二次根式取值范围
二次根式取值范围
二次根式是一种常见的数学表达式，它的取值范围是所有实数。在本文中，我们将探讨二次根式的定义、性质以及它的应用。
一、二次根式的定义和性质
在数学中，二次根式是指形如√a的表达式，其中a是一个非负实数。二次根式是一种特殊的根式，它表示一个数的平方根。值得注意的是，二次根式的取值范围是非负实数。
二次根式具有以下性质：
1. 非负实数的二次根式是唯一确定的，即每个非负实数都有唯一的二次根式。
2. 二次根式可以进行四则运算，包括加法、减法、乘法和除法。
3. 二次根式的平方是原来的非负实数，即(√a)^2=a。
4. 二次根式的和差可以化简为一个二次根式，例如√a±√b可以化简为√(a±b)。
5. 二次根式可以进行有理化处理，即将含有二次根式的表达式化为不含二次根式的表达式。
二、二次根式的应用
二次根式在数学和实际生活中有广泛的应用。以下是一些常见的应用场景：
1. 几何学中的二次根式：在几何学中，二次根式常常用于计算图形的边长、面积和体积。例如，计算正方形的对角线长度、圆的周长和面积等问题都可以用到二次根式。
2. 物理学中的二次根式：在物理学中，二次根式经常出现在物理量的计算中。例如，计算速度、加速度、力和能量等物理量时，常常需要使用二次根式。
3. 金融学中的二次根式：在金融学中，二次根式可以用于计算利率、股票收益和投资回报率等金融指标。例如，计算复利的本利和、计算投资组合的收益等问题都可以使用二次根式。
4. 统计学中的二次根式：在统计学中，二次根式可以用于计算方差、标准差和均方根误差等统计指标。例如，计算数据集的离散程度和误差大小等问题都可以使用二次根式。
5. 工程学中的二次根式：在工程学中，二次根式常常用于计算电路的电流、电压和功率等电气参数。例如，计算电路中的电阻、电感和电容等参数时，常常需要使用二次根式。
二次根式是一种常见的数学表达式，它的取值范围是所有实数。二次根式具有独特的定义和性质，可以进行各种运算和化简。在几何学、物理学、金融学、统计学和工程学等领域中，二次根式有广泛的应用。了解和掌握二次根式的定义、性质和应用，对于数学和实
际问题的解决都非常重要。希望本文对读者对二次根式有所启发和帮助。
二次根式知识点归纳
二次根式知识点归纳 定义：一般的，式子 a ( a ≥ 0 ) 叫做二次根式。其中 “”叫做二次根 号，二次根号下的a 叫做被开方数。 性质：1、 2≥0,等于a;a<0,等于-a 3、 4 、 反过来: 5 6、最简二次根式： 1．被开方数不含分母； 2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 7、同类二次根式：几个二次根次化成最简二次根式以后如果被开数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式 8、数的平方根与二次根式的区别：①4的平方根为±2，算术平方根为2；②4=2，二次根式即是算术平方根 9、二次根式化运算及化简：①先化成最简 ②合并同类项 二次根式中考试题精选 一.选择题： 1.【05宜昌 】化简20的结果是 （ ）. A. 25 B.52 C. . D.54 2.【05南京】9的算术平方根是 （ ）. A.-3 B.3 C.± 3 D.81 3.【05南通】已知2x <, ）. A 、2x - B 、2x + C 、2x -- D 、2x -
A ．a 2＋a 3=a 5 B ．(－2x)3=－2x 3 C ．(a －b)(－a ＋b)=－a 2－2ab －b 2 D =5.【05无锡】下列各式中，与y x 2是同类项的是（ ） A 、2xy B 、2xy C 、－y x 2 D 、223y x 6.【05武汉】若a ≤1，则 化简后为（ ）. A. B. C. D. 7.【05绵阳】化简 时，甲的解法是：==，乙的解法是： ，以下判断正确的是（ ）. A. 甲的解法正确，乙的解法不正确 B. 甲的解法不正确，乙的解法正确 C. 甲、乙的解法都正确 D. 甲、乙的解法都不正确 8.【05杭州】设22a b c ===,则,,a b c 的大小关系是: （ ）. (A)a b c >> (B)a c b >> (C)c b a >> (D)b c a >> 9.【05丰台】4的平方根是（ ）. A. 8 B. 2 C. ±2 D. ±2 10.【05北京】下列根式中，与3是同类二次根式的是（ ）. A. 24 B. 12 C. 3 2 D. 18 11.【05南平】下列各组数中，相等的是（ ）. A.(-1)3和1 B.(-1)2和-1 C.|-1|和-1 和1 12.【05宁德】下列计算正确的是（ ）. A 、x 2·x 3＝x 6 B 、(2a 3)2＝4a 6 C 、(a －1)2＝a 2－1 D 、 4 ＝±2 13.【05毕节―a 的正整数a 的值有( ). A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 14.【05黄岗】已知y x ,为实数，且()02312 =-+-y x ，则y x -的值为（ ）. A ．3 B ．– 3 C ．1 D ．– 1 15.【05湘潭】下列算式中，你认为错误的是 ( ). A ． a a b ++b a b +=1 B ．1÷b a ×a b =1 C +1 D ． 2 1()a b +· 2 2a b a b --= 1a b + 二、填空题 1.【05连云港】计算：)13)(13(-+= ． 2.【05南京】 10 在两个连续整数a 和b 之间，a< 10 二次根式的定义与性质 二次根式基本知识点 1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。 2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母；⑶分母中不含根式。 3.同类二次根式： 1°二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。 2°合并同类二次根式 合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变.