二次根式的有关概念及性质
二次根式的有关概念及性质
一、二次根式的有关概念：
1.二次根式：式子(a≥0)叫做二次根式。
2.最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式；
（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。如不是最简二次根式，因被开方数中
含有4是可开得尽方的因数，又如，，..........都不是最简二次根式，而，
，5，都是最简二次根式。
3.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根
式就叫做同类二次根式。如, , 就是同类二次根式，因为=2，=3，
它们与的被开方数均为2。
4.有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，则说这两
个代数式互为有理化因式。如与，a+与a-，-与+，互为有理化因式。
二、二次根式的性质：
1.(a≥0)是一个非负数, 即≥0;
2.非负数的算术平方根再平方仍得这个数，即：()2=a(a≥0)；
3.某数的平方的算术平方根等于某数的绝对值，即=|a|=
4.非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即=·
（a≥0,b≥0）。
5.非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根，即=
（a≥0,b>0）。
三、例题：
例1.x为何值时，下列各式在实数范围内才有意义：
（1）（2）（3）
（4）+（5）（6）+
分析：这是一组考察二次根式基本概念的问题，要弄清每一个数学表达式的含义，根据分式和根式成立的条件去解，即要考虑到分式的分母不能为0并且偶次根号下被开方数要大于或等于零。
解：（1）∵6-x≥0,∴x≤6时原式有意义。
（2）∵x2≥0, ∴x2+3>0, ∴x取任意实数原式都有意义。
（3）
∵∴
∴当x<3且x≠-3时，原式有意义。
（4）
∵∴
∴当-≤x<时，原式有意义。
（5）
∴
∴当x≥0且x≠1时，原式有意义。
（6）
∵∴∴x=2
∴当x=2时，原式有意义。
例2.写出下列各等式成立的条件：
（1）=-3x（2）=-mn
（3）=1+2a（4）=·
（5）-=7
分析：本题考察算术平方根的概念及二次根式的性质。
解：（1）∵=|3x|=-3x,
∴-3x≥0,3x≤0, ∴x≤0.
（2）∵==|mn|=-mn,
∴mn≤0, ∵成立，隐含m≥0,
∴m≥0且n≤0.
（3）∵=|2a+1|=1+2a
∴1+2a≥0, ∴a≥-.
（4）由题意得∴
∴x=±1.
（5）∵-
=-
=|x+5|-|2-x|=7
∴只有|x+5|=x+5, |2-x|=x-2时才成立，
∴∴∴x≥2.
例3.化简下列各式：
（1）（2）a2(m<0) （3）+|2-x|+（2 （4）（5）(x-y)+ （6）(y<0) （7）+ 分析： 在二次根式化简的题目中，若有已知条件或隐含条件，则根据已知或隐含条件化简，若没有已知条件或隐含条件时，则必须加以讨论，特别是对于开方后式中有两个绝对值以上的题目，要采取零点分段的方法逐一加以考虑。 解：（1）∵π>3, ∴=|3-π|=π-3. （2）∵m<0, 要使有意义，则a<0, ∴a2=a2=a2·=-=-a. （3）∵2 =|2-x|+|2-x|+|x-3| =x-2+x-2+3-x=x-1. （4）=|3x-1|= 在这里我们分3x-1≥0或3x-1<0两种情况进行了讨论。 （5）(x-y)+ ∵有意义，∴y-x>0 ∴原式=(x-y)·+ =+|x-y| =+y-x=-+y-x. （6）∵y<0, ∴原式= =2|xy| =-2|x|y 当x≥0时, 原式=-2xy, 当x<0时, 原式=2xy。 （7）+ =+=|4-x|+|x+1| ∵若|4-x|=0,则x=4;若|x+1|=0则x=-1，则本题需要将x的取值分成三段，即分x≤-1, -1 当x≤-1时，原式=4-x+(-x-1)=4-x-x-1=3-2x. 当-1 当x≥4时，原式=x-4+x+1=2x-3. 例4.把根号外的因式移至根号内： （1）2（2）-5（3）m(m≥0) （4）x(x≤0)（5）a 分析：本题需逆用性质=·（a≥0,b≥0)只能将根号外的正因式移至根号内。 解：（1）2=·=。 （2）-5=-·=-。 （3）∵m≥0, ∴m=·=。 （4）x(x≤0) ∴x=-·=-。 （5）∵成立，∴隐含a<0, ∴a·=-·=-=-。 例5.（1）已知：y-1=,求：x+2y的值。 （2）若+|x-2y|=0, 求：x2+y2的值。 分析：（1）观察已知条件，等式右边有两个根式，要使两个根式有意义，则 ∴x=2， ∴y=1, 从而可求出x+2y的值。 （1）解：由已知可得：∴x=2, y=1 当x=2, y=1时 x+2y=2+2×1=4. （2）解：∵+|x-2y|=0 两个非负数的和为零，则只有每个非负数都为零， ∴∴ 当x=0, y=0时 ∴x2+y2=0+0=0. 二次根式的有关概念及性质 一、二次根式的有关概念： 1.二次根式：式子(a≥0)叫做二次根式。 2.最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式； （1）被开方数的因数是整数，因式是整式； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。如不是最简二次根式，因被开方数中 含有4是可开得尽方的因数，又如，，..........都不是最简二次根式，而， ，5，都是最简二次根式。 3.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根 式就叫做同类二次根式。如, , 就是同类二次根式，因为=2，=3， 它们与的被开方数均为2。 4.有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，则说这两 个代数式互为有理化因式。如与，a+与a-，-与+，互为有理化因式。 二、二次根式的性质： 1.(a≥0)是一个非负数, 即≥0; 2.非负数的算术平方根再平方仍得这个数，即：()2=a(a≥0)； 3.某数的平方的算术平方根等于某数的绝对值，即=|a|= 4.非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即=· （a≥0,b≥0）。 5.非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根，即= （a≥0,b>0）。 三、例题： 例1.x为何值时，下列各式在实数范围内才有意义： （1）（2）（3） （4）+（5）（6）+ 分析：这是一组考察二次根式基本概念的问题，要弄清每一个数学表达式的含义，根据分式和根式成立的条件去解，即要考虑到分式的分母不能为0并且偶次根号下被开方数要大于或等于零。 解：（1）∵6-x≥0,∴x≤6时原式有意义。 （2）∵x2≥0, ∴x2+3>0, ∴x取任意实数原式都有意义。 （3） ∵∴ ∴当x<3且x≠-3时，原式有意义。 （4） ∵∴ ∴当-≤x<时，原式有意义。 （5） 二次根式 一考点、热点回顾 1.二次根式：式子a（a≥0）叫做二次根式。 2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；⑵被开方数中不含分母；⑶分母中不含根式。如不是最简二次根式，因被开方数中含有4是可开得尽方 的因数，又如，，..........都不是最简二次根式，而， ，5，都是最简二次根式。 3.同类二次根式： 二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。如, , 就是同类二次根式，因为=2，=3，它们与的被开方数均为2。 4.二次根式的性质： 1.(a≥0)是一个非负数, 即≥0; 2.非负数的算术平方根再平方仍得这个数，即：()2=a(a≥0)； 3.某数的平方的算术平方根等于某数的绝对值，即=|a|= 4.非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即 =·（a≥0,b≥0）。 5.非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根，即= 5.二次根式的运算： （1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，•变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面． （2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式． （3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式． ab =a ·b （a≥0，b≥0）； b b a a = （b≥0，a>0）． （4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，•乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算． 二 典型例题 例1下列各式(1) x 21, 1)2(-, 5)3(2+x , 2)3()4(-, 44)5(2+-x x 其中是二次根式的是_________（填序号）． 