解析几何课程教案
第一章矢量与坐标
教学目的1、理解矢量的有关概念，掌握矢量线性运算的法则及其运算性质;
2、理解矢量的乘法运算的意义，熟悉它们的几何性质，并掌握它们的运算规律;
3、利用矢量建立坐标系概念，并给出矢量线性运算和乘法运算的坐标表示;
4、能熟练地进行矢量的各种运算，并能利用矢量来解决一些几何问题。
教学重点矢量的概念和矢量的数性积，矢性积，混合积。
教学难点矢量数性积，矢性积与混合积的几何意义。
参考文献(1)解析几何（第三版），吕林根许子道等编，高等教育出版社，
(2)解析几何思考与训练，梁延堂马世祥主编，兰州大学出版社，
授课课时8
§矢量的概念
教学目的1、理解矢量的有关概念; 2、掌握矢量间的关系。
教学重点矢量的两个要素：摸与方向。
教学难点矢量的相等
参考文献(1)解析几何（第三版），吕林根许子道等编，高等教育出版社，
(2)解析几何思考与训练，梁延堂马世祥主编，兰州大学出版社，
授课课时1
一、有关概念
1. 矢量
2. 矢量的表示
3. 矢量的模
二、特殊矢量
1. 零矢
2. 单位矢
三、矢量间的关系
1. 平行矢
2. 相等矢
3. 自由矢
4. 相反矢
5. 共线矢
6. 共面矢
7. 固定矢量
例1. 设在平面上给了一个四边形ABCD，点K、L、M、N分别是边ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、ＤＡ的中点，求证：＝. 当ABCD是空间四边形时，这等式是否也成立
例2. 回答下列问题：
(1) 若矢量设点O是正六边形ABCDEF的中心，在矢量、、、、、、、、、、和中，哪些矢量是相等的
2. 如图1-3，设ABCD-EFGH是一个平行六面体，在下列各对矢量中，找出相等的矢量和互为相反矢量的矢量：
(1) 、; (2) 、; (3) 、; (4) 、; (5) 、.
矢量的线性运算(§矢量的加法、§矢量的数乘)
教学目的1、掌握矢量加法的两个法则、数量与矢量的乘法概念及运算律;
2、能用矢量法证明有关几何命题。
教学重点矢量加法的平行四边形法则、数量与矢量的乘法概念
教学难点运算律的证明、几何命题转化为矢量间的关系
参考文献(1)解析几何（第三版），吕林根许子道等编，高等教育出版社，(2)解析几何思考与训练，梁延堂马世祥主编，兰州大学出版社，
授课课时1
一、概念
1. 两个例子
2. 矢量的加法法则
(1) 三角形法则
(2) 平行四边形法则
二、性质
1. 运算规律
(1) 交换律+＝+;
(2) 结合律(+)+＝+(+);
(3) +＝;
(4) +(－)＝.
2. 矢量加法的多边形法则
3. 矢量减法
4. 三角不等式
(1)|+|≤||+||, |-|≥||-||;
(2)|++…+|≤||+||+…+||.
例1. 从矢量方程组中解出矢量.
例2. 用矢量法证明平行四边形对角线互相平分.
作业题：
1. 设两矢量与共线，试证+＝+.
2. 证明：四边形ABCD为平行四边形的充要条件是对任一点O有+＝＋.
§数量乘矢量
一、概念
1. 数乘的例子
2. 数乘的定义
二、性质
1. 运算规律
(1)1＝.
(2) 结合律()＝().
(3) 第一分配律(+)＝+.
(4) 第二分配律(+)＝+.
例1. 如图1-7，设M是平行四边形ABCD的中心，O是任意一点，证明
例2. 设点O是平面上正多边形A1A2…A n的中心，证明:
作业题：
1. 设L、M、N分别是ΔABC的三边BC、CA、AB的中点，证明：三中线矢量, , 可以构成一个三角形.
2. 设L、M、N是△ABC的三边的中点，O是任意一点，证明
+=++.
3. 用矢量法证明，四面体对棱中点的连线相交于一点且互相平分.
§矢量的线性关系与矢量的分解
教学目的1、理解矢量在直线和平面及空间的分解定理；2、掌握矢量间的线性相关性及判断方法。教学重点矢量的三个分解定理及线性相关的判断。
教学难点分解定理的证明
参考文献(1)解析几何（第三版），吕林根许子道等编，高等教育出版社，
(2)解析几何思考与训练，梁延堂马世祥主编，兰州大学出版社，
授课课时1
一、矢量的分解
1. 线性运算
2. 线性组合
3. 矢量在直线上的分解：
定理1 如果矢量，那么矢量与矢量共线的充要条件是可以用矢量线性表示，或者说是的线性组合，即＝x，且系数x被，唯一确定. 称为用线性组合来表示共线矢量的基底.
4. 矢量在平面上的分解：
定理2 如果矢量, 不共线，那么矢量与, 共面的充要条件是可以用矢量, 线性表示，或者说矢量可以分解成矢量, 的线性组合，即＝x+y，且系数x, y被, , 唯一确定. , 称为平面上矢量的基底.
5. 矢量在空间的分解：
定理3 如果矢量, , 不共面，那么空间任意矢量可以由矢量, , 线性表示，或者说矢量可以分解成矢量, , 的线性组合，即＝x+y+z，且系数x, y, z被, , , 唯一确定. , , 称为空间矢量的基底.
二、矢量的线性关系
1.定义
对于n (n≥1)个矢量, , …, ，如果存在不全为零的n个数1, 2，…, n, 使得
+2+…+n=,
1
那么n个矢量, , …, 叫做线性相关. 矢量, , …, 线性无关是指，只有当1＝2＝…＝n＝0时，上式才成立. 2.判断方法
推论1 一个矢量线性相关的充要条件是=.
定理4 矢量, , …, (n≥2)线性相关的充要条件是其中有一个矢量是其余矢量的线性组合.
定理5 如果一组矢量中的一部分矢量线性相关，那么这一组矢量就线性相关.
推论2 一组矢量中如果含有零矢量，那么这组矢量必线性相关.
定理6 两矢量共线的充要条件是它们线性相关.
定理7 三矢量共面的充要条件是它们线性相关.
定理8 空间任何四个矢量总是线性相关.
推论3 空间四个以上矢量总是线性相关.
例1. 设一直线上三点A, B, P满足＝(－1),O是空间任意一点，求证：
＝
例2. 在△ABC中，设＝，＝，AT是角A的平分线（它与BC交于T点），试将分解为,的线性组合.
作业题：
1. 在平行四边形ABCD中，
(1) 设对角线＝,＝，求, , , ;
(2) 设边BC和CD的中点为M和N，且＝, ＝,求, .
2. 在△ABC中，设＝, ＝, D、E是边BC的三等分点，将矢量, 分解为, 的线性组合.
3. 用矢量法证明: 三角形三中线共点.
4. 设G是△ABC的重心，O是空间任意一点，试证
＝(+).
5．设＝(i＝1, 2, 3, 4)，试证P1, P2, P3, P4四点共面的充要条件是存在不全为零的实数i (i＝1, 2, 3, 4)使
+2+3+4=, 且.
1
§标架与坐标
教学目的1、能利用矢量建立坐标系概念；
2、理解点的坐标及矢量分量的表示方法；
3、掌握矢量线性运算及线段定比分点的坐标表示方法。
教学重点标架概念及点和矢量的坐标表示方法
教学难点矢量的分量
参考文献(1)解析几何（第三版），吕林根许子道等编，高等教育出版社，
(2)解析几何思考与训练，梁延堂马世祥主编，兰州大学出版社，
授课课时1
一、空间坐标系
1. 空间中的一个定点O，连同三个不共面的有序矢量, , 的全体，叫做空间中的一个标架，记做{O;,}.
2. 对于标架{O;,,}，如果, , 间的相互关系和右手拇指、食指、中指相同，那么这个标架叫做右旋标架或称右手标架；如果, , 间的相互关系和左手的拇指、食指、中指相同，那么这个标架叫做左旋标架或称左手标架.
3. 表达式＝x+y+z中的x, y, z叫做矢量关于标架{O;,,}的分量或称为坐标，记做{x, y, z}或{x, y, z}.
4. 对于取定了标架{O;,,}的空间中任意点P，矢量叫做点P的径矢，径矢关于标架{O;,,}的分量x, y, z叫做点P关于标架{O;,,}的坐标，记做P (x, y, z)或(x, y, z).
5. 当空间取定标架{ O; ,, }之后，空间全体矢量的集合或者全体点的集合与全体有序三数组x, y, z的集合具有一一对应的关系，这种一一对应的关系叫做空间矢量或点的一个坐标系. 空间坐标系也常用{O;,,}来表示，此时点O叫做坐标原点，, , 都叫做坐标矢量.
