二次根式的概念和性质
基础知识
1、二次根式的定义：
我们已经知道：每一个正实数有且只有两个平方根，一个记作a，称为a的
。
算术平方根；另一个是a
我们把形如a的式子叫作二次根式，根号下的数a叫作被开方数.
由于在实数范围内，负实数没有平方根，因此只有当被开方数是非负实数时，二次根式才在实数范围内有意义．
2、二次根式的性质
3、二次根式的积的算数平方根的性质
4、最后的计算结果，具有以下特点：
（1）被开方数中不含开得尽方的因数（或因式）；
（2）被开方数不含分母.
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫作最简二次根式.
注意：①化简二次根式时，最后结果要求被开方数中不含开得尽方的因数.
②化简二次根式时，最后结果要求被开方数不含分母.
③今后在化简二次根式时，可以直接把根号下的每一个平方因子去掉平方号以后移到根号外（注意：从根号下直接移到根号外的数必须是非负数）.题型一、二次根式的概念和条件
【例1】
【例2】
【例3】
【例4】
【例6】
题型二、二次根式的性质
【例7】计算
【例8】
【例9】
【练一练】
4、
5、
6、
7、
题型三积的算数平方根的性质【例10】
【例11】
【例12】
【例13】
【例14】
题型四二次根式的化简
【例题精析】
【例16】
【例17】
【例18】
【练一练】
4、
5、6、6、
7、
二次根式知识点总结
二次根式知识点总结 1. 二次根式的定义和性质 二次根式是指具有形式√a的数，其中a是非负实数。以下是二次根式的一些重 要性质： •非负性：对于任何非负实数a，√a也是一个非负实数。 •平方性：对于任何非负实数a，(√a)2=a。 •唯一性：每个非负实数都有唯一的平方根。 2. 化简和计算二次根式 化简和计算二次根式是处理二次根式的基本操作。下面是一些常见的规则和方法：•合并同类项：如果两个或多个二次根式具有相同的根指数并且根下的值相同，则可以合并它们。 •分解因子：对于某些特定的二次根式，可以将其分解为更简单的形式，例如√ab=√a⋅√b。 •有理化分母：当一个二次根式出现在分母中时，可以通过乘以适当的形式来 有理化分母，例如 √2=√2 2 。 •乘法和除法规则：二次根式可以与其他数进行乘法和除法运算，例如√a⋅ √b=√ab和√a √b =√a √b ⋅√b √b =√ab b 。 3. 二次根式的性质和定理 二次根式具有许多重要的性质和定理，这些性质和定理可以帮助我们解决各种问题。以下是一些常见的性质和定理： •无理数性质：对于大多数非完全平方数a，√a是一个无理数。 •比较大小：对于两个非负实数a和b，如果a •方程：将方程两边进行平方操作，然后化简为二次根式形式，最后解得方程的解。 •不等式：根据二次根式的性质，可以比较大小或使用其他方法来解决不等式。 5. 与其他数学概念的关系 二次根式与其他数学概念之间存在着密切的关系。以下是一些与二次根式相关的重要概念： •平方数：对于某个非负实数a，如果存在另一个非负实数b，使得b2=a，那么a就是一个平方数。平方数可以看作是某个非负实数的平方根。 •无理数：大多数非完全平方数都是无理数。二次根式经常涉及到无理数。•三角函数：三角函数涉及到角度和弧度单位，而弧度单位通常涉及到π的倍数。在三角函数中经常会遇到√π或√2π等形式。 总结 二次根式是数学中的重要概念，具有许多有用的性质和定理。掌握二次根式的化简、计算、方程和不等式解法以及与其他数学概念的关系，可以帮助我们更好地理解和应用二次根式。通过深入学习和练习二次根式相关知识，我们可以在解决各种数学问题时更加灵活和高效。 二次根式知识点总结 二次根式是高中数学中重要的知识点之一，它在解决一元二次方程、求解勾股定理以及图形的面积计算等问题中起到了重要的作用。本文 将对二次根式的定义、性质以及相关的数学运算进行总结，并探讨其 在实际问题中的应用。 一、二次根式的定义 二次根式是指形如√a的代数式，其中a为非负实数。它可以表示为 一个单独的根号表达式，也可以是两个或多个二次根式之间的运算。 二、二次根式的性质 1. 二次根式与有理数的关系：二次根式可以是有理数或无理数。当 根号内的数可以化简为有理数时，二次根式即为有理数；否则，二次 根式为无理数。 2. 二次根式的相等性：两个二次根式相等的条件是它们的被开方数 相等。 3. 二次根式的大小比较：对于非负实数a和b，若a > b，则有√a > √b。 4. 二次根式的运算性质：对于非负实数a和b，有以下运算性质： - 加法：√a + √b = √(a + b) - 减法：√a - √b = √(a - b)，其中a ≥ b - 乘法：√a * √b = √(a * b) - 除法：√a / √b = √(a / b)，其中b ≠ 0 三、二次根式的化简 当二次根式存在可以化简的情况时，可以通过以下方法进行化简： 1. 