概率论第3章作业题解与知识点归纳(重点!)
概率论与数理统计(浙大) 习题答案 第3章
第三章 多维随机变量及其分布 1. 在一箱子中装有12只开关, 其中2只是次品, 在其中取两次, 每次任取一只, 考虑两种试验: (1)放回抽样, (2)不放回抽样. 我们定义随机变量X , Y 如下: ⎩ ⎨⎧=若第一次取出的是次品若第一次取出的是正品 10X , ⎩ ⎨⎧=若第二次取出的是次品若第二次取出的是正品 10Y . 试分别就(1), (2)两种情况, 写出X 和Y 的联合分布律. 解: (1)(X , Y )所有可能取的值为(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1), 按古典概型, 显然有 36 2512101210)0 ,0(=⋅===Y X P , 36 51221210)1 ,0(=⋅===Y X P , 36 51210122)0 ,1(=⋅===Y X P , 36 1122122)1 ,1(=⋅===Y X P , 列成表格便得X 和Y 的联合分布律 (2)(X , Y )所有可能取的值为(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1), 按古典概型, 显然有 66 451191210)0 ,0(=⋅===Y X P ,
66 101121210)1 ,0(=⋅===Y X P , 66 101110122)0 ,1(=⋅===Y X P , 66 1111122)1 ,1(=⋅===Y X P , 列成表格便得X 和Y 的联合分布律 2. 盒子里装有3只黑球, 2只红球, 2只白球, 在其中任取4只球, 以X 表示取到黑球的只数, 以Y 表示取到白球的只数, 求X , Y 的联合分布律. 解: (X , Y )的可能取值为(i , j ), i =0, 1, 2, 3, j =0, 1, 2, i +j ≥2, 联合分布律为 P (X =0, Y =2)=351 472222=C C C , P (X =1, Y =1)=356 4 7221213=C C C C , P (X =1, Y =2)=356 4 7122213=C C C C , P (X =2, Y =0)=351 472222=C C C , P (X =2, Y =1)=35 12 4 7121223=C C C C ,
概率论练习册答案第三章
习题3-1 1. 而且12{0}1P X X ==. 求X 1和X 2的联合分布律. 解 由12{0}1P X X ==知12{0}0P X X ≠=. 因此X 1和X 2的联合分布 于是根据边缘概率密度和联合概率分布的关系有X 1和X 2的联合分布律
(2) 注意到12{0,0}0P X X ===, 而121{0}{0}04 P X P X =?== ≠, 所以X 1 和X 2不独立. 2. 一盒子中有3只黑球、2只红球和2只白球, 在其中任取4只球. 以X 表示取到黑球的只数, 以Y 表示取到红球的只数. 求X 和Y 的联合分布律. 解 从7只球中取4球只有354 7=C 种取法. 在4只球中, 黑球有i 只, 红 球有j 只(余下为白球4i j --只)的取法为 4322i j i j C C C --,0,1,2,3,0,1,2,i j i j ==+≤4. 于是有 022 322 1 {0,2}35 35P X Y C C C === = ,111 322 6 {1,1}3535 P X Y C C C === = , 1213226{1,2}3535P X Y C C C ====,2023223 {2,0}3535P X Y C C C ====, 21132212{2,1}3535P X Y C C C ====,220 3223 {2,2}3535P X Y C C C ====, 3013222{3,0}3535P X Y C C C ====, 3103222 {3,1}3535 P X Y C C C ====, {0,0}{0,1}{1,0}{3,2}0P X Y P X Y P X Y P X Y ============. 3. (,)(6),02,24, 0,.f x y k x y x y =--<<<
概率论习题第三章答案
