。如果存在，求出m 的值，如果不存在，请说明理由。 例5、关于x 的方程2 2 1204 x mx n -+ =，其中m 、n 分别是一个等腰三角形的腰长和底边长。 (1)求证：这个方程有两个不相等的实根； (2)若方程两实根之差的绝对值是8，等腰三角形的面积是12，求这个三角形的周长。 课 堂 作 业： 1．设21,x x 是方程03622 =+-x x 的两根，则2 221x x +的值是（ ） （A ）15 （B ）12 （C ）6 （D ）3 2．已知x 1，x 2是方程2x 2－7x ＋4＝0的两根，则x 1＋x 2＝ ，x 1·x 2＝ ，（x 1－x 2）2＝ 3．已知关于x 的方程10x 2－(m ＋3)x ＋m －7=0，若有一个根为0，则m ＝ ，这时方程的另一个根是 ；若两根之和为－3 5 ，则m = ，这时方程的 两个根为 ．
一元二次方程根与系数的关系练习题
一元二次方程根与系数的关系练习题（1） 一、 填空： 1、 如果一元二次方程c bx ax ++2=0)(0≠a 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = . 2、如果方程02=++q px x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = . 3、方程01322=--x x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = . 4、如果一元二次方程02=++n mx x 的两根互为相反数，那么m = ；如果两根互为倒数，那么n = . 5方程0)1(2=-++n mx x 的两个根是2和－4，那么m = ，n = . 6、以1x ，2x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是 . 7、以13+，13-为根的一元二次方程是 . 8、若两数和为3，两数积为－4，则这两数分别为 . 9、若两数和为4，两数积为3，则这两数分别为 . 10、已知方程04322=-+x x 的两根为1x ，2x ，那么2221x x += . 11、若方程062=+-m x x 的一个根是23-，则另一根是 ，m 的值是 . 12、若方程01)1(2=----k x k x 的两根互为相反数，则k = ， 若两根互为倒数，则k = . 13、如果是关于x 的方程02=++n mx x 的根是2-和3，那么n mx x ++2在实数范围内可分解为 14、已知方程0232=--x x 的两根为1x 、2x ，则 （1）1x 2+2x 2= _； （2）2 111x x += ； （3）=-221)(x x _ _； （4）)1)(1(21++x x = . 二、选择题： 1、关于x 的方程p x x --822＝０有一个正根，一个负根，则p 的值是（ ） （A ）0 （B ）正数 （C ）－8 （D ）－4
初三数学中考复习 一元二次方程的根与系数的关系 专题复习训练题 含答案
2019 初三数学中考复习 一元二次方程的根与系数的关系 专题复习训练题 1．若关于x 的方程x2＋3x ＋a ＝0有一个根为－1，则另一个根为( ) A ．－2 B ．2 C ．4 D ．－3 2．已知：x1、x2是一元二次方程x2＋2ax ＋b ＝0的两根，且x1＋x2＝3，x1x2＝1，则a 、b 的值分别是( ) A ．a ＝－3，b ＝1 B ．a ＝3，b ＝1 C ．a ＝－32，b ＝－1 D ．a ＝－32 ，b ＝1 3. 已知2是关于x 的方程x2－2mx ＋3m ＝0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC 的两条边长，则三角形ABC 的周长为( ) A ．10 B ．14 C ．10或14 D ．8或10 4．一元二次方程x2－3x －2＝0的两根为x1、x2，则下列结论正确的是( ) A ．x1＝－1，x2＝2 B ．x1＝1，x2＝－2 C ．x1＋x2＝3 D ．x1x2＝2 5. 已知x1、x2是关于x 的方程x2＋ax －2b ＝0的两实数根，且x1＋x2＝－2，x1·x2＝1，则ba 的值为( ) A.14 B ．－14 C ．4 D ．－1 6．如果关于x 的方程2x2－7x ＋m ＝0的两个实根互为倒数，那么m 的值为( ) A.12 B ．－12 C ．2 D ．－2 7. 设x1、x2是方程x2＋5x －3＝0的两个根，则x21＋x22的值是( ) A ．19 B ．25 C ．31 D ．30 8．已知m 、n 是关于x 的一元二次方程x2－3x ＋a ＝0的两个解，若(m －1)(n －1)＝－6，则a 的值为( ) A ．－10 B ．4 C ．－4 D ．10 9. 方程x2－(m ＋6)x ＋m2＝0有两个相等的实数根，且满足x1＋x2＝x1x2，则m 是( ) A ．－2或3 B ．3 C ．－2 D ．－3或2 10. 已知关于x 的方程x2＋mx －6＝0的一个根为2，则这个方程的另一个根是 ，m ＝ .