6. 由右(左)旋标架决定的坐标系叫做右(左)旋坐标系或右(左)手坐标系；仿射标架、笛卡尔标架与直角标架所确定的坐标系分别叫做仿射坐标系、笛卡尔坐标系与直角坐标系.
二、平面坐标系
1. 约定用{O;}表示直角坐标系，以后在讨论空间问题时所采用的坐标系，一般都是空间右手直角坐标系.
2. 过点O沿着三坐标矢量, , 的方向引三轴Ox, Oy, Oz,可以用这三条具有公共点O的不共面的轴Ox, Oy, Oz来表示空间坐标系，记做O—x y z，此时点O叫做空间坐标系的原点，三条轴Ox, Oy, Oz都叫做坐标轴，且依次叫做x轴，y轴和z轴，每两条坐标
轴所决定的平面叫做坐标面，分别叫做xOy平面，yOz平面与
xOz平面. 三坐标平面把空间划分为八个区域，每一个区域都叫做卦限.
3. 平面上一个定点O, 连同两个不共线的有序矢量, 的全体，叫做平面上的一个标架，记做{O;,}，如果, 都是单位矢量，那么{O;,}叫做笛卡尔标架；与相互垂直的笛卡尔标架叫做笛卡尔直角标架，简称直角标架；在一般情况下，{O;,
}叫做仿射标架.
4. 对于标架{O;,}，将绕O旋转，使的方向以最近的路径旋转到与的方向相合时，如果旋转方向是逆时针的，则这种标架叫做右旋标架或称右手标架；
5. 表达式＝x＋y中的x, y叫做矢量关于标架{O;,}的分量或称为坐标，记做{x, y}或{x, y}.
6. 对于取定了标架{O;,}的平面上的任意点P，矢量叫做点P的径矢，径矢关于标架{O;,}的分量x, y叫做点P关于标架{O;,}的坐标，记做P(x, y)或(x, y).
7. 当平面上取定标架{O;,}之后，平面上全体矢量的集合或者全体点的集合与全体有序数对x, y的集合具有一一对应的关系，这种一一对应的关系叫做平面上矢量或点的一个坐标系. 平面坐标系也常用{O;,}来表示，此时点O叫做坐标原点，, 都叫做坐标矢量.
8. 由右(左)旋标架决定的坐标系叫做右(左)旋坐标系或右(左)手坐标系；仿射标架、笛卡尔标架与直角标架所确定的坐标系分别叫做仿射坐标系、笛卡尔坐标系与直角坐标系.
15. 约定用{O;,}表示直角坐标系, 在讨论平面问题时所采用的坐标系，一般都是平面右手直角坐标系.
9. 过点O沿着坐标矢量, 的方向引二轴Ox, Oy,可以用这二条具有公共点O的不共线的轴Ox，Oy来表示平面坐标系，记做O－x y，此时点O叫做平面坐标系的原点，Ox叫做x轴，Oy叫做y轴. 两坐标轴把平面分成四个区域，每一个区域都叫做象限.
三、直线坐标系
1. 直线上一个定点O，连同直线上一个非零矢量的全体，叫做直线上的一个标架，记做{O;}，如果为单位矢量，那么{O;}叫做笛卡尔标架，在一般情况下，{O;}叫做仿射标架.
2. 表达式＝x中的x叫做矢量关于标架{O;}的分量或称为坐标，记做{x}或{x}.
3. 对于取定了标架{O;}的直线上任意点P，矢量叫做点P的径矢，径矢关于标架的分量x叫做点P关于标架{O;}的坐标，记做P(x)或(x).
4. 当直线上取定标架{O;}之后，直线上全体矢量的集合或全体点的集合与全体实数x的集合具有一一对应的关系，这种一一对应的关系叫做直线上矢量或点的一个坐标系. 直线上的坐标系也常用{O;}来表示，此时点O叫做坐标原点，叫做坐标矢量.
5. 由仿射标架与笛卡尔标架所确定的坐标系分别叫做仿射坐标系与笛卡尔坐标系.
6. 取定标架{O; }的直线，叫做坐标轴或简称为轴，原点为O，坐标写成x的轴记做Ox.
例1. 在空间直角坐标系{O;}下，求P(2,－3,－1)，M(a, b, c)关于(1) 坐标平面；(2) 坐标轴；(3) 坐标原点的各个对称点的坐标.
例2. 已知矢量, , 的分量如下：
(1) ＝{0, －1, 2}，＝{0, 2, －4}，＝{1, 2, －1}；
(2) ＝{1, 2, 3}，＝{2, －1, 0}，＝{0, 5, 6}.
试判别它们是否共面能否将表成，的线性组合若能表示，写出表示式.
作业题：
1. 指出坐标满足下列条件的点(x, y, z)在空间的位置.
(1)x＝y；(2)y z<0; (3)x y z<0.
2. 平行于z轴的矢量有什么特点平行于x轴和y轴的矢量又分别有什么特点
3. 已知线段AB被点C(2, 0, 2)和D(5,－2, 0)三等分，试求这个线段两端点A与B的坐标.
§矢量在轴上的射影
教学目的1、掌握射影与射影矢量的概念及矢量线性运算的射影表示；
2、理解矢量在轴上的的射影与坐标的关系。
教学重点矢量在轴上的射影与射影矢量的概念
教学难点射影与射影矢量的关系
参考文献(1)解析几何（第三版），吕林根许子道等编，高等教育出版社，
(2)解析几何思考与训练，梁延堂马世祥主编，兰州大学出版社，
授课课时 1
一、概念
1.射影
2.射影矢量
3.如果在轴上取与轴方向相同的单位矢量，则有射影矢量l＝＝x，其中x叫做矢量在轴l上的射影，记作：射影l，即射影l＝x.
4. 可以把射影矢量l与射影l分别写成射影矢量与射影，且分别叫做矢量在矢量上的射影矢量与在上的射影，两者之间的关系是
射影矢量＝(射影).
5. 设是两个非零矢量，自空间任意点O作＝,＝, 把射线OA和OB构成的在0与之间的角，叫做矢量与的夹角，记做(,). 按规定，若,同向，则(,)＝0；若,反向，则(,)＝；若，则0＜(,)＜.
6．在平面上，可以引进从矢量到矢量的有向角的概念，并记作(,)，当时，以矢量扫过矢量,之间的夹角(,)旋转到与矢量同方向的位置时，如果旋转方向是逆时针的，则(,)＝(,)；如果旋转方向是顺时针的，则(,)＝－(,). 当有向角的值，常可推广到≤－π或>π，这时我们认为相差2π整数倍的值代表同一角，对于有向角还有下面的等式
二、性质
1．矢量在轴l上的射影等于矢量的模乘以轴与该矢量的夹角的余弦：
射影i＝||cos, ＝(l,).
2．相等矢量在同一轴上的射影相等.
3．对于任何矢量有
射影l(+)＝射影l+射影l.
4．对于任何矢量与任意实数有
射影l()＝射影l.
作业题：
1. 两非零矢量的夹角在空间和平面上分别是怎样定义的取值范围如何
2. 在射影，射影矢量与射影, 射影矢量中，若，＝－, 则它们相互间的关系如何
3. 射影相等的两个矢量是否必相等射影为0的矢量，是否必为
§两矢量的数性积
教学目的1、掌握矢量的数性积概念及几何意义；
2、理解矢量的模、方向余弦和交角及数性积的坐标表示；
3、能证明有关的几何命题。
教学重点两矢量的数性积概念及几何意义
教学难点根据数性积理论证明有关的命题
参考文献(1)解析几何（第三版），吕林根许子道等编，高等教育出版社，
(2)解析几何思考与训练，梁延堂马世祥主编，兰州大学出版社，
授课课时1
一、概念
1. 数性积的例子.
2. 两个矢量与的模和它们夹角的余弦的乘积叫做矢量和的数性积(也称数积，内积，点积)，记做或，即＝||||cos(,).
二、性质
1. ＝||射影＝||射影.
2. 当为单位矢量时＝射影.
3. ＝||2＝2.
4. 两矢量和相互垂直的充要条件是＝0.
5. 矢量的数性积满足下面的运算规律
(1) 交换律＝.
(2) 关于数因子的结合律()＝()＝().
(3) 分配律(+)＝+.
三、坐标运算
1. 设＝{}, ＝{}, 则
＝.
2. 设＝{X, Y, Z}，则
||＝.
3. 空间两点P1(x1,y1,z1)，P2(x2,y2,z2)间的距离是
d＝.
