概率论第二章习题答案
第二章 条件概率与统计独立性
1、解：自左往右数，排第i 个字母的事件为A i ，则
42)(,52)(121==
A A P A P ，2
1)(,31)(1234123==A A A A P A A A P 1)(12345=A A A A A P 。
所以题中欲求的概率为
()()()()
12345123412312154321)()(A A A A A P A A A A P A A A P A A P A P A A A A A P =30
1121314252=⋅⋅⋅⋅= 2、解：总场合数为23=8。设A={三个孩子中有一女}，B={三个孩子中至少有一男}，A
的有利场合数为7，AB 的有利场合为6，所以题中欲求的概率P （B|A ）为
()7
6
8/78/6)()(===
A P A
B P A B P .
3、解：（1）M 件产品中有m 件废品，m M -件正品。设A={两件有一件是废品}，B={两
件都是废品}，显然B A ⊃，则 ()
2211/)(m m m M m C C C C A P +=- 2
2/)(M
m C C B P =， 题中欲求的概率为
)(/)()(/)()|(A P B P A P AB P A B P ==121
/)(/2
2112
2---=+=-m M m C C C C C C M
m m M m M m . （2）设A={两件中有一件不是废品}，B={两件中恰有一件废品}，显然A B ⊂，
则 ()
,/)(2112M m M m m M C C C C A P --+= 2
11/)(M m M m C C C B P -=.
题中欲求的概率为
)(/)()(/)()|(A P B P A P AB P A B P ==12/)(/2
1122
11-+=+=---m M m C C C C C C C M
m M m m M M
m M m . （3）P{取出的两件中至少有一件废品}=())
1()12(/2
211---=+-M M m M m C C C C M m m M m
4、解：A={甲取出一球为白球}，B={甲取出一球后，乙取出一球为白球}，C={甲，乙各取出一球后，丙取出一球为白球}。则 )
()(b a a
A P += 甲取出的球可为白球或黑
球，利用全概率公式得
)
|()()|()()(A B P A P A B P A P B P +=
b
a b b a b b a a b a b b a b +=-+⋅++-+-⋅+=111 甲，乙取球的情况共有四种，由全概率公式得
)
|()()|()()|()()|()()(B A C P B A P B A C P B A P B A C P B A P AB C P AB P C P +++=
2
1
)1)((22)1)(()1(-+-⋅
-+++-+-⋅-++-=
b a b b a b a ab b a b b a b a b b 2)1)(()1(21)1)((-+⋅
-++-+-+-⋅-+++b a b
b a b a a a b a b b a b a ab b
a b
b a b a b a b a b a b +=
-+-++-+-+=)2)(1)(()2)(1(. 5、解：设B={两数之和大于10}，A i ={第一个数取到i}，9,,1,0 =i 。则10
1)(=
i A P ， 5,3,2,9/)1()|(,0)|()|(10 =-===i i A B P A B P A B P i ;,9/)2()|(-=j A B P j
9,8,7,6=j 。由全概率公式得欲求的概率为
∑===
=9
356.045
16
)|()()(i i i A B P A P B P . 6、解：设A 1={从甲袋中取出2只白球}，A 2={从甲袋中取出一只白球一只黑球}，A 3={从甲袋中取出2只黑球}，B={从乙袋中取出2只白球}。则由全概率公式得
)()|()()|()()|()(332211A P A B P A P A B P A P A B P B P ++=
22
22222221
11222222+++++++++++++=βαβααβαC C C c C C C C c c c C C b a a
b b a b a B A a a . 7、解：A 1={从第一袋中取出一球是黑球}，……，A i ={从第一袋中取一球放入第二袋中，…，再从第1-i 袋中取一球放入第i 袋中，最后从第i 袋中取一球是黑球}，N i ,,1 =。则
)
()(,)(11b a b
A P b a a A P +=
+=
. 一般设)()(b a a A P k +=，则)
()(b a b
A P k +=，得
)
()()|()()|()(111b a a
A P A A P A P A A P A P k k k k k k k +=
+=+++.
由数学归纳法得 )
()(b a a
A P N +=
.
8、解：设A 1={飞机第一部分中两弹}，A 2={飞机第二部分中两弹}，A 3={飞机第一部分中一弹}，A 4={其它情况}，则
.),(4321Ω=+++≠=A A A A j i A A j i φ
.04.02.02.0)(,01.01.01.0)(21=⨯==⨯=A P A P
A 3={第一弹中第一部分且第二弹中第二部分，或第一弹中第一部分且第二弹中第三部分，或第一弹中第二部分且第二弹中第一部分，或第一弹中第三部分且第二弹中第一部分}，
18.01.07.01.02.07.01.02.01.0)(3=⨯+⨯+⨯+⨯=A P ，
.77.0)]()()([1)(3214=++-=A P A P A P A P
设B={飞机被击落}，则 .0)|(),
3,2,1(1)|(4===A B P I A B P i
由全概率公式得∑==
4
1
)()|()(i i
i
A P A
B P B P .23.018.004.001.0=++=
9、解：设A i ={第i 回出正面}，记)(i i A P p =，则由题意利用全概率公式得
)()|()()|()(111i i i i i i i A P A A P A P A A P A P ++++=
)1()12()1)(1(111p p p p p pp -+-=--+=。
已知c p i =，依次令1,,2,1 --=n n i 可得递推关系式
),1()12(1p p p P n n -+-=- ,),1()12(21 p p p P n n -+-=-- ).1()12()1()12(12p c p p p p P -+-=-+-=
解得
,)12(])12()12()12(1)[1(122---+-++-+-+-=n n n p c p p p p P
当1≠p 时利用等比数列求和公式得
11
)12()
12(1)12(1)1(---+-----=n n n p c p p p p .)12()12(212111---+--=n n p c p （*）
（1）若1=p ，则C p C p n n n =≡∞
→lim ,；
（2）若0=p ，则当12-=k n 时，c p n =；当k n 2=时，c p n -=1。
若21=
c ，则21lim ,21=≡∞→n n n p p 若12
1
≠c ，则n n p c c ∞→-≠lim ,1不存在。
（3）若10<
.2
1
)12()12(2121lim lim 11=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--=--∞→∞→n n n n n p c p p
10、解：令i i i C B A ,,分别表示第i 次交换后，甲袋中有两只白球，一白一黑，两黑球的事件，则由全概率公式得
)|()()|()()|()()(11111n n n n n n n n n n n C A P C P B A P B P A A P A P A P p +++++++==
n n n n q r q p 4
1
0410=⋅++⋅=，
)|()()|()()|()()(11111n n n n n n n n n n n C B P C P B B P B P A B P A P B P q +++++++==
,2
1
1211n n n n n n r q p r q p ++=⋅++⋅=，
)|()()|()()|()()(11111n n n n n n n n n n n C C P C P B C P B P A C P A P C P r +++++++==
n n n n q r q p 4
1
0410=⋅++⋅=.
