用空间向量证明线线垂直与线面垂直
第二节 用空间向量证明线线垂直与线面垂直
一、空间向量及其数量积
1、 在空间，既有大小又有方向的量称为空间向量。用AB 或表示，其中向量的大小称为向量的长度或
或a
。正如平面向量a 可用坐标(x,y.)表示，空间向量a 也可用坐标(x,y,z)表示。若已知点A 坐标为（x 1，y 1，z 1）,点B 坐标为（x 2，y 2，z 2） 则向量AB =（x 2 -x 1，y 2- y 1，z 2 -z 1）即是终点坐标减起点坐标。 在空间，知道向量a =（x ，y ，z
222z y x 2、 空间向量数量积
① 已知两个非零向量、，在空间任取一点O ，作=，=，则角∠AOB 叫向量与的
夹角，记作＜，＞规定，若0≤＜，＞≤ ，若＜，＞=2
，称与垂直，记作⊥。
② 已知空间两个向量、
COS ＜，＞叫向量、的数量积，记作a
COS
＜a ，b ＞若a ⊥b b a
＝０
③ 若已知空间向量＝（x 1，y 1，z 1）， ＝（x 2，y 2，z 2） 则?＝x 1x 2+y 1y 2+z 1z 2 ， COS ＜a ，
2
2
2
22
22
12
12
12
12121z y x z y x z z y y x x
例１ 如图，已知直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠BCA=900,D 1、E 1分别为A 1B 1、A 1C 1中点，若BC=CA=CC 1，求向量1BD 与1AE 所成角的余弦值。
C 1
B 1 Ａ1
Ａ
Ｃ
Ｂ D 1 E 1
E
D A 1
F D 1 A
B 1
C
B
C 1
1111D C B A 中，11E B =11F D =
4
1
1B A ，求向量1BE 与1DF 所成角的余弦值。
二 、利用向量证线线垂直与线面垂直
例2 在正方体ABCD —1111D C B A 中，求证A 1C ⊥平面AB 1D 1
练习：在正方体ABCD —1111D C B A 中，O 为底面ABCD 的中心，P 为DD 1的中点， 求证：B 1O ⊥平面PAC 。
例3 如图，PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M, N 分别是AB ,PC 中点 （1）求证：M N ⊥CD
（2）若∠PDA=450
，求证：MN ⊥平面PCD
B
A D C
B A
C D B 1 A 1 D C B A C 1
D 1 O P C
D
P
N
练习：正方体ABCD —1111D C B A 中，M 是棱D 1D 中点，N 是AD 中点， P 为棱A 1B 1上任一点。求证：NP ⊥AM
作业：
1.如图，正方体ABCD —1111D C B A 中，E 是BB 1中点，O 是底面ABCD 中心，
求证：O E ⊥平面D 1AC.
2.如图，正方体ABCD —1111D C B A 中，O ,M 分别是BD 1, AA 1中点，求证：OM 是异面直线AA 1和BD 1的公垂线.
3、如图，直三棱柱ABC-—A 1B 1C 1中，∠ACB=900
，AC=1，CB=2，侧棱AA 1=1，，侧面AA 1B 1B 的两
条对角线交点为D ，B 1C 1的中点为M 。求证：CD ⊥平面BDM
D
A 1
A
B
N A
C
D A 1
B 1
D 1
M P C 1
E
O
B 1 A 1 D
C B A
C 1
D 1
O
M
B 1
A 1
D
C
B
A
C 1
D 1
4在棱长为a 的正方体ABCD —1111D C B A 中，E ， F 分别为棱AB 和BC 的中点，M 为棱B 1B
上任一点，当
MB
M
B 1值为多少时能使D 1M ⊥平面EFB 1
5、如图， ABC 为正三角形，AE 和CD 都垂直于平面ABC ，且AE=AB=2a ， CD=a ，F 为BE 中点，求证：A F ⊥BD
6、如图，已知直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中B 1C 1=A 1C 1，A 1B ⊥AC 1。 求证：A 1B ⊥B 1C
第三节 利用空间向量求二面角及证明面面垂直
一、二面角
A A
M
C
B
B
C
D 1
E
F D F
E D C B A
C 1
Ａ1 Ａ
Ｃ
Ｂ
二面角 l ，若 的一个法向量为m ， 的一个法向量为n ，则|
|||,cos n m n m
，二面角的
大小为 n m ,或 n m ,
例1．如图，正三棱柱111C B A ABC 中，E 为1BB 的中点，111B A AA ，求平面EC A 1与平面111C B A 所成锐角的大小。
例2．（05年全国）如图，在四棱锥V-ABCD
V AD 是正三角形,平面V AD ⊥底面ABCD ． （1）证明AB ⊥平面V AD ；
（2）求面V AD 与面VBD 所成的二面角的大小．
练习：如图，棱长为1的正方体
1111D C B A ABCD 中，E 是1CC 的中点，
求二面角D E
B B 1的余弦值。
二．证面面垂直
若平面 的一个法向量为m ，平面 的一个法向量为n ，且n m ，则 。
例3．在四棱锥P-ABCD 中，侧面PCD 是正三角形，且与底面ABCD 垂直，已知底面是面积为32的菱形，
060 ADC ，M 是PB 的中点。
（1）求证：CD PA
（2）求二面角D AB P 的度数； （3）求证：平面 PAB 平面CDM 。
练习：（04年辽宁）已知四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是菱形， PD DAB ,60平面ABCD ，PD=AD ，点E 为AB 的中点，点F 为 PD 的中点。
（1）证明平面PED ⊥平面PAB ；
（2）求二面角P-AB-F 的平面角的余弦值.
