河南省洛阳市2018届高三第三次统一考试数学试题(理)及详解

洛阳市2017-2018学年高中三年级第三次统一考试

数学试卷（理） 第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设集合{|||2}A x Z x =∈≤，2

{|1}B y y x ==-，则A B I 的子集个数为（ ） A ．4 B ． 8 C ． 16 D ．32 2.已知复数534i

z i

=

+（i 是虚数单位），则z 的共轭复数z 对应的点在（ ） A ．第四象限 B ．第三象限 C ．第二象限 D ．第一象限 3.“lg lg m n >”是“11()()2

2

m n <”的（ ） A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件

4.设随机变量(1,1)X N :，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形ABCD 中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是（ ）

注：若2

(,)X N μσ:，则()0.6826P X μσμσ-<<+≈，(22)0.9544P X μσμσ-<<+≈.

A ．6038

B ．6587 C.7028 D ．7539

5.《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，现自上而下取第1,3,9节，则这3节的容积之和为（ ）

A ．133升

B ．176升 C.199 升 D ．25

12

升 6.将函数()cos(2)4f x x π=-的图像向平移8

π

个单位，得到函数()g x 的图像，则下列说法不正确．．．

的是（ ）

A ．1()6

2g π

=

B ．()g x 在区间57(,)88

ππ上是增函数 C.2

x π

=

是()g x 图像的一条对称轴 D ．(,0)8

π

-

是()g x 图像的一个对称中心

7.设双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 作倾斜角为3π

的直线与y 轴

和双曲线的右支分别交于点A 、B ，若11()2

OA OB OF =+u u u r u u u r u u u r

，则该双曲线的离心率为（ ）

A ．2

B 523 D 3

8.在ABC △中，点P 满足2BP PC =u u u r u u u r

，过点P 的直线与AB ，AC 所在直线分别交于点M ，N ，若AM mAB =u u u u r u u u r ，(0,0)AN nAC m n =>>u u u r u u u r

，则2m n +的最小值为（ ）

A ．3

B ．4 C.83 D ．103

9.若2017

(12018)x -=220170122017a a x a x a x +++L ()x R ∈，则

2017122017

201820182018a a a

+++

L 的值为（ ）

A ．20172018

B ．1 C. 0 D ．1- 10.在三棱锥P AB

C -中，PA ⊥平面ABC ，23

BAC π

∠=，3AP =，3AB =Q 是边BC 上的一动点，且直线PQ 与平面ABC 所成角的最大值为3

π

，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ）

A ．45π

B ．57π C. 63π D ．84π

11.记数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =，1()2()n n n n S S a n N *

+-=∈，则2018S =（ ）

A ．1009

3(2

1)- B ．10093(21)2- C.20183(21)- D ．20183

(21)2

-

12.已知函数2

()22ln x f x x e x

=-与()2ln g x e x mx =+的图像有4个不同的交点，则实数m 的取值范

围是（ ）

A ．(4,0)-

B ．1(,2)2 C. 1(0,)2

D ．(0,2)

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题：本大题共4个小题，每小题

5分，共20分.

13.阅读下面程序框图，运行相应程序，则输出i 的值为 ．

14.设x ，y 满足约束条件10

20330

x y x y x y -+≥??

-≤??+-≤?

，则||3y z x =+的最大值为 ．

15.已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．

16.已知椭圆的焦点为1(,0)F c -，2(,0)F c ，其中4

23cos c xdx π

=，直线l 与椭圆相切于第一象限的点P ，且与x ，y 轴分别交于点A ，B ，设O 为坐标原点，当AOB △的面积最小时，

1260F PF ∠=?，则此椭圆的方程为 ．

三、解答题 ：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且sin ()sin sin b B c b C a A +-=. （1）求角A 的大小； （2）若3

sin sin 8

B C =

，且ABC △的面积为3a . 18. 如图，四边形ABCD 是矩形，沿对角线AC 将ACD △折起，使得点D 在平面ABC 内的摄影恰好落在边AB 上.

（1）求证：平面ACD ⊥平面BCD ； （2）当

2AB

AD

=时，求二面角D AC B --的余弦值. 19. 某次数学知识比赛中共有6个不同的题目，每位同学从中随机抽取3个题目进行作答，已知这6个题目中，甲只能正确作答其中的4个，而乙正确作答每个题目的概率均为2

3

，且甲、乙两位同学对每个题目的作答都是相互独立、互不影响的.