(合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似) 注意：(1)根号外面的因式就是这个根式的系数； (2)二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式； (3)不是同类二次根式，不能合并 4.二次根式的性质： （1）（a ）2=a （a ≥0）；（2）= =a a 2 （3）积的算术平方根的性质：b a ab ⋅=（a≥0，b≥0），即积的算术平方根等于积中各因式的算术平 方根的积. （4）商的算术平方根的性质b a b a = （0≥a ，0>b ） ，即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根. 二次根式的考点 考点一：二次根式的概念 形如a （ ）的式子叫做二次根式。【注】：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、 多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是 为二次根式的前提条件， 如 ， ， 等是二次根式，而 ， 等都不是二次根式。 考点二：取值范围 1. 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a ≧0时， 有意义，是二次根式，所以要使二 次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。 2. 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a ﹤0时，没有意义。 考点三：二次根式 （ ）的非负性 a （a ＞0） a -（a ＜0） 0 （a =0）； 知识点一：二次根式的概念 【知识要点】 二次根式的定义： 形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义． 注意理解： 1、定义是从结构形式上定义的，必须含有二次根号。根指数省略不写。不能从化简结果上判断，如，都是二次根式。 2、被开方数是一个数，也可以是含有字母的式子。但前提条件是必须是大于或等于0. 3、如果是给定的式子，就是有意义的。、 4、形如b(a的式子也是二次根式，b与是相乘关系，当b是分数时，写成假分数。 5、式子(a表示的是非负数。 6、+b(a和形式是含有二次根式的式子，不能叫二次根式。 二次根式定义： 【例1】下列各式，其中是二次根式的是 _________（填序号）． 变式练习： 1、下列各式中，一定是二次根式的是（） A D 2中是二次根式的个数有______个 3、下列的式子一定是二次根式的是（） A．B．C．D． 4、式子：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦⑧中是二次根式的代号为（） A．①②④⑥B．②④⑧C．②③⑦⑧D．①②⑦⑧ 【例2】若是正整数，最小的整数n是（） A．6 B．3 C．48 D．2 变式练习： 1、已知：是整数，则满足条件的最小正整数n的值是（） A．0 B．1 C．2 D．5 2、二次根式是一个整数，那么正整数a最小值是． 注意掌握： 1、二次根式具有双重非负性。 (a ， 2、如果式子中既含有二次根式又含有分式，那么它有意义的条件是：二次根式中的被开方数是非负数，分式中的分母不为0. 3、如果式子中含有零指数幂或负整数指数幂，有意义的条件是，度数不为0. 【例3】式子有意义的x 的取值范围是 变式练习： 1、使代数式4 3 --x x 有意义的x 的取值范围是（） A 、x>3 B 、x ≥3 C 、x>4 D 、x ≥3且x ≠4 2x 的取值范围是 3、如果代数式 mn m 1+ -有意义，那么，直角坐标系中点P （m ，n ）的位置在（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限 【例4】若y=5-x +x -5+2009，则x+y= 变式练习： 12()x y =+，则x －y 的值为（） A ．－1 B ．1 C ．2 D ．3 2、若x 、y 都是实数，且y=4x 233x 2+-+-，求xy 的值 3、当a 取什么值时，代数式1取值最小，并求出这个最小值。 4、若实数a 、b 、c 满足+|a+b|= + ，则2a-3b+c 2的值为． 5、已知y= ，求2x+y 的算术平方根． 二次根式整数部分小数部分： 已知a b 是的小数部分，求1 2 a b + +的值。 1、若3的整数部分是a ，小数部分是b ，则=-b a 3。 2、若17的整数部分为x ，小数部分为y ，求y x 1 2+ 的值. 二次根式性质： 1.非负性：a a ()≥0是一个非负数． 注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到． 2.()()a aa 20=≥． 注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式： a a a =≥()()20 二次根式及性质. 知识要点： （1）平方根与立方根 a. 平方根的概念：如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根。用±a 表示。 例如：因为()±=±=±525252552 ，所以的平方根为。 b. 算术平方根的概念：正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根。0的算术平方根为0。用a 表示a 的算术平方根。 例如：3的平方根为±3，其中3为3的算术平方根。 c. 立方根的概念：如果一个数的立方等于a ，那么这个数就叫做a 的立方根，用a 3 表示。 例如：因为327272733 3 ==，所以的立方根为。 d. 平方根的特征： ①一个正数有两个平方根，它们互为相反数。 ②0有一个平方根，就是0本身。 ③负数没有平方根。 e. 立方根的特征： ①正数有一个正的立方根。 ②负数有一个负的立方根。 ③0的立方根为0。 ④-=-a a 33 。 ⑤立方根等于其本身的数有三个：1，0，－1。 （2）二次根式 a. 二次根式的概念：形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式（二次根式中，被开方数一定是非负数，否则就没有意义，并且根式a ≥0）。 b. 二次根式的基本性质： ①a a ≥≥00（） ②()a a a 2 0=≥（） ③ a a a a a a a 20000==>=-≥（，）00 c. 二次根式的乘除法 ①a b ab a b ?= ≥≥（，）00 ②b a b a a b = >≥（，）00 d. 最简二次根式的标准： ①被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不含根号）。 ②被开方数中不含开得尽方的因数或因式。 e. 同类二次根式的识别： 几个二次根式化简到不能再化简为止后，被开方数相同，则这几个二次根式是同类二次根式。 例如：8222=与是同类二次根式，35a a 与-是同类二次根式。 f. 二次根式的加减法运算法则： 在加减运算中，一般把二次根式化简后再运算，运算时只有同类二次根式才能合并（合并时，只合并根号外的因式，被开方数不变），合并同类二次根式之后的式子作为最后的结果（注意：最后结果要尽可能最简）。 h. 使分母不带根号（分母有理化）常用方法： ①化去分母中的根号关键是确定与分母相乘后，其结果不再含根号的因式。 九年级上册数学《二次根式》知识点整理 二次根式 本节研究指导： 在研究二次根式时，我们不仅要研究它的概念，还要巩固平方根的知识。这样有助于我们系统性研究，把零散的知识整合起来。在本节中，我们需要掌握二次根式的有意义条件。 知识要点： 1、二次根式的概念： 形如a（a≥0）的式子叫做二次根式。需要注意的是，被开方数可以是数、单项式、多项式、分式等代数式。但是， a≥0是二次根式的前提条件。例如，5、x2+1都是二次根式，而-5、-x2都不是二次根式。 2、取值范围： 1）二次根式有意义的条件： 由二次根式的意义可知，当a≥0时，a有意义，是二次根式。因此，只要被开方数大于或等于零，就可以使二次根式有意义。 2）二次根式无意义的条件： 由于负数没有算术平方根，所以当a<0时，a没有意义。 3、二次根式a（a≥0）的非负性： a（a≥0）表示a的算术平方根，也就是说，a（a≥0）是一 个非负数，即a≥0.由于正数的算术平方根是正数，负数的算术平方根是不存在的，因此非负数的算术平方根也是非负数。这个性质类似于绝对值、偶次方的性质，在解答题目时应用较多。例如，如果a+b=0，则a=0，b=0；如果a-b=0，则a=0，b=0；如果a×b=0，则a=0，b=0. 4、二次根式（a）的性质： a）=a（a≥0）描述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。需要注意的是，这个性质公式（a）=a（a≥0）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：如果a≥0，则a=（a）。例如，2=（2），1=（1）。 5、二次根式的性质： a（a≥0） a2=a= ___（a<0） 描述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。 需要注意的是： 1）化简a2时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还 是负数。如果是正数或0，则等于a本身，即a2=a=a（a≥0）； 二次根式知识点 知识回顾：算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。 一、二次根式的概念 一般地，我们把形如√a（a≥0）的式子叫做二次根式，“√”称为二次根号。★正确理解二次根式的概念，要把握以下五点： （1）二次根式的概念是从形式上界定的，必须含有二次根号“√”，“√”的根指数为2，即“√2”，我们一般省略根指数2，写作“√”。如√5 2可以写作√5。 （2）二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子。（3）式子√a表示非负数a的算术平方根，因此a≥0，√a≥0。其中a≥0是√a 有意义的前提条件。 （4）在具体问题中，如果已知二次根式√a，就意味着给出了a≥0这一隐含条件。 （5）形如b√a（a≥0）的式子也是二次根式，b与√a是相乘的关系。要注意当 b是分数时不能写成带分数，例如8 3√2可写成8√2 3 ，但不能写成22 3 √2。 二、二次根式的性质： =｜a｜=a （a≥0）或 =｜a｜= - a（a＜0） ★(√a)2 （a≥0）与√a2的区别与联系： 典型例题剖析 题型一：二次根式有意义的条件 当x取何值时，下列各式在实数范围内有意义？ ；（3）√x−3+√3+x （1）√x+5-√3−2x；（2）√2x−1 √1−x 题型二：利用二次根式的非负性化简求值 已知a+√b−2=4a-4，求√ab的值。 题型三：二次根式非负性的简单应用 已知实数x，y满足｜x-4｜+√y−8=0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（） 题型四：利用√a2=｜a｜并结合数轴化简求值 已知实数a，b在数轴上的位置如图所示。 初中数学二次根式根底知识点〔共6篇〕 篇1：初中数学二次根式根底知识点 1.二次根式概念：式子a(a≥0)叫做二次根式。 2.最简二次根式：必须同时满足以下条件： 3.同类二次根式： 二次根式化成最简二次根式后，假设被开方数一样，那么这几个二次根式就是同类二次根式。4.二次根式的_质：a(a0)22(1)(a)=a(a≥0);(2)aa 0(a=0); 5.二次根式的运算： a(a0) (1)因式的外移和内移：假如被开方数中有的因式可以开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面;假如被开方数是代数和的形式，那么先解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面. (2)二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式. (3)二次根式的乘除法：二次根式相乘(除)，将被开方数相乘(除)，所得的积(商)仍作积(商)的被开方数并将运算结果化为最简二次根式 单项式和多项式统称为整式。 