作业：
1．（04年广东）如图，在长方体1111D C B A ABCD 中，
已知F E AA AD AB ,,2,3,41 分别是线段BC AB ,上的点，且1 FB EB 。 （Ⅰ）求二面角C-DE-C 1的正切值；
（Ⅱ）求直线EC 1与FD 1所成角的余弦值。
D
A
A
C
A
M
A
B
P
A
F E
P
D
C
B
A
2．（05年全国）已知四棱锥P-ABCD 的底面为直角梯形，AB ∥DC ， PA DAB ,90
底面ABCD ，且PA=AD=DC=
2
1
AB=1，M 是PB 的中点。 （1）证明：面PAD ⊥面PCD ； （2）求AC 与PB 所成的角；
（3）求面AMC 与面BMC 所成二面角的大小。
3．已知四棱锥P-ABCD 的底面是边长为2的正方形，侧棱 PA 底面ABCD ，PA ＝2，M 、N 分别是AD 、BC 的中点，PD MQ 于Q
（1）求证：平面PMN 平面PAD ；
（2）求PM 与平面PCD 所成角的正弦值； （3）求二面角Q MN P 的余弦值。
4．（06年全国）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝BC ， D 、E 分别为BB 1、AC 1的中点．
（1）证明：ED 为异面直线BB 1与AC 1的公垂线； （2）设AA 1＝AC ＝2AB ，求二面角A 1－AD －C 1的大小．
A
B
C
D
E
A 1
B 1
C 1
N N
M
Q
A
P
D
C
B
5． （04年浙江）如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互
相垂直，AB =2，AF =1，M 是线段EF 的中点。
（1）求证：AM //平面BDE ； （2）求二面角A DF B 的大小；
（3）试在线段AC 上确定一点P ，使得PF 与BC 所成的角是60 。
6．（05年湖南）如图1，已知ABCD 是上．下底边长分别为2和6，高为3的等腰梯形，将它沿对称轴OO 1折成直二面角，如图2.
（1）证明：AC ⊥BO 1；
（2）求二面角O-AC-O 1的大小。
7．（06年山东）如图，已知四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 为 等腰梯形，AB ∥DC,AC ⊥BD,AC 与BD 相交于点O ，且顶点 P 在底面上的射影恰为点O ，又BO=2,PO=2,PB ⊥PD. (1)求异面直线PD 与BC 所成角的余弦值； (2)求二面角P -A B-C 的大小；
A
D
E
F
M
B
C
B A 图1 O O 1 D C
O 1
C
O
D
A
B
图2 M
(3)设点M 在棱PC 上，且,PM
MC
问为何值时， PC ⊥平面BMD.
