2020年河南省高考数学(理科)模拟试卷(10)

2020年河南省高考数学（理科）模拟试卷（10）

一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）

1．（5分）设集合M＝{1，2，3}，N＝{x∈Z|x2﹣2x﹣3＜0}，则M∪N＝（）A．{1，2，3}B．{﹣1，0，1，2，3}C．{0，1，2，3}

D．{1，2}

2．（5分）已知复数z满足z+2i∈R，z的共轭复数为z，则z?z=（）A．0B．4i C．﹣4i D．﹣4

3．（5分）数列{a n}满足a n+2﹣a n+1＝a n+1﹣a n（n∈N*），且a8＝10，则S15＝（）A．95B．190C．380D．150

4．（5分）射线测厚技术原理公式为I=I0e?ρμt，其中I0，I分别为射线穿过被测物前后的强度，e是自然对数的底数，t为被测物厚度，ρ为被测物的密度，μ是被测物对射线的吸收系数．工业上通常用镅241（241Am）低能γ射线测量钢板的厚度．若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8，钢的密度为7.6，则这种射线的吸收系数为（）

（注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，ln2≈0.6931，结果精确到0.001）

A．0.110B．0.112C．0.114D．0.116

5．（5分）函数y=2x?2?x

|x|?cosx的图象大致为（）

A．B．

C．D．

6．（5分）今年入冬以来，我市天机反复．在下图中统计了我市上个月前15的气温，以及

相对去年同期的气温差（今年气温﹣去年气温，单位：摄氏度），以下判断错误的是（ ）

A ．今年每天气温都比去年气温低

B ．今年的气温的平均值比去年低

C ．今年8﹣12号气温持续上升

D ．今年8号气温最低

7．（5分）在△ABC 中，点D 为AB 边上一点，且AD →

=14AB →，则CD →=（ ）

A ．3

4

CA →

+

14

CB →

B ．?34CA →?14CB →

C ．?34CA →+14CB →

D ．1

4

CA →

+

34

CB →

8．（5分）已知F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，过点F 且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，则||F A |﹣|FB ||的值等于（ ） A ．8√2

B ．8

C ．4√2

D ．4

9．（5分）要得到函数y =sin(2x ?π

6

)的图象，只需将函数y =sin(x ?π6

)的图象（ ） A ．横坐标缩小到原来的1

2，纵坐标不变

B ．横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变

C ．纵坐标缩小到原来的1

2，横坐标不变

D ．纵坐标扩大到原来的2倍，横坐标不变 10．（5分）设a ＝ln 3，则b ＝lg 3，则（ ） A ．a +b ＞a ﹣b ＞ab

B ．a +b ＞ab ＞a ﹣b

C ．a ﹣b ＞a +b ＞ab

D ．a ﹣b ＞ab ＞a +b

11．（5分）已知四棱锥P ﹣ABCD 的五个顶点都在球O 的球面上，AB ＝AD ＝CD ，BC ∥AD ，∠ABC ＝60°，△P AB 是等边三角形，若四棱锥P ﹣ABCD 体积的最大值9√3，则球O 的表面积为（ ） A ．56π

B ．54π

C ．52π

D ．50π

12．（5分）设一个正三棱柱ABC ﹣DEF ，每条棱长都相等，一只蚂蚁从上底面ABC 的某顶点出发，每次只沿着棱爬行并爬到另一个顶点，算一次爬行，若它选择三个方向爬行的

概率相等，若蚂蚁爬行10次，仍然在上底面的概率为P 10，则P 10为（ ） A ．1

4

?(1

3

)10+1

2

B ．(13)11+12

C ．(13)11?1

2

D ．12

?(13

)10+12

二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分） 13．（5分）(√x 3

?2

x )4的展开式中，常数项是 ．

14．（5分）已知实数x ，y 满足约束条件{x ≤2x ?y +1≥02x +y ?4≥0，则z ＝3x +y 的取值范围为 ．

15．（5分）若双曲线

x 2m

?y 2

=1与

x 23

?