1.单项式： 1)数与字母的乘积这样的代数式叫做单项式。 单独的一个数或字母(可以是两个数字或字母相乘)也是单项式。 2)单项式的系数：单项式中的数字因数及_质符号叫做单项式的系数。 3)单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。 2.多项式： 1)几个单项式的和叫做多项式。在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项。一个多项式有几项就叫做几项式。 2)多项式的次数：多项式中，次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数。 3.多项式的排列： 1).把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母降幂排列。 知识点归纳： 1、理解二次根式的概念． 2、理解a （a ≥0）是一个非负数，（a ）2 =a （a ≥0），2 a =a （a ≥0）． 3、掌握a ·b ＝ab （a ≥0，b ≥0），ab =a ·b ； a b =a b （a ≥0，b>0），a b =a b （a ≥0，b>0）． 重点: 1、二次根式a （a ≥0）的内涵．a （a ≥0）是一个非负数；（a ）2 ＝a （a ≥0）；2 a =a （a ≥0）?及其运用． 2、二次根式乘除法的规定及其运用． 3、最简二次根式的概念． 4、二次根式的加减运算． 难点： 1、对a （a ≥0）是一个非负数的理解；对等式（a ）2 ＝a （a ≥0）及2 a =a （a ≥0） 的理解及应用． 2、二次根式的乘法、除法的条件限制． 3、利用最简二次根式的概念把一个二次根式化成最简二次根式． 知识梳理： 1 ，二次根式的概念： 1）二次根式：式子a （0a ≥）叫做二次根式。 2) 最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式是最简二次根式： (1) 被开方数不含分母； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 3）同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式 4) 把分母中的根号化去，叫分母有理化。 2，二次根式的性质 1) (0)2 (0) { a a a a a a ≥-<== 2)(0,0)ab a b a b =≥≥ 3） (0,0)a a a b b b =≥> 4） () 2 (0)a a a =≥ 考点一：二次根式的概念 例1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2、33、 1 x 、x （x>0）、0、4 2、-2、 1 x y +、x y +（x ≥0，y?≥0）． 例2．当x 是多少时，31x -在实数范围内有意义？ 例3．当x 是多少时，(1)23x ++1 1 x +在实数范围内有意义？ 考点二：二次根式的非负性 初中阶段满足非负性的共有三类： （1）绝对值:a （2）平方: 2 a （3）二次根式：a 以上三种情况满足：0a ≥ 例题1 已知：3324x x y -+--=，求y x 的值。 例2 已知a b ++2 () a c -30a b c +++-=，求3abc 【巩固】： 1，若2 320(4) x z y -+++=+，求 22x y z +。 2，若实数,a b 满足2320b a a b -+++-=，求ab 3.若1a ++1b -=0，求a 2004 +b 2004 的值． 二次根式 知识点一：二次根式的概念 形如(a≥0) 的式子叫做二次根式. 注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。 （2）满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式： ①被开方数不含分母； ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式； (3）几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式。1．下列式子中，是二次根式的是（） A．B C D．x 2．下列式子中，不是二次根式的是（） A B C D．1 x 3．已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（） A．5 B C．1 5 D．以上皆不对 4．形如________的式子叫做二次根式． 5．面积为a的正方形的边长为________． 6．负数________平方根． 知识点二：取值范围 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。 2. 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意义。 知识点三：二次根式（）的非负性 （）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。注：因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算 术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。 知识点四：二次根式（）的性质 （） 文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。 注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，. 