这里有11++=n n r p ，又1111=+++++n n n r q p ，所以1121++-=n n p q ，同理有
n n p q 21-=，再由n n q p 411=+得)21(4
1
1n n p p -=+。所以可得递推关系式为
⎪⎩⎪⎨⎧
-=-==++++1
11121)
21(4
1n n n n n p q p p r ， 初始条件是甲袋一白一黑，乙袋一白一黑，即1,0000===q r p ，由递推关系式得
n n n n p p p r 2141)21(4111-=-==++ =+-=--=--114
1
8141)2141(2141n n p p
⎪⎭
⎫
⎝⎛--⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-+-++-=+++++211211412)1(2)1(21211
1012232n n n n n p
2
112131)1(6
121)1(161+++⎪⎭⎫
⎝⎛⋅⋅-+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅--=n n n n ， 1
1112131)1(3221++++⎪
⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅-+=-=n n n n p q .
.3
2
lim ,61lim lim ===∞→∞→∞→n n n n n n q r p
11、解：设A n ={家庭中有n 个孩子}，n=0,1,2,…，B={家庭中有k 个男孩}。注意到生男孩与生女孩是等可能的，由二项分布)2
1(=
p 得 .212121)|(n
k n
k
n k
k n
n C C A B P ⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪
⎭
⎫
⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=-
由全概率公式得
∑∑∞
=∞
=⎪⎭⎫ ⎝⎛==k n n
k n
n k n n n C ap A B P A P B P 21)|()()(∑∞
=++⎪⎭⎫ ⎝⎛=0
1
112i k k p C a （其中k n i -=）
∑∞
=+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭
⎫
⎝⎛=0
111
22i k k p C
p a .)
2(22121`
1+---=⎪⎭
⎫ ⎝⎛
-⎪⎭
⎫ ⎝⎛=k k
k k
p ap p p a 12、解：（1）设A={至少有一男孩}，B={至少有2个男孩}。B AB B A =⊃,，由
1)
2(0<-<
p p
得
,)1)(2()
2(1)2(22)
2(2)(11
p p ap p p p p
p a p ap A P k k k
--=---⋅-=-=∑∞
=+
2
22
22
2
1)1()2()
2(1)2(22)2(2)(p p ap p p p p p a p ap B P k k k --=---⋅-=-=∑∞
=+, p
p
A P
B P A P AB P A B P -===2)()()()()|(.
（2）C={家中无女孩}={家中无小孩，或家中有n 个小孩且都是男孩，n 是任意正
整数}，则
∑∞
=⎪⎭
⎫
⎝⎛+--=12111)(a n
n ap p ap C P
)2)(1(322112
12112p p p ap p p ap p ap p ap
p ap --+--=
-+--=-
+--= A 1={家中正好有一个男孩}={家中只有一个小孩且是男孩}，则
ap ap A P 2
1
21)(1=⋅
=，且C A ⊂1， 所以在家中没有女孩的条件下，正好有一个男孩的条件概率为
)()()()()|(111C P A P C P C A P C A P =
=
)
32(2)
2)(1()
2)(1(322122p ap p p p ap p p p ap p ap +----=--+--=.
13、解：设A={产品确为合格品}，B={检查后判为合格品}。已知98.0)|(=A B P ，
96.0)(05.0)|(==A P A B P ，，求)|(B A P 。由贝叶斯公式得
)
|()()|()()
|()()()()|(A B P A P A B P A P A B P A P B P AB P B A P +==
9979.09428
.09408
.005.004.098.096.098.096.0==⨯+⨯⨯=
. 14、解：设321,,A A A 分别为自250米，200米，150米处射击的事件，B 为“命中目标”事件，则1.0)|(,05.0)|(,2.0)(7.0)(,1.0)(21321=====A B P A B P A P ，A P A P ，
2.0)|(3=A B P ，求)|(1B A P 。i A 间互不相容，B 能且只能与i A 中之一同时发生，由
贝叶斯公式得
)
()|()()|()()|()
()|()|(332211111A P A B P A P A B P A P A B P A P A B P B A P ++=
0435.023
1
2.02.07.01.01.005.01.005.0==⨯+⨯+⨯⨯=.
15、解：记事件“发AAAA ”为A 4，事件“发BBBB ”为B 4，事件“发CCCC ”为C 4，事件“收ABCA ”为D ，则,3.0)(,4.0)(,3.0)(444===C P B P A P 为求)|(4A D P ，考虑到发AAAA ，而收到ABCD ，有两个字母被准确收到，另两个字母被误收，故
0144.02.06.0)|(224=⨯=A D P 。同理可求得3442.06.0)|()|(⨯==A D P B D P 0048.0=，欲求的概率是)|(4D A P ，而事件444,,C B A 间两两互不相容，又D 能且
只能与4
4
4
,,C B A 之一同时发生，由贝叶斯公式得欲求的概率为
)
|()()|()()|()()
|()()|(444444444
C D P C P B D P B P A D P A P A D P A P D A P ++=
5625.016
9
0048.03.00048.04.00144.03.00144.03.0==⨯+⨯+⨯⨯=. 16、证：
（1）)())((BC AC P C B A P =)()()(ABC P BC P AC P -+=
)()()()()()()(C P B P A P C P B P C P A P -+=
)()()]()()()[(B A P C P AB P B P A P C P =-+=，
∴B A 与C 独立。
（2）)()()()()()(C P AB P C P B P A P ABC P == ∴AB 与C 独立。
（3）))(()())((B AC P C B A P C B A P -Ω==-)()(ABC P AC P -= )()()()()(C P B P A P C P A P -=
)()()]()()[(B A P C P AB P A P C P -=-=，
∴B A -与C 独立。
17、证：)(1)()(B A P B A P B A P -==)])()([1PAB B P A P -+-=
))(1))(
(1()()()()(1B P A P B P A P B P A P --=+--= )()(B P A P =， 同理可证 )()()(C P A P C A P =,
)()()(C P B P C B P =.
又有
)(1)()(C B A P C B A P C B A P -==
[])()()()()()()(1ABC P BC P AC P AB P C P B P A P +---++-=
++++---=)()()()()()()()()(1C P B P C P A P B P A P C P B P A P )()()(C P B P A P -
))(1))((1))((1(C P B P A P ---=)()()(C P B P A P =，
所以C B A ,,相互独立。
18、证：必要性。事件n A A A ,,,21 相互独立，用归纳法证。不失为一般性，假设总是
前连续m 个集i
A ˆ取i A 的形式。当1=m 时， )()()()(11221n n n n A A P A A P A A P A A A P --=
)()()()(12n n A p A P A P A P -=)()()(21n A P A P A P =。
设当k m =时有
)()()()(1111n k k n k k A A P A P A P A A A A P ++=,
则当1+=k m 时
)()()(1121211n k k n k k n k k A A A A P A A A A P A A A A P ++++-=
)()()()()()()()(1121n k k n k k A P A P A P A P A P A P A P A P ++-= )()())(1)(()(211n k k k A P A P A P A P A P ++-= )()()()()(211n k k k A P A P A P A P A P ++= 从而有下列2n 式成立：
)ˆ()ˆ()ˆ()ˆˆˆ(2121n
n A P A P A P A A A P =, 其中i
A ˆ取i A 或i A 。 充分性。设题中条件成立，则
)()()(11n n A P A P A A P =, (1)
)()()()(1111n n n n A P A P A P A A A P --= . (2)
∵ φ=--n n n n A A A A A A 1111 ,
∴ )()(111111n n n n n A A A A A A P A A P ---= .