y 22

=1有相同的焦点，则实数m ＝ ．

16．（5分）已知函数f （x ）=1

3

x 3?ex 2+ax ，g(x)=

lnx x ，对于任意的x 1∈[1

2

，e]，存在x 2∈[1

2，e]，使f '（x 1）≤g （x 2），则实数a 的取值范围为 ；若不等式f （x ）+1

6x 3

＜xg （x ）有且仅有一个整数解，则实数a 的取值范围为 ．

三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）

17．（12分）已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝2a n ﹣1+2n ﹣1（n ≥2），数列{b n }满足b n ＝a n +2n +3． （Ⅰ）求证数列{b n }是等比数列； （Ⅱ）求数列{a n }的前n 项和S n ．

18．（12分）四棱锥S ﹣ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面SAD 为正三角形，SC =2√2，E 为AD 的中点． （Ⅰ）证明：平面SAD ⊥平面ABCD ； （Ⅱ）求直线SB 与平面SEC 所成角的正弦值．

19．（12分）如图，已知椭圆E 的右焦点为F 2（1，0），P ，Q 为椭圆上的两个动点，△PQF 2

周长的最大值为8．

（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；

（Ⅱ）直线1经过F2，交椭圆E于点A，B，直线m与直线l的倾斜角互补，且交椭圆E 于点M，N，|MN|2＝4|AB|，求证：直线m与直线l的交点T在定直线上．

20．（12分）某区组织群众性登山健身活动，招募了N名师生志愿者，现将所有志愿者按年龄情况分为15～20，20～25，25～30，30～35，35～40，40～45六组，其频率分布直方图如图所示：已知30～35之间的志愿者共8人．

（1）求N和20～30之间的志愿者人数N1；

（2）组织者从35～45之间的志愿者（其中共有4名女教师，其余全为男教师）中随机选取3名担任后勤保障工作，记其中女教师的数量为ξ，求随机变量ξ的概率分布列和数学期望．

21．（12分）已知函数f(x)=(1

2

x2?ax)lnx?12x2+32ax．

（1）讨论函数f（x）的极值点；

（2）若f（x）极大值大于1，求a的取值范围．四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）

22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{x=√2+√2cosα

y=√2sinα

（α是参数），

以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ．

（1）求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；

（2）若射线θ＝β（0＜β＜π

2）与曲线C1交于O，A两点，与曲线C2交于O，B两点，

求|OA|+|OB|取最大值时tanβ的值．

五．解答题（共1小题）

23．已知函数f（x）＝|x﹣m|﹣|x+2|（m∈R），不等式f（x﹣2）≥0的解集为（﹣∞，4]．（1）求m的值；

（2）若a＞0，b＞0，c＞3，且a+2b+c＝2m，求（a+1）（b+1）（c﹣3）的最大值．

2020年河南省高考数学（理科）模拟试卷（10）

参考答案与试题解析

一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）

1．（5分）设集合M＝{1，2，3}，N＝{x∈Z|x2﹣2x﹣3＜0}，则M∪N＝（）A．{1，2，3}B．{﹣1，0，1，2，3}C．{0，1，2，3}

D．{1，2}

【解答】解：∵集合M＝{1，2，3}，

N＝{x∈Z|x2﹣2x﹣3＜0}＝{0，1，2}，

∴M∪N＝{0，1，2，3}．

故选：C．

2．（5分）已知复数z满足z+2i∈R，z的共轭复数为z，则z?z=（）A．0B．4i C．﹣4i D．﹣4

【解答】解：∵z+2i∈R，设z+2i＝a∈R，

则z＝a﹣2i，

则z?z=a﹣2i﹣（a+2i）＝﹣4i．

故选：C．

3．（5分）数列{a n}满足a n+2﹣a n+1＝a n+1﹣a n（n∈N*），且a8＝10，则S15＝（）A．95B．190C．380D．150

【解答】解：∵数列{a n}满足a n+2﹣a n+1＝a n+1﹣a n（n∈N*），

∴数列{a n}是等差数列，

∵a8＝10，

∴S15=15

2

(a1+a15)=15a8＝150．

故选：D．

4．（5分）射线测厚技术原理公式为I=I0e?ρμt，其中I0，I分别为射线穿过被测物前后的强度，e是自然对数的底数，t为被测物厚度，ρ为被测物的密度，μ是被测物对射线的吸收系数．工业上通常用镅241（241Am）低能γ射线测量钢板的厚度．若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8，钢的密度为7.6，则这种射线的吸收系数为（）