4. 矢量与坐标轴(或坐标矢量)所成的角叫做矢量的方向角，方向角的余弦叫做矢量的方向余弦.
5. 非零矢量＝{X, Y, Z}的方向余弦是
cos＝＝,
cos＝＝,
cos＝＝.
6. 设空间中两个非零矢量为{}，＝{},那么它们夹角的余弦是
cos(,)＝＝.
7. 矢量{}和＝{}相互垂直的充要条件是
例1.在实数乘法中消去律成立，即ab＝ac时，则a=0或b＝c. 这对矢量的数性积并不成立，举反例如下：
如图1-20，设有非零矢量及与其共面的两矢量和，使得其终点连线BC与OA垂直且交于M，则
＝||||cos(,)＝||OM,
＝||||cos(,)＝||OM,
于是＝, 但显然.
例2. 在平面上如果，且＝(i=1,2)，则有＝.
作业题：
1. 用矢量法证明对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
2. 证明－||||≤≤||||.
3. 已知等边三角形ABC的边长为1，且＝，=, ＝，求＋＋.
4.(1)求两个共线矢量的数性积；
(2)求两个单位矢量的数性积.
§两矢量的矢性积
教学目的1、掌握矢量的矢性积概念及几何意义；
2、理解矢量矢性积的运算律及坐标表示；
3、会用顶点坐标计算三角形的面积。
教学重点两矢量矢性积概念及几何意义
教学难点矢性积的几何意义
参考文献(1)解析几何（第三版），吕林根许子道等编，高等教育出版社，
(2)解析几何思考与训练，梁延堂马世祥主编，兰州大学出版社，
授课课时1
一、概念
1. 矢性积的例子
物理学中的力矩是一个矢量，它是两个矢量的矢性积，如图1-23，如果力的作用点是A, ，则力矩＝.
2. 两矢量与的矢性积（也称矢积，外积，叉积）是一个矢量，记做或[]，它的模是
||＝||||sin(,),
它的方向与,都垂直，并且按,,这个顺序构成右手标架{O;,,}.
二、性质
定理1. 两不共线矢量与的矢性积的模，在数值上等于以与为邻边所构成的平行四边形的面积.
定理2. 两矢量与共线的充要条件是＝.
定理3. 矢量的矢性积满足下面的运算规律：
(1) 反交换律＝－().
(2) 关于数因子的结合律
()＝()＝().
(3) 分配律(+)＝＋.
推论. 设, 为任意实数，有
()()＝()(),
(+)＝+.
三、坐标运算
1. 如果＝{X1, Y1, Z1}，＝{X2, Y2, Z2}, 那么
＝.
2. 与中学代数里的方程一样，我们将含有未知矢量的等式叫做矢量方程. 例如＝l，其中是已知矢量，是未知矢量，l是常数，这就是一个矢量方程. 解矢量方程常用两种方法：其一是对方程实行各种向量运算来求出未知向量；其二是利用坐标化成代数方程再去求解.
例1.证明()2≤22，并说明在什么情形下等号成立.
例2. 证明如果++＝，那么＝＝，并说明它的几何意义.
例4. 用矢量方法证明：
（1）三角形的正弦定理
＝＝.
（2）三角形面积的海伦(Heron)公式，即三斜求积公式：
2＝p(p－a)(p－b)(p－c).
作业题：
1. 设, , 为三个两两不共线的矢量，且== ，则++=.
2. 设两非零矢量，求k值，使两个向量k和＋k共线.
3. 已知两非零矢量，求与共线的充要条件.
4. 已知, , 其中＝5, , , 求平行四边形ABCD的面积.
§三矢量的混合积
教学目的1、掌握矢量的混合积概念及几何意义；2、理解混合积的运算律及坐标表示；3、会用顶点坐标计算四面体的体积。
教学重点三矢量混合积概念及几何意义
教学难点混合积的几何意义
参考文献(1)解析几何（第三版），吕林根许子道等编，高等教育出版社，
(2)解析几何思考与训练，梁延堂马世祥主编，兰州大学出版社，
授课课时1
第二章轨迹与方程
教学目的1、理解曲面与空间曲线方程的意义；
2、掌握求轨迹方程（矢量式与坐标式参数方程及普通方程）的方法；
3、会判断已知方程所表示的轨迹名称。
教学重点曲面和空间曲线的方程求法
教学难点判断已知的参数方程或普通方程所表示的图形
参考文献(1) 解析几何（第三版），吕林根许子道等编，高等教育出版社，
(2)解析几何思考与训练，梁延堂马世祥主编，兰州大学出版社，
《解析几何》课程教案（第三章）
授课课时8
第三章平面与空间直线
教学目的1、深刻理解在空间直角坐标系下平面方程是一个关于x,y,z的三元一次方程；反过来任何一个关于x,y,z的三元一次方程都表示一个平面。直线可以看成两个平面的交线，它可以用两个相交平面的方程构成的方程组来表示；
2、掌握平面与空间直线的各种形式的方程，明确方程中常数（参数）的几何意义，能根据决定平面或决定直线的各种导出它们的方程，并熟悉平面方程的各种形式的互化与直线各种方程形式的互化；
3、能熟练地根据平面和直线的方程以及点的坐标判别有关点、平面、直线之间的位置关系与计算它们之间的距离和交角。
教学重点平面与空间直线的方程求法及点、平面、直线之间的相关位置
教学难点平面与空间直线各种形式方程的互化
参考文献(1)解析几何（第三版），吕林根许子道等编，高等教育出版社，
(2)解析几何思考与训练，梁延堂马世祥主编，兰州大学出版社，
授课课时8
§平面的方程
教学目的1、理解在空间直角坐标系下平面方程是一个关于x,y,z的三元一次方程，反过来，任何一个关于x,y,z的三元一次方程都表示一个平面；
2、会求平面的各种方程（参数式、点位式、三点式、截距式、一般式、点法式及法式）；
3、掌握平面的一般式与法式方程的互化。
教学重点平面的点位式、一般式和法式方程及其转化方法
教学难点平面各种方程之间的互化
参考文献(1)解析几何（第三版），吕林根许子道等编，高等教育出版社，
(2)解析几何思考与训练，梁延堂马世祥主编，兰州大学出版社，
授课课时1
§平面与点的相关位置§两平面的相关位置
教学目的1、理解点与平面的离差与距离概念及求法；
2、掌握判别点与平面、两平面位置关系的方法；
3、会求两平面的交角与距离。
教学重点点与平面的离差和两平面的位置关系
教学难点点与平面的离差
参考文献(1) 解析几何（第三版），吕林根许子道等编，高等教育出版社，
(2)解析几何思考与训练，梁延堂马世祥主编，兰州大学出版社，
授课课时2
§空间直线的方程
教学目的1、理解直线的方向角、方向余弦、方向数概念及求法；
2、会求直线的点向式方程（参数式、对称式、两点式）和一般方程；
3、掌握直线的标准方程与一般方程转化方法。
教学重点直线的标准方程与一般方程
教学难点标准方程与一般方程的转化方法
参考文献(1) 解析几何（第三版），吕林根许子道等编，高等教育出版社，
(2)解析几何思考与训练，梁延堂马世祥主编，兰州大学出版社，
授课课时 2
§直线与平面的相关位置
教学目的1、理解直线与平面的位置关系及判别方法；2、掌握直线与平面的交角和距离的求法。教学重点直线与平面的位置关系
教学难点直线与平面的交角
参考文献(1) 解析几何（第三版），吕林根许子道等编，高等教育出版社，
(2)解析几何思考与训练，梁延堂马世祥主编，兰州大学出版社，
授课课时1
§空间两直线的相关位置
教学目的1、理解空间两直线的位置关系及判别方法；
2、掌握空间两直线的交角和异面直线间的距离与公垂线方程的求法。
教学重点空间两直线的位置关系及判别方法
教学难点异面直线间的距离与公垂线方程
参考文献(1) 解析几何（第三版），吕林根许子道等编，高等教育出版社，
(2)解析几何思考与训练，梁延堂马世祥主编，兰州大学出版社，
授课课时 2
§空间直线与点的相关位置§平面束
教学目的1、理解两种平面束的概念；2、掌握空间直线与点的距离公式及平面束方程的求法。
教学重点平面束的概念及平面束方程的求法
教学难点空间直线与点的距离公式
参考文献(1) 解析几何（第三版），吕林根许子道等编，高等教育出版社，
(2)解析几何思考与训练，梁延堂马世祥主编，兰州大学出版社，
《解析几何》课程教案（第四章）
授课课时2
第四章柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面
教学目的1、掌握求柱面、锥面、旋转曲面方程的一般方法和步骤；
2、能识别母线平行坐标轴的柱面方程和以坐标轴为旋转轴的旋转面方程，并能从方程认识曲面的大致形状；
3、根据方程讨论图形性质，能画二次曲面、空间曲线及区域简图；
4、了解曲面直纹性。
教学重点1、柱面、锥面、旋转曲面的概念及方程求法；
2、椭球面、双曲面、抛物面方程的讨论，图形性质和形状的画法。
教学难点根据二次曲面的方程和性质画出其图形
参考文献(1)解析几何（第三版），吕林根许子道等编，高等教育出版社，
(2)解析几何思考与训练，梁延堂马世祥主编，兰州大学出版社，
授课课时8
§柱面
教学目的1、理解柱面及其准线和母线的概念；2、掌握求柱面方程的一般方法及步骤。教学重点柱面方程的求法
教学难点圆柱面的方程
参考文献(1)解析几何（第三版），吕林根许子道等编，高等教育出版社，
(2)解析几何思考与训练，梁延堂马世祥主编，兰州大学出版社，
授课课时1
§锥面
教学目的1、理解锥面及其准线和母线的概念；
2、掌握求锥面方程的一般方法及步骤；
3、了解齐次方程概念及其表示的锥面性质。
教学重点锥面方程的求法
教学难点圆锥面的方程