(1)+(2)得 )()()(1111--=n n A P A P A A P 。 (3) 同理有
)()()()()(121121n n n n n n A P A P A P A P A A A A P ----= , )()()()()(121121n n n n n n A P A P A P A P A A A A P ----=
两式相加得
)()()()(121121----=n n n n A P A P A P A A A P . （4）
(3)+(4)得
)()()()(22121--=n n A P A P A P A A P 。
同类似方法可证得独立性定义中12+-n n
个式子，
∴ n A A ,,1 相互独立。
19、证：),()(00)()(φφφφφP P P P =⨯==
),()(1)(),()(0)(ΩΩ==ΩΩΩ==ΩP P P P P P φφ ),()()()(B P P B P B P Ω==Ω ),()()()(A P P A P A P Ω==Ω
)()()(B P A P B A P =（见本章第17题），
)()()()()()()(B P A P A P AB P A P AB A P B A P -=-=-= )()())(1)((B P A P B P A P =-=，
同理可得 )()()(B P A P B A P =。证毕。 20、解：P{三次射击恰击中目标一次}=
7.0)5.01)(4.01()7.01(5.0)4.01()7.01)(5.01(4.0--+--+--= 36.0=
P{至少有一次命中}=1-P{未击中一次}
91.0)7.01)(5.01)(4.01(1=----= 21、解：（1）P{所有的事件全不发生}}{1n A A P = ∏=-==n
k k
n p
A P A P 1
1)1()()( 。
（2）P{至少发生其一})(1n A A P =
∏=--
=-=n
k n
n n p
A A P A A P 1
11)1(1)(1)( 。
（3）P{恰好发生其一}+---+--=)1()1()1()1()1(32121n n p p p p p p p n n p p p )1()1(11---++ ∑∑
∏=≥>≥=--++-=
n
i i j n n
i i n j i i
p n p p p
1
1
1
1
)
1(2
。
22、解：本题中认为各元件发生故障是相互独立的。记0A ={元件k 发生故障}，1A ={元件1k 发生故障}，2A ={元件2k 发生故障}。则
P{电路断开})()()()(210210210A A A P A A P A P A A A P -+==
328.02.02.03.02.02.03.0=⨯⨯-⨯+=。 23、解：以k A 表事件“A 于第k 次试验中出现”，ε=)(k A P ，由试验的独立性得，前n 次试验中A 都不出现的概率为
)()()()(2121n n A P A P A P A A A P =n )1(ε-=。
于是前n 次试验中，A 至少发生一次的概率为
)(1)1(1)(121∞→→--=-n A A A P n n ε 。
这说明当重复试验的次数无限增加时，小概率事件A 至少发生一次的概率可以无限地向1靠近，从而可看成是必然要发生的。
24、解：我们认为各车床或同一车床制造的各个零件的好坏是相互独立的，由此可得
2509.07.08.0}{23=⨯=所有零件均为一级品P 。
25、解：利用的二项分布可得
}2{1}{个全是乙类细菌至少有一个甲类细菌n P P -=
n n
C 220
020*******--=⎪
⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=。
n
n n n
n n n C C ，P 222212121}{⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=乙两类细菌各占一半甲。
26、解：利用二项分布得
n p n P P )1(1}{1}{--=-=次全部出现反面至少出现一次正面。
11
)1()1(1}{-----=n n n p p C p P 至少出现两次正面1)1()1(1-----=n n p np p 。
27、解：（1）设A ，B ，C 分别表示每局比赛中甲，乙丙获胜的事件，这是一个
3
1
)()()(=
==C P B P A P 的多项分布。欲丙成为整场比赛的优胜者，则需在未来的三次中，丙获胜三次；或在前三次中，丙获胜两次乙胜一次，而第四次为丙获胜。故本题欲求的概率为
2003
313131!0!1!2!3313131!0!0!3!3⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=p 。
28、解：利用两个的二项分布，得欲副省长的概率为
∑==n
i i ，i P p 0
}{次正面乙掷出次正面甲掷出
1
1
21212121--=⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪
⎭
⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪
⎭⎫
⎝⎛=∑n i
i n
n i
n
i i n
C C ∑=⎪⎭⎫
⎝⎛=⎪⎭
⎫ ⎝⎛=n
i n
n n
i n
n C C 0
222
221)(21。 29、解：事件A 出现奇数次的概率记为b ，出现偶数次的概率记为a ，则
++=-2
2200n n n n q p C q p C a ，
++=--33311n n n n q p C q p C b 。
利用n
n p q b a q p b a )(,1)(-=-=+=+，可解得事件A 出现奇数次的概率为
[]
n n p q p b )21(2
1
21)(121--=--=
。 顺便得到，事件A 出现偶数次的概率为n
p a )21(2
121-+=。
30、解：事件“在出现m 次A 之前出现k 次A ”，相当于事件“在前1-+m k 次试验中出现k 次A ，1-m 次A ，而第k m +次出现A ”，故所求的概率为
m k k m k m k k m k q p C q q p C 111-+--+=⋅
注：对事件“在出现m 次A 之前出现k 次A ”，若允许在出现m 次A 之前也可以出现1+k 次A ，2+k 次A 等，这就说不通。所以，事件“在出现m 次A 之前出现k 次A ”的等价事件，是“在出现m 次A 之前恰出现k 次A ”。而对事件“在出现m 次A 之前出现k 次A 之前”（记为B ）就不一样，即使在出现m 次A 之前出现了1+k 次A ，2+k 次A 等，也可以说事件B 发生，所以事件B 是如下诸事件的并事件：“在出现m 次A 之前恰出现i 次A ”， ,1,+=k k i 。 31、解：设=n A {经n 次试验后，黑球出现在甲袋中}，=n A {经n 次试验后，黑球出现在乙袋中}，=n C {第n 次从黑球所在的袋中取出一个白球}。记),(n n A P p =
,2,1,0,1)(=-==n p A P c n n n 。当1≥n 时，由全概率公式可得递推关系式：
)()|(_)()|(1111----=n n n n n n n A P A A P A P A A P p
)()|()()|(1111----+=n n n n n n A P A C P A P A C P
N q N N p n n 1111⋅+-⋅=--)1(1
111---+-=n n p N p N N ,
即 )1(1
21≥+-=-n N
p N N p n n 。 初始条件10=p ，由递推关系式并利用等比级数求和公式得
n
n n N N N N N N N N N p ⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-⋅+=-2212111
n
n
N N N N N N N ⎪
⎭
⎫
⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=221211n
N N ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=22121。 若1=N ，则12+=k n 时0=p ，当k n 2=时1=n p 。
若2=N ，则对任何n 有2
1
=n p 。
若2>N ，则2
1
lim =∞→n n p （N 越大，收敛速度越慢）。
32、解：利用普阿松逼近定理，5005.01000=⨯=λ，查表计算得
∑=-=1000
2110001000)995.0()005.0(}{i i i
C P 至少有两件废品9596.05155=--≈--e e ，
∑=-=5
2
1
10001000
)
995.0()005.0(}5{i i i
C
P 件废品不超过6160.0!
