河北省邢台市第一中学高一直升班上学期期末数学试题(解析版)

河北省邢台市第一中学高一直升班上学期期末数学试题

一、单选题

1．已知集合2{|1}A x x ==，2{|2}B x x x ==，则A B =（ ）

A ．{1,0,1,2}-

B ．{0}

C ．{1,1,2}-

D ．{1,2}

【答案】A

【解析】解二次方程，化简集合A ，B ，进而求并集即可. 【详解】

因为{}1,1A =-，{}0,2B =， 所以{}1,0,1,2A B ?=-. 故选A 【点睛】

本题考查并集的概念及运算，考查一元二次方程的解法，属于基础题. 2．若45角的终边上有一点(4,1)a a -+，则a =（ ） A ．3 B ．32

-

C ．1

D ．

32

【答案】D

【解析】利用三角函数定义可得a 的方程，解之即可. 【详解】 因为0

1tan4514a a +==-，所以3

2

a =. 故选D 【点睛】

本题考查任意角的三角函数的定义，属于基础题. 3．已知sin tan 0αα<，tan 0cos α

α

<，则角α的终边在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

【答案】C

【解析】利用三角函数式的符号推断角α的终边所在象限. 【详解】

因为sin tan 0αα<，所以角α在第二或第三象限，

又tan 0cos α

α

<，所以角α在第三或第四象限， 故角α在第三象限.

故选C 【点睛】

本题主要考查三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．

4．已知幂函数()y f x =的图像经过点(2,2

，则2(log f =（ ）

A ．

B

C ．

12

D ．1

【答案】A

【解析】设()a

f x x =，点? ??

在图像上，解得a 值，进而得到结果. 【详解】

设()a

f x x =，则1

222a

-==，

故1

2

a =-，

112

2

11222f -

????=== ? ?????

故选A 【点睛】

本题考查幂函数的表达式，考查计算能力，属于基础题.

5．设向量12,e e 是平面内的一组基底，若向量123a e e =--与12b e e λ=-共线，则λ=（ ） A ．

13

B ．13

-

C ．3-

D ．3

【答案】B

【解析】由题得存在R μ∈，使得a b μ=，得到关于μ，λ的方程组，解之即得解. 【详解】

因为a 与b 共线，所以存在R μ∈，使得a b μ=，

即()12123e e e e μλ--=-，故3μ=-，1λμ-=-，解得13

λ=-. 【点睛】

本题主要考查向量共线的应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.

6．小婷经营一花店，每天的房租、水电等固定成本为100元，每束花的进价为6元，若日均销售量Q （束）与销售单价x （元）的关系为1005Q x =-，则当该店每天获利最大时，每束花应定价为（ ） A ．15元 B ．13元

C ．11元

D ．10元

【答案】B

【解析】设每天获利y 元，可得()()10056100020y x x x =---<≤（），结合二次函

数的图像与性质求最值即可. 【详解】

设每天获利y 元，则()()()2

10056100513145y x x x =---=--+ 由0x >，10050Q x =-≥，得020x <≤， 故当13x =时，每天获利最大. 故选B 【点睛】

解决函数模型应用的解答题，还有以下几点容易造成失分：①读不懂实际背景，不能将实际问题转化为函数模型．②对涉及的相关公式，记忆错误．③在求解的过程中计算错误.另外需要熟练掌握求解方程、不等式、函数最值的方法，才能快速正确地求解．含有绝对值的问题突破口在于分段去绝对值，分段后在各段讨论最值的情况. 7．设函数1,{|21,}

()1,{|2,}

x x x k k Z g x x x x k k Z -∈=-∈?=?

∈=∈?，则下列结论不正确的是（ ）

A ．()g x 的值域为{1,1}-

B ．()g x 不是单调函数

C ．()g x 是奇函数

D ．()g x 是周期函数 【答案】C

【解析】利用分段函数的图像与性质逐一判断即可. 【详解】

,A B 选项显然正确；

因为x 与x -的奇偶性相同，所以()()g x g x -=，故()g x 是偶函数，C 选项不正确；

()g x 是以2为周期的周期函数，D 选项正确.