提取因子法：将根号内的数分解为两个数的乘积，其中一个数是完全平方数，并提取出完全平方数的根号作为整体。 2. 有理化分母法：对于含有二次根式的分数，可以通过有理化分母的方法化简，即将分母有理化为一个有理数或二次根式。 四、二次根式的应用 1. 解一元二次方程：一元二次方程的形如ax^2 + bx + c = 0，其中a ≠ 0。通过二次根式的求解方法，可以求得方程的解，并通过图像分析得到方程的根的性质。 2. 求解勾股定理：在平面几何中，勾股定理是指在直角三角形中，直角边的平方等于两个其他边的平方之和。通过二次根式的运算，可以准确计算出直角三角形的边长。 3. 计算图形的面积：在几何问题中，经常需要计算图形的面积，而某些图形的面积计算涉及到二次根式。通过对图形进行分解、转化，可以运用二次根式的知识求解出面积。 综上所述，二次根式是数学中重要的一个概念，它不仅具有一定的理论价值，还在实际问题中具有广泛的应用。了解和掌握二次根式的 二次根式的性质 二次根式是数学中的一个重要概念，也是代数学中的一个常见表达式。它们具有一些特殊的性质，我们来详细探讨一下。 一、定义 二次根式是指形如√a的表达式，其中a是一个非负实数。这里√称 为根号，a称为被开方数。当然，a可以是一个整数、小数或者分数。 二、性质 1. 非负性：二次根式的被开方数a必须是非负实数，即a≥0。因为 √a是要求开方的数是非负的，否则就没有实数解。 2. 唯一性：对于给定的非负实数a，它的二次根式√a是唯一确定的。这是因为非负实数平方的结果只有一个非负实数。 例如，√9=3，√25=5，√36=6，等等。 3. 运算性质： （1）加法与减法：二次根式可以进行加法和减法运算。当两个二次根式的被开方数相同时，它们可以相加或相减。 例如，√a + √a = 2√a，√25 - √16 = √9 = 3。 （2）乘法：二次根式可以进行乘法运算。两个二次根式相乘时，被开方数相乘，根号下的系数可以相乘。 例如，√a × √b = √(ab)，2√3 × 3√5 = 6√15。 （3）除法：二次根式可以进行除法运算。两个二次根式相除时，被开方数相除，根号下的系数也可以相除。 例如，√a ÷ √b = √(a/b)，6√15 ÷ 3√5 = 2√3。 4. 化简与整理： （1）化简：有时候二次根式可以化简为更简单的形式。例如，√4 = 2，√9 = 3，等等。 化简的关键是找到被开方数的平方因子，然后将依次提取出来。 （2）整理：有时候需要将二次根式按照一定的规则整理，使得表达式更具可读性。 例如，将√3 × 2√5整理为2√15，将5√a + 3√a整理为8√a，等等。 3. 近似值：对于无理数的二次根式，我们可以用近似值来表示。这 里的近似值可以使用小数形式或者分数形式。 四、应用 二次根式是数学中广泛应用的一个概念，它在几何、代数、物理等 领域都有重要作用。 1. 几何：二次根式在几何中常常用来表示线段的长度。例如，一条 边长为3的正方形的对角线长度可以表示为√18。 2. 代数：二次根式在代数中经常用来求解方程或者简化表达式。例如，在求解二次方程时，会出现√b²-4ac。 二次根式的定义性质和概念 如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。a可以是具体的数，也可以是含有字母的代数式。 即：若，则x叫做a的平方根，记作x= 。其中a叫被开方数。其中正的平方根被称为算术平方根。 关于二次根式概念，应注意： 被开方数可以是数，也可以是代数式。被开方数为正或0的，其平方根为实数;被开方数为负的，其平方根为虚数。 二次根式的性质： 1.任何一个正数的平方根有两个，它们互为相反数。如正数a的算术平方根是，则a的另一个平方根为﹣ ;最简形势中被开方数不能有分母存在。 2.零的平方根是零，即 ; 3.有理化根式：如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式互为有理化根式,也称互为有理化因式。 4.无理数可用有理数形式表示, 如: 。 二次根式的几何意义 1、(a≥0)[任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式;利用此性质在实数范围内因式分解]; 2、都是非负数;当a≥0时， ;而中a取值范围是a≥0，中取值范围是全体实数。 3、c= 表示直角三角形内，斜边等于两直角边的平方和的根号，即勾股定理推论; 4、逆用可将根号外的非负因式移到括号内，如 ﹙a>0﹚，﹙a<0﹚ ﹙a≥0﹚，﹙a<0﹚ 5、注意: ，即具有双重非负性。 