例2、求下列二次根式中字母的取值范围 （1） x x -- +31 5；（2） 2 2) -(x (3) 1 21--x x 例3、 在根式1) 22 2 ;2) ;3);4)275 x a b x xy abc +-，最简二次根式是（ ） A ．1) 2) B ．3) 4) C ．1) 3) D ．1) 4) 例4、计算32)214 505 1183(÷ -+的值 例5、要使1213-+ -x x 有意义，则x 应满足（ ） 八 年级 数学 学科 总计 20 课时 第 1 课时 课题 二次根式的概念和性质 一、教学目标： 1．理解a 有意义的条件，理解a a =2 ； 2．会根据二次根式有意义的条件确定二次根式里被开方数中字母的取值围. 3．根据二次根式的性质把二次根式化为最简二次根式. 4．能判定同类二次根式并合并同类二次根式. 二、教学重点和难点 重点：理解a 有意义的条件与合并同类二次根式 难点：二次根式的化简 三、概念回顾： 1. 二次根式的概念的理解 一般地，形如（a ≥0）的式子叫做二次根式。 （1） 二次根式必须含有根号“”，即次数是二次； （2） ａ可以是数，也可以是代数式，但ａ必须是非负数或代数式值是非负数； （3） 形如ｂ的式子也是二次根式； 例：判定下列各式哪些为二次根式？ 2. 二次根式中的约束条件 （1）中a ≥0，即二次根号的数或代数式非负； （2）≥0，即二次根式非负（推论：－≤0）； （3）含有分母的二次根式的约束条件有两条： ①根号的分式非负；②分母不等于零。 例：如果下列各式都为二次根式，求x 的取值围 3．二次根式的性质： 性质一： ?? ???<-=>==)0()0(0)0(2 a a a a a a a 性质二：（）2＝a （a ≥0） 反之:a ＝（）2 （a ≥0） 性质三：)0b ,0a (b a ab ≥≥?= 0,0)a b =≥> 的平方根是 ；= 四、最简二次根式 满足下列条件的二次根式，叫做最简二次根式： （1）被开方数中各因式的指数都为1； （2）被开方数不含分母。 化简二次根式的一般过程： （1） 存在带分数或绝对值大于1的小数的，将其化成假分数；存在把绝对值小 于1的小数的，将其化成分数； （2） 把被开方数化成积的形式，即因式分解； （3） 化去根号的分母，即分母有理化； （4） 将根号开的尽方的因数或因式提到外面； 最简二次根式的要求可换成： （1）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式； （2）被开方数的因数是整数，因式是整式。 五、同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫同 类二次根式。 判断几个二次根式是否是同类二次根式的一般过程： （1）化成最简二次根式； （2）判断被开方数是否相同。 注意：两个二次根式的被开方数不同，仍有可能是同类二次根式。 例1 、下列二次根式，那些是同类二次根式： 12 ，24， 27 1 ，b a 4， )0(23>a b a ，)0(3>-a ab 例2 、把下列根式化为最简二次根式 （1）y x x 52421 （2） ．m m m m m m 15462-+ 二次根式及性质. 知识要点： （1）平方根与立方根 a. 平方根的概念：如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根。用±a 表示。 例如：因为 ()±=±=±525252552 ，所以的平方根为。 b. 算术平方根的概念：正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根。0的算术平方根为0。用a 表示a 的算术平方根。 例如：3的平方根为±3，其中3为3的算术平方根。 c. 立方根的概念：如果一个数的立方等于a ，那么这个数就叫做a 的立方根，用a 3 表示。 例如：因为3272727333 ==，所以的立方根为。 d. 平方根的特征： ①一个正数有两个平方根，它们互为相反数。 ②0有一个平方根，就是0本身。 ③负数没有平方根。 e. 立方根的特征： ①正数有一个正的立方根。 ②负数有一个负的立方根。 ③0的立方根为0。 ④-=-a a 33 。 ⑤立方根等于其本身的数有三个：1，0，－1。 （2）二次根式 a. 二次根式的概念：形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式（二次根式中，被开方数一定是非负数，否则就没有意义，并且根式a ≥0）。 b. 二次根式的基本性质： ①a a ≥≥00（） ②()a a a 2 0=≥（） ③ a a a a a a a 20000==>=-<⎧⎨⎪ ⎩ ⎪||（）（） （） ④ab a b a b =⋅≥≥（，）00 ⑤b a b a a b = >≥（，）00 c. 二次根式的乘除法 ①a b ab a b ⋅= ≥≥（，）00 ②b a b a a b =>≥（，）00 d. 