华南理工大学概率论与数理统计试卷及参考解答2
,考试作弊将带来严重后果！
华南理工大学期末考试
《概率论与数理统计》试卷(A )
1. 考前请将密封线内填写清楚；
允许使用计算器，所有答案请直接答在试卷上； ．考试形式：闭卷；
(1.298)=0.9032, 错误!未找到引用源。
，错误!未找到引用源。, !未找到引用源。，错误!未找到引用源。
10分）已知在10件相同的玩具中有2件次品，从中随机取出两件，求以下事件的概率：
（1） 两件都是正品
（2） 一件是正品，一件是次品
解： (1)取出两件玩具的样本数是错误!未找到引用源。
两件都是正品的概率错误!未找到引用源。 5分 (2)一件正品一件次品的概率错误!未找到引用源。 10分
12分）今有两口箱子，第一箱装有2个红球1个白球，第二箱装有3个红球2个白球。现
1） 求第一次取到红球的概率；
2） 在第一次取到红球的条件下，求第二次取到红球的概率；
解：记{}(){}
)2,1（箱取到第;2,
1次取到红球第A ====j j B i i j i 5
3
3018)(,32)(,21)()(211121====
=B A p B A p B p B p 4分 3019
)()()()()(2211111=
+=B p B A p B p B A p A p 6分
（2）6019
)()()()(222112121=
+=B p B A A p B A A p A A p 10分
2
1
)()()(12112==
A p A A p A A p 12分
10分）某工厂甲、乙、丙三车间生产同一种产品,产量分别占25%,35%,40%,废品率分
5%,4%和2%.产品混在一起,求：
（1） 总的废品率
（2）抽检到废品时,这只废品是由甲车间生产的概率.
解：设1A ={产品由甲厂生产}, 2A ={产品由乙厂生产}, 3A ={产品由丙厂生产},
B ={产品是废品},由题意
%40)(%,35)(%,25)(321===A P A P A P ；
%5)|(1=A B P , %4)|(2=A B P , %2)|(3=A B P . 3分 由全概率公式,
∑==⨯+⨯+⨯==3
1
0345
.002.040.004.035.005.025.0)|()()(i i i A B P A P B P ,
5分
从而由贝叶斯公式,
36.00345.005
.025.0)()|()()()()|(1111=⨯===
B P A B P A P B P B A P B A P . 10分
四（12分）设考生的外语成绩（百分制）X 服从正态分布，平均成绩（即参数μ之值）为
72分，96分以上的人占考生总数的2.3%，今任取100个考生的成绩，以Y 表示成绩在60分至84分之间的人数，求（1）Y 的分布列.（2）EY 和DY.
解：)1( Y ～B （100，p ），其中
p
=
-72-84）8460(⎪⎪⎭⎫
⎝⎛Φ=≤<σX P 1-12272-60⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛Φ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Φσσ
由0.023=)24
(172961)96(σσΦ-=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-Φ-=>X p 4分 得112
，故224即,997.024===⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛Φσσσ 5分 所以6826.01-）1(2=Φ
=p 6分 故Y 的分布列为k
k k C k Y p -==100100)3174.0()6826.0()( 8分
（2）,26.686826.0100=⨯=EY 6657.213174.026.68=⨯=DY 12分
五(12分)设ξ,η是两个随机变量，其联合概率密度为
求：（1）求ξ,η边缘密度函数；错误!未找到引用源。
(2)判断ξ,η是否相互独立，并求随机变量ζ=ξ+η错误!未找到引用源。的概率密度函数。
解：（1）已知错误!未找到引用源。
则有错误!未找到引用源。所以错误!未找到引用源。 3分
错误!未找到引用源。所以错误!未找到引用源。 6分
（2）因为错误!未找到引用源。 所以X Y 相互独立。 7分 错误!未找到引用源。 8分
此时应满足错误!未找到引用源。既错误!未找到引用源。
错误!未找到引用源。 10分
既有错误!未找到引用源。 12分
六（10分）学校食堂出售盒饭，共有三种价格4元，4.5元，5元。出售哪一种盒饭是随机
的，售出三种价格盒饭的概率分别为0.3，0.2，0.5。已知某天共售出200盒，试用中心极限定理求这天收入在910元至930元之间的概率。
解：设i X 为第i 盒的价格(1,2,
,200.)i =，则总价200
1
i i X X ==∑ 1分
() 4.6,
()0.19i i E X D X == 3分
2001
()()200 4.6920i
i E X E X ==
=⨯=∑. 4分
200
1
()()2000.1938i
i D X D X ==
=⨯=∑. 5分
910920()930920
(910930)()38()38
10
2(
)12(1.622)120.947410.894838
X E X P X P D X ---≤≤=≤≤≈Φ-=Φ-=⨯-= 9分
[ 8064.01)298.1(2)928912(=-Φ≈≤≤X P ] 10分
七（2学分）（12分）设),(Y X 的联合密度为x y x x Ay y x f ≤≤≤≤-=0,10),1(),(， （1）求系数A ；
（2）求),(Y X 的联合分布函数。 解：（1）由错误!未找到引用源。有
所以可得：A=24 6分
（2）根据错误!未找到引用源。可得：
4322432
340003812(/2)010(,)3861014301111
x y y y x x y x y x F x y y y y x y x x x x y x y <<⎧
⎪-+-≤<≤<⎪⎪
=++≥≤<⎨⎪-≤<≤⎪
≥≥⎪⎩或 6分
八、（2学分）(10分)若连续型随机变量X 的密度函数为
201
()0
ax bx c x f x ⎧++<<=⎨⎩当其他
已知12EX
=
，3
20
DX =，求系数a b c 、、. 解： 由于
()1f x dx +∞
-∞
=⎰
，所以1
20
()1ax bx c dx ++=⎰，即
11
132
a b c ++= （1） 已知12EX
=
，所以有12
01()2
x ax bx c dx ++=⎰，即
1111
4322
a b c ++= （2） 由22
()DX EX EX =-知225EX =
，所以12202()5
x ax bx c dx ++=⎰，即 1112
5435
a b c ++= （3） 联立式（1）（2）（3），解得12,12,3a
b c ==-=.
