2021届湖南四大名校新高考原创预测试卷(二十八)数学

2021届湖南四大名校新高考原创预测试卷（二十八）

数学

★祝考试顺利★

注意事项：

1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。 9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.已知集合{}1,2,3,4A =，{}

2

20B x x x =--=，则A

B =（ ）

A. {}1

B. {}2

C. {}3

D. {}1,2

【答案】B 【解析】 【分析】

求出集合B ，然后求解交集即可． 【详解】解：

{}

{}2201,2B x x x =--==-，{}1,2,3,4A =

{}2A B ∴=

故选：B

【点睛】本题考查集合的基本运算，一元二次方程的解法，考查计算能力，属于基础题． 2.已知命题:p x R ?∈，2230x x ++>，那么p ?是（ ）

A. 0x R ?∈，2

00230x x ++> B. x R ?∈，2230x x ++≤ C. 0x R ?∈，2

00230x x ++≤

D. x R ?∈，2230x x ++≠

【答案】C 【解析】 【分析】

根据全称命题的否定为特称命题可写出命题p 的否定．

【详解】解：根据全称命题命题:p x R ?∈，2230x x ++>，那么p ?是的否定为特称命题，

即：p ?为0x R ?∈，2

00230x x ++≤．

故选：C ．

【点睛】本题主要考查了全称命题的否定的写法，对量词及结论都要进行否定，属于基础题． 3.3x >是2x >的（ ） A .

充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A 【解析】 【分析】

由“3x >” ? “2x >”，反之不成立，例如取 2.5x =．即可判断出结论． 【详解】解：由“3x >” ? “2x >”，反之不成立，例如取 2.5x =． 因此“3x >”是“2x >”的充分而不必要条件． 故选：A ．

【点睛】本题考查了不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

4.

函数()f x =的定义域为（ ） A. (,1][3,)-∞-?+∞

B. [1,3]-

C. [3,1]-

D. (,3][1,)-∞-+∞

【答案】C 【解析】 【分析】

运用偶次根式被开方数非负，求得()f x 的定义域.

【详解】解：

()f x =(3)(1)0x x ∴+-≥

解得31x -≤≤

即函数()f x 的定义域为[3,1]x ∈- 故选：C

【点睛】本题考查函数定义域的求法，注意偶次根式的含义和定义域含义，考查运算能力，属于基础题．

5.甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是( ) A.

16

B.

12

C.

13

D.

23

【答案】C 【解析】 【分析】

列举出三名同学站成一排的所有情况，在其中找到甲站中间的情况个数，根据古典概型计算公式求得结果.

【详解】三名同学站成一排的基本事件有：甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲，共6个

甲站在中间的事件包括：乙甲丙、丙甲乙，共2个

∴甲站在中间的概率：2163

P =

= 本题正确选项：C

【点睛】本题考查古典概型计算概率问题，属于基础题. 6.如果0a b >>，那么下列不等式一定成立的是（ ） A. c a c b ->-

B. 11a b

>

C. 1122a b

????> ? ?????

D.

【答案】D 【解析】 【分析】

根据不等式的性质判断A ； 根据幂函数的性质判断B ； 根据指数函数的性质判断C ； 根据对数函数的单调性判断D ． 【详解】解：0a b >>

a b ∴-<-

c a c b ∴-<-故A 错误；

由于1

y x -=在()0,∞+上单调递减，故

11

a b

<即B 错误； 由于12x

y ??= ???在R 上单调递减，故1122a

b

????< ? ?????

即C 错误；

由于ln y x =在()0,∞+上单调递增，故lna lnb >即D 正确， 故选：D ．

【点睛】本题考查不等式的

性质，考查对数函数的单调性，属于基础题．

7. 某校数学教研组为了解学生学习数学的情况，采用分层抽样的方法从高一600人、高二780人、高三n 人中，抽取35人进行问卷调查，已知高二被抽取的人数为13人，则n 等于（ ） A. 660 B. 720

C. 780

D. 800

【答案】B 【解析】

试题分析：由已知，抽样比为131

78060=，所以有351,72060078060

n n ==++．故选B ． 考点：随机抽样． 8.

已知sin 5

α=-，α

是第三象限的角，则tan2α的值为（ ） A. 43

-

B.

43

C. 4

5

-

D.

45

【答案】A

【分析】

先求出cos a ，再根据sin tan cos a

a

a

，最后利用二倍角余弦公式求得tan2α可得答案．

【详解】解：

sin α=，22sin cos 1αα+=

cos 5

α∴=±

α是第三象限的角

cos 5

α∴=-

sin tan 2cos a

a a

∴=

= 22

2tan 224

tan 21tan 123

ααα?∴=

==--- 故选：A

【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用．属基础题． 9.函数31

()()log 3

x

f x x =-的零点个数为（ ） A. 0 B. 1

C. 2

D. 3

【答案】B 【解析】 【分析】

在同一直角坐标系中作出函数1()3

x

y =与3log y x =的图象，将函数的零点个数转化为函数的交点问题，数形结合可得.

