所以原不等式的解集为??????>≤<881374x x x 或，即为????
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>1374x x ． 说明：本题也可以转化为
)()(x g x f ≤型的不等式求解，注意：
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则所求不等式的解集为A 的补集A
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5≤≤x ．即
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?????≤≤≤=137452x x x A 或，∴原不等式的解集是
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序轴标根法
序轴标根法 序轴标根法法的原理是初中学过的实数乘（除）法的符号法则：几个因数相乘，如果负因子的个数为奇数，则积为负号；如果负因子的个数为偶数，则积有正号。下举例说明： 一般地，设有一元n次不等式，(x-x1)(x-x2)(x-x3)…(x-x n)＞0，其中x1＜x2＜…＜x n，下面用“序轴标根法”来求它的解集： 第一步：找到它的n个根x1,x2,…,x n； 第二步：按以小到大次序从左到右在数轴上标上这n个根； 第三步：画线穿根——从x n的右边自x轴上方起画——曲线穿过x n到x轴下方，再穿过x n-1回到x轴上方，再穿过x n-2到x轴下方，这样依次穿下穿上，直至穿过最后一个根x1； 第四步：根据图象得到(x-x1)(x-x2)(x-x3)…(x-x n)＞0的解集：曲线在x轴上方的弧段对应的x轴上相应区间的并集。顺便地，曲线在x轴下方的弧段对应的x轴上的相应区间的并集，就是不等式(x-x1)(x-x2)(x-x3)…(x-x n)＜0的解集。 “序轴标根法”，它的精髓和根本之处却只是实数乘法的符号法则的应用，形数结合的数学思想的应用。“序轴标根法”是一种“机械化”的或曰“程序化”的解一元不等式的方法，对于一元有理不等式，包括一元一次，一元二次，一元高次不等式，有理分式不等式，它都是一把利剑，一件攻无不克，战无不胜的利器。如果因式分解和不等式性质掌握得好，用“序轴标根法”解一元有理不等式，简直是“削铁如泥”。例1.求一元三次不等式x(x+3)(x-1)＞0的解集。 【巧解】：第一步：找到x(x+3)(x-1)=0的根，0，-3，1。 第二步：按从小到大次序从左到右在数轴上标上这三个根。 第三步：画线穿根——从1的右边自x轴上方起画一曲线穿过1到x轴下方，再穿过0回到x轴上方，再穿过-3到x轴下方。 第四步：根据图象得到x(x+3)(x-1)＞0的解集为{x∣-3＜x＜0或x＞1 。 下面用表格来具体地阐释一个一元五次不等式的数轴标根法解法原理： 例2：解不等式(x2-1)(x2-4x-12)(x-4)＞0 【巧解】：整理不等式（因式分解，并按根从小到大，从左到右排列诸因式）得：(x+2)(x+1)(x-1)(x-4)(x-6)＞0 “序轴标根”： 1
(完整版)数轴标根法及习题
数轴穿根法 一、概念简介 1.“数轴标根法”又称“数轴穿根法”或“穿针引线法” 2.准确的说，应该叫做“序轴标根法”。序轴：省去原点和单位，只表示数的大小的数轴。序轴上标出的两点中，左边的点表示的数比右边的点表示的数小。 3.是高次不等式的简单解法 4.为了形象地体现正负值的变化规律，可以画一条浪线从右上方依次穿过每一根所对应的点，穿过最后一个点后就不再变方向，这种画法俗称“穿针引线法” 二、方法步骤 第一步：通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0。（注意：一定要保证x前的系数为正数） 例如：将x^3-2x^2-x+2>0化为(x-2)(x-1)(x+1)>0 第二步：将不等号换成等号解出所有根。 例如：(x-2)(x-1)(x+1)=0的根为：x1=2，x2=1，x3=-1 第三步：在数轴上从左到右依次标出各根。 例如：-1 1 2 第四步：画穿根线：以数轴为标准，从“最右根”的右上方穿过根，往左下画线，然后又穿过“次右根”上去，一上一下依次穿过各根。
第五步：观察不等号，如果不等号为“>”，则取数轴上方，穿根线以内的范围；如果不等号为“<”则取数轴下方，穿根线以内的范围。x的次数若为偶数则不穿过，即奇过偶不过。 例如：若求(x-2)(x-1)(x+1)>0的根。 在数轴上标根得：-1 1 2 画穿根线：由右上方开始穿根。 因为不等号为“>”则取数轴上方，穿跟线以内的范围。即： -12。（如下图所示） 三、奇过偶不过 就是当不等式中含有单独的x偶数幂项时，如(x^2)或(x^4)时，穿根线是不穿过0点的。但是对于X奇数幂项，就要穿过0点了。还有一种情况就是例如：（X-1)^2.当不等式里出现这种部分时，线是不穿过1点的。但是对于如（X-1)^3的式子，穿根线要过1点。也是奇过偶不过。可以简单记为“奇穿过，偶弹回”，一称“奇穿偶切”。（如图三，为（X-1)^2）
穿根法解高次不等式
穿根法解高次不等式 一.方法:先因式分解,再使用穿根法. 注意:因式分解后,整理成每个因式中未知数得系数为正。 使用方法: ①在数轴上标出化简后各因式得根,使等号成立得根,标为实点,等号不成立得根要标虚点。 ②自右向左自上而下穿线,遇偶次重根不穿透,遇奇次重根要穿透(叫奇穿偶不穿). ③数轴上方曲线对应区域使“〉”成立, 下方曲线对应区域使“<”成立. 例1:解不等式 (1) (x+4)(x+5)2(2－ｘ)3<0 (2) 错误!≤1 解: (1) 原不等式等价于(x ＋４)(x+5)2(x —２)3＞0 (2) 根据穿根法如图 不等式解集为 {x x< １ 3 或＼f( 1 , 2 )【例２】 解不等式:(１)2x 3－x 2—1５x 〉０;(2)(x+4)(x+5)2(2—x)3<0。 【分析】 如果多项式f(x)可分解为n 个一次式得积,则一元高次不等式ｆ(x)＞0(或f(ｘ)＜0)可用“穿根法"求解,但要注意处理好有重根得情况、 解:(1)原不等式可化为