算术平方根 正数a的正的平方根和零的平方根统称为算术平方根，用(a≥0)来表示。 0的算术平方根为0. 开平方运算 求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方。开平方与平方互为逆运算。 化简 化简二次根式是初中阶段考试必考的内容，初中竞赛的题目中也常常会考察这一内容。 最简二次根式 定义概要(❶被开方数不含分母❷被开方数中不含能开得尽的因数或因式) 二次根式化简一般步骤： ①把带分数或小数化成假分数; ②把开方数分解成质因数或分解因式; ③把根号内能开得尽方的因式或因数移到根号外; ④化去根号内的分母，或化去分母中的根号; ⑤约分。 有理化因式 两个含有二次根式的代数式相乘，如果他们的积不含有二次根式，那么这两个代数式叫做互为有理化因式 注意﹙①他们必须是成对出现的两个代数式;②这两个代数式都含有二次 根式;③这两个代数式的积化简后不再含有二次根式④一个二次根式可以与几个二 次根式互为有理化因式﹚ 分母有理化 二次根式的有关概念及性质 一、二次根式的有关概念： 1.二次根式：式子(a≥0)叫做二次根式。 2.最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式； （1）被开方数的因数是整数，因式是整式； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。如不是最简二次根式，因被开方数中 含有4是可开得尽方的因数，又如，，..........都不是最简二次根式，而， ，5，都是最简二次根式。 3.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根 式就叫做同类二次根式。如, , 就是同类二次根式，因为=2，=3， 它们与的被开方数均为2。 4.有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，则说这两 个代数式互为有理化因式。如与，a+与a-，-与+，互为有理化因式。 二、二次根式的性质： 1.(a≥0)是一个非负数, 即≥0; 2.非负数的算术平方根再平方仍得这个数，即：()2=a(a≥0)； 3.某数的平方的算术平方根等于某数的绝对值，即=|a|= 4.非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即=· （a≥0,b≥0）。 5.非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根，即= （a≥0,b>0）。 三、例题： 例1.x为何值时，下列各式在实数范围内才有意义： （1）（2）（3） （4）+（5）（6）+ 分析：这是一组考察二次根式基本概念的问题，要弄清每一个数学表达式的含义，根据分式和根式成立的条件去解，即要考虑到分式的分母不能为0并且偶次根号下被开方数要大于或等于零。 解：（1）∵6-x≥0,∴x≤6时原式有意义。 （2）∵x2≥0, ∴x2+3>0, ∴x取任意实数原式都有意义。 （3） ∵∴ ∴当x<3且x≠-3时，原式有意义。 （4） ∵∴ ∴当-≤x<时，原式有意义。 （5） 二次根式的定义与性质 二次根式基本知识点 1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。 2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母；⑶分母中不含根式。 3.同类二次根式： 1°二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。 2°合并同类二次根式 合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变.(合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似) 注意：(1)根号外面的因式就是这个根式的系数； (2)二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式； (3)不是同类二次根式，不能合并 4.二次根式的性质： （1）（a ）2=a （a ≥0）；（2）= =a a 2 （3）积的算术平方根的性质：b a ab ⋅=（a≥0，b≥0），即积的算术平方根等于积中各因式的算术平 方根的积. （4）商的算术平方根的性质b a b a = （0≥a ，0>b ） ，即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根. 二次根式的考点 考点一：二次根式的概念 形如a （ ）的式子叫做二次根式。