2020年河南省名校联盟高考数学模拟试卷(理科)(5月份)(含解析)

2020年河南省名校联盟高考数学模拟试卷（理科）

（5月份）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四

个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.已知全集U＝R，集合A＝{x|?2

A.[2,?3]

B.(?∞,??2]∪[2,?+∞)

C.(3,?4]

D.[3,?4]

2.已知复数z=a

2?i

+1(i为虚数单位，a∈R)为纯虚数，则实数a＝（）

A.5

2B.?5

2

C.0

D.2

3.已知函数f(x)={

e x,x<1

4?mx,x≥1

，若f(m)＝1，则实数m的值是（）

A.0

B.√3

C.0或√3

D.0或√3或?√3

4.若l，m，n是三条不相同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中

为真命题的是（）

A.若l?//?m，m?//?α，则l?//?α

B.若α⊥β，n⊥α，m?//?n，则m?//?β

C.若α⊥β，l⊥α，m?//?β，则l?//?m

D.若l⊥α，l?//?n，n⊥β，则α?//?β

5.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：“松长六尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，何日竹逾松长？”如图是解决此问题的一

个程序框图，其中a为松长、b为竹长，则菱形框与矩形框处应依次填（）

A.a

2

B.a

C.a≥b？；a＝a+a

2

D.a≥b？；a＝a+2a

6.在等比数列{a n}中，已知a1a3＝4，a9＝256，则a8＝（）

A.128或?128

B.128

C.64或?64

D.64

7.2020年新型肺炎疫情期间，山东省某市派遣包含甲，乙两人的12名医护人员支援湖北省黄冈市，现将这12人平均分成两组，分别分配到黄冈市区定点医院和黄冈市英山县医院，则甲、乙不在同一组的概率为（）

A.5

11B.6

11

C.1

2

D.2

3

8.函数f(x)=5(x 2?cosx)

e x+e?x

的大致图象是（）

A. B.

C. D.

9.直线l:x?y+√2=0将圆O:x2+y2＝4分成的两部分的面积之比为（）

A.(4π?√3)：(8π+√3)

B.(4π?3√3)：(8π+3√3)

C.(2π?2√3)：(10π+2√3)

D.(2π?3√3)：(10π+3√3)

10.设无穷等差数列{a n}的各项都为正数，且其前n项和为S n，若S2017＝2017，则下列判断错误的是（）

A.a1009＝1

B.a1010≥1

C.S2016>2016

D.S2019≥2019

11.函数f(x)＝sin(ωx+φ)(ω>0,?|φ|<π

2

)的图象如图所示，先将函数f(x)

图象上所有点的横坐标变为原来的6倍，纵坐标不变，再将所得函数的图象

向左平移7π

2

个单位长度，得到函数g(x)的图象，则下列结论

正确的是（ ）

A.函数g(x)是奇函数

B.函数g(x)在区间[?2π,?0]上单调递增

C.函数g(x)图象关于(3π,?0)对称

D.函数g(x)图象关于直线x ＝?3π对称

12.定义在[0,?+∞)上的函数f(x)满足：f(x)+f ′(x)=√x e x ，f(12

)=√1

2e ．其

中f ′(x)表示f(x)的导函数，若存在正数a ，使得f(x 2?x

4

)≥1

a +a

8e 成立，则实

数x 的取值范围是（ ） A.[?1,?2] B.(?∞,??1]∪[2,?+∞) C.[?1,?0]∪[1,?2] D.[?2,??1]∪[1,?2]

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13.已知向量a →

=(?2,?1)，b →

=(4,?3)，c →

=(?1,?λ)，若(a →

+b →

)?//?c →

，则λ＝________．

14.二项式(1

x ?3x 2)6

的展开式中的常数项是________．（用数字作答）

15.在直三棱柱ABC ?A 1B 1C 1中，∠BAC ＝120°且AB ＝AC ＝3，BB 1＝4，则此三棱柱外接球的表面积为________．

16.已知椭圆C:x 2a +y 2

b =1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且椭圆C

与双曲线C ′:2x

2

a 2

?y 2=1共焦点，若椭圆C 与双曲线C ′的一个交点M 满足

|MF 1|?|MF 2|＝2，则△MF 1F 2的面积是________．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．