x(２ｘ＋５)(x-3)〉0 顺轴.然后从右上开始画曲线顺次经过三个根,其解集如图(５－1)得阴影部分. (2)原不等式等价于 (x+4)(ｘ+5)2(ｘ-2)3＞0 ∴原不等式解集为｛x|ｘ＜-5或－５＜ｘ〈—4或x ＞2｝、 【说明】 用“穿根法”解不等式时应注意．．．．．．．．．．．．．．:．①各一次项中．．．．．．x ．得．系数必为正．．．．．;．②对于偶次或奇次重根可参照．．．．．．．．．．．．．(．２．)．得解法转化为不含重．．．．．．．．．根得不等式．．．．．,．也可直接用“穿根法．．．．．．．．．",．．但注意．．．“奇穿偶不穿”．．．．．．．.．其法如图．．．． (5．．－．２．)． .． 二. 数轴标根法”又称“数轴穿根法” 第一步:通过不等式得诸多性质对不等式进行移项,使得右侧为0。(注意:一定要保证x 前得系数为 正数) 例如:将x^3—2x^2—x+2>0化为(x-2)(x-１)(x+1)＞０ 第二步:将不等号换成等号解出所有根。 例如:(x —２)(x-1)(x+1)=0得根为:x １＝2,x ２＝1,x ３=—1 第三步:在数轴上从左到右依次标出各根。 例如:—1 1 ２ 第四步:画穿根线:以数轴为标准,从“最右根”得右上方穿过根,往左下画线,然后又穿过“次右根”上去,一上一下依次穿过各根、 第五步:观察不等号,如果不等号为“〉",则取数轴上方,穿根线以内得范围;如果不等号为“<”则取数轴下方,穿根线以内得范围。ｘ得次数若为偶数则不穿过,即奇过偶不过。 例如:
穿根法解高次不等式
穿根法解高次不等式 一．方法:先因式分解,再使用穿根法. 注意:因式分解后,整理成每个因式中未知数的系数为正. 使用方法: ①在数轴上标出化简后各因式的根,使等号成立的根,标为实点, 等号不成立的根要标虚点. ②自右向左自上而下穿线,遇偶次重根不穿透,遇奇次重根要穿 透(叫奇穿偶不穿). ③数轴上方曲线对应区域使“>”成立, 下方曲线对应区域使 “<”成立. 例1:解不等式 (1) (x+4)(x+5)2(2-x)3<0 (2) x 2-4x+1 3x 2-7x+2 ≤1 解: (1) 原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)3>0 根据穿根法如图 不等式解集为{x ∣x>2或 (2) 变形为 (2x-1)(x-1) (3x-1)(x-2) ≥0 根据穿根法如图
不等式解集为 {x x< 1 3 或 1 2 ≤x ≤1或x>2}. 【例2】 解不等式：(1)2x 3-x 2-15x ＞0；(2)(x+4)(x+5)2(2-x)3＜0． 【分析】 如果多项式f(x)可分解为n 个一次式的积，则一元高次不等式f(x)＞0(或f(x)＜0)可用“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情况． 解：(1)原不等式可化为 x(2x+5)(x-3)＞0 顺轴．然后从右上开始画曲线顺次经过三个根，其解集如图(5－1)的阴影部分． (2)原不等式等价于 (x+4)(x+5)2(x-2)3＞0 ∴原不等式解集为｛x|x ＜-5或-5＜x ＜-4或x ＞2｝． 【说明】 用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．x ．的系．．数必为正；②对于偶次或奇次重根可参照．．．．．．．．．．．．．．．．．．(2)．．．的解法转化为不含重根．．．．．．．．．．的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意．．．．．．．．．．．．．．．．．．．“奇穿偶不穿”．．．．．．．．其法如．．．．图．(5．．－．2)．． ．．
高次不等式的解法
高次不等式的解法---穿根法 一．方法:先因式分解,再使用穿根法. 注意:因式分解后,整理成每个因式中未知数的系数为正. 使用方法: ①在数轴上标出化简后各因式的根,使等号成立的根,标为实点,等号不成立的根要标虚点. ②自右向左自上而下穿线,遇偶次重根不穿透,遇奇次重根要穿透(叫奇穿偶不穿). ③数轴上方曲线对应区域使“>”成立, 下方曲线对应区域使“<”成立. 例1:解不等式 (1) (x+4)(x+5)2(2-x)3<0 (2) x 2-4x+1 3x 2-7x+2 ≤1 解: (1) 原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)3>0 根据穿根法如图 不等式解集为{x ∣x>2或x<-4 (2) 变形为 (2x-1)(x-1) ≥0 根据穿根法如图
不等式解集为 {x x<1 3 或 1 2 ≤x≤1或x>2}. 【例2】解不等式：(1)2x3-x2-15x＞0；(2)(x+4)(x+5)2(2-x)3＜0． 【分析】如果多项式f(x)可分解为n个一次式的积，则一元高次不等式f(x)＞0(或f(x)＜0)可用“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情况． 解：(1)原不等式可化为 x(2x+5)(x-3)＞0 顺轴．然后从右上开始画曲线顺次经过三个根，其解集如图(5－1)的阴影部分． (2)原不等式等价于 (x+4)(x+5)2(x-2)3＞0 ∴原不等式解集为｛x|x＜-5或-5＜x＜-4或x＞2｝． 【说明】用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．x．的系 ．． 数必为正；②对于偶次或奇次重根可参照．．．．．．．．．．．．．．．．．．(2) ．．．的解法转化为不含重根 ．．．．．．．．．． 的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意．．．．．．．．．．．．．．．．．．．“奇穿偶不穿” ．．．．．．．．其法如 ．．．．图．(5．．－．2)．．．．