第三章连续型随机变量 3、1设随机变量 ξ 的分布函数为F(x),试以F(x)表示下列概率: 。 )()4();()3();()2();()1(a P a P a P a P >≥≤=ξξξξ 。 ）（解：)0(1)()4();(1)()3();0()(P 2);()0()()1(+-=>-=≥+=≤-+==a F a P a F a P a F a a F a F a P ξξξξ 3、2函数x 2 11F(x)+= 就是否可以作为某一随机变量的分布函数,如果 在其它场合恰当定义。 在其它场合恰当定义；）（,0)3(,0)2(1<<∞-∞<<∞ <<∞-x x x 解:(1)F(x)在),(∞-∞内不单调,因而不可能就是随机变量的分布函数; (2)F(x)在)0∞，（内单调下降,因而也不可能就是随机变量的分布函数; (3)F(x)在），（－0∞内单调上升、连续且,若定义 ⎩⎨ ⎧≥<<∞=01 )()(~ x x X F x F － 则)(~ x F 可以就是某一随机变量的分布函数。 3、3函数 sinx 就是不就是某个随机变量ξ的分布函数？如果ξ的取值范围为 []。，）；（，）；（，）（⎥⎦ ⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡πππ230302201 解:(1)当⎥⎦ ⎤ ⎢⎣⎡∈2,0πx 时,sinx 0≥且1sin 20 =⎰π xdx ,所以 sinx 可以就是某个随机变量的分 布密度; (2) 因为 12sin 0 ≠=⎰ π xdx ,所以sinx 不就是随机变量的分布密度; (3) 当 ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡∈23, ππx 时,sinx<=0所以sinx 不就是随机变量的分布密度。 3、4设随机变量ξ具有对称的分布函数p(x),即p(x)=p(-x) 证明:对任意的a>0,有
《概率论与数理统计》习题及答案第三章
《概率论与数理统计》习题及答案 第 三 章 1．掷一枚非均质的硬币，出现正面的概率为p (01)p <<，若以X 表示直至掷到正、反面都出现时为止所需投掷次数，求X 的分布列。 解 ()X k =表示事件：前1k -次出现正面，第k 次出现反面，或前 1k -次出现反面，第k 次出现正面，所以 11 ()(1)(1),2,3, .k k P X k p p p p k --==-+-= 2．袋中有b 个黑球a 个白球，从袋中任意取出r 个球，求r 个球中黑球个数X 的分布列。 解 从a b +个球中任取r 个球共有r a b C +种取法，r 个球中有k 个黑球的取法有k r k b a C C -，所以X 的分布列为 ()k r k b a r a b C C P X k C -+==， max(0,),max(0,)1,,min(,)k r a r a b r =--+， 此乃因为，如果r a <，则r 个球中可以全是白球，没有黑球，即0k =；如果r a >则r 个球中至少有r a -个黑球，此时k 应从r a -开始。 3．一实习生用一台机器接连生产了三个同种零件，第i 个零件是不合格品的概率1 (1,2,3)1 i p i i ==+，以X 表示三个零件中合格品的个数，求X 的分布列。 解 设i A =‘第i 个零件是合格品’1,2,3i =。则 1231111 (0)()23424 P X P A A A === ??= ， 123123123(1)()P X P A A A A A A A A A ==++ 123123123()()()P A A A P A A A P A A A =++ 111121113623423423424 = ??+??+??=， 123123123(2)()P X P A A A A A A A A A ==++ 123123123()()()P A A A P A A A P A A A =++ 12111312311 23423423424 = ??+???+??= ，
《概率论与随机过程》第3章习题答案