55
5
0=≈-=∑e i i i 。 设以90%的概率希望废品件数不超过k ，则
∑=-k
i i i C
2
1
10001000
)
995.0()005.0(90.0!
55
0=≈-=∑e i k
i i ， 解得8=k 。
33、解：P={有10个或更多个终端同时操作}=P{有10个或不足10个终端不在操作}
∑=-==10
020209829.0)7.0()3.0(j j j j
C 。 34、解：利用普阿松逼近定理计算5001.05000=⨯=λ，则打中两弹或两终以上的概
率为
001.0)999.0(5000)999.0(149995000⨯--=p 9596.05155=--≈--e e
35、解：设A 表事件“某事实际上是可行的”，A 表事件“某事实际上是不可行的”，B 表“多数人说可行”，B 表“多数人说不可行“，利用二项分布得
∑=-===7
4777102.0)4.0()6.0()|()|(i i i i
C A B P A B P
所以作出正确决策的概率为
)|()()|()(A B P A P A B P A P p +=
7102.0)|()]()()[|)==+=A B P A P A P A B p 。
36、解：（1）由题意得，产生了k 个细菌，且这k 个细菌全部是甲类细菌的概率为
k
k
e k ⎪⎭
⎫
⎝⎛-21!λλ，所以产生了甲类细菌而无乙类细菌的概率为 ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=-∞=-∑121!21λλλλe e e k p k k k 。
（2）产生乙类细菌而无甲类细菌的概率与（1）中概率相同，所以欲求的条件概
率为
P{有2个乙类细菌|产生的细菌中无甲类}⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭
⎫ ⎝⎛=--121!21212
2λλλλe e e ⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-=18
1212
λλe 。 37、解：事件“有两个以上的人生于元旦”的对立事件是“生于元旦的人不多于两个”利用365
1
-
p 的二项分布得欲求的概率为 1
502
50
3651136511-⎪
⎭
⎫ ⎝⎛
-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑i i C p
00037.0365
364)492536450364(150
482=⨯+⨯+-=。
38、解：每个错字出现在每页上的概率为500
1
=p ，500个错字可看成做500次努里试验，利用普阿松逼近定理计算，1500
1
500=⨯
=λ，得 P{某页上至少有三个错字}=-11-P{某页上至多有两个错字}
∑=-⎪
⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2
1
50015005001150011i i
C 0803.0)2
1
(1111=++-≈---e e e .
39、解：设月初库存k 件，则应有
∑∑=∞
+=--≤=≥k
i k i i i e i p e i 017
7001.0!
7,999.0!7即. 当171=+k 时，000958.0=p ；161=+k 时，002407.0=p 。所以在月初进货时要库存16=k 件才行。
40、解：设每盒装100+k 只，为使每盒有100只以上的好钉，每盒次品数应当1-≤k ，
则应有 80.0)985.0()015.0(1001
100≥=-+-=+∑i k i k i i
k
C
p .
由于k 值不大，有
5.1015.0100015.0)100(=⨯≈+k
利用普阿松逼近定理计算，5.1=λ，上式可以写成
∑-=-≥=1
5
.180.0!)5.1(k i i e i p .
查表得当21=-k 时，80884.0=p ；当11=-k 时，55782.0=p 。取3,21==-k k ，。所以一盒应装103只，才能保证每盒中有100只以上好钉的概率小于
80%。
41、解：每一毫升平均含一个细菌，每2毫升含2个，所以每只试管中含有细菌数服从2=λ的普阿松分布。由此可得
P{5个试管中都有细菌}4833.0)1(52=-=-e ； P{至少有三个试管中有细菌}∑=---=-=
5
2
52215
9800.0)()1(i i i
e e
C .
计算时利用了2
1--=e p 的二项分布。
42、解：设一分钟内通过某交叉路口的汽车数服从λ的普阿松分布，则
P{1分钟内无车}20201
.ln ,.e
i -===-λλ611.=
由此得，2分钟内通过的汽车数服从2232.i =⨯=λλ的普阿松分布，从而2分钟内多
于一车的概率为
83102231223223.e .e p ..=⨯--=--.
43、解：若蚕产i 个卵，则这i 个卵变为成虫数服从概率为i n ,p =的二项分布，所以
P{蚕养出n 只小蚕}k
k k i
k i i
p p C e i --∞
=-=
∑1)1(!λλ)k i m -=（令 λλ
λλ-∞
=+-∑
=
-=
e p k p m k e p k M m m
k k )(!
1
)1(!
!
44、解：设s={该分子在时刻s 还没有再受到碰撞}，则
)()()(1ττλτ∆+∆=∆-o P ，
))(1)(()()()(ττλτττττ∆-∆-=∆=∆+o P P P P ， τ
τττλττττ∆∆--=∆-∆+)
()()()()(o P p P P ，
令0→∆τ得 λτττλττ-=-=)
()
('),()(P P P d dP ，
积分得 λττ-=ce P )(. 当0→τ时，1)(→τP ，所以1=c ，从而
λττ-=e P )(.
45、证：可利用巴纳赫氏问题证明。某数学家带着两盒火柴，每次用时他在两盒中任意抓一盒，从中取出一根，因此连续地抽取构成了一串2
1
=
p 的贝努里试验。假定最初每盒火柴恰巧包含N 根，我们考虑：数学家第一次发现空盒子地时刻。在这一时刻，另一盒火柴可能还有r 为0，1，…，N 根火柴。设从第一盒中选取为“成功”。“当发现第一盒火柴空时，第二盒中尚有r 根火柴“这一事件，等价于”恰有r N -次失败发生在第N+1次成功之前“，这个事件的概率为)2
1,1;12(++-N r N f （见巴斯卡分布）。考虑到两盒火柴所处的地位相同，可得事件”发现一盒空，另一盒中尚有r 根火柴“（记为r A ）的概率为
r N r N N r N N r N N r N f +--+-⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛
++-2122222221,1;122. r 取0到N 的诸事件r A 之和显然是必然事件，由此可得
∑=+-=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-N
r r N N r N 02122， 两边同乘以N
2并利用组合性质变形得
∑=--=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--N
r N r N r N r N 0)(222， 令k r N =-，并注意到对应r 从0变到N ，而k 是从N 变到0，即得要证的等式
∑=-=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+N
r N
k k k N 022.