最简二次根式的标准： ①被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不含根号）。 ②被开方数中不含开得尽方的因数或因式。 e. 同类二次根式的识别： 几个二次根式化简到不能再化简为止后，被开方数相同，则这几个二次根式是同类二次根式。 例如：8222=与是同类二次根式，35a a 与-是同类二次根式。 f. 二次根式的加减法运算法则： 在加减运算中，一般把二次根式化简后再运算，运算时只有同类二次根式才能合并（合并时，只合并根号外的因式，被开方数不变），合并同类二次根式之后的式子作为最后的结果（注意：最后结果要尽可能最简）。 h. 使分母不带根号（分母有理化）常用方法： ①化去分母中的根号关键是确定与分母相乘后，其结果不再含根号的因式。 二次根式的概念 二次根式，也称为平方根，是指一个数的平方根，即找出一个数， 使其平方等于给定的数。在代数中，二次根式是非常重要的数学概念。它们在代数运算、方程求解以及几何形状的计算中都有广泛应用。本 文将介绍二次根式的定义、性质和一些常用的求解方法。 一、二次根式的定义 在数学中，二次根式是一个数学表达式，形式为√a，其中a是一个 非负实数。它表示一个数x，使得x的平方等于a。例如，√4表示一个 数x，使得x的平方等于4，因此x等于正负2。当a是一个负实数时，二次根式通常用i来表示虚数单位。虚数单位i定义为√-1。因此，√-9 可以表示为3i，因为(3i)^2 = -9。 二、二次根式的性质 1. 非负实数的二次根式是唯一确定的。即对于给定的非负实数a， 它的二次根式√a只有一个值。 2. 二次根式满足乘法运算律。即对于任意非负实数a和b，有√(ab) = √a * √b。 3. 二次根式满足除法运算律。即对于任意非负实数a和b，有√(a/b) = √a / √b，其中b不等于0。 4. 二次根式满足加法和减法运算律。即对于任意非负实数a和b， 有√a ± √b不能进行合并。 三、二次根式的求解方法 1. 分解因式法：如果二次根式的被开方数可以分解成两个平方数的 乘积，那么可以利用分解因式的方法来求解。例如，√12可以分解为 √(4 * 3)，然后再分别对4和3开方，最后得到2√3。 2. 化简法：可以将二次根式的被开方数进行化简，将其中的一个因 子提取出来，并留在根号外面。例如，√50可以化简为√(25 * 2)，再对25开方得到5，最终得到5√2。 3. 有理化法：当二次根式的被开方数是一个分数时，可以利用有理 化方法将其化为无理数。有理化的方法是在分子和分母上同时乘以一 个适当的数，使得分母变为一个有理数。例如，√(3/5)可以进行有理化，将分子和分母同时乘以√5，得到√(3/5) * (√5/√5)= √15 / 5。 四、结论 本文介绍了二次根式的定义、性质和求解方法。通过研究二次根式，我们可以深入理解数的平方根，并在代数、几何等领域中灵活运用。 对于二次根式的理解，对于学习和解决数学问题都有着重要意义。希 望通过本文的阐述，读者能够更好地理解和应用二次根式的概念。 二次根式的概念与性质 二次根式是我们在数学学习过程中常常遇到的一种特殊形式的根式。在本文中，我们将探讨二次根式的概念以及其重要的性质。 一、二次根式的概念 二次根式是指具有“根号下一次方的数”的形式。具体而言，若a为 非负实数，则√a表示其非负平方根，而√(-a)表示其虚数平方根。因此，二次根式包括了实数根式和虚数根式两种情况。 实数根式的概念是我们初中就已经学习过的，它表示的是可以找到 一个非负实数，将其平方得到原始数。例如，√4=2，√9=3，这些都是 实数根式的例子。 虚数根式则是更加复杂一些。它指的是无法找到一个非负实数来满 足平方后得到原始数的情况。例如，√(-4)=2i，其中i表示虚数单位。 虚数根式在进一步的数学学习中有着重要的应用。 二、二次根式的性质 1. 二次根式的有理化：有理化是将含有根号的式子转化成不含根号 的形式。对于二次根式，我们常常利用有理化的方法将其转化为一个 更加简洁的形式。例如，对于√2，我们可以乘以√2/√2得到2/√2，这样 就进行了有理化。 2. 二次根式的运算：二次根式在进行运算时有一些特殊的性质。首先，根号下的数相同的二次根式可以进行加减运算。例如，√2+√2=2√2， √3-√3=0。其次，二次根式可以与有理数进行乘法运算。例如， 2√2*3=6√2，√3*4=4√3。然而，二次根式的乘法运算并不满足交换律。即，a√b*b√a不一定等于ab。 3. 二次根式的简化：对于二次根式，我们可以将其进行简化，使其表达更加方便。例如，对于√8，我们可以简化成2√2。 4. 二次根式的大小比较：在进行大小比较时，二次根式也有一些规律。如果a和b都是非负实数，则当a 二次根式的有关概念及性质 二次根式的概念及性质 一、二次根式的概念： 1.二次根式：形如$\sqrt{a}$（$a\geq 0$）的式子。 