求二次函数解析式的几种方法

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2015年秋季九年级数学辅导资料第二讲函数图像性质及应用

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二次函数的图象与基本性质

（一）、知识点回顾

【知识点一：二次函数的基本性质】

【知识点二：抛物线的图像与a、b、c关系】

（1）a决定抛物线的开口方向：a>0，开口向________ ；a<0，开口向________ （2）c决定抛物线与________的位置：c>0，图像与y轴的交点在___________；

c=0，图像与y 轴的交点在___________；c<0，图像与y 轴的交点在___________；

（3）a ，b 决定抛物线对称轴的位置，我们总结简称为：___________； （4）△＝b 2－4ac 决定抛物线与________交点情况：

△＝b 2－4ac ??

?

??<=>轴没有交点与轴有一个交点与轴有两个交点与x x x 000

【知识点三：二次函数的平移】

设0,0>>n m ，将二次函数2

ax y =向右平移m 个单位得到___________；向左平移m 个

单位得到___________；向上平移n 个单位得到___________；向下平移n 个单位得到___________。简单总结为___________，___________。

（注意：要用以上方法对二次函数图象进行平移，要先化成顶点式再操作）

【知识点四：二次函数与一元二次方程的关系】

二次函数)0(2

≠++=a c bx ax y ，当0=y 时，即变为一元二次方程

)0(02≠=++a c bx ax ，从图象上来说，二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象与x 轴的

交点的横坐标x 的值就是方程)0(02

≠=++a c bx ax 的根。

【知识点五：二次函数解析式的求法】

（1） 知抛物线三点，可以选用一般式：c bx ax y ++=2，把三点代入表达式列三元一次

方程组求解；

（2） 知抛物线顶点或对称轴、最大（小）值可选用顶点式：k h x a y +-=2

)(；其中抛

物线顶点是),(k h ；

（3） 知抛物线与x 轴的交点坐标为)0,(),0,(21x x 可选用交点式：

)

)((21x x x x a y --=，特别：此时抛物线的对称轴为直线

)(2

1

21x x x +=

（二）、感悟与实践

例1： （1）求二次函数y ＝x 2－4x ＋1的顶点坐标和对称轴.

（2）已知二次函数y ＝－2x 2－8x －6，当___________时，y 随x 的增大而增大；当x ＝________时，y 有_________值是___________．

变式练习1-1：二次函数y ＝－x 2＋mx 中，当x ＝3时，函数值最大，求其最大值．

例2：已知二次函数)0(2

≠++=a c bx ax y 的图象如图1所示，则有：

（1）a ___0,b___0 ,c___0 （2）b 2－4ac___0 （3）a+b+c___0 （4）a-b+c___0

y -1

x

图1

x=1

图2

变式练习2-1：已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图2所示，其对称轴x=﹣1，给出下列结果：

①b2＞4ac；②abc＞0；③2a+b=0；④a+b+c＞0；⑤a﹣b+c＜0，则正确的结论是（）

A、①②③④

B、②④⑤

C、②③④

D、①④⑤

变式练习2-2：已知二次函数的图像如图3所示，那么一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图像大致是（）

C D

例3：（2012?广州）将二次函数y=x2的图象向下平移一个单位，则平移以后的二次函数的解析式为（）

A．y=x2﹣1 B．y=x2+1 C．y=（x﹣1）2D．y=（x+1）

变式练习3-1：（2012泰安）将抛物线2

3

y x

=向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（）

A．2

3(2)3

y x

=++B．2

3(2)3

y x

=-+

C．2

3(2)3

y x

=+-D．2

3(2)3

y x

=--

2

y ax bx c

=++y bx c

=+

a

y

x

=

图3

A B

例4：二次函数22

y x x k

=-++的部分图象如图4所示，则关于x的一元二次方程220

x x k

-++=的一个解

1

3

x=，另一个解

2

x=（）

A、1

B、1-

C、2-

D、0

变式练习5-1：（2009广州25）如图6，二次函数（）的图象与轴

交于两点，与轴交于点，的面积为．

（1）求该二次函数的关系式；

2

y x px q

=++0

p

A B

、y(01)

