成都七中(上)期末考试高一数学试题(含答案)

高一上期期末考试 数学试题

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设集合{0,1,2}A =,{2,3}B =，则A B ?=（ ）

A ．{0,1,2,3}

B ．{0,1,3}

C ．{0,1}

D ．{2} 2. 下列函数中，为偶函数的是（ ）

A ．2log y x =

B ．12

y x = C ． 2x y -= D ．2

y x -=

3. 已知扇形的弧长为6，圆心角弧度数为3，则其面积为（ ） A ． 3 B ． 6 C ． 9 D ． 12

4. 已知点A (0,1) , B (-2,1)，向量(1,0)e =，则AB 在e 方向上的投影为（ ） A ． 2 B ． 1 C. -1 D ．-2

5. 设α是第三象限角，化简:cos α= （ ） A ． 1 B ． 0 C. -1 D ． 2

6. 已知α为常数，幂函数()f x x α

=满足1()23

f =，则(3)f =（ ）

A ． 2

B ． 12 C. 1

2

- D ． -2 7. 已知(sin )cos 4f x x =，则1

()=2

f （ ）

A ．

2 B ． 12 C. 1

2

- D. -2

8. 要得到函数2log (21)y x =+的图象，只需将21log y x =+的图象（ ） A ．向左移动

12个单位 B ．向右移动1

2

个单位 C. 向左移动1个单位 D ．向右移动1个单位

9. 向高为H 的水瓶(形状如图)中注水，注满为止，则水深h 与注水量v 的函数关系的大致图象是（ ）

10. 已知函数1

2log ,1()13,1

x x f x x x ≥??=??-

1tan ()log 1tan x f x x -=+，若()12f a π+=，则()2

f a π

-= （ ）

A ．1

B ． 0 C. -1 D ．-2

12. 已知平面向量a ，b ，c 满足3a b ?=，2a b -=，且()()0a c b c -?-=，则c 的取值范围是（ ）

A ．[0,2]

B ．[1,3] C. [2,4] D ．[3,5]

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题（本大题4小题，每小题5分，共20分，答案写在答题卡相应横线上） 13. 设向量1e ,2e 不共线，若1212(2)//(4)e e e e λ-+，则实数λ的值为 ． 14. 函数2tan 2y x x x π=-的定义域是 ．

15. 已知函数()sin()(0,0,)f x A x A ω?ω?π=+>><的部分图象(如图所示)，则()f x 的解析式为 ．

16. 设e 为自然对数的底数，若函数2()(2)(2)1x x x f x e e a e a =-++?--存在三个零点，则实数a 的取值范围是 ．

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分10分）

设向量(,4)a x =, (7,1)b =-，已知a b a +=. (I)求实数x 的值;

(II)求a 与b 的夹角的大小.

已知

sin 4cos 22sin cos αα

αα

-=+.

(I)求tan α的值;

(II)若0πα-<<，求sin cos αα+的值.

19. （本小题满分12分）

如图，在ABC ?中，M 为BC 的中点，3AN NB =.

(I)以CA ，CB 为基底表示AM 和CN ;

(II)若1204ABC CB ∠=?=，，且AM CN ⊥，求CA 的长

20. （本小题满分12分）

某地政府落实党中央“精准扶贫”政策，解决一贫困山村的人畜用水困难，拟修建一个底面为正方形(由地形限制边长不超过10m )的无盖长方体蓄水池，设计蓄水量为8003

m .已知底面造价为160元/2

m ，侧面造价为100元/2

m .

(I)将蓄水池总造价()f x (单位:元)表示为底面边长x (单位: m )的函数; (II)运用函数的单调性定义及相关知识，求蓄水池总造价()f x 的最小值.

已知函数()2sin()13

f x x π

ω=-

+，其中0ω>.

(I)若对任意x R ∈都有5()()12

f x f π

≤，求ω的最小值; (II)若函数lg ()y f x =在区间[,]42

ππ

上单调递增，求ω的取值范围·

22. （本小题满分10分）

定义函数()4(1)2x x

a f x a a =-+?+，其中x 为自变量，a 为常数.

(I)若当[0,2]x ∈时，函数()a f x 的最小值为一1，求a 之值；

(II)设全集U R =，集{}{}32|()(0),|()(2)(2)a a a A x f x f B x f x f x f =≥=+-=，且

()

U A B φ≠中，求a 的取值范围.

试卷答案

一、选择题

1-5: ;;;;;A D B D C 6-10: ;;;;;B C A D A 11、12：;.C B 二、填空题

13. -2 14. 0,;2π??

?

???

15.2sin(2);6y x π=+ 16.()1,2 三、解答题 17.解：（Ⅰ）

,(,+=∴22a b a a +b)=a 即0=22a b +b .