向量法求空间角(高二数学-立体几何)
A B C D P Q 向量法求空间角 1．（本小题满分10分）在如图所示的多面体中，四边形ABCD 为正方形，四边形ADPQ 是直角梯形， DP AD ⊥，⊥CD 平面ADPQ ，DP AQ AB 2 1==． （1）求证：⊥PQ 平面DCQ ； （2）求平面BCQ 与平面ADPQ 所成的锐二面角的大小． 2．（满分13分）如图所示，正四棱锥P －中，O 为底面正方形的中心，侧棱与底面所成的角的正切值为26 ． （1）求侧面与底面所成的二面角的大小； D B A
（2）若E是的中点，求异面直线与所成角的正切值； （3）问在棱上是否存在一点F，使⊥侧面，若存在，试确定点F的位置；若不存在，说明理由． 3．（本小题只理科做，满分14分）如图,已知AB⊥平面ACD,DE//AB,△ACD是正三角形,AD=DE=2AB,且F是CD的中点. （1）求证:AF//平面BCE; （2）求证:平面BCE⊥平面CDE; （3）求平面BCE与平面ACD所成锐二面 角的大小.
4．（本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCD P-中,PD⊥底面ABCD,且底面ABCD为正方形,G , = =分别为 ,2 AD, F E PD ,的中点． PC, PD CB （1）求证:// AP平面EFG; （2）求平面GEF和平面DEF的夹角.
5．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，平面1A BC ⊥ 侧面11A ABB 且12AA AB ==. （Ⅰ）求证：AB BC ⊥； （Ⅱ）若直线与平面1A BC 所成的角为6 π,求锐二面角1A A C B --的大小.
线面平行与垂直的证明题
线面平行与垂直的证明1：如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中. （1）求证：AC⊥平面B1BDD1； （2）求三棱锥B-ACB1体积． 2：如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点． 求证：（1）PA∥平面BDE；（2）平面PAC⊥平面BDE． D1 C1 B1 A1 C D B A
3：如图：在底面是直角梯形的四棱锥S —ABCD 中， ∠ABC = 90°，SA ⊥面ABCD ，SA = AB = BC = 1，2 1 AD ． （Ⅰ）求四棱锥S —ABCD 的体积； （Ⅱ）证明：平面SBC ⊥平面SCD . 4：已知多面体ABCDFE 中， 四边形ABCD 为矩形，AB ∥EF ，AF ⊥BF ，平面ABEF ⊥平面ABCD ， O 、M 分别为AB 、FC 的中点，且AB = 2，AD = EF = 1. （Ⅰ）求证：AF ⊥平面FBC ； （Ⅱ）求证：OM ∥平面DAF .
5：．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是P C的中点，作EF⊥PB交PB于点F． （1）证明PA//平面EDB；（2）证明PB⊥平面EFD； 6：已知正方形ABCD和正方形ABEF所在的平面相交于AB，点M，N分别在AC和BF上，且 AM=FN. C
求证：MN ‖平面BCE. 7：如图，正方体1111D C B A ABCD -中，棱长为a （1）求证：直线//1B A 平面1ACD （2）求证：平面1ACD ⊥平面D BD 1；
8：如图，已知△ABC是正三角形，EA、CD都垂直于平面ABC，且EA=AB=2a,DC=a,F是BE的中点， 求证：(1) FD∥平面ABC (2) AF⊥平面EDB. 9：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G分别是CB、CD、CC1的中点， （1）求证：平面A B1D1∥平面EFG; （2）求证：平面AA1C⊥面EFG.