46、证：任何一个非1的自然数，皆可唯一地（不计次序时）分解为素数的乘积，要证两数互素，只需验证这两数没有公共素因子就行了。为此，把素数排列为 <<21p p ，对任何N t ,（自然数）定义事件
N A t N ,,2,1{, 在=中独立地取两整数ηξ,，ξ与η不含公因子},,,21t p p p 。
把所要求的“事件”的概率定义为 ()
)(lim lim ,t N N t A P l ∞
→∞→。
为计算)(,t n A P ，定义
{1P m k i i = 自1,2,…,N 中独立地取两整数ηξ,，它们有公因子},,,21k i i i p p p 。
则由事件容许的和的概率公式得
∑∑≥>≥=-+-+
-=1
211
,)1(1)(i j t t t ij
t
i i t N m m
m A P （1）
显然有2
111⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛⎥⎥⎦⎤⎢⎢
⎣
⎡=k k
i i i i p p N N m ， 2
2
1
11111⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛≤≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-k k k i i i i i i p p m N p p ， 因而
∑
∑∑
≤<<≤≤<<≤≤<<≤≤≤-t i i i i t i i i i t
i i k t i i k k
k k k k p p m N C p p 1111111111
21 （2） （2）式左端的N
C k
t 2的来由是，
N p p p p N p p N p p k k k k i i i i i i i i 21211112222222
1111
-≥⋅-≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛- ， 而和式中一共有k t C 项。由（1），（2）得
∑∑∑=≥>≥=--+-t
i i j t t k k
t j
i i C N p p p 1112222111
)(,t N A P ≤∑∑∑=≥>≥=+-+-≤t
i i j t t k k
t j
i i C N p p p 1112222111 （3）
在（3）中令∞→N 得
∏∑
∑==≥>≥∞
→⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=--+-=t i i t t
i t
i j t t
j i i t N N p p p p p p A P 122211
1222,111)1(111)(lim ，
再令∞→t ，并利用黎曼函数2
6
)2(πξ=（参看华罗庚著“数论导引”P236，225）得，
欲求的概率为
[]
∏∞
=∞→∞→==⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=122,6)2(11)(lim lim i i t N N t p A P πξ 47、解：假设产品合格率99.0≥p ，不妨设99.0=p 。现从10000件中抽100件，可
视为放回抽样。而100件产品中次品件数服从二项分布，利用普阿松逼近定理得，次品件数不小于两件的概率为
2642.0199.001.0100)99.0(11199100=--≈⨯⨯--=--e e p
此非小概率事件，所以不能据此断定该车间谎报合格率。（注意，这并不代表可据此断定，该车间没有谎报合格率。）
概率论与数理统计_第二章习题附答案
习题2-2 1. 设A 为任一随机事件, 且P (A )=p (0
概率统计(概率论)第二章练习题答案及解析
第二章习题与答案 同学们根据自己作答的实际情况，并结合总正误率和单个题目正误统计以及答案解析来总结和分析习题！！！ 标红表示正确答案标蓝表示解析 1、为掌握商品销售情况，对占该地区商品销售额60%的10家大型商场进行调查，这种调查方式属于( )。 A普查 B抽样调查【解析：抽取一部分单位进行调查；习惯上将概率抽样（根据随机原则来抽取样本）称为抽样调查】 C重点调查【解析：在调查对象中选择一部分重点单位进行调查的一种非全面调查】 D统计报表 2、人口普查规定标准时间是为了（）。 A确定调查对象和调查单位 B避免资料的重复和遗漏。 C使不同时间的资料具有可比性 D便于登记资料 【解析：规定时间只是为了统计该时间段内的人口数据，没有不同时间数据对比的需要】 3、对一批灯泡的使用寿命进行调查，应该采用( )。 A普查 B重点调查 C典型调查D抽样调查 4、分布数列反映( )。 A总体单位标志值在各组的分布状况 B总体单位在各组的分布状况【解析：课本30页1.分布数列的概念一段最后一句】 C总体单位标志值的差异情况 D总体单位的差异情况 5、与直方图比较，茎叶图( )。 A没有保留原始数据的信息 B保留了原始数据的信息【解析：直方图展示了总体数据的主要分布特征，但它掩盖了各组内数据的具体差异。为了弥补这一局限，对于未分组的原始数据则可以用茎叶图来观察其分布。课本P38】 C更适合描述分类数据 D不能很好反映数据的分布特征 6、在累计次数分布中，某组的向上累计次数表明( )。 A大于该组上限的次数是多少 B大于该组下限的次数是多少 C小于该组上限的次数是多少【解析：向上累计是由变量值小的组向变量值大的组累计各组的次数或频率，各组的累计次数表明小于该组上限的次数或百分数共有多少。课本P33】 D小于该组下限的次数是多少 7、对某连续变量编制组距数列，第一组上限为500，第二组组中值是750，则第一组组中值为 ( )。 A. 200 B. 250 C. 500 D. 300 【解析：组中值=下限+组距/2=上限+组距/2】 8、下列图形中最适合描述一组定量数据分布的是( )。 A条形图B直方图 C线图 D饼图
概率论第二章练习答案
《概率论》第二章 练习答案 一、填空题： 1．设随机变量X 的密度函数为f(x)=? ??02x 其它1???o 则用Y 表示对X 的3次独立重复的观察中事 件(X≤ 2 1 )出现的次数，则P （Y ＝2）＝ 。 2. 设连续型随机变量的概率密度函数为： ax+b 0
概率论习题参考解答1
概率论第二章习题参考解答 1. 用随机变量来描述掷一枚硬币的试验结果. 写出它的概率函数和分布函数. 解: 假设ξ=1对应于"正面朝上",ξ=0对应于反面朝上. 则 P (ξ=0)=P (ξ=1)=0.5 . 其分布函数为 ?? ? ??≥<≤<=1 1105 .000)(x x x x F 2. 如果ξ服从0-1分布, 又知ξ取1的概率为它取0的概率的两倍, 写出ξ的分布律和分布函数. 解: 根据题意有 P (ξ=1)=2P (ξ=0) (1) 并由概率分布的性质知 P (ξ=0)+P (ξ=1)=1 (2) 将(1)代入(2)得 3P (ξ=0)=1, 即P (ξ=0)=1/3 再由(1)式得 P (ξ=1)=2/3 因此分布律由下表所示 ξ 0 1 P 1/3 2/3 而分布函数为 ?? ? ??>=<≤<=1 1103 /100)(x x x x F 3. 如果ξ的概率函数为P {ξ=a }=1, 则称ξ服从退化分布. 写出它的分布函数F (x ), 画出F (x )的图形. 解: ?? ?≥<=a x a x x F 1 0)(, 它的图形为 4. 一批产品分一,二,三级, 其中一级品是二级品的两倍, 三级品是二级品的一半, 从这批产品中随机地抽取一个检验质量, 用随机变量描述检验的可能结果, 写出它的概率函数. 解 设ξ取值1,2,3代表取到的产品为一,二,三级, 则根据题意有 P (ξ=1)=2P (ξ=2) (1)