故选C 【点睛】

本题考查分段函数的图像与性质，涉及到函数的值域，函数的单调性，奇偶性，周期性，考查逻辑推理能力与数形结合能力.

8．已知1(0,5)P ，2(2,1)P -，3(1,4)P -，则向量12PP 在向量13

PP 方向上的投影是（ ） A ．4 B ．210

C ．22

D

．

10

5

【答案】C

【解析】求出1213PP PP ，的坐标，利用1213

1213

·cos PP PP PP PP θ=即可得到结果.

【详解】

因为()122,6PP =-，()131,1PP =--，1213·4

PP PP =，132PP =，

所以1213

1213

·cos 222

PP PP PP PP θ==

=. 故选C 【点睛】

本题考查了平面向量投影的定义，解题时应根据定义代入计算即可，是基础题． 9．函数()sin()f x x ωφ=+(0,)2

π

ωφ><

的部分图像如图所示，以下说法：

①()f x 的单调递减区间是[21,25]k k ++，k Z ∈； ②()f x 的最小正周期是4；

③()f x 的图像关于直线3x =-对称； ④()f x 的图像可由函数sin 4

y x π

=的图像向左平移一个单位长度得到.

正确的个数为（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

【答案】B

【解析】由图像可知()f x 的周期为8，可得ω，进而得到?，结合正弦型函数的图像与性质逐一判断即可. 【详解】

由图像可知()f x 的周期为8，故284ππω=

=，()sin 4f x x π???=+ ???

， 将点()1,1代入解析式，得1sin 4π???

=+

???

，故242k ππ?π+=+，所以24k π?π=+，

k Z ∈

因为2

π

?<，所以4

π

?=

，所以()sin 4

4f x x π

π??=+

???，故①②错，③④正确.

故选B 【点睛】

已知函数sin()(0,0)y A x B A ω?ω=++>>的图象求解析式

(1)max min max

min

,22

y y y y A B -+=

=. (2)由函数的周期T 求2,.T πωω

= (3)利用“五点法”中相对应的特殊点求?.

10．设6log 3a =，lg5b =，14log 7c =，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．a b c >>

C ．b a c >>

D ．c a b >>

【答案】A

【解析】构造函数()log 2

x x

f x =，利用单调性比较大小即可. 【详解】

构造函数()21log 1log 212log x

x x f x x

==-=-，则()f x 在()1,+∞上是增函数， 又()6a f =，()10b f =，()14c f =，故a b c <<. 故选A 【点睛】

本题考查实数大小的比较，考查对数函数的单调性，考查构造函数法，属于中档题. 11．已知奇函数()y f x =的图像关于点(,0)2π

对称，当[0,)2

x π

∈时，()1cos f x x =-，

则当5(

,3]2

x π

π∈时，()f x 的解析式为（ ）

A ．()1sin f x x =--

B ．()1sin f x x =-

C ．()1cos f x x =--

D ．()1cos f x x =-

【答案】C 【解析】当5,32x ππ??

∈ ???

时，30,2x ππ??-∈????,结合奇偶性与对称性即可得到结果.

【详解】

因为奇函数()y f x =的图像关于点,02π??

???

对称，所以()()0f x f x π++-=， 且()()f x f x -=-，所以()()f x f x π+=，故()f x 是以π为周期的函数.

当5,32x ππ??

∈

???

时，30,2x ππ??-∈????，故()()31cos 31cos f x x x ππ-=--=+

因为()f x 是周期为π的奇函数，所以()()()3f x f x f x π-=-=- 故()1cos f x x -=+，即()1cos f x x =--，5,32x ππ??

∈ ???

