浙江省专升本历年真题卷
2005年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学（一）》试卷
一、填空题
1．函数x
e x x x y --=
)1(sin 2
的连续区间是 。 2．=-+-∞
→)
4(1
lim 2x x x x 。
3．（1）x 轴在空间中的直线方程是 。
（2）过原点且与x 轴垂直的平面方程是 。
4．设函数⎪⎪⎪⎩
⎪
⎪⎪⎨⎧<+=>+=--1 ,1b 1 ,1,)1(1)(2
)1(1
2
x x x a x e x x f x ,当_________,==b a 时，
函数)(x f 在点1=x 处连续。
5．设参数方程⎩⎨⎧==θ
θ
2sin 2cos 3
2r y r x ， （1）当r 是常数,θ是参数时，则=dx
dy
。
（2）当θ是常数，r 是参数时，则=dx
dy
。 二．选择题
1．设函数)(x f y =在b], [a 上连续可导，),(b a c ∈，且0)('
=c f ，则当（ ）时，)(x f 在c x =处取得极大值。
（A ）当c x a <≤时，0)('
>x f ，当b x c ≤<时，0)('>x f , （B ）当c x a <≤时，0)('
>x f ，当b x c ≤<时，0)('
>x f , （D ）当c x a <≤时，0)(' =--+→h h x f h x f h ) 2()3(lim 000（ ）。 ).(5)( ),( 4)( ),(x 3)( ),()(0'0'0'0'x f D x f C f B x f A 3．设函数⎪⎩ ⎪ ⎨⎧<-=>=--0 ,0 0,0 x ,)(2 2 x e x e x f x x ，则积分 ()1 1 -=⎰f x dx （ ） 。 .2)( ,e 1 )( 0)( ,1)(D C B A - 5．设级数 ∑∞ =1 n n a 和级数 ∑∞ =1 n n b 都发散，则级数 ∑∞ =+1 )(n n n b a 是（ ）. （A ）发散 （B ）条件收敛 （C ）绝对收敛 （D ）可能发散或者可能收敛 三．计算题 1．求函数x x x y )1(2 +-=的导数。 2. 求函数122 3 +-=x x y 在区间（－1，2）中的极大值，极小值。 3. 求函数x e x x f 2 )(=的n 阶导数n n dx f d 。 4．计算积分 211 32--+⎰dx x x 。 5．计算积分⎰+dx e x 211 。 6．计算积分()1 2 2+-⎰x x x e dx 。 8.把函数1 1 += x y 展开成1-x 的幂级数，并求出它的收敛区间。 9.求二阶微分方程x y dx dy dx y d =+-22 2的通解。 10.设b a ,是两个向量，且,3,2==b a 求2 2 22b a b a -++的值，其中a 表示向量a 的模。 四．综合题 1．计算积分 2121 sin sin 22 ++⎰ n m x xdx π ，其中m n ,是整数。 2．已知函数d cx bx ax x f +++=234)(2 3 ， 其中常数d c b a ,,,满足0=+++d c b a ， （1）证明函数)(x f 在（0，1）内至少有一个根， （2）当ac b 832 <时，证明函数)(x f 在（0，1）内只有一个根。 2005年高数（一）答案（A ）卷 一．填空题 1．连续区间是),1()1,0()0,(+∞-∞ -----------------------密封线--------------------------------------------------------------------------------------------------- 2． 2 1 3．（1）⎩⎨ ⎧==0 0z y 或者001z y x ==，或者0,0,===z y t x （其中t 是参数），（2）0=x 4．1,0-==b a 5．（1）y x r 2-， （2）x y 23. 二．选择题 题 号 1 2 3 4 5 答 案 B D B D 三．计算题。 1．解 ：令)1l n (ln 2 +-=x x x y ， （3分） 则x x x x x x x x x y )1)](1ln(1 ) 12([ 222 ' +-+-++--= （7分） 2．解：)43(432 '-=-=x x x x y ，驻点为3 4,021==x x （2分） （法一） 46' '-=x y ， 04)0(' '<-=y ， 1)0(=y （极大值）， （5分） 04)34(''>=y ， 27 5)34(-=y （极小值）. （7分） （法二） x －1 （－1，0） 0 ) , 0(34 3 4 2) , (34 2 'y 正 0 负 0 正 y -2 递增 1 递减 275- 递增 （5分） 当0=x 时，1=y （极大值），当34=x 时，275-=y （极小值） （7分） 3．