【注】：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、 多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是 为二次根式的前提条件， 如 ， ， 等是二次根式，而 ， 等都不是二次根式。 考点二：取值范围 1. 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a ≧0时， 有意义，是二次根式，所以要使二 次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。 2. 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a ﹤0时，没有意义。 考点三：二次根式 （ ）的非负性 a （a ＞0） a -（a ＜0） 0 （a =0）； 二次根式 一考点、热点回顾 1.二次根式：式子a（a≥0）叫做二次根式。 2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；⑵被开方数中不含分母；⑶分母中不含根式。如不是最简二次根式，因被开方数中含有4是可开得尽方 的因数，又如，，..........都不是最简二次根式，而， ，5，都是最简二次根式。 3.同类二次根式： 二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。如, , 就是同类二次根式，因为=2，=3，它们与的被开方数均为2。 4.二次根式的性质： 1.(a≥0)是一个非负数, 即≥0; 2.非负数的算术平方根再平方仍得这个数，即：()2=a(a≥0)； 3.某数的平方的算术平方根等于某数的绝对值，即=|a|= 4.非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即 =·（a≥0,b≥0）。 5.非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根，即= 5.二次根式的运算： （1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，•变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面． （2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式． （3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式． ab =a ·b （a≥0，b≥0）； b b a a = （b≥0，a>0）． （4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，•乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算． 二 典型例题 例1下列各式(1) x 21, 1)2(-, 5)3(2+x , 2)3()4(-, 44)5(2+-x x 其中是二次根式的是_________（填序号）． 例2、求下列二次根式中字母的取值范围 （1） x x -- +31 5；（2） 2 2) -(x (3) 1 21--x x 例3、 在根式1) 22 2 ;2) ;3);4)275 x a b x xy abc +-，最简二次根式是（ ） A ．1) 2) B ．3) 4) C ．1) 3) D ．1) 4) 例4、计算32)214 505 1183(÷ -+的值 例5、要使1213-+ -x x 有意义，则x 应满足（ ） 二次根式的性质 在数学中，二次根式是指具有形如√a的数，其中a是一个非负实数。二次根式在代数和几何中有着广泛的应用，特别是在求解方程、计算 面积和体积等问题中。 一、二次根式的定义 二次根式通常表示为√a，其中a≥0。如果a>0，则√a被称为正根式，如果a=0，则√a=0；如果a<0，则二次根式不存在，因为它不是一个实数。 二、二次根式的性质 1. 二次根式的平方 二次根式的平方等于它本身，即(√a)^2 = a。这是因为二次根式表 示的是一个数的正平方根，而正平方根的平方等于被开方数本身。 2. 二次根式的加减运算 如果两个二次根式的被开方数相同，那么它们可以进行加减运算。 例如，√2 + √2 = 2√2。当然，如果两个二次根式的被开方数不同，则无法进行加减运算。 3. 二次根式的乘法 两个二次根式可以进行乘法运算，即(√a) * (√b) = √(a * b)。