河北省邢台市第二中学2021届高三上学期11月月考数学试题

河北省邢台市第二中学2021届高三上学期11月月考数学试

题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．下列命题中错误的是（ ）

A ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题是真命题

B ．命题“()00,x ?∈+∞00ln 1x x =-”的否定是“()0,,ln 1x x x ?∈+∞≠-”

C ．若p q ∨为真命题，则p q ∧为真命题

D ．00x ?>使“00ax bx >”是“0a b >>”的必要不充分条件

2．函数31()ln 13f x x x =-

+的零点个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3

3．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知

sin sin (sin cos )0B A C C +-=

，a =2，c C =

A ．π12

B ．π6

C ．π4

D ．π3

4．已知a ，b 为单位向量，2a b a b +=-，则a 在a b +上的投影为（ ）

A ．13

B ．

C

D 5．ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ，b ，c 成等差数列，且2C A =，

若AC 边上的中线2BD =

，则△ABC 的周长为（ ） A ．15 B ．14

C ．16

D ．12 6．设2{|430}A x x x =-+，{|(32)0}B x ln x =-<，则A

B =（ ） A ．3(1,)2 B ．(1，3]

C ．3

(,)2

-∞ D ．3(2，3] 7．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是棱11A D 的中点，过1C ，B ，M 作正方体的截面，则这个截面的面积为（ ）

A B C ．92 D ．98

8．已知(12)z i i -=，则下列说法正确的是（ ）

A ．复数z 的虚部为5i

B ．复数z 对应的点在复平面的第二象限

C ．复数z 的共轭复数255i z =

- D ．15

z =

二、多选题 9．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA AB =，截面BDE 与直线PC 平行，与PA 交于点E ，则下列判断正确的是（ ）

A ．E 为PA 的中点

B ．BD ⊥平面PAC

C ．PB 与C

D 所成的角为3

π D ．三棱锥C BDE -与四棱锥P ABCD -的体积之比等于1:4.

10．已知函数31()423

f x x x =-+，下列说法中正确的有（ ） A ．函数()f x 的极大值为

223，极小值为103-

B ．当[]3,4x ∈时，函数()f x 的最大值为223，最小值为103

- C ．函数()f x 的单调减区间为[]22-,

D ．曲线()y f x =在点(0,2)处的切线方程为42y x =-+

11．已知(2,4),(4,1),(9,5),(7,8)A B C D ，如下四个结论正确的是（ ）

A ．A

B A

C ⊥；

B ．四边形ABCD 为平行四边形；

C ．AC 与B

D 夹角的余弦值为145； D ．85AB AC +=12．下面命题正确的是（ ）

A ．“1a > ”是“11a

<”的充分不必要条件 B ．命题“任意x ∈R ，则210x x ++<”的否定是“存在x ∈R ，则210x x ++≥”. C ．设,x y R ∈，则“2x ≥且2y ≥ ”是“224x y +≥”的必要而不充分条件

D ．设,a b ∈R ，则“0a ≠”是“0ab ≠”的必要不充分条件

三、填空题

13．已知函数2()ln f x ax x x =-在1

[,)e

+∞上单调递增,则实数a 的取值范围是_____. 14．ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知

)

cos cos ,60a C c A b B -==?，则A 的大小为__________． 15．如图所示，,OA OB 为两个不共线向量，M 、N 分别为OA 、OB 的中点，点C 在直线MN 上，且(,)OC xOA yOB x y R =+∈则22x y +的最小值为________.

四、双空题

16．设cos2(sin cos )=++z i θθθ，若z 为实数，则θ=________；若z 为纯虚数，则θ=________.

五、解答题

17．已知函数()2()log log 2(0,1)a a f x x x a a =-->≠.

（1）当2a =时，求(2)f ；

（2）求解关于x 的不等式()0f x >；

（3）若[2,4],()4x f x ?∈≥恒成立，求实数a 的取值范围.