2.最简二次根式：满足以下两个条件的二次根式称为最简二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。例如， $\sqrt{4}$含有可开得尽方的因数4，不是最简二次根式；而$\sqrt{5}$、$\sqrt{x}$都是最简二次根式。 3.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就是同类二次根式。例如，$\sqrt{2}$、$2\sqrt{2}$、$\sqrt{18}$就是同类二次根式。 4.有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它 们的积不含有二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式。例如，$(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)=2-1=1$是有理化因式。 二、二次根式的性质： 1.非负数的算术平方根再平方仍得这个数，即： $(\sqrt{a})^2=a$（$a\geq 0$）。 2.非负数的算术平方根是非负数，即$\sqrt{a}\geq 0$（$a\geq 0$）。 3.某数的平方的算术平方根等于该数的绝对值，即 $\sqrt{a^2}=|a|$。 4.非负数的积的算术平方根等于各因式的算术平方根的积，即$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}$（$a\geq 0,b\geq 0$）。 5.非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以 除式的算术平方根，即 $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$（$a\geq 0,b>0$）。 三、例题： 例1.求$x$的取值范围，使得以下各式有意义： 1) $\frac{1}{\sqrt{6-x}}$；(2) $\sqrt{x^2+3}$；(3) $\frac{\sqrt{x+3}}{\sqrt{3-x}}$；(4) $\sqrt{2x-1}+\sqrt{x-1}$；(5) $\sqrt{4-x^2}$；(6) $\sqrt{2x-3}+\sqrt{5-x}$。 解：这是一组考察二次根式基本概念的问题，要弄清每一个数学表达式的含义，根据分式和根式成立的条件去解，即要考虑到分式的分母不能为零，偶次根号下被开方数要大于或等于零。 1) $\frac{1}{\sqrt{6-x}}$有意义当且仅当$6-x>0$，即 $x\leq 6$。 基础知识 1、二次根式的定义: 我们已经知道：每一个正实数有且只有两个平方根，一个记作a，称为a的算术平方根；另一个是-..a 我们把形如.a的式子叫作二次根式，根号下的数a叫作被开方数. 由于在实数范围内，负实数没有平方根，因此只有当被开方数是非负实数时，二次根式才在实数范围内有意义. 2、二次根式的性质 （皿F=d（心0）. 兀庐=（? （口NO）.当时. 3、二次根式的积的算数平方根的性质 禺:b =逅*丽（oMO, 65^0） 4、最后的计算结果，具有以下特点： （1）被开方数中不含开得尽方的因数（或因式）； （2）被开方数不含分母. 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫作最简二次根式• 注意：①化简二次根式时，最后结果要求被开方数中不含开得尽方的因数 ②化简二次根式时，最后结果要求被开方数不含分母• ③今后在化简二次根式时，可以直接把根号下的每一个平方因子去掉平方号以后移到根号外（注意：从根号下直接移到根号外的数必须是非负数）题型一、二次根式的概念和条件 【例1】 当&________ 时.二次根式丿文_2有意义* 【例2】【.】 围内有意义・ (1 > %/2J — I ；(2) i ； (3) J艾_ ] + 1/2—x)(4) J—仝* 【分析】令各个二次根式的被幵方數大 于或寻于牢•再解之即可. 【例3】 (宜昌中考)下列式子没有意义的是( ) 扎J—:弓Ik \[ 1C* D. ^/( —1 【例4】 <2016 •学减中考)使二次根式v 页眉内容 二次根式的有关概念及性质 一、二次根式的有关概念： 1.二次根式：式子(a≥0)叫做二次根式。 2.最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式； （1）被开方数的因数是整数，因式是整式； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。如不是最简二次根式，因被开方数中 含有4是可开得尽方的因数，又如，，..........