用向量的方法证明平行与垂直关系
用向量的方法证明平行与垂直关系
知识点一：求平面的法向量
例1.已知平面α经过三点A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2，0)，试求平面α的一个法向
量．
解: ∵A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)，
AB u u u r ＝(1，－2，－4)，AC →
＝(1，－2，－4)，
设平面α的法向量为n ＝(x ，y ，z)．
依题意，应有n ·AB u u u r = 0， n ·AC →
= 0.
即?????
x －2y －4z ＝02x －4y －3z ＝0
，解得???
??
x ＝2y
z ＝0
.
令y ＝1，则x ＝2.
∴平面α的一个法向量为n ＝(2,1,0)．
【反思】用待定系数法求平面的法向量，关键是在平面内找两个不共线向量，列出方程组，取其
中一组解(非零向量)即可．
练习：， 如图所示，已知点(,0,0),(0,,0),(0,0,)A a B b C c ，求平面ABC 的一个法向量。
知识点二：利用向量方法证平行关系
“用向量法”求法向量的解题步骤： （1）设平面的一个法向量为),,(z y x n =； （2）找出（或求出）平面内的两个不共线的向量的坐标),,(),,,(222111c b a b c b a a ==；（3）根据法向量的定义列出方程组?????=?=?0
0b n a n ； （4）解方程组，取其中的一个解，即得法向量。
（1）线线平行：设直线1l 、2l 的方向向量分别为a 、b ，则b a b a l l λ=??////21 （2）线面平行：
①由线面平行的判定定理，只要证明已知直线的方向向量与平面内的某一向量平行即可；
②设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为μ，则0//=??⊥?μμαa a l ； ③由共面向量定理知，只要证已知直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量表示即可. （3）面面平行：
①证明两个平面的法向量平行，即两个平面的法向量νμ//；
②证明一个平面内两条相交直线的方向向量分别和另一个平面内的两条相交直线的方向向量平行.
例2在正方体1111D C B A ABCD -中，O 是11D B 的中点，求证：11//ODC C B 面.
证方法一：∵1B C u u u u r =1A D u u u u r
，
∴D A C B 11//，又11ODC D A 面?,11ODC C B 面? ∴11//ODC C B 面
证法二： ∵1B C u u u u r =11B C u u u u r +1B B u u u u r =1B O u u u u
r +1OC u u u u r +1D O u u u u r +OD u u u r
=1OC u u u u r +OD u u u r
.
∴
1B C u u u u r ，1OC u u u u r ，OD u u u r
共面.
又B 1C ?
面ODC 1，∴B 1C ∥面ODC 1.
证法三: 如图建系空间直角坐标系xyz D -，设正方体的棱长为1，则可得
B 1(1,1,1)，C(0,1,0)，O ? ??
??12，12，1，C 1(0,1,1)，
1B C u u u u r
＝(－1,0，－1)，
OD u u u r ＝? ????－12，－1
2，－1，
1OC u u u u r ＝? ??
??
－12，12，0.
设平面ODC 1的法向量为n ＝(x 0，y 0，z 0)，
则10,
0,n OD n OC ??=???=??u u u r u u u u r
得?
?
???
－12x 0－12y 0－z 0＝0 ①－12x 0＋12
y 0＝0 ②
令x 0＝1，得y 0＝1，z 0＝－1，∴n ＝(1,1，－1)．
又 1B C u u u u r
·n ＝－1×1＋0×1＋(－1)×(－1)＝0， ∴1B C u u u u r
⊥n ，∴B 1C∥平面ODC 1.
【反思】 证明线面平行问题，可以有三个途径，一是在平面ODC 1内找一向量与1B C u u u u r
共线；二是说明1B C u u u u r 能利用平面ODC 1内的两不共线向量线性表示，三是证明1B C u u u u r 与
平面的法向量垂直．
练习：如图所示，矩形ABCD 和梯形BEFC 所在平面互相垂直，CF
BE //，
?=∠=∠90CEF BCF ，3=AD ，2=EF .求证：//AE 平面DCF .
证明：如图所示，以点C 为坐标原点，以CB 、CF 和CD 所在直线分别作为x 轴、y 轴和z 轴，建
立空间直角坐标系C —xyz.
设AB ＝a ，BE ＝b ，CF ＝c ，
则C(0,0,0)，A(3，0，a)，
B(3，0,0)，E(3，b,0)，F(0，c,0)．
AE →
＝(0，b ，－a)， CB u u u r ＝(3，0,0)，
BE u u u r
＝(0，b,0)，
所以CB u u u r ·AE → = 0，CB u u u r ·BE u u u r
= 0，从而CB ⊥AE ，CB ⊥BE.
所以CB⊥平面ABE.因为CB⊥平面DCF ，所以平面ABE∥平面DCF.故AE∥平面DCF. 知识点三 利用向量方法证明垂直关系
（1）线线垂直：设直线1l 、2l 的方向向量分别为a 、b ，则021=??⊥?⊥b a b a l l （2）线面垂直：
①设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为μ，则μμαk a a l =??⊥//；
②由线面垂直的判定定理，只要证明已知直线的方向向量与平面内两个不共线向量垂直。
（3）面面垂直：
①证明两个平面的法向量垂直，即两个平面的法向量0=??⊥νμνμ；
②由面面垂直的判定定理可知：只要证明一个平面内的一条直线的方向向量和一个平面内的两条相交直线的方向向量垂直.
例3．在正方体1111D C B A ABCD -中，F E ,分别是棱BC AB ,的中点，试在棱1BB 上找一点
M ，使得M D 1⊥平面1EFB .
解：建立空间直角坐标系D —xyz ，设正方体的棱长为2，则E(2,1,0)，F(1,2,0)，D 1(0,0,2)，B 1(2,2,2)．
设M （2，2，m ），则
EF u u u r =（-1，1，0）
，B 1E →
=（0， -1， -2）， 1D M u u u u u r
=（2，2，m -2）.
∵ 1D M ⊥平面EFB 1，∴ 1D M ⊥EF ，1D M ⊥B 1E ， ∴
1D M u u u u u r ·EF u u u r
= 0且1D M u u u u u r ·B 1E →
= 0，
于是-2+2=0,-2-2(m-2)=0,???
∴m＝1，故取B 1B 的中点为M 就能满足D 1M⊥平面EFB 1.
【反思感悟】 证明直线与平面垂直有两种方法：(1)用直线与平面垂直的判定
定理；(2)证明该直线所在向量与平面的法向量平行．
练习：1．在正方体1111D C B A ABCD -中，E 是棱BC 的中点，试在棱1CC 上求一点P ，使
得平面⊥P B A 11平面DE C 1.