17.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且cos(B+C)cosC

=a

2b+c ．

（1）求角A 的大小；

（2）若a =4√3，b =4√2，求△ABC 的面积．

18.现有一种水上闯关游戏，共设有3个关口，如果在规定的时间内闯过了这3个关口，那么闯关成功，否则闯关失败，结束游戏．假定小张、小王、小李闯过任何一个关口的概率分别为2

3，1

2，1

2，且各关口能否顺利闯过相互独立．

（1）求小张、小王、小李分别闯关成功的概率；

（2）记小张、小王、小李三人中闯关成功的人数为X ，求X 的分布列及数学期望．

19.如图，四边形ABCD 为正方形，PA?//?CE ，AB ＝CE =1

2PA ，PA ⊥平面ABCD ．

（1）证明：PE ⊥平面DBE ；

（2）求二面角B?PD?E的正弦值的大小．

20.已知抛物线C:y2＝4x的焦点为F，过点P(2,?0)的直线l交抛物线C于

A(x1,?y1)和B(x2,?y2)两点．

（1）当x1+x2＝8时，求直线l的方程；

（2）若过点P(2,?0)且垂直于直线l的直线l′与抛物线C交于M，N两点，记△ABF与△MNF的面积分别为S1与S2，求S1S2的最小值．

21.已知函数g(x)＝e x?ax2?ax，?(x)＝e x?2x?lnx．其中e为自然对数的底数．

（1）若f(x)＝?(x)?g(x)．

①讨论f(x)的单调性；

②若函数f(x)有两个不同的零点，求实数a的取值范围．

（2）已知a>0，函数g(x)恰有两个不同的极值点x1，x2，证明：x1+

x2

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]

22.以平面直角坐标系xOy的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴并取相同的单位长度建立极坐标系，已知过点A(?1,??2)且斜率为1的直线l1与曲线

C:{x=3+4cosα,

y=4+4sinα（α是参数）交于P，Q两点，与直线l2:ρcosθ+

2ρsinθ+4＝0交于点N．

（1）求曲线C的普通方程与直线l2的直角坐标方程；

（2）若PQ的中点为M，比较|PQ|与|MN|的大小关系，并说明理由．

[选修4-5：不等式选讲]

23.已知函数f(x)＝3|x?2|?3．

[f(x)+3]>|x+1|的解集；

（1）求不等式1

3

（2）若关于x的不等式f(x)≥mx+m恒成立，求实数m的取值范围．

2020年河南省名校联盟高考数学模拟试卷（理科）

（5月份）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四

个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.已知全集U＝R，集合A＝{x|?2

A.[2,?3]

B.(?∞,??2]∪[2,?+∞)

C.(3,?4]

D.[3,?4]

【解答】

∵全集U＝R，集合A＝{x|?2

B＝{x|√2x?4≤2}＝{x|2≤x≤4}，

∴?U A＝{x|x≤?2或x≥3}，

∴B∩(?U A)＝{x|3≤x≤4}，

2.已知复数z=a

2?i

+1(i为虚数单位，a∈R)为纯虚数，则实数a＝（）

A.5

2B.?5

2

C.0

D.2

【解答】

∵z=a

2?i +1=a(2+i)

(2?i)(2+i)