细说“穿针引线法”
★032 细 说 穿 针 引 线 法 江西省乐安县第一中学 黄绍荣 344300 “穿针引线法”，又称“数轴标根法”，准确的说，应该叫做“序轴标根法”。序轴：省去原点和单位，只表示数的大小的数轴。序轴上标出的两点中，左边的点表示的数比右边的点表示的数小。适用于分析可分解的多项式函数、可分解的分式函数的符号情况，进而用于解相应高次不等式，研究相应函数的单调性。 如果一个n 次多项式函数1110()n n n n f x a x a x a x a --=?+?++?+ 可分解为: ()()()()1212()i k r r r r n i k f x a x x x x x x x x =?-?-?-?- 其中1212, ,()0i k k i x x x r r r n x f x r <<<+++== 叫作的重根，n a 是最高次数项系 数，可正也可负，以后每个因子内x 的系数均化为“1”——这一点很重要。 做好如上工作后，那么，我们可以用“穿针引线法”来分析其符号情况。 第1步，标根：在数轴上从左到右依次标出12k x x x ，，， （在标的时候注意区别“空心”与“实心”） 第2步，确定入口：最高次数项系数0n a >时，从数轴的右上． 方入， 0n a <时，从数轴的右下． 方入； 第3步，确定出口：接第2步，用自由曲线自右向左依次连向各根所在点，注意“奇重根穿 过去，偶重根弹出来”。 第4步：读图：数轴上方线条所覆盖的x 范围表示()0f x >，数轴下方线条所覆盖的x 范围表示()0f x <，每个根处()0f x = 实例1:求下列不等式的解集 2(1)3(3)(1)(2)0x x x +--≥ 解:见右图1,得解集为(,3]{1}[2,)-∞-??+∞ 注意：这时所有零点是“实心”的 2(2)(3)(1)(2)0x x x -+--≥ 解: 见右图2，得解集为[3,2]- 注意：这时所有零点是“实心”的. 2(3)(3)(1)(2)0x x x +--< 解: 见右图3，得解集为(3,1)(1,2)-? 注意：这时所有零点是“空心”的. 2 (3)(1) (4) 0(2)x x x +-≥- 解: 见右图4，得解集为(,3][1,2)(2,)-∞-??+∞ 这一点很重要，尤其是在分析 导函数符号情况时用得上。
元高次不等式的解法
元高次不等式的解法 The manuscript was revised on the evening of 2021
一元高次不等式的解法 步骤：正化，求根，标轴，穿线（奇过偶不过），定解 穿根法（零点分段法）（高次不等式：数轴穿根法: 奇穿，偶不穿）解题方法：数轴标根法。 解题步骤： （1）首项系数化为“正” （2）移项通分，不等号右侧化为“0” （3）因式分解，化为几个一次因式积的形式 （4）数轴标根。 求解不等式：)0)(0(0022110><>++++--a a x a x a x a n n n n 解法：①将不等式化为0123()()()()0n a x x x x x x x x ---->形式，并将各因式中的x 系数化“+”(为了统一方便) ②求根，并将根按从小到大的在数轴上从左到右的表示出来； ③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点。（即从右向左、从上往下：看x 的次数：偶次根穿而不过，奇次根一穿而过）。注意：奇穿偶不穿。 ④若不等式（x 系数化“+”后）是“0>”,则找“线”在x 轴上方的区间；若不等式是“0<”,则找“线”在x 轴下方的区间： 注意：“≤或≥”标根时，分子实心，分母空心。 例1： 求不等式223680x x x --+>的解集。 解：将原不等式因式分解为：(2)(1)(4)0x x x +--> 由方程：(2)(1)(4)0x x x +--=解得1232,1,4x x x =-==，将这三个根按从小到大顺序在数轴上标出来，如图 由图可看出不等式223680x x x --+>的解集为：{}|21,4x x x -<<>或 （1）()()()()00,f x f x g x g x >??> ()() ()()(2)00;f x f x g x g x
数轴穿根法
1“数轴穿根法”又称“数轴标根法” 第一步：通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0。（注意：保证X最高次项系数为正）例如：将x^3-2x^2-x+2>0化为(x-2)(x-1)(x+1)>0 第二步：将不等号换成等号解出所有根。例如：(x-2)(x-1)(x+1)=0的根为：x1=2，x2=1，x3=-1 第三步：在数轴上从左到右依次标出各根。例如：-1 1 2 第四步：画穿根线：以数轴为标准，从“最右根”的右上方穿过根，往左下画线，然后又穿过“次右根“上去，一上一下依次穿过各根。 第五步：观察不等号，如果不等号为“>”，则取数轴上方，穿跟线以内的范围；如果不等号为“<”则取数轴下方，穿跟线以内的范围。例如：若求(x-2)(x-1)(x+1)>0的根。在数轴上标根得：-1 1 2 画穿根线：由右上方开始穿根。因为不等号威“>”则取数轴上方，穿跟线以内的范围。即：-12。 编辑本段穿根法的奇过偶不过定律： 就是当不等式中含有有单独的x偶幂项时，如(x^2)或(x^4)时，穿根线是不穿过0点的。但是对于X奇数幂项，就要穿过0点了。还有一种情况就是例如：（X-1)^2.当不等式里出现这种部分时，线是不穿过1点的。但是对于如（X-1)^3的式子，穿根线要过1点。也是奇过偶不过。可以简单记为“奇穿过，偶弹回”。 编辑本段还有关于分式的问题： 当不等式移项后，可能是分式，同样是可以用穿根法的，直接把分号下面的乘上来，变成乘法式子。继续用穿根法，但是注意，解不能让原来分式下面的式子等于0 数轴的作用（观察通道）规定了原点，正方向，单位长度的直线，叫做数轴。在某一事物上通过某一维度的评估，可以将事物分成很多不同的层次加以认识。这样，能够更加准确，详