2．在正三棱柱111C B A ABC -中，B A C B 11⊥. 求证：B A AC 11⊥. 证明 建立空间直角坐标系C 1—xyz ，设AB ＝a ，CC 1＝b.
则A 1?
????32a ，a 2，0，B(0，a ，b)，B 1(0，a,0)，C(0,0，b)，A ? ??
??
32a ，12a ，b ，C 1(0,0,0)． 于是1A B u u u u r =? ????32a ，12a ，b 1B C u u u u r =（0，- a ，b ），1AC u u u u r ＝? ??
??
－32a ，－a 2，－b .
A
D
C
E
B
1
A P 1
B 1
C 1
D
∵B 1C⊥A 1B ，∴ 1B C u u u u r ·1A B u u u u r ＝ －a 2
2
＋b 2
＝0,
而1A C u u u u r ·1A B u u u u r ＝34
a 2－14
a 2－
b 2＝a 22
－b 2
＝0
∴ 1A C u u u u r ⊥1A B u u u u r
即AC 1⊥A 1B. 课堂小结：
1．用待定系数法求平面法向量的步骤： (1)建立适当的坐标系．
(2)设平面的法向量为n ＝(x ，y ，z)．
(3)求出平面内两个不共线向量的坐标a ＝(a 1，b 1，c 1)，b ＝(a 2，b 2，c 2)．
(4)根据法向量定义建立方程组?
??
??
a·n ＝0
b·n ＝0.
(5)解方程组，取其中一解，即得平面的法向量.
2．平行关系的常用证法
AB u u u r ＝λCD →
.证明线面平行可转化为证直线的方向向量和平面的法向量垂直，然后说明直线
在平面外，证面面平行可转化证两面的法向量平行．
3．垂直关系的常用证法
要证线线垂直，可以转化为对应的向量垂直．
要证线面垂直，可以转化为证明这条直线与平面内两条相交直线垂直． 要证面面垂直，可以转化为证明两个平面的法向量垂直．
跟踪练习：
一、选择题
1. 已知A （3，5，2），B （-1，2，1），把AB u u u r
按向量a ＝(2,1,1)平移后所得的向量是( )
A ．(－4，－3,0)
B ．(－4，－3，－1)
C ．(－2，－1,0)
D ．(－2，－2,0)
答案 B AB u u u r
＝(－4，－3，－1)．平移后向量的模和方向是不改变的．
2．平面α的一个法向量为(1,2,0)，平面β的一个法向量为(2，－1,0)，则平面α与平面β的位置关系是( )
A ．平行
B ．相交但不垂直
C ．垂直
D ．不能确定
答案 C 解析 ∵(1,2,0)·(2，－1,0)＝0，∴两法向量垂直，从而两平面也垂直． 3．从点A(2，－1,7)沿向量a ＝(8,9，－12)的方向取线段长AB ＝34，则B 点的坐标为( ) A ．(－9，－7,7) B ．(18,17，－17)
C ．(9,7，－7)
D ．(－14，－19,31)
答案 B 解析 ，设B （x ，y ，z ），AB u u u r
=（x -2，y+1，z -7）=λ（8，9，- 12），λ>0.
故x -2=8λ,y+1=9λ,z -7=-12λ，又（x -22
+（y+12
+（z -72
= 342
，得（17λ）2
= 342
，∵λ>0,∴λ=2.∴x = 18,y = 17,z =-17,即B （18，17，- 17）.
4．已知a ＝(2,4,5)，b ＝(3，x ，y)分别是直线l 1、l 2的方向向量，若l 1∥l 2，则( )
A ．x ＝6，y ＝15
B ．x ＝3，y ＝15
2
C ．x ＝3，y ＝15
D ．x ＝6，y ＝15
2
答案 D 解析 ∵l 1∥l 2，∴a ∥b ，则有23＝4x ＝5y ，解方程得x ＝6，y ＝15
2
.
5．若直线l 的方向向量为a ＝(1,0,2)，平面α的法向量为u ＝(－2,0，－4)，则( )
A ．l∥α
B ．l⊥α
C ．l α
D ．l 与α斜交 答案 B 解析 ∵u ＝－2a ，∴a ∥u ，∴l⊥α. 二、填空题
6．已知A(1,1，－1)，B(2,3,1)，则直线AB 的模为1的方向向量是________________． 答案 ? ????13，23，23或? ????－1
3，－23，－23解析，
AB u u u r =（1，2，2）
，|AB u u u r
| = 3 . 模为1的方向向量是±||
AB AB u u u r u u u r , 7．已知平面α经过点O(0,0,0)，且e ＝(1,1,1)是α的法向量，M(x ，y ，z)是平面α内
任意一点，则x ，y ，z 满足的关系式是________________．
答案 x ＋y ＋z ＝0解析 OM u u u u r ·e=（x ，y ，z ）·（1，1，1）= x+y+z = 0.
8．若直线a 和b 是两条异面直线，它们的方向向量分别是(1,1,1)和(2，－3，－2)，则直
线a 和b 的公垂线(与两异面直线垂直相交的直线)的一个方向向量是________．
答案 (1,4，－5)(答案不唯一)
解析 设直线a 和b 的公垂线的一个方向向量为n ＝(x ，y ，z)，a 与b 的方向向量分别为
n 1，n 2，由题意得???
??
n ·n 1＝0，
n ·n 2＝0，
即：???
??
x ＋y ＋z ＝0，
2x －3y －2z ＝0.
解之得：y ＝4x ，z ＝－5x ，令x ＝1，
则有n ＝(1,4，－5)．
三、解答题
9．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 、F 分别是BB 1、DD 1的中点，求证：(1)FC 1∥平面ADE ；
(2)平面ADE∥平面B 1C 1F.
证明 如图所示建立空间直角坐标系Dxyz ，
则有D(0,0,0)、A(2,0,0)，C(0,2,0)，C 1(0,2,2)，E(2,2,1)， F(0,0,1)，B 1(2,2,2)，所以
1FC u u u u r
=（0，2，1），DA u u u r =（2，0，0）
，AE u u u r
=（0，2，1）.（1）设n 1=（x 1 , y 1 , z 1）是平面ADE 的法向量,
则n 1 ⊥ DA u u u r
， n 1⊥AE
u u u r
，即 1,11·2·
2,DA x AE y z ?=??=+??11n n u u u r u u u r
得
1110,
2,x z y =??
=-?
令z 1＝2，则y 1＝－1，所以n 1＝(0，－1,2)．因为 FC 1→·n 1＝－2＋2＝0，所以FC 1→
⊥n 1. 又因为FC 1平面ADE ，所以FC 1∥平面ADE.