用空间向量证明线线垂直与线面垂直
第二节 用空间向量证明线线垂直与线面垂直 一、空间向量及其数量积 1、 在空间,既有大小又有方向的量称为空间向量。用或a 表示,其中向量的大小称为向量的长度或模, 或a 。正如平面向量可用坐标(x,y.)表示,空间向量也可用坐标（x,y,z)表示。若已知点Ａ坐标为(x 1，ｙ1，ｚ1),点B 坐标为（ｘ2,y 2，z 2) 则向量=(x 2 －ｘ1，y 2－ y １,z ２ -z 1）即是终点坐标减起点坐标。 在空间,知道向量=(ｘ,y ，z) 222z y x ++ 2、 空间向量数量积 ① 已知两个非零向量a 、b ，在空间任取一点Ｏ,作OA ＝a ，OB =b ,则角∠A ＯB 叫向量a 与b 的 夹角,记作＜，＞规定，若０≤<，＞≤π,若＜,>= 2 π ,称与垂直,记作⊥。 ② 已知空间两个向量、, 则 ＣOS ＜，＞叫向量、的数量积，记作a ? COS ＜,>若⊥?a ? ＝0 ③ 若已知空间向量＝（ｘ1，y 1，z 1）, ＝（x 2,ｙ2，z ２） 则a ?b =x １x 2+y １ｙ2+z 1z 2 , COS<,> 2 2 2 22 22 12 12 12 12121z y x z y x z z y y x x ++?++++= 例１ 如图，已知直三棱柱ABC －A 1B 1C １中，∠B ＣA=９０0,D 1、E 1分别为Ａ1B 1、A 1C １中点,若BC=ＣA ＝C Ｃ1，求向量1BD 与1AE 所成角的余弦值。 C 1 B 1 Ａ1 Ａ Ｃ Ｂ D 1 E 1
E D A 1 F D 1 A B 1 C B C 1
1111D C B A 中,11E B =11F D = 4 1 1B A ,求向量1BE 与1DF 所成角的余弦值。 二 、利用向量证线线垂直与线面垂直 例2 在正方体ＡB ＣD —1111D C B A 中,求证Ａ1C ⊥平面AB 1D 1 练习：在正方体ABCD —1111D C B A 中,Ｏ为底面ABCD 的中心,Ｐ为ＤＤ1的中点， 求证：Ｂ1O ⊥平面PAC 。 例3 如图,PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M, Ｎ分别是AB ，P Ｃ中点 (1)求证：M N ⊥CD (2)若∠P ＤA=４５0 ，求证：MN ⊥平面P ＣD B A D C B A C D B 1 A 1 D C B A C 1 D 1 O P C D P N
(完整版)线面平行证明的常用方法
线面平行证明的常用方法 张磊 立体几何在高考解答题中每年是必考内容，必有一个证明题；重点考察：平行与垂直（线线平行、线面平行、面面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直等），我们现在对线面平行这一方面作如下探讨： 方法一：中位线型：找平行线。 例1、如图⑴，在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD -中，点E 是PD 的中点.求证：//PB 平面AEC 分析： 如图⑴ 如图⑵ 如图⑶ 方法二：构造平行四边形，找平行线 例2、如图⑵, 平行四边形ABCD 和梯形BEFC 所在平面相交，BE//CF ，求证：AE//平面DCF. 分析：过点E 作EG//AD 交FC 于G ， DG 就是平面AEGD 与平面DCF 的交线，那么只要证明AE//DG 即可。 方法三：作辅助面使两个平面是平行, 即：作平行平面，使得过所证直线作与已 知平面平行的平面 例3、如图⑷，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 为菱形， M 为OA 的中点，N 为BC 的中点，证明：直线MN OCD 平面‖ 分析：：取OB 中点E ，连接ME ，NE ，只需证平面MEN 平面OCD 。 方法四：利用平行线分线段成比例定理的逆定理证线线平行。 例4、已知正方形ABCD 和正方形ABEF AC 和BF 上，且AM=FN. 求证：MN ‖平面BCE. 如图⑷ 如图⑸ 如图⑹ E B A D C G F F y C B E D A S z _ M _ D _ A B _ O E P E D C B O A B C D E F N M
例5．如图⑸，已知三棱锥Ｐ—ＡＢＣ，Ａ′，B ′，C ′是△PBC,△PCA,△PAB 的重心. (1)求证：Ａ′Ｂ′∥面ＡＢＣ； (2)求S △A ′B ′C ′：S △ABC . 方法五：（向量法）所证直线与已知平面的法向量垂直，关键：建立空间坐标系 （或找空间一组基底）及平面的法向量。 例6、如图⑹，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为正方形， 侧棱SD ⊥底面ABCD E F ，，分别为AB SC ，的中点．证明EF ∥平面SAD ； 分析：因为侧棱SD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，所以很容易建立空间直角坐标系及相应的点的坐标。 证明：如图，建立空间直角坐标系D xyz -． 设(00)(00)A a S b ，，，，，，则(0)(00)B a a C a ，，，，，， 00222a a b E a F ???? ? ????? ，，，，，， 02b EF a ??=- ?? ?u u u r ，，． 因为y 轴垂直与平面SAD ，故可设平面的法向 量为n r =（0，1，0） 则：02b EF n a ??=- ?? ?u u u r r g g ，，（0，1，0）=0 因此 EF n ⊥u u u r r 所以EF ∥平面SAD ．
线线平行线面平行面面平行的练习题