知识点五：二次根式的性质 文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。 注：1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本身，即；若a是负数，则等于a的相反数-a,即； 2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义； 3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。 知识点六：与的异同点 1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而 表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数。 但与都是非负数，即，。因而它的运算的结果是有差别的， ，而2、相同点：当被开方数都是非负数，即时， 二次根式取值范围 二次根式是一种常见的数学表达式，它的取值范围是所有实数。在本文中，我们将探讨二次根式的定义、性质以及它的应用。 一、二次根式的定义和性质 在数学中，二次根式是指形如√a的表达式，其中a是一个非负实数。二次根式是一种特殊的根式，它表示一个数的平方根。值得注意的是，二次根式的取值范围是非负实数。 二次根式具有以下性质： 1. 非负实数的二次根式是唯一确定的，即每个非负实数都有唯一的二次根式。 2. 二次根式可以进行四则运算，包括加法、减法、乘法和除法。 3. 二次根式的平方是原来的非负实数，即(√a)^2=a。 4. 二次根式的和差可以化简为一个二次根式，例如√a±√b可以化简为√(a±b)。 5. 二次根式可以进行有理化处理，即将含有二次根式的表达式化为不含二次根式的表达式。 二、二次根式的应用 二次根式在数学和实际生活中有广泛的应用。以下是一些常见的应用场景： 1. 几何学中的二次根式：在几何学中，二次根式常常用于计算图形的边长、面积和体积。例如，计算正方形的对角线长度、圆的周长和面积等问题都可以用到二次根式。 2. 物理学中的二次根式：在物理学中，二次根式经常出现在物理量的计算中。例如，计算速度、加速度、力和能量等物理量时，常常需要使用二次根式。 3. 金融学中的二次根式：在金融学中，二次根式可以用于计算利率、股票收益和投资回报率等金融指标。例如，计算复利的本利和、计算投资组合的收益等问题都可以使用二次根式。 4. 统计学中的二次根式：在统计学中，二次根式可以用于计算方差、标准差和均方根误差等统计指标。例如，计算数据集的离散程度和误差大小等问题都可以使用二次根式。 5. 工程学中的二次根式：在工程学中，二次根式常常用于计算电路的电流、电压和功率等电气参数。例如，计算电路中的电阻、电感和电容等参数时，常常需要使用二次根式。 二次根式是一种常见的数学表达式，它的取值范围是所有实数。二次根式具有独特的定义和性质，可以进行各种运算和化简。在几何学、物理学、金融学、统计学和工程学等领域中，二次根式有广泛的应用。了解和掌握二次根式的定义、性质和应用，对于数学和实 ; 1．二次根式：一般地，式子)0a (,a ≥叫做二次根式.注意：（1）若0a ≥这个条件不成立，则 a 不是二次根式；（2）a 是一个重要的非负数，即；a ≥0. 2．重要公式：（1）)0a (a )a (2≥=,（2）⎩⎨⎧<-≥==) 0a (a )0a (a a a 2 ；注意使用)0a ()a (a 2≥=. 3．积的算术平方根：)0b ,0a (b a ab ≥≥⋅=，积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积；注意：本章中的公式，对字母的取值范围一般都有要求. 4．二次根式的乘法法则： )0b ,0a (ab b a ≥≥=⋅. 5．二次根式比较大小的方法： （1）利用近似值比大小； { （2）把二次根式的系数移入二次根号内，然后比大小； （3）分别平方，然后比大小. 6．商的算术平方根： )0b ,0a (b a b a >≥=，商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根. 7．二次根式的除法法则： （1）)0b ,0a (b a b a >≥=； （2）)0b ,0a (b a b a >≥÷=÷； （3）分母有理化：化去分母中的根号叫做分母有理化；具体方法是：分式的分子与分母同乘分母的有理化因式，使分母变为整式. 8．常用分母有理化因式： a a 与，b a b a +-与， b n a m b n a m -+与，它们 也叫互为有理化因式. | 9．最简二次根式： （1）满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，① 被开方数的因数是整数，因式 是整式，② 被开方数中不含能开的尽的因数或因式； （2）最简二次根式中，被开方数不能含有小数、分数，字母因式次数低于2，且不含分母；（3）化简二次根式时，往往需要把被开方数先分解因数或分解因式； （4）二次根式计算的最后结果必须化为最简二次根式. 10．二次根式化简题的几种类型：（1）明显条件题；（2）隐含条件题；（3）讨论条件题. 11．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式. 12．二次根式的混合运算： 】 （1）二次根式的混合运算包括加、减、乘、除、乘方、开方六种代数运算，以前学过的，在有理数范围内的一切公式和运算律在二次根式的混合运算中都适用； （2）二次根式的运算一般要先把二次根式进行适当化简，例如：化为同类二次根式才能合并； 除法运算有时转化为分母有理化或约分更为简便；使用乘法公式等. 形如)0 a(,a≥的式子，叫做二次根式 ! （1）二次根式a中，被开方数必须是非负数。即0 a≥ （2）二次根式a是一个非负数，即；a≥0. 下列式子中，是二次根式的是（） 2、 数是（）. .3 C 即a有意义<=>0 a≥ 【知识回顾】 1.二次根式：式子a〔a≥0〕叫做二次根式。 2.最简二次根式：必须同时满足如下条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；⑵被开方数中不含分母；⑶分母中不含根式。 