解：利用莱布尼兹公式 x n n e n n nx x dx f d )]1(2[2-++= （7分） 4．解： ⎰⎰⎰------=--=+-0 1 01012]11 21[)2)(1(1231dx x x dx x x dx x x (3分) ＝3 4 ln 1 2 ln 1 =---x x (7分) 5．解：⎰+dx e x 211 ＝=+-+⎰dx e e e x x x 22211 (3分) ++-=)1ln(2 1 2x e x C （其中C 是任意常数） （7分） 6．解：⎰ -+1 2)2(dx e x x x ＝=+--+⎰dx e x e x x x x 1 10 2 )12()2( （3分） ＝2－⎰ +1 )12(dx e x x ＝2－)13(-e +10 2x e = ＝e e e -=-+-12233。 （7分） 8：解： =-+ =+= ]2 111[2111x x y (2分) ])2 1()1()21()21(211[2132 +--++---+--=n n x x x x ＝∑∞ =+--01 2)1()1(n n n n x ， （5分） 收敛区间为（-1， 3）. （7分） 9.解：特征方程为0122 =+-λλ，特征值为1=λ（二重根）， 齐次方程022 2=+-y dx dy dx y d 的通解是x e x c c y )(~21+=，其中21,c c 是任意常数. (3分) x y dx dy dx y d =+-22 2的特解是2+=*x y ， （6分） 所以微分方程的通解是x e x c c x y y y )(2~ 21+++=+=* ，其中21,c c 是任意常数 （7分） 10．解：2 2 22b a b a -++＝=--+++)2()2()2()2(b a b a b a b a (3分) ＝26)(222 =+b a . （7分） 四．综合题： 1．解：（法一） ⎰++π 0212sin 212sin xdx m xdx n ＝－dx x m n x m n ])cos()1([cos 21 --++⎰π （4分） ＝⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-++-≠=---++++-⎰π ππ0 0 ,21 ]1)1[cos(21 ,0])sin(1)1sin(11[21 m n dx x m n m n x m n m n x m n m n （10分） （法二）当m n ≠时 ⎰++π0212sin 212sin xdx m xdx n ＝－dx x m n x m n ])cos()1([cos 21 --++⎰π （ 4分） ＝0])sin(1)1sin(11[ 210=---++++-π x m n m n x m n m n （7分） 当m n =时 ⎰++π0212sin 212sin xdx m xdx n ＝⎰⎰=+-=+π ππ0 00221])12cos(1[21212sin x dx x n xdx n ＝2 π （10分） 2．证明：（1）考虑函数dx cx bx ax x F +++=2 34)(, （2分） )(x F 在[0,1]上连续，在（0，1）内可导，0)1()0(==F F ， 由罗尔定理知，存在)1,0(∈ξ，使得0)(' =ξF ，即 0)()(' ==ξξf F ，就是=)(ξf 02342 3 =+++d c b a ξξξ, 所以函数)(x f 在（0，1）内至少有一个根. （7分） （2）c bx ax x F x f 2612)()(2 ' '' ++== 因为ac b 832 <，所以0)83(129636)2)(12(4)6(2 2 2 <-=-=-ac b ac b c a b ， )(' x f 保持定号，)(x f 函数)(x f 在（0，1）内只有一个根. （10分） 2006年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学（一）》试卷 一、填空题 1．lim 235→∞ ++=n n n n n 。 2．函数2268 ()(23)(5) x x f x x x x --=---的间断点是 。 3．若1 (11), 0 (), 0 x x x f x x A x ⎧+--≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处连续，则=A 。 4．设2ln(1)y x x x =++，则 =dy dx 。 5．3 22 2 (1)cos 1sin -+=+⎰x x dx x π π 。 8．微分方程2(21)x x y dy x e dx +-=+的通解=y 。 二．选择题 1． 函数()f x 的定义域为[]0,1，则函数1 1()()55 f x f x ++-的定义域（ ）。 ()A 14,55⎡⎤- ⎢⎥⎣⎦ ()B 16,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦ ()C 14,55⎡⎤ ⎢⎥⎣⎦ ()D []0,1 2． 