P (ξ=3)=P (ξ=2)/2 (2) 由概率论性质可知 P (ξ=1)+P (ξ=2)+P (ξ=3)=1 (3) (1),(2)代入(3)得: 2P (ξ=2)+P (ξ=2)+P (ξ=2)/2=1 解得P (ξ=2)=2/7, 再代回到(1)和(2)得 P (ξ=1)=4/7, P (ξ=3)=1/7 则概率函数为 )3,2,1(27 1)(3=?= =-i i P i ξ 或列表如下: 5. 一批产品20个, 其中有5个次品, 从这批产品中随意抽取4个, 求这4个中的次品数ξ的分布律. 解: 基本事件总数为4 20C n =, 有利于事件{ξ=i }(i =0,1,2,3,4)的基本事件数为i i i C C n -=4155, 则 001 .017 3191 1718192051234)4(031.017195 2121545171819201234)3(2167.017181914 15231212141545171819201234)2(4696.017181913 14151231314155171819201234)1(2817 .0171913 7123412131415171819201234)0(4 454 20 1 15354 202 15254 203 1515420415=??=???????====??=??????????====?????=?????????????====????=????????????====??=?????????????===C C P C C C P C C C P C C C P C C P ξξξξξ 6. 一批产品包括10件正品, 3件次品, 有放回地抽取, 每次一件, 直到取得正品为止, 假定每件产品被取到的机会相同, 求抽取次数ξ的概率函数. 解: 每次抽到正品的概率相同, 均为p =10/13=0.7692, 则每次抽到次品的概率q =1-p =0.2308则ξ服从相应的几何分布, 即有 ),3,2,1(1331310)(1 Λ=? ? ? ???===-i pq i P i i ξ 7. 上题中如果每次取出一件产品后, 总以一件正品放回去, 直到取得正品为止, 求抽取次数ξ的分布律. 解: 这样抽取次数就是有限的, 因为总共只有3件次品, 即使前面三次都抽到次品,第四次抽时次品 已
《概率论与数理统计》第二章习题解答
第二章 随机变量及其分布 1、解： 设公司赔付金额为X ，则X 的可能值为； 投保一年内因意外死亡：20万，概率为 投保一年内因其他原因死亡：5万，概率为 投保一年内没有死亡：0，概率为所以 2、一袋中有5只乒乓球，编号为1、2X 表示取出的三只球中的最大号码，写出随机变量X 的分布律 解：X 可以取值3，4，5，分布律为 也可列为下表 X ： 3， 4，5 P ： 10 6,103,101 3、设在15只同类型零件中有2只是次品，在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽样，以X 表示取出次品的只数，（1）求X 的分布律，（2）画出分布律的图形。 解：任取三只，其中新含次品个数X 可能为0，1，2个。 3512)1(3 15213 12=?==C C C X P 35 1)2(3 15 113 22= ?= =C C C X P 再列为下表 X ： 0， 1， 2 P ： 35 1,3512,3522 4、进行重复独立实验，设每次成功的概率为p ，失败的概率为q =1－p (0
概率论第二章练习答案
概率论第二章练习答案 WTD standardization office【WTD 5AB- WTDK 08- WTD 2C】
《概率论》第二章 练习答案 一、填空题： 1．设随机变量X 的密度函数为f(x)=?? ?02x 其它 1 ???o 则用Y 表示对X 的3次独立重复的观察中事件(X≤ 2 1 )出现的次数，则P （Y ＝2）＝ 。 2. 设连续型随机变量的概率密度函数为： ax+b 0
8. 某型号电子管，其寿命（以小时记）为一随机变量，概率密度)(x ?＝ ()?????≥) (0100100 2其他x x ，某一个电子设备内配有3个这样的电子管，则电子管使用150小时都不需要更换的概率为＿＿＿8/27＿＿＿＿＿。 2100 x x≥100 ∴ ?(x)= 0 其它 P （ξ≥150）=1－F(150)=1－? ?=-+=+=150 10015010023 2 132********x dx x [P(ξ≥150)]3=(32)3=27 8 9. 设随机变量X 服从B （n, p ）分布，已知EX ＝，DX ＝，则参数n ＝___________，P ＝_________________。 EX = np = DX = npq = ，解之得：n = 8 ，p = 10. 设随机变量x 服从参数为（2，p ）的二项分布，Y 服从参数为（4，p ）的二 项分布，若P （X ≥1）＝9 5 ，则P （Y ≥1）＝＿65/81＿＿＿＿＿＿。 解： 随机变量X ～N （2， σ2），且P （211. ＜X ＜4）=，则P （X ＜0）=＿＿＿＿＿ 12. 设随机变量X 服从参数为1的指数分布，则数学期望)(2X e X E -+= ___4/3________ 13. 已知离散型随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则随机变量Z= 3X －2的期望 E (Z)＝3EX-2=3x2-2=4 。 14．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且P ( X= 1) = P ( X=2 ) 则E (X) = __2_______. D (X) = __2___________. 3 1,3294)0(9 4 )1(95)1(2 ==?=∴===??=≥p q q X p X p X p
第二章-概率论解析答案习题解答
第二章-概率论解析答案习题解答
第二章 随机变量及其分布 I 教学基本要求 1、了解随机变量的概念以及它与事件的联系； 2、理解随机变量的分布函数的概念与性质；理解离散型随机变量的分布列、连续型随机变量的密度函数及它们的性质； 3、掌握几种常用的重要分布：两点分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分布，且能熟练运用； 4、会求简单随机变量函数的分布. II 习题解答 A 组 1、检查两个产品，用T 表示合格品，F 表示不合格品，则样本空间中的四个样本点为 1(,) F F ω=、2 (,) T F ω =、3 (,) F T ω =、4 (,) T T ω = 以X 表示两个产品中的合格品数. (1) 写出X 与样本点之间的对应关系； (2) 若此产品的合格品率为p ，求(1)p X =？ 解：(1) 10 ω→、2 1 ω →、3 1 ω →、4 2 ω →；
(2) 1 2(1)(1)2(1) p X C p p p p ==-=-. 2、下列函数是否是某个随机变量的分布函 数？ (1) 0 21()2021 x F x x x <-???=-≤
概率论第二章习题答案