参考文献(1)解析几何（第三版），吕林根许子道等编，高等教育出版社，
(2)解析几何思考与训练，梁延堂马世祥主编，兰州大学出版社，
授课课时1
§旋转曲面
教学目的1、理解旋转曲面及母线和纬圆等概念；
2、掌握求旋转曲面方程的一般方法及步骤；
3、能熟练写出一类特殊旋转曲面的方程。
教学重点旋转曲面方程求法
教学难点一类特殊旋转曲面的方程
参考文献(1)解析几何（第三版），吕林根许子道等编，高等教育出版社，(2)解析几何思考与训练，梁延堂马世祥主编，兰州大学出版社，
授课课时1
§椭球面
教学目的1、会认椭球面的标准方程；
2、掌握讨论椭球面性质的方法及步骤；
3、能熟练画出椭球面图形。
教学重点椭球面的标准方程及性质
教学难点椭球面图形的画法
参考文献(1)解析几何（第三版），吕林根许子道等编，高等教育出版社，(2)解析几何思考与训练，梁延堂马世祥主编，兰州大学出版社，
授课课时1
§双曲面
教学目的1、会认单叶双曲面和双叶双曲面的标准方程；
2、掌握单叶双曲面和双叶双曲面的性质；
3、能熟练画出单叶双曲面和双叶双曲面的图形。
教学重点单叶双曲面和双叶双曲面的标准方程及性质
教学难点单叶双曲面和双叶双曲面图形的画法
参考文献(1)解析几何（第三版），吕林根许子道等编，高等教育出版社，(2)解析几何思考与训练，梁延堂马世祥主编，兰州大学出版社，
授课课时2
§抛物面
教学目的1、会认椭圆抛物面和双曲抛物面的标准方程；
2、掌握椭圆抛物面和双曲抛物面的性质；
3、能画出椭圆抛物面和双曲抛物面的图形。教学重点椭圆抛物面和双曲抛物面的标准方程及性质
教学难点椭圆抛物面和双曲抛物面图形的画法
参考文献(1)解析几何（第三版），吕林根许子道等编，高等教育出版社，(2)解析几何思考与训练，梁延堂马世祥主编，兰州大学出版社，
授课课时 2
§曲面的直纹性
教学目的1、理解直纹曲面的概念；
2、掌握单叶双曲面和双曲抛物面的直母线方程求法；
3、了解单叶双曲面和双曲抛物面的直母线性质。
教学重点直纹曲面的概念
教学难点单叶双曲面和双曲抛物面的直母线方程求法
参考文献(1)解析几何（第三版），吕林根许子道等编，高等教育出版社，(2)解析几何思考与训练，梁延堂马世祥主编，兰州大学出版社，
《解析几何》课程教案（第五章）
授课课时2
空间解析几何(练习题参考答案)
1. 过点M o （1，1-，1）且垂直于平面01201=+++=+--z y x z y x 及的平面方程． 39．02=+-z y 3． 在平面02=--z y x 上找一点p ，使它与点),5,1,2()1,3,4(-)3,1,2(--及之间的距离 相等． 7．)5 1,1,57 (． 5．已知：→ → -AB prj D C B A CD ，则)2,3,3(),1,1,1(),7,1,5(),3,2,1(= （ ） A ．4 B ．1 C ． 2 1 D ．2 7．设平面方程为0=-y x ，则其位置（ ） A ．平行于x 轴 B ．平行于y 轴 C ．平行于z 轴 D ．过z 轴． 8．平面0372=++-z y x 与平面0153=-++z y x 的位置关系（ ） A ．平行 B ．垂直 C ．相交 D ．重合 9．直线 3 7423z y x =-+=-+与平面03224=---z y x 的位置关系（ ） A ．平行 B ．垂直 C ．斜交 D ．直线在平面内 10．设点)0,1,0(-A 到直线?? ?=-+=+-0 720 1z x y 的距离为（ ） A ．5 B ． 6 1 C ． 51 D ．8 1 5．D 7．D 8．B 9．A 10．A ． 3．当m=_____________时，532+-与m 23-+互相垂直． 4 ． 设 ++=2， 22+-=， 243+-=，则 )(b a p r j c += ． 4． 过点），，（382-且垂直平面0232=--+z y x 直线方程为______________． 10．曲面方程为：442 2 2 =++z y x ，它是由曲线________绕_____________旋转而成的． 3．34-=m ； 4．29 19 9．332212--=+=-x y x ； 10．曲线 1422 =+z y 绕z 轴
第八章向量代数与空间解析几何教案(同济大学版高数)
第八章 向量代数与空间解析几何 第一节 向量及其线性运算 教学目的：将学生的思维由平面引导到空间，使学生明确学习空间解析几何的意义和目的。使学生对（自由）向量有初步了解，为后继内容的学习打下基础。 教学重点：1.空间直角坐标系的概念 2.空间两点间的距离公式 3.向量的概念 4.向量的运算 教学难点：1.空间思想的建立 2.向量平行与垂直的关系 教学内容： 一、向量的概念 1．向量：既有大小，又有方向的量。在数学上用有向线段来表示向量，其长度表示向量的大小，其方向表示向量的方向。在数学上只研究与起点无关的自由向量（以后简称向量）。 2． 量的表示方法有: a 、i 、F 、OM 等等。 3． 向量相等b a =：如果两个向量大小相等，方向相同，则说（即经过平移后能完全重合的向量）。 4． 量的模：向量的大小，记为a 。 模为1的向量叫单位向量、模为零的向量叫零向量。零向量的方向是任意的。 5． 量平行b a //：两个非零向量如果它们的方向相同或相反。零向量与如何向量都平行。 6． 负向量：大小相等但方向相反的向量，记为a - 二、向量的线性运算 1．加减法c b a =+： 加法运算规律：平行四边形法则（有时也称三角形法则），其满足的运算规律有交换率和结合率见图7－4
2．c b a =- 即c b a =-+)( 3．向量与数的乘法a λ：设λ是一个数，向量a 与λ的乘积a λ规定为 0)1(>λ时，a λ与a 同向，||||a a λλ= 0)2(=λ时，0a =λ 0)3(<λ时，a λ与a 反向，||||||a a λλ= 其满足的运算规律有：结合率、分配率。设0 a 表示与非零向量a 同方向的单位向量，那么 a a a 0= 定理1：设向量a ≠0，那么，向量b 平行于a 的充分必要条件是：存在唯一的实数λ， 使b ＝a λ 例1：在平行四边形ABCD 中，设a =AB ，b =AD ，试用 a 和 b 表示向量MA 、MB 、MC 和MD ，这里M 是平行 四边形对角线的交点。（见图7－5） 图7－4 解：→→==+AM AC 2b a ，于是)(2 1 b a +- =→ MA 由于→ → -=MA MC ， 于是)(21 b a += → MC 又由于→→==+-MD BD 2b a ，于是)(2 1 a b -=→MD 由于→→-=MD MB ， 于是)(2 1 a b --=→MB 三、空间直角坐标系 1．将数轴（一维）、平面直角坐标系（二维）进一步推广建立空间直角坐标系（三维）如图7－1，其符合右手规则。即以右手握住z 轴，当右手的四个手指从正向x 轴以2 π 角度转向正向y 轴时，大拇指的指向就是z 轴的正向。
《解析几何初步》复习教案
课题：《解析几何初步》章节复习第一课时 —————直线和直线的方程 内容出处：北师大版教材必修2第二章《解析几何初步》章节小结与复习 授课教师：江西省景德镇一中胡闵红 【三维目标】 知识与能力： （1）通过复习使学生加深理解有关概念，掌握有关公式，使学生掌握直线方程的五种形式和它们之间的联系，进一步巩固和深化直线方程，形成较完整知识体系，完成知识学习“由厚到薄”的全过程。 （2）通过对直线方程的梳理，突出知识间的内在联系，进一步提高学生综合运用知识解决问题的能力，培养学生分析、探究和思考问题的能力，激发学生学习数学的兴趣，培养分析讨论的思想和抽象思维能力。 过程与方法： 通过动画、图表多种形式进行系统的小结，直观、简明再现所学知识，化抽象学习为直观学习，易于识记。同时凸现知识之间的联系。 在复习的基础上使学生进一步领悟到数形结合、分类讨论等数学思想方法的作用，努力提高学生的思维能力和解决问题的策略水平。 情感态度与价值观： 学生通过对知识的整合、梳理，掌握直线方程各种形式之间的联系，进一步培养学生分析和解决问题的能力。让学生参与复习活动，使学生体验到学习数学的乐趣，感受到数学的结构美，数形结合的统一美。 【教学重点】帮助学生建立和完善本章的知识结构，综合地应用直线方程的知识解决问题。 【教学难点】使学生学会如何根据题目的已知条件恰当选择直线方程形式求解问题。【教学教具】多媒体辅助教学设备。
【教学方法】师生互动讨论、共同探究的方法 【教学步骤】 （一）创设情境，导入复习课： 说明：如此设计目的是在于激发学生兴趣。 （二）知识梳理： 1、倾斜角的定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，把x 轴（正方向）按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l 重合所成的角。对于与x 轴平行的直线，我们规定倾斜角为00。 所以倾斜角的范围为00[0,180) 2、斜率： 在当倾斜角不等于90°时，斜率等于倾斜角的正切值；如果倾斜角等于90°时，斜率不存在。 斜率也可以由两点坐标表示，21 21 y y k x x -= -12()x x ≠。 设计意图：通过动画直观的复习倾斜角和斜率。 3、直线方程的五种形式： 如下表：