故选C 【点睛】

本题考查求函数的表达式，考查函数的图象与性质，涉及对称性与周期性，属于中档题. 12．在ABC ?中，2AB =，3AC =，5

cos 6

A =

，若O 为ABC ?的外心（即三角形外接圆的圆心），且AO mAB nAC +=，则2n m -=（ ） A ．

19

9

B ．4122

-

C ．111

-

D ．

1711

【答案】D

【解析】设,D E 分别为,AB AC 的中点，连接,OD OE ，则OD AB ⊥，OE AC ⊥，从而得到·0?0OD AB OE AC ==，，坐标化构建m ，n 的方程组，解之即可. 【详解】

设,D E 分别为,AB AC 的中点，连接,OD OE ，则OD AB ⊥，OE AC ⊥，又

OD AD AO =-，

即11222

m

OD AB mAB nAC AB nAC -=

--=-，

同理122

n

OE AE AO AC mAB -=-=

-， 因为212·

||?02

m

OD AB AB nAB AC -=-=， 所以124502m n -?-=，又212·||?02n

OE AC AC mAB AC -=-=， 所以129502n

m -?-=，联立方程组12450212950

2m

n n m -??-=???-??-=??， 解得922

811m n ?

=-????=??

，所以17211n m -=

. 故选D

【点睛】

本题考查了数量积运算性质、向量垂直与数量积的关系、三角形外心的性质、向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

二、填空题

13．已知半径为2的扇形OAB 的弦长AB =__________． 【答案】π

【解析】利用勾股定理可知圆心角为直角，结合弧长公式得到结果. 【详解】

在OAB ?中，2228AB OA OB =+=， 故2

AOB π

∠=，故弧长22

l π

π=

?=

故答案为π 【点睛】

本题考查弧长公式，考查计算能力，属于基础题. 14．函数1

()1

x f x x +=-，[2,6]x ∈的最大值为__________． 【答案】3

【解析】利用函数的单调性即可得到最大值. 【详解】

因为()12

111

x f x x x +=

=+--在[]2,6上单调递减， 所以()()max 23f x f == 故答案为3 【点睛】

本题考查一次分式函数的图像与性质，考查单调性的应用，考查常数分离法，属于基础题.

15．已知()tan αβ1+=，()tan αβ7-=，则tan2β=______． 【答案】34

-

【解析】利用两角差正切公式即可得到结果. 【详解】

()()()()()()

tan tan 173

tan2tan 1tan tan 1174

αβαββαβαβαβαβ+---??=+--=

=

=-??++-+?,

故答案为3

4

- 【点睛】

本题考查两角和与差的正切公式，考查计算能力，属于基础题.

16．若函数22

2,1

()43,1x a x f x x ax a x ?-<=?-+≥?

恰有2个零点，则a 的取值范围是__________． 【答案】1{|

12}3a a α≤<≥或或写成1

[,1)[2,)3

?+∞ 【解析】对a 分类讨论，结合指数函数与二次函数的图像与性质进行分析即可. 【详解】

①当2a ≥时，因为当1x <时，22x <，故()2x

f x a =-无零点，

所以，当1x ≥时，()()()22

433f x x ax a x a x a =-+=--有2个零点，1x a =，

23x a =，故2a ≥；

②当02a <<时，因为当1x <时，()2x

f x a =-有1个零点2lo

g x a =，

所以当1x ≥时，()()()3f x x a x a =--只能有1个零点，3x a =，

故131

a a

≥?，解得1

13a ≤<；

③当0a ≤时，()f x 无零点

综上，实数a 的取值范围是1

{|12}3

a a a ≤<≥或. 故答案为1

{|12}3

a a α≤<≥或 【点睛】

已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路

(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；

(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．

三、解答题

17．已知集合A 是函数2log (62)y x =-的定义域，集合

{|11}B x x a =-<-≤.

（1）当1a =-时，求A B ；

（2）当A

B B =时，求实数a 的取值范围.

【答案】（1）{|23}A

B x x =-<<（2）{|12}a a ≤<

【解析】(1) 当1a =-时,化简集合A 与B ，进而求并集即可； （2）由A B B ?=可知B A ?，转化为不等式组，即可得到结果. 【详解】 （1）依题意得：620

210

x

x ->??