18．己知向量(),cos 2a m x =，()sin 2,b x n =，设函数()f x a b =?，且()y f x =的

图象过点(12

π和点2(,2)3π-. （1）当63

x ππ-≤≤时，求函数()y f x =的最大值和最小值及相应的x 的值； （2）将函数()y f x =的图象向右平移4

π个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，若()g x m =在[]0,2π有两个不同的解，求实数m 的取值范围.

19．在①1a ，14，2a 成等差数列，②1a ，21a +，3a 成等比数列，③334

S =，三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答.注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.

已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，()

*132,n n S a a n =+∈N ，10a ≠ ，且________. （1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）记22n log n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T .

20．已知函数()2sin cos f x x x x x ??=+ ? ???

，x ∈R . （1）求函数()f x 的单调递增区间；

（2）若α为锐角且7129f πα?

?

+=- ???，β满足()3cos 5αβ-=，求sin β. 21．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PB PD =．

（1）证明:BD ⊥平面PAC ；

（2）若PA 与底面ABCD 所成的角为30°，PA PC ⊥，

求二面角B PC D --的余弦值． 22．已知函数()(2)(2)x f x ax e e a =---.

（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；

（Ⅱ）当1x >时，()0f x >，求a 的取值范围.

参考答案

1．C

【分析】

由原命题与逆否命题真假性相同判断A ，由特称命题的否定形式判断B,由复合命题的真假判断C ，由充分性必要性条件判断D.

【详解】

A.“若x y =，则sin sin x y =”为真命题，则其逆否命题为真命题，A 正确.

B.特称命题的否定需要将存在量词变为全称量词，再否定其结论，故B 正确.

C.p q ∨为真命题，包含,p q 有一个为真一个为假和,p q 均为真，p q ∧为真则需要两者均为真，故若p q ∨为真命题，p q ∧不一定为真.C 错.

D.若0a b ＞＞，00x ?＞，使00ax bx ＞成立，反之不一定成立.故D 正确．

故本题选C.

【点睛】

本题考查命题的真假判断与应用，充分必要条件的判断方法，全称命题与特称命题的否定，以及逆否命题等基础知识，是基础题.

2．C

【解析】

21()01f x x x x =

-=?'= ,所以当(0,1)x ∈ 时2()0,()(,)3

f x f x ∈-∞'> ; 当(1,)x ∈+∞ 时2()0,()(,)3f x f x ∈-∞'< ;因此零点个数为2,选C. 3．B

【详解】

试题分析：根据诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理计算即可

详解：sinB=sin （A+C ）=sinAcosC+cosAsinC ，

∵sinB+sinA （sinC ﹣cosC ）=0，

∴sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC ﹣sinAcosC=0，

∴cosAsinC+sinAsinC=0，

∵sinC≠0，

∴cosA=﹣sinA ，

∴tanA=﹣1，

∵

π2

＜A ＜π， ∴A= 3π4， 由正弦定理可得c sin sin a C A

=， ∵a=2，

，

∴sinC=sin c A a

=12=22

， ∵a ＞c ，

∴C=π6

， 故选B ．

点睛：本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.

4．C

【分析】 由题意结合平面向量数量积的运算可得13a b ?=

，进而可得()b a a +?、a b +，代入投影表达式即可得解. 【详解】 因为a ，b 为单位向量，所以1==a b ， 又2a b a b +=-，所以()()22

2a b a b +=- 所以22222242a a b b a a b b +?+=-?+，即121242a b a b +?+=-?+， 所以13a b ?=，则()2263a b a b +=+=，()

243a a b a a b ?+=+?=，

所以a 在a b +上的投影为

()43

26

a a

b a b ?+==+故选：C.

【点睛】

本题考查了平面向量数量积的应用，考查了一个向量在另一个向量上投影的求解，属于中档题.

5．A

【分析】

由已知结合等差数列的性质及二倍角公式，正弦定理及余弦定理进行化简，即可求得结果.