（2）∵11C B u u u u r
=（2，0，0），
设n 2
= (x 2
, y 2
, z 2)
是平面B 1C 1F 的一个法向量.由n 2
⊥FC 1→,n 2⊥11C B u u u u
r ,得
21222112·
20,·
20,n FC y z n C B x ?=+=??==??u u u u r u u u u r 得 得2220,2,x z y =??
=-? 令z 2＝2得y 2＝－1，所以n 2＝(0，－1,2)，因为n 1＝n 2，所以平面ADE∥平面B 1C 1F.
10．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝2，BB 1＝1，E 为BB 1的中点，求证：平面AEC 1⊥平面AA 1C 1C ．
10．证明：由题建立如图的空间直角坐标系，则A (2，0，0)，A 1(2，0，1)，C (0，2，0)，C 1(0，2，1)，E (0，0，
2
1) 则-=-==(),0,2,2(),1,0,0(11AC ).2
1,0,2(),1,2,2-=AE 设平面AA 1C 1C 的一个法向量为),,(1z y x n =则
?
?
?=+-=??????==??.022000
11y x z n n 令x ＝1，得y ＝1．∴)0,1,1(1=n ． 设平面AEC 1的一个法向量为),,(2z y x n =
则??
???=+-=++-??????==??021
20220021
2z x z y x n AC n 令z ＝4，得x ＝1，y ＝－1∴)4,1,1(2-=n ∵2121,040)1(111n n n n ⊥∴=?+-?+?=?．
∴平面AEC 1⊥平面AA 1C 1C ．
立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直
立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直 1．直线的方向向量与平面的法向量的确定 (1)直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量． (2)平面的法向量可利用方程组求出：设a ，b 是平面α两不共线向量，n 为平面α的法向量，则求法向量的方程组为???? ? n ·a ＝0，n ·b ＝0. 2．用向量证明空间中的平行关系 (1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1∥l 2(或l 1与l 2重合)?v 1∥v 2. (2)设直线l 的方向向量为v ，与平面α共面的两个不共线向量v 1和v 2，则l ∥α或l ?α?存在两个实数x ，y ，使v ＝x v 1＋y v 2. (3)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ∥α或l ?α?v ⊥u . (4)设平面α和β的法向量分别为u 1，u 2，则α∥β?u 1 ∥u 2. 3．用向量证明空间中的垂直关系 (1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1⊥l 2?v 1⊥v 2?v 1·v 2＝0. (2)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ⊥α?v ∥u . (3)设平面α和β的法向量分别为u 1和u 2，则α⊥β?u 1⊥u 2?u 1·u 2＝0. 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)直线的方向向量是唯一确定的．( ) (2)平面的单位法向量是唯一确定的．( ) (3)若两平面的法向量平行，则两平面平行．( ) (4)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行．( ) (5)若a ∥b ，则a 所在直线与b 所在直线平行．( ) (6)若空间向量a 平行于平面α，则a 所在直线与平面α平行．( ) 1．下列各组向量中不平行的是( )
线面平行与垂直的证明题
线面平行与垂直的证明1：如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中. （1）求证：AC⊥平面B1BDD1； （2）求三棱锥B-ACB1体积． 2：如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点． 求证：（1）PA∥平面BDE；（2）平面PAC⊥平面BDE． D1 C1 B1 A1 C D B A
3：如图：在底面是直角梯形的四棱锥S —ABCD 中， ∠ABC = 90°，SA ⊥面ABCD ，SA = AB = BC = 1，2 1 AD ． （Ⅰ）求四棱锥S —ABCD 的体积； （Ⅱ）证明：平面SBC ⊥平面SCD . 4：已知多面体ABCDFE 中， 四边形ABCD 为矩形，AB ∥EF ，AF ⊥BF ，平面ABEF ⊥平面ABCD ， O 、M 分别为AB 、FC 的中点，且AB = 2，AD = EF = 1. （Ⅰ）求证：AF ⊥平面FBC ； （Ⅱ）求证：OM ∥平面DAF .
5：．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是P C的中点，作EF⊥PB交PB于点F． （1）证明PA//平面EDB；（2）证明PB⊥平面EFD； 6：已知正方形ABCD和正方形ABEF所在的平面相交于AB，点M，N分别在AC和BF上，且 AM=FN. C
求证：MN ‖平面BCE. 7：如图，正方体1111D C B A ABCD -中，棱长为a （1）求证：直线//1B A 平面1ACD （2）求证：平面1ACD ⊥平面D BD 1；
8：如图，已知△ABC是正三角形，EA、CD都垂直于平面ABC，且EA=AB=2a,DC=a,F是BE的中点， 求证：(1) FD∥平面ABC (2) AF⊥平面EDB. 9：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G分别是CB、CD、CC1的中点， （1）求证：平面A B1D1∥平面EFG; （2）求证：平面AA1C⊥面EFG.
空间几何——平行与垂直证明
c c ∥∥b a b a ∥?一、“平行关系”常见证明方法 （一）直线与直线平行的证明 1) 利用某些平面图形的特性：如平行四边形的对边互相平行 2) 利用三角形中位线性质 3) 利用空间平行线的传递性（即公理4）： 平行于同一条直线的两条直线互相平行。 4) 利用直线与平面平行的性质定理： 如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那 么这条直线和交线平行。 5) 利用平面与平面平行的性质定理： 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行． 6) 利用直线与平面垂直的性质定理： 垂直于同一个平面的两条直线互相平行。 a b α β b a a =??βαβ α∥b a ∥? b a b a ////??? ? ?? ==γβγαβα β α ⊥⊥b a b a ∥?
7) 利用平面内直线与直线垂直的性质： 在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。 8) 利用定义：在同一个平面内且两条直线没有公共点 （二）直线与平面平行的证明 1) 利用直线与平面平行的判定定理： 平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 2) 利用平面与平面平行的性质推论： 两个平面互相平行，则其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面。 3) 利用定义：直线在平面外，且直线与平面没有公共点 （三）平面与平面平行的证明 常见证明方法： 1) 利用平面与平面平行的判定定理： 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。 α b a β α a β αα∥?a β ∥a ?b ∥a b a αα??α ∥a ?