-≥?， 即03

22x x

，解得03x ≤<，即

{|03}A x x =≤< 当1a =-时，{|111}{|20}B x x x x =-<+≤=-<≤ 所以{|23}A B x x ?=-<< （2）集合{|11}B x a x a =-<≤+ 由A B B ?=，得B A ?， 故10

13

a a -≥??

+

故实数a 的取值范围为{|12}a a ≤<. 【点睛】

本题考查了集合的包含关系，考查集合的运算以及不等式的解法，考查计算能力，是一道基础题．

18．已知α为第二象限角，3sin()cos()tan()

22()tan()sin()

f ππ

αααπααπαπ-+-=

----. （1）化简：()f α； （2）若3

tan 4

α=-

，求()f α的值. 【答案】（1）()cos f αα=-（2）

45

【解析】（1）利用诱导公式化简即可得到结果； （2）利用同角关系即可得到()f α的值.

【详解】

（1）因为()()

()()

3sin cos tan 22tan sin f ππαααπααπαπ????

-+- ? ?????=

---- 所以()()()cos sin tan tan sin f ααα

ααπαπ=??-+-+??

所以()cos sin tan cos tan sin f ααα

αααα=

=--

（2）因为sin 3

tan cos 4ααα=

=-， 所以3

sin cos 4αα=-，

代入得2

16cos 25

α=，

因为α为第二象限角，所以4

cos 5

α=-，

故()4

cos 5

f αα=-=

【点睛】

本题考查三角函数的恒等变形，考查诱导公式与同角基本关系式，考查计算能力. 19．设单位向量1,e 2e 的夹角是3

π

，且()122,a e e =-+1245b e e =-. （1）求||a ； （2）求a 与b 的夹角.

【答案】（1）7a =；（2）

2

π

【解析】1）根据平面向量的数量积求a 的模长a ；

（2）根据向量的数量积的运算律计算0a b =得出a b ⊥，即a 与b 的夹角为2

π． 【详解】

解：（1）单位向量1e ，2e 的夹角是3

π， 则121e e ==，12111cos 3

2

e e π

=??=

； 又()

122a e e =-+，

所以22211221

44414172

a e e e e =++=?+?+=，

所以7a =；

（2）由1245b e e =-，则

()()12

1

2

245a b e e e e =-+-

2

21122865e e e e =-++

1

816512

=-?+?+?

0=，

所以a b ⊥， 所以a 与b 的夹角为2

π

． 【点睛】

本题考查了平面向量的数量积与模长和夹角的计算问题，属于基础题． 20．已知函数的图像经过点

.

（1）求的值以及的单调递减区间；

（2）当

时，求使

成立的的取值集合.

【答案】（1）a=1,

的单调递减区间为

；（2）

【解析】（1）根据函数f （x ）的图象过点求出a 的值，再化f （x ）为正弦型函数，

求出它的单调递减区间； (2) 由，得

,结合正弦函数图像，解三角不等式即可.

【详解】

解：（1）因为函数的图像经过点，

所以，解得

又

,

由，得

故

的单调递减区间为

（2）由，得 当时，

故，解得： 故使成立的的取值集合为

.

【点睛】

本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了三角恒等变换问题，是基础题． 21．设sin ,sin ,4a x x π??

?

?=+

? ??

???cos ,sin ,4b x x π????=- ? ????

?()2f x a b =. （1）当,02x ??

∈-

????

π时，求()f x 的最大值和最小值； （2）已知323

f α??-

= ???，且当22παπ≤≤时，求()f α的值. 【答案】（1）min ()2f x =-max ()1f x =；（2）()25

f α-=

【解析】（1）利用平面向量数量积的运算，三角函数恒等变换的应用可得

()224f x x π?

?=+ ??