【详解】

由a ，b ，c 成等差数列可知，2b a c =+，

因为2C A =，

所以sin sin 22sin cos C A A A ==，

由正弦定理及余弦定理可得，222

22b c a c a bc

+

-=?， 所以2223bc ab ac a =+-，

所以32c a =，54

b a =， 若AC 边上的中线2BD =

， 所以2225379242a a a ??????+=+?? ? ?????????

， 解可得4a =，5b =，6c =，

故△ABC 的周长为15.

故选：A.

【点睛】

该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有余弦定理，正弦定理，等差数列的条件，以及边角关系，属于简单题目.

6．A

【分析】

求出集合,A B 后可得A B .

【详解】 13{|}A x x =≤≤，3{|0321}{|1}2

B x x x x =<-<=<<； ∴3(1,)2

A B ?=， 故选：A .

【点睛】

本题考查一元二次不等式的解、对数不等式的解及集合的交，解对数不等式时注意真数恒为正，本题属于中档题.

7．C

【分析】

设1AA 的中点为N ，则1MN BC ，连接11,,MN NB BC MC ， ，则梯形1MNBC 就是

过1C ，B ，M 正方体的截面，其面积为()13292+22=22

?? ，故选C.

8．B

【分析】

由复数除法求出复数z ，然后可判断各选项．

【详解】

由已知得1(121)212(12)(12)55i i z i i i +=

==-+--+，所以复数z 的虚部为15，而不是5

i ，A 错误；

在复平面内，复数z 对应的点为21,55??- ???

，在第二象限，B 正确. 255

i z =--，C 错误；

||5z ==，D 错误； 故选：B ．

【点睛】

本题考查复数的除法，考查复数的几何意义，共轭复数的概念及模的定义，属于基础题． 9．ABD

【分析】

采用排除法，根据线面平行的性质定理以及线面垂直的判定定理，结合线线角的求法，锥体体积公式的计算，可得结果.

【详解】

对于A ，连接AC 交BD 于点M ，连接EM ，如图所示，

PC //面BDE ，PC ?面APC ，且面APC 面=BDE EM ，PC ∴//EM ， 又四边形ABCD 是正方形，∴M 为AC 的中点，

∴E 为PA 的中点，故A 正确.

对于B ，PA ⊥面ABCD ，BD ?面ABCD ，∴PA BD ⊥，

又AC BD ⊥，AC PA A ?=，,AC PA ?面PAC

∴BD ⊥面PAC ，故B 正确.

对于C ，//AB CD ，∴PBA ∠为PB 与CD 所成的角，

PA ⊥面ABCD ，AB 面ABCD ，∴PA AB ⊥，

在Rt PAB 中，PA AB =，4

PBA=π∴∠，故C 错误.

对于D ，由等体积法可得1.3C BDE E BCD BCD V V S EA --==

?，13-=??P ABCD ABCD V S PA 又1,2

2BCD ABCD S S PA EA ==，∴14--=P ABC C BD D

E V V ，故D 正确. 故选：ABD .

【点睛】

本题考查立体几何的综合应用，熟练线线、线面、面面之间的位置关系，审清题意，考验分析能力，属中档题.

10．ACD

【分析】

利用导数研究函数()f x 的极值、最值、单调性，利用导数的几何意义可求得曲线()y f x =在点(0,2)处的切线方程，根据计算结果可得答案.

【详解】 因为31()423

f x x x =-+ 所以2()4f x x =-'，

由()0f x '>，得2x <-或2x >，由()0f x '<，得22x -<<，

所以函数()f x 在(,2)-∞-上递增，在[]22-,

上递减，在(2,)+∞上递增，故选项C 正确， 所以当2x =-时，()f x 取得极大值3122(2)(2)4(2)233

f -=

?--?-+=， 在2x =时，()f x 取得极小值3110(2)242233f =?-?+=-，故选项A 正确， 当[]3,4x ∈时，()f x 为单调递增函数，所以当3x =时，()f x 取得最小值

31(3)343213f =?-?+=-，当4x =时，()f x 取得最大值3122(4)444233f =?-?+=，故选项B 不正确，

因为(0)4f '=-，所以曲线()y f x =在点(0,2)处的切线方程为24(0)y x -=--，即42y x =-+，故选项D 正确.