这个性 质可以通过平方的方式进行证明。例如，(√2) * (√3) = (√2^2) * (√3^2) = √(2 * 3) = √6。 4. 二次根式的除法 两个非零的二次根式可以进行除法运算，即(√a) / (√b) = √(a / b)。这个性质也可以通过平方的方式进行证明。 5. 二次根式的化简 将一个二次根式化简为最简形式是一种常见的操作。例如，将√8化简为√(4 * 2)，再进一步化简为2√2。也可以将√32化简为√(16 * 2)，再化简为4√2。化简后的二次根式更加简洁明了。 6. 二次根式的大小比较 当两个二次根式的被开方数相同时，它们的大小关系取决于它们的系数。例如，2√3和3√2，由于√3>√2，所以2√3<3√2。但如果被开方数不同，则无法直接比较大小。 7. 二次根式的乘方 一个二次根式可以进行乘方运算，例如(√2)^3 = (√2) * (√2) * (√2) = √(2 * 2 * 2) = 2√2。这个性质是由乘法的性质推导而来。 总结： 二次根式是具有形如√a的数，它们具有以下性质：平方等于本身、可进行加减乘除运算、可以化简为最简形式、可以进行乘方运算等。掌握二次根式的性质对于解决代数和几何中的问题非常重要。通过灵活运用二次根式的性质，我们可以更加方便地进行计算和推导，提高数学问题的解决效率。 二次根式与三次根式 根式是数学中常见的一种表达形式，它表示一个数的平方根或立方根。在数学中，二次根式和三次根式是两种重要的根式形式。接下来，我们将详细介绍这两种根式并探讨它们的特点与应用。 一、二次根式 二次根式是指一个数的平方根，它可以用√a的形式表示，其中a为 非负实数。具体而言，如果一个数x满足x^2=a，那么就可以表示为 x=√a。 在二次根式中，我们需要注意以下几个重要的概念和性质： 1. 平方根的性质：如果a和b都是非负实数，则有以下性质成立： - √(a*b) = √a * √b - √(a/b) = √a / √b 2. 二次根式的化简：有时候，我们需要将一个二次根式进行化简。 例如，√8可以化简为2√2，即8的平方根等于2与2的平方根的乘积。 3. 二次根式的运算：当我们进行二次根式的加减乘除运算时，可以 运用化简、合并同类项等方法进行简化。例如，√2 + √8可以化简为 3√2，即2的平方根与8的平方根的和为3倍的2的平方根。 二、三次根式 三次根式是指一个数的立方根，它可以用³√a的形式表示，其中a 为实数。具体而言，如果一个数x满足x^3=a，那么就可以表示为 x=³√a。 在三次根式中，我们需要注意以下几个重要的概念和性质： 1. 立方根的性质：对于任意实数a和b，我们有以下性质成立： - ³√(a*b) = ³√a * ³√b - ³√(a/b) = ³√a / ³√b 2. 三次根式的化简：类似于二次根式，有时候我们需要将一个三次 根式进行化简。例如，³√27可以化简为3，即27的立方根等于3。 3. 三次根式的运算：三次根式的加减乘除运算也可以通过化简和合 并同类项等方式进行简化。例如，³√2 + ³√8可以化简为³√10，即2的立方根与8的立方根的和等于10的立方根。 综上所述，二次根式和三次根式在数学中具有重要的地位和应用。 它们不仅在代数、几何和物理等领域中被广泛使用，而且在实际生活 中也有许多实际应用。比如，当我们需要计算某些物体的面积、体积 或者进行复杂数据的分析时，可能会涉及到二次根式和三次根式的运算。 需要注意的是，在实际问题中，我们经常会遇到需要近似计算根式 的情况。对于无理数的根式，我们可以通过数值方法，如牛顿迭代法等，来进行近似计算。这样可以帮助我们更好地应对复杂的根式运算。 二次根式及性质. 知识要点： （1）平方根与立方根 a. 平方根的概念：如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根。用±a 表示。 例如：因为()±=± =±525252552 ，所以的平方根为。 b. 算术平方根的概念：正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根。0的算术平方根为0。用a 表示a 的算术平方根。 例如：3的平方根为±3，其中3为3的算术平方根。 c. 立方根的概念：如果一个数的立方等于a ，那么这个数就叫做a 的立方根，用a 3 表示。 例如：因为3272727333 ==，所以的立方根为。 d. 平方根的特征： ①一个正数有两个平方根，它们互为相反数。 ②0有一个平方根，就是0本身。 ③负数没有平方根。 e. 立方根的特征： ①正数有一个正的立方根。 ②负数有一个负的立方根。 ③0的立方根为0。 ④-=-a a 33 。 ⑤立方根等于其本身的数有三个：1，0，－1。 （2）二次根式 a. 二次根式的概念：形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式（二次根式中，被开方数一定是非负数，否则就没有意义，并且根式a ≥0）。 b. 二次根式的基本性质： ①a a ≥≥00（） ②()a a a 2 0=≥（） ③ a a a a a a a 20000==>=-<⎧⎨⎪ ⎩ ⎪||（）（） （） ④ab a b a b =⋅≥≥（，）00 ⑤b a b a a b =>≥（，）00 c. 二次根式的乘除法 ①a b ab a b ⋅= ≥≥（，）00 ②b a b a a b = >≥（，）00 d. 最简二次根式的标准： ①被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不含根号）。 ②被开方数中不含开得尽方的因数或因式。 e. 同类二次根式的识别： 几个二次根式化简到不能再化简为止后，被开方数相同，则这几个二次根式是同类二次根式。 例如：8222=与是同类二次根式，35a a 与-是同类二次根式。 f. 二次根式的加减法运算法则： 在加减运算中，一般把二次根式化简后再运算，运算时只有同类二次根式才能合并（合并时，只合并根号外的因式，被开方数不变），合并同类二次根式之后的式子作为最后的结果（注意：最后结果要尽可能最简）。 h. 使分母不带根号（分母有理化）常用方法： ①化去分母中的根号关键是确定与分母相乘后，其结果不再含根号的因式。 二次根式知识点归纳及典型例题 1.二次根式定义：形如（a≥0）的式子，叫做二次根式. 2.二次根式的性质： ①≥0(a≥0),这是因为(a≥0)表示a的算术平方根，根据算术平方根的意义， 当a>0时，>0，当a=0时，= 0 . ∴≥0.利用这一性质，可以解决下面问题：若，则x=－2，y=2. ②()2= a (a≥0)，在探究这一性质时，教科书所采用的方法是不完全归纳法，而 根据算术平方根的意义有：如果x2=a(x≥0)，则x=，所以代入上式得()2=a．③= a (a≥0) ，根据算术平方根的意义该性质的推导过程应是：因为当a≥0 时，a2的算术平方根是a, 所以. 3.代数式：用基本运算符号(基本运算符号包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示的数的字母连接起来的式子，叫代数式. 4.利用二次根式性质化简：利用=a(a≥0)化简某些代数式时，一般应将被开方数化为完全平方式，如化简(x>－1)=. 典例讲解 例1、填空题：（1）式子中x的取值范围是______________. （2）当x满足条件______________时，式子有意义. （3）当x=__________时，有最小值，最小值是_________. （4）如果是正整数，那么x能取的最小自然数是________. 答案：（1）x>－2 （2）x≥0且x≠1 （3）－25；9 （4）6 例2、选择题： （1）化简的值为（） A. 4 B.－4 C.±4 D. 16 （2）下列各组数中，互为相反数的是（） A. －2与 B. C.－2和 D. 2和 （3）若x≥0，那么等于（） A.x B.－x C.－2x D. 2x （4）当a≥1，则=（） A.2a－1 B. 1－2a C.－1 D. 1 （5）在实数范围内分解因式：x2－3=（） A.(x＋3)(x－3) B.(x＋)(x－) C.(x＋)(x－) D.(x＋9)(x－9) 答案：（1）A （2）A （3）B （4）A （5）C 例3、用带有根号的式子表示： （1）已知一个正方体的表面积是S.求它的棱长. 解：设它的棱长为x，则所以,故它的棱长为． （2）一个圆的半径是10cm，是它面积2倍的正方形的边长为多少？ 解：设这个正方形的边长为xcm.则所以． 正方形的边长为㎝． 二次根式的概念和性质（基础）知识讲解 责编：杜少波 【学习目标】 1、理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由. 2、理解并掌握下列结论：，，，并利用它们进行计算和化简. 3、理解并掌握同类二次根式和最简二次根式的概念，能运用二次根式的有关性质进行化简. 【要点梳理】 要点一、二次根式及代数式的概念 1.二次根式：一般地，我们把形如(a ≥0)•的式子叫做二次根式，“”称为二次根号． 要点诠释： 二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数. 2.代数式：形如5，a ，a+b ，ab ，，x 3，这些式子，用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式. 