(九) （2学分）（12分） 今有两封信投入编号为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的3个邮筒，设X Y 、分别表示投入第Ⅰ号和第Ⅱ号邮筒信的数目，试求：（1）(,)X Y 的联合分布；（2）X Y 和是否独立；（3）随机变量max(,)U X Y =及min(,)V X Y =的分布律.
（1）(,)X Y 的联合分布列为
Y 0 1 2
X
0 1/9 2/9 1/9 1 2/9 2/9 0 2 1/9 0 0
4分
（2）
Y 0 1 2
1 4/9 4/9 1/9
X 0 1 2
1 4/9 4/9 1/9
因P(X=0)*P(Y=0)≠P(X=0,Y=0)
X Y 与不相互独立. 8分
（3）U V 、的分布列分别为
U 0 1 2 V 0 1 2 P 1/9 6/9 2/9 P 7/9 2/9 0
12分
（七）（3、4学分）(10分)某糖厂用自动打印机装糖，已知每袋糖的质量（单位：kg ）服从
正态分布错误!未找到引用源。。现随机地抽取9袋，并称出它们的质量，计算得样本均值错误!未找到引用源。，样本标准差S ＝2.5，在下列两种情形下，分别检验错误!未找到引用源。。取显著性水平α＝0.05。 （1）已知错误!未找到引用源。（2）错误!未找到引用源。未知。
解：(1)①提出假设00:50H μμ==. 1分
②找统计量.()~0,1
X u N =
. 2分
③求临界值.对给定的0.05α=,查表得0.025 1.96u =. 3分 ④求观察值. 2.25u =. 4分 ⑤作出判断.当0.05α=时, 2.25 1.96u =>,所以拒绝0H . 5分 (2)①提出假设00:50H μμ==. 6分
②找统计量
.()~1X t t n =
-. 7分
③求临界值.对给定的0.05α=,查表得()0.0258 2.31t =. 8分 ④求观察值.48.5, 2.5, 1.8X S t ===-. 9分 ⑤作出判断.当0.05α=时, 1.8 2.31t =<,所以接受0H . 10分
（八）（3、4学分）（12分）设总体X 的概率密度为
⎩⎨
⎧∉∈+=)
1,0(,
0)
1,0(,
)1(),(x x x x f θθθ 1θ>-为未知参数.
已知12,,
,n X X X 是取自总体X 的一个样本。求：
(1) 未知参数θ的矩估计量；
(2) 未知参数θ的极大似然估计量； (3) )(X E 的极大似然估计量.
解：（1） 矩估计量 12ˆ1
X X θ
-=- [ ˆ1X
X
θ=- ] 4分 （2） 极大似然估计量 1
1
ˆ11ln n
i i X n θ
==--∑ [1
1ˆ1ln n
i i X n θ
==-∑] 8分
（3） )(X E 的极大似然估计量
∑
=-=++=n i i n X X E 1
1ln 11
2
ˆ1ˆ)(ˆθθ [ 1
ln 1
1ˆˆ)(ˆ1
1
-=+=∑=n
i i
n
X
X E θθ ] 12分
（九）（3、4学分）
（12分）设某种油漆的9个样本,其干燥时间(单位:h)分别为:6.0,5.7,5.8,6.5,7.0,6.3,5.6,6.1,5.0.设干燥时间总体服从正态分布()2
,N μσ,求μ的置信度
为95%的置信区间: (1)若由以往知0.6h σ=; (2)若σ未知.