《概率论与随机过程》第三章习题答案 3.2 随机过程()t X 为()()ΦωX +=t cos A t 0式中，A 具有瑞利分布，其概率密度为 ()02 222 >= - a e a a P a A ，σσ，()πΦ20，在上均匀分布，A Φ与是两个相互独立的随机变量，0ω为常 数，试问X(t)是否为平稳过程。 解：由题意可得: ()[]()()002121020 02222 200 22 2 2=⇒+=*+= ⎰⎰⎰⎰∞ -- ∞ φφωπσφπσ φωX E π σσ πd t cos da e a a dad e a t cos a t a a ()()()[]()() ()() ()()[]()()()()()1202120212020 21202022212020 22021012022022 20 2010022 2 22 20020 1021212 1 22112210212212 121221212 2 2 2222 222 22 2t t cos t t cos t t cos de t t cos da e e a t t cos de a d t t cos t t cos a d e a d t cos t cos da e a a dad e a t cos a t cos a t t t t R a a a a a a a -=-⨯=-⨯-=-⨯⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫-∞+-=-⨯-=⎩⎨⎧⎭⎬⎫+++---=++=++==- ∞ ∞--- ∞ ∞ - ∞ - -∞⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ωσωσωσωωφ φωωπσφπ φωφωσφ σ πφωφωX X E σσσσπ σπ σ σπ XX ） （，可见()[]t X E 与t 无关，()21t t R ，XX 与t 无关，只与()12t t -有关。 ∴()t X 是平稳过程 另解： ()[][]0022000000[cos()][cos()][]; (,)cos()cos(())cos()cos(())t E A t E A E t E A R t t E A t t E A E t t E X ωΦωΦτωΦωτΦωΦωτΦ⎡⎤=+=+=⨯=⎣⎦⎡⎤⎡⎤+=+++=+++⎣⎦⎣⎦ [][][] ) cos()cos())cos((τωτωτωω02 00022 222A E t E A E =+Φ++= ∴()t X 是平稳过程 3.3 设S(t) 是一个周期为T 的函数，随机变量Φ在（0，T ）上均匀分布，称X(t)=S （t+Φ）,为随 相周期过程，试讨论其平稳性及各态遍历性。 解：
概率论与数理统计课后答案北邮版(第三章)
习题三 1.将一硬币抛掷三次，以X 表示在三次中出现正面的次数，以Y 表示三次中出现正面次数与 出现反面次数之差的绝对值.试写出X 和Y 的联合分布律. 111222⨯⨯=111222 ⨯⨯= 2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数.求X 和Y 的联合分布律. 的联合分布律如表： 2324 7C 3 C 35= 1 32 4 7C 2C 35= 12 322 4 7C C 6C 35= 11322 4 7C C 12C 35= 132 4 7C 2C 35 = 24 27C /C = 21322 4 7C C 6C 35 = 2324 7C 3 C 35 = 3.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为 F （x ，y ）=⎪⎩⎪⎨⎧≤ ≤≤≤., 020,20,sin sin 其他ππy x y x 求二维随机变量（X ，Y ）在长方形域⎭ ⎬⎫ ⎩ ⎨⎧ ≤<≤<36 ,40ππ πy x 内的概率. 【解】如图πππ {0,}(3.2)463 P X Y <≤ <≤公式 ππππππ(,)(,)(0,)(0,)434636 F F F F --+
ππππππsin sin sin sin sin 0sin sin 0sin 434636 2 (31).4 =--+= - 题3图 说明：也可先求出密度函数，再求概率。 4.设随机变量（X ，Y ）的分布密度 f （x ，y ）=⎩ ⎨⎧>>+-.,0, 0,0,)43(其他y x A y x e 求：（1） 常数A ； （2） 随机变量（X ，Y ）的分布函数； （3） P {0≤X <1，0≤Y <2}. 【解】（1） 由 -(34)0 (,)d d e d d 112 x y A f x y x y A x y +∞+∞ +∞ +∞ +-∞ -∞ == =⎰⎰ ⎰ ⎰ 得 A =12 （2） 由定义，有 (,)(,)d d y x F x y f u v u v -∞-∞ = ⎰⎰ (34)340012e d d (1 e )(1e )0,0, 0,0, y y u v x y u v y x -+--⎧⎧-->>⎪==⎨⎨ ⎩⎪⎩⎰⎰其他 (3) {01,02}P X Y ≤<≤< 1 2 (34) 38 00 {01,02} 12e d d (1 e )(1e )0.9499. x y P X Y x y -+--=<≤<≤==--≈⎰ ⎰ 5.设随机变量（X ，Y ）的概率密度为 f （x ，y ）=⎩⎨ ⎧<<<<--., 0, 42,20),6(其他y x y x k （1） 确定常数k ； （2） 求P {X ＜1，Y ＜3}； （3） 求P {X <1.5}； （4） 求P {X +Y ≤4}. 【解】（1） 由性质有