+1=2a+5

5

+a

5

i为纯虚数，

∴{2a+5

5

=0

a

5

≠0

，解得a=?5

2

．

3.已知函数f(x)={

e x,x<1

4?mx,x≥1

，若f(m)＝1，则实数m的值是（）

A.0

B.√3

C.0或√3

D.0或√3或?√3【解答】

因为函数f(x)={

e x,x<1

4?mx,x≥1

，

当m<1时，有f(m)＝e m，

e m＝1解得m＝0满足条件；

当m≥1时，有f(m)＝4?m2，∴4?m2＝1

解得m=√3?（?√3舍）

总之，m=√3或0；

4.若l，m，n是三条不相同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中

为真命题的是（）

A.若l?//?m，m?//?α，则l?//?α

B.若α⊥β，n⊥α，m?//?n，则m?//?β

C.若α⊥β，l⊥α，m?//?β，则l?//?m

D.若l⊥α，l?//?n，n⊥β，则α?//?β

【解答】

对于A，若l?//?m，m?//?α，则l?//?α或l?α，故A错误；

对于B，若α⊥β，n⊥α，m?//?n，则m?//?β或m?β，故B错误；

对于C，若α⊥β，l⊥α，m?//?β，则l与m相交、平行或异面，故C错误；

对于D，若l⊥α，l?//?n，n⊥β，则由面面垂直的判定定理得α?//?β，故D正确．

5.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：“松长六尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，何日竹逾松长？”如图是解决此问题的一

个程序框图，其中a为松长、b为竹长，则菱形框与矩形框处应依次填（）

B.a

A.a

2

C.a≥b？；a＝a+a

D.a≥b？；a＝a+2a

2

【解答】

竹逾松长，意为竹子比松高，即a

但这是一个含当型循环结构的程序框图，当不满足条件时，退出循环，故

菱形框中条件应为a≥b？，

．

松日自半，则表示松每日增加一半，即矩形框应填a＝a+a

2

6.在等比数列{a n}中，已知a1a3＝4，a9＝256，则a8＝（）

A.128或?128

B.128

C.64或?64

D.64

【解答】

由等比数列的性质可得，a1a3=a22=4，

∴a2＝2或?2，

∵a9＝256，当a2＝2时，q7＝128即q＝2，则a8＝128，

当a2＝?2时，q7＝?128即q＝?2，则a8＝?128，

7.2020年新型肺炎疫情期间，山东省某市派遣包含甲，乙两人的12名医护人员支援湖北省黄冈市，现将这12人平均分成两组，分别分配到黄冈市区定点医院和黄冈市英山县医院，则甲、乙不在同一组的概率为（）

A.5

11B.6

11

C.1

2

D.2

3

【解答】

设“甲、乙不在同一组”为事件M，

12名医护人员平均分配到两所医院的基本事件总数为n=C126=924，甲、乙在同一组包含的基本事件个数m=2C104=420，

∴甲、乙不在同一组的概率P＝1?m

n =1?420

924

=6

11

．

8.函数f(x)=5(x 2?cosx)

e x+e?x

的大致图象是（）A. B.

C. D.

【解答】

函数的定义域为R，且f(?x)=5[(?x)2?cos(?x)]

e?x+e x =5(x2?cosx)

e x+e?x

=f(x)，

∴函数f(x)为偶函数，故排除B选项；

又f(0)=?5

2

，故排除C选项；

当|x|>1时，x2>cosx，故当|x|>1时，f(x)>0，故排除D选项．

9.直线l:x?y+√2=0将圆O:x2+y2＝4分成的两部分的面积之比为（）

A.(4π?√3)：(8π+√3)

B.(4π?3√3)：(8π+3√3)

C.(2π?2√3)：(10π+2√3)

D.(2π?3√3)：(10π+3√3)

