2018年全国各省市中考数学几何压轴题

海璧：2018全国中考几何压轴题

【2018安徽】图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为边AC上一点，DE⊥AB于点E，点M为BD中点，CM 的延长线交AB于点F.

（1）求证：CM=EM

（2）若∠BAC=50°，求∠EMF的大小

（3）如图2，若△DAE≌△CEM，点N为CM的中点，求证：AN∥EM

【2018福建】如图1，四边形ABCD内接于⊙O，AC为直径，DE⊥AB交AB于点E，交⊙O于点F．

(1)延长DC、FB相交于点P，求证：PB=PC

(2) 如图2，过点B作BG⊥AD于点G，交DE于H．若AB=3，DH=1，∠OHD=80°，求∠EDB 的度数．

【2018兰州】如图AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为BA延长线上一点，∠ACD=∠B. （1）求证：DC为⊙O的切线

（2）线段DF分别交AC、BC于点E、F且∠CEF=45°，⊙O的半径为5，sinB=3

5

,求CF的长.

【2018定西】点O是△ABC的边AB上一点，⊙O与边AC相切于点E，与边BC，AB分别相交于点D，F，且DE=EF．

（1）求证：∠C=90°

（2）当BC=3，sinA=时，求AF的长．

【2018广州】在四边形ABCD中，∠B=60°，∠D=30°，AB=BC．

（2）连接BD，探究AD，BD，CD三者之间的数量关系，并说明理由；

（3）若AB=1，点E在四边形ABCD内部运动，且满足AE2=BE2+CE2，求点E运动路径的长度．

【2018深圳】如图9，⊙O是ABC

=,2

BC=，cos ABC

?的外接圆，AB AC

∠=。点D为AC上的动点，连接AD并延长，交BC的延长线于点E.

（1）试求AB的长

（2）试判断AD AE的值是否为定值？若为定值，请求出这个定值，若不为定值，请说明理由（3）如图10，连接BD，过点A作AH⊥BD于点H，连接CD，求证：BH CD DH

=+

【2018贵阳】如图，在矩形ABCD中，AB═2，AD=，P是BC边上的一点，且BP=2CP．

（2）如图②，在（1）的条体下，判断EB是否平分∠AEC，并说明理由

（3）如图③，在（2）的条件下，连接EP并廷长交AB的廷长线于点F，连接AP，不添加辅助线，△PFB能否由都经过P点的两次变换与△PAE组成一个等腰三角形？如果能，说明理由，并写出两种方法（指出对称轴、旋转中心、旋转方向和平移距离）

【2018安顺】在△ABC中，AB=AC，O为BC的中点，AC与半圆O相切于点D．

（1）求证：AB是半圆O所在圆的切线

（2）若cos∠ABC=，AB=12，求半圆O所在圆的半径

【2018铜仁】在三角形ABC中，AB=6，AC=BC=5，以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，直线

DF是⊙O的切线，D为切点，交CB的延长线于点E．

（1）求证：DF⊥AC

（2）求tan∠E的值

【2018遵义】AB是半圆O的直径，C是AB延长线上的点，AC的垂直平分线交半圆于点D，交AC于点E，连接DA，DC．已知半圆O的半径为3，BC=2．

（1）求AD的长

（2）点P是线段AC上一动点，连接DP，作∠DPF=∠DAC，PF交线段CD于点F．当△DPF为等腰三角形时，求AP的长

【2018海南】已知，如图1，在?ABCD 中，点E 是AB 中点，连接DE 并延长，交CB 的延长线于点F ． （1）求证：△ADE ≌△BFE

（2）如图2，点G 是边BC 上任意一点（点G 不与点B 、C 重合），连接AG 交DF 于点H ，连接HC ，过点A 作AK ∥HC ，交DF 于点K ①求证：HC=2AK

②当点G 是边BC 中点时，恰有HD=n ?HK （n 为正整数），求n 的值

【2018河北】如图15，点A 在数轴上对应的数为26，以原点O 为圆心，OA 为半径作优弧AB ，使点B 在O 右下方，且3

4tan =∠AOB ，在优弧AB 上任取一点P ，且能过P 作直线l ∥OB 交数轴于点Q ，设Q 在数轴上对应的数

为x ，连接OP

(1)若优弧AB 上一段AP

⌒ 的长为π13，求∠AOP 的度数及x 的值 (2)求x 的最小值，并指出此时直线l 与AB 所在圆的位置关系 (3)若线段PQ 的长为12.5，直接写出这时x 的值