天津理工大学概率论与数理统计第三章习题答案详解
第三章多维随机变量及其分布 一、填空题 1、随机点（x,y ）落在矩形域［%］ < X ≤乙，y ∣ < y ≤ y 2］的概率为 F(X 2 ,J 2)- F(X 2 ,必)+ F(x 1,必)一厂(XQ2)・ 2、（X,V ）的分布函数为 ∕7（x, y ）,则 F （-∞∖ y ） = O . 3、（X,y ）的分布函数为尸（x,y ）,则尸& + O,y ） = FV,y ） 4、（X,y ）的分布函数为尸（x,y ）,则尸（国+8）= FX （%） 5、设随机变量（X,Y ）的概率密度为 k(6 -X- y) 0 8、二维正态随机变量（x,y）, X和y相互独立的充要条件是参数夕=Q. 9、假如随机变量（x,y ）的联合概率分布为 二、证明和计算题 1、袋中有三个球，分别标着数字1,2,2,从袋中任取一球，不放回，再取一球，设第一次取的球 上标的数字为X,其次次取的球上标的数字丫，求（x,y ）的联合分布律. P{X =2y Y = 1} = --- = - 3 2 3 P{X=2,y = 2} = -∙- = - 3 2 3 2、三封信随机地投入编号为1,2,3的三个信箱中，设X 为投入1号信箱的信数，y 为投入2 号信箱的 信数，求（x,y ）的联合分布律. 则a,β应满意的条件是_a +β 1 8 1 1 11 - 6 18 4 2 ；若X 与y 相互独立，则α= —，〃=— ^18^ ^ 18" 10、设x,y 相互独立，x~N （o,i ）,y~N （θ∙i ）,则（x,y ）的联合概率密度 2 4 1 尸+厂 f(x.y)=-e 2 24 z = x+y 的概率密度f z (Z) = 12、设（ξ、η）的联合分布函数为 FD = V λ + 1 1 1 5777；F 所—核 x≥O,y≥O 则 A=_l 解：p{x = ι,y = i} = l∙o P{x = ι,y = 2} = (∙ι = ! 解：X 的可能取值为（）,123 Y 的可能取值为（）,1,2,3 p{x=o,y = o} = * 3 C 2 3 P{X=O,Y = ∖} = -^ P{X=0y Y = 2} = ^- = -^ 2 第三章 随机变量与分布函数 2． 解：qp pq P P P +=+==}{}{}1{成失失成ξ， ,}{}{}2{22p q q p qqp ppq P P P +=+=+==成成失失失成ξ 所以ξ的概率分布为 {},1,2,k k p k p q q p k x ==+=L 。 3． 解： （1）∑=⋅= = N k N N c k f 1 )(1， 1=∴c 。 （2）∑∞ =-==1 )1(!1k k e c k c λλ， 1 ) 1(--=∴λe c 。 4．证： （1）设0}{)()(,211212≥≤<=->x x P x F x F x x ξ，所以)()(12x F x F ≥，)(x F 非降。 （2）设011x x x x x n n <<<<<<- ，n x x ¯由概率的可加性得 }{)(001x x P x x P i i i ≤<=⎭ ⎬⎫ ⎩⎨⎧≤<∏∞=+ξξ [])()()()(0 1 x F x F x F x F i i i -=-∑∞ =+。 由此得 [])()(lim )()(00x F x F x F x F n -=-∞ →， )(),0()(lim )(x F x F x F x F n n +==∴ ∞ →右连续。 （3）}1{}{1∑∞ ∞→+≤<= ∞<<-∞=n n n P P ξξ [])(lim )(lim )()1(m F n F n F n F m n n -∞ →∞ →∞ ∞ →= =-+= ∑。 由单调性得)(lim x F x -∞ →与)(lim x F x ∞ →均存在且有穷，由1)(0≤≤x F 及上式得1)(,0)(=∞=-∞F F 。 5．