线线平行、线面平行、面面平行部分的练习题 1．如图2-3-3所示,已知α∩β=CD,α∩γ=EF,β∩γ=AB,AB ∥α.求证：ＣＤ∥EF. 2.已知直线a ∥平面α，直线a ∥平面β，平面αI 平面β=b ， 求证//a b ． 3. 正方形ABCD 交正方形ABEF 于AB （如图所示）M 、N 在对角线AC 、FB 上且AM= FN 。求证：MN //平面BCE 4．如图2-3-7所示，正三棱柱ABC —A1B1C1中，D 是BC 的中点，试判断A1B 与平面ADC1的位置关系，并证明你的结论. 5．、已知⊥PA 矩形ABCD 所在的平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点， 求证：MN//平面PAD. 6.在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设M 、N 、E 、F 分别是棱A 1B 1、A 1D 1、C 1D 1、B 1C 1的中点.求证：(1)E 、F 、B 、D 四点共面；（2）面AMN ∥面EFBD. 7．已知在正方体ABCD －1111D C B A 中，M 、N 分别是11D A 、11B A 的中点，在该正方体中作出与平面AMN 平行的平面，并证 明你的结论。
8．已知点 是△ 所在平面外一点，点 ， ， 分 别是△ ，△ ，△ 的重心，求证：平面 平 面 ． 9. 已知三棱锥Ｐ—ＡＢＣ，Ａ′，B ′C ′是△PBC,△PCA,△PAB 的重心. (1)求证：面Ａ′Ｂ′Ｃ′∥面ＡＢＣ； (2)求S △A ′B ′C ′： S △ABC . . 10. 如图所示11 1 ABC A B C -中，平面ABC//平面A 1B 1C 1 ， 若D 是棱1 CC 的中点，在棱AB 上是否存在一点E ，使 11//C AB DE 证明你的结论 答案与提示： 1.证明：∵AB β,AB α,又∵AB ∥α,α∩β =CD,∴AB ∥CD,同理ＡＢ∥ＥＦ，∴ＣＤ∥ＥＦ. 2. 证明：经过a 作两个平面γ和δ，与平面α和β分别相交于直线c 和d ， ∵a ∥平面α，a ∥平面β， ∴a ∥c ，a ∥d ，∴c ∥d ， 又∵d ?平面β，c ?平面β， ∴c ∥平面β， d c b a δ γ β α
立体几何中的向量方法—证明平行和垂直
2017届高二数学导学案编写 审核 审批 课题：立体几何中的向量方法—证明平行和垂直 第 周 第 课时 班 组 组评 姓名 师评 【使用说明】 1、依据学习目标。课前认真预习，完成自主学习内容； 2、课上思考，积极讨论，大胆展示，充分发挥小组合作优势，解决疑难问题； 3、当堂完成课堂检测题目； 4、★的多少代表题目的难以程度。★越多说明试题越难。不同层次学生选择相应题目完成 【学习目标】1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘； 2．了解空间向量的基本定理； 3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 【教学重点】理解空间向量的概念；掌握空间向量的运算方法 【教学难点】 理解空间向量的概念；掌握空间向量的运算方法 【学习方法】学案导学法，合作探究法。 【自主学习·梳理基础】 1、 考点深度剖析 利用空间向量证明平行或垂直是高考的热点，内容以解答题为主，主要围绕考查空间直角坐标系的建立、空间向量的坐标运算能力和分析解决问题的能力命制试题，以多面体为载体、证明线面(面面)的平行(垂直)关系是主要命题方向． 2．【课本回眸】 1.直线的方向向量与平面的法向量的确定 ①直线的方向向量：l 是空间一直线，A ，B 是直线l 上任意两点，则称AB → 为直线l 的方向向量，与AB → 平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量． ②平面的法向量可利用方程组求出：设a ，b 是平面α内两不共线向量，n 为平面α的法向量， 则求法向量的方程组为??? ?? n·a ＝0， n·b ＝0. 2.用向量证明空间中的平行关系 ①设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1∥l 2(或l 1与l 2重合)?v 1∥v 2. ②设直线l 的方向向量为v ，与平面α共面的两个不共线向量v 1和v 2，则l ∥α或l ?α?存在两个实数x ，y ，使v ＝xv 1＋yv 2. ③设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ∥α或l ?α?v ⊥u . ④设平面α和β的法向量分别为u 1，u 2，则α∥β?u 1∥u 2. 3. 用向量证明空间中的垂直关系 ①设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1⊥l 2?v 1⊥v 2?v 1·v 2＝0. ②设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ⊥α?v∥u . ③设平面α和β的法向量分别为u 1和u 2，则α⊥β?u 1⊥u 2?u 1·u 2＝0. 4.共线与垂直的坐标表示 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a ∥b ?a ＝λb ?a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3(λ∈R)， a ⊥ b ?a·b ＝0?a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0(a ，b 均为非零向量)． 【课堂合作探究】 探究一：如图，在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中， N M F E ,,,分别是棱1111,,,D A B A AD AB 的中点，点Q P ,分别在 棱 1DD ,1BB 上移动，且()20<<==λλBQ DP . 当1=λ时，证明：直线//1BC 平面EFPQ . 探究二：如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，PA ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．证明： (1)AE ⊥CD ； (2)PD ⊥平面ABE .