要点二、二次根式的性质 1、 ； 2.； 3. . 要点诠释： 1.二次根式(a ≥0)的值是非负数。一个非负数可以写成它的算术平方根的形式， 即2(0a a a =≥）. 2a 2()a 要注意区别与联系：1).a 的取值范围不同，2)a 中a ≥02a a 为任意值。 2).a ≥0时，2()a 2a a ；a <0时，2)a 2a a -. 要点三、最简二次根式 （1）被开方数不含有分母； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 满足这两个条件的二次根式叫最简二次根式. 要点诠释：二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况： （1) 被开方数是分数或分式； （2）含有能开方的因数或因式. 要点四、同类二次根式 1. 定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做 同类二次根式 要点诠释： (1)判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先将二次根式化成最简二次根式，再看被开方数是否相同； (2)几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关. 2.合并同类二次根式 合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变.(合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似) 要点诠释： (1)根号外面的因式就是这个根式的系数； (2)二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式 【典型例题】 类型一、二次根式的概念 1.当x 为实数时，下列各式()2223,1, ,,,x x x x x --，，，属二次根式的有____ 个. 【答案】 3 【解析】 ()22,,x x x - 这三个式子满足无论x 取何值，被开方数都大于等于零. 【总结升华】二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“ ”；第二，被开方数是正数或0． 举一反三： 【变式】下列式子中二次根式的个数有（ ） （1）13；（2）3-； （3）21x -+；（4）38； （5）21()3 -；（6）1x -（1x >） A ．2 B.3 C.4 D.5 【答案】B 【高清课堂：高清ID 号：381279 关联的位置名称：二次根式及其乘除法（上）经典例题1】 2. x 取何值时，下列函数在实数范围内有意义？ （1）1y x =- （2）y=2+x －x 23-； 【答案与解析】 （1） 1x -≥0，所以x ≥1. （2）2x +≥0,32x -≥0,所以2-≤x ≤32 ； 二次根式的概念 二次根式，也称为平方根，是指一个数的平方根，即找出一个数， 使其平方等于给定的数。在代数中，二次根式是非常重要的数学概念。它们在代数运算、方程求解以及几何形状的计算中都有广泛应用。本 文将介绍二次根式的定义、性质和一些常用的求解方法。 一、二次根式的定义 在数学中，二次根式是一个数学表达式，形式为√a，其中a是一个 非负实数。它表示一个数x，使得x的平方等于a。例如，√4表示一个 数x，使得x的平方等于4，因此x等于正负2。当a是一个负实数时，二次根式通常用i来表示虚数单位。虚数单位i定义为√-1。因此，√-9 可以表示为3i，因为(3i)^2 = -9。 二、二次根式的性质 1. 非负实数的二次根式是唯一确定的。即对于给定的非负实数a， 它的二次根式√a只有一个值。 2. 二次根式满足乘法运算律。即对于任意非负实数a和b，有√(ab) = √a * √b。 3. 二次根式满足除法运算律。即对于任意非负实数a和b，有√(a/b) = √a / √b，其中b不等于0。 4. 二次根式满足加法和减法运算律。即对于任意非负实数a和b， 有√a ± √b不能进行合并。 三、二次根式的求解方法 1. 分解因式法：如果二次根式的被开方数可以分解成两个平方数的 乘积，那么可以利用分解因式的方法来求解。例如，√12可以分解为 √(4 * 3)，然后再分别对4和3开方，最后得到2√3。 2. 化简法：可以将二次根式的被开方数进行化简，将其中的一个因 子提取出来，并留在根号外面。例如，√50可以化简为√(25 * 2)，再对25开方得到5，最终得到5√2。 3. 有理化法：当二次根式的被开方数是一个分数时，可以利用有理 化方法将其化为无理数。