证：0)(≥x f ，且 || 1()12 x y y y x f x dx e dy e dy e m -= ゥ ¥----? ==-== 蝌 )(x f ∴是一个密度函数。 6． 解：（1）111 (260280)(260270)(270)(280270)101010 P P x x 禳镲 镲<<=-< -<-睚镲镲铪 ()()11(270)11(1)2110.6826910P x 禳镲 =-<-<=F -F -=F -=睚镲镲铪 （2）11(250)(270)(250270)1010P P x x 禳镲 <=-<-睚镲镲铪 ()1(270)221(2)0.01786410P x 禳镲 =-<-=F -=-F =睚镲镲铪 概率论第三章习题参考解答 1. 如果ξ服从0-1分布, 又知ξ取1的概率为它取0的概率的两倍, 求ξ的期望值 解：由习题二第2题算出ξ的分布率为 ξ 0 1 P 1/3 2/3 因此有E ξ=0×P (ξ=0)+1×P (ξ=1)=2/3 +2η, ξ与η的分布律如下表所示: : 求周长的期望值, 用两种方法计算, 一种是利用矩形长与宽的期望计算, 另一种是利用周长的分布计算. 解: 由长和宽的分布率可以算得 E ξ=29×P (ξ=29)+30×P (ξ=30)+31×P (ξ=31) =29×0.3+30×0.5+31× E η=19×P (η=19)+20×P (η=20)+21×P (η=21) =19×0.3+20×0.4+21×0.3=20 由期望的性质可得 E ζ=2(E ξ+E η)=2× 而如果按ζ的分布律计算它的期望值, 也可以得 E ζ=96×0.09+98×0.27+100×0.35+102×0.23+104× 验证了期望的性质. 4. 连续型随机变量ξ的概率密度为 ⎩⎨ ⎧><<=其它 ) 0,(10)(a k x kx x a ϕ 又知Eξ=0.75, 求k 和a 的值。 解: 由性质 ⎰+∞ ∞ -=1)(dx x ϕ 得 11 1)(|10110 =+=+= =++∞ ∞ -⎰⎰a k x a k dx kx dx x a a ϕ 即k =a +1 (1) 又知 75.02 2)(|1021 1 =+=+= == +++∞ ∞ -⎰⎰a k x a k dx kx dx x x E a a ϕξ 得ka +1.5 (2) 由(1)与(2)解得 习 题 三 （A ） 三、解答题 1. 设口袋中有3个球，它们上面依次标有数字1，1，2，现从口袋中无放回地连续摸出两个球，以X ，Y 分别表示第一次与第二次摸出的球上标有的数字，求(X ，Y )的分布律． 解：(X ，Y )取到的所有可能值为(1，1)，(1，2)，(2，1)由乘法公式： P {X =1，Y =1}=P {X =1}P {Y =1|X =1}=2/3⨯1/2=/3， P {X =1，Y =2}= P {X =1}P {Y =2|X =1}=2/3⨯1/2=1/3， P {X =2，Y =1}= P {X =2}P {Y =1|X =2}=1/3⨯2/2=1/3. (X ，Y )的分布律用表格表示如下： 2．设盒中装有8支圆珠笔芯，其中3支是蓝的，3支是绿的，2支是红的，现从中随机抽取2支，以X ，Y 分别表示抽取的蓝色与红色笔芯数，试求： (1) X 和Y 的联合分布律； (2) P {X ，Y } ∈ A }，其中A = {(x ，y )| x + y ≤ 1}． 解：X ，Y 所有可能取到的值是0， 1， 2 (1) P {X =i ， Y =j }=P {X =i }P {Y =j |X =i }=2 8 22 23C C C C j i j i --， i ， j =0，1，2， i +j ≤2 或者用表格表示如下： (2)P{(X ，Y )∈A }=P {X +Y ≤1}=P {X =0， Y =0}+P {X =1，Y =0}+P {X =0，Y =1}=3/28+9/28+6/28=9/14. 3．设事件B A 、满足,2 1 )|(,21)|(,41)(=== A B P B A P A P 记X ， Y 分别为一次试验中A ，B 发生的次数，即⎩⎨⎧=不发生 ，发生A A X 0 ,1，⎩⎨⎧=不发生，发生，B B Y 0 1，求：二维随机变量(X ，Y )的分布 律． 