（注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，ln2≈0.6931，结果精确到0.001）

A．0.110B．0.112C．0.114D．0.116

【解答】解：由题意可得，1

2

=1×e﹣7.6×0.8μ，

∴﹣ln2＝﹣7.6×0.8μ，

即6.08μ≈0.6931，则μ≈0.114．∴这种射线的吸收系数为0.114．故选：C．

5．（5分）函数y=2x?2?x

|x|?cosx的图象大致为（）

A．B．C．D．

【解答】解：f(?x)=

2?x?2x

|?x|?cos(?x)

=?2

x?2?x

|x|?cosx

=?f(x)，即函数f（x）在定义域上

为奇函数，故排除D；

又f(0)=0，f(1)=2?2?1

1?cos1＞0，故排除B、C．

故选：A．

6．（5分）今年入冬以来，我市天机反复．在下图中统计了我市上个月前15的气温，以及相对去年同期的气温差（今年气温﹣去年气温，单位：摄氏度），以下判断错误的是（）

A ．今年每天气温都比去年气温低

B ．今年的气温的平均值比去年低

C ．今年8﹣12号气温持续上升

D ．今年8号气温最低

【解答】解：对于A 选项：观察“相对去年温差”折线图，发现6号相对去年温差为正值，即1号气温比去年高，故A 选项错误；

对于B 选项：观察“相对去年温差”折线图，发现除6，7号相对去年温差为正值，5号相对去年温差为0，其余几号相对去年温差为负值，所以今年的气温的平均值比去年低，故B 选项正确；

对于C 选项：观察“今年气温”折线图即可发现今年8﹣12号气温持续上升，故选项C 正确；

对于D 选项：观察“今年气温”折线图即可发现今年8号气温最低，故选项D 正确； 故选：A ．

7．（5分）在△ABC 中，点D 为AB 边上一点，且AD →

=14AB →

，则CD →=（ ）

A ．3

4

CA →

+

14

CB →

B ．?34CA →?14CB →

C ．?34CA →+14

CB →

D ．1

4

CA →

+

34

CB →

【解答】解：作DE ∥BC ，DF ∥AC ， 又AD →

=1

4AB →，CD →=CE →+CF →

=3

4CA →

+1

4CB →

， 故选：A ．

8．（5分）已知F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，过点F 且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，

则||F A |﹣|FB ||的值等于（ ） A ．8√2

B ．8

C ．4√2

D ．4

【解答】解：F （1，0），故直线AB 的方程为y ＝x ﹣1， 联立方程组{y 2=4x y =x ?1

，可得x 2﹣6x +1＝0，

设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由根与系数的关系可知x 1+x 2＝6，x 1x 2＝1． 由抛物线的定义可知：|F A |＝x 1+1，|FB |＝x 2+1，

∴||F A |﹣|FB ||＝|x 1﹣x 2|=√(x 1+x 2)2?4x 1x 2=√36?4=4√2． 故选：C ．

9．（5分）要得到函数y =sin(2x ?π

6

)的图象，只需将函数y =sin(x ?π6

)的图象（ ） A ．横坐标缩小到原来的1

2，纵坐标不变

B ．横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变

C ．纵坐标缩小到原来的1

2，横坐标不变

D ．纵坐标扩大到原来的2倍，横坐标不变

【解答】解：根据题意，把函数y =sin(x ?π6

)的图象上各点的纵坐标不变，横坐标缩小到原来的1

2即可得到y ＝sin （2x ?π6

）的图象．

故选：A ．

10．（5分）设a ＝ln 3，则b ＝lg 3，则（ ） A ．a +b ＞a ﹣b ＞ab

B ．a +b ＞ab ＞a ﹣b

C ．a ﹣b ＞a +b ＞ab

D ．a ﹣b ＞ab ＞a +b

【解答】解：因为（a +b ）﹣（a ﹣b ）＝2b ＝2lg 3＞0， 所以a +b ＞a ﹣b ， ab ＝ln 3lg 3＞0，

a?b ab

=

1b

?

1a

=

1lg3

?

1ln3

=

1

ln3

ln10

?

1ln3

=

ln10ln3

?