······2分 代坐标入，得2(74)500,x -+=解得 3.x =- ······5分

(Ⅱ)设,a b 夹角为,(3,4),(7,1),θ=-=-a b

,∴?=a b -21-4=-25

······6分

且5,===a b .

······8分

cos

2

θ?∴=

==-a b a b

······9分

[]30,,,4πθπθ∈∴=

即,a b 夹角为3.4

π

······10分

18.解:(I)原式可化3sin 6cos ,αα=-(或化为tan α的分式齐次式) ······3分

sin tan 2.cos α

αα

∴=

=- ······6分

(Ⅱ)(,0),απ∈-且tan 2,sin 5

αα=-∴=-

·····9分

sin cos tan 5

ααα∴=

= ·····11分

sin cos 5

αα∴+=-

·····12分

19.解：（Ⅰ）1

;AM AC CM CA CB =+=+

·····3分 3313

()4444

CN CA AN CA AB CA CB CA CA CB =+=+=+-=+.

·····6分

（Ⅱ）由已知,AM CN ⊥得0,AM CN ?=即

113()()0,248CA CB CA CB -+?+=展开得 22

1530488

CA CA CB CB --?+=.·

····8分 又

120,4,ACB CB ∠=?=

2

5240,CA CA ∴--=

·····10分

即(8)(3)0,CA CA -+= 解得8,CA =即8CA =为所求. ·····12分 20.解：（Ⅰ）设蓄水池高为h ，则2800

,h x

=

·····2分 222

800

()16010041601004f x x x h x x x ∴=+??=+?? ·····4分 22000

160(),(010)x x x

=+

<≤.

·····6分

（注：没有写定义域，扣1分） （Ⅱ）任取(]12,0,10,x x ∈且12,x x <则

22121212

20002000

()()160[()()]f x f x x x x x -=+

-+ 121212

12121212

2000160()()160()[()2000].

x x x x x x x x x x x x x x =-+-

---= ·····8分

1212121212010,0,0,()2000,x x x x x x x x x x <<≤∴>-<+< 12()(),y f x f x ∴=-即

12()(),f x f x >

()y f x ∴=在(]0,10x ∈上单调递减.

·····10分 故10x =当时，min ()(10)48000f x f ==

·····11分 答：当底面边长为10m 时，蓄水池最低造价为48000元 ·····12分

21.解：（Ⅰ）由已知()f x 在512x π=处取得最大值，52,.1232

k k Z πππ

ωπ∴-=+∈·····2分

解得24

2,,5

k k Z ω=+∈

·····4分 又

0,ω>∴当0k =时，ω的最小值为2.

·····5分

（Ⅱ）[,],0,,4243323

x x πππππππ

ωωωω∈>∴-≤-≤-

·····6分

又

lg ()y f x =在[,]42

x ππ

∈内单增，且()0,f x >

2436,.22

32k k Z k πππωππππωπ?->-+??∴∈??-≤+??

·····8分

解得：

25

84,.33k k k Z ω+<≤+∈ ·····10分 251

84,334

k k k +<+∴<且k Z ∈，

·····11分

又

0,0,k ω>∴=故ω的取值范围是25,33??

???

·····12分

（另解，

2,,04,2242

T T ππππωω≥-∴=≥∴<≤ 结合

2584,33k k k Z ω+<≤+∈可得，0,k ω=的取值范围是25,33?? ???

） 22.解：（Ⅰ）令2,

[0,2],[1,4],x

t x t =∈∴∈

设2

()(1),[1,4].t t a t a t ?=-++∈

·····1分 1°当

1

1,2

a +≤即1a ≤时，min ()(1)0,f x ?==与已知矛盾；

·····2分

2°当1

14,2

a +<<即22min 11(1)17,()()()1,222a a a a f x a ?+++<<==-+=- 解得3a =或1,17,3;a a a =-<<∴=

·····3分

3°当

1

4,2a +≥即min 7,()(4)16441,a f x a a ?≥==--+= 解得13

3

a =，但与7a ≥矛盾，故舍去.

·····4分

综上所述，a 之值为3。

·····5分

（Ⅱ）

32{|()(0)}{|44230}{|0log 3}x x U

a A x f x f x x x =<=-?+<-<<·····6分

22{|4(1)24(1)26}x x x x B x a a a a --=-+?++-+?+=

164{|(4)(1)(2)260}.42

x x

x x x a a =+

-+++-= ·····7分

由已知(

),U

A B φ≠即

也等价于方程214

2

t t a t --=-在[)4,5t ∈上有解.

·····9分

21412()122

t t h t t t t --==+---在[)4,5t ∈上单调递增，

·····10分

[)()1,2.h t ∴∈-

·····11分 故所求a 的取值范围是[)1,2-.

····12分