(完整版)线面平行证明的常用方法
线面平行证明的常用方法 张磊 立体几何在高考解答题中每年是必考内容，必有一个证明题；重点考察：平行与垂直（线线平行、线面平行、面面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直等），我们现在对线面平行这一方面作如下探讨： 方法一：中位线型：找平行线。 例1、如图⑴，在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD -中，点E 是PD 的中点.求证：//PB 平面AEC 分析： 如图⑴ 如图⑵ 如图⑶ 方法二：构造平行四边形，找平行线 例2、如图⑵, 平行四边形ABCD 和梯形BEFC 所在平面相交，BE//CF ，求证：AE//平面DCF. 分析：过点E 作EG//AD 交FC 于G ， DG 就是平面AEGD 与平面DCF 的交线，那么只要证明AE//DG 即可。 方法三：作辅助面使两个平面是平行, 即：作平行平面，使得过所证直线作与已 知平面平行的平面 例3、如图⑷，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 为菱形， M 为OA 的中点，N 为BC 的中点，证明：直线MN OCD 平面‖ 分析：：取OB 中点E ，连接ME ，NE ，只需证平面MEN 平面OCD 。 方法四：利用平行线分线段成比例定理的逆定理证线线平行。 例4、已知正方形ABCD 和正方形ABEF AC 和BF 上，且AM=FN. 求证：MN ‖平面BCE. 如图⑷ 如图⑸ 如图⑹ E B A D C G F F y C B E D A S z _ M _ D _ A B _ O E P E D C B O A B C D E F N M
例5．如图⑸，已知三棱锥Ｐ—ＡＢＣ，Ａ′，B ′，C ′是△PBC,△PCA,△PAB 的重心. (1)求证：Ａ′Ｂ′∥面ＡＢＣ； (2)求S △A ′B ′C ′：S △ABC . 方法五：（向量法）所证直线与已知平面的法向量垂直，关键：建立空间坐标系 （或找空间一组基底）及平面的法向量。 例6、如图⑹，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为正方形， 侧棱SD ⊥底面ABCD E F ，，分别为AB SC ，的中点．证明EF ∥平面SAD ； 分析：因为侧棱SD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，所以很容易建立空间直角坐标系及相应的点的坐标。 证明：如图，建立空间直角坐标系D xyz -． 设(00)(00)A a S b ，，，，，，则(0)(00)B a a C a ，，，，，， 00222a a b E a F ???? ? ????? ，，，，，， 02b EF a ??=- ?? ?u u u r ，，． 因为y 轴垂直与平面SAD ，故可设平面的法向 量为n r =（0，1，0） 则：02b EF n a ??=- ?? ?u u u r r g g ，，（0，1，0）=0 因此 EF n ⊥u u u r r 所以EF ∥平面SAD ．
立体几何中的向量方法—证明平行和垂直
2017届高二数学导学案编写 审核 审批 课题：立体几何中的向量方法—证明平行和垂直 第 周 第 课时 班 组 组评 姓名 师评 【使用说明】 1、依据学习目标。课前认真预习，完成自主学习内容； 2、课上思考，积极讨论，大胆展示，充分发挥小组合作优势，解决疑难问题； 3、当堂完成课堂检测题目； 4、★的多少代表题目的难以程度。★越多说明试题越难。不同层次学生选择相应题目完成 【学习目标】1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘； 2．了解空间向量的基本定理； 3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 【教学重点】理解空间向量的概念；掌握空间向量的运算方法 【教学难点】 理解空间向量的概念；掌握空间向量的运算方法 【学习方法】学案导学法，合作探究法。 【自主学习·梳理基础】 1、 考点深度剖析 利用空间向量证明平行或垂直是高考的热点，内容以解答题为主，主要围绕考查空间直角坐标系的建立、空间向量的坐标运算能力和分析解决问题的能力命制试题，以多面体为载体、证明线面(面面)的平行(垂直)关系是主要命题方向． 2．【课本回眸】 1.直线的方向向量与平面的法向量的确定 ①直线的方向向量：l 是空间一直线，A ，B 是直线l 上任意两点，则称AB → 为直线l 的方向向量，与AB → 平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量． ②平面的法向量可利用方程组求出：设a ，b 是平面α内两不共线向量，n 为平面α的法向量， 则求法向量的方程组为??? ?? n·a ＝0， n·b ＝0. 2.用向量证明空间中的平行关系 ①设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1∥l 2(或l 1与l 2重合)?v 1∥v 2. ②设直线l 的方向向量为v ，与平面α共面的两个不共线向量v 1和v 2，则l ∥α或l ?α?存在两个实数x ，y ，使v ＝xv 1＋yv 2. ③设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ∥α或l ?α?v ⊥u . ④设平面α和β的法向量分别为u 1，u 2，则α∥β?u 1∥u 2. 3. 用向量证明空间中的垂直关系 ①设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1⊥l 2?v 1⊥v 2?v 1·v 2＝0. ②设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ⊥α?v∥u . ③设平面α和β的法向量分别为u 1和u 2，则α⊥β?u 1⊥u 2?u 1·u 2＝0. 4.共线与垂直的坐标表示 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a ∥b ?a ＝λb ?a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3(λ∈R)， a ⊥ b ?a·b ＝0?a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0(a ，b 均为非零向量)． 【课堂合作探究】 探究一：如图，在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中， N M F E ,,,分别是棱1111,,,D A B A AD AB 的中点，点Q P ,分别在 棱 1DD ,1BB 上移动，且()20<<==λλBQ DP . 当1=λ时，证明：直线//1BC 平面EFPQ . 探究二：如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，PA ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．证明： (1)AE ⊥CD ； (2)PD ⊥平面ABE .
立体几何平行与垂直经典证明题
N M P C B A 新课标立体几何常考证明题汇总 考点：证平行（利用三角形中位线），异面直线所成的角 1、已知四边形ABCD 是空间四边形，,,,E F G H 分别是边,,,AB BC CD DA 的中点 （1） 求证：EFGH 是平行四边形 （2） 若BD=23，AC=2，EG=2。求异面直线AC 、BD 所成的角和EG 、BD 所成的角。 考点：线面垂直，面面垂直的判定 2、如图，已知空间四边形ABCD 中，,BC AC AD BD ==，E 是AB 的中点。 求证：（1）⊥AB 平面CDE; （2）平面CDE ⊥平面ABC 。 考点：线面平行的判定 3、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点， 求证： 1//A C 平面BDE 。 考点：线面垂直的判定 4、已知ABC ?中90ACB ∠=,SA ⊥面ABC ,AD SC ⊥,求证：AD ⊥面SBC ． 考点：线面平行的判定（利用平行四边形），线面垂直的判定 5、已知正方体1111ABCD A B C D -，O 是底ABCD 对角线的交点. 求证：(１) C 1O ∥面11AB D ；(2)1 AC ⊥面11AB D ． 考点：线面平行的判定（利用平行四边形） 7、正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中．(1)求证：平面A 1BD ∥平面B 1D 1C ； (2)若E 、F 分别是AA 1，CC 1的中点，求证：平面EB 1D 1∥平面FBD ． 考点：线面垂直的判定,三角形中位线，构造直角三角形 8、四面体ABCD 中，,,AC BD E F =分别为,AD BC 的中点，且2 2 EF AC =， 90BDC ∠=，求证：BD ⊥平面ACD 考点：三垂线定理 9、如图P 是ABC ?所在平面外一点，,PA PB CB =⊥平面PAB ，M 是PC 的中点，N 是AB 上的 A E D 1 C B 1 D C B A A H G F E D C B A E D B C S D C B A A 1 A B 1 C 1 C D 1 D G E F D 1 O D B A C 1 B 1 A 1 C
立体几何中平行与垂直证明方法归纳
c c ∥∥b a b a ∥?本文档系统总结归纳了立体几何中平行与垂直证明方法，特别适合于高三总复习时对学生构建知识网络、探求解题思路、归纳梳理解题方法。是一份不可多得的好资料。 一、“平行关系”常见证明方法 （一）直线与直线平行的证明 1) 利用某些平面图形的特性：如平行四边形的对边互相平行 2) 利用三角形中位线性质 3) 利用空间平行线的传递性（即公理4）： 平行于同一条直线的两条直线互相平行。 4) 利用直线与平面平行的性质定理： 如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。 5) 利用平面与平面平行的性质定理： 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行． 6) 利用直线与平面垂直的性质定理： 垂直于同一个平面的两条直线互相平行。 a b α β a b a =?? βαβ α ∥b a ∥?b a b a //// ??? ? ?? ==γβγαβα β α ⊥⊥b a b a ∥?