1ln3

=

ln10?1ln3

ln 10

e ln3

=log 3

10e

＞1，

所以a ﹣b ＞ab ， 所以a +b ＞a ﹣b ＞ab ， 故选：A ．

11．（5分）已知四棱锥P ﹣ABCD 的五个顶点都在球O 的球面上，AB ＝AD ＝CD ，BC ∥AD ，∠ABC ＝60°，△P AB 是等边三角形，若四棱锥P ﹣ABCD 体积的最大值9√3，则球O 的

表面积为（ ） A ．56π

B ．54π

C ．52π

D ．50π

【解答】解：四棱锥P ﹣ABCD 的五个顶点都在球O 的球面上，如图：四棱锥P ﹣ABCD 体积的最大值9√3，只有平面P AB 与底面ABCD 垂直，并且底面ABCD 面积取得最大值时，几何体的体积最大，因为AB ＝AD ＝CD ，BC ∥AD ，∠ABC ＝60°，可得ABCD 是正六边形的一半，设AB ＝AD ＝CD ＝a ， 则四棱锥的体积的最大值为：1

3×

√32a ×3a 2×√32

a =9√3， 解得a ＝2√3．

此时，底面ABCD 的外心为E ，外接球的球心为O ，外接球的半径为R ， 所以R =(1

3×3

2×2√3)2+(2√3)2=√13， 所以外接球的表面积为：4π×(√13)2=52π． 故选：C ．

12．（5分）设一个正三棱柱ABC ﹣DEF ，每条棱长都相等，一只蚂蚁从上底面ABC 的某顶点出发，每次只沿着棱爬行并爬到另一个顶点，算一次爬行，若它选择三个方向爬行的概率相等，若蚂蚁爬行10次，仍然在上底面的概率为P 10，则P 10为（ ） A ．1

4

?(1

3

)10+1

2

B ．(13)11+1

2

C ．(13)11?1

2

D ．12

?(13

)10+12

【解答】解：设蚂蚁爬n 次仍在上底面的概率为P n ，那么它前一步只有两种情况： A ：如果本来就在上底面，再走一步要想不掉下去，只有两条路，其概率是2

3P n ﹣1；

B ：如果是上一步在下底面，则第n ﹣1步不再上底面的概率是1﹣P n ﹣1，如果爬上来，其概率应是1

3（1﹣P n ﹣1）．

A ，

B 事件互斥，因此，P n =23P n ﹣1+13

（1﹣P n ﹣1）； 整理得，P n =13

P n ﹣1+13

；即P n ?12

=13

（P n ﹣1?12

）；

构造等比数列{P n ?12}，公比为13

，首项为P 1?12=23?12=16，

可得P n =1

2（1

3

）n +1

2．

因此第10次仍然在上底面的概率P 10=12

（1

3

）10+12

．

故选：D ．

二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分） 13．（5分）(√x 3

?2

x

)4的展开式中，常数项是 ﹣8 ． 【解答】解：二项式(√x 3

?2x

)4的展开式的通项公式为 T r +1=?4r ?（√x 3

）4﹣

r ?（﹣2）r ?x ﹣

r =?4r ?

（﹣2）r ?x 4?4r 3．

令x 的幂指数

4?4r 3

=0，解得r ＝1，

∴展开式中的常数项为： T 2=?41?（﹣2）1＝﹣8． 故答案为：﹣8．

14．（5分）已知实数x ，y 满足约束条件{x ≤2x ?y +1≥02x +y ?4≥0，则z ＝3x +y 的取值范围为 [5，

9] ．

【解答】解：作出所对应的可行域（如图阴影），

变形目标函数可得y ＝﹣3x +z ，作出直线y ＝﹣3x ，

经平移直线知，当直线过点C （1，2）时，z ＝3x +y 取最小值5， 当直线过点A （2，3）时，z ＝3x +y 取最大值9， 故z ＝3x +y 的取值范围为：[5，9] 故答案为：[5，9]． 15．（5分）若双曲线

x 2m

?y 2

=1与

x 23

?

y 22

=1有相同的焦点，则实数m ＝ 4 ．

【解答】解：由双曲线x 23

?

y 22

=1，得c 1=√3+2=√5，

则双曲线x 23?

y 22

=1的焦点坐标为（±√5，0）；

由双曲线x 2m ?y 2=1，得c 2=√m +1，

则双曲线x 2m ?y 2=1的焦点坐标为（±√m +1，0）， ∵双曲线

x 2

m ?y 2

=1与

x 23

?