穿根法解不等式的原理
穿根法解不等式的原理、步骤和应用范例 摘要：本文通过阐述穿根法解不等式的原理、步骤和应用范例，尝试对其进行系统性的论述。在原理层面，提出该方法中不等式的标准形式为f(x)=(x-x1)(x-x2)……(x-x n)∨0，规范了序轴的概念，先后由一元一次、二次到高次不等式，动态考察了f(x)的符号变化规律，并介绍如何使用穿根法表达此规律；在步骤层面，对解高次不等式、分式不等式和含等号不等式的操作步骤进行了分类详述；然后通过6个应用范例，进一步展现了穿根法解不等式的具体操作细节和若干注意事项。论文最后概括说明了穿根法的特征和实用意义。 关键词：穿根法；解不等式；原理；步骤；应用 穿根法，又称序轴标根法，是解一元整式、分式不等式的重要通用方法，特别在解简单高次不等式时，一直居于主流地位。然而，该方法目前尚未进入中学正式教材，在很多资料中，对此法也往往是只提应用，而对其来龙去脉，叙述不清，建构模糊。现结合中学一线教学经验，通过阐述其原理、步骤和应用范例，尝试对其进行系统性的论述。
一、原理 穿根法解不等式时，一般先将其化为形如： f(x)=(x-x1)(x-x2)…(x-x n)>0 （或<0） 的标准形式，主要考察f(x)的符号规律。 在穿根法中我们引入序轴的概念。序轴是一条有向直线，类似于数轴，但上面不必标出原点，也不必考虑长度单位，只要求在其上标数时，按由左至右，从小到大的顺序即可。 （一）一次不等式 标准形式：f(x)=x-x1>0 （或<0） 我们将x-x1=0的根x1标在序轴上，可以发现：x1右边的点都是 大于x1的点，即是x-x1>0的解；而x1左边 的点都是小于x1的点，即是x-x1<0的解。 所以可以如图标注，图中+、- 用以表示 f(x)=x-x1的符号。 我们还可以以动态的思想来考察该问题。当一点x=a 从x1右侧向x1左侧移动时，f(x)=x-x1经历了由正到0又到负的符号变换。由此也可得出f(x)的符号可以如图标注的结论。 （二）二次不等式 标准形式：f(x)=(x-x1)(x-x2) >0 （或<0） (1) x1≠x2时，不妨设x1专题8-数轴穿根法
专题：数轴穿根法 “数轴穿根法”又称“数轴标根法” 第一步：通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0。（注意：一定要保证x 前的系数为正数） 例如： (x-2)(x-1)(x+1)>0 第二步：将不等号换成等号解出所有根。 例如：(x-2)(x-1)(x+1)=0的根为：x 1=2，x 2=1，x 3=-1 第三步：在数轴上从左到右依次标出各根。 例如：-1 1 2 第三步：画穿根线：以数轴为标准，从“最右根”的右上方穿过根，往左下画线，然后又穿过“次右跟”上去，一上一下依次穿过各根。 第四步：观察不等号，如果不等号为“>”，则取数轴上方，穿根线以内的范围；如果不等号为“<”则取数轴下方，穿根线以内的范围。 例如： 若求(x-2)(x-1)(x+1)>0的解。 因为不等号威“>”则取数轴上方，穿根线以内的范围。即：-12。 穿根法的奇过偶不过定律： “奇穿过，偶弹回”。 还有关于分式的问题：当不等式移项后，可能是分式，同样是可以用穿根法的，但是注意，解不能让原来分式下面的式子等于0 专项训练： 1、解不等式0)3)(1)(12(>--+x x x 解析：1）一边是因式乘积、另一边是零的形式，其中各因式未知数的系数为正。 2）因式)12(+x 、)1(-x 、)3(-x 的根分别是 1 - 、1、3。在数轴上把它们标出（如图1）。 3）从最大根3的右上方开始，向左依次 穿线（数轴上方有线表示数轴上方有函数 图象，数轴下方有线表示数轴下方有函数图象，此线并不表示函数的真实图象）。 4）数轴上方曲线对应的x 的取值区间，为0)3)(1)(12(>--+x x x 的解集，数轴下方曲线对应的x 的取值区间，为0)3)(1)(12(<--+x x x 的解集。 ∴不等式0)3)(1)(12(>--+x x x 的解集为),3()1,2 1 (+∞- 。 在上述解题过程中，学生存在的疑问往往有：为什么各因式中未知数的系数为正；为什
数轴标根法又称数轴穿根法或穿针引线法
“数轴标根法”又称“数轴穿根法”或“穿针引线法” 是高次不等式的简单解法 当高次不等式f（x）>0（或<0）的左边整式、分式不等式φ（x）/h（x）>0（或<0）的左边分子、分母能分解成若干个一次因式的积（x－a1）（x－a2）…（x －an）的形式，可把各因式的根标在数轴上，形成若干个区间，最右端的区间f （x）、φ（x）/h（x）的值必为正值，从右往左通常为正值、负值依次相间，这种解不等式的方法称为序轴标根法。 为了形象地体现正负值的变化规律，可以画一条浪线从右上方依次穿过每一根所对应的点，穿过最后一个点后就不再变方向，这种画法俗称“穿针引线法”，如图1（图片自上而下依次为图一，二，三，四）。 步骤 第一步：通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0。（注意：一定要保证x前的系数为正数） 例如：将x^3-2x^2-x+2>0化为(x-2)(x-1)(x+1)>0 第二步：将不等号换成等号解出所有根。 例如：(x-2)(x-1)(x+1)=0的根为：x1=2，x2=1，x3=-1 第三步：在数轴上从左到右依次标出各根。 例如：-1 1 2 第四步：画穿根线：以数轴为标准，从“最右根”的右上方穿过根，往左下画线，然后又穿过“次右根”上去，一上一下依次穿过各根。 第五步：观察不等号，如果不等号为“>”，则取数轴上方，穿根线以内的范围；如果不等号为“<”则取数轴下方，穿根线以内的范围。x的次数若为偶数则不穿过，即奇过偶不过。 例如： 若求(x-2)(x-1)(x+1)>0的根。