【解答】

根据题意，设直线l与圆O:x2+y2＝4交于点M、N，过点O作OP⊥MN，垂

足为点P，

则点O到直线l的距离|OP|=√2|

√1+1

=1，

又由圆O:x2+y2＝4的半径|OM|＝r＝2，则∠MOP=π

3，则∠MON=2π

3

；

同时|MP|=√|OM|2?|OP|2=√4?1=√3，则|MN|＝2√3，且S△MON=1

2

×|OP|×|MN|=√3，

则S

扇形OMN =1

2

×2π

3

×r2=4π

3

，

则劣弧对应的弓形的面积S1=4π

3

?√3，另一部分的面积S2＝πr2?S1＝

4π?(4π

3?√3)=8π

3

+√3，

故两部分的面积之比S1

S2=

4π

3

?√3

8π

3

+√3

=√3

8π+3√3

=(4π?3√3)：(8π+3√3)；

10.设无穷等差数列{a n}的各项都为正数，且其前n项和为S n，若S2017＝2017，则下列判断错误的是（）

A.a1009＝1

B.a1010≥1

C.S2016>2016

D.S2019≥2019

【解答】

S2017＝2017=2017(a1+a2017)

2

=2017a1009，

∴a1009＝1．

∵无穷等差数列{a n}的各项都为正数，∴公差d≥0．

∴a1010≥1．

S2016=2016(a1+a2016)

2

1008(a1009+a1008)≤1008×2＝2016，

S2019＝S2017+a2018+a2019≥2017+2＝2019，

综上可得：只有C错误．

11.函数f(x)＝sin(ωx+φ)(ω>0,?|φ|<π

2

)的图象如图所示，先将函数f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的6倍，纵坐标不变，再将所得函数的图象

向左平移7π

2

个单位长度，得到函数g(x)的图象，则下列结论

正确的是（）

A.函数g(x)是奇函数

B.函数g(x)在区间[?2π,?0]上单调递增

C.函数g(x)图象关于(3π,?0)对称

D.函数g(x)图象关于直线x＝?3π对称【解答】

根据T=4×(7π

12?π

3

)=π，所以ω=2π

π

=2，

由于函数的图象过(7π

12,?1)，所以2×7π

12

+φ=2kπ+3π

2

，

由于|φ|<π

2，解得φ=π

3

，

故f(x)＝sin(2x+π

3

)，

先将函数f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的6倍，纵坐标不变，再将所

得函数的图象向左平移7π

2

个单位长度，

得到g(x)＝sin[1

3×(x+7π

2

)+π

3

]=?cos1

3

x．

①故函数g(x)为偶函数，故错误．

②令1

3

x∈[2kπ,2kπ+π]，所以x∈[6kπ,?3π+6kπ]，故[?2π,?0]?[6kπ,?3π+6kπ]，故错误．

③令1

3x=π

2

+kπ(k∈Z)，解得x=3π

2

+3kπ(k∈Z)，所以函数的对称中心

为(3π

2

+3kπ,0)(k∈Z)，故错误

④令1

3

x=kπ解得x＝3kπ，当k＝?1时，x＝?3π，故正确．

12.定义在[0,?+∞)上的函数f(x)满足：f(x)+f′(x)=√x

e x ，f(1

2

)=√1

2e

．其

中f′(x)表示f(x)的导函数，若存在正数a，使得f(x2?x

4)≥1

a

+a

8e

成立，则实

数x的取值范围是（）

A.[?1,?2]

B.(?∞,??1]∪[2,?+∞)

C.[?1,?0]∪[1,?2]

D.[?2,??1]∪[1,?2]

【解答】

由f(x)+f′(x)=√x

e x

，可得，e x[f(x)+f′(x)]=√x，即[e x f(x)]′=√x，

令g(x)＝e x f(x)，则f(x)=g(x)

e

，且g′(x)=√x，

故f ′(x)=

√x?g(x)