解：因为P (A )=1/4，,2 1 )|(= A B P 由P (B |A )= 2/14/1)()()(==AB P A P AB P 得P (AB )=1/8， 由P (A |B )= 2/1) () (=B P AB P 得P(B)=1/4. (X ，Y )取到的所有可能数对为(0，0)，(1，0)，(0，1)，(1，1)，则 P {X =0，Y =0}=)(1)()(B A P B A P B A P -===1-P (A )-P (B )+P (AB )=5/8, P {X =0，Y =1}=)(B A P =P (B -A )=P (B )-P (AB )=1/8, P {X =1，Y =0}=)(B A P =P (A -B )=P (A )-P (AB )=1/8, P {X =1，Y =1}=P (AB )=1/8. 4．设二维随机变量(X ，Y )的概率密度为 ⎩⎨ ⎧<<<<=. ,0, 10,10 ,),(其它y x Axy y x f 试求： (1) 常数A (2) P {X = Y } (3) P {X < Y } (4) (X ，Y )的分布函数． 解：(1)由归一性知： 1= ， 故A=4 (2) P {X =Y }=0, (3) P {X 1.1 写出以下随机试验的样本空间： (1) 某篮球运发动投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数; 解：连续5 次都命中，至少要投5次以上，故}{ ,7,6,51=Ω； (2) 掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和; 解：}{12,11,4,3,22 =Ω； (3) 观察某医院一天内前来就诊的人数; 解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以}{ ,2,1,03=Ω； (4) 从编号为1，2，3，4，5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品; 解：属于不放回抽样，故两件产品不会一样，编号必是一大一小，故： ()}{ ;51,4≤≤=Ωj i j i (5) 检查两件产品是否合格; 解：用0 表示合格, 1 表示不合格，那么()()()()}{1,1,0,1,1,0,0,05=Ω； (6) 观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T1, 最高气温不高于T2); 解：用x 表示最低气温, y 表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间，故： ()}{ 216,T y x T y x ≤≤=Ω ； (7) 在单位圆内任取两点, 观察这两点的间隔 ; 解：}{ 207 x x =Ω； (8) 在长为l 的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度. 解：()}{ l y x y x y x =+=Ω,0,0,8 ； 1.3 设样本空间}{20≤≤=Ωx x , 事件A =}{15.0≤≤x x ,}{ 6.18.0≤=x x B 详细写出以下各事件：(1)AB ; (2) B A - ; (3) B A -; (4) B A ⋃ （1）AB }{ 18.0≤=x x ； (2) B A -=}{ 8.05.0≤≤x x ； (3) B A -=}{ 28.05.00≤⋃≤≤x x x ; (4) B A ⋃=}{ 26.15.00≤⋃≤≤x x x 1.6 按从小到大次序排列)()(),(),(),(B P A P AB P B A P A P +⋃, 并说明理由. 解：由于),(,B A A A AB ⋃⊆⊆故)()()(B A P A P AB P ⋃≤≤，而由加法公式，有：)()()(B P A P B A P +≤⋃ 1.7 假设W 表示昆虫出现残翅, E 表示有退化性眼睛, 且P(W) = 0.125; P(E) = 0.075, P(WE) = 0.025, 求以下事件的概率： (1) 昆虫出现残翅或退化性眼睛; 长沙理工大学二手货QQ 交易群146 808 417 #00001 已知随机变量X 与Y 独立，其分布律分别为 ，与*00001 解:作下表，表中第一行是自变量(X,Y)的全部可能取值点；第二行是第一行各取值相应的概 从上表可以确定Z 的取值域为{0,1},W 的取值域为{-1,0,1,函数变量取某值的概率等于该值在表中相应概率之和。