3.同类二次根式： 二次根式化成最简二次根式后，假如被开方数一样，如此这几个二次根式就是同类二次根式。4.二次根式的性质： 〔1〕〔a〕2=a〔a≥0〕；〔2 〕 5.二次根式的运算： 〔1〕因式的外移和移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面． 〔2〕二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式． 〔3〕二次根式的乘除法：二次根式相乘〔除〕，将被开方数相乘〔除〕，所得的积〔商〕仍作积〔商〕的被开方数并将运算结果化为最简二次根式． a≥0，b≥0〕=b≥0，a>0〕． 〔4〕有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律与结合律，乘法对加法的分配律以与多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算． 【典型例题】 1、概念与性质 例1如下各式1 其中是二次根式的是_________〔填序号〕． 例2、求如下二次根式中字母的取值围 〔1〕 x x - - + 3 1 5 ；〔2〕 2 2) - (x 例3、在根式1) A．1) 2) B．3) 4) C．1) 3) D．1) 4) 例4、： 的值。 求代数式2 2 , 2 1 1 8 8 1- + - + + + - + - = x y y x x y y x x x y a〔a＞0〕 = =a a2 a -〔a＜0〕 0 〔a=0〕； 1．二次根式：一般地，式子)0a (,a ≥叫做二次根式.注意：（1）若0a ≥这个条件不成立，则 不是二次根式；(2）是一个重要的非负数,即；≥0. 2．重要公式：(1))0a (a )a (2≥=,（2）⎩⎨⎧<-≥==) 0a (a )0a (a a a 2 ；注意使用)0a ()a (a 2≥=。 3．积的算术平方根：)0b ,0a (b a ab ≥≥⋅=，积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积；注意：本章中的公式，对字母的取值范围一般都有要求。 4．二次根式的乘法法则：)0b ,0a (ab b a ≥≥=⋅. 5．二次根式比较大小的方法： (1）利用近似值比大小； （2）把二次根式的系数移入二次根号内，然后比大小； （3）分别平方，然后比大小. 6．商的算术平方根： )0b ,0a (b a b a >≥=，商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根. 7．二次根式的除法法则： （1）)0b ,0a (b a b a >≥=； （2）)0b ,0a (b a b a >≥÷=÷； （3）分母有理化：化去分母中的根号叫做分母有理化；具体方法是：分式的分子与分母同乘 分母的有理化因式，使分母变为整式。 8．常用分母有理化因式:a a 与，b a b a +-与， b n a m b n a m -+与，它们也 叫互为有理化因式。 9．最简二次根式: （1)满足下列两个条件的二次根式,叫做最简二次根式，① 被开方数的因数是整数，因式是 整式，② 被开方数中不含能开的尽的因数或因式； （2）最简二次根式中,被开方数不能含有小数、分数,字母因式次数低于2，且不含分母； (3）化简二次根式时，往往需要把被开方数先分解因数或分解因式； （4）二次根式计算的最后结果必须化为最简二次根式。 二次根式经典难题(含答案) 1.当x满足x+2+1-2x有意义时。 2.若-m+1/(m+1)有意义，则m的取值范围是什么。 3.当x满足1-x为二次根式时。 4.在实数范围内分解因式：x^4-9=(x^2+3)(x^2-3)，x^2-22x+2=(x-11+3√3)(x-11-3√3)。 5.若4x^2=2x，则x的取值范围是0和1/2. 6.已知(x-2)^2=2-x，则x的取值范围是{x|x≤2+√2或x≥2-√2}。 7.化简：x^2-2x+1(x+1)的结果是(x-1)^2. 8.当1≤x≤5时，(x-1)^2+x-5=x^2-2x+5. 9.把a-1/a的根号外的因式移到根号内等于|a-1|。 10.使等式(x+1)(x-1)=x-1/x+1成立的条件是x不等于1. 11.若a-b+1与a+2b+4互为相反数，则(a-b)^2005=1. 12.在式子x^2(x,2,y+1)(y=-2),-2x(x,3,3),x^2+1,x+y中，二次根式有2个。 14.下列各式一定是二次根式的是a2+1. 15.若2a=3，则(2-a)^2-(a-3)^2等于5-2a。 16.若A=(a^2+4)^4，则A=(a^2+2)^2. 18.能使等式x/(x-2)=x-2成立的x的取值范围是{x|x≠2且x≥2}。 19.计算：(2a-1)^2+(1-2a)^2的值是4a^2-4a+2. 20.下面的推导中开始出错的步骤是(2)。 21.当a≤0，b≤0时，ab^3=-a^2b。 23.去掉下列各根式内的分母：(1) 2y/3x(x)。(2) (x- 1)/(x^5(x+1))(x-1)。 24.已知x^2-3x+1=0，求x^2+1/x^2-2的值为-1/3. 25.已知a,b为实数，且1+a-(b-1)/(1-b)=0，求a^2005- b^2006的值为a^2005-b^2005. 2.若 $2m+n-2$ 和 $33m-2n+2$ 都是最简二次根式，则$m=11,n=24$。 3.计算：$2\times3=6$，$36\times9=324$。 4.计算：$(48-327)\div3=-93$。 5.长方形的宽为 $3$，面积为 $26$，则长方形的长约为$8.67$。 7.已知 $xy$，化简二次根式 $\frac{x-y}{x^2}$ 的正确结果为 $\textbf{(B)}\ -y$。 8.对于所有实数 $a,b$，下列等式总能成立的是 $\textbf{(C)}\ (a^2+b^2)^2=a^4+2a^2b^2+b^4$。 第一章 二次根式 知识点一： 二次根式的概念 知识点二：取值范围：二次根式 （ ）的双重非负性 PS;单项式和多项式统称整式。