7) 利用平面内直线与直线垂直的性质： 在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。 8) 利用定义：在同一个平面内且两条直线没有公共点 （二）直线与平面平行的证明 1) 利用直线与平面平行的判定定理： 平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 2) 利用平面与平面平行的性质推论： 两个平面互相平行，则其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面。 3) 利用定义：直线在平面外，且直线与平面没有公共点 （三）平面与平面平行的证明 常见证明方法： 1) 利用平面与平面平行的判定定理： 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。 α b a β α a β αα ∥?a β ∥a ?α αββ////∩??b a P b a b a =α β//?α β b a P b ∥a b a αα ??α ∥a ?
用向量方法证明空间中的平行与垂直
用向量方法证明空间中的平行与垂 直 部门： xxx 时间： xxx 整理范文，仅供参考，可下载自行编辑
用向量方法证明空间中的平行与垂直 1.已知直线a的方向向量为a，平面α的法向量为n，下列结论成立的是( C > A．若a∥n，则a∥α B．若a·n＝0，则a⊥α C．若a∥n，则a⊥α D．若a·n＝0，则a∥α 解读：由方向向量和平面法向量的定义可知应选 C.对于选项D，直线a?平面α也满足a·n＝0. 2.已知α，β是两个不重合的平面，其法向量分别为n1，n2，给出下列结论： ①若n1∥n2，则α∥β；②若n1∥n2，则α⊥β； ③若n1·n2＝0，则α⊥β；④若n1·n2＝0，则α∥β. 其中正确的是( A > A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 3.(原创>已知A(3，－2,1>，B(4，－5,3>，则与向量错误!平行的一个向量的坐标是( C >b5E2RGbCAP A．(错误!，1,1> B． (－1，－3,2> C．(－错误!，错误!，－1> D．(错误!，－3，－2错误!>p1EanqFDPw 解读：错误!＝(1，－3,2>＝－2(－错误!，错误!，－1>，DXDiTa9E3d 所以与向量错误!平行的一个向量的坐标是(－错误!，错误!，－1>，故选C.RTCrpUDGiT 4.设l1的方向向量为a＝(1,2，－2>，l2的方向向量为b＝(－2,3，m>，若l1⊥l2，则m等于 2 .5PCzVD7HxA 5.设平面α的法向量为(1,2，－2>，平面β的法向量为(－2，－4，k>，若α∥β，则k＝ 4 . 解读：因为α∥β，所以(－2，－4，k>＝λ(1,2，－ 2>， 所以－2＝λ，k＝－2λ，所以k＝4. 6.已知错误!＝(1,5，－2>，错误!＝(3,1，z>．若错误!⊥错误!，错误!＝(x－1，y，－3>，且BP⊥平面ABC，则实数x＝错误!，y＝－错误!，z＝ 4 .jLBHrnAILg 解读：由已知错误!，xHAQX74J0X 解得x＝错误!，y＝－错误!，z＝4. 7.(原创>若a＝(2,1，－错误!>，b＝(－1,5，错误!>，则以a，b为邻边的平行四边形的面积为2错误!.LDAYtRyKfE 解读：因为a·b＝(2,1，－错误!>·(－1,5，错误!>＝0，
用向量法证明直线与直线平行
用向量法证明直线与直线平行、直线与平面平行、 平面与平面平行导学案 一、知识梳理 1、设直线l 1和l 2的方向向量分别是为1v 和2v ，由向量共线条件得l 1∥l 2或l 1与l 2重合?1 v ∥2v 。 2、直线与平面平行的条件 已知两个不共线向量1v 、2v 与平面a 共面（图（2））， 一条直线l 的一个方向向量为1v ，则由共面向量定理， 可得l ∥a 或l 在平面a 内?存在两个实数x 、y ，使 1v ＝x 1v ＋y 2v 。 3、平面与平面平行的条件 已知两个不共线的向量1v 、2v 与平面a 共面，则由两个平面平行的判定定理与性质得 a ∥β或a 与β重合?1v ∥β且2v ∥β 4、点M 在平面ABC 内的充要条件 由共面向量定理，我们还可得到：如果A 、B 、C 三点不共线，则点M 在平面ABC 内的充分 必要条件是，存在一对实数x 、y ，使向量表达式AM x AB y AC =+ 成立。 对于空间任意一点O ，由上式可得(1)O M x y O A xO B yO C =--++ ，这也是点M 位于平 面ABC 面内的充要条件。 知识点睛 用向量法证明直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行时要注意： （1）若l 1、l 2的方向向量平行，则包括l 1与l 2平行和l 1与l 2重合两种情况。 （2）证明直线与平面平行、平面与平面平行时要说明它们没有公共点。 例1：如图3－28，已知正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′，点M ，N 分别是面对角线A ′B 与面对角线A ′C ′的中点。 求证：MN ∥侧面AD ′；MN ∥AD ′，并且MN ＝12 AD ′。
立体几何中平行与垂直的证明(整理好)
D 1 B 1D A B C E 1A 1C 立体几何中平行与垂直的证明 姓名 例1．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1， O 是底ABCD 对角线的交点． 求证：（1）C 1O//平面AB 1D 1； （2）A 1C ⊥平面AB 1D 1． 【变式一】如图，在长方体1111D C B A ABCD -中,1,11>==AB AA AD ，点E 在棱AB 上移动。 求证：E D 1⊥D A 1； 【变式二A 】如图平面ABCD ⊥平面ABEF ， ABCD 是正方形，ABEF 是矩形，且,22 1== AD AF G 是EF 的中点，（1）求证平面AGC ⊥平面BGC ； （2）求空间四边形AGBC 的体积。
B C A D E F M C 1 B 11B A 【变式二B 】. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，8AB =，6AC =，10BC =，D 是BC 边的中点.（Ⅰ）求证： 1AB A C ⊥； （Ⅱ）求证：1A C ∥ 面1AB D ； 【变式三】如图组合体中，三棱柱111ABC A B C -的侧面11ABB A 是圆柱的轴截面，C 是圆柱底面圆周上不与A 、B 重合一个点. （Ⅰ）求证：无论点C 如何运动，平面1A BC ⊥平面1A AC ； （Ⅱ）当点C 是弧AB 的中点时，求四棱锥111A BCC B -与圆柱的体积比． 【变式四】如图，四边形ABCD 为矩形，AD ⊥平面ABE ，AE ＝EB ＝BC ＝2，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE ． （1）求证：AE ⊥BE ； （2）设M 在线段AB 上，且满足AM ＝2MB ，试在线段CE 上确定一点N ，使得MN ∥平面DAE.