解：(1)当方差2
σ已知时,μ的置信度为0.95的置信区间为
/2/2,X X αα⎛⎫
⎪⎝⎭ 2分
已知 10.95,0.05,/20.025,9,0.6n ααασ-=====
()1
6.0 5.7 5.06
9
X =
+++= 4分
查表得/20.025 1.96Z Z α==,将这些值代入上面的区间得()5.608,6.392. 6分 (2)当方差2σ未知时,μ的置信度为0.95的置信区间为
(
)()/2/21,1X n X n αα⎛⎫
-- ⎪
⎝⎭ 8分
已知 10.95,0.05,/20.025,18n ααα-===-=
()2
21
1
16.0 5.7 5.06, ()0.339
1n
i i X S x x n ==++
+==-=-∑ 10分
查表得()()/20.02518 2.3060t n t α-==,将这些值代入上面的区间得()5.558,6.442. 12分 分
华南理工大学《概率论与数理统计》试卷A卷参考试卷
,考试作弊将带来严重后果！ 华南理工大学期末考试 《概率论与数理统计》试卷A 卷 1. 考前请将密封线内各项信息填写清楚； 可使用计算器，解答就答在试卷上； ．考试形式：闭卷； 本试卷共八大题，满分100分。考试时间120分钟。 5. 本试卷的七、八大题，有不同学分的要求，请小心阅题。 标准正态分布的分布函数值：99.0)33.2(=Φ （10分）甲、乙两人掷均匀硬币，其中甲掷n+1次，乙掷n 次。求“甲掷出正面的次数大于乙掷出正面的次数”这一事件的概率。 （14分）两台机床加工同样的零件，第一台出现废品的概率为0.05，第二台 出现废品的概率为0.02，加工的零件混放在一起，若第一台车床与第二台车床加工的零件数为5:4。
三、（ 试求：(1) a ；(2) P （X+Y<1）；(3) E(XY) 四、（15分）设的概率密度为 ?? ?≤≤≤≤+=其他0 2 0,10)(),(y x y x A y x f 求：(1) A ； (2) E(X), cov(X,Y)，X 和Y 的相关系数； (3)(X,Y)落入区域},10{2 x y x D ≥≤≤=的概率。
五、（12分）某学院有1000名学生，每人有80％的概率去大礼堂听讲座，问礼堂至少要有多少座位才能以99％的概率保证去听讲座的同学有座位？ 六、（10分）设随机变量ξ与η独立，并有相同的分布),(2 σa N 。试证： ()[]π σ ηξ+ =a E ,max
七1、（2学分做）（12分）设X ，Y 是相互独立的随机变量，其概率密度分别为 ?? ?>=?? ?≤≤=-. ,0)(.0 , 101)(其他其他y e y f x x f y Y X 已知X,Y 的函数 ?? ?>≤==. 0, 1),(Y X Y X Y X g Z 试求EZ ，DZ 。
概率论与数理统计习题及答案第二章.doc
习题 2-2 1. 设 A 为任一随机事件 , 且 P ( A )= p (0< p <1). 定义随机变量 1, 发生 , X A 0, 不发生 . A 写出随机变量 X 的分布律 . 解 { =1}= , { =0}=1- p . P X p P X 或者 X 0 1 P 1- p p 2. 已知随机变量 X 只能取 -1,0,1,2 四个值 , 且取这四个值的相应概率依次为 1 , 3 , 5 , 7 . 试确定常数 c , 并计算条件概率 P{ X 1 | X 0} . 2c 4c 8c 16c 解 由离散型随机变量的分布律的性质知， 1 3 5 7 1, 2c 4c 8c 16c 37 所以 c . 16 1 P{ X 1} 8 所求概率为 { <1| X 0 }= 2c . P X P{ X 0} 1 5 7 25 2c 8c 16c 3. 设随机变量 X 服从参数为 2, p 的二项分布 , 随机变量 Y 服从参数为 3, p 的二项分 布 , 若 P{X ≥ 1} 5 , 求P{Y ≥1}. 9 解 注意 p{x=k}= C n k p k q n k , 由题设 5 P{ X ≥1} 1 P{ X 0} 1 q 2 , 9 故 q 1 p 2 从而 . 3 P{Y ≥1} 1 P{ Y 0} 1 ( 2 ) 3 19 . 3 27 4. 在三次独立 的重复试验中 , 每次试验成功的概率相同 , 已知至少成功一次的概率 19 为, 求每次试验成功的概率 . 27 解 设每次试验成功的概率为 p , 由题意知至少成功一次的概率是 19 ，那么一次都 27
概率论与数理统计试题及答案 (2)
