利用空间向量证明线面平行垂直

利用空间向量证明线面平行垂直

1.如图，在四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB=1，

AC=AA1=2，AD=CD=√5，且点M和N分别为B1C和D1D的中点．

求证：MN//平面ABCD

2.如图，在四棱锥P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB//CD，且CD=2,AB=1，BC=

2√2，PA=1，AB⊥BC，N为PD的中点．求证：AN//平面PBC

3.已知直三棱柱ABC?A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，且AB=

AA1，D，E，F分别为B1A，C1C，BC的中点．

(1)求证：DE//平面ABC；

(2)求证：B1F⊥平面AEF．

4.如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，∠ABC=90°，BC=2，CC1=4，点E在棱BB1

上，EB1=1，D，F，G分别为CC1，B1C1，A1C1的中点，EF与B1D相交于点H．求证：B1D⊥平面ABD

5.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，M分别为棱BB1，CD，AA1的中点．证

明：(1)C1M//平面ADE

6.如图，正方体ABCD?A1B1C1D1中，E，F，G分别是AB，CC1，AD中点．

棱CD上是否存在点T，使得AT//平面B1EF？请证明你的结论．

7.如图所示，在长方体AC1中，AB=BC=2，CC1=2√2，点E，F分别为棱CC1，AA1

的中点．证明：直线AC//平面BED1

8.如图所示，在三棱台ABC?A1B1C1中，底面ABC为等腰直角三角形，侧面ACC1A1⊥

平面ABC，AB⊥AC，CC1⊥AC，AB=2，A1C1=CC1=1．证明：CA1⊥平面ABB1A1

答案和解析

1.证明：如图，

以A 为坐标原点，以AC 、AB 、AA 1所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系A ?xyz ， 则A(0,0，0)，B(0,1，0)，C(2,0，0)，D(1,?2,0)， A 1(0,0，2)，B 1(0,1，2)，C 1(2,0，2)，D 1(1,?2,2)，

又∵M 、N 分别为B 1C 、D 1D 的中点，∴M(1,1

2,1)，N(1,?2,1)．

由题可知：n 0???? =(0,0，1)是平面ABCD 的一个法向量，MN ??????? =(0,?5

2,0)， ∵n 0???? ?MN ??????? =0，∴n 0???? ⊥MN ??????? ，

又∵MN ?平面ABCD ，∴MN//平面ABCD ；

2.解：过A 作，垂足为E ，则DE =1，以A 为坐标原点，分别以AE,AB,AP 所

在直线为x,y,z 轴建立空间直角坐标系，

则A(0,0,0),B(0,1,0),E(2√2,0,0),D(2√2,?1,0),C(2√2,1,0),P (0,0,1)， ∴N(√2,?12,1

2) ，)AN ?????? =(√2,?12,1

2)， 设平面PBC 的一个法向量为n

? 1=(x,y,z)， BP ????? =(0,?1,1),BC ????? =(2√2,0,0)，{?y +z =0

2√2x =0， n 1???? =(0,1,1)

∴AN ?????? ?n 1???? =?1

2+1

2=0，

，AN ?平面PBC ， ∴AN//

平面PBC

3.证明：如图建立空间直角坐标系O ?xyz ，令AB =AA 1=4，

则A(0,0，0)，E(0,4，2)，F(2,2，0)，B(4,0，0)， B 1(4,0，4)，D(2,0，2)

(1)DE ?????? =(?2,4，0)，面ABC 的法向量为OA 1???????? =(0,0，4)， ∵DE ?????? ?OA 1???????? =0，DE ?平面ABC ， ∴DE//平面ABC ；

(2)B 1F ??????? =(?2,2,?4)，EF

????? =(2,?2,?2) B 1F ??????? ?EF ????? =(?2)×2+(?2)+(?4)×(?2)=0 B 1F ??????????? AF

????? =(?2)×2+2×2+(?4)=0 ∴B 1F ??????? ⊥AF

????? ，∴B 1F ⊥AF ∵AF ∩FE =F ，∴B 1F ⊥平面AEF ． 4.证明：如图所示建立空间直角坐标系，

设AB =a ，则A 1(a,0，0)，B 1(0,0，0)，C 1(0,2，0)，F(0,1，0)，E(0,0，1)，A(a,0，4)，B(0,0，4)，D(0,2，2)，G (a