当0x →时，与x 不是等价无穷小量的是（ ）。 ()A 2sin x x - ()B 2 s i n x x - ()C 3t a n x x - ()D s i n x x - 3．设0 ()()x F x f t d t = ⎰ ，其中2,01 ()1,12 ⎧≤<=⎨≤≤⎩x x f x x ，则下面结论中正确（ ）。 ()A 31,01()3, 12⎧≤<⎪=⎨⎪≤≤⎩x x F x x x ()B 311,01 ()3 3, 12 ⎧-≤<⎪=⎨⎪≤≤⎩x x F x x x --------------------------------------------------------------------密封线--------------------------------------------------------------------------------------------------- ()C 3 1,01()3 1,12⎧≤<⎪=⎨⎪-≤≤⎩x x F x x x ()D 3 1,013 ()2,123⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤≤⎪⎩ x x F x x x 4．曲线(1)(2),(02)y x x x x =--≤≤与x 轴所围图形的面积可表示为（ ）。 ()A 2 0(1)(2)x x x dx ---⎰ ()B 1 2 1 (1)(2)(1)(2)x x x dx x x x dx -----⎰⎰ ()C 1 2 0 1 (1)(2)(1)(2)x x x dx x x x dx ---+--⎰⎰ ()D 2 0(1)(2)x x x dx --⎰ 5．设,a b 为非零向量，且a ⊥b ，则必有（ ）。 ()A a b a b +=+ ()B a b a b +=- () C a b a b +=- () D a b a b +=- 三．计算题 1．计算1 2 3lim( )6 x x x x -→∞++。 2．设[cos(ln )sin(ln )]y x x x =+，求 dy dx 。 3．设函数2222 cos sin t t x e t y e t ⎧=⎨=⎩ ，求dy dx 。 4．计算不定积分 221 sin cos dx x x ⎰。 5．计算定积分 1 0x x dx e e -+⎰。 6．求微分方程223 22x d y dy y e dx dx -+=满足0,10 0====x x dx dy y 的特解。 7．求过直线3210 23220 x y z x y z +--=⎧⎨ -++=⎩ ，且垂直于已知平面2350x y z ++-=的平面方程。 8．将函数2 ()ln(32)f x x x =++展开成x 的幂级数，并指出收敛半径。 10．当a 为何值时，抛物线2 y x =与三直线,1,0x a x a y ==+=所围成的图形面积最小， --------------------------------- 求将此图形绕x 轴旋转一周所得到的几何体的体积。 四．综合题 1． （本题8分）设函数()f t 在[0,1]上连续，且()1f x <，证明方程： x 2()1x f t dt -=⎰在(0,1)内有且仅有一实根。 2．（本题7分）证明：若0,0,0m n a >>>，则()() m n m n m n m n m n x a x a m n ++-≤+。 3．（本题5分）设()f x 是连续函数，求证积分 2 (sin )(sin )(cos )4 f x I dx f x f x ππ ==+⎰ 。 2006年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学（一）》试卷（A 卷）答案 一．填空题 1．lim 2355n n n n n →∞ ++=。 2．函数2268 ()(23)(5)x x f x x x x --=---的间断点是3x =。 3．若1 (11), 0 (), 0 x x x f x x A x ⎧+--≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处连续，则1A = 4．。设2ln(1)y x x x =++，则22ln(1)1 dy x x x dx x =+++ +。 5． 3 2 2 2 (1)cos 1sin 2x x dx x π ππ -+=+⎰ 8．微分方程2(21)x x y dy x e dx +-=+的通解为y =2ln()x x e C ++，其中C 为任意常数。 二．选择题 1、C 2、D 3、D 4、C 5、B 三．计算题 1．计算1 2 3lim( )6 x x x x -→∞++。 