【2018大庆】AB 是⊙O 的直径，点E 为线段OB 上一点（不与O ，B 重合），作EC ⊥OB ，交⊙O 于点C ，作直径CD ，过点C 的切线交DB 的延长线于点P ，作AF ⊥PC 于点F ，连接CB ． （1）求证：AC 平分∠FAB （2）求证：BC 2=CE ?CP （3）当AB=43且

CP CF =4

3

时，求劣弧的长度

【2018哈尔滨】已知：⊙O 是正方形ABCD 的外接圆，点E 在上，连接BE 、DE ，点F 在

上连接BF 、DF ，

BF 与DE 、DA 分别交于点G 、点H ，且DA 平分∠EDF ． （1）如图1，求证：∠CBE=∠DHG

（2）如图2，在线段AH 上取一点N （点N 不与点A 、点H 重合），连接BN 交DE 于点L ，过点H 作HK ∥BN 交DE 于点K ，过点E 作EP ⊥BN ，垂足为点P ，当BP=HF 时，求证：BE=HK

（3）如图3，在（2）的条件下，当3HF=2DF 时，延长EP 交⊙O 于点R ，连接BR ，若△BER 的面积与△DHK 的面积的差为

4

7

，求线段BR 的长

【2018黄石】在△ABC中，E、F分别为线段AB、AC上的点（不与A、B、C重合）．

（1）如图1，若EF∥BC，求证：

（2）如图2，若EF不与BC平行，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由

（3）如图3，若EF上一点G恰为△ABC的重心，，求的值

【2018荆门】AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，经过点C的切线交AB的延长线于点E，AD⊥EC交EC的延长线于点D，AD交⊙O于F，FM⊥AB于H，分别交⊙O、AC于M、N，连接MB，BC．

（1）求证：AC平分∠DAE

（2）若cosM=，BE=1，①求⊙O的半径；②求FN的长

【2018武汉】在△ABC 中，∠ABC ＝90°、

(1) 如图1，分别过A 、C 两点作经过点B 的直线的垂线，垂足分别为M 、N ，求证：△ABM ∽△BCN

(2) 如图2，P 是边BC 上一点，∠BAP ＝∠C ，tan ∠PAC ＝

5

5

2，求tanC 的值 (3) 如图3，D 是边CA 延长线上一点，AE ＝AB ，∠DEB ＝90°，sin ∠BAC ＝53，5

2

AC AD ，直接写出tan ∠CEB 的

值

【2018天门】问题：如图①，在Rt △ABC 中，AB=AC ，D 为BC 边上一点（不与点B ，C 重合），将线段AD 绕点A 逆时针旋转90°得到AE ，连接EC ，则线段BC ，DC ，EC 之间满足的等量关系式为 ；

探索：如图②，在Rt △ABC 与Rt △ADE 中，AB=AC ，AD=AE ，将△ADE 绕点A 旋转，使点D 落在BC 边上，试探索线段AD ，BD ，CD 之间满足的等量关系，并证明你的结论

应用：如图③，在四边形ABCD 中，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°．若BD=9，CD=3，求AD 的长

【2018孝感】如图，△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ，交AC 于点E ，过点D 作DF ⊥AC 于点F ，交AB 的延长线于点G ． （1）求证：DF 是⊙O 的切线

（2）已知BD=2 ，CF=2，求AE 和BG 的长

【2018十堰】已知正方形ABCD 与正方形CEFG ，M 是AF 的中点，连接DM ，EM .

（1）如图1，点E 在CD 上，点G 在BC 的延长线上，请判断DM ，EM 的数量关系与位置关系，并直接写出结论；

（2）如图2，点E 在DC 的延长线上，点G 在BC 上，（1）中结论是否仍然成立？请证明你的结论；

（3）将图1中的正方形CEFG 绕点C 旋转，使D ，E ，F 三点在一条直线上，若13AB =，5CE =，请画出图形，并直接写出MF 的长.

【2018宜昌】在矩形ABCD中，AB=12，P是边AB上一点，把ΔPBC沿直线PC折叠，顶点B的对应点是点G，过点B作BE⊥CG，垂足为E且在AD上，BE交PC于点F.

（1）如图1，若点E是AD的中心，求证：ΔAEB≌ΔDEC

（2）如图2，①求证：BP=BF

②当AD=25，且AE＜DE时，求cos∠PCB的值

③当BP=9时，求BE·EF的值

【2018长沙】在?ABC 中，AD 是边B C 上的中线，∠BAD =∠CAD ，CE//AD ，CE 交B A 的延长线于点E，BC =8，AD =3.