一元二次方程根与系数的关系练习题
一元二次方程根与系数的关系练习题 一元二次方程根与系数的关系练题（1） 一、填空： 1、如果一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1，x2，那么x1+x2=-b/a，x1x2=c/a. 2、如果方程x^2+px+q=0的两根为x1，x2，那么 x1+x2=-p，x1x2=q. 3、方程2x^2-3x-1=0的两根为x1，x2，那么x1+x2=3/2，x1x2=-1/2. 4、如果一元二次方程x^2+mx+n=0的两根互为相反数， 那么m=0；如果两根互为倒数，那么n=1. 5、方程x^2+mx+(n-1)=0的两个根是2和-4，那么m=-2，n=-7.
6、以x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是 x^2-(x1+x2)x+x1x2=0. 7、以3+1，3-1为根的一元二次方程是(x-4)(x-2)=0，即 x^2-6x+8=0. 8、若两数和为3，两数积为-4，则这两数分别为-1和-3. 9、若两数和为4，两数积为3，则这两数分别为1和3. 10、已知方程2x^2+3x-4=0的两根为x1，x2，那么 x1+x2=-3/2. 11、若方程x^2-6x+m=0的一个根是3-2，则另一根是1，m的值是5. 12、若方程x^2-(k-1)x-k-1=0的两根互为相反数，则k=±1，若两根互为倒数，则k=-1.
13、如果是关于x的方程x^2+mx+n=0的根是-2和3，那么x^2+mx+n在实数范围内可分解为(x+2)(x-3)=0. 14、已知方程x^2-3x-2=0的两根为x1、x2，则（1） x1^2+x2^2=11；（2）x1+x2=3；（3）(x1-x2)^2=25；（4）(x1+1)(x2+1)=-1. 二、选择题： 1、关于x的方程2x^2-8x-p=0有一个正根，一个负根， 则p的值是（C）－8. 2、已知方程x^2+2x-1=0的两根是x1，x2，那么 x1x2+x1+x2=-7. 3、已知方程2x^2-x-3=0的两根为x1，x2，那么x1x2=3/2. 4、下列方程中，两个实数根之和为2的一元二次方程是（A）x^2+2x-3=0.
一元二次方程根与系数关系经典例题与练习
一、填空题与选择题： 1、若一元二次方程)0(,02≠=++a c bx ax 有一个根为-1,则a 、b 、c 的关系是______. 2、一元二次方程0132=--x x 与032=--x x 的所有实数根的和等于____. 3、若α、β为实数且｜α+β－3｜+(2－αβ)2=0，则以α、β为根的一元二次方程为 。(其中二次项系数为1) 4、已知a a -=12，b b -=12，且b a ≠，则=--)1)(1(b a ． 5、已知关于x 的方程0142=-+-k x x 的两根之差等于6，那么=k ______ 6、已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程22870x x -+=的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（ ） A B 、3 C 、6 D 、9 7、已知三角形两边长分别为2和9,第三边的长为二次方程048142=+-x x 的一根, 则这个三角形的周长为 ( ) A.11 B.17 C.17或19 D.19 二、解答题： 8、设21,x x 是一元二次方程 01522=+-x x 的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值： （1）)3)(3(21--x x ； （2）2221)1()1(+++x x （3） 1121 12+++x x x x （4）||21x x -
（5） )31)(31(1221x x x x ++ （6）3231x x + 9、已知1x ，2x 是关于x 的方程 012)2(222=-++-m x m x 的两个实根，且满足02221=-x x ，求m 的值； 10、已知方程0122=++mx x 的两实根是21x x 和，方程02=+-n mx x 的两实根 是71+x 和72+x ，求m 和n 的值。 11、已知关于x 的方程 04)2(222=++-+m x m x 有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比它们的积大21，求m 的值.