空间解析几何试题
空间解析几何试卷 一、填空题（本大题共计30分，每空3分。请把正确答案填在横线上） 1. 设向量{}{}1,1,2,0,1,1=--=→→b a ，则→→b a 在上的射影是_____________,→ a 是_______________. 2. 设向量{}3,5,4-=→a ,向量225共线，反向且模为与→→a b ,那么向量→ b 的坐标是 ________________. 3. 已知向量{}{}3,2,,1,1,1x b a ==→→, 如果→ →b a ,垂直, 那么x =_________. 4. 已知向量{}{},0,3,2,1,0,1=-=→→b a {}2,1,0=→c ，则由这3个向量张成的平行六面体的体积是_________. 5. 直线z y x -=-+=-3212与直线2 112-+=-=z y x 间的距离是_____________. 6. 若直线1 23z y a x ==- 与平面x-2y+bz=0平行，则a,b 的值分别是______________. 7. 经过直线???=-+-=-+0 201z y x y x 且与直线z y x 2==平行的平面的方程是_________________. 8. 空间曲线? ??+==-+1022x z z y x 在y x 0坐标面上的射影曲线和射影柱面的
方程分别是_____________________________. 9. 顶点在原点、准线为抛物线???==1 22z x y 的锥面方程是 ________________(请用x y x ,,的一个方程表示). 10.曲线?????==-0 19422y z x 绕x 轴旋转后产生的曲面方程是__________________,此曲面表示______________曲面. 二、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 若=?-+=+-=→ →→→→→→→→→b a k j i b k j i a 则,23,532( ) A. 7 B. -7 C. -1 D. 0 2. 已知→→b a ,不共线, 与→→b a ,同时垂直的单位向量是( ) A. →→?b a B. →→?a b C. ||→→→ →??±b a b a D. ||→→→→??b a b a 3. 在空间右手直角坐标系下，点P(-1,2,-3)在第( )卦限. A. II B. III C. V D. VI 4. 若两个非零向量→→b a ,满足|→→+b a |=|→→-b a |，则一定有( ) A. →→⊥b a B. →→b a // C. →→b a 与同向 D. → →b a 与反向 5. 点M(1,-3,-2)关于y 轴的对称点N 的坐标是( )
向量代数与空间解析几何教案.doc
第八章向量代数与空间解析几何 第一节向量及其线性运算 教学目的：将学生的思维由平面引导到空间，使学生明确学习空间解析几何的意义和目的。使学生对（自由）向量有初步了解，为后继内容的学习打下基础。教学重点： 1. 空间直角坐标系的概念 2.空间两点间的距离公式 3.向量的概念 4.向量的运算 教学难点： 1. 空间思想的建立 2.向量平行与垂直的关系 教学内容： 一、向量的概念 1．向量：既有大小，又有方向的量。在数学上用有向线段来表示向量，其长度表示向 量的大小，其方向表示向量的方向。在数学上只研究与起点无关的自由向量（以后简称向量）。 2．量的表示方法有: a 、i、F、 OM 等等。 3．向量相等a b ：如果两个向量大小相等，方向相同，则说（即经过平移后能完全 重合的向量）。 4．量的模：向量的大小，记为 a 、OM。 模为 1 的向量叫单位向量、模为零的向量叫零向量。零向量的方向是任意的。 5．量平行a // b：两个非零向量如果它们的方向相同或相反。零向量与如何向量都平行。 6．负向量：大小相等但方向相反的向量，记为 a 二、向量的线性运算 b c 1．加减法a b c：加法运算规律：平行四边形法则（有 时也称三角形法则），其满足的运算规律有交换率和结合率见图7 a －4
2．a b c 即 a ( b) c 3．向量与数的乘法 a ：设是一个数，向量 a 与的乘积a规定为 (1) 0 时， a 与a 同向， | a | | a | (2) 0 时， a 0 (3) 0 时， a 与a反向，| a | | || a | 其满足的运算规律有：结合率、分配率。设 a 0表示与非零向量 a 同方向的单位向量，那么 a 0a a 定理 1：设向量，那么，向量 b 平行于 a 的充分必要条件是：存在唯一的实数 λ ， a≠ 0 使b＝a 例 1：在平行四边形ABCD中，设AB a ，AD b ，试用 a 和b表示向量 MA 、MB 、MC 和 MD ，这里M是平行四边形对角线的交点。（见图7－5）图 7－ 4 解： a b AC 2 AM ，于是 MA 1 (a b) 2 由于 MC MA ，于是 MC 1 b) (a 2 1 (b a) 又由于 a b BD 2 MD ，于是 MD 1 (b 2 由于 MB MD ，于是 MB a) 2 三、空间直角坐标系 1．将数轴（一维）、平面直角坐标系（二维）进一步推广建立空间直角坐标系（三维） 如图 7－ 1，其符合右手规则。即以右手握住z 轴，当右手的四个手指从正向x 轴以角度 2 转向正向 y 轴时，大拇指的指向就是z 轴的正向。 2．间直角坐标系共有八个卦限，各轴名称分别为：x轴、y轴、z轴，坐标面分别 为 xoy 面、yoz面、zox面。坐标面以及卦限的划分如图7－2 所示。 图 图 7－1 右手规则演示 7－ 2 空间直角坐标系图图7－3空间两点 M 1 M 2的距离图3．空间点M ( x, y, z)的坐标表示方法。 通过坐标把空间的点与一个有序数组一一对应起来。注意：特殊点的表示
新课标高中数学必修解析几何全部教案
百读文库CHENyx2011 woaiwojia直线的倾斜角和斜率 一、教学目标 (一)知识教学点 知道一次函数的图象是直线，了解直线方程的概念，掌握直线的倾斜角和斜率的概念以及直线的斜率公式． (二)能力训练点 通过对研究直线方程的必要性的分析，培养学生分析、提出问题的能力；通过建立直线上的点与直线的方程的解的一一对应关系、方程和直线的对应关系，培养学生的知识转化、迁移能力． (三)学科渗透点 分析问题、提出问题的思维品质，事物之间相互联系、互相转化的辩证唯物主义思想． 二、教材分析 1．重点：通过对一次函数的研究，学生对直线的方程已有所了解，要对进一步研究直线方程的内容进行介绍，以激发学生学习这一部分知识的兴趣；直线的倾斜角和斜率是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的，是研究两条直线位置关系的重要依据，要正确理解概念；斜率公式要在熟练运用上多下功夫．2．难点：一次函数与其图象的对应关系、直线方程与直线的对应关系是难点．由于以后还要专门研究曲线与方程，对这一点只需一般介绍就可以了． 3．疑点：是否有继续研究直线方程的必要？ 三、活动设计 启发、思考、问答、讨论、练习． 四、教学过程 (一)复习一次函数及其图象 已知一次函数y=2x+1，试判断点A(1，2)和点B(2，1)是否在函数图象上．初中我们是这样解答的： ∵A(1，2)的坐标满足函数式，
∴点A在函数图象上． ∵B(2，1)的坐标不满足函数式， ∴点B不在函数图象上． 现在我们问：这样解答的理论依据是什么？(这个问题是本课的难点，要给足够的时间让学生思考、体会．) 讨论作答：判断点A在函数图象上的理论依据是：满足函数关系式的点都在函数的图象上；判断点B不在函数图象上的理论依据是：函数图象上的点的坐标应满足函数关系式．简言之，就是函数图象上的点与满足函数式的有序数对具有一一对应关系． (二)直线的方程 引导学生思考：直角坐标平面内，一次函数的图象都是直线吗？直线都是一次函数的图象吗？ 一次函数的图象是直线，直线不一定是一次函数的图象，如直线x=a连函数都不是．一次函数y=kx+b，x=a都可以看作二元一次方程，这个方程的解和它所表示的直线上的点一一对应． 以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点；反之，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解．这时，这个方程就叫做这条直线的方程；这条直线就叫做这个方程的直线． 上面的定义可简言之：(方程)有一个解(直线上)就有一个点；(直线上)有一个点(方程)就有一个解，即方程的解与直线上的点是一一对应的． 显然，直线的方程是比一次函数包含对象更广泛的一个概念． (三)进一步研究直线方程的必要性 通过研究一次函数，我们对直线的方程已有了一些了解，但有些问题还没有完全解决，如y=kx+b中k的几何含意、已知直线上一点和直线的方向怎样求直线的方程、怎样通过直线的方程来研究两条直线的位置关系等都有待于我们继续研究． (四)直线的倾斜角 一条直线l向上的方向与x轴的正方向所成的最小正角，叫做这条直线的倾斜角，如图1-21中的α．特别地，当直线l和x轴平行时，我们规定它的倾斜角为0°，因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°．