一.选择题（18分，每题3分） 1. 如果 1)()(>+B P A P ，则 事件A 与B 必定 （ ） )(A 独立； )(B 不独立； )(C 相容； )(D 不相容. 2. 已知人的血型为 O 、A 、B 、AB 的概率分别是0.4； 0.3；0.2；0.1。现任选 4人，则4人血型全不相同的概率为： （ ） )(A 0.0024； )(B 40024.0； )(C 0. 24； )(D 224.0. 3. 设~),(Y X ???<+=., 0,1,/1),(22他其y x y x f π 则X 与Y 为 （ ） )(A 独立同分布的随机变量； )(B 独立不同分布的随机变量； )(C 不独立同分布的随机变量； )(D 不独立也不同分布的随机变量. 4. 某人射击直到中靶为止,已知每次射击中靶的概率为0.75. 则射击次数的 数 学期望与方差分别为 （ ） )(A 4934与； )(B 16934与； )(C 4941与； (D) 9434与． 5. 设321,,X X X 是取自N (,)μ1的样本，以下μ的四个估计量中最有效的是（ ） )(A 32112110351?X X X ++=μ ； )(B 32129 4 9231?X X X ++=μ ； )(C 321321 6131?X X X ++=μ ； )(D 32141254131?X X X ++=μ． 6. 检验假设222201:10,:10H H σσ≤>时，取统计量)(~10 )(22 2 1 2n X i n i χμχ-= ∑=，其 拒域为（1.0=α） （ ） )(A )(21.02n χχ≤；)(B )(21.02n χχ≥；)(C )(205.02n χχ≤；)(D )(2 05.02n χχ≥. 二. 填空题（15分，每题3分） 1. 已知事件A ，B 有概率4.0)(=A P ，5.0)(=B P ，条件概率3.0)|(=A B P ，则 =?)(B A P ． 2. 设随机变量X 的分布律为? ?? ? ??-+c b a 4.01.02.04321，则常数c b a ,,应满足的条件 为 . 3. 已知二维随机变量),(Y X 的联合分布函数为),(y x F ，试用),(y x F 表示概率
概率论与数理统计-精品试卷-华南理工大学 (2)
诚信应考，考试作弊将带来严重后果！ 华南理工大学期末试卷 《概率论与数理统计》试卷A卷 （2学分用）（注：此份试卷初认为是07年1月考，2005级） 注意事项：1.考前请将密封线内各项信息填写清楚； 2.解答就答在试卷上； 3.考试形式：闭卷； 4.本试卷共八大题，满分100分，考试时间120分钟。 注：标准正态分布的分布函数值 Φ（2.33）=0.9901；Φ（2.48）=0.9934；Φ（1.67）=0.9525 选择题（每题3分，共18分）
1.设A 、B 均为非零概率事件，且A ⊂B 成立，则（ C ） A.P(A ⋃B)=P(A)+P(B) B.P(AB)=P(A)P(B) C.P(A ︱B)=) () (B P A P D.P(A-B)=P(A)-P(B) 2.掷三枚均匀硬币，若A={两个正面，一个反面}，则有P(A)=( )C A.1/2 B.1/4 C.3/8 D.1/8 3.对于任意两个随机变量ξ和η，若E(ξη)=E ξE η,则有（B ） A.D(ξη)=D ξD η B.D(ξ+η)=D ξ+D η C. ξ和η独立 D. ξ和η不独立 4.设P(x)=⎩⎨⎧∉∈] ,0[,0] ,0[,sin 2ππA x A x x 。若P(x)是某随机变量的密度函数，则常数A=（B ） A.1/2 B.1/3 C.1 D.3/2 5.若ξ1，ξ2，…，ξ6相互独立，分布都服从N(u,2 σ),则Z= ∑=-6 1 22 )(1 i i u ξ σ 的 密度函数最可能是（） A.f(z)=⎪⎩⎪⎨⎧≤>0 ,00 ,1612 /2z z e z z B.f(z)= +∞<<-∞z e z ,12112/2π C.f(z)= +∞<<-∞-z e z ,12112 /2π D.f(z)=⎪⎩⎪⎨⎧≤>-0 ,00,1612 /2z z e z z
概率论与数理统计试题试卷及答案2
概率论与数理统计 姓名： 学年学期： 学号： 考试时间： 班级： u 0.975=1.96 F 0.975(5,5)=7.15, F 0.95(2,15)=3.68，F 0.95(1,5)=5.79 t 0.975(5)=2.5706, t 0.975(10)=2.2281 一、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代号写在答题纸相应位置处。答案错选或未选者，该题不得分。每小题3分，共15分。） 1.设X~N(μ,σ2),X 1, X 2,…, X n 是来自X 的样本，则σ2的无偏估计量是（） . 2.设X~N(2,42),X 1, X 2,…, X n 是来自X 的样本，则下面结果正确的是（） 3.设X~N(μ,σ2),X 1, X 2,…, X n 是来自X 的样本，则 4.设X~N(μ,σ2), σ2已知，则总体均值μ的置信区间长度L 与置信度1-α的关系是( ) (A)当1-α缩小时，L 缩短；(B) 当1-α缩小时，L 增大； (C) 当1-α缩小时，L 不变；(D) 以上说法都不对. 5.假设检验中，显著性水平α表示 （ ） (A)H 0为假，但接受H 0的概率；(B) H 0为真，但拒绝H 0的概率; (C)H 0为假，且拒绝H 0的概率；(D) 可信度. 二、填空题（将下列各题的一个或多个正确答案写在答题纸相应位置处。答案写错的，该题不得分。每空3分，共15分。） 1. 