在数轴上标根得：-1 1 2 画穿根线：由右上方开始穿根。 因为不等号为“>”则取数轴上方，穿跟线以内的范围。即：-12。（如图四） 奇过偶不过 就是当不等式中含有有单独的x偶幂项时，如(x^2)或(x^4)时，穿根线是不穿过 （X-1)^2. 0点的。但是对于X奇数幂项，就要穿过0点了。还有一种情况就是例如： 当不等式里出现这种部分时，线是不穿过1点的。但是对于如（X-1)^3的式子，穿根线要过1点。也是奇过偶不过。可以简单记为“奇穿过，偶弹回”。（如图三，为（X-1)^2） 注意事项 运用序轴标根法解不等式时，常犯以下的错误： 出现形如（a－x）的一次因式时，匆忙地“穿针引线”。 例1 解不等式x（3－x）（x+1）（x－2）>0。 解 x（3－x）（x+1）（x－2）>0，将各根－1、0、2、3依次标在数轴上，由图1可得原不等式的解集为{x|x<－1或03}。 事实上，只有将因式（a－x）变为（x－a）的形式后才能用序轴标根法，正确的解法是： 解原不等式变形为x（x－3）（x+1）（x－2）<0，将各根－1、0、2、3依次标在数轴上，，原不等式的解集为{x|－1穿根法解不等式及习题
穿根法解不等式 穿根法，又称序轴标根法，是解一元整式、分式不等式的重要通用方法，特别在解简单高次不等式时，一直居于主流地位。然而，该方法目前尚未进入中学正式教材，在很多资料中，对此法也往往是只提应用，而对其来龙去脉，叙述不清，建构模糊。现结合中学一线教学经验，通过阐述其原理、步骤和应用范例，尝试对其进行系统性的论述。 一、原理 穿根法解不等式时，一般先将其化为形如： f(x)=(x-x1)(x-x2)…(x-x n)>0 （或<0） 的标准形式，主要考察f(x)的符号规律。 在穿根法中我们引入序轴的概念。序轴是一条有向直线，类似于数轴，但上面不必标出原点，也不必考虑长度单位，只要求在其上标数时，按由左至右，从小到大的顺序即可。 （一）一次不等式 标准形式：f(x)=x-x1>0 （或<0） 我们将x-x1=0的根x1标在序轴上，可以发现：x1右边的点都是大于x1的点，即是x-x1>0的解；而x1左边 的点都是小于x1的点，即是x-x1<0的解。 所以可以如图标注，图中+、- 用以表示
f(x)=x-x1的符号。 我们还可以以动态的思想来考察该问题。当一点x=a 从x1右侧向x1左侧移动时，f(x)=x-x1经历了由正到0又到负的符号变换。由此也可得出f(x)的符号可以如图标注的结论。 （二）二次不等式 标准形式：f(x)=(x-x1)(x-x2) >0 （或<0） (1) x1≠x2时，不妨设x10，处于(x1,x2)内的 点满足f(x) <0。 当我们动态考察该问题时，我们也可 以发现：当点x=a在x2右方时，x-x1、x-x2均正，故有f(x) >0；而当点x=a从x2右侧移动到左侧时，x-x2变为负值，而x-x1符号不变，所以有f(x)必然变号，此时由正变负；而再当点x=a从x1右侧移动到左侧时，x-x1由正变负，而x-x2符号不变，所以f(x)又一次变号，此时由负变正。 总之，无论从哪个方面看，f(x)的符号都可以如图标注。 (2) x1=x2时，即形如f(x)=(x-x1)2时 显然，(-∞,x1)与( x1 ,+∞)都是f(x) >0的解。 而若动态的考察此问题，则有 点x=a 从x1右侧移动向左侧移动时， 由于平方项内的x-x1由正到0又到负，所以f(x)经历了由正到0又回
数轴标根法及习题
数轴标根法及习题 Revised by Jack on December 14,2020
数轴穿根法 一、概念简介 1.“数轴标根法”又称“数轴穿根法”或“穿针引线法” 2.准确的说，应该叫做“序轴标根法”。序轴：省去原点和单位，只表示 数的大小的数轴。序轴上标出的两点中，左边的点表示的数比右边的点表示的数小。 3.是高次不等式的简单解法 4.为了形象地体现正负值的变化规律，可以画一条浪线从右上方依次穿过每一根所对应的点，穿过最后一个点后就不再变方向，这种画法俗称“穿针引线法” 二、方法步骤 第一步：通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0。（注意：一定要保证x前的系数为正数） 例如：将x^3-2x^2-x+2>0化为(x-2)(x-1)(x+1)>0 第二步：将不等号换成等号解出所有根。 例如：(x-2)(x-1)(x+1)=0的根为：x1=2，x2=1，x3=-1 第三步：在数轴上从左到右依次标出各根。 例如：-1 1 2 第四步：画穿根线：以数轴为标准，从“最右根”的右上方穿过根，往左下画线，然后又穿过“次右根”上去，一上一下依次穿过各根。