一元二次方程根与系数的关系专项练习题 题目
一元二次方程根与系数的关系专项练习题 1、已知关于x 的方程022=-++a a x x 和0)2)(12()13(2=-++--a a x a x 。问是否存在这样的a 值，使得第一个方程的两实根的平方和等于第二个方程的一个整数根？若存在，求出这样的a 值；若不存在，请说明理由。 2、已知二次函数122+-=mx x y 。记当c x =时，函数值为y c ，那么，是否 存在实数m ，使得对于满足10≤≤x 的任意实数a ，b ，总有1≥+b a y y 。
3、已知实数a 、b 、c 满足：12222=+++ab c b a ，8 1)(222=++c b a ab 。又α、β 为方程0)()2()(2=+-+-+b a x c a x b a 的两个实根，试求βαβα++33的值。 4、已知关于x 的方程018)13(3)1(22=+---x m x m 有两个正整数根（m 是整数）。△ABC 的三边a 、b 、c 满足32=c ，0822=-+a m a m ，0822=-+b m b m 。 求：⑴ m 的值；⑵ △ABC 的面积。
5、已知：如图在Rt △ABC 中，斜边AB ＝5厘米，BC ＝a 厘米，AC ＝b 厘米，a ＞b ，且a 、 b 是方程2(1)40x m x m --++=的两根。 ⑴ 求a 和b 的值； ⑵ C B A '''∆与ABC ∆开始时完全重合，然后让ABC ∆固定不动，将C B A '''∆以1厘米/秒的速度沿BC 所在的直线向左移动。 ① 设x 秒后C B A '''∆与ABC ∆的重叠部分的面积为y 平方厘米， 求y 与x 之间的函数关系式,并写出x 的取值范围； ② 几秒后重叠部分的面积等于83 平方厘米？ 6、设,,a b c 为三个互不相等的实数，且1c ≠。已知关于x 的方程210x ax ++=和20x bx c ++=有一个公共根, 方程20x x a ++=和20x cx b ++=有一个公共根。试求：a b c ++的值。 A B C M A'B'C'
一元二次方程根与系数的关系专题
一元二次方程专题 姓名 【题组1】1．设a ，b 是方程x 2+x ﹣2015=0的两个实数根，求a 2 +2a +b 的值 2、若α，β是方程x 2+2x ﹣2005=0的两个实数根，求α2 +3α+β的值 3、已知βα,是方程012 =--x x 的两个根，求=+βα34 4、已知a 是方程x 2 ﹣2015x +1=0的一个根，则代数式a 2 ﹣2014a + 的值 【题组2】1、如果m ，n 是两个不相等的实数，且满足m 2﹣m=3，n 2﹣n=3，求代数式2n 2﹣mn +2m +2015的值 2．已知实数m 、n 满足m 2﹣4m ﹣1=0，n 2﹣4n ﹣1=0，则+= ． 3、已知2s 2+4s －7=0，7t 2－4t －2=0，s ，t 为实数，且st ≠1。求 t st 1 +的值： 【题组3】1、方程x 2+3x +1=0的两个根为α、β，则+ 的值 为 ． 【题组4】1、等腰三角形两边长为方程x 2﹣7x +10=0的两根，求它的周长。 3、若一个等腰三角形的三边长均满足方程y 2﹣6y +8=0，求此三角形的周长。 3．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x 2﹣8x +7=0的两个根，求这个直角三角形的斜边长 4、已知：△ABC 的两边AB 、AC 的长是关于x 的一元二次方程x 2﹣（2k +3）x +k 2+3k +2=0的两个实数根，第三边BC 的长为5． （1）k 为何值时，△ABC 是以BC 为斜边的直角三角形？ （2）k 为何值时，△ABC 是等腰三角形？并求△ABC 的周长． 【题组5】 关于x 的一元二次方程( )04222=-++-a x x a 的一个根为 0，求a 的值。 2、若关于x 的方程x 2+2(m －1)x+m 2 =0有两个实数根，且这两个根互为倒数，求m 的值。 3、已知a 、b 实数且满足（a 2+b 2）2-(a 2+b 2)-6=0,则a 2+b 2 的值 4、已知关于x 的方程()011222=+-+x k x k 有两个不相等的实数根21,x x ，是否存在实数k ，使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由。
专题：一元二次方程的根与系数的关系