第二章 条件概率与统计独立性 1、解：自左往右数，排第i 个字母的事件为A i ，则 42)(,52)(121== A A P A P ，2 1)(,31)(1234123==A A A A P A A A P 1)(12345=A A A A A P 。 所以题中欲求的概率为 ()()()() 12345123412312154321)()(A A A A A P A A A A P A A A P A A P A P A A A A A P =30 1121314252=⋅⋅⋅⋅= 2、解：总场合数为23=8。设A={三个孩子中有一女}，B={三个孩子中至少有一男}，A 的有利场合数为7，AB 的有利场合为6，所以题中欲求的概率P （B|A ）为 ()7 6 8/78/6)()(=== A P A B P A B P . 3、解：（1）M 件产品中有m 件废品，m M -件正品。设A={两件有一件是废品}，B={两 件都是废品}，显然B A ⊃，则 () 2211/)(m m m M m C C C C A P +=- 2 2/)(M m C C B P =， 题中欲求的概率为 )(/)()(/)()|(A P B P A P AB P A B P ==121 /)(/2 2112 2---=+=-m M m C C C C C C M m m M m M m . （2）设A={两件中有一件不是废品}，B={两件中恰有一件废品}，显然A B ⊂， 则 () ,/)(2112M m M m m M C C C C A P --+= 2 11/)(M m M m C C C B P -=. 题中欲求的概率为 )(/)()(/)()|(A P B P A P AB P A B P ==12/)(/2 1122 11-+=+=---m M m C C C C C C C M m M m m M M m M m . （3）P{取出的两件中至少有一件废品}=()) 1()12(/2 211---=+-M M m M m C C C C M m m M m 4、解：A={甲取出一球为白球}，B={甲取出一球后，乙取出一球为白球}，C={甲，乙各取出一球后，丙取出一球为白球}。则 ) ()(b a a A P += 甲取出的球可为白球或黑 球，利用全概率公式得 ) |()()|()()(A B P A P A B P A P B P += b a b b a b b a a b a b b a b +=-+⋅++-+-⋅+=111 甲，乙取球的情况共有四种，由全概率公式得 ) |()()|()()|()()|()()(B A C P B A P B A C P B A P B A C P B A P AB C P AB P C P +++=
校正过的概率论第二章精准答案
概率论与数理统计第二章习题 1. 试用概率的可加性证明，若时间B 蕴含A ，即B A ì，则必成立 P A B P A P AB -=-（）（）（） 而对任意的两个事件A ，B ，必成立 P A B P A AB P A P AB -=-=-（）（）（）（） []） （）（）（）（）式，有利用（显然） （）（则 若））（（）（）（从而） （）（）（）（的可加性，有： 互不相容，因此由概率与而） （则解：AB P A P AB A P B A P A AB AB A P B A P A B B P A P B A P B A P B P B A B P A P B A B B A B A A B -=-=-?-=-?-=--+=-=--=?**.1 2.已知P(A)=0.5，P(B)=0.4，P(AB)=0.1，试求 1234()P A B ()P A |B ()P(B |A)()P(A |B)U （）， （）， ， 3 2 )(1)()()(1)()()()|()4(2 .05.01 .0)()()|()3(25 .04.01 .0|)2(8.0)1(.2= --=--== =======-+=B P AB P A P B P B A P B P B A P B A P A P AB P A B P B P AB P B A P AB P B P A P B A P ）（）（）（）（）（）（）（解： 2. 已知A,B 是独立事件，P(A)=0.3，P(B)=0.6，试求 1234P(A |B)()P(A B)()P(B |A)()P(A |B)U （）， ， ， 7 .0)(1)|()4(4.0)(1)|()3(72.0)()()()()()()()()2(3 .0)()|(1.3=-==-==?-+=-+===A P B A P B P A B P B P A P B P A P AB P B P A P B A P A P B A P ）解：（ 3. 设P(A)>0, P(B)>0，求下列四个 P A P AB P A P B P A B +U （），（），（）（），（）数 按由小到大的顺序用不等号“￡ ”连接起来，并分别对每个不等号指明何时为等号？
概率论与数理统计2.第二章练习题(答案)
第二章练习题（答案） 一、单项选择题 1．已知连续型随机变量X 的分布函数为 ⎪⎩ ⎪ ⎨⎧≥<≤+<=ππx x b kx x x F ,10,0, 0)( 则常数k 和b 分别为 （ A ） （A ）0,1== b k π （B ）π1,0b k = （C ）0,21==b k π （D ）π 21,0==b k ． 2.下列函数哪个是某随机变量的分布函数 （ A ） A. f （x ）={x a e −x 22a ,x ≥01, x <0 (a ＞0); B. f （x ）={1 2cosx, 0< x <π0, 其他 C. f （x ）={cosx, −π2< x <π20, 其他 D. f （x ）={sinx, −π2< x < π 2 0, 其他 3.若函数()f x 是某随机变量X 的概率密度函数，则一定成立的是 （ C ） A. ()f x 的定义域是[0,1] B. ()f x 的值域为[0,1] C. ()f x 非负 D. ()f x 在(,)-∞+∞内连续 4. 设)1,1(~N X ，密度函数为)(x f ，则有（ C ） A.{}{}00>=≤X P X P B. )()(x f x f -= C. {}{}11>=≤X P X P D. )(1)(x F x F --= 5. 设随机变量()16,~μN X ，()25,~μN Y ，记()41-<=μX P p ， ()52+>=μY P p ，则正确的是 （ A ）. （A ）对任意μ，均有21p p = （B ）对任意μ，均有21p p < （C ）对任意μ，均有21p p > （D ）只对μ的个别值有21p p = 6. 设随机变量2~(10,)X N ，则随着的增加{10 }P X （ C ） A.递增 B.递减 C.不变 D.不能确定
概率论第二章练习题答案
第二章 练习题 1、设随机变量ξ的分布函数 ⎩⎨ ⎧≤>-=-000,1)(x x e x F x λ )0(>λ， 则ξ的密度函数()f x = ⎩⎨ ⎧≤>-0, 00,x x e x λλ 2、~(0,1)N ξ，已知ξ的分布函数{}() (0) P x F x x ξ≤=≤<+∞， 0b >，用分布函数F x ()之值表示概率{}P b ξ>=____[]21()F b -________________. 3、设随机变量ξ的分布函数为()()112F x arctgx x π= +-∞<<+∞则{01}P ξ<<=__14 4、设~(0.8,0.16)N ξ，且有0,1F (2)=0.97725，0,1F (4)=1，0,1F (1.6)=0.9452，则： {0 1.6}P ξ<<=_____0.9545_______。 5、要使函数()() 40 10 0 Ax x x x x ϕ⎧>⎪ +=⎨⎪≤⎩ 是某个随机变量的概率密度，则 A 的值应是 ______6______。 6、设~(3,4)X N ，若{}{}P X C P X C ≥=<，则C=_______3_________ 7、若~(1,4)X N ，则Y=2X+1～____(3,16)N ____ ____ 8、设随机变量X 在[1,4]上服从均匀分布，现在对X 进行3次独立实验，则至少有两次观察值大于2的概率是 27 20 9、已知随机变量X 只能取-1,0,1,2四个数值，其相应的概率依次为 ,162,85,43,21c c c c 则c = 2 10、设随机变量X 的概率密度⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧<<=其他 0, 102)(x Ax x f 常数A = 1 11、设ξ服从泊松分布，且已知)2()1(===ξ ξP P ，则= =)0(ξP 2 -e 。 12、若连续型随机变量)10,10(~2N X ,则10 10 -= X Z ,服从)1,0(N 分布。 13、设随机变量X 的分布律为：