向量代数与空间解析几何练习题讲课教案
向量代数与空间解析几何练习题
第4章 向量代数与空间解析几何练习题 习题4.1 一、选择题 1．将平行于同一平面的所有单位向量的起点移到同一点, 则这些向量的终点构成的图形是( ) （A ）直线； （B ） 线段； （C ） 圆； （D ） 球． 2．下列叙述中不是两个向量a 与b 平行的充要条件的是( ) （A ）a 与b 的内积等于零； （B ）a 与b 的外积等于零； （C ）对任意向量c 有混合积0)(=abc ； （D ）a 与b 的坐标对应成比例． 3．设向量a 的坐标为 31 3 , 则下列叙述中错误的是( ) （A ）向量a 的终点坐标为),,(z y x ； （B ）若O 为原点,且a =, 则点A 的坐标为 ),,(z y x ； （C ）向量a 的模长为222z y x ++；（D ） 向量)2/,2/,2/(z y x 与a 平行． 4．行列式2 131323 21的值为( ) （A ） 0 ； （B ） 1 ； （C ） 18 ； （D ） 18-． 5．对任意向量a 与b , 下列表达式中错误的是( ) （A ）||||a a -=； （B ）||||||b a b a +>+； （C ） ||||||b a b a ?≥?； （D ） ||||||b a b a ?≥?． 二、填空题 1．设在平行四边形ABCD 中，边BC 和CD 的中点分别为M 和N ，且p AM =， q =，则BC =_______________，CD =__________________．
2．已知ABC ?三顶点的坐标分别为A(0，0，2)，B(8，0，0)，C(0，8，6)，则边BC上的中线长为______________________． 3．空间中一动点移动时与点)0,0,2(A和点)0,0,8(B的距离相等, 则该点的轨迹方程是 _______________________________________． 4．设力k + 2+ =, 则F将一个质点从)3,1,0(A移到)1,6,3(, B所做的功为 F5 j i 3 ____________________________． ?_____________________; 5．已知)2,5,3(A, )4,7,1(B, )0,8,2( C, 则= ?____________________;ABC = ?的面积为_________________． 三、计算题与证明题 1．已知1 | |= c, 并且0 |= b, 5 | a, 4 |= | a? b + + ?． b ? +c + c b = c a．计算a 2．已知3 ?b || a?． |= |b a, 求| | |= ?b a, 4 | 3．设力k - =作用在点)1,6,3(A, 求力F对点)2 ,7,1(,- + B的力矩的大小． i j F5 3 2+
鲁京津琼专用高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.1直线的方程教案含解析
鲁京津琼专用高考数学大一轮复习第九章平面解析几何 9.1直线的方程教案含解析 §9.1 直线的方程 最新考纲 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，体会斜截式与一次函数的关系． 1．直线的倾斜角 (1)定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)范围：直线l 倾斜角的范围是[0°，180°)． 2．斜率公式 (1)若直线l 的倾斜角α≠90°，则斜率k ＝tan α. (2)P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线l 上且x 1≠x 2，则l 的斜率k ＝y 2－y 1 x 2－x 1 . 3．直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 y －y 0＝k (x －x 0) 不含直线x ＝x 0 斜截式 y ＝kx ＋b 不含垂直于x 轴的直线 两点式 y －y 1y 2－y 1＝x －x 1 x 2－x 1 (x 1≠x 2，y 1≠y 2) 不含直线x ＝x 1和直线y ＝y 1 截距式 x a ＋y b ＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax ＋By ＋C ＝0 (A 2 ＋B 2 ≠0) 平面直角坐标系内的直线都适用
概念方法微思考 1．直线都有倾斜角，是不是都有斜率？倾斜角越大，斜率k 就越大吗？ 提示 倾斜角α∈[0，π)，当α＝ π2时，斜率k 不存在；因为k ＝tan α? ????α≠π2.当α∈? ?? ?? 0，π2时，α越大，斜率k 就越大，同样α∈? ?? ??π2 ，π时也是如此，但当α∈(0，π) 且α≠π 2 时就不是了． 2．“截距”与“距离”有何区别？当截距相等时应注意什么？ 提示 “截距”是直线与坐标轴交点的对应坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．应注意过原点的特殊情况是否满足题意． 题组一 思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．( √ ) (2)若直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.( × ) (3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．( × ) (4)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示．( √ ) 题组二 教材改编 2．若过点M (－2，m )，N (m,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为( ) A ．1B ．4C ．1或3D ．1或4 答案 A 解析 由题意得m －4－2－m ＝1，解得m ＝1. 3．过点P (2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为． 答案 3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0 解析 当截距为0时，直线方程为3x －2y ＝0； 当截距不为0时，设直线方程为x a ＋y a ＝1，
第七章_空间解析几何与向量代数复习题(答案)
第八章 空间解析几何与向量代数答案 一、选择题 1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点，向量 的模是（A ） A 5 B 3 C 6 D 9 2. 设a =（1,-1,3）, b =（2,-1,2），求c =3a -2b 是（ B ） A （-1,1,5）. B （-1,-1,5）. C （1,-1,5）. D （-1,-1,6）. 3. 设a =（1,-1,3）, b =（2, 1,-2），求用标准基i , j , k 表示向量c=a-b 为（A ） A -i -2j +5k B -i -j +3k C -i -j +5k D -2i -j +5k 4. 求两平面032=--+z y x 和052=+++z y x 的夹角是（ C ） A 2π B 4π C 3 π D π 5. 已知空间三点M (1,1,1)、A (2,2,1)和B （2，1，2），求∠AMB 是（ C ） A 2π B 4π C 3 π D π 6. 求点)10,1,2(-M 到直线L ：12 213+= -=z y x 的距离是：（ A ） A 138 B 118 C 158 D 1 7. 设,23,a i k b i j k =-=++求a b ?是：（ D ） A -i -2j +5k B -i -j +3k C -i -j +5k D 3i -3j +3k 8. 设⊿ABC 的顶点为(3,0,2),(5,3,1),(0,1,3)A B C -，求三角形的面积是：（ A ） A 2 B 364 C 3 2 D 3 9. 求平行于z 轴，且过点)1,0,1(1M 和)1,1,2(2-M 的平面方程是：（ D ） A 2x+3y=5=0 B x-y+1=0 C x+y+1=0 D 01=-+y x ． 10、若非零向量a,b 满足关系式-=+a b a b ，则必有（ C ）； A -+a b =a b ； B =a b ； C 0?a b =； D ?a b =0． 11、设,a b 为非零向量，且a b ⊥, 则必有（ C ） A a b a b +=+ B a b a b -=-
《空间解析几何2》教学大纲.