y 22

=1有相同的焦点，

∴√m +1=√5，即m ＝4． 故答案为：4．

16．（5分）已知函数f （x ）=1

3

x 3?ex 2+ax ，g(x)=

lnx x ，对于任意的x 1∈[1

2

，e]，存在x 2∈[1

2，e]，使f '（x 1）≤g （x 2），则实数a 的取值范围为 (?∞，e +1

e ?1

4] ；若不等式f （x ）+16x 3＜xg （x ）有且仅有一个整数解，则实数a 的取值范围为 [2e ?2+ln2

2，3e ?

92

+ln3

3) ．

【解答】解：对于任意的x 1∈[12，e]，存在x 2∈[12

，e]，使f '（x 1）≤g （x 2），即函数f ′（x ）在[12

，e]上的最大值小于等于函数g （x ）在[12

，e]上的最大值，

f ′（x ）＝x 2﹣2ex +a 的对称轴为x ＝e ，易知，函数f ′（x ）在[1

2，e]上的最大值为f ′(12

)=

1

4

?e +a ， g ′(x)=

1?lnx

x 2

，令g ′（x ）＝0，解得x ＝e ， 当x ∈（0，e ）时，g ′（x ）＞0，g （x ）为增函数，故函数g （x ）在[12，e]上的最大值为g(e)=1

e ， ∴1

4

?e +a ≤1e

，

∴a ≤e +1e ?14，即实数a 的取值范围为(?∞，e +1e ?1

4]； 不等式f （x ）+1

6x 3＜xg （x ）即为1

2

x 3?ex 2+ax ＜lnx ，

∴a ＜lnx x +ex ?1

2x 2有且仅有一个整数解， 令?(x)=lnx

x +ex ?1

2x 2，则?′(x)=1?lnx

x 2

+e ?x ，易知，函数h ′（x ）在（0，+∞）上为减函数，且h ′（e ）＝0，

∴当x ∈（0，e ）时，h ′（x ）＞0，函数h （x ）单调递增， 当x ∈（e ，+∞）时，h ′（x ）＜0，函数h （x ）单调递减， ∴函数h （x ）在x ＝e 处取得最大值， 作函数h （x ）的草图如下，

由2＜e ＜3，h （2）＜h （3）及函数图象可知，要使a ＜lnx x +ex ?1

2x 2有且仅有一个整

数解，则需h（2）≤a＜h（3），即2e?2+ln2

2

≤a＜3e?92+ln33，

故答案为：(?∞，e+1

e

?14]；[2e?2+ln22，3e?92+ln33)．

三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）

17．（12分）已知数列{a n}满足a1＝1，a n＝2a n﹣1+2n﹣1（n≥2），数列{b n}满足b n＝a n+2n+3．（Ⅰ）求证数列{b n}是等比数列；

（Ⅱ）求数列{a n}的前n项和S n．

【解答】解：（Ⅰ）证明：当n＝1时，a1＝1，故b1＝6．

当n≥2时，a n＝2a n﹣1+2n﹣1，

则b n＝a n+2n+3＝2（a n﹣1+2n﹣1+2n+3＝2[a n﹣1+2（n﹣1）+3]，

∴b n＝2b n﹣1，

∴数列列{b n}是等比数列，首项为6，公比为2．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得b n＝3×2n，

∴a n＝b n﹣2n﹣3＝3×2n﹣2n﹣3，

∴S n＝3×（2+22+……+2n）﹣[5+7+……+（2n+3）]

＝3×2(2n?1)

2?1

?n(5+2n+3)

2

＝3×2n+1﹣n2﹣4n﹣6．

18．（12分）四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面SAD为正三角形，SC=2√2，E为AD的中点．

（Ⅰ）证明：平面SAD⊥平面ABCD；

（Ⅱ）求直线SB与平面SEC所成角的正弦值．

【解答】解：（Ⅰ）证明：∵侧面SAD为正三角形，E为AD的中点，

∴SE ⊥AD ，

∵底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面SAD 为正三角形，SC =2√2，E 为AD 的中点． ∴SE =√4?1=√3，CE =√4+1=√5，∴SE 2+CE 2＝SC 2，∴SE ⊥CE ， ∵AD ∩CE ＝E ，∴SE ⊥平面ABCD ， ∵SE ?平面SAD ，∴平面SAD ⊥平面ABCD ．