(完整版)概率论第二章随机变量及其分布答案
概率论与数理统计练习题 系 专业 班 姓名 学号 第二章 随机变量及其分布（一） 一．选择题： 1．设X 是离散型随机变量，以下可以作为X 的概率分布是 [ B ] （A ） 1234111124816 X x x x x p （B ） 123411112488 X x x x x p （C ） 123411112 3 4 12 X x x x x p （D ） 1234 11112 3 412 X x x x x p - 2．设随机变量ξ的分布列为 0123 0.10.30.40.2 X p )(x F 为其分布函数，则)2(F = [ C ] （A ）0.2 （B ）0.4 （C ）0.8 （D ）1 二、填空题： 1．设随机变量X 的概率分布为 012 0.20.5 X p a ，则a = 0.3 2．某产品15件，其中有次品2件。现从中任取3件，则抽得次品数X 的概率分布为 P{X=0}=22/35; P{X=1}=12/35; P{X=2}=1/35 3．设射手每次击中目标的概率为0.7,连续射击10次，则击中目标次数X 的概率分布为 P{X=k}=k k k C -⨯10103.07.0,10,,0Λ=k 或X~B(10,0.7) 三、计算题： 1．同时掷两颗骰子，设随机变量X 为“两颗骰子点数之和”求： （1）X 的概率分布； （2）(3)P X ≤； （3）(12)P X > (1) P{X=2}= P{X=12}=1/36; P{X=3}= P{X=11}=1/18; P{X=4}= P{X=10}=1/12; P{X=5}= P{X=9}=1/9; P{X=6}= P{X=8}=5/36; P{X=7}=1/6 (2) P{X=2}=1/36; P{X=3}=1/18 (3) P{X>12}=0 2．产品有一、二、三等品及废品四种，其中一、二、三等品及废品率分别为60%，10%，20%及10%，任取一个产品检查其质量，试用随机变量X 描述检查结果。
概率论与数理统计-第二章习题附答案
概率论与数理统计-第二章习题附答案
习题2-2 1. 设A 为任一随机事件, 且P (A )=p (0
{P Y ≥3 2191}1{0}1() . 3 27 P Y =-==-= 4. 在三次独立的重复试验中, 每次试验成功的概率相同, 已知至少成功一次的概率为1927, 求每次试验成功的概率. 解 设每次试验成功的概率为p , 由题意知至少成功一次的概率是27 19，那么一次都没有成功的概率是278. 即278 ) 1(3 = -p , 故 p =3 1. 5. 若X 服从参数为λ的泊松分布, 且 {1}{3}P X P X ===, 求参数λ. 解 由泊松分布的分布律可知6=λ. 6. 一袋中装有5只球, 编号为1,2,3,4,5. 在袋中同时取3只球, 以X 表示取出的3只球中的最大号码, 写出随机变量X 的分布律. 解 X 的分布律是 X 3 4 5 P 110 310 3 5 习题2-3 X -1 0 1 P 0.15 0.20 0.65 求分布函数F (x ), 并计算概率P {X <0}, P {X <2},
概率论与数理统计练习册-第二章答案
第二章 随机变量及其分布 基础训练Ⅰ 一、选择题 1、下列表中（ A ）可以作为离散型随机变量的分布律。 A) X 1 －1 0 1 B) X 2 0 1 2 P 1/4 1/2 1/4 P －1/4 3/4 1/2 C) X 3 0 1 2 D) X 4 1 2 1 P 1/5 2/5 3/5 P 1/4 1/4 1/2 2、常数b ＝（ B ）时，),2,1() 1( =+= k k k b p k 为离散型随机变量的概率分布。 A ）2 B ）1 C ）1/2 D ）3 3、设⎪⎩ ⎪ ⎨⎧≥<<≤=1,110,2/0,0)(x x x x x F ，则（ D ） A ）是随机变量的密度函数 B) 不是随机变量的分布函数 C ）是离散型随机变量的分布函数 D ）是连续型随机变量的分布函数 4、设)(1x F 和)(2x F 分别为随机变量21,X X 的分布函数，为使)()()(21x bF x aF x F -=是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取（ A ） A ）a ＝3/5，b ＝－2/5 B) a ＝2/3，b ＝2/3 C ）a ＝－1/2，b ＝3/2 D ）a ＝1/2，b ＝－3/2 5、设随机变量),(~2 σμN X ,且}{}{c X P c X P >=≤，则=c （ B ） A) 0 B) μ C) μ- D) σ 二、填空题 1、连续型随机变量取任何给定值的概率为 0 。 2、设离散型随机变量X 分布律为⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛5.03.02.0210 ，则P (X ≤1.5) = 0.5 。 3、设连续型随机变量X 的分布函数为⎪⎩ ⎪⎨⎧≥<≤<=1,110,0,0)(2 x x Ax x x F ，则A = 1 ，X 落在（－1, 1/2）内 的概率为 1 / 4 。 4、设K 在（0, 5）上服从均匀分布，则方程02442 =+++K Kx x 有实根的概率为 0.6 。 5、随机变量X 的分布函数)(x F 是事件}{x X ≤的概率。
概率论与数理统计第二章习题解答
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1 第二章 随机变量及其分布 1、解： 设公司赔付金额为X ，则X 的可能值为； 投保一年内因意外死亡：20万，概率为 投保一年内因其他原因死亡：5万，概率为 投保一年内没有死亡： 的分布律为： 2、一袋中有5 3、 4、5，在其中同时取三只，以X 表示取出的三只球中的最大号码，写出随机变量X 的分布律 解：X 可以取值3，4，5，分布律为 10 61)4,3,2,1,5()5(1031)3,2,1,4()4(10 11)2,1,3()3(35 2 435 2 335 2 2=⨯= === ⨯==== ⨯= ==C C P X P C C P X P C C P X P 中任取两球再在号一球为中任取两球再在号一球为号两球为号一球为 也可列为下表 X ： 3， 4，5 P ：10 6,103,101 3、设在15只同类型零件中有2只是次品，在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽样，以X 表示取出次品的只数，（1）求X 的分布律，（2）画出分布律的图形。 解：任取三只，其中新含次品个数X 可能为0，1，2个。 3522)0(315 313= ==C C X P 3512)1(3 15213 12=⨯==C C C X P 35 1)2(3 15 113 22=⨯= =C C C X P 再列为下表 X ： 0， 1， 2 P ： 35 1,3512,3522
2 4、进行重复独立实验，设每次成功的概率为p ，失败的概率为q =1－p (0