《空间解析几何2》教学大纲 课程编号：12307229 学时：22 学分：1.5 课程类别：限制性选修课 面向对象：小学教育专业本科学生 课程英语译名：In terspace An alytic Geometry （2） 一、课程的任务和目的 任务：本课程要求学生熟练掌握解析几何的基本知识和基本理论，正确地理解和使用向 量代数知识，并解决一些实际问题。深刻理解坐标观念和曲线（面）与方程相对应的观念，熟练掌握讨论空间直线、平面、曲线、曲面的基本方法，训练学生的空间想象能力和运算能力。 目的：通过本课程的学习，使学生掌握《空间解析几何》的基本知识、基本思想及基本方法，培养学生的抽象思维能力及空间想象力，培养学生用代数方法处理几何问题的能力，提高学生从几何直观分析问题和和解决问题的能力。为学习《高等代数》及《数学分析》及后继课程打下坚实基础，为日后胜任小学教学工作而作好准备。 二、课程教学内容与要求 （一）平面与空间直线（14学时） 1.教学内容与要求：本章要求学生熟练掌握平面与空间直线的各种形式的方程，能判别空间有关点、直线与平面的位置关系，能熟练计算它们之间的距离与交角。 2?教学重点：根据条件求解平面和空间直线的方程，及点、直线、平面之间的位置关系 3?教学难点：求解平面和空间直线的方程。 4.教学内容： （1）平面的方程（2课时）：掌握空间平面的几种求法（点位式、三点式、点法式、一般式）。 （2）平面与点及两个平面的相关位置（2课时）：掌握平面与点的位置关系及判定方法；掌握空间两个平面的位置关系及判定方法。 （3）空间直线的方程（2课时）：掌握空间直线的几种求法（点向式、两点式、参数式、一般式、射影式）。 （5）直线与平面的相关位置（2课时）：掌握空间直线与平面的位置关系及判定方法。 （6）空间两直线的相关位置（2课时）：掌握空间两直线的位置关系及判定方法。 （7）空间直线与点的相关位置（2课时）：掌握直线与点的位置关系及判定方法。 （8）平面束（2课时）：掌握平面束的定义（有轴平面束和平行平面束），并能根据题意求平面束的方程。 （二）特殊曲面（8学时）
(整理)平面解析几何教案
第十章 平面解析几何 10.1直线方程 教学内容及其要求： 一、教学内容 1. 直线的倾斜角与斜率 2. 直线的方程 3. 直线的平行与垂直 4. 两条直线的交点及点到直线的距离 二、教学要求 1. 理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握斜率公式，并会运用。 2. 掌握直线的点斜式、斜截式和一般式方程，能较熟练地根据已知条件求直线方程。 3. 掌握两直线平行和垂直的充要条件，并会熟练运用。 4. 掌握求两直线交点的方法并会运用。 5. 熟记点到直线的距离公式并会运用。 简单介绍直线方程的概念 我们把0kx y b -+=（y kx b =+转换过来）叫做直线l 的方程，反过来说直线l 的方程表示就是0kx y b -+=。 例1 已知直线l 的方程为2360x y ++=（1）求直线l 与坐标轴交点的坐标。（2）判 断点1(1,1)M -、210 (2,)3 M - 是否在直线l 上。 解：（1）要求坐标轴上的点，我们可以知道在x 轴上坐标(,0)x ，在y 轴上坐标(0,)y 把(,0)x 带入方程，得3x =- 把(0,)y 带入方程，得2y =- （2）要问点是否在直线上，我们只需把点的坐标带入方程，方程左右相等，那么点就在直线上，否则就是不在。 把1(1,1)M -带入方程左边，左边7=≠右边，所以点不在直线上。 把210 (2,)3 M - 带入方程左边，左边0==右边，所以点在直线上。
例2 已知直线l 的方程为3120x y -+=（1）求直线l 与坐标轴交点的坐标。（2）判断点1(2,6)M --、2(2,3)M -是否在直线l 上。 解：（1）要求坐标轴上的点，我们可以知道在x 轴上坐标(,0)x ，在y 轴上坐标(0,)y 把(,0)x 带入方程，得4x =- 把(0,)y 带入方程，得12y = （2）要问点是否在直线上，我们只需把点的坐标带入方程，方程左右相等，那么点就在直线上，否则就是不在。 把1(2,6)M --带入方程左边，左边12=≠右边，所以点不在直线上。 把2(2,3)M -带入方程左边，左边21=≠右边，所以点不在直线上。 10.1.1 直线的倾斜角和斜率 1、直线的倾斜角 （1）定义：沿x 轴正方向，逆时针旋转到与直线重合时所转的最小正角记作?，那么?就叫做直线l 的倾斜角。 （2）图像表示：
空间解析几何练习题
习题一 空间解析几何 一、填空题 1、过两点(3,-2)和点(-1,0)的直线的参数方程为 。 2、直线2100x y --=方向向量为 。 3、直角坐标系XY 下点在极坐标系中表示为 。 4、平行与()6,3,6a =-的单位向量为 。 5、过点(3,-2,1)和点(-1,0,2)的直线方程为 。 6、过点(2,3)与直线2100x y +-=垂直的直线方程为 。 7、向量(3,-2)和向量(1,-5)的夹角为 。 8、直角坐标系XY 下区域01y x ≤≤≤≤在极坐标系中表示为 。 9、设 (1,2,3),(5,2,1)=-=-a b , 则(3)?a b = 。 10、点(1,2,1)到平面2100x y z -+-=的距离为 。 二、解答题 1、求过点(3,1,1)且与平面375120x y z -+-=平行的平面方程。 2、求过点(4,2,3) 且平行与直线 31215 x y z --==的直线方程。 3、求过点(2,0,-3) 且与直线247035210x y z x y z -+-=??+-+=? 垂直的平面方程。 4、一动点与两定点(2,3,2)和(4,5,6)等距离, 求这动点的方程。
5、求222,01z x y z =+≤≤在XOZ 平面上的投影域。 6、求222 19416 x y z ++=在XOY 平面上的投影域。 7、求2z z =≤≤在XOZ 平面上的投影域。 8、求曲线222251x y z x z ?++=?+=? 在XOY 平面上的投影曲线。 9、求曲线 22249361x y z x z ?++=?-=? 在XOY 平面上的投影曲线。 10、求由曲面22z x y =+与曲面2222x y z ++=所围成的区域在柱面坐标系下的表示。
(完整版)(整理)第七章空间解析几何
第七章空间解析几何与向量代数内容概要
习题7-1 ★★1．填空： （1） 要使b a b a -=+成立，向量b a , 应满足b a ⊥ （2） 要使 b a b a +=+成立，向量b a , 应满足 //b a ，且同向 ★2．设c b a v c b a u -+-=+-=3 , 2，试用c b a , , 表示向量v u 32- 知识点：向量的线性运算 解：c b a c b a c b a v u 711539342232+-=+-++-=- ★3．设Q , P 两点的向径分别为21 , r r ，点 R 在线段PQ 上，且 n m RQ PR = ，证明点R 的向径为 n m m n += +r r r 12 知识点：向量的线性运算 证明：在OPQ ?中，根据三角形法则PQ OP OQ =-，又)(21r r -+=+= n m m n m m ， ∴n m m n n m m PR OP OR ++=-++ =+=22r r r r r 1 11)( ★★4．已知菱形 ABCD 的对角线b a ==B , ，试用向量b a , 表示 , , , 。 知识点：向量的线性运算 解：根据三角形法则， b a ==-==+B D AD , AB AC BC AB ，又ABCD 为菱形， ∴ =（自由向量）， ∴222 AB AC BD AB CD DC AB --=-=-?=?=-=-= u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r a b b a a b ∴2b a +==，2 DA +=-u u u r a b ★★5．把ABC ?的BC 边五等分，设分点依次为4321 , , , D D D D ，再把各分点与点 A 连接，试以 a c ==BC AB , 表示向量 , , 321A D A D A D 和A D 4。
空间解析几何习题答案解析(20210120005111)
WORD 格式整理 . 2 30 x 3 3) 10 、计算题与证明题 1．已知 |a| 1, |b| 4, |c| 5, 并且 a b c 0． 计算 a b b c c a ． 解：因为 |a| 1, |b| 4, |c| 5, 并且 a b c 0 所以 a 与 b 同向，且 a b 与 c 反向 因此 a b 0 ， b c 0 ， c a 0 所以 a b b c c a 0 2．已知 |a b| 3, |a b| 4, 求 |a| |b|． 解： |a b| a b cos 3 （1） |a b| a bsin 4 （ 2） （1）2 2 2 得 a b 2 25 所以 a b 5 4．已知向量 x 与 a （,1,5, 2） 共线 , 且满足 a x 3, 求向量 x 的坐标． 解：设 x 的坐标为 x,y,z ，又 a 1,5, 2 则 a x x 5y 2z 3 又 x 与 a 共线，则 x a 0 ij xy 15 2y 5zi z 2x j 5x y k 0 所以 2y 5z 2 z 2x 2 5x y 2 0 即 29x 2 5y 2 26z 2 20yz 4xz 10xy 0 （2） 又 x 与 a 共线， x 与 a 夹角为 0或 22 yz cos0 1 xa x 2 y 2 z 2 12 52 2 2 1) xy 15 整理得