单项式：由数字与字母或字母与字母的相乘组成的代数式叫做 单项式（单独的一个数字或字母也是单项式） 形如（）的式子叫做二次根式。 注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以 是 为二次根式的前提条件，如 ， ， 等是二次根式，而 ，等都不是二次根式。 例1下列各式13)- 其中是二次根式的是_________（填序号）． 例2、求下列二次根式中字母的取值范围 （1）x x -- +31 5；（2） 2 2) -(x 知识点三： 与的异同点 1、不同点：与 表示的意义是不同的， 表示一个正数a 的算术平方根的平 方，而 表示一个实数a 的平方的算术平方根；在 中 ，而 中a 可以是 正实数，0，负实数。但 与 都是非负数，即 ，。因而它的运 算的结果是有差别的， ，而 2、相同：当被开方数是非负数，即 时， = ； 时， 无意义，而 . 例3、（1）-2 )3(； （2）2 )3 2( ； （3） 2 )(b a + （a+b ≥0） 知识点四 .最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；⑵被开方数中不含分母；⑶分母中不含根式。 例4、（1 __ __；（2 =___ __；（3 =___ _；（4 0,0) x y ≥≥=___ _；（5）_______ 4 20= -。 例5、在根式 1) ，最简二次根式是（） A．1) 2) B．3) 4) C．1) 3) D．1) 4) 知识点五.二次根式的运算： PS把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项 1同类二次根式： 二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式 底数幂相乘，底数不变，指数相加。即：a m﹒a n=a m+n。 幂的乘方，底数不变，指数相乘。（a m）n =a m n 积的乘方，等于把积中的每个因式分别乘方，然后把所得的幂相乘。即（ab）n=a n b n。同底数幂相除，底数不变，指数相减，即：a m÷a n=a m-n（a≠0） 平方差：（a+b）(a-b)=a2-b2 完全平方：(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2 2.二次根式的性质： （1）（a）2=a（a≥0）；（ 2） （a≥0，b≥0）；=b≥0，a>0）． 例5的结果是8 2 5-= ； 3＋（5－3）的结果是。 例6、分母有理化 例7、计算下列各题 （1）2 3 + 3 2－2 2 + 3 （2）12 + 18－8－32 （3）40－ 10 1 5 + 10 a（a＞0） = =a a2 a -（a＜0） 0 （a=0）； 7 3 2 4 - 8 3 3 b a a + 2 3 2 3 2 - - x x 5 5 2 - - x x 二次根式知识点总结及常规题目 一、二次根式的概念 1.二次根式的定义： 形如)0(≥a a 的式子叫二次根式，其中a 叫被开方数，只有当a 是一个非负数时，a 才有意义． 【常规题目】 当x 为何值时，二次根式有意义？ （1）要使二次根式42-x 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ） A. x>2 B. x ≥2 C. x<2 D. x=2 （2）要使二次根式√x+1x−2在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ） （3）若12112+-+-x x 在实数范围内有意义，则x 满足的条件是（ ） A. 21≥x B. 21≤x C. 21=x D. 2 1≠x 二、二次根式的性质 1. 非负性：)0(≥a a 是一个非负数． 2.)0()(2≥=a a a )0()(2≥=a a a 【常规题目】 （1）已知实数m,n 满足012=++-m n ，则m+2n 的值为_______ （2）分解因式：9x 4−16= x 2−2√5+5= （3 ） A ．-2 B ．2 C ．-4 D ．4 3. ⎩⎨⎧<-≥==) 0()0(2a a a a a a 注意：（1）字母不一定是正数． （2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．（3）这个公式也常用来化简。（4）目标为会化简被开方数不含字母的根式。 【常规题目】 1.2−x ，那么x 取值范围是（ ） A ．x ≤2 B ．x ＜2 C ．x ≥2 D ．x ＞2 三、二次根式的乘除 1．积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。先开放再相乘。 )0,0(≥≥⋅=b a b a ab 2．二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。先相乘再开放。 )0,0(≥≥=⋅b a ab b a 3．商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根 。先开方再相除。 √a b =√a √b (a ≥0 b >0) 4．二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。先相除再开方 √a √b =√a b (a ≥0 b >0) 5.最简二次根式 （1）被开方数不能是分数或分式。引申：分母中不能含有根式。即被开方数是整数或整式； （2）被开方数中不含能开得尽方的数或因式。即被开方数不能分解出完全平方数；因式的指数必须为1. 【常规题目】 （1）下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. 2- B. 12 C. 5 1 D. 2a （2）熟记下列几个常用根式的化简 √8 √12 √12 √18 √24 √27 √23 √18 √3 2√2 6．分母有理化 （此概念为增加的相当于我们说的化成最简二次根式，目的是更加清楚化简方法，） （1）定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。 （2）其方法：①先将分子、分母化成最简二次根式； ②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式； （3）有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下： ①单项二次根式：利用a a a =⋅来确定，当分母中的根式不是最简二次根式时应先化简，再乘以分母的最简根式如： √8=2√2=√22√2×√2=√24 而不是直接乘以√8 二次根式知识点复习 【知识点1】二次根式的概念：一般地，我们把形如)0(0≥≥a a 的式子叫做二次根 式。二次根式的实质是一个非负数数a 的算数平方根。 【注】二次根式的概念有两个要点：一是从形式上看，应含有二次根号；二是被开方数的取值范围有限制：被开方数a 必须是非负数。 例1 下列各式（22211 (1) (2)5(3)2(4)4(5)()(6)1(7)2153 x a a a --+---+ 其中是二次根式的是_________（填序号）． 例2 使x ＋ 1 x-2 有意义的x 的取值范围是（ ） A ．x ≥0 B ．x ≠2 C ．x>2 D ．x ≥0且x ≠2． 例3 若y=5-x +x -5+2009，则x+y= 练习1使代数式有意义的x 的取值范围是 练习2若11x x ---2()x y =+，则x －y 的值为 例4 若230a b -+-=，则 2 a b -= 。 例5 在实数的范围内分解因式：X 4 - 4X 2 + 4= ________ 例6 若a 、b 为正实数，下列等式中一定成立的是（ ）： A 、a 2 +b 2 =a 2 +b 2 ； B 、（a 2 +b 2 ）2 =a 2 +b 2 ； C 、（ a + b ）2= a 2+b 2； D 、（a —b ）2 =a —b ； 【知识点2】二次根式的性质： （1）二次根式的非负性，)0(0≥≥a a 的最小值是0；也就是说a （ ）是一个非 负数，即)0(0≥≥a a 。 注：因为二次根式)0(0≥≥a a 表示a 的算术平方根，这个性质在解答题目时应用较多，如 若0a b +=，则a=0,b=0；若0a b +=，则a=0,b=0；若2 0a b +=，则a=0,b=0。 （2）2()a a =（ ） 文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非 负数。注：二次根式的性质公式2()a a =（）是逆用平方根的定义得出的结论。上 面的公式也可以反过来应用：若，则2()a a =，如： 22(2)= （3） 例7 a 、b 、c 为三角形的三条边，则=--+-+c a b c b a 2 )(____________. 例8 把(2-x)的根号外的（2-x ）适当变形后移入根号内，得 例 9 若二次根式 26x -+有意义，化简│x-4│-│7-x │ 初三数学二次根式试题答案及解析 1.若在实数范围内有意义，则x的取值范围是 【答案】x≤。 【解析】根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，可以求出x的范围。 根据题意得：1﹣3x≥0， 解得：x≤。 【考点】二次根式有意义的条件。 2.函数中，自变量x的取值范围是． 【答案】． 【解析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义，必须． 【考点】1．函数自变量的取值范围；2．二次根式有意义的条件． 3.若a＜＜b，且a，b为连续正整数，则b2﹣a2=． 【答案】7 【解析】∵32＜13＜42， ∴3＜＜4， 即a=3，b=4， 所以a+b=7． 【考点】估算 4.二次根式有意义，则实数x的取值范围是（） A．x≥﹣2B．x＞﹣2C．x＜2D．x≤2 【答案】B． 【解析】根据被开方数大于等于0，得﹣2x+4≥0，解得x≤2． 故选B． 【考点】二次根式有意义的条件． 5.使有意义的的取值范围是（） A．B．C．D． 【答案】C． 【解析】∵有意义 ∴3x-1≥0 解得：． 故选C． 【考点】二次根式有意义的条件． 6.在函数中，自变量a的取值范围是． 【答案】a≥2． 【解析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，列不等式求解． 根据题意得：a-2≥0，解得a≥2， 则自变量a的取值范围是a≥2． 【考点】1．函数自变量的取值范围; 2．二次根式有意义的条件． 7.将1、、、按右侧方式排列．若规定（m，n）表示第m排从左向右第n个数，则（7，3）所表示的数是；（5，2）与（20，17）表示的两数之积 是． 【答案】；3 【解析】根据数的排列方法可知，第一排：1个数，第二排2个数．第三排3个数，第四排4个数，…第m﹣1排有（m﹣1）个数，从第一排到（m﹣1）排共有：1+2+3+4+…+（m﹣1）个数，根据数的排列方法，每四个数一个轮回，根据题目意思找出第m排第n个数到底是哪个数后再计算． 解：（7，3）表示第7排从左向右第3个数，可以看出奇数排最中间的一个数都是1， 第7排是奇数排，最中间的也就是这排的第4个数是1，那么第3个就是：； 从图示中知道，（5，2）所表示的数是； ∵第19排最后一个数的序号是：1+2+3+4+…+19=190，则（20，17）表示的是第190+17=207 个数， 207÷4=51…3， ∴（20，17）表示的数是． ∴（5，2）与（20，17）表示的两数之积是：×=3． 故答案为：；3． 8.已知实数a在数轴上的对应点，如图所示，则化简所得结果 为 【答案】2a+1． 【解析】：由数轴表示数的方法得到a＞0，然后利用二次根式的性质得到原式=|a|+|a+1|=a+a+1，再合并即可． 试题解析:∵a＞0， ∴原式=|a|+|a+1| =a+a+1=2a+1． 考点: 1.二次根式的性质与化简；2.实数与数轴． 9.当1初二第四讲 二次根式的定义及性质
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