立体几何线面平行垂直,线面角二面角的证明方法
A P B C E D 一：线面平行的证明方法： 1、用“近似平行法”先找到面上与已知直线平行的直线（一般为表示面的三角形的边界直线，或三角形某边上的中线） 看找到的这条线与已知线的长度关系，1）若相等应该构造平行四边形；2）若不相等一般利用三角形中位线的性质（将这两个不相等的线段的端点连结并延长即会出现关键三角形）。 2、若既不能构造平行四边形也不能性用中位线性质，则应再构造一个此直线所在的平面，证明此平面与已知平面平行（先证面面平行，推出线面平行） 例一：如图，已知菱形ABCD ，其边长为2， 60BAD ∠= ，ABD ?绕着BD 顺时针旋转120 得到PBD ?，M 是PC 的中点． （1）求证：//PA 平面MBD ； （2）求直线AD 与平面PBD 所成角的正弦值． 例二：已知四棱锥P-ABCD ，底面ABCD 是 60=∠A 、 边 长为a 的菱形，又ABCD PD 底⊥，且PD=CD ，点M 、N 分别是 棱AD 、PC 的中点． （1）证明：DN//平面PMB ； （2）证明：平面PMB ⊥平面PAD ； （3）求点A 到平面PMB 的距离． 例三：如图，已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外的一点， 上的点且PE EA BF FD =∶∶，求证：EF //平面PBC ． 二：线面垂直的证明方法： 通过线线垂直，证明线面垂直 1） 利用勾股定理逆定理及三角形中两个角和为90°； 2） 利用等边、等腰三角形（中线即高线），正方形、矩形邻边垂直，正方形菱形对角线垂 直等； 3） 通过线面垂直，反推线线垂直； 4） 利用面面垂直的性质，证明垂直于交线即垂直于另一个平面。 例四：如图,四边形ABCD 为矩形，CF ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ， AB=4a ，BC= CF=2a,P 为AB 的中点. (1)求证：平面PCF ⊥平面PDE ； (2)求四面体PCEF 的体积. C
向量讨论平行垂直及夹角
向量讨论平行垂直及夹角 1、如图所示：在三棱锥P-ABQ 中，ABQ PB 平面⊥,BA=BP=BQ,D 、C 、E 、F 分别是AQ,BQ,AP,BP 的中点，AQ=2BD,PD 与EQ 交于点G,PC 与FQ 交于点H,连接GH.求证：AB//GH; 2、如图所示：在四棱柱1111D C B A ABCD -中，侧棱⊥A A 1底面,5,2,1,,1=====⊥CD AD AA AC AB AC AB ABCD 且点M 和N 分别为C B 1和D D 1的中点，求证：//MN 平面ABCD .
3、如图所示：在四棱柱1111D C B A ABCD -中，侧棱⊥1AA 底面ABCD ，.6,5,4,3,1,//1k DC k BC k AD k AB AA CD AB =====求证：⊥CD 平面11A ADD 4、如图所示：正方体1111D C B A ABCD -中，求 B A 1与平面CD B A 11所成角的大小。
5、如图所示：直三棱柱111C B A ABC -中底面ABC ?满足090,=∠==BCA a CB CA ,棱N M a AA ,,21=分别是11B A 、1AA 的中点。 （1）求BN 的长； （2）求异面直线1BA 与1CB ,所成角的余弦值； 6、在底面是直角梯形的四棱锥ABCD S -中，090=∠ABC ,⊥SA 平面21,1,====AD BC AB SA ABCD ,求平面SCD 与平面SBA 所成的二面角余弦值；
7、如图所示：在长方体1111D C B A ABCD -中，已知5,4,31===AA BC AB ,分别求点1A 到直线BD AC 、的距离; 8、正方体1111D C B A ABCD -的棱长为2，G F E ,,分别是AB A D C C ,,111的中点，求点A 到平面EFG 的距离；
利用空间向量证明面面平行垂直
利用空间向量证明面面平行垂直 1.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，M分别为棱BB1，CD，AA1的中点．证 明：平面ADE⊥平面A1D1F. 2.如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，∠ABC=90°，BC=2，CC1=4，点E在棱BB1 上，EB1=1，D，F，G分别为CC1，B1C1，A1C1的中点，EF与B1D相交于点H．求证：平面EGF//平面ABD 3.如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥平面ABCD， PA=1，M为侧棱PD的中点．证明：平面MAC⊥平面PCD
4.如图，四边形是矩形，平面，，为中点． 证明：平面平面 5.如图，在底面是矩形的四棱锥P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，BC=4， E是PD的中点．求证：平面PDC⊥平面PAD 6.如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E为棱DD1的中点． 求证：平面EAC⊥平面AB1C
7.如图，正三棱柱ABC?A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点． 求证：平面ABB1A1⊥平面A1BD PD。 8.如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD//QA，QA=AB=1 2证明：平面PQC⊥平面DCQ