（Ⅱ）解：以E 为原点，EA 为x 轴，过E 作AB 的平行线为y 轴，ES 为z 轴，建立空间直角坐标系，

则S （0，0，√3），B （1，2，0），E （0，0，0），C （﹣1，2，0）， SB →

=（1，2，√3），ES →

=（0，0，√3），EC →

=（﹣1，2，0）， 设平面SEC 的法向量n →

=（x ，y ，z ），

则{n →

?ES →

=√3z =0n →?EC →=?x +2y =0，取y ＝1，得n →=（2，1，0）， 设直线SB 与平面SEC 所成角为θ， 则直线SB 与平面SEC 所成角的正弦值为： sin θ=

|SB →?n →

||SB →

|?|n →|

=

4

√8?√5

=√105．

19．（12分）如图，已知椭圆E 的右焦点为F 2（1，0），P ，Q 为椭圆上的两个动点，△PQF 2

周长的最大值为8．

（Ⅰ）求椭圆E 的标准方程；

（Ⅱ）直线1经过F 2，交椭圆E 于点A ，B ，直线m 与直线l 的倾斜角互补，且交椭圆E 于点M ，N ，|MN |2＝4|AB |，求证：直线m 与直线l 的交点T 在定直线上．

【解答】解：（1）由已知，得c ＝1，4a ＝8，即a ＝2，则b =√3， 则椭圆E 的标准方程为

x24

+

y 23

=1，

（2）若直线l 的斜率不存在，直线m 的斜率也不存在，这与两直线交与点P 矛盾， 即直线l 的斜率存在，设直线l 为y ＝k （x ﹣1），（k ≠0），直线m 为y ＝﹣k （x +t ），A （x A ，y A ），B （x B ，y B ），P （x P ，y P ），Q （x Q ，y Q ），

将直线m 的带入椭圆方程：（3+4k 2）x 2+8k 2tx +4（k 2t 2﹣3）＝0， 则x M +x N =?

8k 2

t

3+4k 2，x M x N

=

4(k 2

t 2?3)

3+4k

2

，

则|MN |2＝（1+k 2）

16(12k 2?3k 2t 2

+9)

(3+4k 2)2

，

同理|AB |=√1+k

24√

9k 2

+9

3+4k

2

=

12(1+k 2

)3+4k

2

，

令|MN |2＝4|AB |，得t ＝0，

此时△＝16k 4t 2﹣16（3+4k 2）（k 2t 2﹣3）＞0， 所以直线m ：y ＝﹣kx ， 则P （1

2，?

12

k ），

即P 在定直线x =1

2上

20．（12分）某区组织群众性登山健身活动，招募了N 名师生志愿者，现将所有志愿者按年龄情况分为15～20，20～25，25～30，30～35，35～40，40～45六组，其频率分布直方图如图所示：已知30～35之间的志愿者共8人． （1）求N 和20～30之间的志愿者人数N 1；

（2）组织者从35～45之间的志愿者（其中共有4名女教师，其余全为男教师）中随机选取3名担任后勤保障工作，记其中女教师的数量为ξ，求随机变量ξ的概率分布列和数学期望．

【解答】解：（1）30﹣35之间的频率为0.04×5＝0.2，由于30﹣35之间的志愿者共8人，

∴N=

8

0.2

=40；

20﹣30之间的频率为1﹣（0.01+0.04+0.02+0.01）×5＝0.6，∴N1＝0.6×40＝24；（2）35～45之间共有5×（0.01+0.02）×40＝6人，其中4名女教师，2名男教师，从中选取三人，则女教师的数量为ξ的取值可为1，2，3，

所以P（ξ＝1）=C41C22

C63

=15；P（ξ＝2）=C4

2C

2

1

C63

=35；P（ξ＝3）=C4

3

C63

=15；

所以，分布列为

ξ123

P（ξ＝k）1

53

5

1

5

所以，数学期望为Eξ＝1×1

5

+2×35+3×15=2．

21．（12分）已知函数f(x)=(1

2

x2?ax)lnx?12x2+32ax．

（1）讨论函数f（x）的极值点；

（2）若f（x）极大值大于1，求a的取值范围．

【解答】解：f′(x)=(x?a)lnx+1

2

x?a?x+32a=(x?a)(lnx?12)