有理化的方法是在分子和分母上同时乘以一 个适当的数，使得分母变为一个有理数。例如，√(3/5)可以进行有理化，将分子和分母同时乘以√5，得到√(3/5) * (√5/√5)= √15 / 5。 四、结论 本文介绍了二次根式的定义、性质和求解方法。通过研究二次根式，我们可以深入理解数的平方根，并在代数、几何等领域中灵活运用。 对于二次根式的理解，对于学习和解决数学问题都有着重要意义。希 望通过本文的阐述，读者能够更好地理解和应用二次根式的概念。 页眉内容 二次根式的有关概念及性质 一、二次根式的有关概念： 1.二次根式：式子(a≥0)叫做二次根式。 2.最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式； （1）被开方数的因数是整数，因式是整式； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。如不是最简二次根式，因被开方数中 含有4是可开得尽方的因数，又如，，..........都不是最简二次根式，而， ，5，都是最简二次根式。 3.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根 式就叫做同类二次根式。如, , 就是同类二次根式，因为=2，=3， 它们与的被开方数均为2。 4.有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，则说这两 个代数式互为有理化因式。如与，a+与a-，-与+，互为有理化因式。 二、二次根式的性质： 1.(a≥0)是一个非负数, 即≥0; 2.非负数的算术平方根再平方仍得这个数，即：()2=a(a≥0)； 3.某数的平方的算术平方根等于某数的绝对值，即=|a|= 4.非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即=· （a≥0,b≥0）。 5.非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根，即= （a≥0,b>0）。 三、例题： 例1.x为何值时，下列各式在实数范围内才有意义： （1）（2）（3） （4）+（5）（6）+ 分析：这是一组考察二次根式基本概念的问题，要弄清每一个数学表达式的含义，根据分式和根式成立的条件去解，即要考虑到分式的分母不能为0并且偶次根号下被开方数要大于或等于零。 解：（1）∵6-x≥0,∴x≤6时原式有意义。 （2）∵x2≥0, ∴x2+3>0, ∴x取任意实数原式都有意义。 （3） ∵∴ ∴当x<3且x≠-3时，原式有意义。 （4） ∵∴ ∴当-≤x<时，原式有意义。 （5） 【知识回顾】 1.二次根式：式子a〔a≥0〕叫做二次根式。 2.最简二次根式：必须同时满足如下条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；⑵被开方数中不含分母；⑶分母中不含根式。 3.同类二次根式： 二次根式化成最简二次根式后，假如被开方数一样，如此这几个二次根式就是同类二次根式。4.二次根式的性质： 〔1〕〔a〕2=a〔a≥0〕；〔2 〕 5.二次根式的运算： 〔1〕因式的外移和移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面． 〔2〕二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式． 〔3〕二次根式的乘除法：二次根式相乘〔除〕，将被开方数相乘〔除〕，所得的积〔商〕仍作积〔商〕的被开方数并将运算结果化为最简二次根式． a≥0，b≥0〕=b≥0，a>0〕． 〔4〕有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律与结合律，乘法对加法的分配律以与多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算． 【典型例题】 1、概念与性质 例1如下各式1 其中是二次根式的是_________〔填序号〕． 例2、求如下二次根式中字母的取值围 〔1〕 x x - - + 3 1 5 ；〔2〕 2 2) - (x 例3、在根式1) A．1) 2) B．3) 4) C．1) 3) D．1) 4) 例4、： 的值。 求代数式2 2 , 2 1 1 8 8 1- + - + + + - + - = x y y x x y y x x x y a〔a＞0〕 = =a a2 a -〔a＜0〕 0 〔a=0〕；二次根式知识点总结
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