答案和解析 1.解：以D 为原点，向量DA ????? ，DC ????? ，DD 1???????? 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立坐标系如图， 设正方体的棱长为1． 则D(0,0，0)，A(1,0，0)，E (1,1,1 2)，C 1(0,1，1)，M (1,0,1 2)， DA ????? =(1,0，0)，DE ?????? =(1,1,12)，C 1M ???????? =(1,?1,?1 2 )． 设平面ADE 的法向量为m ??? =(a,b ，c)， 则{DA ????? ·m ??? =0 DE ?????? ·m ??? =0?{a =0,a +b +12 c =0.令c =2，得m ??? =(0,?1,2)， 由D 1(0,0，1)，A 1(1,0，1)，F (0,12,0)，得D 1A 1?????????? =(1,0，0)，D 1F ??????? =(0,1 2 ,?1)， 设平面A 1D 1F 的法向量为n ? =(x,y ，z)，则{D 1A 1?????????? ·n ? =0D 1F ??????? ·n ? =0?{x =0,12y ?z =0. 令y =2，则n ? =(0,2，1)．∵m ??? ·n ? =(0,?1,2)·(0,2，1)=0?2+2=0， ∴m ??? ⊥n ? .∴平面ADE ⊥平面A 1D 1F . 2.证明：如图所示建立空间直角坐标系， 设AB =a ，则A 1(a,0，0)，B 1(0,0，0)，C 1(0,2，0)，F(0,1，0)，E(0,0，1)， A(a,0，4)，B(0,0，4)，D(0,2，2)，G(a 2,1，0)． 所以B 1D ???????? =(0,2，2)，AB ????? =(?a,0，0)，BD ?????? =(0,2，?2)． AB ????? =(?a,0，0)，BD ?????? =(0,2，?2)，GF ????? =(?a 2,0，0)，EF ????? =(0,1，?1)，所以AB ????? =2GF ????? ，BD ?????? =2EF ????? ，所以GF ????? //AB ????? ，EF ????? //BD ?????? ?所以GF // AB ，EF // BD ． 又GF ∩EF =F ，AB ∩BD =B ，所以平面EGF //平面ABD ．
高中立体几何证明线面平行的常见方法
D E B 1 A 1 C 1 C A B M 高中立体几何证明线面平行问题（数学作业十七） (1) 通过“平移”再利用平行四边形的性质 1．如图，四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形，点E 、F 分别为棱AB 、 PD 的中点．求证： AF ∥平面PCE ； 2、已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D, E, F 分别为AA 1, CC 1, AB 的中点， M 为BE 的中点, AC ⊥BE. 求证： （Ⅰ）C 1D ⊥BC ； （Ⅱ）C 1D ∥平面B 1FM. 3、如图所示, 四棱锥P ABCD 底面是直角梯形, E F B A C D P （第
,,AD CD AD BA ⊥⊥CD=2AB, E 为PC 的中点, 证明: //EB PAD 平面; (2) 利用三角形中位线的性质 4、如图，已知E 、F 、G 、M 分别是四面体的棱AD 、CD 、BD 、BC 的中点，求证：AM ∥平面EFG 。 5、如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，E 是PC 的中点。 求证： PA ∥平面BDE 6．如图，三棱柱ABC —A 1B 1C 1中， D 为AC A B C D E F G M
P E D C B A 的中点. 求证：AB 12 1中点为PD E 求证：AE ∥平面PBC ； (4)利用对应线段成比例 9、如图：S 是平行四边形ABCD 平面外一点，M 、N 分别是SA 、 BD 上的点，且SM AM =ND BN ， 求证：MN ∥平面SDC （5）利用面面平行 10、如图，三棱锥ABC P -中，PB ⊥底面，90BCA ∠=o ，PB=BC=CA ， 为的中点，为的中点，点在上，且2AF FP =. （1）求证：BE ⊥平面； （2）求证：//CM 平面；
江苏省淮阴中学高三数学一轮复习 第82课时 利用空间向量证明平行与垂直问题学案(无答案)
第82课时 利用空间向量证明平行与垂直问题 考点解说 利用直线的方向向量和平面的法向量判定直线与直线,直线与平面,平面与平面的位置关系,掌握用向量方法处理空间中的平行与垂直问题. 一、基础自测 1.已知向量),,3(),5,4,2(y x b a ==分别是直线12,l l 的方向向量,若1l ∥2l ,则=x =y . 2.已知)5,6,2(),,3,8(b n a m ==,若m //n ,则=+b a . 3.已知,,a b c r r r 分别为直线,,a b c 的方向向量且 (0),0,a b b c λλ=≠?=r r r r 则a 与c 的位置关系是 . 4.在空间四边形ABCD 中,E 、F 是分别是AB 、AD 上的点,且AE:EB=AF:FD=1:4,又H,G 分别是BC 、CD 的中点,则EFGH 是 形. 5.正三棱柱111ABC A B C -中,底面边长AB=1,且11AB BC ⊥,则侧棱1AA 的长为 . 6.已知平行六面体1111ABCD A B C D -底面为菱形, 0 1160,C CB BD CA ∠=⊥,则1C CD ∠的大小为 . 7.正方体1111ABCD A B C D -中,M 、N 、P 分别是棱1CC 、BC 、CD 的中点,则直线1A P 与平面MND 所成角为 . 8.空间四边形ABCD 中,,AB CD BC AD ⊥⊥,则AC 与BD 的位置关系为 . 二、例题讲解 例1.如图,正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,O 是AC 和BD 的交点,M 是CC 1的中点,求证:A 1O ⊥平面MBD. 例2.正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,E,F 分别是BB 1,CD 的中点,求证:平面AED ⊥平面A 1FD 1. 例 3.如图正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,M,N,E,F 分别是所在棱的中点,求证:平面AMN ∥平面EFBD.