2,1,0)．

所以B 1D ???????? =(0,2，2)，AB ????? =(?a,0，0)，BD ?????? =(0,2，?2)．

所以B 1D ???????? ·AB ????? =0+0+0=0，B 1D ???????? ·BD ?????? =0+4?4=0．所以B 1D ???????? ⊥AB ????? ,B 1D ???????? ⊥BD ?????? ， 所以B 1D ⊥AB ，B 1D ⊥BD ．又AB ∩BD =B ，AB ?平面ABD ，BD ?平面ABD ， 所以B 1D ⊥平面ABD ．

5.解：(1)以D 为原点，向量DA ????? ，DC ????? ，DD 1???????? 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立坐标系如图，

设正方体的棱长为1．则D(0,0，0)，A(1,0，0)，E (1,1,12)，C 1(0,1，1)，M (1,0,1

2)，

DA ????? =(1,0，0)，DE ?????? =(1,1,12)，C 1M ???????? =(1,?1,?1

2

)． 设平面ADE 的法向量为m ??? =(a,b ，c)，则{DA ????? ·m ??? =0DE ?????? ·m ??? =0?{a =0,a +b +12

c =0. 令c =2，得m

??? =(0,?1,2)，∵m ??? ·C 1M ???????? =(0,?1,2)·(1,?1,?12)=0+1?1=0， ∴C 1M ???????? ⊥m ??? ．又C 1M ?平面ADE ，∴C 1M //平面ADE ．

6.解：以D 为坐标原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系：

设正方体棱长为2a ，则B (2a,2a,0)，B 1(2a,2a,2a )，

E (2a,a,0)，G (a,0,0)，C (0,2a,0)，D (0,0,0)，

F (0,2a,a )，A (2a,0,0)， 假设在棱CD 上存在点T (0,t,0)，t ∈[0,2a ]，使得AT//平面B 1EF ， 则B 1E ??????? =(0,?a,?2a ),EF

????? =(?2a,a,a ),AT ????? =(?2a,t,0)， 设平面B 1EF 的法向量n

? =(x,y,z)，∴{B 1E ??????? ·n ? =?ay ?2az =0

EF ????? ·n ? =?2ax +ay +az =0

,

令z =1，则y =?2，x =?1

2 ，∴n

? =(?1

2,?2,1)， ∴AT ????? ·n ? =a ?2t =0，解得：t =a

2 ，∴DT =1

4DC ， ∴棱CD 上存在点T ，满足DT =1

4DC ，使得AT//平面B 1EF ．

7.解：如图，以D 为原点，DA,DC,DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴， z 轴建立如图所示

的空间直角坐标系，则D(0,0,0),D 1(0,0,2√2),A(2,0,0),C(0,2,0)，B(2,2,0),E(0,2,√2),F(2,0,√2)，

依题意得BE ????? =(?2,0,√2),ED 1??????? =(0,?2,√2),AC

????? =(?2,2,0)，

设平面BED 1的一个法向量为n ? =(x,y,z)， 则{

n ? ?BE ????? =0

n ? ?ED 1??????? =0

即{

?2x +√2z =0

?2y +√2z =0

所以{

z =√2x y =x

,

取x =1得y =1,z =√2，故n ? =(1,1,√2)，n ? ·AC ????? =?2+2+0=0，所以n ? ⊥AC ????? ， 又直线AC ?平面BED 1，所以直线AC//平面BED 1．

8.解：

由知平面ACC 1A 1⊥平面ABC ，CC 1⊥AC ，又平面ACC 1A 1∩平面ABC =AC ，CC 1?平面ACC 1A 1所以CC 1⊥平面ABC ．在平面ABC 内过C 作AB 的平行线CM ，则CM ⊥AC ， 以C 为原点，CA ，CM ，CC 1所在直线分别为x 轴，y 轴， z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，

由已知棱台的上底面也是等腰直角三角形，腰长为1，则C(0,0,0),C 1(0,0,1),A(2,0,0), B(2,2,0),A 1(1,0,1),B 1(1,1,1)，∴CA 1??????? =(1,0,1),AB ????? =(0,2,0),AA 1??????? =(?1,0,1), ∵CA 1??????? ?AB ????? =0+0+0=0,CA 1??????? ?AA 1??????? =?1+0+1=0，，

又∵AB ∩AA 1=A,AB,AA 1?平面ABB 1A 1，∴CA 1⊥平面ABB 1A 1.