（1）求CE的长

（2）求证：?ABC为等腰三角形

（3）求?ABC的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离

【2018常德】已知正方形ABCD中AC与BD交于O点，点M在线段BD上，作直线AM交直线DC于E，过D 作DH⊥AE于H，设直线DH交AC于N．

（1）如图1，当M在线段BO上时，求证：MO=NO；

（2）如图2，当M在线段OD上，连接NE，当EN∥BD时，求证：BM=AB；

（3）在图3，当M在线段OD上，连接NE，当NE⊥EC时，求证：AN2=NC?AC．

【2018郴州】在矩形ABCD中，AD＞AB，点P是CD边上的任意一点（不含C，D两端点），过点P作PF∥BC，交对角线BD于点F．

（1）如图1，将△PDF沿对角线BD翻折得到△QDF，QF交AD于点E

求证：△DEF是等腰三角形

（2）如图2，将△PDF绕点D逆时针方向旋转得到△P'DF'，连接P'C，F'B．设旋转角为α（0°＜α＜180°）

①若0°＜α＜∠BDC，即DF'在∠BDC的内部时，求证：△DP'C∽△DF'B

②如图3，若点P是CD的中点，△DF'B能否为直角三角形？如果能，试求出此时tan∠DBF'的值，如果不能，请

说明理由

【2018衡阳】在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4cm，动点P从点C出发以1cm/s的速度沿CA匀速运动，同时动点Q从点A出发以cm/s的速度沿AB匀速运动，当点P到达点A时，点P、Q同时停止运动，设运动时间为t（s）．

（1）当t为何值时，点B在线段PQ的垂直平分线上？

（2）是否存在某一时刻t，使△APQ是以PQ为腰的等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（3）以PC为边，往CB方向作正方形CPMN，设四边形QNCP的面积为S，求S关于t的函数关系式．

【2018娄底】C、D是以AB为直径的⊙O上的点，=，弦CD交AB于点E．

（1）当PB是⊙O的切线时，求证：∠PBD=∠DAB

（2）求证：BC2﹣CE2=CE?DE

（3）已知OA=4，E是半径OA的中点，求线段DE的长

【2018湘潭】AB是以O为圆心的半圆的直径，半径CO⊥AO，点M是上的动点，且不与点A、C、B重合，直线AM交直线OC于点D，连结OM与CM．

（1）若半圆的半径为10

①当∠AOM=60°时，求DM的长

②当AM=12时，求DM的长

（2）探究：在点M运动的过程中，∠DMC的大小是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由

【2018永州】如图1，在△ABC中，矩形EFGH的一边EF在AB上，顶点G、H分别在BC、AC上，CD是边AB 上的高，CD交GH于点I．若CI=4，HI=3，AD=．矩形DFGI恰好为正方形．

（1）求正方形DFGI的边长

（2）如图2，延长AB至P．使得AC=CP，将矩形EFGH沿BP的方向向右平移，当点G刚好落在CP上时，试判断移动后的矩形与△CBP重叠部分的形状是三角形还是四边形，为什么？

（3）如图3，连接DG，将正方形DFGI绕点D顺时针旋转一定的角度得到正方形DF′G′I′，正方形DF′G′I′分别与线段DG、DB相交于点M，N，求△MNG′的周长

【2018岳阳】已知在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，CD 为∠ACB 的平分线，将∠ACB 沿CD 所在的直线对折，使点B 落在点B ′处，连结AB'，BB'，延长CD 交BB'于点E ，设∠ABC=2α（0°＜α＜45°）． （1）如图1，若AB=AC ，求证：CD=2BE

（2）如图2，若AB ≠AC ，试求CD 与BE 的数量关系（用含α的式子表示）

（3）如图3，将（2）中的线段BC 绕点C 逆时针旋转角（α+45°），得到线段FC ，连结EF 交BC 于点O ，设△COE 的面积为S 1，△COF 的面积为S 2，求

（用含α的式子表示）

【2018株洲】已知AB 为⊙O 的直径，AB=8，点C 和点D 是⊙O 上关于直线AB 对称的两个点，连接OC 、AC ，且∠BOC ＜90°，直线BC 和直线AD 相交于点E ，过点C 作直线CG 与线段AB 的延长线相交于点F ，与直线AD 相交于点G ，且∠GAF ＝∠GCE （1）求证：直线CG 为⊙O 的切线

（2）若点H 为线段OB 上一点，连接CH ，满足CB ＝CH ①△CBH ∽△OBC ②求OH ＋HC 的最大值

A

【2018益阳】如图1，矩形ABCD中，E是AD的中点，以点E直角顶点的直角三角形EFG的两边EF，EG分别过点B，C，∠F＝30°.