第五步：观察不等号，如果不等号为“>”，则取数轴上方，穿根线以内的范围；如果不等号为“<”则取数轴下方，穿根线以内的范围。x的次数若为偶数则不穿过，即奇过偶不过。 例如：若求(x-2)(x-1)(x+1)>0的根。 在数轴上标根得：-1 1 2 画穿根线：由右上方开始穿根。 因为不等号为“>”则取数轴上方，穿跟线以内的范围。即：-12。（如下图所示） 三、奇过偶不过 就是当不等式中含有单独的x偶数幂项时，如(x^2)或(x^4)时，穿根线是不穿过0点的。但是对于X奇数幂项，就要穿过0点了。还有一种情况就是例如：（X-1)^2.当不等式里出现这种部分时，线是不穿过1点的。但是对于如（X-1)^3的式子，穿根线要过1点。也是奇过偶不过。可以简单记为“奇穿过，偶弹回”，一称“奇穿偶切”。（如图三，为（X-1)^2）四、注意事项 运用序轴标根法解不等式时，常犯以下的错误： 1．出现形如（a－x）的一次因式时，匆忙地“穿针引线”。 例1解不等式x（3－x）（x+1）（x－2）>0。 解 x（3－x）（x+1）（x－2）>0，将各根－1、0、2、3依次标在数轴上，由图1可得原不等式的解集为{x|x<－1或03}。 事实上，只有将因式（a－x）变为（x－a）的形式后才能用序轴标根法，正确的解法是：
用穿根法解不等式(经典归纳)
一元高次不等式的解法 这里主要介绍“数轴标根法”解高次不等式，简单快捷.“数轴标根法”又称“数轴穿根法”、“穿针引线法”或“序轴标根法”. 一、解题步骤 求不等式32638x x x -+<-+的解集 1. 化简：移项使右侧为0，将x 最高次项系数化为正数，再将左侧分解为几个一次因式积的形式. 将32638x x x -+<-+化为323680(2)(1)(4)0x x x x x x --+>?+--> 2. 求根：将不等式换成等式解出所有根. (2)(1)(4)0x x x +--=的根为12x =-，21x =，34x = 3. 标根：在数轴上从左到右依次标出各根. -2 1 4 4. 穿根：以数轴为标准，从“最右根”的右上方穿过根，往左下画线，然后又穿过“次右根”上去，一上一下依次穿过各根. 5. 写解：大于号取上方，小于号取下方，取穿根线以内的范围，将各解集求并. 不等式32638x x x -+<-+的解集为：{}|21,4x x x -<<>或 二、易错提示 求解不等式：)0)(0(0022110><>++++--a a x a x a x a n n n n 1. 分解因式：将不等式化为0123()()()()0n a x x x x x x x x ---->L 形式. 2. 正化系数：将各因式中的x 系数化为正数. 3. 奇穿偶不穿：从右上方往左下方穿线，依次经过数轴上表示各根的点，看各一次因式的次数，偶次根穿而不过，奇次根一穿而过，简称“奇穿偶不穿”. 4. 解分式不等式：可化为一元高次不等式进行求解，如遇“≤或≥”，在标根时，分子实心，分母空心. 三、分式不等式解法
专题数轴穿根法
专题：数轴穿根法 “数轴穿根法”又称“数轴标根法” 第一步：通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0。（注意：一定要保证x前的系数为正数） 例如： (x-2)(x-1)(x+1)>0 第二步：将不等号换成等号解出所有根。 例如：(x-2)(x-1)(x+1)=0的根为：x 1=2，x 2 =1，x 3 =-1 第三步：在数轴上从左到右依次标出各根。 例如：-1 1 2 第三步：画穿根线：以数轴为标准，从“最右根”的右上方穿过根，往左下画线，然后又穿过“次右跟”上去，一上一下依次穿过各根。 第四步：观察不等号，如果不等号为“>”，则取数轴上方，穿根线以内的范围；如果不等号为“<”则取数轴下方，穿根线以内的范围。 例如： 若求(x-2)(x-1)(x+1)>0的解。 因为不等号威“>”则取数轴上方，穿根线以内的范围。即：-12。 穿根法的奇过偶不过定律：“奇穿过，偶弹回”。 还有关于分式的问题：当不等式移项后，可能是分式，同样是可以用穿根法的，但是注意，解不能让原来分式下面的式子等于0 专项训练：
1、解不等式0)3)(1)(12(>--+x x x 解析：1）一边是因式乘积、另一边是零的形式，其中各因式未知数的系数为正。 2）因式)12(+x 、)1(-x 、)3(-x 的根分别是 1-、1、3。在数轴 3）从最大根3的右上方开始，向左依次 穿线（数轴上方有线表示数轴上方有函数 图象，数轴下方有线表示数轴下方有函数图象，此线并不表示函数的真实图象）。 4）数轴上方曲线对应的x 的取值区间，为0)3)(1)(12(>--+x x x 的解集，数轴下方曲线对应的x 的取值区间，为 0)3)(1)(12(<--+x x x 的解集。 ∴不等式0)3)(1)(12(>--+x x x 的解集为),3()1,2 1(+∞- 。 在上述解题过程中，学生存在的疑问往往有：为什么各因式中未知数的系数为正；为什么从最大根的右上方开始穿线；为什么数轴上方曲线对应的x 的集合是大于零不等式的解集，数轴下方曲线对应x 的集合是小于零不等式的解集。 2、解不等式0)3()12 1)(2(32<--+x x x 解析：1）一边是因式乘积、另一边是零的形式，其中各因式未知数的系数为正。 2）因式)2(+x 、2)121(-x 、3)3(-x 的根分别为2-、2、3，在数轴上把它们标出（如图2）。
讲义—一元高次不等式的解法
一元高次不等式的解法 一、可解的一元高次不等式的标准形式 12()() ()0(0)n x x x x x x --->< （1）左边是关于x 的一次因式的积； （2）右边是0； （3）各因式最高次项系数为正。 二、一元高次不等式的解法 数轴标根法： 1、将高次不等式变形为标准形式； 2、求根12,, ,n x x x ，画数轴，标出根； 3、从数轴右上角开始穿根，穿根时的原则是“奇穿偶回” 4、写出所求的解集。 三、典型例题 例1、0)3)(2)(1(<---x x x 解：方程0)3)(2)(1(=---x x x 为1，2，3 标根穿根 3 2 1 解集为(,1)(2,3)-∞ 例2、2 (1)(2)(1)0x x x x --+≥ 解：方程2(1)(2)(1)0x x x x --+=的根为0，1，2，—3 标根穿根 2 -1 1 解集为[1,0]{1} (2,)-+∞ 注意： 1、奇穿偶回。 2、得解集不要忘了1.