C-，ABC

△

5

4

图4

y

x

B

A

C

O

二次函数的性质的综合应用 例1. 已知抛物线y x x =+-

1212

2

（或223y x x =--） （1） 把它配方成2

()y a x h k =++的形式；

（2） 写出抛物线的开口方向，顶点M 的坐标、对称轴方程；

(3)求函数的最大值和最小值，并求出相应的自变量的值 。

(4)当-2

（4） 当1

（6）求出与y 轴交点N 的坐标及与x 轴的交点P ,Q 的坐标（点P 在点Q 的左边）

（7）作出函数的大致图像

（8当x 取何值时，函数值y 随x 增大而增大，y 随x 值的增大而减小；

（9）图像过点A （2-，1y ）、B （0，2y ）、C （6，3y ）、D （4，4y ）比较1y ，2y ，3y ，

4y 的大小

（10）观察图象，当x 取何值时，y y y >=<000，，；

（11）当x 取何值时，y<2;

（12）求△PQM 的面积。

（13）求四边形PQMN 的面积

例2. 已知抛物线2

2

22y x kx k k =-++-，根据下列条件，求k 的值。 (1) 抛物线过原点；

(2)顶点在x轴上；

(3)顶点在y轴上；

(4)顶点在y轴左侧；

(5)当x=–1时，函数有最小值；

(6)关于直线x=-1对称；

(7)函数y的值恒大于0；

(8)顶点在x轴上方；

(9) 抛物线在x 轴上截得的线段长为1；

8.如图，抛物线与x 轴交与A(1,0),B(- 3，0)两点， （1）求该抛物线的解析式；

（2）设（1）中的抛物线交y 轴与C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由.

（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P ，使△PBC 的面积最大？，若存在，求出点P 的坐标及△PBC 的面积最大值.若没有，请说明理由.

c bx x y ++-=2

A

B

C

二次函数应用题归类

【基本思想】

一、转化思想————实际问题中的最优化问题转化为求二次函数的最值问题。 1、方案设计最优问题：费用最低？利润最大？储量最大？等等。

2、面积最优化问题：全面观察几何图形的结构特征，挖掘出相应的内在联系，列出包含函数，自变量在内的等式，转化为函数解析式，求最值问题。

二、建模思想————从实际问题中发现、提出、抽象、简化、解决、处理问题的思维过程。

1、建立图像模型：自主建立平面直角坐标系，构造二次函数关系式解决实际问题。

2、方程模型和不等式模型：根据实际问题中的数量关系，列出方程或不等式转化为二次函数解决问题。

3、根据实际问题情境抽象出二次函数模型。

三、运动思想————图像上的动点问题及几何图形的形状的确定。 四、分类讨论的思想————二次函数与其他知识的综合题时经常用到。 【最值的确定方法】

1．二次函数在没有范围条件下的最值：

二次函数的一般式c bx ax y ++=2

(0≠a )化成顶点式2

24()24b ac b y a x a a

-=+

+，如果自变量的

取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值）． 2．二次函数在有范围条件下的最值：

如果自变量的取值范围21x x x ≤≤，如果顶点在自变量的取值范围21x x x ≤≤内，则当

2b

x a

=-

，2

44ac b y a

-=最值，如果顶点不在范围，则需考虑函数在自变量的取值范围内的增减性

〖2014年中考第23题分类汇总分析〗 一、分段函数型

1.【四月调考】某商品的进价为每件40元，如果售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果售价超过50元但不超过80元，每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖1件；如果售价超过80元后，若再涨价，则每涨1元每月少卖3件.设每件商品的售价为x 元，每个月的销售量为y 件.

（1）求与的函数关系式并直接写出自变量的取值范围； （2）设每月的销售利润为W ，请直接写出与的函数关系式；

（3）每件商品的售价定位多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？

二、与不等式结合型

2.【2009四月调考】某商场将进货价为30元的书包以40元售出，平均每月能售出600个。调查表明：这种书包的售价每上涨1元，其销售量就减少10个。

（1）请写出每月售出书包的利润y（元）与每个书包涨价x（元）间的函数关系式；（2）设某月的利润为10000元，此利润是否为该月的最大利润，请说明理由；

（3）请分析并回答售价在什么范围内商家获得的月利润不低于6000元?