解：1 23lim( )6x x x x -→∞++=631 ( ) ()3623lim(1)6x x x x x + ---+→∞-+ 3分 又因为 6 33lim(1)6 x x e x + -→∞- =+ 5分 313 lim() ()622 x x x →∞ -- =-+ 6分 所以12 3lim( )6 x x x x -→∞++=3 2e -。 7分 2．设[cos(ln )sin(ln )]y x x x =+，求dy dx 。 解； 11 [cos(ln )sin(ln )][sin(ln )cos(ln )]dy x x x x x dx x x =++-+ 4分 =()2cos ln x 7分 3．设函数2222 cos sin t t x e t y e t ⎧=⎨=⎩ ，求dy dx 。 解： 2222cos 2sin cos t t dx e t e t t dt =- 2分 2222sin 2sin cos t t dy e t e t t dt =+ 4分 2222222(cos sin cos )(cos sin cos ) 2(sin sin cos )(sin sin cos ) t t dy dy e t t t t t t dt dx dx e t t t t t t dt ++=== -- 7分 4．计算不定积分22 1 sin cos dx x x ⎰. 解：222222 1sin cos sin cos sin cos x x dx dx x x x x +=⎰⎰ 3分 =2211 []cot tan sin cos dx x x C x x +=-++⎰ 7分 5．计算定积分 1 0x x dx e e -+⎰。 解： 1 12 0 01x x x x dx e dx e e e -=++⎰ ⎰ 3分 = 1 2 0() 1()x x d e dx e +⎰ 5分 = 1 0 arctan arctan 4 x e e π =- 。 7分 6．求微分方程22322x d y dy y e dx dx -+=满足001,0,x x dy y dx ====的特解。 解：微分方程223 22x d y dy y e dx dx -+=对应的特征方程为 2320(1)(2)0r r r r -+=⇒--= 特征根为121,2r r == 1分 而1λ=，所以11r λ==为单根， 2分 对应的齐次方程的通解为212x x Y C e C e =+ 3分 非齐次方程的通解为*x y Cxe λ=代入原方程得2C =- 4分 有通解2122x x x y C e C e xe =+- 5分 有 000,1x x dy y dx ====12121210,1220 C C C C C C +=⎧⇒⇒==⎨ +-=⎩ 有解22x x y e xe =- 7分 7．求过直线321023220x y z x y z +--=⎧⎨-++=⎩ ，且垂直于已知平面2350x y z ++-=的平面方程。 解：通过直线3210 23220 x y z x y z +--=⎧⎨ -++=⎩的平面束方程为 321(2322)0x y z x y z λ+--+-++=即 (32)(23)(12)(12)0x y z λλλλ++-+-++-+= 3分 要求与平面2350x y z ++-=垂直，则必须 1(32)2(23)3(12)0λλλ⋅++⋅-+⋅-+= 4202λλ+=⇒=- 6分 所求平面方程为8550x y z -++= 7分 8．将函数2 ()ln(32)f x x x =++展开成x 的幂级数，并指出收敛半径。 解：()ln(1)(2)ln(1)ln(2)f x x x x x =++=+++ 2分 =ln 2ln(1)ln(1)2 x x ++++ 3分 =1 100 11 ln 2(1)()(1)121n n n n n n x x n n +∞ ∞+==+-+-++∑∑ =11 10 112ln 2(1) ()12n n n n n x n +∞ ++=++-+∑ 6分 收敛半径1R = 7分 10．当a 为何值时，抛物线2 y x =与三直线,1,0x a x a y ==+=所围成的图形面积最小，求将此图形绕x 轴旋转一周所得到的几何体的体积。 解：设所围面积为()S a 33 1 2(1)()3 a a a a S a x dx ++-= =⎰ 2分 ' 2 2 ()(1)21 S a a a a =+-=+ 令' 1 ()02S a a =⇒=- 3分 '' ()20S a =>，所以11()212 S -=为最小的面积 4分 11122212 24 50 - 022580 x V y dx x dx x ππππ====⎰⎰ 7 分 四；综合题 1·设函数()f t 在[0,1]上连续，且()1f x <，证明方程 x 2()1x f t dt -=⎰在(0,1)内有且仅有一实根。 