故选：ACD.

【点睛】

本题考查了利用导数求函数的极值、最值、单调区间，考查了导数的几何意义，属于基础题. 11．BD

【分析】

求出向量,,,AB AC DC BD 坐标，再利用向量的数量积、向量共线以及向量模的坐标表示即可一一判断.

【详解】

由(2,4),(4,1),(9,5),(7,8)A B C D ，

所以()2,3AB =-，()7,1AC =，()2,3DC =-， ()3,7BD =,

对于A ，143110AB AC ?=-=≠，故A 错误；

对于B ，由()2,3AB =-，()2,3DC =-，则AB DC =，

即AB 与DC 平行且相等，故B 正确；

对于C ，cos ,50AC BD

AC BD AC BD ?===C 错误；

对于D ，()||9,2AB AC +=-=D 正确；

故选：BD

【点睛】 本题考查了向量的坐标运算、向量的数量积、向量模的坐标表示，属于基础题.

12．ABD

【分析】

分别判断充分性与必要性，即可得出选项ACD 的正误；根据全称命题的否定是特称命题，判断选项B 的正误．

【详解】

对于A ，()1

110100a a a a a a -?->?<或1a >，则“1a >”是“11a

<”的充分不必要条件，故A 对；

对于B ，全称命题的否定是特称命题，“任意x ∈R ，则210x x ++<”的否定是“存在x ∈R ，

则210x x ++≥”，故B 对；

对于C ，“2x ≥且2y ≥” ? “224x y +≥”， “2x ≥且2y ≥” 是 “224x y +≥”的充分条件，故C 错；

对于D ，00ab a ≠?≠且0b ≠，则“0a ≠”是“0ab ≠”的必要不充分条件，故D 对； 故选：ABD ．

【点睛】

本题主要考查命题真假的判断，考查充分条件与必要条件的判断，考查不等式的性质与分式不等式的解法，属于易错的基础题．

13．12

a ≥ 【解析】

()2ln 10f x ax x =--≥',解得ln 12a x x +≥在1,e ??+∞????

上恒成立,构造函数()()()22

1·ln 1ln 1ln ,0x x x x x g x g x x x x -++-='===,解得x=1, ()g x ∴在1,1e ?? ???上单调递增,在()1,+∞上单调递减,g(x)的最大值为g(1)=1, 21a ∴≥,1 2a ≥,故填12

a ≥. 点睛:本题考查函数导数与单调性.方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理. 恒成立问题以及可转化为恒成立问题的问题，往往可利用参变分离的方法，转化为求函数最值处理．也可构造新函数然后利用导数来求解.注意利用数形结合的数学思想方法.

14．75?

【解析】

)acosC ccosA b -=

)sinAcosC sinCcosA sinB -=

，即(

)A C -=， ()1sin ,?3026

A C A C π-=-==?， 又因为180

B 120A

C +=?-=?，

所以2150,A 75A =?=?，

故答案为75?．

15．18

【分析】 首先根据平面向量的基本定理得到12x y +=，利用基本不等式得到()21416

+≤=x y xy ，再根据()2

222x y x y xy +=+-求最小值即可.

【详解】

因为M 、N 分别为OA 、OB 的中点，

所以22=+=+OC xOA yOB xON yOM . 又因为M 、N 、C 三点共线，所以221x y +=，即12

x y +=. 因为0x >，0y >，所以()214

16+≤=x y xy ，当且仅当14x y ==时取等号. 所以()2221111224488

+=+-=-≥-=x y x y xy xy . 故答案为：

18

【点睛】 本题主要考查基本不等式求最值，同时考查了平面向量的基本定理，属于中档题. 16．4-

k ππ，k Z ∈ 4k ππ+，k Z ∈ 【分析】

根据复数分类的定义结合三角函数的性质，即可得出答案.