用向量法求二面角的平面角教案
第三讲：立体几何中的向量方法 利用空间向量求二面角的平面角大家知道，立体几何是高中数学学习的一个难点，以往学生学习立体几何时，主要采取“形到形” 的综合推理方法，即根据题设条件，将空间图形转化为平面图形，再由线线，线面等关系确定结果，这种方法没有一般规律可循，对人的智力形成极大的挑战，技巧性较强，致使大多数学生都感到束手无策。 高中新教材中，向量知识的引入，为学生解决立体几何问题提供了一个有效的工具。它能利用代数 方法解决立体几何问题，体现了数形结合的思想。并且引入向量，对于某些立体几何问题提供通法，避免了传统立体几何中的技巧性问题，因此降低了学生学习的难度，减轻了学生学习的负担，体现了新课 程理念。 为适应高中数学教材改革的需要，需要研究用向量法解决立体几何的各种问题。本文举例说明如何用向量法解决立体几何的空间角问题。以此强化向量的应用价值，激发学生学习向量的兴趣，从而达到提高学生解题能力的目的。 利用向量法求空间角，不需要繁杂的推理，只需要将几何问题转化为向量的代数运算，方便快捷。 空间角主要包括线线角、线面角和二面角，下面对二面角的求法进行总结。 教学目标 1使学生会求平面的法向量； 2?使学生学会求二面角的平面角的向量方法； 3. 使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题; 4. 使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高 教学重点 求平面的法向量； 求解二面角的平面角的向量法 教学难点 求解二面角的平面角的向量法 教学过程 I、复习回顾 一、回顾相关公式： 1、二面角的平面角：（范围：[0,]）
2、 法向量的方向： 一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面 角等于法向量夹角的补角 . 3、 用空间向量解决立体几何问题的“三步曲” ： （1） 建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何 问题转化为向量问题；（化为向量问题） （2） 通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题； （进行 向量运算） （3） 把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。 （回到图形） n 、典例分析与练习 例1、如图，ABCD 是一直角梯形， ABC 90 , SA 求面SCD 与面SBA 所成二面角的余弦值? 分析 分别以BA, AD,AS 所在直线为x,y,z 轴， 建立空间直角坐标系，求出平面 SCD 的法向量 仁, 平面SBA 法向量n 2，利用n i , n 2夹角 cos cos n 1, n 2 结论： 或 ——■ cos cos 门1,门2 cos cos n j , n 2 统一为： n 1 n 2 |n 1 n 2 1 面 ABCD , SA AB BC 1, AD -, 2
利用空间向量证明线线垂直
利用空间向量证明线线垂直 1.如图，在四棱锥S?ABCD中，SA⊥底面ABCD，四边形ABCD 是边长为1的正方形，且SA=1，点M是SD的中点． 求证：SC⊥AM 2.如图，在三棱柱ABC?A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC⊥BC， AC=BC=2，CC1=3，点D，E分别在棱AA1和棱CC1上， 且AD=1，CE=2，M为棱A1B1的中点． 求证：C1M⊥B1D 3.如图，正三棱柱ABC?A1B1C1中，底面边长为√2．设侧棱长为1， 求证：AB1⊥BC1
4.如图，在四棱锥中，底面，，， ，，点E为棱PC的中点．证明： 5.如图，在三棱柱ABC?A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=2，CC1=3， 点D，E分别在棱AA1和棱CC1上，且AD=1，CE=2，M为棱A1B1的中点． 求证：C1M⊥B1D 6.如图所示，直三棱柱ABC?A′B′C′的侧棱长为4，AB⊥BC，且AB=BC=4，点D， E分别是棱AB，BC上的动点，且AD=BE． 求证：无论D在何处，总有B′C⊥C′D