（1）求证：BE＝CE

（2）将△EFG绕点E按顺时针方向旋转，当旋转到EF与AD重合时停止转动。若EF，EG分别与AB，BC相交于点M，N。（如图2）

①求证：△BEM≌△CEN

②若AB＝2，求△BMN面积的最大值

③当旋转停止时，点B恰好在FG上（如图3），求sin∠EBG的值

【2018邵阳】如图（十五）所示，在四边形ABCD中，点O，E，F，G分别是AB，BC，CD，AD的中点，连接OE，EF，FG，GO，GE．

（1）证明：四边形OEFG是平行四边形

（2）将△OGE绕点O顺时针旋转得到△OMN，如图（十六）所示，连接GM，EN

①若OE＝3，OG＝1，求EN

GM的值

②试在四边形ABCD中添加一个条件，使GM，EN的长在旋转过程中始终相等．（不要求证明）

【2018常州】(1)如图1，已知EK 垂直平分BC ，垂足为D ，AB 与EK 相交于点F ，连接CF 求证：CFD AFE ∠=∠

(2)如图2，在GMN R ?t 中，090=∠M ，P 为MN 的中点

①用直尺和圆规在GN 边上求作点Q ，使得PQN GQM ∠=∠(保留作图痕迹，不要求写作法)

②在①的条件下，如果060=∠G ,那么Q 是GN 的中点吗？为什么？

【2018连云港】在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动．△ABC 是边长为2的等边形，E 是AC 上一点，小亮以BE 为边向BE 的右侧作等边三角形BEF ，连接CF

（1）如图1，当点E 在线段AC 上时，EF 、BC 相交于点D ，小亮发现有两个三角形全等，请你找出来，并证明． （2）当点E 在线段上运动时，点F 也随着运动，若四边形ABFC 的面积为

，求AE 的长

（3）如图2，当点E 在AC 的延长线上运动时，CF 、BE 相交于点D ，请你探求△ECD 的面积S 1与△DBF 的面积S 2之间的数量关系．并说明理由 （4）如图2，当△ECD 的面积S

1=

时，求AE 的长．

【2018南通】如图，⊙O的直径AB=26，P是AB上（不与点A、B重合）的任一点，点C、D为⊙O上的两点，若∠APD=∠BPC，则称∠CPD为直径AB的“回旋角”．

（1）若∠BPC=∠DPC=60°，则∠CPD是直径AB的“回旋角”吗？并说明理由

（2）若的长为π，求“回旋角”∠CPD的度数

（3）若直径AB的“回旋角”为120°，且△PCD的周长为24+13，直接写出AP的长

【2018无锡】矩形ABCD中，AB=m，BC=n，将此矩形绕点B顺时针方向旋转θ（0°＜θ＜90°）得到矩形A1BC1D1，点A1在边CD上．

（1）若m=2，n=1，求在旋转过程中，点D到点D1所经过路径的长度

（2）将矩形A1BC1D1继续绕点B顺时针方向旋转得到矩形A2BC2D2，点D2在BC的延长线上，设边A2B与CD 交于点E，若

=﹣1，求的值

【2018宿迁】在边长为1的正方形ABCD中，动点E、F分别在边AB、CD上，将正方形ABCD沿直线EF折叠，使点B的对应点M始终落在边AD上（点M不与点A、D重合），点C落在点N处，MN与CD交于点P，设BE=x．（1）当AM=时，求x的值；

（2）随着点M在边AD上位置的变化，△PDM的周长是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出该定值；

（3）设四边形BEFC的面积为S，求S与x之间的函数表达式，并求出S的最小值．

【2018扬州】在△ABC中，AB=AC，AO⊥BC于点O，OE⊥AB于点E，以点O为圆心，OE为半径作半圆，交AO于点F．

（1）求证：AC是⊙O的切线

（2）若点F是A的中点，OE=3，求图中阴影部分的面积

（3）在（2）的条件下，点P是BC边上的动点，当PE+PF取最小值时，直接写出BP的长

【2018阜新】如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC于点D．

（1）如图1，点E，F在AB，AC上，且∠EDF=90°．求证：BE=AF

（2）点M，N分别在直线AD，AC上，且∠BMN=90°

①如图2，当点M在AD的延长线上时，求证：AB+AN=AM

②当点M在点A，D之间，且∠AMN=30°时，已知AB=2，直接写出线段AM的长

【2018盘锦】如图1，点E是正方形ABCD边CD上任意一点，以DE为边作正方形DEFG，连接BF，点M是线段BF中点，射线EM与BC交于点H，连接CM．

（1）请直接写出CM和EM的数量关系和位置关系

（2）把图1中的正方形DEFG绕点D顺时针旋转45°，此时点F恰好落在线段CD上，如图2，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由

（3）把图1中的正方形DEFG绕点D顺时针旋转90°，此时点E、G恰好分别落在线段AD、CD上，如图3，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由