证明：令 0 ()2()1x F x x f t dt =- -⎰ ， 则在[0,1]上()F x 连续， 2分 1 1 (0)10,(1)2()11()0F F f t dt f t dt =-<=--=->⎰⎰， 4分 由闭区间上连续函数的介值定理知道在(0,1)内至少存在一点C ，使得()0F C = 5分 又因为' ()2()10F x f x =->>，所以()F x 单调上升，()0F x =在[]0,1内最多有一个根，所以 x 2()1x f t dt - =⎰ 在()0,1内有且仅有一个实根。 7分 2．证明：若0,0,0m n a >>>，则()() m n m n m n m n m n x a x a m n ++-≤+。 证明：令()()m n F x x a x =- 2分 '111111()()()()[()]()[()] m n m n m n m n F x mx a x nx a x x a x m a x nx x a x ma m n x ------=---=---=--+令' ()0ma F x x m n =⇒= +，（当,1m n ≠时，0,x x a ==，此时(0)()0)F F a == ' '211 ()(1)()()2()()m n m n ma ma na ma na F m m mn m n m n m n m n m n ---=--++++++ +112 23 (1)( )()0()n n m n m n m n ma na m n a n n m n m n m n --+--+--=-<+++ 5分 所以( )ma F m n +是()F x 在(),-∞+∞上的极大值，有唯一性定理知：()ma F m n +是最大值，故()()() m n m n m n ma m n F x F a m n m n ++≤=++ 7分 3．设()f x 是连续函数，求积分 2 (sin ) (sin )(cos ) f x I dx f x f x π=+⎰ 的值。 解： 令,2 x t dx dt π = -=- 22 0 0(sin )(cos )(sin )(cos ) (sin )(cos )f x f x I dx dx f x f x f x f x π π==++⎰ ⎰ 2 (sin )(cos )2(sin )(cos )24 f x f x I dx I f x f x πππ +==⇒=+⎰ . 2007年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学（一）》试卷 一、填空题 1．函数() 2lg 1 -= x y 的定义域是 。 2．设x y 3 sin 5=，则 =dx dy 。 3．极限=+⎰ ∞ →dx x x n n 10 21lim 。 4．积分 ⎰=+dx x x sin 1cot 。 5．设,1111x x y -+ +=则()=5y 。 6．积分 =-⎰ π 97sin sin dx x x 。 8．微分方程( ) 03 2=+++dy y y y x xdx 的通解 。 二．选择题 1．设()()⎪⎩ ⎪⎨⎧+⎪ ⎭⎫ ⎝⎛--+=x x x x x f ln 2311sin 132 11≥ 1 =+∞→n n n a a ，则n n a ∞→lim 存在， （B ）若A a n n =∞→lim ，则1lim lim lim 1 1==∞ →+∞ →+∞→n n n n n n n a a a a ， （C ）若A a n n =∞ →lim ，B b n n =∞ →lim ，则B b n n A a n =∞ →) (lim ， （D ）若数列{}n a 2收敛，且0122→--n n a a ()∞→n ，则数列{}n a 收敛。 3．设()⎰=x dt t t x 0sin α，()()⎰+=x t dt t x sin 0 11β，则当0→x 时，()x α是()x β的 （ ）。 （A ）高阶无穷小 （B ）等价无穷小 （C ）同阶但非等价无穷小 （D ）低阶无穷小 4．已知函数⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ == t t y t t x ln ln ，则=→dx dy e x lim （ ）。 （A ）2e （B ） 21e （C ）2 e - （D ）21e - 三．计算题 1．设x x y 42ln 1cos ln +=，求 dx dy 。 2．由方程22ln arctan y x x y +=所确定的y 是x 的函数，求dx dy 。 3．计算极限x x x cos 1lim 0 -+ →。 4．计算积分xdx e x cos 2sin 3⎰ +。 5．计算积分 () ⎰+dx e xe x x 2 1。 6．计算积分 ()⎰ +40 2 21tan π dx x e x 。 7．求经过点()1,1,1且平行于直线⎩ ⎨⎧=--=--1520 32z y x z y x 的直线方程。 9．任给有理数a ，函数()x f 满足()()10 +-=⎰x dt t a f x f ，求()x f 10．