【详解】

若z 为实数，则sin cos 0θθ+=，即tan 1θ=-，解得,4k k Z πθπ=-

+∈ 若z 为纯虚数，则cos 20sin cos 0θθθ=??+≠?，即(cos sin )(cos sin )0sin cos 0θθθθθθ-+=??+≠?

即cos sin 0θθ-=，tan 1θ=，解得,4k k Z πθπ=

+∈ 故答案为：4-

k ππ，k Z ∈；4k ππ+，k Z ∈

【点睛】 本题主要考查了由复数的类型求参数的范围，涉及了三角函数的化简求值，属于中档题.

17．（1）2-；（2）当1a >时，()0f x >的解集为()2

10,,a a ?

?+∞ ???，当01a <<时；

()210,,a a ??+∞ ???（3）(31,22???????.

【分析】

（1）将2a =直接代入解析式计算即可.

（2）将()2

()log log 20a a f x x x =-->整理为()()log 2log 10a a x x -+>，解得log 1<-a x 或log 2a x >，再对a 讨论即可解不等式.

（3）将问题转化为min ()4f x ≥，分别分1a >和01a <<讨论，求()f x 最小值，令其大于4，即可求解.

【详解】

（1）当2a =时，()()2

22log log 2f x x x =--()21122f ∴=--=- （2）由()0f x >得：()()()2

log log 2log 2log 10a a a a x x x x --=-+> log 1a x ∴<-或log 2a x >

当1a >时，解不等式可得：10x a <<或2x a > 当01a <<时，解不等式可得：1x a

>或20x a << 综上所述：当1a >时，()0f x >的解集为()2

10,,a a ?

?+∞ ???；当01a <<时，()0f x >的解集为()210,,a a ??+∞ ???

（3）由()4f x ≥得：()()()2log log 6log 3log 20a a a a x x x x --=-+≥

log 2a x ∴≤-或log 3a x ≥

①当1a >时，()max log log 4a a x =，()min log log 2a a x =

2log 42log

a a a -∴≤-=或3log 23log a a a ≥=，解得：1a <≤

②当01a <<时，()max log log 2a a x =，()min log log 4a a x =

2log 22log a a a -∴≤-=或3log 43log a a a ≥=

，解得：12

a ≤< 综上所述：a

的取值范围为(3,11,22???????

【点睛】 本题主要考查了复合函数的单调性、考查函数的最值和恒成立问题、考查分类讨论的思想，属于中档题. 18．（1）最大值为2，此时6x π=

；最小值为－1

，此时6x π=-. （22m ≤< 【分析】

（1）根据向量数量积坐标公式，列出函数()sin 2cos 2f x a b m x n x =?=+，再根据函数图像过定点，求解函数解析式，当63x ππ-

≤≤时，解出26

x π+的范围，根据三角函数性质，可求最值；

（2）根据三角函数平移伸缩变换，写出()y g x =解析式，画出()y g x =在[]0,2π上的图象，根据图像即可求解参数取值范围.

【详解】

解：（1）由题意知()sin 2cos 2f x a b m x n x =?=

+. 根据()y f x =的图象过点12π? ?和2

,23π??- ???，得到sin cos 66442sin cos 33m n m n ππππ=+

??-=+??

， 解得m ，1n =.

()3sin 2cos 22sin 26f x a b x x x π??=?=+=+ ??

? 当63x ππ-≤≤时，52666x πππ-≤+≤，12sin 226x π??-≤+≤ ??

?， ()f x 最大值为2，此时6x π

=，

()f x 最小值为－1，此时6x π

=-.

（2）将函数()y f x =的图象向右平移一个单位 得2sin 22sin 2463y x x πππ???

???=-+=- ? ? ???????