e ， 令?(x)=√x ?g(x)，x >0，则?′(x)=

2√x

，

当x ∈(0,1

2)时，?′(x)>0，?(x)单调递增，当x ∈(1

2,+∞)时，?′(x)<0，?(x)单调递减，

故?(x)max ＝?(1

2)＝0，则f′(x)≤0， 故f(x)在(0,?+∞)上单调递减，

因为1

a +a

8e ≥√1

2e ，当且仅当1

a =a

8e 即a ＝2√2e 时取等号， 由题意f(

x 2?x 4

)≥√12e =f(1

2)，

因为f(x)在[0,?+∞)上单调递减， 则0≤

x 2?x 4

≤1

2，

解可得，?1≤x ≤0或1≤x ≤2，

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13.已知向量a →

=(?2,?1)，b →

=(4,?3)，c →

=(?1,?λ)，若(a →

+b →

)?//?c →

，则λ＝________． 【解答】

由题，a →

+b →

=(2,4)，c →

=(?1,λ)， ∵(a →

+b →

)?//?c →

， ∴2λ＝?4， λ＝?2． 14.二项式(1

x ?3x 2

)6

的展开式中的常数项是________．（用数字作答） 【解答】 因为二项式(1

x ?

3x 2

)6

的展开式得通项为：T r+1=?6r ?(1

x )

6?r

?(?3x 2

)r

=

(?3

2)r ??6r ?x

2r?6

； 令2r ?6＝0得r ＝3； 故二项式(1

x ?

3x 2)6的展开式中的常数项是：(?32

)3

??63=?

1352

．

15.在直三棱柱ABC ?A 1B 1C 1中，∠BAC ＝120°且AB ＝AC ＝3，BB 1＝4，则此三棱柱外接球的表面积为________．

【解答】

由题意可知直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB＝AC＝3，∠BAC＝120°，AA1＝4，

∴底面小圆ABC的半径r满足：2r=3

sin30

=6，即r＝3，

连接两个底面中心的连线，中点与顶点的连线就是球的半径，外接球的半径为：R=2+22=√13

∴三棱柱的外接球的表面积为：4π?R2＝52π；

16.已知椭圆C:x 2

a2+y2

b2

=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，且椭圆C

与双曲线C′:2x2

a2

?y2=1共焦点，若椭圆C与双曲线C′的一个交点M满足|MF1|?|MF2|＝2，则△MF1F2的面积是________．

【解答】

将双曲线C′:2x2

a ?y2=1化成标准形式为x2

a2

2

?y2=1，

不妨设点M在双曲线的右支上，则根据椭圆和双曲线的定义，有

{

|MF1|+|MF2|=2a

|MF1|?|MF2|=2?√2

2

a=√2a

，解得{

|MF1|=2+√2

2

a

|MF2|=2?√2

2

a

．

∵|MF1|?|MF2|＝2，

∴2+√2

2a?2?√2

2

a=2，解得a＝2或?2（舍负），

∴|MF1|=2+√2，|MF2|=2?√2，双曲线的焦距|F1F2|=2√a2

2

+1= 2√3．

显然有|MF1|2+|MF2|2=|F1F2|2，

∴△MF1F2是直角三角形，

∴S△MF

1F2=1

2

?|MF1|?|MF2|=1

2

×(2+√2)×(2?√2)=1．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．

17.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且cos(B+C)cosC

=a

2b+c ．

（1）求角A 的大小；

（2）若a =4√3，b =4√2，求△ABC 的面积． 【解答】 ∵

cos(B+C)cosC

=a 2b+c =

?cosA cosC

，

由正弦定理可得，sinA

2sinB+sinC =

?cosA cosC

，

所以2sinBcosA +sinCcosA ＝?sinAcosC ， 所以2sinBcosA +sinCcosA +sinAcosC ＝0， 即2sinBcosA +sin(C +A)＝0， 所以2sinBcosA +sinB ＝0， 因为sinB ≠0， 故cosA =?1

2，

因为A 为三角形的内角，故A =2π3

，

∵a =4√3，b =4√2，

由余弦定理可得，48=32+c 2?2×4√2c ×(?1

2)， 解可得c =2√6?2√2，

∴S △ABC =1

2bcsinA =1

2×4√2×(2√6?2√2)×

√3

2=12?4√3

18.现有一种水上闯关游戏，共设有3个关口，如果在规定的时间内闯过了这3个关口，那么闯关成功，否则闯关失败，结束游戏．假定小张、小王、小李闯过任何一个关口的概率分别为2