都不是最简二次根式，而， ，5，都是最简二次根式。 3.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根 式就叫做同类二次根式。如, , 就是同类二次根式，因为=2，=3， 它们与的被开方数均为2。 4.有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，则说这两 个代数式互为有理化因式。如与，a+与a-，-与+，互为有理化因式。 二、二次根式的性质： 1.(a≥0)是一个非负数, 即≥0; 2.非负数的算术平方根再平方仍得这个数，即：()2=a(a≥0)； 3.某数的平方的算术平方根等于某数的绝对值，即=|a|= 4.非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即=· （a≥0,b≥0）。 5.非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根，即= （a≥0,b>0）。 三、例题： 例1.x为何值时，下列各式在实数范围内才有意义： （1）（2）（3） （4）+（5）（6）+ 分析：这是一组考察二次根式基本概念的问题，要弄清每一个数学表达式的含义，根据分式和根式成立的条件去解，即要考虑到分式的分母不能为0并且偶次根号下被开方数要大于或等于零。 解：（1）∵6-x≥0,∴x≤6时原式有意义。 （2）∵x2≥0, ∴x2+3>0, ∴x取任意实数原式都有意义。 （3） ∵∴ ∴当x<3且x≠-3时，原式有意义。 （4） ∵∴ ∴当-≤x<时，原式有意义。 （5） 二次根式的定义及性质 1、二次根式的定义 形如)0(≥a a 的代数式叫二次根式 （1）式子中含有二次根号“”； （2）a 可以表示数也可以表示代数式 （3）二次根式)0(≥a a 表示非负数a 的算术平方根，0≥a ，即二次根式的两个非负性 二次根式的两个非负性：)0(≥a a ；0≥a ，具有非负性的还有02 ≥a ；0≥a ；几个非负数的和等于零，那么这几个非负数均为零。 2、二次根式的主要性质 （1）())0(2≥=a a a （2）⎪⎩ ⎪⎨⎧<-=>==)0()0(0)0(2a a a a a a a 3 、分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化. 方法:①单项二次根式：利用a =来确定． ②两项二次根式：利用平方差公式()()22b a b a b a -=-+来确定． 如 : a a 4、最简二次根式：被开方数中不含分母，并且被开方数中不含开的尽方的因数或因式叫最简二次根式 最简二次根式的条件 ①号内不含有开的尽方的因数或因式，②根号内不含有分母，③分母不含有根号。 5、 同类二次根式：被开方数相同的最简二次根式叫做同类二次根式 6、 乘法公式：)0,0______(≥≥=⋅b a b a ；反之：)0,0_______(≥≥=b a ab 7、除法公式：)0,0______(>≥=b a b a ；反之：)0,0______(>≥= b a b a 8、合并同类二次根式：__________ ________;=-=+a n a m a n a m 形如)0(≥a a 的代数式叫二次根式 例1、下列式子中二次根式的个数有（ ） （1）31（2）3-（3）12+-x （4）38（5）2)3 1(-（6）)1(1>-x x A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【变式练习】 1、下列各式中，一定是二次根式的有______________________________ ① a ；②z y +；③6a ；④32+x ；⑤962++x x ；⑥12-x 2、222++a a 是不是二次根式？___________（填“是”或“否”） 二次根式)0(≥a a 表示非负数a 的算术平方根，0≥a ，即二次根式的两个非负性 例2、（2012.德阳）使代数式 12-x x 有意义的x 的取值范围是（ ） A.0≥x B.21≠x C.2 10≠≥x x 且 D.一切实数 例3、 函数1213-+ -=x x y 的自变量x 的取值范围是_______________ 【变式练习】 1、 使1 2--x x 在实数范围内有意义的x 的取值范围是______________ 2、（2012.杭州）已知0)3(<-a a ，若a b -=2，则b 的取值范围是___________ 3、若 2)(11y x x x +=---，则______=-y x ())0(2≥=a a a二次根式的有关概念及性质
二次根式的概念与性质
二次根式的概念和性质
二次根式及性质知识点
二次根式的概念
二次根式的概念与性质
二次根式的有关概念及性质
二次根式的概念和性质
二次根式的有关概念及性质
二次根式的定义及性质