设X~N(μ,σ2), μ为未知参数，σ2已知，X 1, X 2,…, X n 是来自X 的样本，作样本函数如下： ① (1/2)X 1+ (1/2)X 2 + (1/6)X 3; ② ③ ④X 1; ⑤ 这些函数中是统计量的有（ ）；是μ的无偏估计量的有（ ）；最有效的是（ ）. 2. 设X~P(λ),λ为未知参数，X 1, X 2,…, X n 是来自X 的样本，则P(X=0)的极大似然估计量为（） ;)(12 1∑=-n i i X X n A ）（;)(1121∑=--n i i X X n B ）（;)(1121∑=--n i i X n C μ）（;)(1121 ∑=-+n i i X n D μ）（);1,0(~162N X B -）（);1,0(~42N X A -）（);1,0(~22 N X C -）（).1,0(~/42N n X D -） （);1(2-n A χ）（);(2n B χ）（);1(-n t C ）（).(n t D ）（;)(121∑=-n i i X n μ;11 ∑==n i i X n X ∑=n i i X 122σ 服从分布（） 21 )(∑=-=n i i X Y σμ
概率论与数理统计试卷(二)及答案(02197)
概率论与数理统计（二）试卷 （课程代码：02197） 本试卷共五页，满分100分；考试时间150分钟。 一、单项选择题（每小题4分，共40分） 1）、设事件A 、B 满足2.0)(=-A B P ，6.0)(=B P ，则)(AB P =（ ） A ）、0.12 B ）、0.4 C ）、0.6 D ）、0.8 2）、设二维随机变量),(Y X 的分布律为 则}{Y X P ==（ ） A)、0.3 B ）、0.5 C ）、0.7 D ）0.8 3）、设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则下列结论中正确的是（ ） A ）、5.0)(,5.0)(==X D X E B ）、25.0)(,5.0)(==X D X E C ）、4)(,2)(==X D X E D ）、2)(,2)(==X D X E 4)、设随机变量X 服从正态分布(0,4)N ，()x Φ为标准正态分布函数，则 {36}( ).P X ≤≤= . (6)(3) . (3)(1.5) 3 . (1.5)(1) . (3)() 4 A B C D Φ-ΦΦ-ΦΦ-ΦΦ-Φ 5）、设随机变量)2,1( ~2-N X ，则X 的概率密度=)(x f （ ） A ）、 4 )1(2 41+- x e π B ）、 8 )1(2 41+- x e π C ）、 8 )1(2 221+- x e π D ）、
8 )1(2 221-- x e π 6）、设随机变量)1,0(~,)1,0(~N Y N X ，且X 与Y 相互独立，则~22Y X +（ ） A ）、)2,0(N B ）、)2(2χ C ）、)2(t D ）、)1,1(F 7）、设)2,1( ~2 N X ，n X X ,,1 为X 的样本，记∑==n i i X n X 1 1则有 ( ) A ）、 )1,0(~/21N n X - B ）、 )1,0(~4 1 N X - C ）、)1,0(~2 1N X - D ）、 )1,0(~2 1 N X - 8）、设总体),( ~2σμN X ，其中μ未知，4321,,,x x x x 为来自总体X 的一个样本，则以下关于μ的四个估计：32115 1 3151ˆx x x ++=μ ，)(41ˆ43212x x x x +++=μ ，137 1ˆx =μ，21472 61ˆx x +=μ中，哪一个是无偏估计？（ ） A ）、1ˆμ B ）、2ˆμ C ）、3ˆμ D ）4ˆμ 9)、对随机变量X 来说，如果 EX DX ≠，则可断定X 不服从（ ）分布。 （A ）、二项 （B ）、泊松 （C ）、指数 （ D ）、正态 10)、设随机变量X 服从正态分布(4,9)N ，则{4}P X <=（ ） （A ）、0 （B ）、 1 （C ）、 12 （D ）、 1 3
概率论与数理统计试卷及参考答案
概率论与数理统计 试卷及其答案 一、填空题（每空4分，共20分） 1、设随机变量ξ的密度函数为2 (0,1)()0ax x x φ⎧∈=⎨ ⎩其它 ，则常数a = 3 。 2、设总体2 (,)X N μσ，其中μ与2 σ均未知，12,, ,n X X X 是来自总体X 的 一个样本，2σ的矩估计为 21 1 ()i n i i X X n ==-∑ 。 3、已知随机变量X 的概率分布为{}, 1,2,3,4,5,15k P X k k ===则 1()15P X E X ⎧⎫ <=⎨⎬⎩⎭ ___ 0.4___。 4、设随机变量~(0,4)X U ，则(34)P X <<= 0.25 。 5、某厂产品中一等品的合格率为90%，二等品合格率80%，现将二者以1：2的比例混合，则混合后产品的合格率为 5/6 。 二、计算题（第1、2、3题每题8分，第4题16分，第5题16分，共 56分） 1、一批灯泡共20只，其中5只是次品，其余为正品。做不放回抽取，每次取一只，求第三次才取到次品的概率。 