高中立体几何证明线面平行的常见方法
D A 1 A F 高中立体几何证明线面平行问题（数学作业十七） (1) 通过“平移”再利用平行四边形的性质 1．如图，四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形，点E 、F 分别为棱AB 、 PD 的中点．求证：AF ∥平面PCE ； 2、已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D, E, F 分别为AA 1, CC 1, AB 的中点， M 为BE 的中点, AC ⊥BE. 求证： （Ⅰ）C 1D ⊥BC ； （Ⅱ）C 1D ∥平面B 1FM. 3、如图所示, 四棱锥P -ABCD 底面是直角梯形, ,,AD CD AD BA ⊥⊥CD=2AB, E 为PC 的中点, 证明: //EB PAD 平面; (2) 利用三角形中位线的性质 4、如图，已知E 、F 、G 、M 分别是四面体的棱AD 、CD 、BD 、 BC 的中点，求证：AM ∥平面EFG 。 5、如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，E 是PC 的中点。 求证： PA ∥平面BDE （第1题图） A B C D E F G M
6．如图，三棱柱ABC —A 1B 1C 1中， D 为AC 的中点. 求证：AB 1//面BDC 1； （3） 利用平行四边形的性质 7．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中O 为正方形ABCD 的中心，M 为 BB 1的中点，求证： D 1O//平面A 1BC 1; 8、在四棱锥P-ABCD 中，AB ∥CD ，AB=2 1 DC ，中点为PD E . 求证：AE ∥平面PBC ； (4)利用对应线段成比例 9、如图：S 是平行四边形ABCD 平面外一点，M 、N 分别是SA 、BD 上的点，且 SM AM =ND BN ， 求证：MN ∥平面SDC （5）利用面面平行 10、如图，三棱锥ABC P -中，PB ⊥底面ABC ，90BCA ∠=，PB=BC=CA ， E 为PC 的中点，M 为AB 的中点，点F 在PA 上，且2AF FP =. （1 ）求证：BE ⊥ 平面PAC ； （2）求证：//CM 平面BEF ；
立体几何中的向量方法—证明平行和垂直
1、依据学习目标。课前认真预习，完成自主学习内容； 2、课上思考，积极讨论，大胆展示，充分发挥小组合作优势，解决疑难问题； 3、当堂完成课堂检测题目； 4、★的多少代表题目的难以程度。★越多说明试题越难。不同层次学生选择相应题目完成 【学习目标】1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘； 2．了解空间向量的基本定理； 3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积 的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；能用向量的数量积判断向量的共线与 垂直。 【教学重点】理解空间向量的概念；掌握空间向量的运算方法 【教学难点】理解空间向量的概念；掌握空间向量的运算方法 在四棱锥 设直线，则 v
的正方体 I 2. 如图，在棱长为a (1) 试证：A1、G、C三点共线； (2) 试证：A1C⊥平面 3.【改编自高考题】如图所示，四棱柱 的正方形，侧棱A (1)证明：AC⊥A1B； (2)是否在棱A1A上存在一点P，使得C1【学后反思】 本节课我学会了 掌握了那些？ 还有哪些疑问？ 2017届高二数学导学案编写邓兴明审核邓兴明审批
1、依据学习目标。课前认真预习，完成自主学习内容； 2、课上思考，积极讨论，大胆展示，充分发挥小组合作优势，解决疑难问题； 3、当堂完成课堂检测题目； 4、★的多少代表题目的难以程度。★越多说明试题越难。不同层次学生选择相应题目完成 【学习目标】1.掌握各种空间角的定义，弄清它们各自的取值范围.2.掌握异面直线所成的角，二面角的平面角，直线与平面所成的角的联系和区别.3.体会求空间角中的转化思想、数形结合思想，熟练掌握平移方法、射影方法等.4.灵活地运用各种方法求空间角． 【教学重点】灵活地运用各种方法求空间角 【教学难点】灵活地运用各种方法求空间角 —l—β的两个面α，β的法向量，则向量 的大小就是二面角的平面角的大小(如图②③)． 【课堂合作探究】 利用向量法求异面直线所成的角 B1C1，∠ACB＝90°，CA＝CB＝CC1，D 的正方体ABCD—A1B1C1D1中，求异面直线
空间几何平行与垂直证明
空间几何平行与垂直证明 线面平行 方法一：中点模型法 例：1.已知在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 为平行四边形， E 为PC 的中点. 求证：PA//平面BDE 练习： 1.三棱锥_P ABC 中，P A A B A C ==，120BAC ∠= ，P A ⊥平面A B C ， 点E 、F 分别为线段P C 、B C 的中点， （1）判断P B 与平面A E F 的位置关系并说明理由； （2）求直线P F 与平面P A C 所成角的正弦值。 P A B C D E C B
2．如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，AD ⊥CD .DB 平分∠ADC ，E 为PC 的中点，AD ＝CD . (1)证明：PA ∥平面BDE ； (2)证明：AC ⊥平面PBD . 3.已知空间四边形ABCD 中，E,F,G,H 分别为 AB,BC,CD,DA 的中点. 求证：AC//平面EFG. 4.已知空间四边形ABCD 中，E,F,G,H 分别为AB,BC,CD,DA 的中点. 求证：EF //平面BGH. 方法二：平行四边形法 例：1.已知在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 为平行四边形，E 为PC 的中点，O 为BD 的中点. 求证：OE //平面ADP A B C D E F G H A B C D E F G H P A B C D E O
2.正方体1111ABC D A B C D -中，,E G 分别是11,BC C D 中点. 求证：//E G 平面11BD D B 练习 1.如图，在四棱锥O A B C D -中，底面A B C D 四边长为1的菱形， M 为O A 的中点，N 为B C 的中点 证明：直线MN ‖平面O C D ； 2.在四棱锥P-ABCD 中，底面四边形ABCD 是平行四边形，E,F 分别是AB ，PD 的中点. 求证：//A F 平面PC E 3．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，O 是底ABCD 对角线的交点． 求证：（1）C 1O//平面AB 1D 1； G E D 1 C 1 B 1 A 1A D C B O A M D C B N P B C D A E F D 1O D B A C 1 B 1 A 1 C
高中数学-立体几何位置关系-平行与垂直证明方法汇总
高中数学-立体几何位置关系-平行与垂直证明方法汇总 （一）立体几何中平行问题 证明直线和平面平行的方法有： ①利用定义采用反证法； ②平行判定定理； ③利用面面平行，证线面平行。 主要方法是②、③两法 在使用判定定理时关键是确定出面内的 与面外直线平行的直线. 常用具体方法：中位线和相似 例1、P是平行四边形ABCD所在平面外一点,Q是PA的中点. 求证：PC∥面BDQ. 证明：如图，连结AC交BD于点O. ∵ABCD是平行四边形， ∴A O=O C.连结O Q，则O Q在平面BDQ内， 且O Q是△APC的中位线， ∴PC∥O Q. ∵PC在平面BDQ外， ∴PC∥平面BDQ. 例2、在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，设M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、C1D1、B1C1的中点.求证： (1)E、F、B、D四点共面； （2）面AMN∥面EFBD.
证明:(1)分别连结B 1D 1、ED 、FB ，如图， 则由正方体性质得 B 1D 1∥BD. ∵E 、F 分别是D 1C 1和B 1C 1的中点， ∴EF ∥ 21B 1D 1.∴EF ∥2 1 BD. ∴E 、F 、B 、D 对共面. （2）连结A 1C 1交MN 于P 点，交EF 于点Q ，连结AC 交BD 于点O ，分别连结PA 、Q O . ∵M 、N 为A 1B 1、A 1D 1的中点， ∴MN ∥EF ，EF ?面EFBD. ∴MN ∥面EFBD. ∵PQ ∥A O , ∴四边形PA O Q 为平行四边形. ∴PA ∥O Q. 而O Q ?平面EFBD ， ∴PA ∥面EFBD.且PA ∩MN=P ，PA 、MN ?面AMN ， ∴平面AMN ∥平面EFBD. 例3如图（1），在直角梯形P 1DCB 中，P 1D//BC ，CD ⊥P 1D ，且P 1D=8，BC=4，DC=4 6， A 是P 1D 的中点，沿A B 把平面P 1AB 折起到平面PAB 的位置（如图（2）），使二面角P —CD —B 成45°，设E 、F 分别是线段AB 、PD 的中点. 求证：AF//平面PE C ； 证明：如图，设PC 中点为G ，连结FG ，