九年级数学专题一：一元二次方程的根与系数的关系 一、知识要点： 一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为： 12,22b b x x a a -+--== 所以：12b x x a +=+=-， 12244ac c x x a a ⋅====定理：如果一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为12,x x ， 那么： 12x x +=______________, 12x x =______________. 说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为韦达定理．上述定理成立的前提是0∆≥． 二、例题讲解 类型一、一元二次方程的两个根的有关计算 例1.设x 1，x 2是方程x 2+2x ﹣3＝0的两个实数根，求x 12+x 22的值． 解：∵x 1，x 2是方程x 2+2x ﹣3＝0的两个实数根， ∴x 1+x 2＝﹣2，x 1•x 2＝﹣3， ∴x 12+x 22＝（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2＝（﹣2）2﹣2×（﹣3）＝10； 例2.设x 1与x 2为一元二次方程x 2+3x +2＝0的两根，求（x 1﹣x 2）2的值． 解：由题意可知：x 1+x 2＝﹣6，x 1x 2＝4，∴（x 1﹣x 2）2＝（x 1+x 2）2﹣4x 1x 2 ＝（﹣6）2﹣4×4＝36﹣16＝20， 练习1： （1）设a ，b 是方程x 2﹣x ﹣2021＝0的两个实数根，则a +b ﹣ab 的值为（ ） A ．2022 B ．﹣2022 C ．2020 D ．﹣2020 （2）已知方程x 2+2x +6＝10x +2的两实数根分别为x 1，x 2，则 的值为（ ） A ．﹣2 B ．2 C ． D ．﹣ （3）设x 1，x 2是方程x 2﹣3x ﹣3＝0的两个实数根，则x 12x 2+x 1x 22的值为（ ） A ．9 B ．﹣9 C ．1 D ．﹣1 （4）已知x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣4x ﹣7＝0的两个实数根，则x 12+4x 1x 2+x 22的值是 ． （5）已知a 、b 是方程x 2+5x +3＝0的两个根，则的值是（ ） A ． B ． C ． D ． 练习2：若12,x x 是方程2220090x x +-=的两个根，试求下列各式的值： (1) 2212x x +； (2) 12 11x x +； (3) 12(5)(5)x x --； (4) 12||x x -．
专题根与系数的关系含答案
专题：一元二次方程根的判别式和根与系数的关系 例1.已知关于x的方程mx2-2m-1x+m-2=0． 1当m取何值时,方程有两个不相等的实数根； 2若x1、x2为方程的两个不等实数根,且满足x12+x22-x1x2=2,求m的值． 例2.已知关于x的方程x2-4mx+4m2-9=0． 1求证：此方程有两个不相等的实数根； 2设此方程的两个根分别为x1,x2,其中x1＜x2．若2x1=x2+1,求m的值．
例3．已知关于x的方程mx2+4-3mx+2m-8=0m＞0． 1求证：方程有两个不相等的实数根； m,且点B m,n在x轴上,求m 2设方程的两个根分别为x1、x2x1＜x2,若n=x2-x1-1 2 的值． . 例4.已知关于x的一元二次方程：x2-2m+1x+m2+5=0有两个不相等的实数根．1求m的取值范围； 2若原方程的两个实数根为x1、x2,且满足x12+x22=|x1|+|x2|+2x1x2,求m的值．
例5.已知关于x的方程x2-2k+1x+4k-1 =0． 2 1求证：无论k取什么实数值,这个方程总有实数根； 2能否找到一个实数k,使方程的两实数根互为相反数若能找到,求出k的值；若不能,请说明理由． 3当等腰三角形ABC的边长a=4,另两边的长b、c恰好是这个方程的两根时,求△ABC的周长． 训练 1.已知关于x的方程mx2-m+2x+2=0m≠0．
1求证：方程总有两个实数根； 2已知方程有两个不相等的实数根α,β,满足1 α+1 α =1,求m的值． 2.已知一元二次方程x2-2x+m=0 1若方程有两个实数根,求m的范围； 2若方程的两个实数根为x1和x2,且x1+3x2=3,求m的值．3若方程的两个实数根为x1和x2,且x12-x22=0,求m的值．
一元二次方程根与系数的关系习题精选(含答案)