解：设i A 表示第i 次取到次品，i=1,2,3，B 表示第三次才取到次品， 则 123121312()()()()() 1514535201918228 P B P A A A P A P A A P A A A === ⨯⨯= 2、设X 服从参数为λ的指数分布，其概率密度函数为0()00 x e x f x x λλ-⎧≥=⎨ <⎩， 求λ的极大似然估计。 解：由题知似然函数为： 1 1 ()(0)i n i i i x i n x n i i L e e x λ λλλλ==-=-=∑=∏=≥ 对数似然函数为： 1 ln ()ln i n i i L n x λλλ===-∑ 由 1 ln ()0i n i i d L n x d λλλ===-=∑，得： *1 1 i n i i n x x λ=== = ∑ 因为ln ()L λ的二阶导数总是负值，故* 1 X λ= 3、设随机变量X 与Y 相互独立,概率密度分别为: ,0()0, 0x X e x f x x -⎧>=⎨ ≤⎩,1,01 ()0,Y y f y <<⎧=⎨⎩其他, 求随机变量Z X Y =+的概率密度 解： ()()()Z X Y f z f x f z x dx +∞-∞ =-⎰ 1 ,01 ,10,0z x z x z e dy z e dy z z ---⎧<<⎪⎪=≥⎨⎪≤⎪ ⎩⎰⎰ 11,01,10,0z z z e z e e z z ---⎧-<<⎪=-≥⎨⎪≤⎩ 4、 设随机变量X 的密度函数为
《概率论与数理统计》期末考试试卷答案——概率论与数理统计2资料文档
20××-20××学年《概率论与数理统计》期末考试试卷 一、填空题（每小题4分，共32分）. 1．设 A 、B 为随机事件, P (A ) = 0.3, P (B ) = 0.4, 若 P (A |B ) =0.5, 则 P (A ⋃B ) = _______; 若 A 与 B 相互独立, 则 P (A ⋃B ) = _________. 2．设随机变量 X 在区间 [0, 10] 上服从均匀分布, 则 P { 1 < X < 6} = ______________. 3．设随机变量 X 的分布函数为,4 ,1 42 ,7.021 ,2.01 ,0 )(⎪⎪⎩⎪ ⎪⎨ ⎧≥<≤<≤--<=x x x x x F 则 X 的分布律为 ___________________________ . 4．若离散型随机变量 X 的分布律为 则常数 a = _________; 又 Y = 2X + 3, 则 P {Y > 5} = _________ . 5．设随机变量 X 服从二项分布 b (100, 0.2), 则 E (X ) = ________, D (X ) = ___________. 6．设随机变量 X ~ N (0, 1), Y ~ N (1, 3), 且X 和 Y 相互独立, 则D (3X +2Y ) = _________. 7．设随机变量 X 的数学期望 E (X ) = μ, 方差 D (X ) = σ 2, 则由切比雪夫不等式有 P {|X - μ | <2σ } ≥ _________________. 8．从正态总体 N (μ, σ 2)（σ 未知） 随机抽取的容量为 25的简单随机样本, 测得样本均值5=x ，样本的标准差s = 0.1，则未知参数 μ 的置信度为0.95的置信区间是 ____________________________. (用抽样分布的上侧分位点表示).
《概率论与数理统计》习题及答案 第二章
《概率论与数理统计》习题及答案 第 二 章 1．假设一批产品中一、二、三等品各占60%，30%，10%，从中任取一件，发现它不是三等品，求它是一等品的概率. 解 设i A =‘任取一件是i 等品’ 1,2,3i =， 所求概率为 13133() (|)() P A A P A A P A =， 因为 312A A A =+ 所以 312()() ()0.6 0.30.9 P A P A P A =+=+= 131()()0.6 P A A P A == 故 1362 (|)93 P A A = =. 2．设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件中有一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率. 解 设A =‘所取两件中有一件是不合格品’ i B =‘所取两件中恰有i 件不合格’ 1, 2.i = 则 12A B B =+ 112 464 122 21010 ()()()C C C P A P B P B C C =+=+， 所求概率为 2 242112 464()1 (|)()5 P B C P B A P A C C C ===+. 3．袋中有5只白球6只黑球，从袋中一次取出3个球，发现都是同一颜色，求这颜色是黑色的概率. 解 设A =‘发现是同一颜色’，B =‘全是白色’，C =‘全是黑色’，则 A B C =+， 所求概率为 33 6113333 611511/()()2 (|)()()//3 C C P AC P C P C A P A P B C C C C C ====++ 4．从52张朴克牌中任意抽取5张，求在至少有3张黑桃的条件下，5张都是黑桃的概率. 解 设A =‘至少有3张黑桃’，i B =‘5张中恰有i 张黑桃’，3,4,5i =， 则