（1）求甲、乙两位同学总共正确作答3个题目的概率；

（2）若甲、乙两位同学答对题目个数分别是m ，n ，由于甲所在班级少一名学生参赛，故甲答对一题得15分，乙答对一题得10分，求甲乙两人得分之和X 的期望. 20. 已知抛物线2

:C y x =-，点A ，B 在抛物线上，且横坐标分别为12-

，3

2

，抛物线C 上的点P 在A ，B 之间（不包括点A ，点B ），过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q . （1）求直线AP 斜率k 的取值范围； （2）求|||PA PQ ?的最大值. 21. 已知函数2

()(1)2

x t f x x e x =--

，其中t R ∈. （1）讨论函数()f x 的单调性；

（2）当3t =时，证明：不等式1122()()2t f x x f x x x +-->-恒成立（其中1x R ∈，10x >）. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程 已知直线l 的极坐标方程为sin()224

π

ρθ+

=，现以极点O 为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平

面直角坐标系，曲线1C 的参数方程为12cos 22sin x y ?

?

=-+??

=-+?（?为参数）.

（1）求直线l 的直角坐标方程和曲线1C 的普通方程；

（2）若曲线2C 为曲线1C 关于直线l 的对称曲线，点A ，B 分别为曲线1C 、曲线2C 上的动点，点P 坐标为(2,2)，求||||AP BP +的最小值. 23.选修4-5：不等式选讲

已知函数()3|||31|f x x a x =-++，g()|41||2|x x x =--+. （1）求不等式()6g x <的解集；

（2）若存在1x ，2x R ∈，使得1()f x 和2()g x 互为相反数，求a 的取值范围.

试卷答案

一、选择题

1-5:CACBB 6-10: DCADB 11、12：AC 二、填空题

13. 4 14. 1 15. 1

123

π

+ 16.221159x y +

= 三、解答题

17.（1）由sin ()sin sin b B c b C a A +-=，由正弦定理得2

2

()b c b c a +-=，即222b c bc a +-=，

所以

2221cos 22b c a A bc +-==，∴3

A π

=. （2）由正弦定理

simA sin sin a b c B C ==

，可得sin sin a B b A =，sin sin a C

c A

=， 所以1sin 2ABC

S bc A =△1sin sin sin 2sin sin a B a C

A A A

=??2sin sin 232sin a B C A =

=又3

sin sin 8

B C =

，3sin A =2323=4a =. 18.（1）设点D 在平面ABC 上的射影为点E ，连接DE ，则DE ⊥平面ABC ，∴DE BC ⊥. ∵四边形ABCD 是矩形，∴AB BC ⊥，∴BC ⊥平面ABD ，∴BC AD ⊥.又AD CD ⊥，所以AD ⊥平面BCD ，而AD ?平面ACD ，∴平面ACD ⊥平面BCD .

（2）以点B 为原点，线段BC 所在的直线为x 轴，线段AB 所在的直线为y 轴，建立空间直角坐标系，如图所示.设AD a =，则2AB a =，∴(0,2,0)A a ，(,0,0)C a .

由（1）知AD BD ⊥，又

2AB

AD

=，∴30DBA ∠=?，

60DAB ∠=?， ∴cos AE AD DAB =?∠12a =

，3

2

BE AB AE a =-=，3sin DE AD DAB a =?∠=， ∴33(0,,

)2D a a ，∴13

(0,,)2AD a a =-u u u r ，(,2,0)AC a a =-u u u r . 设平面ACD 的一个法向量为(,,)m x y z =u r

，

则00

m AD m AC ??=???=??u r u u u r u r u u u r ，即1302220ay az ax ay ?-+=???-=?

， 不妨取1z =，则3y =，23x =，∴(23,3,1)m =u r

. 而平面ABC 的一个法向量为(0,0,1)n =r

，

∴cos ,m n u r r ||||m n

m n ?=u r r

u r r 222(23)(3)1=++14

=.故二面角D AC B --的余弦值为14.

19.（1）由题意可知共答对3题可以分为3种情况：甲答对1题乙答对2题；甲答对2题乙答对1题；甲答对3题乙答对0题.故所求的概率

12224233621()()33C C P C C =?2112423361()3C C C C +?3

03

433

62131()()33135

C C C +?=. （2）m 的所有取值有1，2，3.

1242361(1)5C C P m C ===，2142363(2)5C C P m C ===，3

43

61

(3)5

C P m C ===，故131

()1232555

E m =?+?+?=.

由题意可知2(3,)3n B :，故2

()323

E n =?=.而1510X m n =+，所以

()15()10()50E X E m E n =+=.