一元二次方程根与系数的关系习题精选〔含答案〕 一．选择题〔共22小题〕 1．〔2021•宜宾〕假设关于x的一元二次方程的两个根为x1=1，x2=2，那么这个方程是〔〕 A．x2+3x﹣2=0 B．x2﹣3x+2=0 C．x2﹣2x+3=0 D．x2+3x+2=0 2．〔2021•昆明〕x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+1=0的两个实数根，那么x1•x2等于〔〕 A．﹣4 B．﹣1 C．1D．4 3．〔2021•玉林〕x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣2=0的两个实数根，是否存在实数m使+=0成 立？那么正确的结论是〔〕 A．m=0时成立B．m=2时成立C．m=0或2时成立D．不存在 4．〔2021•南昌〕假设α，β是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根，那么α2+β2的值为〔〕 A．10 B．9C．7D．5 5．〔2021•贵港〕假设关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，那么b+c的值是〔〕A．﹣10 B．10 C．﹣6 D．﹣1 6．〔2021•烟台〕关于x的方程x2﹣ax+2a=0的两根的平方和是5，那么a的值是〔〕 A．﹣1或5 B．1C．5D．﹣1 7．〔2021•攀枝花〕假设方程x2+x﹣1=0的两实根为α、β，那么以下说法不正确的选项是〔〕 A．α+β=﹣1 B．αβ=﹣1 C．α2+β2=3 D． +=﹣1 8．〔2021•威海〕方程x2﹣〔m+6〕x+m2=0有两个相等的实数根，且满足x1+x2=x1x2，那么m的值是〔〕A．﹣2或3 B．3C．﹣2 D．﹣3或2 9．〔2021•长沙模拟〕假设关于x的一元二次方程x2+〔k+3〕x+2=0的一个根是﹣2，那么另一个根是〔〕A．2B．1C．﹣1 D．0 10．〔2021•黄冈样卷〕设a，b是方程x2+x﹣2021=0的两个实数根，那么a2+2a+b的值为〔〕 A．2021 B．2021 C．2021 D．2021 11．〔2021•江西模拟〕一元二次方程x2﹣2x﹣3=0与3x2﹣11x+6=0的所有根的乘积等于〔〕 A．﹣6 B．6C．3D．﹣3 12．〔2021•峨眉山市二模〕x1、x2是方程x2﹣〔k﹣2〕x+k2+3k+5=0的两个实数根，那么的最大值是〔〕A．19 B．18 C．15 D．13 13．〔2021•陵县模拟〕：x1、x2是一元二次方程x2+2ax+b=0的两根，且x1+x2=3，x1x2=1，那么a、b的值分别是〔〕 A．a=﹣3，b=1 B．a=3，b=1 C． a=﹣，b=﹣1 D． a=﹣，b=1
初中数学一元二次方程根与系数关系专项练习题(附答案详解)
初中数学一元二次方程根与系数关系专项练习题（附答案详解） 1．若一个关于x 的一元二次方程的两个根分别是数据2，4，5，4，3，5，5的众数和中位数，则这个方程是（ ） A ．x 2﹣7x+12=0 B ．x 2+7x+12=0 C ．x 2﹣9x+20=0 D ．x 2+9x+20=0 2．关于x 的方程kx 2+2x ﹣1＝0有两个实数根，则k 的取值范围是（ ） A ．k≥1 B ．k≥﹣1 C ．k≥1且k≠0 D ．k≥﹣1且k≠0 3．若m ，n 是方程2250x x --=两根，则() ()22m m m n -+的值为( ) A ．5 B ．10 C ．5- D ．10- 4．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2-6x- 15=0的两个根，则x 1+x 2等于( ) A ．-6 B ．6 C ．-15 D ．15 5．在数轴上用点B 表示实数b ．若关于x 的一元二次方程x 2+bx +1=0有两个相等的实数根，则（ ） A ．2O B = B ．2OB > C ．2OB ≥ D ．2OB < 6．若方程x 2 +x-1 = 0的两实根为α、β，那么下列说法不正确的是( ) . A ．α+β=-1 B ．αβ=-1 C ．1 1 +αβ=1 D ．α2+β2=1 7．已知x 1，x 2是关于x 的方程x 2+bx ﹣3=0的两根，且满足x 1+x 2﹣3x 1x 2=5，那么b 的值为（ ） A ．4 B ．﹣4 C ．3 D ．﹣3 8．下列关于x 的一元二次方程中，有两个不相等的实数的是( ). A ．2x +2 =0 B ．2x +x-1=0 C ．2x +x+3=0 D ．42x -4x+1=0. 9．已知关于x 的一元二次方程x 2＋mx ＋n ＝0的两个实数根分别为x 1＝－2，x 2＝4，则m ，n 的值分别为() A ．m ＝－2，n ＝8 B ．m ＝－2，n ＝－8 C ．m ＝2，n ＝－8 D ．m ＝2，n ＝8 10．已知α，β是方程2201610x x ++=的两个根，则 ()()22 1201812018ααββ++++的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 11．已知1x ，2x 分别是一元二次方程260x x --=的两个实数根，则 12x x +=________．