将函数()x x x f --=31 在点10=x 处展开成幂级数，并指出收敛区间（端点不考虑）。 四．综合题 1．设直线ax y =与抛物线2 x y =所围成的图形的面积为1S ，直线1,==x ax y 与抛物线 2x y =所围成的面积为2S ，当1 3．当π< x x >2sin 。 《高等数学（一）》答案 一．填空题： 1．()()∞+⋃.33,2 2．5ln 5cos sin 33 sin 2'x x x y = 3．0 4．C x x ++sin 1sin ln 5．() () 6 51! 52x y -⨯= 6． 9 4 8．( )C y y x =++2 2 2ln 二．选择题： 1、A 2、D 3、C 4、D 三．计算题： 1．解。() x x y 4ln 1ln 2 1 cos ln 2+- = () x x x x x x x x y 4343'ln 1ln 2tan 2ln 11 ln 421tan 2+--=+⋅ --= 2。解：方程两边对x 求导数，得 ' '2 2'22'222'222222211 yy x y xy y x yy x y x y xy y x y x x y xy x y +=-⇒++=+-⇒++=-⋅⎪⎭ ⎫ ⎝⎛+ ()y x y x y y x y y x 2222''-+= ⇒+=-⇒。 3．解:令x t = ，21 2sin lim cos 1lim cos 1lim 20 ==-=-+ ++ →→→t t t t x x o t o t x 4．解：原式＝()⎰+=+++C e x d e x x 2 sin 32sin 33 12sin 331 5．解： () ⎰+dx e xe x x 2 1＝() ⎰⎰ ⎰+++-=⎪⎭ ⎫ ⎝⎛+-=++dx e e x e xd e e xd x x x x x 111111) 1(2 ＝() ()() C e x e x C e e x e e d e x x x x x x x x +++-+-=++-+-=++-+----⎰1ln 1 1ln 1111 6．解： ()⎰ +4 2 21tan π dx x e x ＝ ()=+=+⎰⎰ ⎰4 24 4 2 22 2tan 2sec tan 2sec π π πxdx e xdx e dx x x e x x x ＝ ＝240 24 24 240 2tan tan 2tan 2tan π πππ π e x e xdx e xdx e x e x x x x ==+-⎰⎰ 7．解：平行于直线⎩⎨ ⎧=--=--1 520 32z y x z y x 的直线的方向向量应是 → →→→ → →→ -+-=----=k j i k j i S 375 2 131 2 所求直线方程为 3 1 7111--= -=--z y x 。 9．解：原方程两边对x 求导数，得 ()()'=-f x f a x (1) ()()()()'''=--=---=-⎡⎤⎣⎦f x f a x f a a x f x ， 所以()f x 满足()()0''+=f x f x (2) 由原方程令0=x ，得()01=f ，由方程（1）得()()0'=f f a 。 方程（2）对应的特征方程为2 10+=λ，即=±i λ， 所以（2）有通解()12cos sin =+f x C x C x 。 ()01=f ，得11=C ，即()2cos sin =+f x x C x 。 ()2sin cos '=-+f x x C x ，()()220cos sin '===+f C f a a C a ， 所以2cos 1sin = -a C a ，则()cos cos sin 1sin =+-a f x x x a 。 10．解：()()()()11 1 111212 12=-⋅ =-⋅ ---⎛⎫- ⎪⎝⎭ f x x x x x 1 00111222+∞∞ ==---⎛⎫⎛⎫ == ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭ ∑∑n n n n x x x 。 收敛区间为 1 12 - 1．解：当01< =y x 的交点坐标是()0,0和() 2 ,a a ，则 ()()1 22120 =+=-+-⎰⎰a a S S S ax x dx x ax dx 33333112332323 --= -+-=-+a a a a a a a 。 ()21 2'=-S a a ，令()0'=S a ，得12 = a 。 ()20''=>S a a ，所以在01< 62-⎛⎫== ⎪⎝⎭ S S 。 当0≤a 时，=y ax 与2 =y x 的交点坐标是()0,0和() 2,a a ，则 ()()01 2 2120 =+=-+-⎰⎰a S S S ax x dx x ax dx 333112332623 =- ++-=--+a a a a a 。 ()21 022