3.某商品的进价为每件40元，售价为每件60元时，每个月可卖出100件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖2件．设每件商品的售价为x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．

（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；

（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？

（3）当售价的范围是是多少时，使得每件商品的利润率不超过80%且每个月的利润不低于2250元？

三、前期投入，亏损、盈利型

4.【2011年四月】杰瑞公司成立之初投资1500万元购买新生产线生产新产品，此外，生产每件该产品还需要成本60元。按规定，该产品售价不得低于100元/件且不得超过180元/件，该产品销售量y（万件）与产品售价x（元）之间的函数关系如

图所示。

(1)求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；

(2)第一年公司是盈利还是亏损？求出当盈利最大或者亏损最小时的产品售价；

(3)在(2)的前提下，即在第一年盈利最大或者亏损最小时，第二年公司重新确定产品售价，能否使两年共盈利达1340万元，若能，求出第二年产品售价；若不能，请说明理由。

四、面积有关问题

5.【2010年中考】星光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成。已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米。

（1）若平行于墙的一边长为y米，直接写出y与x的函数关系式及其自变量x的取值范围；（2）垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大，并求出这个最大值；

（3）当这个苗圃园的面积不小于88平方米时，试结合函数图象，

直接写出x的取值范围。

五、二次函数与建模(高频型)

6.〖2015调考〗要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根2.25m的水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1 m处达到最高，高度为3m．

(1)建立适当的平面直角坐标系．，使水管顶端的坐标为(0，2.25)，水柱的最高点的坐标为(1，3)，求出此坐标系中抛物形水柱对应的函数关系式（不要求写取值范围）；

(2)如图；在水池底面上有一些同心圆轨道，每条轨道上安装排水地漏，相邻轨道之间的宽度为0.3 m，最内轨道的半径为r m，其上每0.3 m的弧长上安装一个地漏，其它轨道上的地漏个数与最内轨道上的个数相同，水柱落地处为最外轨道，其上不安装地漏，求当r为多少时池中安装的地漏的个数最多？

六、细节变化、陷阱题

9.中百超市每天购进一种水产品300千克，其进货成本（含运输费）是每千克3元，根据超市规定，这种水产品只能当天销售，并且每千克的售价不能超过10元，一天内没有销售完的水产品只能按2元处理给食品深加工公司，而且这种水产品每天的损耗率是10%，根据市场调查这种水产品每天在市场上的销售量y(单位：千克，y≥0）与每千克的销售价x(元)之间的函数关系如下图所示：

（1）求出每天销售量y与每千克销售价x之间的函数关系式；

（2）根据题中的分析：每天销售利润w最多是多少元？

（3）请你直接回答：当每千克销售价为多少元时，每天的销售利润不低于960元？

【巩固练习】A 组：

1. 二次函数y=x 2-2x-6的图象开口方向 ，顶点坐标是 ，对称轴

是 ；

2、抛物线

与x 轴的一个交点的坐标为（l,0), 则它与x 轴的另一个交点的

坐标是__________

3、二次函数y=2

(1)x -－2的图像的对称轴是直线_____________.

4、抛物线y ＝22x －bx ＋3的对称轴是直线x ＝1，则b 的值为__________；若抛物线y=

2()a x h m ++形状与它一样，则a=______________

5抛物线3)2(2

+-=x y 的顶点坐标是（ ）

A ．（2，3）

B ．（－2，3）

C ．（2，－3）

D ．（－2，－3） 6二次函数的最小值是（ ）． A ．2 B ．1 C ．－3 D ．

7抛物线22()y x m n =++（m n ，是常数）的顶点坐标是（ ）

A ．()m n ，

B ．()m n -，

C ．()m n -，

D ．()m n --，

8、若抛物线2

y ax =+c 的图像经过点P(m,m),则此抛物线也经过点（ ） A(-m,n) B(m,-n) C(n,m) D(-n,m) 9、二次函数2

365y x x =--+的图象的顶点坐标是（ ） A ．(18)-， B ．(18)，

C ．(12)-，

D ．(14)-，

10、二次函数的图象上最低点的坐标是

242m

y x x =-+

2

(1)2y x =++2

32

(1)2y x =--

A ．(-1，-2)

B ．(1，-2)

C ．(-1，2)

D ．(1，2)

11、若把代数式223x x --化为()2

x m k -+的形式，其中,m k 为常数，则m k +=

.