例如 P{Z=0}=0.12+0.18=0.3 于是，Z 、W 的分布律分别为： #00002 袋中有两只红球，三只白球，现不放回摸球二次，令 ⎩⎨ ⎧=⎩⎨ ⎧=第二次摸到白球第二次摸到红球第一次摸到白球 第一次摸到红球0101Y X (1)求(X,Y)的分布律。(2)求X 与Y 的相关系数 *00002 解：（1）显然X 、Y 的全部可能取值为X=1，0；Y=1，0 而P{X=1，Y=1}=P{两次均摸到红球}=2 52 2C C ，同理计长沙理工大学二手货QQ 交易群146 808 417 ij （2） 256)(25 6)(5 2)(5 2 )(= = = = Y D X D Y E X E 503254101),(10 1)(-=-= = Y X COV XY E 41 25 6 256503 -=- = ∴ XY ρ #00003 设(X,Y)具有概率密度⎩⎨ ⎧<<<=其它01 ||0},{y x c y x f ，1)求常数c ；2)求P{Y>2X} ； 3)求 F(0.5,0.5) *00003 解：1) 如图所示区域D 为(X,Y)的非0定义域 由归一性 图 ⎰⎰⎰⎰ ⎰⎰ ⎰⎰⎰⎰ == == >∴>=⇒=⇒=--G G G G y D y y G S S dxdy dx dy dxdy X Y P G X Y c cdx dy Cdxdy y 的面积 是其中或 见如图区域14 311}2{}2){21 1 1 1 1 2 3)由F(x,y)的几何意义，可将F(0.5,0.5)理*00004解为(X,Y)落在{X ≤0.5,Y ≤0.5}区域（见如图G 1）上的概率。故有 ⎰⎰ ⎰ ⎰ -= = = ≤≤=1 21 4 11}5.0,5.0{)5.0,5.0(G y y dx dy dxdy Y X P F #00004 已知(X,Y)的分布函数为⎩ ⎪ ⎨⎧≤≤--≤≤--=----其它 00101),(x y ye e y x xe e y x F y y y x （1）求X 与Y 的边缘概率密 度。（2）问X 与Y 是否相互独立？ *00004 解：（1） ⎩⎨ ⎧<≥-=∞=-0x 00x e 1)F(x,(x)F x X ⎩⎨ ⎧<≥==-0x 0 0x e (x)F'(x)f x X X ⎩⎨ ⎧<≥--=∞=--0y 00y ye e 1)y ,F((y)F y y Y ⎩⎨ ⎧<≥==-0y 0 0y ye )y (F'(y)f y Y Y （2）不独立与Y X y x F y F x F Y X ∴≠),()()( 概率论与数理统计（第二版.刘建亚）习题解答——第三章 3－1 解： 3(12,3 5) (2,5) (1,5) (2,3) (1,3) 128 P X Y F F F F 3－2 解： 3－3 解： 3－4 解： X 的取值：3，4； Y 的取值：1，2。所以 4324 5(4,) (1,2)j j C C P X j Y j j C 3－5 解： （1） 由归一性 (34) 3400 (,)112 x y x y A f x y dxdy Ae dxdy A e dx e dy ∴ A ＝12 （2） 当 0,0x y 时 (34) 340 (,) (,)12 (1)(1)x y x y u v x y F x y f u v dudv e dudv e e 当 y x ,为其它时，(,)0F x y ∴ 34(1)(1) 0,0 (, )0 x y e e x y F x y 其它 （3） 12(34) 380 (01,0 2)12(1)(1)x y P X Y e dxdy e e 3－6 解：由分布函数的性质 ( ,) lim ( arctan )(arctan ) ()()123 22 (,) lim (arctan )(arctan ) ()(arctan ) 02 323 (,)lim (arctan )(arctan ) (arctan )() 2 322 x y x y x y F A B C A B C x y y F y A B C A B C x y x F x A B C A B C 三式联立解得 2 1 ,,22 A B C 2 2 2 22221 1 (,)11 63 2(,)(4 )(9 ) 1()1()2 3 F x y f x y x y x y x y 3－7 解： 11211 2 1 (1) (,)12x y x x y P X Y f x y dxdy e dxdy e e概率论基础第二版第三章作业答案
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