概率论与数理统计2.第二章练习题(答案)
第二章练习题（答案） 一、单项选择题 1．已知连续型随机变量X 的分布函数为 ⎪⎩ ⎪ ⎨⎧≥<≤+<=ππx x b kx x x F ,10,0, 0)( 则常数k 和b 分别为 （ A ） （A ）0,1== b k π （B ）π1,0b k = （C ）0,21==b k π （D ）π 21,0==b k ． 2.下列函数哪个是某随机变量的分布函数 （ A ） A. f （x ）={x a e −x 22a ,x ≥01, x <0 (a ＞0); B. f （x ）={1 2cosx, 0< x <π0, 其他 C. f （x ）={cosx, −π2< x <π20, 其他 D. f （x ）={sinx, −π2< x < π 2 0, 其他 3.若函数()f x 是某随机变量X 的概率密度函数，则一定成立的是 （ C ） A. ()f x 的定义域是[0,1] B. ()f x 的值域为[0,1] C. ()f x 非负 D. ()f x 在(,)-∞+∞内连续 4. 设)1,1(~N X ，密度函数为)(x f ，则有（ C ） A.{}{}00>=≤X P X P B. )()(x f x f -= C. {}{}11>=≤X P X P D. )(1)(x F x F --= 5. 设随机变量()16,~μN X ，()25,~μN Y ，记()41-<=μX P p ， ()52+>=μY P p ，则正确的是 （ A ）. （A ）对任意μ，均有21p p = （B ）对任意μ，均有21p p < （C ）对任意μ，均有21p p > （D ）只对μ的个别值有21p p = 6. 设随机变量2~(10,)X N ，则随着的增加{10 }P X （ C ） A.递增 B.递减 C.不变 D.不能确定
概率论与数理统计参考答案
2019--2020学年第一学期 《概率论与数理统计》试卷评分标准及参考答案（A卷） （注意：所有答案必须写在答题卡上，在试卷上作答无效） 一、单选题（7小题，每小题3分，共21分） 1.设A, B为两随机事件,P(A)=0.7, P(A−B)=0.3, 则P(AB ̅̅̅̅)=( B ) (A) 0.4；(B) 0.6；(C) 0.12；(D) 0.8. 2. 设随机变量X的分布律 则X的分布函数值F(2)= ( C ) (A) 0.5；(B) 0.6；(C) 0.8；(D) 0.7. 3.设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 ,11,02 (,) 0, c x y f x y -≤≤≤≤ ⎧ =⎨ ⎩其它 , 则c= ( C ) (A) 1 2 ;(B) 1 3 ; (C) 1 4 ;(D) 1 6 . 4.已知随机变量X和Y相互独立，则下列选项不一定正确的是( D ) (A)D ( X +Y ) = D ( X ) + D ( Y )；(B) E( X +Y ) = E( X ) + E( Y )； (C)E( X Y ) = E( X ) E( Y )；(D) D ( X Y ) = D ( X ) D ( Y ). 5.设总体X∼Exp(θ), X1，X2，…，X n 是X的一个样本，X̅，S2分别为样本均值和样本方差, 则E(X̅)，E(S2)分别为( A ) (A) θ，θ2; (B) θ2,θ; (C) θ，θn;(D) θ，θn. 6.设总体X~N(μ,1), X1，X2，…，X n为样本, μ是未知参数，则下列选项中不是统计量的是( C ) (A) 2 1 () n i i=1 X X n - ∑；(B) 2 1 () 1 n i i=1 X X n - - ∑； (C) 2 () n i=1 Xμ - ∑；(D) 2 () n i i=1 X ∑. 7.设某种清漆的干燥时间X~N(μ,σ2), σ未知, 现抽取9个样品，测得样本均值 x̃=6(小时)，样本标准差s=1(小时)，则μ的置信水平为0.95的置信区间为( B ) (A) 0.025 1 6(8) 9 t ⎛⎫ ± ⎪ ⎝⎭ ；(B) 0.025 1 6(8) 3 t ⎛⎫ ± ⎪ ⎝⎭ ； (C) 0.025 1 6(9) 9 t ⎛⎫ ± ⎪ ⎝⎭ ；(D) 0.025 1 6(9) 3 t ⎛⎫ ± ⎪ ⎝⎭ . 二、填空题（7小题，每小题3分，共21分） 8.现有5名留学生, 其中3名来自巴基斯坦, 2名来自埃及，随机选2名留学生参加春节晚会, 则参加晚会的2名学生均来自巴基斯坦的概率为 0.3 . 9.设总体X的均值为μ, 方差为σ2, X1，X2，…，X n (n>2) 为样本, 已知X̅与X1均是μ的无偏估计量, 比较这两个估计量得, ____ X̅_____更有效. 10.设X~N(1,2), Y~N(−2,3), 且X与Y相互独立, 则X−Y~ N(3, 5) . 11.设随机变量(X,Y)具有D(X)=9,D(Y)=4,ρXY=−1 6 , 则 Cov(X,Y)= -1 . 12.已知P{X >3.5}=0.01, 则随机变量X的上0.01分位数为 3.5 . 第1页/共4页