WORD 格式整理 . 2 30 x 3 3) 10 联立 1、2 、3 解出向量 x 的坐标为 1 ,1, 1 10,2, 5
6．已知点 A(3,8,7) , B( 1,2, 3) 求线段 AB 的中垂面的方程． 解：因为 A 3,8,7 ,B( 1,2, 3) AB 中垂面上的点到 A 、B 的距离相等，设动点坐标为 M x,y,z ，则由 MA MB 得 x 3 2 y 8 2 z 7 2 x 1 2 y 2 2 z 3 2 化简得 2x 3y 5z 27 0 这就是线段 AB 的中垂面的方程。 7． 向量 a , b , c 具有 相 同的 模 , 且两 两 所成 的角 相 等 , 若 a , b 的 坐 标分 别 为 (1,1,0)和(0,1,1), 求向量 c 的坐标． 解： abc r 且它们两两所成的角相等，设为 则有 a b 1 0 1 1 0 1 1 则 cos 设向量 c 的坐标为 x, y,z c x 2 y 2 z 2 r 12 12 02 2 所以 x 2 y 2 z 2 2 3 8．已知点 A(3,6,1) , B(2, 4,1) , C(0, 2,3), D( 2,0, 3)， (1) 求以 AB , AC , AD 为邻边组成的平行六面体的体积． (2) 求三棱锥 A BCD 的体积． x1 联立( 1)、(2)、(3)求出 y 0 或 z1 则 a c 1 x 1 y 0 z x y a bcos r r 12 1 r b c 0 x 1 y 1 z y z b c cos r 1 r 2 r 1) 2) 所以向量 c 的坐标为 1,0,1 或 1 4 1 ,, 3,3, 3 3)
空间解析几何简介
153 自测题七解答 一、填空题(本题共2小题，每空3分，满分33分) 1．点)4,1,2(--位于第( Ⅵ )卦限；关于y 轴的对称点是( (2,1,4) )；到z O x 平面的距离是( 1 )． 2．下列方程：(1)0222=--z y x ；(2)044222=+-+xy z y x ；(3) z y x 364922-=+； (4) 1=x ；(5)364922=+z x ；(6)1222=+-z y x 中， 方程( (4) )和( (5) )表示柱面；方程( (1) )和( (6) )表示旋转曲面；方程( (6) )表示旋转双曲面；方程( (3) )表示椭圆抛物面；方程( (1) )表示锥面；方程( (2) )表示两个平面． 二、单项选择题(本题共4小题，每小题3分，满分12分) 1．下列点在球面02222=-++z z y x 内部的是〖 C 〗． (A ) )2,0,0(； (B ) )2,0,0(-； (C ) ()5.0,5.0,5.0； (D ) ()5.0,5.0,5.0-． 2．方程组22 1,492.x y y ?+=???=? 在空间解析几何中表示〖 B 〗． (A ) 椭圆柱面； (B ) 两平行直线； (C ) 椭圆； (D ) 平面． 3．圆? ??=--+=++-+-09336)1()7()4(222z y x z y x 的中心M 的坐标为〖 A 〗． (A ) )0,6,1(； (B ) )1,7,4(-； (C ) )0,1,6(； (D ) )1,6,0(． 提示：只有点)0,6,1(到球心)1,7 ,4(-(球心)1,7,4(-到平面的距离)． 4．下列平面通过z 轴的是〖 D 〗． (A ) 013=-y ；(B ) 0632=--y x ；(C ) 1=+z y ；(D ) 03=-y x ． 三、(本题满分15分) 求过点)2,0,1(1M 、)3,1,0(2M 且平行于z 轴的平面方程． 解 因为平面平行于z 轴，所以设平面的方程为0Ax By D ++=(缺z 项)． 又点)2,0,1(1M 、)3,1,0(2M 在平面上，所以00A D B D +=??+=?，得A D B D =-??=-?． 则平面方程为0Dx Dy D --+= (0D ≠)，即 10x y +-=． 四、(本题满分15分)求母线平行于x 轴，且通过曲线???=+-=++0 162222222z y x z y x 的柱面方程．
向量代数与空间解析几何复习题
第七章 向量代数与空间解析几何 （一） 空间直角坐标系、向量及其线性运算 一、判断题 1． 点（-1，-2，-3）是在第八卦限。 （ ） 2． 任何向量都有确定的方向。 （ ） 3． 任二向量, =.则a =b 同向。 ( ) 4． 若二向量, + ,则,同向。 （ ） 5． 若+=+,则= ( ) 6． 向量b a , b a ,同向。 （ ） 7．若={ z y x a a a ,,}，则平行于向量的单位向量为| |a a x a | |a z }。（ ） 8．若一向量在另一向量上的投影为零，则此二向量共线。 ( ） 二、填空题 1． 点（2，1，-3）关于坐标原点对称的点是 2． 点（4，3，-5）在 坐标面上的投影点是M （0，3，-5） 3． 点（5，-3，2）关于 的对称点是M （5，-3，-2）。 4． 设向量a 与b 有共同的始点，则与,共面且平分a 与b 的夹角的向量为 5． 已知向量与方向相反，且||2||a b =，则由表示为= 。 6． ，与轴l 的夹角为 6 π，则a l prj = 7． 已知平行四边形ABCD 的两个顶点A （2，-3，-5）、B （-1，3，2）。 以及它的对角线 交点E （4，-1，7），则顶点C 的坐标为 ，则顶点D 的坐标为 。 8． 设向量与坐标轴正向的夹角为α、β、γ，且已知α =ο 60，β=ο 120。则γ= 9． 设a 的方向角为α、β、γ，满足cos α=1时，a 垂直于 坐标面。 三、选择题
1．点（4，-3，5）到oy 轴的距离为 （A ）2225)3(4+-+ （B ） 225)3(+- （C ）22)3(4-+ （D ）2254+ 2 ． 已 知 梯 形 OABC 、 2 12 1 -21--2121-, ⊥ b + + - + < - +>-yoz 2AOB ∠42222)(b a b a ?=?a ?b a ???2 a b ??a ??b ωc a ρρ?0??≠a c b ??=b a ??=b a ?? ?22 2b b a a +?+??a b b a ???ρ?=?c b a ???、、a c b c b a ???????=?=,c b a ???、、b a ??,111,,γβα2 22,,γβαb a ∧ (2 12121cos cos cos cos cos cos γγββαα++) (b a ?∧3 π,8,5==b a ??b a ??-24,19,13=+==b a b a ??ρ?a b -v v 32)(π=∧b ?2 ,1==b a ??a b ?v v 72,26,3=?==b a b a ????b a ???}1,2,2{},4,3,4{=-=b a ??a }4,6,4{},2,3,2{--=-=b a ?? )(b ?∧b a ??,λb a P ???5+=λb a Q ???-=3MNP ∠π 4 3π2π 4π2a =0=?b a ??0??=a 0??=b c a b a c b a ???????-=-)(0??≠a c a b a ????=c b ??=}. 4,4,1{},2,3,{-==b x a ?? b a ??//}1,3,1{1},1,1,2{-=-= b a ?? b a ??、}2,1,2{}3,2,1{}1,3,2{=-=-=c b a ? ??、、d ?b a ??,. 14d c ?? ，求向量上的投影是312123 a a a b b b == 2222222 123123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++=++?..a C B c A B ????= =c a c a S ABD ρ?????= ?l l πππ⊥πππθ2 π πππ5πd 2 2212C B A D D ++-5 1 232-==-z y x { 7 421 253=+--=-+z y x z y x 1 3241z y x =+=-300 { x y z x y z ++=--={ 1240 322=+--=+-+z y x z y x 2 33211+=+=-z y x 1 0101z y x =-=+{ 0440 4=--=--y x z x ?? ? ??==+=4321z t y t x { 7 27 2=-+=++-z y x z y x