【详解】解：函数31()()log 3

x

f x x =-的零点个数，即31()lo

g 03

x

x -=的解得个数，等价于

1

()3

x y =与3log y x =的交点个数，在同一平面直角坐标系中作出函数图象，由图可知两函数

只有一个交点，故函数31()()log 3

x

f x x =-有一个零点,

故选：B

【点睛】本题考查函数的零点问题，数形结合思想，属于基础题.

10.设M 是ABC 边BC 的中点，若AM AB AC λμ=+，则λμ+的值为（ ） A.

14

B.

12

C. 1

D. 2

【答案】C 【解析】 【分析】

根据向量的线性运算及向量相等的充要条件可得. 【详解】解：

M 是ABC ?边BC 的中点，

11

22

AM AB AC ∴=

+ AM AB AC λμ=+

11

,22

λμ∴==

1λμ∴+=

故选：C

【点睛】本题考查向量的线性运算及向量相等的充要条件，属于基础题.

11.如果棱长为2的正方体的八个顶点都在同一个球面上，那么这个球的表面积是（ ） 3

B. 3π

C. 3π

D. 12π

【答案】D 【解析】 【分析】

由已知可得所求球是棱长为2的正方体的外接球，代入正方体对角线公式，求出外接球的半径，代入球的表面积公式，可得答案．

【详解】解：若棱长为2的正方体的八个顶点都在同一个球面上 则该球是正方体的外接球 球的半径21

3232

R =

?= 则球的表面积2412S R ππ== 故选：D ．

【点睛】本题考查的知识点是球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式，其中根据已知求出球的半径是解答的关键．

12.如图给出了红豆生长时间t （月）与枝数y （枝）的

散点图，用下列哪个函数模型拟合红豆生长时间与枝数的关系最好（ ）

A. 指数函数：2t

y = B. 对数函数：2log y t = C. 幂函数：3

y t = D. 二次函数：2

y t =

【答案】A 【解析】 【分析】

有散点图知函数的图象在第一象限是一个单调递增的函数，并且增长的比较快，且图象过(1,2)点，得到结果．

【详解】解：由题意知函数的图象在第一象限是一个单调递增的函数，并且增长的比较快，且图象过(1,2)点，

∴图象由指数函数2t y =来模拟比较好，

故选：A ．

【点睛】本题考查散点图和两个变量之间的关系，本题解题的关键是看出图象的变化特点和图象所过的特殊点，属于基础题．

二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分． 13.计算：5

lg 2lg 22

+=________． 【答案】1 【解析】 【分析】

根据对数的运算法则及对数的性质计算可得. 【详解】解：25555lg 2lg 2lg lg 2lg lg 4lg 4lg1012222??

+=+=+=?== ???

故答案为：1

【点睛】本题考查对数的运算及对数的性质，属于基础题. 14.已知向量(2,4)a =，(1,1)b =-，则a b ?=________． 【答案】2 【解析】 【分析】

根据向量的

数量积的坐标运算可得. 【详解】解：

(2,4)a =，(1,1)b =-

()21412a b ∴?=?-+?=

故答案为：2

【点睛】本题考查平面向量的数量积的坐标运算，属于基础题.

15.在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于x 轴对称．若

3

sin 5α=

，则sin β=________． 【答案】3

5

【解析】

【分析】

根据终边关于x 轴对称的两个角的正弦值互为相反数，得出结论．

【详解】解：角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于x 轴对称，若3

sin 5

α=，则3

sin sin 5

βα=-=-，

故答案为：

35

． 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，根据终边关于x 轴对称的两个角的正弦值互为相反数，属于基础题． 16.设x ，y 为正数，则14()x y x y ??

++ ??

?的最小值为________． 【答案】9 【解析】 【分析】

函数中含有整式和分式的乘积，展开出现和的部分，而积为定值，利用基本不等式求最值 【详解】解：x ，y 为正数，

()144141429y x x y x y x y ??++=+++++=

???

当且仅当

4y x x y

=时取得“=” ∴最小值为9

故答案为：9

【点睛】利用基本不等式求最值，需要满足的条件“一正，二定，三相等”.

三、解答题：本大题共5小题，共52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.已知向量(,2)a x =，(2,4)b =． （1）若//a b ，求实数x 的值； （2）若6a b +=，求实数x 的值． 【答案】(1) 1x =．(2) 2x =-． 【解析】 【分析】

（1）由平面向量共线的坐标表示列出方程，解方程求出x 的值； （2）先求出a b +的坐标，再根据6a b +=得到方程，解得. 【详解】解：（1）因为//a b ，(,2)a x =，(2,4)b =．

422x ∴=?，

解得1x =． （2）

(,2)a x =，(2,4)b =．

(2,6)a b x ∴+=+，

(a b x ∴+

=+，

6=，

解得2x =-．

【点睛】本题考查向量共线的坐标表示，以及求向量的模，属于基础题.