12、已知A 、B 是抛物线2

43y x x =-+上位置不同的两点，且关于抛物线的对称轴对称，则点A 、B 的坐标可能是_____________．（写出一对即可）

13、函数，当为 时，函数的最大值是 ； 14、若二次函数2)1(2

-+-=mx x m y 的最大值为

，则常数； B 组：1.向上发射一枚炮弹，经x 秒后的高度为y 公尺，且时间与高度关系为y =ax 2+bx 。

若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则再下列哪一个时间的高度是最高的？(

)

A. 第8秒

B. 第10秒

C. 第12秒

D. 第15秒 。

2抛物线(1)(3)(0)y a x x a =+-≠的对称轴是直线（ ） A ．1x =

B ．1x =-

C ．3x =-

D ．3x =

3函数(2)(3)y x x =--取得最大值时，x =______．

4、已知二次函数若0

A 只有一个交点

B 有两个交点

C 没有交点

D 交点数不确定 5.(2010台州)如图，点A ，B 的坐标分别为（1, 4）和（4, 4）,抛物线n m x a y +-=2

)(的

顶点在线段AB 上运动，与x 轴交于C 、D 两点（C 在D 的左侧），点C 的横坐标最小值为

3-，则点D 的横坐标最大值为( )

A ．－3

B ．1

C ．5

D ．8

)32(x x y -=x 4

9

_____=m c bx ax y ++=2

第6题图

y

x

O

D C

B (4,4)

A (1,4)

第 第7题图

6.如图，两条抛物线12121+-

=x y 、12

1

22--=x y 与分别经过点()0,2-,()0,2且平行于y 轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为___

7.(2010株洲）已知二次函数()()2

21y x a a =-+-（a 为常数），当a 取不同的值时，其

图象构成一个“抛物线系”．下图分别是当1a =-，0a =，1a =，2a =时二次函数的图象.它们的顶点在一条直线上，这条直线的解析式是y = .

二次函数应用题练习

1.九·五股份有限公司在汉口北投资新建了一商场，黄有商铺30间，据预测，当每间的年租金为10万元时，可全部租出；每间的年租金每增加5000元，少租出商铺一间，该公司要为租出的商铺每年交各种费用1 万元，未租出的商铺每间每年交各种费用5000元。 （1）当租金为13万元时，能租出多少间商铺？

（2）当每间商铺的年租金定为多少时，该公司的年收益最大？

（3）若公司要求收益不低于275万元，则年租金定在什么范围？

2.一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y （件）与销售单价x （元）之间的关系：10500y x =-+．设经销商每月获得利润为w （元） （1），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？最大利润是多少元？

（2）如果经销商想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？

（3）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果经销商想要每月获得的利润不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？

3.如图，足球场上守门员在处开出一高球，球从离地面1米的处飞出（在轴上），运动员乙在距点6米的处发现球在自己头的正上方达到最高点，距地面约4米高，球落地后又一次弹起．据实验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．

（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式．

（2）足球第一次落地点距守门员多少米？（取734≈）

（3）运动员乙要抢到第二个落点，他应再向前跑多少米？（取562≈）

4.有一种螃蟹，从海上捕获后不放养，最多只能存活两天．如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去．假设放养期内蟹的个体质量基本保持不变，现有一经销商，按市场价收购这种活蟹1000 kg 放养在塘内，此时市场价为每千克30元，据测算，此后每千克活蟹的市场价每天可上升1元，但是，放养一天需支出各种费用为400元，且平均每天还有10 kg 蟹死去，假定死蟹均于当天全部销售出，售价都是每千克20元． (1)设x 天后每千克活蟹的市场价为p 元，写出p 关于x 的函数关系式；

(2)如果放养x 天后将活蟹一次性出售，并记1000 kg 蟹的销售总额为Q 元，写出Q 关于x 的函数关系式．

(3)该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润(利润=Q －收购总额)？

5.随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高．某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润与投资量成正比例关系，如图12-①所示；种植花卉的利润与投资量成二次函数关系，如图12-②所示(注：利润与投资量的单位：万元)

（1）分别求出利润与关于投资量的函数关系式；

（2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？

6. 一座拱桥的轮廓是抛物线型(如图16所示)，拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m．

（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图17所示)，求抛物线的解析式；

（2）求支柱的长度；

（3）拱桥下地平面是双向行车道(正

中间是一条宽2m的隔离带)，其中的

一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)？说明你的理由．

7.已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE（如图），其中AF=2，BF=1．试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积。

米图7

C

B

A

8.用19米长的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，CD 长表示窗框的宽，EF=0.5米．(铝合金条的宽度忽略不计)

（1）求窗框的透光面积S （平方米）与窗框的宽x （米）之间的函数关系式；

（2）如何设计才能使窗框的透光面积最大？最大面积是多少？

（3）当窗框的面积不小于10平方米时，试结合函数图象，直接写出x 的取值范围．