3，1

2，1

2，且各关口能否顺利闯过相互独立．

（1）求小张、小王、小李分别闯关成功的概率；

（2）记小张、小王、小李三人中闯关成功的人数为X ，求X 的分布列及数学期望． 【解答】

记小张、小王、小李闯关成功的事件分别为：A ，B ，C ，则P(A)=(2

3)3=

8

27；P(B)=(1

2)3=1

8；P(C)=(1

2)3

=1

8； 易知X 的所有可能取值为：0，1，2，3；P(X ＝0)=1927×78×78=931

1728；P(X ＝1)=8

27×7

8×7

8+19

27×1

8×7

8+19

27×7

8×1

8=658

1728； P(X ＝2)=8

27×1

8×7

8+8

27×7

8×1

8+19

27×1

8×1

8=131

1728， P(X ＝3)=8

27×1

8×1

8=8

1728．所有随机变量的分布列为：

故E(X)＝0×931

1728+1×658

1728+2×131

1728+3×8

1728=59

108．

19.如图，四边形ABCD 为正方形，PA?//?CE ，AB ＝CE =1

2PA ，PA ⊥平面ABCD ．

（1）证明：PE ⊥平面DBE ；

（2）求二面角B ?PD ?E 的正弦值的大小． 【解答】

证明：连结AC ，∵四边形ABCD 是正方形，∴BD ⊥AC ， ∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥BD ，PA ⊥AD ， ∵PA ∩AC ＝A ，∴BD ⊥平面APEC ， ∵PE ?平面APEC ，∴BD ⊥PE ，

设AB ＝1，则AD ＝1，PA ＝2，∴PD =√5， 同理解得DE =√2，要梯形PACE 中，解得PE =√3， ∴PE 2+DE 2＝PD 2，∴PE ⊥DE ， ∵BD ∩DE ＝D ，∴PE ⊥平面DBE ．

以A 为原点，AD ，AB ，AP 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系， 令AB ＝1，则CE ＝，AP ＝2，

∴P(0,?0,?2)，E(1,?1,?1)，D(1,?0,?0)，B(0,?1,?0)，

EP →

=(?1,??1,?1)，DP →

=(?1,?0,?2)，BP →

=(0,??1,?2)，BD →

=(1,??1,?0)， 设平面DPE 的法向量n →

=(x,?y,?z)，

则{n →

?EP →

=?x ?y +z =0

n →?DP →=?x +2z =0 ，取z ＝1，得n →=(2,??1,?1)，

设平面BPD 的法向量m →

=(a,?b,?c)，

则{m →

?BD →

=a ?b =0m →?DP →=?a +2c =0

，取c ＝1，得m →=(2,?2,?1)，

设二面角B ?PD ?E 的平面角为θ， 则cosθ=

|m →?n →

||m →

|?|n →|

=

√66

， ∴二面角B ?PD ?E 的正弦值sinθ=√1?(√6

6)2=

√30

6

．

20.已知抛物线C:y 2＝4x 的焦点为F ，过点P(2,?0)的直线l 交抛物线C 于A(x 1,?y 1)和B(x 2,?y 2)两点．

（1）当x 1+x 2＝8时，求直线l 的方程；

（2）若过点P(2,?0)且垂直于直线l 的直线l ′与抛物线C 交于M ，N 两点，记△ABF 与△MNF 的面积分别为S 1与S 2，求S 1S 2的最小值． 【解答】

直线l 过定点P(2,?0)，在x 轴上，且直线l 与抛物线相交，则斜率一定不为0， 可设直线l 的方程为x ＝my +2，联立抛物线的方程y 2＝4x ，可得y 2?4my ?8＝0，