?，利用正弦函数的性质可求出函数在给定区间上的最值；

（2）由已知可得3

cos sin αα-=

，从而得到22cos sin 03αα=>，再根据

22

π

απ≤≤，即可得到sin 0α<，cos 0α<，从而求出5

cos sin 3

αα+=-

，即可求出cos2α，再根据两角和的正弦公式计算可得； 【详解】

解：（1）因为sin ,sin ,4a x x π??

?

?=+

? ??

???cos ,sin ,4b x x π????=- ? ????

?()2f x a b =. 所以()22sin cos sin sin 44f x a b x x x x ππ????

??==++

- ? ????

????

?

12sin 2sin sin 2

424x x x πππ??

??????=++-+?? ? ???????????

sin 22sin cos 44x x x ππ?

???=+++ ? ?????

sin 2sin 24x x π?

?=++ ??

?

sin 2sin 22x x π?

?=++ ???

sin 2cos2x x =+

24x π?

?=+ ??

?

()24f x x π?

?∴=+ ??

?

因为,02x ??

∈-

????

π，所以432,44x πππ??+∈-????

所以当38x π=-即242x ππ

+=-时，()f x 取最小值，min ()f x = 当0x =即244

x ππ

+=时，()f x 取最大值，max ()1f x =；

（2）因为2f α??

-

= ?

??

，

243f απα????∴-=-+=

? ????

?

cos sin 3

αα∴-=

，两边平方得，112cos sin 3αα∴-=，22cos sin 3αα∴=，

2

sin 23

α∴=

又

22

π

απ≤≤，cos 0α∴<，sin 0α<，

()2

25cos sin 12cos sin 133

αααα∴+=+=+

=

cos sin 3

αα∴+=-

()(

)cos 2cos sin cos sin ααααα?∴=+-== ??

(

)2sin 2cos cos 2sin sin 2cos 2444f πππαααααα???∴=+=+=+=

????? 【点睛】

本题主要考查了平面向量数量积的运算，三角函数恒等变换的应用以及正弦函数的图象和性质，考查了计算能力和转化思想，属于中档题． 22

．已知函数()log )a f x x =（0a >且1a ≠）. （1）判断函数()f x 的奇偶性；

（2）判断函数()f x 在(0,+)∞上的单调性，并证明你的结论；

（3）当1a >

时，若不等式()0f f mx +-<对于(0,+)x ∈∞恒成立，求m 的最大值.

【答案】（1）奇函数（2）详见解析（3）1 【解析】（1）利用奇偶性的定义判断即可； （2）利用单调性的定义判断即可；

（3

mx >对0x >恒成立，然后变量分离，转求最值即可. 【详解】

（1）因为函数(

))

log a f x x =的定义域为R ，

所以

(

)

))

()log log log a

a a

f x x x f x ??-===-=-

所以函数()f x 为奇函数. （2）(

)

))

log log log a

a a

f x x x ??===-

当1a >时，()f x 在()0,+∞上是减函数，

当01a <<时，()f x 在()0,+∞上是增函数，

证明如下：()))

log log a

a

f x x x ==-

任取120x x <<，则()()))

1221log log a

a

f x f x x x -=-

因为210x x >>，所以2221x x >>21x x >

所以当1a >时，)

)

21log log a

a

x x >，()()120f x f x ->，

所以()()12f x f x >，故函数()f x 在()0,+∞上是减函数.

所以当01a <<时，))

21log log a

a

x x <，所以

()()120f x f x -<，

所以()()12f x f x <，故函数()f x 在()0,+∞上是增函数.

（3）由（1）知，()f x 是奇函数，()0f

f mx +-<，即()f

f mx <.

当1a >时，由（2）知，()f x 在()0,+∞上是减函数，从而在(),-∞+∞上是减函数，

mx >对0x >恒成立，即m <0x >恒成立.

因为y =()0,+∞上是减函数，所以y =()1,+∞. 所以1m ≤，故实数m 的最大值为1. 【点睛】

本题主要考查了对数型函数的奇偶性和单调性的判断，要注意对底数的讨论，总体来说本题很基础、很典型，是不得不练的好题．