18.在ABC 中，角A ，B ，C 的

对边分别为a ，b ，

c ，且a b c >>2sin 0b C -=．

（1）求角B 的大小； （2）若b =

2a =，求c ．

【答案】(1) 3

B π

=．(2) 1c =．

【解析】 【分析】

（1）利用正弦定理将边化成角，即可求得角B

； （2）把2a =，b =3

B π

=

代入2222cos b a c ac B =+-

，化简后根据一元二次方程的

解法求出c 的值．

【详解】解：（12sin 0

b C -=， 2sin sin 0C B C -=． 因为0C π<<

，所以sin 0C ≠， 所以sin B =

． 因为0B π<<，且a b c >>，

所以3

B π

=

．

（2）因为3b =

，2a =，

所以由余弦定理2222cos b a c ac B =+-， 得2

2

1

(3)4222

c c =+-??， 即2210c c -+=． 所以1c =．

【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理的应用，特殊角的三角函数值，熟练掌握公式并会应用是解题的关键，属于基础题．

19.如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，AC 与BD 交于点O ，

E 为PB 的中点．

（1）求证：EO

平面PDC ；

（2）求证：AC DE ⊥．

【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解析】 【分析】

（1）通过三角形中位线的性质可得//OE PD ，进而根据线面平行的判定定理可以证明出

//EO 平面PDC ；

（2）先分别证明出AC BD ⊥，PD AC ⊥，进而根据线面垂直的判定定理证明出AC ⊥平面PBD ，即可得出结论．

【详解】（1）证明：∵E ，O 点分别是PB ，DB 中点， ∴1

2

EO PD //

， ∵PD ?平面PBC ，EO ?平面PBC ，

∴EO平面PBC．

（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，

⊥，

∴AC BD

又∵PD⊥底面ABCD，AC?底面ABCD，

⊥，

∴PD AC

?=，PD?平面PBD,BD?平面PBD，

∵PD BD D

∴AC⊥平面PBD，

∵DE?平面PBD，

⊥．

∴AC DE

【点睛】本题主要考查了线面平行，线面垂直的判定定理的应用．考查了学生对线面平行，线面垂直判定定理的记忆．

20.某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图）．已知上学所需时间的范围是[0,100]，样本数据分组为[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，(80,100]．

（1）求直方图中x的值；

（2）如果上学所需时间在[60,100]的学生可申请在学校住宿，请估计该校800名新生中有多少名学生可以申请住宿．

x=．(2) 96名

【答案】(1) 0.0125

【解析】

【分析】

（1）由直方图中各个矩形的面积为1建立方程求x．

（2）计算出新生上学所需时间在[60,100]的频率，再乘上新生的总人数即可得到申请住宿的人数．

【详解】解：（1）由直方图可得到200.025200.0065200.0032201x +?+?+??=． 所以0.0125x =．

（2）由直方图可知，新生上学所需时间在[60,100]的频率为0.0032200.12??=． 所以估计全校新生上学所需时间在[60,100]的概率为0.12． 因为8000.1296?=．

所以800名新生中估计有96名学生可以申请住宿．

【点睛】本题考查频率分布直方图的理解与应用，理解直方图的意义是解答的关键． 21.如图，某市拟在长为8 km 的道路OP 的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段

OSM ，该曲线段为函数sin (0,0)y A x A ωω=>>，[0,4]x ∈的图象，且图象的最高点为

(3,23)S ；赛道的后一部分为折线段MNP ．为保证参赛运动员的安全，限定120MNP ∠=．

（1）求点M 的坐标；

（2）应如何设计，才能使折线段赛道MNP 最长？

【答案】(1) (4,3)M ．(2) 将PMN ∠设计为30?时，折线段赛道MNP 最长． 【解析】 【分析】

（1）利用图象分别求得周期和A 的值，进而求得ω最后得到函数解析式，即可求得M 的坐标．

（2）设PMN θ∠=，利用正弦定理表示出1033NP θ=

，()3

603

MN θ?=-，即可表示出NP MN +，用两角和差的正弦公式化简，根据三角函数的性质求得最大值. 【详解】解：（1）由题意知3A =34

T

=， ∵2T π

ω

=

，∴6

π=

ω， ∴23sin

6

y x π

=．

当4x =时，223sin 33

y π

==， ∴(4,3)M ．

（2）连接MP ，如图所示．

又∵(8,0)P ，∴22(4)35MP =-+=． 在MNP △中，120MNP ?∠=，5MP =． 设PMN θ∠=，则060θ??<<，

∵()

sin120sin sin 60MP NP MN

θθ??==-．

∴33NP θ=

，()3

603

MN θ?=-． ∴()103103

60NP MN θθ?+=

+- ()10313103sin 603223θθθ?

?=

+=+????

． ∵060θ??<<， ∴6060120θ???<+<， ∴()103103

560θ?<

+≤

． ∴当30θ?=时，折线段赛道MNP 最长．

所以将PMN ∠设计为30?时，折线段赛道MNP 最长．

【点睛】本题主要考查了正弦定理的运用．涉及到了三角函数图象的确定及解析式，解三角形问题，两点间距离公式等，综合性特别强．