可得y 1+y 2＝4m ，y 1y 2＝?8，所以x 1+x 2＝my 1+2+my 2+2＝m(y 1+y 2)+4＝4m 2+4，

因为x 1+x 2＝8，所以4m 2+4＝8，解得m ＝±1， 所以直线l 的方程为x ?y ?2＝0或x +y ?2＝0；

设直线l 的方程为x ＝my +2，联立抛物线的方程可得y 2?4my ?8＝0， 可得y 1+y 2＝4m ，y 1y 2＝?8，则S 1=1

2|PF|?|y 1?y 2|=

1

2√(y 1+y 2)2?4y 1y 2=1

2

√16m 2+32=2√m 2+2， 因为直线MN 与直线l 垂直，且当m ＝0时，直线l 的方程为x ＝2，此时直线l ′的方程为x ＝0，

但此时直线l ′与抛物线C 没有两个交点，所以不符题意，所以m ≠0，所以直线l 的斜率为1

m ，

因此直线MN 的斜率为?m(m ≠0)，由点斜式方程可得直线l ′的方程为y ?0＝?m(x ?2)，即mx +y ?2m ＝0，

联立抛物线的方程y 2＝4x ，消去y ，可得m 2x 2?(4m 2+4)x +4m 2＝0， 设M(x 3,?y 3)，N(x 4,?y 4)，可得x 3+x 4=

4m 2+4m ，x 3x 4＝4，则y 3?y 4＝

m(2?x 3)?m(2?x 4)＝?m(x 3?x 4)，

因此|y 3?y 4|＝|m|?|x 3?x 4|＝|m|?√(x 3+x 4)2?4x 3x 4=|m|?√(

4m 2+4m )2?4×4=

|m|

m √(4+4m 2)2?16m 2=1

|m|

√16+32m 2， 所以S 2=1

2|PF|?|y 3?y 4|=1

2×1×1

|m|√16+32m 2=2

|m|√2m 2+1， 所以S 1S 2＝2√m 2+2?2

|m|√2m 2+1=4√

(m 2+2)(2m 2+1)

m 2

=

4√5+2m 2+2

m 2≥4√5+2√2m 2?2

m 2=4√5+2×2=12， 当且仅当2m 2=2

m 2即m ＝±1时等号恒成立， 所以S 1S 2的最小值为12．

21.已知函数g(x)＝e x ?ax 2?ax ，?(x)＝e x ?2x ?lnx ．其中e 为自然对数的底数．

（1）若f(x)＝?(x)?g(x)． ①讨论f(x)的单调性；

②若函数f(x)有两个不同的零点，求实数a 的取值范围．

（2）已知a >0，函数g(x)恰有两个不同的极值点x 1，x 2，证明：x 1+x 2

【解答】

f(x)＝?(x)?g(x)＝e x?2x?lnx?e x+ax2+ax＝ax2+(a?2)x?lnx(x>0)，

①f′(x)=2ax+(a?2)?1

x =2ax2+(a?2)x?1

x

=(2x+1)(ax?1)

x

(x>0)，

(i)当a≤0时，f′(x)<0，函数f(x)在(0,?+∞)上递减；

(ii)当a>0时，令f′(x)>0，解得x>1

a ；令f′(x)<0，解得0

a

，

∴函数f(x)在(0,1

a )递减，在(1

a

,+∞)递增；

综上，当a≤0时，函数f(x)在(0,?+∞)上单调递减；

当a>0时，函数f(x)在(0,1

a )上单调递减，在(1

a

,+∞)上单调递增；

②由①知，若a≤0，函数f(x)在(0,?+∞)上单调递减，不可能有两个不同的零点，故a>0；

且当x→0时，f(x)→+∞；当x→+∞时，f(x)→+∞；

故要使函数f(x)有两个不同的零点，只需f(x)min=f(1

a )=a?(1

a

)2+a?2

a

?

ln1

a <0，即lna?1

a

+1<0，

又函数y=lnx?1

x +1在(0,?+∞)上为增函数，且ln1?1

1

+1=0，故lna?