例3、(1)(2)(3)0x x x -+-> 例4、2 (2)(3)(21)0x x x x -+--≥ 例5、2(1)(2)(45)0x x x x ---+≥ 注意：∵ 2 2 45(2)10x x x -+=-+> ∴原不等式变形为标准形式(1)(2)0x x --≥ 例6、3 22210x x x --+≤ 【练习】 1、2(1)(3)(68)0x x x x +--+≥ 2、22 (328)(12)0x x x x +-+-≤ 3、22 (23)(67)0x x x x ----≥ 4、22 (45)(1)0x x x x --++≤ 5、23(2)(3)(6)(8)0x x x x -+-+≥ 6、4 3 220x x x +--> 7、3 2 330x x x +--> 将二次三项式尽量因式分解为一次式 二次三项式不能因式分解且二次项系数为正，则此式一定为正数 不等式左边尽量因式分解为一次式 将一次项系数化为正数。
数学方法穿根法
穿根法 “数轴穿根法”又称“数轴标根法” 第一步：通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0，并分解因式。（注意：一定要保证x前的系数为正数） 例如：将x^3-2x^2-x+2>0化为(x-2)(x-1)(x+1)>0 第二步：将不等号换成等号解出所有根。 例如：(x-2)(x-1)(x+1)=0的根为：x1=2，x2=1，x3=-1 第三步：在数轴上从左到右依次标出各根。 例如：-1 1 2 第三步：画穿根线：以数轴为标准，从“最右根”的右上方穿过根，往左下画线，然后又穿过“次右根”上去，一上一下依次穿过各根。 第四步：观察不等号，如果不等号为“>”，则取数轴上方，穿根线以内的范围；如果不等号为“<”则取数轴下方，穿根线以内的范围。 例如： 若求(x-2)(x-1)(x+1)>0的根。 在数轴上标根得：-1 1 2 画穿根线：由右上方开始穿根。 因为不等号威“>”则取数轴上方，穿根线以内的范围。即：-12。 穿根前应注意，每项X系数均为正，否则应先则提取负号，改变相应不等号方向，再穿根。例如(2-x)(x-1)(x+1)<0，要先化为 (x-2)(x-1)(x+1)>0，再穿根。 穿根法的奇过偶不过定律：就是当不等式中含有有单独的x偶幂项时，如(x^2)或(x^4)时，穿根线是不穿过0点的。但是对于X奇数幂项，就要穿过0点了。还有一种情况就是例如：（X-1)^2.当不等式里出现这种部分时，线是不穿过1点的。但是对于如（X-1)^3的式子，穿根线要过1点。也是奇过偶不过。可以简单记为“奇穿过，偶弹回”或“自上而下，从右到左，奇次跟一穿而过，偶次跟一穿不过”（口诀秘籍嘿嘿）。 还有关于分号的问题：当不等式移项后，可能是分式，同样是可以用穿根法的，直接把分号下面的乘上来，变成乘法式子。继续用穿根法，但是注意，解不能让原来分式下面的式子等于0 典型事例： 第一步：通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0，并分解因式。（注意：一定要保证x前的系数为正数） 例如：将x^3-2x^2-x+2>0化为(x-2)(x-1)(x+1)>0 第二步：将不等号换成等号解出所有根。
穿根法解不等式的原理
创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者：凤呜大王* 穿根法解不等式的原理、步骤和应用范例 摘要：本文通过阐述穿根法解不等式的原理、步骤和应用范例，尝试对其进行系统性的论述。在原理层面，提出该方法中不等式的标准形式为f(x)=(x-x1)(x-x2)……(x-x n)∨0，规范了序轴的概念，先后由一元一次、二次到高次不等式，动态考察了f(x)的符号变化规律，并介绍如何使用穿根法表达此规律；在步骤层面，对解高次不等式、分式不等式和含等号不等式的操作步骤进行了分类详述；然后通过6个应用范例，进一步展现了穿根法解不等式的具体操作细节和若干注意事项。论文最后概括说明了穿根法的特征和实用意义。 关键词：穿根法；解不等式；原理；步骤；应用 穿根法，又称序轴标根法，是解一元整式、分式不等式的重要通用方法，特别在解简单高次不等式时，一直居于主流地位。