20.（1）由题可知11(,)24A --，39(,)24

B -，设2

(,)p p P x x -，13

22

p x -

<<，所以 21

412

p p x k x -+

=+12p x =-+∈(1,1)-，故直线AP 斜率k 的取值范围是(1,1)-. （2）直线11:24AP y kx k =+-，直线93

:042

BQ x ky k ++-=，联立直线AP ，BQ 方程可知点Q

的横坐标为2

23422

Q k k x k --=+，

2

||1PQ k =+()Q p x x -22

23411(

)222k k k k k --=++-+221k

=+21

||1()2

p PA k x =++21(1)k k =+-，所以3||||(1)(1)PA PQ k k ?=-+，令

3()(1)(1)f x x x =-+，11x -<<，

则2'()(1)(24)f x x x =---2

2(1)(21)x x =--+，当1

12

x -<<-时'()0f x >，当112x -<<时'()0f x <，故()f x 在1(1,)2--上单调递增，在1

(,1)2-上单调递减. 故max

127()()216f x f =-=

，即||||PA PQ ?的最大值为27

16

. 21.（1）由于'()()x

x

f x xe tx x e t =-=-.

1）当0t ≤时，0x e t ->，当0x >时，'()0f x >，()f x 递增， 当0x <时，'()0f x <，()f x 递减；

2）当0t >时，由'()0f x =得0x =或ln x t =.

① 当01t <<时，ln 0t <，当0x >时，'()0f x >，()f x 递增，

当ln 0t x <<时，'()0f x <，()f x 递减， 当ln x t <时，'()0f x >，()f x 递增； ② 当1t =时，'()0f x >，()f x 递增； ③当1t >时，ln 0t >.

当ln x t >时，'()0f x >，()f x 递增， 当0ln x t <<时，'()0f x <，()f x 递减， 当0x <时，'()0f x >，()f x 递增.

综上，当0t ≤时，()f x 在(,0)-∞上是减函数，在(0,)+∞上是增函数； 当01t <<时，()f x 在(,ln )t -∞，(0,)+∞上是增函数，在(ln ,0)t 上是减函数； 当1t =时，()f x 在(,)-∞+∞上是增函数；

当1t >时，()f x 在(,0)-∞，(ln ,)t +∞上是增函数，在(0,ln )t 上是减函数. （2）依题意1212()()f x x f x x +--1212()()x x x x >--+，

1212()()f x x x x ?+++1212()()f x x x x >-+-恒成立.

设()()g x f x x =+，则上式等价于1212()()g x x g x x +>-， 要证明1212()()g x x g x x +>-对任意1x R ∈，2(0,)x ∈+∞恒成立， 即证明2

3()(1)2

x g x x e x x =--

+在R 上单调递增，又'()31x g x xe x =-+， 只需证明310x xe x -+≥即可.令()1x

h x e x =--，则'()1x

h x e =-， 当0x <时，'()0h x <，当0x >时，'()0h x >，

∴min ()(0)0h x h ==，即x R ?∈，1x e x ≥+，那么，当0x ≥时，2x xe x x ≥+，所以

31x xe x -+≥2221(1)0x x x -+=-≥；当0x <时，1x e <，31x xe x x -+=1

(3)0x e x

-+>，

∴310x xe x -+≥恒成立.从而原不等式成立. 22.解：（1）∵sin()224

π

ρθ+

=，∴

22

sin cos 2222

ρθρθ+=， 即cos sin 4ρθρθ+=，∴直线l 的直角坐标方程为40x y +-=；

∵12cos 22sin x y ??

=-+??

=-+?，∴曲线1C 的普通方程为22

(1)(2)4x y +++=.

（2）∵点P 在直线4x y +=上，根据对称性，||AP 的最小值与||BP 的最小值相等. 曲线1C 是以(1,2)--为圆心，半径2r =的圆.

∴min 1||||AP PC r =-22(21)(22)23=+++=.所以||||AP BP +的最小值为236?=.

23.解：（1）∵()g x =33,2151,24133,4

x x x x x x ?

?-+≤-?

?

---<≤??

?

->??，

当2x ≤-时，336x -+<解得1x >-，此时无解.

当124x -<≤

时，516x --<，解得75x >-，即71

54

x -<≤. 当14x <时，336x -<，解得3x <，即134x <<，综上，()6g x <的解集为7

{|3}5

x x -<<. （2）因为存在1x ，2x R ∈，使得12()()f x g x =-成立.所以

{|(),}y y f x x R =∈{|(),}y y g x x R =-∈≠?I .

又()3|||31|f x x a x =-++|(33)(31)||31|x a x a ≥--+=+，

由（1）可知9()[,)4g x ∈-

+∞，则9

()(,]4

g x -∈-∞. 所以9|31|4a +≤，解得135

1212

a -≤≤.

故a 的取值范围为135

[,]1212

-.