概率论与数理统计试题与答案
概率论与数理统计试题与答案(2012-2013-1) 概率统计模拟题一 一、填空题(本题满分 18分，每题3分) 1、设P(A) 0.7,P(A B) 0.3,则P(AB)= ___________________________ 。 5 2、设随机变量X 〜B(2, p),Y 〜B(3, p)，若p(X 1) ，则p(Y 1) _____ 9 3、设X 与Y 相互独立，DX 2, DY 1，贝U D(3X 4Y 5) _________________________ 。 4、设随机变量X的方差为2,则根据契比雪夫不等式有P{X -EX 2} _______________ n 5、设(X「X2, ,X n)为来自总体2(10)的样本，则统计量Y X i服从 i 1 _______________ 分布。 6、设正态总体N( , 2) , 2未知，贝U 的置信度为1 的置信区间的长度 L __________________ 。(按下侧分位数) 二、选择题(本题满分 15分，每题3分) 1、若A与自身独立，则( ) (A) P(A) 0 ; (B) P(A) 1 ; (C) 0 P(A) 1 ; (D) P(A) 0或P(A) 1 2、下列数列中，是概率分布的是( ) X 5 x2 (A) p(x) ,x 0,1,2,3,4 ；(B) p(x) ,x 0,1,2,3 15 6 1 x 1 4 25 3、设X ~ B( n, p)，则有( ) (A) E(2X 1) 2np (B) D(2X 1) 4np (1 p) (C) E(2X 1) 4np 1 (D) D(2X 1) 4n p(1 p) 1
《概率论与数理统计》习题二答案解析
《概率论与数理统计》习题及答案 习题 2，3，4，5，在其中同时取3只，以X 表示取出的3只 X 的 分布律. 2.设在15只同类型零件中有 2只为次品，在其中取 3次，每次任取1只，作不放回抽样, 以X 表示 取出的次品个数，求： （1） X 的分布律； （2） X 的分布函数并作图； （3） 1 3 3 P{X <—}, P{1 c X <—}, P{1 x>3 P(X >2) = P(X =2) +P(X =3) =0.896 (2)当 x<0 时, F (x ) =P (X w x ) =0 当 0 w x<1 时, F (x ) 22 当 1 w x<2 时, F (x ) =P (X w x ) =P(X=0)= 35 34 =P (X w x ) =P(X=0)+ P(X=1)= = 35 当x >2时，F 故X 的分布函数 (X )=P (X w x ) =1 0, 22 X v 0 135 ' F(x) =*35 34 35, 1, 1 概率论与数理统计期末复习题一 一、填空题（每空2分，共20分） 1、设X 为连续型随机变量，则P{X=1}=( 0 ). 2、袋中有50个球,其编号从01到50,从中任取一球,其编号中有数字4的概率为(14/50 或7/25 ). 3、若随机变量X 的分布律为P{X=k}=C(2/3)k ,k=1,2,3,4,则C=( 81/130 ). 4、设X 服从N （1，4）分布，Y 服从P(1)分布，且X 与Y 独立，则 E （XY+1-Y ）=（ 1 ） ，D （2Y-X+1）=（ 17 ）. 5、已知随机变量X ～N(μ,σ2 ),(X-5)/4服从N(0,1),则μ=( 5 );σ=( 4 ). 6 且X 与Y 相互独立。 则A=( 0.35 ),B=( 0.35 ). 7、设X 1,X 2,…,X n 是取自均匀分布U[0,θ]的一个样本，其中θ>0,n x x x ,...,,21是一组观察值，则θ的极大似然估计量为( X (n) ). 二、计算题（每题12分，共48分） 1、钥匙掉了,落在宿舍中的概率为40%,这种情况下找到的概率为0.9; 落在教室里的概率为35%,这种情况下找到的概率为0.3; 落在路上的概率为25%,这种情况下找到的概率为0.1,求(1)找到钥匙的概率;(2)若钥匙已经找到,则该钥匙落在教室里的概率. 解：(1)以A 1,A 2,A 3分别记钥匙落在宿舍中、落在教室里、落在路上，以B 记找到钥匙.则 P(A 1)=0.4,P(A 2)=0.35,P(A 3)=0.25, P(B| A 1)=0.9 ,P(B| A 2)=0.3,P(B| A 3)=0.1 所以,49.01.025.03.035.09.04.0)|()()(3 1 =⨯+⨯+⨯== ∑=i i i A B P A P B P (2)21.049.0/)3.035.0()|(2=⨯=B A P 2、已知随机变量X 的概率密度为 其中λ>0为已知参数.(1)求常数A; (2)求P{-1＜X ＜1/λ)}; (3)F(1). ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧<≥=-0 00)(2x x e A x f x λλ概率论和数理统计期末考试题及答案