（1）①a≤0时，f（x）在(0，√e)单减，(√e，+∞)单增，极小值点为x=√e

②0＜a＜√e时，f（x）在（0，a）单增，(a，√e)单减，(√e，+∞)单增，极小值点为x=√e，

极大值点为x＝a

③a=√e时，f（x）在（0，+∞）单增，无极值点．

④a＞√e时，f（x）在(0，√e)单增，(√e，a)单减，（a，+∞）单增，极小值点为x＝a，极大值点为x=√e．

（2）由（1），a≤0和a=√e时，无极大值，不成立．

当a＞√e时，极大值f(√e)=a√e?e

4＞1，解得a＞

√e

4√e，∵

√e

4

+

√e

?√e=

√e

?

3√e 4=

√e

(1?

3e

4

)＜0，∴a＞√e．

当0＜a＜√e时，极大值f(a)=1

2

a2(2?lna)＞1，

得2?lna＞2

a2

，令t＝a2，则g(t)=2?

1

2

lnt?2t，g′(t)=?12t+2

t2

=4?t

2t2

，g(t)在t

＝4取得极大值g（4）＞0，且g（1）＝0，

而a＜√e，t＜e，而g（t）在（1，e）单增，∴g（t）＞0解为（1，e），则a∈(1，√e)，

综上a∈(1，√e)∪(√e，+∞)．

四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）

22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{x=√2+√2cosα

y=√2sinα

（α是参数），

以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ．

（1）求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；

（2）若射线θ＝β（0＜β＜π

2）与曲线C1交于O，A两点，与曲线C2交于O，B两点，

求|OA|+|OB|取最大值时tanβ的值．

【解答】解：（1）由{x=√2+√2cosα

y=√2sinα

（α是参数），得x2?2√2x+y2=0，

∴ρ2?2√2ρcosθ=0，即ρ=2√2cosθ，

∴曲线C1的极坐标方程为ρ=2√2cosθ．

由ρ＝4sinθ，得ρ2＝4ρsinθ，将ρ2＝x2+y2，y＝ρsinθ代入得：x2+y2＝4y，故曲线C2的直角坐标方程为x2+y2﹣4y＝0．

（2）设点A、B的极坐标分别为（ρ1，θ），（ρ2，θ），

将θ＝β（0＜β＜π

2）分别代入曲线C1、C2极坐标方程得：ρ1

=2√2cosβ，ρ2＝4sinβ，

则|OA|+|OB|=2√2cosβ+4sinβ=2√6sin（β+φ），其中φ为锐角，且满足sinφ=√3

3，cosφ=

√6 3，

当β+φ=π

2时，|OA|+|OB|取最大值，

此时β=π

2

?φ，tanβ＝tan（

π

2

?φ）=

sin(π2?φ)

cos(π2?φ)

=cosφ

sinφ

=

√6

3

√3

3

=√2．

五．解答题（共1小题）

23．已知函数f（x）＝|x﹣m|﹣|x+2|（m∈R），不等式f（x﹣2）≥0的解集为（﹣∞，4]．（1）求m的值；

（2）若a＞0，b＞0，c＞3，且a+2b+c＝2m，求（a+1）（b+1）（c﹣3）的最大值．【解答】解：（1）∵f（x）＝|x﹣m|﹣|x+2|，∴f（x﹣2）＝|x﹣m﹣2|﹣|x|≥0的解集为（﹣∞，4]，

∴|x﹣m﹣2|≥|x|，解得m+2＝8，即m＝6．

（2）∵m＝6，∴a+2b+c＝12．

又∵a＞0，b＞0，c＞3，

∴(a+1)(b+1)(c?3)=(a+1)(2b+2)(c?3)

2

≤12[(a+1)+(2b+2)+(c?3)

3

]3=

1 2(a+2b+c

3

)3=12(123)3=32，

当且仅当a+1＝2b+2＝c﹣3，结合a+2b+c＝12解得a＝3，b＝1，c＝7时，等号成立，∴（a+1）（b+1）（c﹣3）的最大值为32．