， 再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得()2sin 23x g x π??=- ???

令23x t π=-，2,33t ππ??∈-????

sin 1t ≤<时， ()g x m =在[]0,2π有两个不同的解

2sin 223x π??≤-< ???

2m ≤<.

【点睛】

本题考查（1）三角函数最值问题（2）三角函数的平移伸缩变换，考查计算能力，考查转化与化归思想，考查数形结合思想，属于中等题型.

19．（1）112n n a -??=- ???

；（2）n (1)T n n =-.

【分析】 （1）由132n n S a a =+可得出数列{}n a 是等比数列，且得出公比，由选择的条件可求出首项为1，即可写出通项公式；

（2）求出n b ，再由等差数列的前n 项和求出n T .

【详解】

（1）由已知132n n S a a =+，2n ≥时，11132n n S a a --=+.两式相减得到13-=-n n n a a a ， 即112n n a a -=-，因为10a ≠，所以数列{}n a 是公比为12-的等比数列，从而1112n n a a -??=- ???

.

选①1a ，

14，2a 成等差数列， 由1a ，14，2a 成等差数列，可得12124a a +=?，即111122

a a -=，解得11a =，所以112n n a -??=- ???.

选②1a ，21a +，3a 成等比数列，

1a ，21a +，3a 成等比数列，即1a ，1112a -+，114a 成等比数列，2

21111124a a ??-+= ???，解得11a =，所以112n n a -??=- ???

. 选③334

S =， 334S =，即111113244a a a ??+-+= ???，解得11a =，所以112n n a -??=- ???

. （2）2222222222211log log log log 22222n n n n n b a n ---????=-=--=-==- ? ???

??. 则()n 123022(1)2

n n n T b b b b n n +-=+++???+=

=-. 【点睛】 本题考查等比数列的判断和通项公式的求法，考查等差数列的前n 项和的求法，属于基础题.

20．（1）5,1212k k ππππ??-

+????，k Z ∈；（2）415

. 【分析】

（1）利用正弦型函数的单调增区间求()f x 的单调递增区间即可；（2）由已知条件可知

1cos 3α=，sin 3

α=，结合()3cos 5αβ-=即可求sin β； 【详解】

（Ⅰ）()22sin cos f x x x x x =1sin 222x x =+sin 23x π??=+ ???，

可知222232k x k πππππ-

≤+≤+，k Z ∈为单调增区间， 解得51212

x k k ππππ-+≤≤，k Z ∈， ∴函数()f x 的单调递增区间为5,1212k k ππππ?

?-

+????，k Z ∈． （Ⅱ）由（Ⅰ）得7sin 2cos 21229f ππααα?

?

??+=+==- ? ?????，227cos 22cos 112sin 9

ααα=-=-=-

因为α为锐角，所以1cos 3α=，sin 3

α=， 又因为()3cos 5

αβ-=，所以()4sin 5αβ-=±，

由()()()4sin sin sin cos cos sin 15βααβααβααβ=--=?--?-=

????. 【点睛】

本题考查了三角函数的性质，结合三角恒等变换、同角三角函数关系求正弦值；注意应用了复合函数的单调性求单调区间；

21．（1）见解析，（2）17

-

【分析】

（1）连接BD 交AC 于O ，连接PO ，则有AC BD ⊥，O 为BD 的中点，再由PB PD =可得BD PO ⊥，由线面垂直的判定定理可证得结论；

（2）由（1）可知，平面PAC ⊥平面ABCD ，两平面的交线为AC ，所以过P 作PE 垂直AC 于E ，则PE ⊥平面ABCD ，从而可知平面30PAC ∠=?，若设PC =2，由可把其它边求出来，然后以A 为坐标原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，过A 作平面ABCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解二面角B PC D --的余弦值.

【详解】

（1）证明：连接BD 交AC 于O ，连接PO ，

因为四边形ABCD 为正方形，

所以AC BD ⊥，O 为BD 的中点，