然而，该方法目前尚未进入中学正式教材，在很多资料中，对此法也往往是只提应用，而对其来龙去脉，叙述不清，建构模糊。现结合中学一线教学经验，通过阐述其原理、步骤和应用范例，尝试对其进行系统性的论述。 一、原理 穿根法解不等式时，一般先将其化为形如： f(x)=(x-x1)(x-x2)…(x-x n)>0 （或<0） 的标准形式，主要考察f(x)的符号规律。 在穿根法中我们引入序轴的概念。序轴是一条有向直线，类似于数轴，但上面不必标出原点，也不必考虑长度单位，只要求在其上标数时，按由左至右，从小到大的顺序即可。 （一）一次不等式 标准形式：f(x)=x-x1>0 （或<0） 我们将x-x1=0的根x1标在序轴上，可以发现：x1右边的点都是大于x1的点，即是x-x1>0的解；而x1 左边的点都是小于x1的点，即是x-x1<0的 解。所以可以如图标注，图中+、- 用以表 示f(x)=x-x1的符号。 我们还可以以动态的思想来考察该问题。当一点x=a 从x1右侧向x1左侧移动时，f(x)=x-x1经历了由正到0又到负的符号变
不等式穿针引线法
穿针引线法 释义：“数轴标根法”又称“数轴穿根法”或“穿针引线法”。 准确的说，应该叫做“序轴标根法”。序轴：省去原点和单位，只表示数的大小的数轴。序轴上标出的两点中，左边的点表示的数比右边的点表示的数小。 当高次不等式f（x）>0（或<0）的左边整式、分式不等式φ（x）/h（x）>0（或<0）的左边分子、分母能分解成若干个一次因式的积（x－a1）（x－a2）…（x－an）的形式，可把各因式的根标在数轴上，形成若干个区间，最右端的区间f（x）、φ（x）/h（x）的值必为正值，从右往左通常为正值、负值依次相间，这种解不等式的方法称为序轴标根法。 为了形象地体现正负值的变化规律，可以画一条浪线从右上方依次穿过每一根所对应的点，穿过最后一个点后就不再变方向，这种画法俗称“穿针引线法“。使用步骤： 第一步：通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0。（注意：一定要保证x前的系数为正数） 例如：将x^3-2x^2-x+2>0化为(x-2)(x-1)(x+1)>0 第二步：换号。将不等号换成等号解出所有根。 例如：(x-2)(x-1)(x+1)=0的根为：x1=2，x2=1，x3=-1 第三步：标根。在数轴上从左到右依次标出各根。 例如：-1 1 2 第四步：画穿根线：以数轴为标准，从“最右根”的右上方穿过根，往左下画线，然后又穿过“次右根”上去，一上一下依次穿过各根。 第五步：观察不等号，如果不等号为“>”，则取数轴上方，穿根线以内的范围；如果不等号为“<”，则取数轴下方，穿根线以内的范围。 例如：若求(x-2)(x-1)(x+1)>0的根。 在数轴上标根得：-1 1 2 画穿根线：由右上方开始穿根。 因为不等号为“>”则取数轴上方，穿根线以内的范围。即：-12 注意：一、重根时，奇穿偶不穿 出现重根时，机械地“穿针引线” 例2 解不等式（x+1）（x－1）^2（x－4）^3<0 解将三个根－1、1、4标在数轴上， 原不等式的解集为{x|x<－1或1穿根法解不等式的原理、步骤和应用范例
穿根法解不等式的原理、步骤和应用范例 江苏沛县孙统权 （本文发表于东北师范大学《数学学习与研究》2007年第2期） 摘要：本文通过阐述穿根法解不等式的原理、步骤和应用范例，尝试对其进行系统性的论述。在原理层面，提出该方法中不等式的标准形式为f(x)=(x-x1)(x-x2)……(x-xn)∨0，规范了序轴的概念，先后由一元一次、二次到高次不等式，动态考察了f(x)的符号变化规律，并介绍如何使用穿根法表达此规律；在步骤层面，对解高次不等式、分式不等式和含等号不等式的操作步骤进行了分类详述；然后通过6个应用范例，进一步展现了穿根法解不等式的具体操作细节和若干注意事项。论文最后概括说明了穿根法的特征和实用意义。 关键词：穿根法；解不等式；原理；步骤；应用 穿根法，又称序轴标根法，是解一元整式、分式不等式的重要通用方法，特别在解简单高次不等式时，一直居于主流地位。然而，该方法目前尚未进入中学正式教材，在很多资料中，对此法也往往是只提应用，而对其来龙去脉，叙述不清，建构模糊。现结合中学一线教学经验，通过阐述其原理、步骤和应用范例，尝试对其进行系统性的论述。 原理 穿根法解不等式时，一般先将其化为形如： f(x)=(x-x1)(x-x2)…(x-xn)>0 （或<0） 的标准形式，主要考察f(x)的符号规律。 在穿根法中我们引入序轴的概念。序轴是一条有向直线，类似于数轴，但上面不必标出原点，也不必考虑长度单位，只要求在其上标数时，按由左至右，从小到大的顺序即可。 一次不等式 标准形式：f(x)=x-x1>0 （或<0） 我们将x-x1=0的根x1标在序轴上，可以发现：x1右边的点都是大于x1的点，即是x-x1>0的解；而x1左边的点都是小于x1的点，即是x-x1<0的解。所以可以如图标注，图中+、- 用以表示f(x)=x-x1的符号。