1

a

+1<0的解集为(0,?1)．

故实数a的取值范围为(0,?1)；

证明：g′(x)＝e x?2ax?a，依题意，{e x1?2ax1?a=0

e x2?2ax2?a=0

，两式相减得，

2a=e x1?e x2

x1?x2

(x1

要证x1+x2

2

x1?x2

，

两边同除以e x2，即证(x1?x2)e x1?x2

2>e x1?x2?1，

令t＝x1?x2(t<0)，即证te t

2?e t+1>0，

令?(t)=te t

2?e t+1(t<0)，则?(t)=?e

t

2[e

t

2?(

t

2

+1)]，

令p(t)=e t

2?(

t

2

+1)，则p′(t)=1

2

(e t2?1)，

当t<0时，p′(t)<0，p(t)在(?∞,?0)上递减，∴p(t)>p(0)＝0，

∴?′(t)<0，

∴?(t)在(?∞,?0)上递减，

∴?(t)>?(0)＝0，即te t

2?e t+1>0，故x1+x2

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]

22.以平面直角坐标系xOy的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴并取相同的单位长度建立极坐标系，已知过点A(?1,??2)且斜率为1的直线l1与曲线

C:{x=3+4cosα,

y=4+4sinα（α是参数）交于P，Q两点，与直线l2:ρcosθ+

2ρsinθ+4＝0交于点N．

（1）求曲线C的普通方程与直线l2的直角坐标方程；

（2）若PQ的中点为M，比较|PQ|与|MN|的大小关系，并说明理由．【解答】

曲线C:{x=3+4cosα,

y=4+4sinα（α是参数）转换为直角坐标方程为(x?3)

2+(y?

4)2＝16．

直线l2:ρcosθ+2ρsinθ+4＝0根据{x=ρcosθ

y=ρsinθ转换为直角坐标方程为x+

2y+4＝0．

已知过点A(?1,??2)且斜率为1的直线l1的直角坐标方程为x?y?1＝0．

所以{

x?y?1=0

(x?3)2+(y?4)2=16

，整理得x2?8x+9＝0，

设点P(x1,?y1)，Q(x2,?y2)，

所以中点M(x1+x2

2,y1+y2

2

)，

根据一元二次方程根和系数关系式的应用，解得x1+x2＝8，x1x2＝9，

整理得：M(4,?3)．

联立{x+2y+4=0

x?y?1=0，解得{

x=?2

3

y=?5

3

，即N(?2

3

,?5

3

)，

所以|MN|=√(?2

3?4)2+(?5

3

?3)2=14√2

3

．

根据弦长公式：|PQ|=√1+k2|x1?x2|=√1+12?√(x1+x2)2?4x1x2= 2√14．

由于14√2

3?2√14=2√2(√49

9

?√7)<0，

所以|PQ|>|MN|．

[选修4-5：不等式选讲]

23.已知函数f(x)＝3|x?2|?3．

（1）求不等式1

3

[f(x)+3]>|x+1|的解集；

（2）若关于x的不等式f(x)≥mx+m恒成立，求实数m的取值范围．【解答】

由函数f(x)＝3|x?2|?3，则不等式1

3[f(x)+3]>|x+1|可化为1

3

[3|x?

2|?3+3]>|x+1|，

得|x?2|>|x+1|，

等价于(x?2)2>(x+1)2，

整理得6x<3，

解得x<1

2

，

所以所求不等式的解集为(?∞,?1

2

)；

函数f(x)＝3|x?2|?3={3x?9,x≥2

3?3x,x<2；

画出函数f(x)={3x?9,x≥2

3?3x,x<2与函数y＝mx+m的图象，如图所示；

由图象知函数y＝f(x)图象的最低点N(2,??3)，

函数y＝mx+m可化为y＝m(x+1)，其图象恒过点M(?1,?0)，

又直线MN的斜率为?3?0

2?(?1)

=?1，．

直线y＝m(x+1)以M(?1,?0)为中心，在直线l和MN之间转动时（含边界）满足条件；否则不满足条件；

所以?3≤m≤?1，

即不等式f(x)≥mx+m恒成立时，实数m的取值范围是[?3,??1]．