答案和解析 1.解：证明：以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AS 为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则S(0,0，1)，C(1,1，0)，A(0,0，0)，M(0,12,12)，∴SC ????? =(1,1，?1)，AM ?????? =(0,12,1 2 )， ∴SC ????? ?AM ?????? =12?12=0，∴SC ⊥AM ． 2.解：根据题意，以C 为原点，CA ????? ，CB ????? ，CC 1??????? 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立 空间直角坐标系，如图所示， 则C(0,0，0)，A(2,0，0)，B(0,2，0)，C 1(0,0，3)，A 1(2,0，3)，B 1(0,2，3)，D(2,0，1)， E(0,0，2)，M(1,1，3)，证明：依题意，C 1M ???????? =(1,1，0)，B 1D ???????? =(2,?2,?2)， ∴C 1M ???????? ·B 1D ???????? =2?2+0=0，∴C 1M ???????? ⊥B 1D ???????? ，即C 1M ⊥B 1D ； 3.证明：(1)AB 1??????? =AB ????? +BB 1??????? ，BC 1??????? =BB 1??????? +BC ????? ．因为BB 1⊥平面ABC ， 所以BB 1??????? ?AB ????? =0，BB 1??????? ?BC ????? =0．又△ABC 为正三角形， 所以
立体几何线面、面面平行的证明
Q D C B A P C 1 B 1 A 1D 1 D C B A D A 1 C 1 C B 1 B 理科数学复习专题 立体几何 线面平行与面面平行专题复习 【题型总结】 题型一 小题：判断正误 1. a 、b 、c 是直线，,,αβγ是平面，下列命题正确的是_____________ α αβ βααβαβαγαγββααα////a ,//a //a //,//a ////a ,//a ////,////a //,//a //a //,//a b b b b c c b b 则⑥则⑤则④则③则②则① 归纳：_______________________________________ 题型二 线面平行的判定 1、如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，E 、F 分别是ＰＢ，ＰＣ的中点，求证：EF 归纳： 3、在正方体中，Ｅ，Ｆ分别为C1D1和BC 的中点， 求证： FE 1111111//. ABCD A B C D AB D C BC -在正方体中，求证：平面平面11111111111,,:(1)//;(2)//. ABC A B C D AC BC AB D D AC B DA BC D -2、如图已知正三棱柱中，点为的中点求证平面为的中点，求证：平面平面111ABC A B C -AB AC =,,M N P 11,,BC CC BB 1//A N AMP
【综合练习】 一、选择题 1、直线和平面平行是指该直线与平面内的（ ） (A)一条直线不相交 (B)两条直线不相交 (C)无数条直线不相交(D)任意一条直线都不相交 2、已知a b ||,αα?，则必有（ ） ()||(),A a b B a b 异面 (),C a b 相交 (),D a b 平行或异面 3、若直线a,b 都与平面?平行，则a 和b 的位置关系是（ ） (A)平行 (B)相交 (C)异面 (D)平行或相交或是异面直线 4.已知平面α、β和直线m ，给出条件：①m ∥α；②m ⊥α；③m ?α；④α⊥β；⑤α∥β.为使m ∥β，应选择下面四个选项中的 ( ) A ．①④ B ．①⑤ C ．②⑤ D ．③⑤ 5．下列命题正确的是 （ ） A 一直线与平面平行，则它与平面内任一直线平行 B 一直线与平面平行，则平面内有且只有一个直线与已知直线平行 C 一直线与平面平行，则平面内有无数直线与已知直线平行，它们在平面内彼此平行 D 一直线与平面平行，则平面内任意直线都与已知直线异面 6. 以下命题（其中a ，b 表示直线，?表示平面） ①若a ∥b ，b ??，则a ∥? ②若a ∥?，b ∥?，则a ∥b ③若a ∥b ，b ∥?，则a ∥? ④若a ∥?，b ??，则a ∥b 其中正确命题的个数是 （ ） 个 个 个 个 二、解答题 1．如图，E D ,分别是正三棱柱111ABC A B C -的棱1AA 、11B C 的中点， 求证：1//A E 平面1BDC ； 2、如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD=DC=1，点E 是PC 的中点，作EF PB 交PB 于点